（地球探测与信息技术专业论文）基于广义逆算法的层状弹性介质中瑞雷面波反演.pdf

中南人学硕1 j 学位论文 摘要 摘要 层状介质中的瑞雷面波不同于纵波和横波，它具有明显的频散特 性，正是这一特性使得它能够在勘探及检测领域得到广泛的应用和研 究。利用瑞雷波信息反演层状介质的性质和状态，是地震勘探、岩土 工程领域关注的研究课题。反演问题是地球物理学的核心问题，它主 要指根据观测到的数据，借助于正问题的数学模型，来求解地下介 质的几何分布或物性参数分布。本文通过介绍和比较现有的线性及非 线性反演方法，提出将广义逆算法反演应用于面波反演中的思想，通 过计算和分析证实了该方法是可行且有效的。 本文首先分别对各向同性介质、均匀半空间介质和层状介质进行 了讨论，分析了瑞雷面波的频散特性。然后针对几种目前反演面波频 散曲线常用的反演方法：最小二乘法、遗传算法、模拟退火法等，比 较了这些方法的优缺点及反演的效果。引入一种线性反演方法广 义逆算法，采用标量传递算法对瑞雷波频散函数进行数值计算模拟得 到频散曲线，作为反演的基础，再进行编程实现瑞雷波反演模拟，并 与最小二乘法反演比较该方法具有收敛速度快且稳定的优点。最后采 用f p 变换法对面波提纯和常规f o u r i e r 变换来提取频散曲线，利用本 文方法对衡邵高速公路的瞬态面波勘探的数据反演了路基地下速度 结构，完整地实现了在实际勘探中面波反演的流程。 总的来说，瑞雷波的反演研究是面波勘探领域中很重要的研究课 题，反演解释方法的选择影响到地下介质性质及参数的准确性，也就 直接关系剑面波勘探的精度。由于地下介质的复杂性，可进一步发展 复杂地层介质的反演方法的研究。 关键词：瑞雷面波，频散曲线，层状介质，反演，广义逆算法 中南大学硕一l j 学位论文 a b s t r a c t a bs t r a c t b ed if f e r e n tf r o mt h epw a v ea n dsw a v ei nt h el a y e r e dm e d i u m ，t h e r a y l e i g h s u r f a c e w a v e ( rw a v e ) h a s t h ec h a r a c t e r i s t i co f f r e q u e n c y - d i s p e r s i o n ，a n di sp r e c i s e l yt h i sc h a r a c t e r i s t i ce n a b l e si tt ob e a b l et ot h e a p p l i c a t i o n o fe n g i n e e r i n g g e o l o g i c a le x p l o r a t i o n a n d e n g i n e e r i n gq u a l i t yt e s t i n g i t i sa t o p i ci nt h e f i e l d so ft h es e i s m i c e x p l o r a t i o na n dg e o - t e c h n i c a le n g i n e e rt oi n v e r s et h ep r o p e r t i e s o ft h e s t r a t i f i e di nh a l fs p a c eb yu s i n gt h er a y l e i g hw a v e s i n v e r s i o np r o b l e mi s t h eh a r dc o r ei nt h eg e o p h y s i c s ，w h i c hi sr e c u r r i n gt of o r w a r dm o d e l i n g a n du s i n gt h eo b s e r v a t i o n a ld a t at oi n v e r t i n gt h es t r a t as t r u c t u r ea n dt h e v e l o c i t yp a r a m e t e r t h r o u g ht h ei n t r o d u c t i o na n dq u i t ee x i s t i n gl i n e a ra n d t h em i s a l i g n m e n ti n v e r s i o nm e t h o d ，t h i sa r t i c l e p r o p o s e s t h a tt h e g e n e r a l i z e dc o u n t e ra l g o r i t h mi n v e r s i o nw i l la p p l yi nt h es u r f a c ew a v e i n v e r s i o nt h et h o u g h t t h i sa r t i c l ef i r s ts e p a r a