（市政工程专业论文）排水管网分形应用研究.pdf

摘要 分形理论为研究复杂的非线性现象提供了强有力的手段。利用它不但能描述复杂的 不规则现象，而且还可以构造非线性的几何体。城市排水管网的内在规律大多都是非线 性的，表现出一定的随机性和不规则性，可以用分形理论来研究。 本文讨论了管网存在分形特性，并解释了其形成机制和度量标准。同时，建立了管 网分形模型，编制了相应的计算程序，可以计算出管网的分维数，并且引入了管网覆盖 形态相关概念，用来作为管网评价的指标，为管网规划布置提供依据。同时，利用重力 流枝状排水管网与河流水系的相似性，提出了管网等级分形的概念，建立了管道等级分 形模型，编制了合适的管网等级分形的计算程序，能够方便的计算出重力流枝状排水管 道等级分形的参数。 对广州市番禹区中心城区中心区、东区、南区、西区和北区的污水及雨水管道系统 的覆盖度d ( 即分维值) 和覆盖深度，进行了计算，并对其结果进行了分析。分维值越高， 表示管网覆盖度就越好，管线分布也越均匀。同时，管网覆盖深度越小，则说明每隔更 短的距离就有一条管线通过。 另外，对西安市南郊、汉中市：商洛市和榆林市开发区的污水管网的分枝比屹、 长度比和等级分维值d 进行了计算，结果表明：重力流枝状排水管道系统分枝比屹为 3 5 之间；重力流枝状排水管道系统长度比巧在1 5 3 之间；空间等级维数d 都在2 左右，从一定程度上，符合等级维数为一个趋于2 的理论值的结论。 本文对城市排水管网分形的研究，旨在为新建或改扩建管网布局规划提供新的思路 和方法，对区域经济以及城市发展等的研究也有一定的参考价值。本研究结果表明，广 州市番禹区需要合理完善东、西区的雨水管网和南、北区的污水管网；而汉中市的污水 管网需要适当减少低等级管网的分支数目，增加高等级的分支数目；而商洛市西区污水 管网需要增加管网分枝和高等级的管线长度，适当降低低等级的管线长度；而榆林市开 发区和西安市南郊的污水管网形态相对较好，符合自然界重力流枝状排水管网等级分形 的特点。 关键词：排水管网、分形、分形维数、网络分形、等级分形 a b s t r a c t f r a c t a lt h e o r yp r o v i d e sap o w e 咖l t o o l t os t u d yt h ec 0 m p l e xn o n l i n e 觚p h e n o m e n o n i tc a nn o t0 n l yd e s 翻b et h ec o m p l e xi 1 1 r e g u l a rp h e n o m e n o n ，b u ta l s 0c o n s t n l c tn o n - l i n e 盯 g c o m e t m o s to ft h ei 1 1 h e r c n tl a w so fu r b 锄d r a i n a g cn e t 、阳r ka r en 伽- l i n e 屿扑dt h e y p e i o m lc e n a i n 删1 d o m n e s s 柚di r r e g u l a r i t i e s ，s 0 劬c t a lt h e o 巧c 锄b eu s e dt os t u d yt h e d r a i l l a g en e 撕o r l ( s t l l i sp a p e rd i s c u s s e st h ee x i s t e n c eo ft h en e 俩o r k 仃a c t a lc h a r a c t e r i s t i c s ，飙da l s o e x p l a i n si t sf o r m a t i o nm e c h 狮i s m 卸dm e t r i c s a tt l l es 锄et i m e ，t l l ee s t a b l i s l l i i l e n to fa n e 帆o r k0 f 砌c t a lm o d e l ，t h ec a l c u l a t i o n0 ft l l ec o r r e s p o n d i n gp r o c e d u r e s ，t h en e t 、釉r k f a c t a ld i m e n s i o nc a nb ec a l c u l a t e de a s i l y a n dt h ei i l t r o d u c t i o no ft h en e t w o r kc 0 v e r a g e m 0 印h o l o g yr e l a t e dc o n c e p t s ，u s e da sn e 研o r kc v a l u a t i o ni i l d i c a t o r sf o rt h en e 埘o r ：i ( s ， p r 0 v i d e sm eb a s i sf o rn e t w o r kp l 砌n g m e a n w l l i l e ，u s i i l gt h es i m i l a r i t i e sb e t w e 锄m e b 姗c h i n gd 谢ma _ g ec h a n n e ls y s t e mb y 黟a v i t y 锄dt h er i v e rs y s t e m ，e s t a b l i s ht h e 缪a d e 劬c t a lm o d e l ，p r e p a r et h ea p p r o p r i a t ec a l c u l a t i o np r o c e d u r c so fn e 柳o r k 伊a d i n g 台a c t a