（基础数学专业论文）gage不等式的加强和分析形式及几何cauchyschwarz不等式的稳定性.pdf

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s c h w a r z si n - e q u 出i t h 1 no r d e rt os t u d yt h ep o p u l a rc u r v es h o r t e i l i n gn o wi nt h ep l a n e ，g a g e 3 h 船s h a w ni n1 9 8 3t h ef o l l o w i i l gi n e q u a l i t y ii f 七i st h e8 i g n e dc u r v a 土u r eo fa c l o s e dc o n v 麟p l a n ec l l r v e ，yw i t h1 e n g t hla n de n c l 0 8 i n ga r e aa ，t h e no n e g e t s z 砌s 筹 g a g ec a l l 8i ta ni s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t yi n 3 ，b u th ed o e 8n o ts l l o t h a tt h e e q u a l i t yh o l d 8i fa n do n l yi ft h ec u r v e7 i sac i r c l e ，w h i l ea sa ni 8 0 p e r i m e t r i c - t y p ei n e q u 8 l i t y o n es h o u l dp r o v et h i 8l i n do fr e s u l t h e r e ，w ew i l lt r yo u r b e s tt ou s et h eu n i t _ s p e e do u t w a r dn o r m 8 lf l o wt op r o v et h i sr e 8 u l t ，a n d t h e r e f o r et os t r e n 或h e ng a g e si n e q u a l i t ya 8am o r e “i s o p e r i m e t r i c t y p e i n e q u a l i t mi tw i l lb et h em a i nt a s ko ft h e 丘r 8 tp a r to ft h ep r e 8 e i l tt h e s i 8 a t t h es a m et i m e ，w ew i uu 8 em i n k o s k i ss u p p o r tf u n c t i o nt or e s t a t eg 唱e s i n e ( 1 u a j i t ya sa ni n t e g r a li n e q u a l i t yw l l i c hc a nb et h o u g h to fa sa a n a l y t i c v e r 8 i o no fg a g e si n e q u 址t y i nt h es e c o n dp 盯t ，w ew mf i r s tr e c a l lt h en o t i o n so ft h es t a b i l i t yo f g e o m e t r i ci n e q u 8 1 i t i e 8 ，a n dt h e n ，d e a lw i t ht h es t a b i l i t yp m b l e mo fg e o m e t r i c c a u d b y - sc ：h w a r z 8i n e q u a j i t ya sw eh l o w n ，t h et o t 出c u r v a t u r eo fas i m p l e d o s e dp l a n ec u r v e7i s 士2 7 r ，t h a tj s ，上蠡如= 士2 丌，f r o mc a u c h y s c h 聊s i n e q u a l i t y o n eg e t st h a t p s 竽 w bw i l lu s em i n k o w s k i ss u p p o r tf u i l c