t e l yd i s c u s s e st h ei s o t r o p i cm e d i u m ，t h ee v e n h a l fs p a c em e d i u ma n dt h es t r a t i f i e dm e d i u m ，a n da n a l y z e st h er a y l e i g h s u r f a c ew a v e sf r e q u e n c yd i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i c t h e ni nv i e wo f s e v e r a l p r e s e n t i n v e r s i o ns u r f a c ew a v ef r e q u e n c yd i s p e r s i o nc u r v e c o m m o n l yu s e di n v e r s i o nm e t h o d ：l e a s ts q u a r e sm e t h o d ( l s m ) ，g e n e t i c a l g o r i t h m ( g a ) ，s i m u l a t i o na n n e a l i n g ( s a ) a n ds oo n ，c o m p a r e dw i t h t h e s em e t h o dg o o da n db a dp o i n t sa n di n v e r s i o ne f f e c t t h i sp a p e r i n t r o d u c e so n ek i n do f1 i n e a ri n v e r s i o nm e t h o d g e n e r a l i z e dc o u n t e r a l g o r i t h m ，u s e d t h es c a l a rt r a n s m i s s i o n a l g o r i t h mt oc a r r y o nt h e n u m e r i c a lc a l c u l u ss i m u l a t i o nt oo b t a i nt h ef r e q u e n c yd i s p e r s i o nc u r v e ， a n dc a r r i e do nt h ep r o g r a m m i n gt oc o m et r u et h er a y l e i g hs u r f a c ew a v e i n v e r s i o ns i m u l a t i o n c o m p a r e sw i t ht h el e a s ts q u a r e sm e t h o di n v e r s i o n ， t h i sm e t h o dh a st h ec o n v e r g e n c er a t eq u i c ka n dt h es t a b l em e r i t t h e p a p e ru s e st h ef p t r a n s f o r m a t i o nt op u r i f ys u r f a c ew a v ed e p u r a t i o n a n dt h ec o n v e n t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m a t i o nt op i c ku pt h ef r e q u e n c y d i s p e r s i o nc u r v e ，d o e s i n v e r s i o na b o u tr o a d b e du n d e r g r o u n ds p e e d s t r u c t u r eb yt h eh e n g 。s h a oh i g h w a y st r a n s i e n ts u r f a c ew a v e e x p l o r a t i o n d a t a ，a n da c t u a l i z e st h es u r f a c ew a v ei n v e r s i o nf l o wc o m p l e t e l vi n t h e a c t u a le x p l o r a t i o n g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h er a y l e i g hs u r f a c ew a v e si n v e r s i o nr e s e a r c h i si nt h es u r f a c ew a v ee x p l o r a t i o nd o m a i nt h ev e r