l m o d e l w i t ht h e m ，w ec 衄c a l c u l a t er 缸l k 仃a c t a lp a r a m e t e r so ft h eb r 锄c h i i l gd m i n a g e n e t w o r k b y 粤a v i t yc o n v e i l i o u s l y i nt h i sp a p e r t h e 触c t a ld i m e n s i o n so fu r b 觚c e n t r e s ，e a s t e m ，s 叫t h e m ，w b s t e m 趾d n o n h e ms e w a g ea n dr a i n w a t e rp i p i n gs y s t e mo fn e f 觚y ud i s t r i c to fg u 柚g z h o uc i t ya r e c a l c u l a t e d 粗dt h e i rr e s u l t sa r ea 越l y s i s e d 砷ei a r g e | rt h ef a c t r a ld i m e n s i 彻i s ，t h eb e t t e ft h e i i i d i c e so fn e 研o r kc 0 v e r a g ef b 姗a t i o ni s ，锄dt h em o r ce q u a l i t yt h en e 觚o r kd i s t r i b u t e d a t t h es 觚l et i i i l e ，t h es m a l l e rt h ec 0 v e r a g ed e p t ho ft h en e 铆o r ki s ，t h es h o r t e rd i s t 卸c c b e t w e e nt h et w op i p e l i n e sw i l lb e 。 m e 锄w h i l e ，t h es e w a g eb r 锄c h i n gr a t i o e s ，t h el e n 舀hr a t i o e s 锄dt h er a i l l 【f a c t r a l d i n l e n s i o n so ft h eo fx i a ns 舢t h e 功s u b u r b s ，h 锄z h o n g ，s h 卸掣u o 粕dy u l i na f ec a l c u l a t e d t h er e s u l t ss h o wt h a t ：t h eb r a l l c h i n gr a t i oo fb r a n c h i n gs e w c r s y s t e mi sb e t w e e n3 t o5 ；a l l d t h el e n 昏hr a t i oi sb e t w e e n1 5t o3 觚dt h er a i l l 【f a c t r a jd i m e n s i o nt e n d st 02 ，w h i c hi st h e t h e o r e t i c a lv a l u e ht h i sp a p c f ，t h e 行a c t a ls t u d yo ft h eu r b a n d r a i n a g en e 鲰o r kn e w l ya l l de x t e n t i o nb u i l t a i n l e da tp r 0 v i d i n gn e wi d e a s 柚dm e t h o d s0 fp l 觚i l i 】唱t l l en e 撕o r k s ，t h es t u d ya l s oh a v e s o m er c f c r c n c ev a l u ei nn sr e 百o n a le c o n o m i c 柚du r b 锄d e v e l o p m e n t w h a t sm o r e ，t h i s p a p e rs h o wt h a ti ti sn e c e s s a r ) ，t oi m p r 0 v et h er a i l l w a t e rn e 锕o f i 【so fe a s t e m 锄dw e s t e m d i s t r i c t s0 fm y ud i s t r i c t0 fg u 蛐铲h o uc i t y 越s o ，i ti ss u g g e s t e dt or u d u et h en u m b e ro f l o w 黟a d cn e t 、o r kb r a c h e s ，a l l di n c r e a s et h eh i g h 舯d en e 俩o r kb r a c h e s r 6 ， t h eb f a c h i n g r a t i oo fs e w a g en e 觚o r l 【so fw e s t e md i s t r i c t0 fs h 孤百u od t yi sl i t t l e ，s oi ti sn e c c s s a r yt 0 i n c r e a s et h eb r a c h e so fn e 觚o f l ( s 锄dt h el e n 伊ho fh i g l l 一铲a d ep i p e l i n e s ，锄d 川u c et h e l e n 舀ho fl o w - g r a d ep i p e l i n e sa p p r o