t i o nt os t u d yt h e8 t a b i l i t yo ft h ea b o v e 2 i n e q u a l i t yi nt h e8 e 璐eo ft h eh a l l s d o r 行m e t r i cf o rc o r l v e xd o m a i 璐 k e yw 如d s ： c o n v e xp i a n ec u r 、r 镐； g a g e 8i n e q u a h t y ； m i n k o 嘲k i s s u p p o r tf u n c t i o n ；s t a b m t yo fg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s ； g e o m e t r i cc a u c h y s c h w a r z 8i n e q u 缸i t 弘 3 g a g e 不等式的加强和分析形式 及几何c a u c h y - s d l w a r z 不等式的稳定性 l引言 经典的等周不等式指的是对任意简单平面闭曲线1 ，它的长度l 和它 所围区域的面积a 满足 l 。一4 7 r a 0 ，( 1 1 ) 并且，等号成立当且仅当7 为圆周早在古希腊时期人们就知道此不等 式，并且将其应用于生产实践，但它的数学证明直到1 9 世纪才由数学家 s t e i n e r 【1 8 给出此后陆续出现它的多种不同的证明方法，以及它的加强形 式、推广形式和在数学、物理中的应用( 例如，参见 1 】、 2 1 、 8 】、 1 1 、 1 2 、【1 4 】、 1 5 l 和 1 9 l 等) 通常的等周不等式不涉及曲线曲率的积分，然 而，在上世纪8 0 年代，g a g e 3 】为了研究平面曲线的发展问题，证明了一 个有关凸曲线曲率平方积分的不等式，具体内容是：若七为平面闭凸曲线 1 的曲率函数，l 为，y 的长度，a 为其所围面积，则有 pr “2 d s 筹， ( 1 2 ) j1“ g 8 9 e 在 3 】中称之为等周不等式，但他没有证明( 1 2 ) 式中等号成立当且仅 当，y 为圆周，而作为一个等周型的不等式这一点是应该加以证明的并且 他指出不等式( 1 。2 ) 对j a c o b o w i t z 骨形非凸曲线不成立值得注意的是， 从 4 】、【5 、【6 】、【1 6 l 等文章可以看出不等式( 1 2 ) 在研究曲线缩短流及其他 平面曲线的演化问题中起着重要的作用，在此我们称( 1 2 ) 为g a g e 不等式 在文章【7 中，g r e e n 和0 8 h e r 给出了g a g e 不等式的另证明方法及其推 广，但仍未涉及等号成立的情形 在本文中，我们首先将g a g e 不等式加强为更加等周的形式，即证 明( 1 2 ) 式中等号成立当且仅当7 为圆周然后再利用平面闭凸曲线的 4 m i n l 【o w 8 k i 支撑函数将g a g e 不等式重新表述成有关周期函数的积分不等 式，此形式可看作是g a g e 不等式的分析形式， 几何不等式的稳定性研究是凸几何、积分几何和凸分析中一个重要 的研究方向关于这一概念的具体介绍见本文第三节，也可参考g r o 咖 【9 】我们知道，对于平面简单闭曲线，y ，有l d s = 士2 7 r ，借助于c a u c h y _ s c h w a r z 不等式可得 l 黝。 竿 j-l 本文将利用m i n k o w s k i 支撑函数，在h a l l s d o r f f 距离意义下讨论这一不等 式的稳定性 2m i n k o w 8 k i 支撑函数及单位速率外法向流 设，y 为平面上e 1 类正定向闭凸曲线，0 为7 所围区域内一点，我们 选择0 作为坐标原点若p 表示从0 到7 上点( ，y l ，他) 处的切线1 1 的垂 直距离，口为。1 一轴的正半轴到r 的垂直射线的夹角，则p 为目的单值函 数，且p 是一个以2 7 r 为周期的周期函数切线r 的方程可写成 z 1c o s p + z 2s i n 口= p ( 口) ( 2 1 ) ，y 上所有点的切线构成一个单参数直线族，( 2 1 ) 为其参数方程，p 为参数 曲线1 可以看作是此直线族的包络，因此曲线7 可用参数日表示为 m 2 p ( 8 ) 。