yi m p o r t a n tr e s e a r c h s u b j e c t t h ei n v e r s i o ne x p l a i n e dt h a tt h em e t h o dc h o i c e a f f e c t st h e a c c u r a c yo ft h eu n d e r g r o u n dm e d i u mn a t u r ea n dt h ep a r a m e t e la n da l s o d l r e c t l yh a sar e l a t i o n s h i pw i t hp r e c i s i o no fs u r f a c ew a v e e x p l o r a t i o n a s ar e s u i to ft h eu n d e r g r o u n dm e d i u m s c o m p l e x i t y , w ec a nd e v e l o pt h e c o m p l e xs t r a t u mm e d i u mi n v e r s i o nm e t h o dr e s e a r c b 如r t h e r k e yw o r d s ：f r e q u e n c yd i s p e r s i o n ，t h ec u r v e o fr a y l e i g hs u r f a c e w a v e ，t h el a y e r e dm e d i u m ，i n v e r s i o nm o d e l i n g ，g e n e r a l i z e dc o u n t e r a l g o r i t h m 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名： 缎 日期： 灶年月乒日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：举师签名 ：丝鲨年l 月胡 中南火学硕。l ：学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1瑞雷面波的发展概况 波是自然界普遍存在的一种现象。当弹性介质的某一局部( 震源) 受到扰 动时介质会产生振动，这种振动将按一定的速度在介质中向四周扩散而形成弹 性波。弹性波在到达物性分界面上时会产生反射、折射现象，并在一定条件下 产生沿界面传播的面波( s u r f a c ew a v e ) 。按质点振动方式与传播方向的关系， 有两种基本类型的面波：一种是瑞雷波( r a y l e i g hw a v e ) ，其质点振动轨迹位 于波的传播方向与铅垂线所决定的平面内，由r e y l a i g h 最早从理论上给予确 定；另一种是勒夫波( l o v ew a v e ) ，其质点振动轨迹位于水平面内，与波的传 播方向相垂直，由l o v e 从数学上给予了证明。本文只讨论瑞雷波。由于在天然 地震中瑞雷波能量最强，所以在早期人们只把瑞雷波当作是种强的干扰波来 处理，一直到5 0 年代初，人们发现瑞雷波在层状介质中具有明显的频散特性， 并根据这一特性利用天然地震记录的瑞雷波信号来研究地球内部结构。6 0 年 代，h o y k a l l e n 等提出面波勘探的半波长解释方法，利用激振器产生正弦波信 号实测道路断面的速度分布，将稳态瑞雷面波首先应用于低级勘察。8 0 年代初， 日本v i c 株式会社经过多年的研究后推出了g r 一8 1 0 佐藤式全自动地下勘探系 统，并应用与工程勘察中乜1 。1 9 8 9 年，杨成林。钉也自行研究了稳态瑞雷面波勘 探系统，并将其应用在第四系地层分层和地基处理效果评价。1 9 8 2 年s t o k e 等 n 1 采用锤击震源，通过两个检波器之间的互相位谱信息求取面波的相速度，成 为最初的瞬态面波勘探试验，直到1 9 8 6 年n a z a r i a n 等饵1 用表面波谱分析方法 ( s a s w ) 对高速公路路面及路基进行了探测，为瞬念面波法在工程中的广泛应 用奠定了基础。 9 0 年代后，随着人们对瑞雷波的理论研究以及应用研究的深入，瑞雷波作 为一种勘探波已经丌始在地球物理勘探、人工地震勘探、超声无损检测等领域 里得到了大量的研究和应用。瑞雷面波法涉及的问题也大致归结为三个方面： 瑞雷面波的数据采集和处理、瑞类面波的正演理论、瑞雷面波的数据解释及反 演。 中南人学硕十学位论文第一章绪论 1 2 瑞雷面波的反演理论研究进展 在瑞雷波勘探工作中，j 下演的主要目的是从理论上认识瑞雷波频散特征与介 质特性的关系，奠定瑞雷波勘探的理论基础。不同介质中的瑞雷波具有不同的频 散特性。瑞雷波正演的主要内容是根据弹性波动理论建立起描述已知介质模型中 瑞雷波速度与波动频率以及其他弹性参数之间关系的瑞雷方程，由此了解特定介 质模型中的瑞雷波频散特征。 瑞雷面波信号的反演，目前主要是针对层状介质利用瑞雷波的频散曲线进行 介质内部结构的反演。