（应用数学专业论文）有限维代数的结构常数与群代数上的模的诱导和扩充.pdf

摘要 本j 南i 入有限维代数及余代数的结构常数及由结构常数构成的立方阵的概念， 设o i l , o ：，a 。是某即维代数4 ( 余代数c ) 的一组基， 且 d ，q ，一恤：a t ( a t ) = ； ， 伐，) ) ，f ，女= l ，2 ，轧则称“f k 为代数4 ( 余代数 u o 的结构常数；由这些结构常数可构成”n 立方阵在这基础上类似定义李 代数，李超代数及( r 一分次) 李代数的结构常数因而我们获得一种新的方法来刻 划和研究有限维代数，余代数，双代数，h o p f 代数及李代数及广义李代数等同时， 给出了某立方阵刚为代数彳( 余代数c ) 关于其特殊基 a l l a , c t 2 ，c 【。( e ( t x i ) 一l ；e ( c t t ) - o ，k - 2 , 3 ，n ) 的立方阵的充要条件( 定理2 12 、定理 2 22 ) 某”阶立方阵【】为某订维代数( 余代数) 关于其任一基的立方阵的充要条件是 m 等价于满足一定条件的立方阵由以上讨蠲褥一个主要结果：域k 上的开维 代数，余代数的同构类及满足一定条件的n 阶立方阵的等价类间存在一一对应：一 个立方阵【】为某刀维数代数关于其某基的立方阵，当且仅当口叼为某胛维余代数关 于其某基的立方阵；一个立方阵是某代数( 余代数) 关于某基的立方阵，则此立方阵 也是其对偶代数( 余代数) 关于其对偶基的立方阵( 定理2 2 6 ) 文中，我们还分别获 得用结构常数及其构成的立方阵表述的个线性空间成为双代数，h o p f 代数，李代 数，李超代数，( r 一分次) 李代数的充要条件( 定理2 3 1 ，定理2 32 ，定理2 4 2 ， 定理2 4 3 ，定理2 4 4 ) 最后我们讨论了绝对不可分0 【日】_ 模的诱导模的不可分直和项的个数和绝对 不可约呵明一模的扩充存在的充分条件( 定理3 16 、定理3 2 1 、 关键词：余代数；双代数；h o p f 代数：结构常数；立方阵；诱导模；不可分直 和项 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so f s t r u c t u r a lc o n s t a n ta n dt h ec u b em a t r i x f o r m e db yt h o s ec o n s t a n t so f f i n i t ea l g e b r a sa n dc o a l g e b r a s ：a s s u m ec t l ，0 2 ，n n i sa b a s i s f o rac e r t a i nn d i m e n s i o n a l a l g e b r aa ( c o a l g e b r a c ) ， a n d n ，n j - 妻肚：伐( 厶缸p ) i 恤；缸， a j ( 1 ，盘i l ，2 ，n ) 恤； a r e c a l l e dt h es t r u c h l r a l c o n s t a n t so fa l g e b r aa ( c o a l g e b r ac ) ；a n dt h es t r u c t u r a lc o n s t a n t sf o r ma x x c u b e m a t r i x a c c o r d i n g t ot h i s ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no f s t r u c t u r a lc o n s t a n t so f l i ea l g e b r a s ， l i es u p e r a l g e b r a s ，( r g r a d e d ) l i ea l g e b r a s s ow ec a n ，a tad i f f e r e n ta n g l e ，s h o wa n d s t u d y f i n i t e a l g e b r a s ，c o