刚一删8 1 ” ( 2 2 ) i 讹= p ( 口) s i n 口+ p ，( 日) c 0 8 口， 其中p 7 ( p ) 表示p ( p ) 关于目的导数( 日，p ( 口) ) 通常称为凸曲线7 的切线极 坐标，p ( 8 ) 称为，y 的m i n k o w s k i 支撵函数 对f 2 2 ) 式关于p 求导可得 ( 2 3 ) 由口的定义可知，y 的单位切向量场为t = ( 一8 i n 口，c o s p ) ，因此 p ( 日) + 矿( 目) o ( 2 4 ) 因为此时曲线的单位内法向量为n = ( 一c 0 8 p ，一8 i n p ) ，利用n e n e t 公式可 得曲线1 的曲率函数七为 = 塞 ( 2 5 ) 必要时可将角元素表示成硼= 幽 若厶a 分别表示，y 的长度和7 所围区域的面积，则由p ( 目) 的周期性 可得 l = z 打、与两= ( “p ( d 口， ( 2 e ) a = ：z ，y - d 讹一讹却t = ：z 2 霄p ) 晒p ) + ( 】d 口 ( 2 7 ) ( 2 6 ) 式称为c a u c h y 公式，( 2 7 ) 式称为b l a s c h k e 公式 为了用支撑函数表示曲率七，我们要求，y 至少是g 2 的( 2 3 ) 式关于 口求导后代入七的计算公式可得 拓麓筹= 而刈 ( 2 s ) ( 7 p + 僭) i p ( 目) + 矿( 日) 、1 现在，我们考虑单位速率外法向流设，y ( 口，t ) 为平面闭凸曲线族，对 于固定的t ，曲线，y ( 口，t ) 的单位法向量为n = ( c o s 口，s i n 目) ，若初始曲线为 伽( 口) ，则单位速率外法向流的演化方程为 ，掣州 ( 2 t 。) 【7 ( p ，o ) = 加( 口) 利用单位速率外法向流的有关结论，通过计算可以得到以下结论： 引理2 1 设7 ( 口，t ) 为t 0 时刻的曲线，则有下列式子成立： p ( 口，) = p ( 挣，0 ) + t ；( 2 1 0 ) 6 删，牡老； l ( ) = l ( o ) + 斯# ； 4 ( t ) = a ( 0 ) + l ( o h + 霄矿 ( 2 1 1 ) ( 2 ，1 2 ) ( 2 1 3 ) 其中p ( 目，) ，七( 扫，t ) ，l ( ) ，a ( f ) 分别为时刻曲线7 ( 口，) 的曲率半径，曲率 长度及所围区域的面积 上面( 2 1 3 ) 式称为s t e i n e r 多项式另外，显然，等周差铲一4 a 为 单位速率外法向流的不变量 3 g a g e 不等式的加强形式及其分析形式 定理3 1 若1 为g 2 类平面严格凸闭曲线，工为其长度，a 为其所围区域 的面积，则 f 觑三筹， ( 3 1 ) 并且，等号成立当且仅当1 为圆周 证明：g a g e 在 3 】中已经给出不等式( 3 1 ) 的证明，因此我们只须证明定理 的第二部分，印讨论( 3 1 ) 式中等号成立的充要条件当7 为圆周时( 3 + 1 ) 式 中等号显然成立剩下的任务是证明若( 31 ) 式中等号成立，则1 ，为一个圆 周为此我们先证明下面的定理 定理3 2 设为严格凸闭曲线，若1 不是圆周，则 p d s 筹一 ( 3 z ) 我们将充分利用单位速率外法向流来证明定理3 ，2 因此，我们需要先 介绍一些概念 定义3 3 我们把s t e i n e r 多项式a ( t ) = a ( o ) + l ( o ) t + 耐2 的两个根记为 f 1 ，屯且t 1 屯，n 为7 ( 目) 的撮大内切圃中径，为7 ( 口) 的最小外接圆半 径( 分别称为内半径和外半径) ，为1 ( 日) 的曲率，p = 为曲率半径， p 。和风【。分别表示p 的最大值和最小值 p 。和风m 分别表示p 的最大值和最小值 7 显然，当7 ( 目) 为圆周时，以上各量均相等 引理3 4 若1 严格凸且非圆，则 一加猷 t 2 一r e 一去 一n p 2 即，存在实数b o ，使得p ，= 嘉+ 6 ，成= 去一6 证明：由定义3 5 可知p 1 以，因此，我们只须证明当p 1 = m 时，y 为圆 周假设 p = ；r 1p ( 口) d 日= p z = ；r 2 p ( 口，d 口， 则由厶及如的定义可知，对任意jcs 1 ，正枷= 7 r ，都有 三，p ( 口) d 日= p 1 8 因此，对任意点a 7 ( 日) ，钆为a 点的单位外法向量n ( 钆) 与z 一轴正方向 的夹角，取任意实数s 0 ，记 则 “= ( 以一，“+ e ) cj 加脚= 厶“胛瑚+ 厶胛瑚 对于区间，如，类似地可得另一点b ，y ( p ) 其相应的角度用 取 坫= ( 曰日一，口日+ ) c s l ( 3 4 ) 幻记之，且 l ? = l ? 