而对于瑞雷面波频散曲线的反演，前人做过大量的研究工 作，如半波长解释法、拐点法、渐近线法、极值点法和近似计算法。拐点法是求 频散曲线的拐点，认为该拐点标志着两层介质的分界面；渐近线法则用f 趋向于 零或无穷大时对应的面波速度表示第二层及第一层的波速，但只适合二层介质。 近似计算法主要针对n 点以及n 1 点深度以上的平均瑞雷面波速度，利用速度随 深度增大而增大或减小两种情况求取h n 到h 。i 深度间隔内面波速度的公式，并 计算出对应深度的面波速度。这些简单反演法可靠性差、主观性强，只能粗造地 确定初始模型，用于复杂介质还很不可靠。 真正意义上的瑞雷波反演，是利用瑞雷波频散曲线的证演计算公式来反演地 层参数。d o r m a n 等人提出了最小二乘反演、法【6 】【7 】，它是利用频散曲线的拐点分 层初步确定初始模型和层数，同时反演横波速度和地层速度，但该方法严重地依 赖于初始模型，人为误差大，若初始模型选择不当将使反演结果很差或得出错误 的结果，甚至将使反演过程失败，即得不到反演结果。x i a 等人【8 】提出了利用面 波反演近地表横波速度的有效途径，拓宽了面波的应用领域。m e i e r 等人【9 】提出 了人工神经网络反演法( a n n ) ，该方法的缺点是计算时问长、收敛速度慢、反 演精度低。y a m n a k a a 等人【lo 】提出了遗传反演算法( g a ) ，但该反演法也存在占 用内存多、译码运算量大、计算时间长、有效基因丢失和早熟收敛等问题，尤其 当反演层数较多时，上述缺陷更为突出：崔建文研究了全局优化算法l l ，并对三 层模型进行了反演，取得了较好效果，但计算时间很长：宋先海等人提出了等厚 薄层权重自适应迭代阻尼最d , - - 乘法，该算法给定的初始模型表面看起来很宽 松，当迭代一次以后就加了许多约束条件，如函数关系约束、区问约束和固定约 束，这些约束要求必须对先验知识有一个比较准确的了解，才可以得到好的反演 结果。 2 中南火学硕士学位论文第一章绪论 瑞雷面波反演还有一个值得注意的问题是对于均匀半空问层状介质，特别是 出现软弱夹层或地层裂隙时，可能会出现各种导波模式。在实际工程中出现的频 散曲线，利用粗糙的观察法往往得到错误的分析结果。为此张碧星、肖柏勋、杨 文杰【1 2 】从完全固体层状模型出发，对瑞雷波的f 反演作了深入研究。i i h a r a 等 人【1 3 】【1 4 】也基于瑞雷波的两种模式或多种模式对瑞雷波的频散进行了反演，取得 了一定的效果。 另外，文献 1 5 n 用瑞雷波对地下不均匀结构进行了层析成像研究，但仅限 于数值仿真。1 9 8 9 年j a g n o u x 等在研究了漏能瑞雷波特性以及表面裂缝及近表 面缺陷的相互作用结果的基础上，提出了对裂缝合缺陷进行面波成像的方法，并 对几个实际模型进行了应用，取得了较好的效果。目前对此方法的研究还不多， 还需要进一步研究和改进。朱良保【16 1 、z w a n g 1 7 1 等针对地球内部结构的横向不 均匀性，利用瑞雷波走时，采用球谐函数拟合等方法对瑞雷波的区域群速度分布 进行了反演，这种方法是否可行值得研究。a h e r i n g 等人【1 8 】【1 9 1 提出了联合反演 的思想，将各种波的勘探优点进行互补，提高瑞雷波反演的准确性和精度。这种 方法对复杂介质的反演有很大的优势。 总之，瑞雷波勘探的反演还存在大量的研究工作待做，且其反演必须以一演 为基础，以实际应用为目标，只有把瑞雷波在各种复杂介质中的f 演规律弄清楚 了，反演工作才会有更大的进展。 1 3 本文的研究思路和主要工作 利用瑞雷波信息反演层状介质的性质和状态，是地震勘探、岩土工程领域 关注的研究课题。本文通过介绍和比较现有的线性及非线性反演方法，提出将 广义逆算法反演应用于面波反演中的思想。为了证实其可行性，本文采用传递 矩阵法得到频散函数，并建立模型利用二分法搜根得到频散曲线，以此为基础 来进行面波频散曲线的反演得到地下介质的速度结构及各性质参数，并将结果 与最d - - 乘法比较，在理论上使得这个构思成立；最后将此种反演方法应用到 实际面波勘探中，分析对比了结果，证实在瑞雷面波勘探中利用广义逆反演是 可行且有效的。 本文各个章节内容如下： 第一章简述了瑞雷面波勘探的发展概况和反演模拟的现状； 中南人学硕上学位论文第一章绪论 第二章主要阐述了瑞雷面波在均匀半空间介质以及层状介质中传播的理论 基础； 第三章介绍了现有的几种瑞雷波反演的方法，对瑞雷波的频散曲线进行数 值计算，证明了应用广义逆算法反演瑞雷面波的可行性，并与最小二乘法反演 效果进行了比较。 第四章结合实例分析，利用f p 变换对面波提纯，常规f o u r i e r 变换提取 频散曲线，对衡邵高速公路的瞬态面波勘探的数据反演了路基地f 速度结构。 最后总结了在实际勘探中瑞雷面波反演地下介质参数的思路和流程。 第五章是全文的总结及展望。 4 中南人学硕：1 学位论文第二章瑞雷面波的媾本理论 第二章瑞雷面波的基本理论 2 1 各向同性介质中的波动方程 讨论均匀各向同性介质的弹性固体介质，均匀也就是指物质处处是均匀的， 最小样品的平均性质与其他样品相同，各向同性是指物质的性质与方向无关， 弹性指的是物质虽然在外力作用下发生形变或移动，但是当撤去外力时，物质 中各点将返回原来的位置。 