a l g e b r a s ，b i a l g e b r a s ，h o p fa l g e b r a s a n dl i e a l g e b r a s a n d g e n e r a l i z e dl i ea l g e b r a sa n d ，w e o b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ra c u b em a t r i xi n t ob et h em a t r i xo fan - d i m e n s i o n a la l g e b r aa ( c o a l g e b r ac ) u n d e r t h e b a s i s a 1 - 1 ，a 2 ，b 。( e 似1 ) - l ；e ( o t ) - o ，k - 2 , 3 ，n ) ( t h e o r e m2 12 ，t h e o r e m 2 22 ) a c e r t a i nc u b em a t r i x n 】i st h em a t r i xo fan - d i m e n s i o n a la l g e b r a ( c o a l g e b r a ) u n d e ri t s c e r t a i nb a s i si fa n do n l yi f 【n 1i si ne q u i v a l e n c ew i t hac u b em a t r i xs a t i s f y i n gs o m e c o n d i t i o n s w eo b t a i nam a i nr e s u l t ：t h ei s o m o f p h i cc l a s s e so fn - d i m e n s i o n a la l g e b r a s a n dc o a l g e b r a sa r eb o t hi nc o r r e s p o n d e n c ew i t ht h ee q u i v a l e n tc l a s s e so fc u b em a t r i x s a t i s f y i n gs o m ec o n d i t i o n s ；ac u b em a t r i x i st h ec u b em a t r i xo f a n a l g e b r a ，i f a n do n l yi f i ti so fa c o a l g e b r a ；a c u b em a t r i xi st h ec u b em a t r i xo fac e r t a i n a l g e b r a ( c o a l g e b r a ) u n d e ri t sc e r t a i nb a s i s , t h e n , i t i st h ed u a la l g e b r a s ( c o a i g e b r a s ) c u b em a t r i x u n d e rt h ed u a lb a s i s ( t h e o r e m 2 2 6 、a n dw ea l s or e s p e c t i v e l yo b t a i nt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ral i n e a rs p a c et ob eab i a l g e b r a , h o p f a l g e b r a , l i ea l g e b r a ，l i e s u p e r a l g e b r a , ( r g r a d e d ) l i ea l g e b r ae x p r e s s e dv i as t r u c t u r a lc o n s t a n t sa n d t h ec u b e m a t r i xf o r m e db yt h e m ( t h e o r e