一 因此 加瑚= 厶“加肌厶朋瑚 ( 3 s ) 由( 3 4 ) 及( 3 5 ) 可得 厶删肛厶胛膨 厶胛) 拈2 俐s ，厶胛) 扯2 施k 从而有尸( 日1 ) = p ( 如) 令e o ，则口1 一以，p 2 一，即有p ( 日a ) = p ( ) 由点a b 的任意性可得 p ( 口) = c m s t ， 即1 为圆周 口 命题3 7 若，y 为严格凸对称非圆平面闭曲线，则 卢1 一t 2 9 证明：由曲线吖的对称性可知，在法线n ( 目) 方向上曲线宽度6 f 们= 2 p ( 目) ，因为，y 为凸曲线，所以6 ( 日) 满足2 nsh ( 口) 2 r 。，因此对所有口 有 n p 徊) 由上式放引埋3 4 口j 得 一t l p ( 疗) o ，且 吨= 去咄也= 嘉+ “ 综合以上各式可得 一钍 一如等价于 在区l 司厶上有p ( 口) ，在如上有p ( 日) n ，由于7 不是圆，故p ( 口) i 口 最多在一个区间上成立由户( 口) 为连续函数可设在矗的一。个小子区间上 p ( p ) ，因此在此小区间上 一( 口) 一券) ( p ( 日) 一。) u ( p ( 口) 一口) 上述不等式在 上积分可得 一；z 。一嘉) ( p ( 一a ) 捞 “( p t 一面 ( 3 6 ) 在屯上由p ( 目) n 0 得 一( 日) 一嘉) ( p ( 一n ) 一钍( p ( 口) 一n ) ， 】0 上式在如上积分司得 一；五) 一嘉) ( 胛) 叫硼叫纩口) ( 3 7 ) ( 3 6 ) 及( 3 7 ) 式相加得 一；z 。) 一去) ( 胛) - 0 ) 棚 咖- 咱) 上式左边简化后即为 赤( l 2 4 7 r a ) = 2 u 2 ， 而右边为2 曲，上面的不等式化为 2 f j 2 等+ 递雩霉( 啦等+ 迥莩巫 上面两个不等式相加取平均值，即得 州抄学+ ； 迮学+ 迮訾) 由点a 日的取法可知 ( 2 工1 ) 2 8 7 r a l = ( 2 三2 ) 2 8 7 r a 2 将上式等号两边的量简记为夙我们要证的不等式化为 州秒去+ 逛型型 若能证明 卢( l l + 三2 ) 2 4 7 r ( a l + a 2 ) ， 则命题得证事实上，我们有 p = 2 l ；一4 7 r a l + 2 三；一4 7 r a 2 = ( l 1 + l 2 ) 2 + ( l 1 一二2 ) 2 4 7 r ( a 1 + a 2 ) ( l l + 工2 ) 2 4 丌( a 1 + a 2 ) 口 下面两个引理在g r e e n 和o s h e r 的文章 7 】已给出，在此略去其证明， 引理3 9 若f ( 。) 为( o ，+ o 。) 上的凸函数，则有 去z 。聊) ) d 口知，) + f ( 耐 引理3 1 0 若f ( z ) 为( o ，+ o 。) 上严格凸函数，则对任意6 。 0 及c 有 f ( c 一口) + f ( c + o ) “ o ，因此，利用引理3 1 0 可得 j 1 ) + 一( p 2 ) j ( 一1 ) + j 。【一t 2 ) 取f ( z ) = ；，由引理3 9 可得 去小一2 ；c 击+ 2 7 r q l 。一2 、们砌” 并且，此时不等式( 3 8 ) 即为 】 石+ 瓦 i + i 而i ，2 为方程a ( ) = 7 r 2 + 鼠+ 以= o 的两根因此， 一生些：兰 t l t 2 a 由以上结果可得上忌2 d s 警，从而定理3 2 得证， 】3 ( 3 8 ) 口 我们知道平面简单闭曲线的全曲率为士2 7 r ，即上后d s = 士2 7 r ，由 c a u d l y s c h w a r z 不等式可得 ，砌。军 ( 3 9 ) j ， 山 且上式等号成立当且仅当 为圆周在此我们称( 3 9 ) 为几何c a u c l l y _ s c h w a r z 不等式由( 3 9 ) 及g a g e 不等式( 1 2 ) 和等周不等式( 1 1 ) 可得，对 于平面闭凸曲线有 弘s 2 篝竽 江删 注意：( 3 1 0 ) 式表明，对于平面闭凸曲线g a g e 不等式是比几何c a u c h y - s c h w 甜z 不等式更强的不等式 利用( 2 4 ) ( 2 8 ) 式，我们可以给出g a g e 不等式以下的分析叙述： 定理3 1 1 设p ( 口) 为伊的以2 7 r 为周期的函数，且p ( 日) o ，p ( 日) + 矿( p ) o ， 则 2 ”p ( 口) b ( 日) + ”( 口) 】d 口z 2 ”；孑j i - ：! ；! ：i 百i 2 ”z 2 ”p ( 口) d 口 ( 3 1 1 ) 上p ( 8 ) b ( 8 ) + 矿( 9 ) 】瑚上虱石y j 茜玖万2 ”上p ( 8 ) d 9 ( 3 1 1 ) 并目，等号成立当且仅当 p ( p ) + p ，( 目) = c ，或p ( p ) = o c o s 日+ 6s i n 口+ c ， ( 3 1 2 ) 这里o ，6 ，c 均为常数，且c o 注：定理3 1 1 的结论思想来源于h u r i t z 在【1 1 l 中证明经典的等周不 等式的方法，他主要利用的是支撑函数p ( 口) 的f 0 u r i e r 级数展开但目前 我们用这种方法无法证明( 3 1 1 ) 式注意到不等式( 3 9 ) 也可以写成分析不 等式 z ”薪z ”础瑚独2 ，厶p ( 口) + 矿( 口) j o “一 并且，等号成立当且仅当p ( 口) + ( 日) = c ，( c 为正常数) 我们从 譬”p ( 日) 硼= 譬”【p ( 日) + 矿( 口) l 础及c a u d l y - s c h w a r z 不等式很容易得到 以匕结论 1 4 4几何不等式稳定性的介绍 记c 2 = kcr 2 i 耳为凸区域) 我们主要考虑的是以下形式的不等式 垂( k ) o ( 4 1 ) 其中中为实值函数，( 4 1 ) 式对所有c 2 均成立例如，若a ( k ) 表示 k 的面积，l ( k ) 为k 的边界曲线的周长，设圣( k ) = 三( k ) 2 4 7 r a ( k ) ， 则此时( 4 1 ) 式即为经典的等周不等式 记岛= 耳i c 2 ，西( 聊= o 例如，在平面等周问题中，岛为平面闭圆盘所构成的集合我们感兴 趣的是( 4 1 ) 式的稳定性问题所谓不等式( 4 1 ) 的稳定性指的是，当圣( ) 接近0 时，k 是否接近岛中某个元素为了更具体地描述稳定性问题， 我们假设给定了一个函数在某种意义下度量两个凸区域之间的偏差此函 数g ( 耳，m ) 对所有k ，m c 2 均非负，并且9 ( k m ) = o 当且仅当k = m ， 若垂，岛及9 均给定，则几何不等式( 4 1 ) 的稳定性问题可以描述如下： 寻找某个正常数c ，q 满足：对任意e 2o ，若 圣( k ) s ， 则存在m 岛使得 口( ，m ) 傀o 在【9 l 中有许多几何不等式的稳定性的结论在这篇文章中我们将证明 几何c a u d l y s c h w a r z 不等式( 3 9 ) 的稳定性为此，我们需要利用第二节 中介绍的m i n k o 础i 支撑函数来定义函数g 设k ，m c 2 ，其对应的支撑 函数分别为船( 目) ，m ( 口) ，通常用来度量两个凸区域托m 的偏差的几何量 是h a u s d o r f f 距离，其定义为 ( 耳，m ) = 肾妇( 日) 一脚( 吼 显然，危( kj = i 彳) 0 ，并且厅( k 肘) = o ，当且仅当= 1 5 5 c a u c h p s c i l w 砒z 不等式的稳定性 在第三节中我们已经给出几伺c a u c h y - s c h w a r z 小等式 z 触2 警， ( 5 - ) 其等号成立的充要条件为7 为圆周 现在我们可以利用支撑函数及h a 璐d o 难距离来描述几何c a u c h y s d l w a 不等式的稳定性如下： 定理5 1 设耳c 2 ，其边界曲线7 的长度为l ( k ) ，k 的面积为 a ( k ) ，( s ) 为，y 的曲率函数，为任意的非负实数，若 z 黜一竽g 则存在圆盘m 使得a ( m ) = a ( k ) ，且 ( 托m ) s 9 5 为了证明定理5 1 ，我们要先证明以下结论： 引理5 2 设，y 为平面正定向简单闭曲线，其长度为l ，e o 为常数，若 扣s 譬+ 争 慨。