我们先讨论应变方程啪1 。取直角坐标系o x y z ，质点相对于其静止位置的位 移矢量为“= “，e ，+ 甜，e y + “：e ：= u i q ( 相同角标表示求和) 。由于应变是用于描 述物质相状变化的物理量，是一个二阶对称张量，对它微分计算，则在柱坐标 系中，应变分量为 = 等，s 鲫= 三c 等饥，= 警 = 圭( 蔫+ 警) ，= 主c 警+ 盟a r ，, 8 0 r - - - - 互1 、丽o u r + 警一等，。2 然后讨论应力方程。应力为二阶张量，可写为f = f 打q e ，共有九个分量。 由于乇= r ，j ，故应力为二阶对称张量，因而只有六个独立分量。所以先假设物 质中的一个小立方体啦) ，& ，六个面分别平行于z ，y ，z 轴。作用于该小立方体 各面上应力分量的第一个角标表示力的方向，第二个角标表示力所作用的平面， 每个分量均表示作用于单位面积上的力。 这样，作用于小立方体a x a y a z 上沿x 方向的力，其值表示为 c = c 等+ 鲁+ 鲁，蛐位 2 ， 同理，可以写出在蛐垃上沿y ，z 方向的力，结合这些式子可以得到作用 于单位体积的合力： ! 一：墨垦墨堡墨竺：v 呵- g ( 2 i 3 ) 一= 一= v 厶1 ， 中南人学硕：卜学位论文第二章瑞雷面波的基本理论 再利用胡克定律，并引入两个比例常数：五，称为拉梅系数。应力应变关系 即为： f 。= ( 兄+ 2 a ) c 。+ z 占+ 旯s 。， f = 兄占曩+ ( 兄+ 2 ) f + 力占。， f 。= z g 盯+ 五s + ( 五+ 2 p ) e 。， f 妙= 2 占掣，f 声= 2 , u s 弦， f 。= 2 p e 荔 ( 2 4 ) 上述胡克定律可以缩记为勺= 儿毛+ 2 a r l 扩，其中p = 抛，a _ ， 最后就可以写出运动方程。假设质点是在没有体力作用下作自由振动，由 牛顿定理有 阢唧窘 ( 2 _ 5 ) 经过计算，得到矢量方程为： ( 2 + 2 a 川v 一印概“= p 軎 此式即为各向同性弹性固体介质中弹性波传播的波动方程， 性波动方程。 2 2 均匀半空间的瑞雷波 2 2 1 均匀半空间中瑞雷波的形成 ( 2 - 6 ) 常称为矢量弹 取自由界面为y z 平面，x 轴指向弹性介质内部，x 0 为真空区域，在x = 0 平面上，波场满足自由边界条件，即应力为零。 由于x 轴为体系对称轴，而且，在这里我们只考虑s v 波，对于平行于自由 表面运动的剪切波( s h 波) 将不作考虑，故引入位移势： “= v 缈+ v v ( 垆：) 将此表达式代入( 2 6 ) 式中，可以得到： 俨缈= 砉窘= 古害 7 ， 6 中南人学硕， ：学位论文第二章瑞雷面波的皋奉理论 靴= 乎侈居删表示介质中纵波和横波撇航 再进一步考虑平面波的传播。假设波在x z 平面内传播，并设场量与y 无关 及“y = o ，并且引入自由界面传播的视速度c = 詈，k 为波沿自由界面传播的波 数，由上述方程可得到： 缈= ( 彳1 e 一栅+ a 2 口+ 。m ) p 7 “27 一 f ，= ( b i e 一触+ b 2 e + 妇) p 甜2 7 。一 ( 2 - 8 ) 两式分别表示入射波和反射波对应的势函数。 然后分三种情况讨论： 口 c ， c 口，c 口 ( 口，c 分别表示 纵波，横波和面波的传播速度) ，得到一个结果： 矿c 2 ) 2 - 4 污 = 0 ( 2 - 9 ) 令p = 箬舻等一可8 0 p 2 解此施当了q 2 + g 。时， c r = p ( 2 1 0 ) 以上即为瑞雷波的传播速度，从公式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 中可以看出瑞雷波的传 播速度与频率无关，即瑞雷波在均匀介质中无频散现象。 2 2 2 均匀半空间中瑞雷波的传播特征 再结合分析过程中的公式可以得出这样一个等式乜： 姿+ 乓：1 ( 2 - 1 1 ) c 2 。d 2 此式说明瑞雷波的质点运动轨迹为一椭圆。( 可参照图2 2 瑞雷波质点运动轨迹 示意图) 进一步分析瑞雷波速，我们取一个特殊值：口2 p 2 = 3 ，那么由( 2 9 ) 式 解得瑞雷波的传播速度为： 7 中南人学硕：i j 学位论文 第二章瑞雷面波的皋奉理论 2 2 一砉= 0 0 9 1 9 4 t 5 邓( 2 - 1 2 ) 结合其他资料啪3 的分析，- 1 - 以得出这样一个结论：与纵波、横波速度相比， 瑞雷面波的传播速度最小，但是其能量衰减最慢。 利用“，”：的振幅公式可知，当工= 0 时，“，= 0 6 2 0 4 ac a ，u z ：0 4 2 2 7 ao ， cc 这表明竖直位移u ，大约是水平位移“：的一倍半左右。当x ：o 1 9 2 2 时，即在离 开自由界面0 1 9 2 个波长的深度处，有“：= 0 ，且在此深度下，“：变为负值， 然后随深度增加逐渐趋于零，而“，随深度x 的增加始终不变符号趋于零。