m 2 3 1 ，t h e o r e m2 3 2 ，t h e o r e m 2 42 ，t h e o r e m 2 43 ， t h e o r e m 2 4 4 ) f i n a l l y , w ed i s c u s s t h en u m b e ro ft h e i n d e c o m p o s a b l ed i r e c t s u m m a n do ft h e i n d u c e dm o d u l ef r o ma b s o l u t e l y i n d e c o m p o s a b l ee 【日】- - m o d u l e ，a n dt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n se x i s t e n c ef o r a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e1 i n 一m o d u l e s e x t e n s i o n ( t h e o r e m 3 1 6 ，t h e o r e m32 1 ) k e yw o r d s ：c o a i g e b r a ；b i a l g e b r a ；h o p fa l g e b r a ；s t r u c t u r a lc o n s t a n t ；c u b em a t r i x ； i n d e c o m p o s a b l ed i r e c ts u m m a n d ；i n d u c e d m o d u l e 第一章引言 代数学作为数学领域中的一个重要分支，是一门范围广泛的内容丰富的科学， 一直以来都有着蓬勃的各方面的发展最初，一些经典的代数著作中，是以元素的 运算的角度来定义结合代数的域x 上的结合代数是一个域k 上的向量空间4 ，并 在其中定义了双线性结合乘法，并且对v a ，b ，c 4 ，九足满足下列公理： 1 ) a ( b + c ) 一a b + a c ； 2 ) f 6 + c ) a 一6 口+ c g l ； 3 ) ( x d ) 6 = a ( x b ) = 九( 如) 4 ) ( a b ) c a ( b c ) 5 ) a 中有一单位元记为1 ，使v a e a ，有l a a l _ 一a 结合代数除了这种经典的定义方法外，在后来的很多相关的专著或文献中一般 用态射的交换图来刻划其定义1 1 1 2 1 1 ” 定义1 1 1 1 1 一个域丘上的线性空间4 上定义两种足一线性映射 么u ，且m ： a 4 一丘z f ：k a ，使下面两个交换图成立： 叫p a a 丝r _ 斗a ” i k 爿，一 彳 ( 图2 ) 足 乏! 至c j ： k ，f e v + ，g + ，v 矿，w e w 三是一个映射，l ：v w ，由 叩”( x ) g ”= 甲“( x ) h o 若存在口f ，使口”一a 。，则 r 可扩充为f ( g ) 一模特 别，若f 为代数闭域，g h 为循环群，则对于任意g s t a b l e 不可约f 【h 】一模都 可扩充为f i g 一模 7 第二章有限维代数的结构常数 2 1 有限维结合代数的结构常数 定义2 1 1 设4 是域k 上的艴维结合代数，其一基为a 。，a ：，a 。， n ，a ，。荟；a * ，；x ，。，后= 1 ，2 ，押则称这n 3 个数；为一关于基a ，a z ，n 一的 结构常数；由它们可构成一个n n x 一立方阵，称之为4 关于基a 。，a ：，a 。的立方阵， 记为m 】或( ；) 令： 【纠1 = 【刎 f 】= 【锄力一 二 h 二 二 嵋 峨 雌 0 嵋 ：“；“： 七= 1 , 2 聆 i = 1 , 2 ，栉； ，t 1 , 2 ，胛 分别称【纠“， a l i q ，b 为阻】的第| i 面，第i 层，第- ，片 由以上的定义，我们可以将一个门维代数的讨论转化为一个”。一。一立方阵的讨 论 定理2 12 一个； l x ，x n 立方阵凼】_ ( h ；) 为某玎维代数4 关于某基a ，i 。