， 则，y 落在半径为冗及r 且1 r r l 冬的同心圆之间也就是说，y 落在宽 度小于e 的圆环内 证明：由 七d s = 2 r 易知 p s 一譬= 地旷轳s 慨s ， 假设 扣s 一譬s 最 ( 5 4 ) 1 6 其中6 为待定的常数 则由( 5 3 ) 及( 5 4 ) 可得 z ( 琊) _ 警) 2 蜒a 下面我们记e ( s ) 为7 的单位法向量，鲁= 一七e ，可取 们) = ( 嘉) o ) ，塞( 。) = ( 叭) ， e ( o ) = ( 1 o ) 对任意s 【o ，纠，都有 m s ) 一嘉e ( s ) l = i z 5 ( 鲁一去塞) d s i = l z 5 ( ，一掣) 釉嘉z ，一 ：；z i * c s ，一；i d s 嘉l 1 ，2 ( z ( 七( s ，一警，2 d s ) 1 7 2 等砺：雩 ( 5 s ) 由不等式( 5 5 ) 可得 m 圳i 知卅一知胚嘉+ 雩 m 圳i 知一知) i 去一雩 眦，y 位于半径为去+ 雩及去一雩腧d 圆抓取j = 争 即证得此引理 口 定理5 1 的证明： 设d 是半径为 孳的圆盘，则a ( d ) = a ( k ) 定义 见及昆如下： 见= m i n 0 ：k c t d + p t o ，p r 2 ) r = m a x s ：5 d + q c k ，s o ，q r 2 ) 由于见= 忍时为圆盘，我们只考虑兄。 鼠的情形由忍，r 的定义 可知，存在p ，q r 2 ，使得 r l d + q c k c 见d + p 上式可重新改写为 即+ 器) c + 等等c 蹦。+ 糍) 因此，将d ，k 作适当的平移( 如果必要的话) 可使 忍d c cr e d 由于a ( d ) = a ( k ) ，且0 k ，0 d ，昆l 忍我们可以得到以下 不等式： p ( o ) 一p 口( 目) 冗i 如p ) 一p 口( 日) = 一( 1 一尼) p d ( p ) 一( 见一r ) d ( d ) ， p k ( 口) 一p d ( 日) 凰p d ( 日) 一p d ( 口) = ( 冗。一1 ) p d p ) ( r e r ) d ( d ) ， 其中d ( d ) = 2 、华为d 的直径因此可得 啦，d ) 鲫。捌d ( d ) _ ( 风圳2 华 设r e ，n 分别为的最小外接圆半径及最大内切圆半径，由最，r ，r e 及 n 的定义可知 因此，有 、i 匦& v7 广n ：浮忍 峨d ) ( 见删2 浮- 2 ( 刊 ( 5 6 ) 由引理5 2 可知，若l 七2 如譬+ ，则，y 位于半径为r 及r 的同心 圆环内，且 i 譬 1 8 ( 5 7 ) 对任意凸区域k ，有r r 。，n r ，即有 n n r r 由( 5 6 ) 一( 5 8 ) 可得 懈，哪2 刊 2 ( r _ r ) 掣 若取m = d ，则a ( m ) = a ( d ) = a ( k ) 且 郴，m ) 叫e d ) 半 注：我们知道与r 。，n 有关的一个b o n n e 8 e n 型不等式 ( 5 8 ) 口 l 2 4 7 r a 4 7 r ( 一r ) 2 ( 5 9 ) 利用定理5 1 的证明方法可得以下结论： 定理5 3 设k c 2 ，其边界曲线长为厶面积为a ，若对任意s 0 ， l 2 4 7 r a e ，( 5 1 0 ) 则存在圆盘d ，使得a ( d ) = a ( k ) ，且 职，d ) 等 证明：由定理5 1 的证明过程可知，存在圆盘d 使a ( d ) = a ( ) ，且 危( k ，d ) 2 ( 一n ) ( 5 6 ) 州5 国l 嫡1 又5 6 阿得忡，等 九( k ，d ) 弓三 这就证明了经典的等周不等式的稳定性 口 1 9 r e f e r e n c e s 1 】w b 1 a s c h k e ，k r e i 8l l n dk u g e l ，2 n de d ，g r u y t e r ，b e r l i n ，1 9 5 6 2 ic h a d ，i s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t i e s ，d i 腑r e n t 谳g e o m e t r i c8 丑da n a j y t i cp e 卜 s p e c t i v e s ，c a m b r i d g eu n i v e r 8 i t yp t e 船，2 0 0 1 【3 】m e g a g e ，a ni s o p e r i m e t r i ci n e q u “i t yw i 乞ha p p l i c a t i o i l st oc u r v es h o r t e n i n g ， d u k em a t h j 5 0 ( 1 9 8 3 ) ，1 2 2 5 - 1 2 2 9 【4 jm ，e g a g e ，c u r v es h o r t e n i l i gm a k e 8c