因此 质点的运动在x 0 1 9 2 2 , 时是顺时针椭圆轨 迹，而在x = 0 1 9 2 2 处则是直线运动( 见图2 1 ) 。图( 2 2 ) 则为瑞雷波中质点 的运动轨迹示意图。 u - o 月矿 0 6 。卜饥 04 0 己一 u ! 量拍一 1 52 0 图2 - 1均匀半空间中瑞雷波位移分量与深度x 的关系 小 八人人 f 波的传播方向 图2 - 2 瑞雷渡中质点的运动轨迹示意图 中南大学硕上学位论文第二二章瑞雷面波的堆本理论 2 3 层状介质中瑞雷波波动方程 在层状介质条件下，可以寻求个面波传播的解析解。如大地为多层弹性 介质，和均匀半空间条件一样，瑞雷波仍然在z o x 平面内传播，在这样的条件 下，自由表面上仍有2 个边界条件，垂直应力和水平应力为零；两种介质的分 界面处的边界条件为：垂直位移和水平位移连续，因此有4 个边界条件。对于 r l 层介质，计算面波的传播问题的解共有4 n - 2 个边界条件，即有4 n 一2 个齐次 联立方程。为了了解层状介质对面波速度的影响，取一种简单的二层大地情况， 对位函数的取法见式( 2 - 8 ) ，假如介质的自由表面之上有一个非弹性覆盖层， 设该层的厚度可以忽略，坐标的取法如图2 - 3 所示。 z 图2 - 3 介质表面上的非弹， 生覆盖层 而是等于p 亏争，切向应力仍然等于零。这时的边界条件为 仃z t 9 ，+ 2 可c 刁2 d z 、2p 可c a 2 d z( 2 1 3 ) 驴4 警+ 警 - o 或者写成 卜档+ - 跏- 驴- 、j 却斟p 鲁( 警劫q 2 州， 害+ 2 塞一害l = 。 9 中南人学硕：t ：学位论文第二二章 瑞雷面波的基本理论 其中，k 足= 旦，k p ：竺，k = 旦。 cr c p c s 令这一方程组的系数行列式等于零，就得到 ( 2 七；一七；) k ( 2 后；一尼；) 一胛2 撅可j _ 2 k 只厢( 2 比撅i 一刖z 七霄) ：o ( 2 1 6 ) 由上式可以看出，此时面波速度的解与频率有关，即存在面波速度的频散。 所谓的频散就是指谐波传播的速度随着频率的变化而变化。 实际上地震波是由许多不同频率、不同振幅的谐波叠加而成，各谐波按各 自的相速度传播。地震波的频谱一般是连续的，一些频率的谐波波峰遇到一起 会相互叠加使振幅增大，反之会相互抵消使振幅减小，这种叠加而成的大振幅 传播的速度称为群速度，用u 表示。因此波的群速度即是波的能量传播的速度。 在物理学中，相速度和群速度的关系为 扯v 一以薏 ( 2 _ 1 7 ) 相速度和群速度的关系如图2 - 4 所示 l o 膨 心卸 旧可坼厢? 咖 d f | 熬 中南人学硕二l ：学位论文第二章瑞雷面波的皋奉理论 图2 - 4 相速度和群速度的关系 由厶= 哆孑可知，不同的面波波长对应不同的频率，通过测量不同频率下 介质的面波速度即可了解不同深度介质的面波速度。 中南人学硕一i ：学位论文 第三章瑞雷面波频散曲线的广义逆算法反演 第三章基于广义逆算法的瑞雷面波频散曲线反演 利用瑞雷波信号对层状介质参数进行反演，其实质就是利用瑞雷波的频散 曲线反演。无论何种面波勘探方法，在对参数进行反演前，必须先根据实验数 据得到的瑞雷波频散曲线进行分析。对层状介质中的瑞雷面波进行模式分析得 到频散曲线之后，最后的目的是为了反演层状介质性质，即介质中各波的传播 速度和厚度等参数。而反演是建立在f 演基础上的一种方法，相当于对提出的 频散曲线，基于其f 演算法，通过某种方式调节模型参数达到对实际提取的频 散曲线的最好拟合，这就是频散曲线的反演问题。在层状介质中，面波存在频 散，频散值与每一层的纵、横波波速、厚度和密度以及层数有关。对某一频率 的面波来说，其频散主要受到一定深度内各层介质的影响，一般认为这个深度 不超过一个波长。利用面波信息求取速度一深度( v r - h ) 曲线( v r 为相速度) ， 进而求得岩土介质的层速度、层厚度及其它岩土力学参数，是反演的核心问题。 本章主要是从理论上证明利用广义逆算法反演瑞雷面波的可行性及效果。 3 1频散曲线的数值计算 为了对频散曲线进行广义逆算法反演试算，证明该方法的可行性，本文在 此采用一种数值计算方法标量传递算法来模拟瑞雷波的频散函数曲线，为 其反演作为基础。 3 1 1 标量传递算法求频散函数 假设一个具有水平自由界面的多层弹性固体介质模型，我们在三维情况下 讨论沿自由界面作径向传播的瑞雷波的特性。为了讨论方便，取圆柱坐标系 ( 厂，秒，z ) ，使z 轴垂直自由界面指向下方，并将自由界面取z = o 平面。 均匀介质中的弹性波运动方程为出”1 ： ( t + 2 r ) v v 甜一v v “：p 鲁 ( 3 - 1 ) o l 如果令“= v 矿+ v x ( z 以) + v v x ( 妒：) ，则： 1 2 中南人学硕：l j 学位论文第- 三章瑞雷面波频散曲线的广义逆算法反演 v 2 缈= 专窘，v 2 z = 古警，v 2 = 古警 仔2 ， 其中，横波速度口= 板万i 万历，纵波速度= 而。