( 1 。为4 的单位元) ，a ：，a 。的立方阵的充要条件为下面两式成立： a r q 。m 【l 】- ，一( 2 i ) 此畦心峨畦屺屺屹“此心以此此 r o w ， f 蔗l n 【蠢鼍! 】) * r o w ， b + 是代数，则有一乃。a ， 而( 乃地一“；，则有 “；叱吣，f 吨 所以有荟汜 即b + 关于 ，2 ，n 的立方阵为口】 因b h o m ( b ，k ) - 与e - h o m ( b * ，丘) 互为对偶，故可设曰+ 为刀维余代数，且b + 关于基 ，2 ，厶的立方阵为阻 ，且有b 为一维代数 故由上面的证明知b 关于q ，n ：，n 。的立方阵亦为m 】 根据前面的讨论，我们对有限维代数及余代数的研究可以转化为对满足条件式 ( 2 1 ) ，式( 2 2 ) 的立方阵的讨论 同时，根据定理2 2 6 也能帮助我们由一些己知的代数( 余代数) 构造相应的余代 数( 代数) 现举例说明： 例1 设g - ( a ) 为，l 阶循环群，则群代数k g 关于基廿 n 2 ，a ，1 。( 1 。为g 的单位元) 的立方阵 a 】为： i 刖1 1 - i a t ”】 10 1 o 0l 1ooo 00 0l 0l00 设 棚t ( h ；) ，则“卜l , i + j = i 其对应的余代数c ( 设a 。，a ：，a 。为其一基) ，则有 小，+ 繇“ 例2 设4 为四元素除环，即a = k i ，明，其中i 2 = ，2 一2 一1 ，j i ， 弦= 啕一i ，蔚一腩- ，所以a 关于基l ，i ，工七的立方阵为： 1 6 i a i t 1 1 一 f 0 010 泔，1 ：。0 。0 二1 【o loo 0l l0 0 o 0o 0 0 0 0 0l l l 1 1 设其对应的余代数c ( 其基为c t l , a ：，a 。) ，则 a 缸1 ) - a l c t l a 2o c t 2 一c t 3 c t 3 一c t 4 a 4 t l ( c t 2 ) m c t l 圆c t 2 + 0 2o c t l + 4 5 3 圆c t 4 一c t 4o c t 3 a ( c t 3 ) 一c t lo c t 3 + c t 3o c t l c t 2o c t 4 + 0 4 c t 2 a 缸4 ) - - c t lo c t 4 + a 4 o c t 3 + a 2o a 3 - - c t 4 c t i 缸i ) - 6 例3 设c 为玎维群似余代数( g r o u p 1 i k ec o a l g e b r a ) ”1 ，则有a ( c t ，) 。a ，o a ， 缸，) - 1 ，f = l ，2 ，聆( 其中c t l c t ：，c t 。为c 的基) 设c 关于此基的立方阵 i t - ( ；) ，则峨= 1 ，i l ，2 ，丹，i ；一o ( f ，j ，七不全相等) ，则c 对应的代数彳( 设 p 。，p ：，p 。为其对应的一基) 为： b ，p ，篁6 f p ， 显然，b ，p ：，0 。是4 的正交幂等元系，且1 。一p ，+ p ：+ + b 。即a 是 厅个同构于足的一维理想的直和 例4 设g 为有单位元的有限半群，则a 。k g 是以g 的元素为基的有限维代 数没l g 卜胛，gt 晶一l ，g ：，g 。) 则由半群的乘法可推出某对应的结构常数 i 工； 有如下性质： 1 ) i ：= “：= t t bf ，k 一1 , 2 ， ； 2 ) 对任一对( f ，) ( ，一1 , 2 ，玎) ，存在唯一的整数1 j ( f ，) 即，使，= l ， p ：= o q 一后( f ，) ) 且 ( j ，) ，) 一k ( i ，t ( j ，) ) ，( f ，1 l 2 。h ) 1 7 其中i ( f ，1 ) 一k ( 1 ，f ) = i 反之，若立方阵【棚= ( ：) 满足性质1 ) 和性质2 ) ，则【棚一定是某含单位元的 有限半群g ； 函= l ，g ：，g 。) 生成的代数，k g 关于基g ，= 1 ，g ：，g 。