o v 眩c i i r v e sc i r c l l i a r ，i i e n t m a t h ， 7 6 ( 1 9 8 4 ) ，3 5 7 3 6 4 f 5 】m ，e g a g e ，o na n 盯e 跏p r e s e r v i l l ge v o l u t i o ne q u a t i 帆f o rp l a n ec u r v e s ，i n “n o l l l i n e a rp r o b k i 璐j ng e o m e t r y ”( d m d e n r c ke d i t e d ) ，g 0 n t e m p m a t h v b l 5 l ( 1 9 8 6 ) ，5 l 一6 2 6 】m e g a g e r ，s ，h 锄i l t o n ，t h eh e a te q u a t i o ns h r i n k i n gc o i l v e xp l a n ec u r v e 8 ， j d 涩g e o m 2 3 ( 1 9 8 6 ) ，6 9 - 9 6 【7 】m g r e e n s o s h e r ，s t e i n e rp o l y n o m i m s ，n o w 8 ，a n ds o m e e wi 8 0 p e r i - m e t r i ci n e q u a l i t i e sf o rc o n v e xp l a n ec l l r v 器，a s i aj m a t h ，3 ( 1 9 9 9 ) ，6 5 9 6 7 6 【8 】h ，g r o e m e r ，g e o m e t r i ca p p l i c a t i o 璐0 ff b u r i e rs e r i e sa n ds p h e r i c a lh 缸m o 一 i c s ，c a i i l b r i d g eu n i v e r 8 i t yp r e s s ，1 9 9 6 【9 1h g r o e m e r ，s t a b i l i t yp r o p e r t i e s o f g e o m e t r i ci n e q u 出i t i e s ， u i v 订s i t yo f a r i z o n a ，7 i 、l c s o ，a z 8 5 7 2 l ( 1 9 9 0 ) ，3 8 2 3 9 4 【1 0 】c c h s i u n 舀af i r s tc o l l r s ei nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ，p l l r e a p p l i e dm a 七h ， w i k y 】n e wy o r k ，1 9 8 1 - 1 l 】a h u r i t z s l l rq u e l q 岫8a p p l i c a t i o n s 酣o m 鼠r i q u 皤d e ss 鲥e sd ef 0 l l r i e r a n n 亩c o l en o r m ，1 9 ( 1 9 0 2 ) ，3 5 7 - 4 0 8 【1 2 g l 8 w l o r ，an e wa r e am a x i m i z a t i o np r o o ff o i t h ec i r c l e ，m a t h e m a t i c “i n _ t e l l i g e n c e r ，2 0 ( 1 9 9 9 ) ，2 9 3 1 【1 3 】d s m i t 血0 v i c ，a n 蝴i ci n e q u a l i t i e s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 0 【1 4 】r 0 8 s e r m a n ， t h ei s o p e r i m e t r i c i n e q u a l i t i e s ，b l l l l a i e r m a t h s o c ， 8 4 ( 1 9 7 8 ) ，1 1 8 2 1 2 3 8 【1 5 】r o s 8 e r m a n ， b o i l n e s e _ s t y l ei 8 0 p e r i m e t r i ci n e ( 1 u a l i t i e s ， a m e r m a