这样我们就将( 3 1 ) 转换成了如( 3 - 2 ) 所示的三个标量；b - 程，然后对位移势进行傅立叶一贝塞尔变 换，代到式( 3 - 2 ) 中z 。，1 j ： ( 等+ 口2 ) 妒= 。，( 等+ 6 2 ) 妙= 。，( 等) z = 。 ( 3 删 其中口2 = 砟- k 2 , b 2 = k 2 , _ k 2 ，p 2 = 等，砰= 矿0 ) 2 。根据上式，三个位移势具有下 述形式的解： 9 = l 豇a e 沁+ b e 一妇) j n ( k g ) c o x ( n o ) e - i 耐d k ， = ，f ( 妇+ d e - 妇) j 。( b ) c o x ( n o ) e - i 耐d c o k d k ( 3 - 4 ) 一o 一一 z = ii ( e e “+ f e 一”) j 。( k r ) s i n ( n o ) e 1 耐d c o k d k 一o 这时，我们引入一个新的坐标系2 1 ： 脚，志场南 c v 南怕志争5 ， p = e ， 那么，位移场就改写为“= v c p + vx ( z e ，) + _ ，1v vx ( 妒：) ，并引入位移应 力矢量s 、势矢量及矩阵的转置乜，可以得到：s = m 矽，矽= m 。1 s ( m 是 关于y p ，以的矩阵，y p , 7 ，分别表示纵波、横波的速度) 在层均匀的具有不同性质的弹性固体介质组成的体系，引入圆柱坐标体 系( ，0 ，z ) ，n 层介质位于0 ，0 0 ，0 0 2 x ，z 0 ，z 轴由上至下，第i 层 介质位于z = z h 和z = z i 之间，z = 0 为自由界面。每一层中纵波速度、横波速 度、密度、厚度分别为口，层，p i ，h ，为了方便起见，略去下标i 。 中南人学硕。1 ：学位论文第二三章 瑞雷面波频散曲线的广义逆算法反演 利用传递矩阵啪1 就可以将瑞雷波的频散方程写成： 陵斗 争6 ， l q 4 。q 4 ：i 其中q = 纱幼，h 为该层的厚度，再定义一个反对称矩阵y ( ，) ：a ，b b r a ， 由此上面的频散方程可改写为：y 是= 0 ，即y o 的第一行第二列元素为零。另 一方面，再引入矩阵瞳叫d = w j w ；一w j w ；，、酢，w s 分别对应为各层介质 上界面的纵波和横波的位移应力矢量。根据传递矩阵的过程和方式，瑞雷波的 频散方程又可以写成：d 劣= 0 此时，令e = ( d 1 2 ，d 1 3 ，d 1 4 ，d 2 3 ，d 2 。，d 3 4 ) i ，经过一些换算推导瞳。1 可以得到 两个等式： e 3 + e 4 = 0 e l e 6 + e 3 e 4 一e 2 e 5 = 0 ( 3 7 ) 如果假设源处在第一层介质中z = z ， 0 ，则说明当前子区间内无实根，此时反复将子区问减 l5 中南大学硕| ：学位论文第三章瑞雷面波频散f f f i 线的广义逆算法反演 半，直至发现一个实根残子区间长度小于给定的精度为止。然后再从x 件l 开始往后检索，以上过程一直进行到区间右端点b 为止。 在此方程中，必须注意步长h 的选择。h 过大可能导致某些实根的丢失， 但若步长h 选得太1 j , 贝f j 增加计算量。 利用以上标量传递算法求出瑞雷波的频散函数，采用二分法进行数值求 根即得到频散曲线。 3 1 3 介质模型及其频散曲线 ( 1 ) 层状速度递增介质模型 对于较常见的速度递增模型，我们选取一个三层的固体层状介质模型， 其参数见表3 1 。 表3 - 1层状速度递增模型参数 根据这个地层模型按照以上方法得到的频散曲线，如图3 1 所示。 4 080 f r e q u e n c y ( h z ) 图3 - 1 层状速度递增模型的v f 频散曲线 1 6 1 摹 荸； 抛 狮 瑚 御 廷e一苫口o墨曩_乜 中南人学硕 ：学位论文 第三章瑞雷面波频散曲线的广义逆算法反演 2 8 0 善 蚤 z 4 0 萋 2 0 0 1 02 488 1 0 1 21 4 h a l f - w a v e l e n g t h ( m ) 图3 - 2 层状速度递增模型的v 一入2 曲线 ( 2 ) 含低速夹层介质模型 同样选取一个三层的固体层状介质模型，其参数见表3 2 。 表3 - 2 含低速夹层介质模型参数 4 2 2 2 0 0 2 0 0 0 2 3 0 0 6 0 0 5 0 0 8 0 0 3 0 0 2 0 0 3 5 0 该模型的频散曲线，如图3 - 2 所示。 3 6 0 蛳 善3 2 0 喜。 曼z 2 2 4 0 o8 01 2 0 1 6 0 f r e q u e n c y ( h z ) 图3 - 3 含低速夹层模型的v - f 频散曲线 1 7 中南人学硕士学位论文 第三章 瑞雷面波频散f n 线的广义逆算法反演 02 4681 01 21 4 h a l f - w a v e l e n g t h ( m ) 图3 - 4 含低速夹层模型的v 一入2 曲线 ( 3 ) 复杂多层介质模型 地质模型参数如下表3 3 ： 表3 3 复杂多层介质模型参数 星量星廛! m ) 密度( 1 g j m 3 ) 纵波速度( m s )横波速度( 1 i i ，s ) 142 0 0 0 5 0 02 5 0 21 2 1 0 06 0 03 0 0 322 3 0 08 0 0 4 0 0 43 1 9 0 04 5 0 2 0 0 55 2 2 0 07 0 0 3 5 0 6 。 