的立方阵，可 简化为一个胛x 即方阵： k ( i ，j ) a 一( 1 ( f ，埘，( k o ，) - ( 0 10 0 ) ) 这样的a 实际上就是g 的乘法表 由定理2 2 2 知，由所有这样的1 1 阶方阵4 可得到一类刀维的余代数，称此类余 代数为余半群余代数 现设对应以上代数爿一k g 的余半群余代数的对应的某基为a 。，a ：，a 。则有： 慨卜。船z ，一“2 ，n f ) = 6 n ，- 1 , 2 ，” 2 3 有限维双代数及h o p f 代数的结构常数 现在，我们在有限维代数及余代数的结构常数及其构成的立方阵的基础上刻划 双代数 日是域置上i 1 维线性空间，毫，芎：，号。是它的一组基且h 本身既是代数，又是 余代数，它们关于基号。，毫：，鼍。的立方阵分别为m 】， c 】，则我们记日为暇，口】， c 】) 定理2 3 1 ( 日，阻】，【c 】) 是双代数的充分必要条件是存在一可逆肛阶方阵l 以及雄。订n 立方阵幽l 】，【c l 】使 r盯1 ) 【卅叫a 1 】，【c 】一【c 1 】且 】【1 】_ 【删。f l o 】 ( 2 4 ) 荟“；碡。荟荟荟善h v “o “品n ；( 2 5 ) 1 8 示为 如果用符号爿归表示磊6 f 及x ；表示“1 1 煅旧“1 “1 ，则式( 2 5 ) 可表 ( 口1 【日【c 】h ) 一 证明：根据定义l5 1 1 1 知( 日， 以甜，) 是双代数的充分必要条件为下面四条 成立： 1 ) ( 1 ) 一1 1 ； 2 ( 珈) - ( 磊黔) g ( 2 ，噍：，| ( g ) 蚴) ； 3 ) ( 1 ) = l ； 4 ) ( 劝) 一e ( g ) e 伪) ； 现取日的一基p ，a 2 ，o - n 使( 母) 一1 ，) 0 ，k - 2 ，3 ，刀 b ，a ：，a 。是基，所以 i h - ，l b + ，2 n 2 + + ，h a ”，贝u 有 e ( 1 n ) - ，1 e ( d ) + ，2 e 缸2 ) + + ，。缸。) 即1 - ，l 1 女+ o + + o ，则，1 1 t 则有 i n 。6 + 7 z a ：+ + 7 一a n - b + 荟7 t a t ( 2 6 ) 设k 1 + k ：a 2 + + x 。q 。0 ，将式( 2 6 ) 代入，则 h b + 1 2 0 t 24 - - + h ，a 。+ 九2 a 2 + + h a * - 0 即h b + ( h ，2 + x 2 h 2 + + ( h ，。+ x 。h 。0 则 h = 九21 = 九。= 0 所以 1 9 l - 1 h ，q 2 ，a 。亦是月的基 设强】一( 转；) ，【q 】= ( 碡) 分别为 ，矗磊u ) a ( h ，a ，) 关于鏊l 。，a ：， 的立方阵，则a ( 1 ) = i i ，等价于畸 ； a ，) 。q ， 伐- ，即 坞# 麓，酝焖m 。f i e 缸。a j ) 一颤j ) b 缸，) 等价于 g ( d i c t j ) 。薹瞄i 溆t ) 。；l 颤，) 拙， 而e ( c t l ) - l ，g ( n i ) - 0 ( 后一2 , 3 ，玎) 贝0 弘；# ，蝌时l n 心芦，) 一a ( a ，) a ( c t j ) 等价于 ( 善蓍喝圮；) “莓弘沁s ) ；“扣；) 2 芝譬，碥吆 l ；械 ) 。；砖瓯。 帮蜘。磊。踟； 始涸，2 ，弘 设心1 ，a 2 ，+ n 。) 一传1 点2 ，寿。) r ，则由定理2 ，1 5 及定理2 2 ，3 可得 f(r-d 【弼q 名，】，f c 】一【c ，】 类似于双代数，我们也以结构常数及其构成的立方阵来刻划z 恸矿代数 设( 嚣，m ，科，a ，国楚域要上的魏r n o p f 代数，锄，证：，q 。楚嚣熬一缓蒸， 搿】，f q 分剐为( 阢 4 砂及i - i , a ，s ) 关予上基的立方降，。y 是。p 的线性变换且 s 程基n 。，n ：，“。下的矩阵仍记为s ，即 联娃l x 鼬2 ) ，s ( a # 蛰一权l ，程2 ，谯h 筘 则将此嚣g i p ，代数可记为暇，阴】，i t ，曲 定理2 3 2 设望】，【c 】为瓶个聍。拧“押立方阵，则存在起阶方终s ，使( h ，搿】， 【q t 毋为敞彤代数对应予熬一l 。