2 3 0 08 0 04 0 0 4 4 0 4 0 0 3 6 0 3 2 0 2 2 柏 04 08 0 1 2 01 6 0 f r e q u e n c yf h z ) 图3 - 5 多层复杂地层模型的v - f 频散曲线 1 8 湖 蛳 垂| 湖 狮 瑚 狮 富u一蚤口vl岁虫w皿乜 萼一j_s蛋|ud 中南大学硕十学位论文第三章 瑞雷面波频散曲线的广义逆算法反演 4 4 0 4 0 0 e = 3 6 0 3 2 0 瑚 2 柏 o2468 01 21 41 8 h a i h 旧帕k n g m ( m ) 图3 - 6 多层复杂地层模型的v 一入2 曲线 3 2 瑞雷波频散曲线反演的主要方法 很多反演优化方法被用于瑞雷波勘探的反演中，目前应用较多的是最d , - 乘法口铂和遗传算法m 1 等，另外还有近年来新发展起来的方法如( 改进的) 等效 半空间法口9 0 。、模拟退火法h 、神经网络法1 等等。 3 2 1 最小二乘法反演 对于观测值y = 。，y 。 ，模型参数z = b l 一，吒 ，理论场函数以( x ) ， 定义目标函数： 矽( x ) = y 。一 ( x ) 】2 ( 3 - 8 ) 其中，m 为观测点的个数，r l 为参数的个数，通过迭代求取x 值，使矽( x ) 达到最小，即最小二乘法。 如果 ( x ) 为x 的线性函数，( 3 - 8 ) 式可一转化成线性方程组直接求解， 而一般的六( x ) 为非线性函数，g a u s s 提出线性化的方法，即在x 附近将 以( x ) 进行泰勒展开，并略去a x 的二次项及高阶项，从为x o 附近的增量， 写成矩阵形式为： f ( x o + 从) = f ( x o + a 从) ( 3 - 9 ) 1 9 中南人学硕j j 学位论文 第三章 瑞雷面波频散曲线的广义逆算法反演 a = 奶奶 挑 缸。 既帆 次i苏。 矽( x ) 的线性近似表达式： 为f ( x ) 在x = 石o 处的雅克比矩阵。，从而可以得到 矽( x ) = 【y f ( x ( 0 1 一彳蚁) r y f ( x ( 们一彳a x 】 此式取极小值的必要条件为： 堕：-2air一厂(x)+2araa趟】a x 。、。7。 一j 将上式改写成： a 7 a 从= g ( 3 1 0 ) 其中：g = 么7 p 一厂( x ( 。) j ，因此可以解出舣：( 彳r 彳) 一g 。 在实际处理中，当观测值已知，选定初始值x o 后，计算雅克比矩阵及向 量g ，由上式得出x 们，取 石( ) = z ( o ) + 趟 作为新的初始值，重复上述计算过程，求出x ( 孙，x ( m ，直到目标函数差值 矽( x ”) 一( z ”1 ) 达到预定的精度为止。 最小二乘法的迭代过程常常是不稳定的，与初始值的选取有密切的关系， 如果选取不当，也会导致失败。一般地，当求出a x 后，不把x ( o + a x 作为迭 代的近似值，而作为校正方向，即从x o 出发沿硝方向进行一维寻找矽( ) 的 极小值。 矽( x o + 口o a t ) = m i n ( x o + 口x ) ( 3 1 1 ) 其中口。称为最优步长因子，则取 x ( = x ( + 口t a x ，k = 1 , 2 ， 直到得到预先精度，此算法称为广义最小二乘法。 阻尼最d 、- - 乘法是把方程( 3 1 0 ) 改为如下形式： 2 0 中南人学硕i ：学位论文第三章瑞雷面波频散f f 】线的广义逆算法反演 ( a7 a + 订) 舣= g ( 3 - 1 2 ) 其中v 为阻尼系数。校正向量的解为： a x = ( a 7 a + v 1 ) 叫g 由此式可以看出，阻尼系数在迭代过程中作用很大，当1 ，= 0 时，即一般的 最d - 乘法，1 ，越大，越接近最速下降方向，但当1 ，越大时校j 下量a x 的长度也 越小，此时收敛速度很慢。 在先验信息较多的情况下，最小二乘法是一种理想的反演方法，但是该方 法对初始值的依赖性很大，在实际反演过程中如果初始值选得不好，反演结果 很可能会陷入局部极值，而不能找到最优解，而且最d - 乘法在反演过程中需 要计算倒数的信息。 3 2 2 ( 改进的) 等效半空间法 根据地震学理论，在均匀弹性半空间表面，面波不存在频散现象，且面波 相速度v r 与半空间介质的剪切波速v s 之徊j 有如下关系： = 警珞 式中v 为介质的泊松比。对于某一频率的面波，当其影响深度内的介质是 层状均匀时，忽略其它影响频散的次要因素，可近似认为相速度主要与该深度 内各层的剪切波速度和层厚度有关，故通过对该深度内介质剪切波速度与厚度 加权平均进行“均匀”化，以保证均匀化前后介质对相速度的影响具有等效作 用。这样仍可以利用上式计算相速度，