，a ：，伐。，其中e 。) 。6 。的充分必要条件为下筒 1 ) 、2 ) 成立： 1 ) 口】， c 】满足式( 21 ) 、式( 22 ) 、式( 24 ) 、式( 2 5 ) ； 2 ) i e d ( ) 。( 【4 p ) 【c 】【j 】- ( 彰) ( h pd ( ) 的第f 行第，列处的元素记为彰) ； 再令g 为矛阶方阵，它的行、列分别按( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( i n ) ，( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 n ) ， 伽1 ) ，伽2 ) ，( ，呐排序其第( 奶行，分别为d ( ) 的矛个元素，即 ( 碟，州，a l l ，d 墨，碟，) 其中，| | ，i e 1 ，2 ，玎) ；t ，不全为1 g 的第( 1 1 ) 行为：( 1 ，0 ，000 ，00 ， 0 ) 即 g l 令 眠 ) | 4 p ( c 】【i 】) 一 # ) 与上面类似可构造胛2 阶矩阵矿则 i g l to ，i v i - 0 ，且矩阵s 的元素 ( s 1 1 ，s 1 2 ，, s i n , 屯l ，8 2 2 ，o 5 2 n ，j 月l ，s n 2 ，s 棚) 是方程 与溉 的唯一解，由此可知g 1 的第一列等于矿1 的第一列 证明：设【棚一( “；) 【c 】一( 礴) 口 ， c 】满足条件1 ) 等价于( e 口】，【c 】，s ) 是一个双代数，其中口】， c 】分别是( 日， 2 1 卵卵蜡蜡曙醒 蚓蚓程础 一 即船簖赡簖船 蚓磙簖一碟 站站础讫簖站 硝娥蚓一珐一础一 m ，甜) 及旧，) 关于基a 1 ，a 2 ，a 。( 满足条件a 1 - 1 h ，e 啦 ) 6 l ) 的立方阵 h的线性变换s是日的 a n t i p o d e 的充要条件为 磊噍- ) s ( 1 ：) ) ；( ) 1 一。磊s ( 噍- ) ) 致：) ，v 日“1 此等价于对每一个a ，有 a 叩) s 缸啦) ) 。缸j ) 1 日s 位f ( 1 ) j ( 2 ) 。( 27 ) 式( 2 7 ) 的第一等式就是 s ( a ( a ，) ) 2 砖& ：n t = ，) 0 【。，也即 坞西：- 蜞i , k 它1 ，也就是 釜芝心。 t 不全为。，吐：，一。 即( s s 1 2 ，五。，s 2 i ，s ：2 ，j 2 。，s m j 。，s 。) 是以g 为系数矩阵的线性方程组 g x - 的解，因为s 是唯一的，所以方程组仅有唯一解，即| g l t 0 由式( 2 7 ) 的第二个等式同理可证纠- 0 ，且 ( s 1 1 j 1 2 ，置。，s 2 l ，$ 2 2 ，j 2 。，s m ，s ，s 。) 是下面方程组 的唯一解 推论2 3 3 设口1 】， c 1 】为两个n x n x 胛立方阵，则( 风口l 】，f c l ) 可构成h o p f 代数的充要条件是存在可逆疗阶方阵7 及满足定理2 3 2 中条件1 ) ，2 ) 的立方阵口 ， c ，使得 r 一 叮1 ) 【4 】一叫】，且【c 1 】一 e 1 如果对于两对n x n x n 立方阵( 口】，嵋 ) 与( 口l 】，田1 ) ，存在可逆”阶方阵l 使 r( r 1 ) 得 刎 4 ， ，且旧】一 b 。】，则有立方阵对( 口 ，徊】) 与( 口l 】，陴1 ) 等价 这样，域足上胛维h o p f 代数的同构类与满足上推论2 3 3 条件的立方阵对的等 价类一一对应 2 4 有限维李代数及某些广义李代数的结构常数 本节中我们讨论有限维的李代数、李超代数及李代数的结构常数 1 李代数的结构常数 定义2 4 1 设三为 维域k 上李代数，q ：，a 。为的一组基， 陋”n ，卜荟i ；a t ，则我们称 “；) ( f j - l ，2 ，为三关于基0 , 1 , 0 l 2 , , c , n 的结构常数； 它们构成的立方阵嘲- ( p ；) 为l 在基，a ：，a 。下的立方阵 定理2 4 2 胛阶立方阵幽是某胛维李代数三在某基下的立方阵的充要条件为幽 满足以下两个条件： 1 ) 陋】的每一面皆为n 阶反对称矩阵，即 三】冲1 一( 【三 纠) 。，k = 1 , 2 ，抑； 2 ) ，1 口w ( 【儿，】【儿f d + ，口w ，( 【上】【七儿儿，d + ，口w j ( 【上】f 儿三】l 七】) 1 0 ，i ，k 1 ，2 ，一，n ； 证明：定义1 7 中的( ：) 即等价于 【q t ，a ，】。荟；a t 。一l a ，a z 】 。荟p k u t ，。- ，- l 2 ，一 因为，n z ，a 。线性无关，所以上式等价于“；一“；，i ， k i 。2 ，一 即 l i 1 为反对称矩阵，k = - i ，2 ，聍 又( ：) 等价于 陋，b j ，a k 】+ 陋j ，陋i ，a ，】+ 陋t ，陋，a j 】- 0 羹砉“名n ；a ，+ 砉蓦“：n ；取r + 毫羹“；“二n r 。，t ，t t ，z ，一，一 同样由a i , c t ：，n 。线性无关知上式等价于 善盖“+ 善o ；+ 善l 嵋_ o ，f j t ，吐2 ，n 耳口r o w t ( 【三】【j 】【】【f 】) + ，o w ，( 【工】【七h l 】【，】) + ，o w j ( l i o l i i k ) o ，f ，k - 1 ，2 ，一，” 2 李超代数的结构常数 类似地，我们可以定义，关于某基的结构常数及l 。在某基下的立方阵的概念 ( 略) 定理2 4 3 栉阶立方阵口】是某n 维李超代数的立方阵的充要条件是叫】与某一满 足下条件的立方阵匝1 等价： 1 ) 存在m ，使m + ，- 力 当k j m ，【州1 为形如 rq ) 的矩阵，其中b m 为反对称矩阵，o 为对称矩阵； 当k ，m ，为形如 ( d 。) 的矩阵，其中d 为肼行，列矩阵 2 ) r o w ( l t q t l l t ，1 + r o w ，( 【l 】【j + r o w ，( l i t j l l l t t o 一0 ( 当f 歹，k 中至少有两个 小于等于肼，或f ，k 全大于m 时) 或m ( l 1 0 3 i l i f + r o w f ( 吲蛐月一r o w ，( l i t ，舭) o ( 当 is m ，而p m ，k m 时) 证明：分别在k ，断中各取一组基n ，n ：，a 。，p 。，p 。，p 。合组成l 的基： a 】，n 2 ，l i td m “，6 h 那么定义18 中的( 。3 ) 等价于 陋t ，o 【，】。荟：0 l t ，陋z ，b ，】5 。酣；p t i 3 j , c t , 2 。蚤。p 小善；a t 也即；- o ，当f ，s m ，k ，m ；或u 中有且仅有一个s m ，而t s m ；或“均大于 脚，而k ，m 时，也就相当于当k s m 时，一为形如 ( 玑c ，】 的矩阵，而当k ，m 时，【p 1 为形如 ( h ，。g m “) c m + ，- n ， 的矩阵 与定理2 4 2 证明类似可知 ( l 。1 ) 成立当且仅当 结合上面的讨论可知 ；- ；，当u 都大于m 时 ；- 一h ；，其它情况 在2 ) 中第一种情形，即“七中至少有两个小于等于埘或“七全大于脚时，( ，2 ) 中左边二、三项系数均为( 一1 ) 。一l ，所以与定理2 4 3 的证明一样可证得( 。2 ) 相当于： o w i ( 【三】【门【三1 【f 】) + ，d w ，( 陋j 【蜘【三】f j 】) + ，口w j ( 【1 【】f 】伸】) - 0 m m 七 哪 擞 “ 矩 ，c 冽 吐 忻 叫 m ； 为 吃 d 中 中 其 其 q d m p 而在第二种情形，x 寸- - 个基向量a ，1 5 ，b t ， ( d e g a ，) ( d e gp ) + ( d e g a ，) ( d e g d ) 一o + 1 1 ，从而，( d e g a 。) ( d e g p ，) + ( d e g a ，) ( d e g b ) 一i ， 从而在这种情形下知条件( ，2 ) 等价于 r o w k ( l i j l l t 1 ) + r o w i ( l l t k j i l l t j d r o w j ( l l o j l l h k ) 一0 与证明定理2 1 5 完全类似可知一李超代数在不同基下的立方阵是等价的，所以 定理2 4 3 结论成立 3 e 李代数的结构常数 定理2 4 4 对r 的交换因子e ，一万阶立方阵叫】为某( r 一分次) e 李代数 e 。鲁幻。堙。9 2 。堙m ( l g ，一 o ，f - k 2 ，) 的立方阵的充要条件为口 等价于满 足下列条件的立方阵嘲： 1 ) 每m 为一分块矩阵 f r 】【】- 带1 背1 站1 其中c 1 一o ，如果呀一t 且当c 乒1 0 时，c 乒1 - 一e f ( c 1 ) 2 ) “，a w k ( l i j , i l i i 。1 ) + 8 # r o w k ( l i d ，】阻】u 】) + 8 l r o w ( 【q 瞳 陋】啤。1 ) 一0 v i ，f f ，k 。 l 2 ，h ) “ 证明：分别在坛，中取一组基a h ，d 妒，a f - l 2 ，m ，合组成三的一组基 a i l , 0 12 ，一，a l ，旺2 l ，q 2 2 ，a 2 ，a m i ，a m 2 ，。一，a “+ ，2 + ，二l i 1 ) 则三是r 一分次代数，r j l g ，堙，幻。+ g j 等价于 当a f 一时，皆1 0 与定理2 4 2 ，定理2 4 3 类似可证定义1 1 0 例中的化1 ) 等价于条件 c 妒1 - - c f ( 学) ( 皆1 一o ) 而( l t2 ) 等价于式( 2 8 ) 掣掣掣 第三章群代数上的模的诱导和扩充的几个定理 本章的概念、符号、术语基本上同文献【3 7 】0 为任意域f 或p - 进环r ( 设r 的 极大理想为 ，记r 钢s 表示r 的商域，( f ，足印称为一个p 一模体系g 为有限群，0 【g 】表示结合群代数，h 为g 的正规子群对v k g ，k r u l l s c h m i d t 定 理对m 。皤) 成立，其 m e 晖) 表示0 一自由的0 k i 一模类不可分0 h i 一模的惯性 群甄忉= g e g i n o g n ) m 和均为彳一模，h o m 。，n ) 表示为( m ，) 。模n 称绝对不可分，若e j ( e ) - f ，其中e - ( ，) 8 如果彬是一个尺嘲模，则有 w 6 - 缈鼎、r 饵1 r i g i r 咿】称r g 】模。是由矿诱导的模 3 1 关于0 口】一模的诱导模的不可分直和项的个数 我们先回顾本文中将涉及的一些基本概念和定理 定义3 1 1 1 3 7 1 设a 是一个环，m 是一个彳一模若存在m 的非平凡子模 4 和 ，使得 m = m 1 0 m 2 则称模肘是不可分的 定义3 1 2 【3 7 l 若日g ，且是一个题明一模，一个埘g 】一模为 r 旧】r g 】 其中，研g 】是一个左研明一模则称此趔g 】一模 即1 研g 】为诱导模忙 定义3 13 p 刀设一是一个环，a 。- o 只，其中只是不可分的这些直和项只 称为a 的首要不可分模( p i m ) 引理3 1 4 0 t ( k r u l l s c h m i d t ) 模m 的不可分直和项在同构意义下是唯一确定 的换言之，若 mso m js0 m ： 妇l 甘 。 其中m 和m ；是不可分a 一模，那么存在一个双射m ：i j ，使得 m ，s m 删) ( v f ) 引理3 1 5 n 为不可分0 日】一模，r 为的惯性群，则忙的不可分直和项的 个数等于t 7 的不可分直和项的个数 证明：设m 为j v 7 的任一不可分直和项，只须证n l t 。不可分即可 设l f 。一m lo m ：，则li ，。l r = m 咐 m ：i ，不妨设li m l i r ，而l l hs n ( 露z + ) ，故“i m l l h - 设t g = 邑) ，贝j j n g ；不同构于 g ，( f j ) 从而， n o 蜀同构于( o g ，) ( “，不同构于c o g ，o _ ，) 这样 。藐酽悃g ) 一g j c 。( 彬” g t ) 由 i m l 垆辛” g fi ( m 1 9 ，) 抒。m l 辛盛e 。s v g ”。g fi g i 扭 易验证l