p r i a t e l y t h e nt h ef 0 珊o ft h es e w a g en e 铆o r l 【so ft h e s o u t hd i s t r i c e0 fx i 觚c i t y 锄dd e v e l o p m e n tz o n eo f1 m l i nc i t y ，t h i sa c c o r dw i t ht h e c h 心l c t e r i s t i c so ft h e 铲a v i t a t i o n a - b r a c h l i k e 铲a d e 丘a c t a lo fd r a i l i a g en e t 、o r l 【s k e yw o r d s ：d r a i n a g en e 押o r k s ，加c t a l ，f | a c t a ld i m e n s i o n ，n e t w o r kf a c t r a l ，r a i l l 【f a c t r a l 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文中不包含任 何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：高霞妓如占年，月。日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权 利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成 果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：l 岛霞斌 导师签名：丙以l 。2 细p 年f 月萨。日 杉年厂月凇日 长安大学硕士学位论文 1 1 课题研究背景 1 1 1 概述 第一章绪论 排水工程是现代化城市的重要基础设施，也是城市水污染控制和城市排溃防涝、防 洪的骨干工程，其中污水和雨水管道系统的投资能占整个排水系统投资的5 0 7 5 。我 国现今大多数的老城区排水体制仍为合流制，这种排水体制已不能满足城市生态建设的 需求，需要逐步改建和扩建。为了不断提高人民的物质生活水平、保护生态环境和实现 可持续发展的战略，我国还将要加大力度，建设大量的排水管道。因此，如何经济技术 合理地优化排水管网平面布局设计，降低管道系统的不必要的基建投资和运行管理费 用，使环境效益最大化是一个重要的研究课题。 城市排水工程，对完善城市功能、改善生态环境、提高群众生活质量、促进经济社 会协调发展都具有十分重要的意义。近年来，随着经济社会的发展和城镇化进程的加快， 我国城区产业和人口不断集中，对各项基础设施，特别是污染治理设施建设提出了新的 更高的要求。这就相应的对排水工程的合理规划提出了更高的要求。 而作为城市生命线的城市排水管网，是保证城市地面水排除，防治城市水污染，并 使城市水资源保护得以良性循环的必不可少的基础设施，城市排水管网的规划设计，自 然也是城市设计的一项非常重要的内容。事实上，城市排水管网能否满足市民及城市本 身的生活、生产与发展的需要，往往可以作为一个城市现代化进程的标志。然而相对于 城市给水管网的设计，我国在城市排水管网的规划设计方面尚显稚嫩，缺乏足够的实践 经验，要实现2 0 1 0 年城市污水集中处理率不低于4 0 的目标，还有很长的路要走川。目 前，该领域的研究重点主要集中在4 个方面：排水管网平面布局优化、一定管线的情况 下管径埋深的优化、城市降雨径流模型的研究、旧的排水系统改扩建方案的优化设 计。而本文则着重从排水管网平面布局的角度来研究。 自1 9 7 5 年以来，分形理论无论是在数学基础还是在应用方面都有快速发展。由于分 形几何极强的应用性，它在物理的相变理论，材料的结构与控制，力学中的断裂与破坏， 高分子链的聚合，模式识别，自然图形的模拟，酶的生长等领域取得令人瞩目的成功。 由于应用学科和计算机制图的刺激与推动，分形的数学理论也得以迅速发展并且目的更 第一章绪论 明确，思想更深入。近年来，在维数的估计与算法，分形集的生长结构，分形的随机理 论，动力系统的吸引子理论与分形的局部结构已过的较深入的结果，其势方兴未艾。在 此期间，有关专著纷纷问世，研究工作的数量以几何级数增长，国际专题会议此起彼伏， 特别是在8 0 年代中期，令人感到了雷霆万钧之势“1 。近年来，分形理论己广泛运用于 各种领域，并取得一系列的实际成果。如河川水系分形、降水预报因子分形、地形地貌 分形、城市形态和空间结构分形、道路系统分形等。在给排水领域也有相关应用，特别 是在水处理领域，如紊流流态，大分子混凝剂解缠、絮凝等分形模型，都取得了一定的 成果。 1 1 2 问题的提出 目前我国城市基础建设发展很快，随着经济的快速发展和人口数量的不断增加，城 市生活污水排放量逐年增加，排水管网在迅速延伸，污水管网规划建设相对滞后的问题 日渐凸显：管网分布不均匀，不少管道呈承压满流状态，排水管道普遍存在管径偏小、 使用年限久、损坏严重、漏水普遍、排污能力低的问题1 。因此在城市新区的改扩建 过程中，越来越多地涉及到排水管网设计中抓住主要矛盾，克服设计缺陷，结合实际情 况，主动适应城市建设的发展需求。 管网规划、定线是管网设计的初始阶段，其布置的合理与否直接关系到排水运行的 稳定与否，对工程投资和管理维护也有很大影响。管网规划与布置是管道系统规划中的 关键部分，管网工程投资巨大，一般占管道系统总投资的5 0 7 5 ，管线埋藏于地下， 从而使资金浪费、排水不合理等问题不易被暴露，存在的隐患较多，因此，为了彻底消 除这些不合理因素，必须在管网规划和设计阶段，进行合理的规划和布置1 ，避免传 统设计中的人为因素的干扰，只凭设计人员的经验来进行排水管网的规划和定线。 管网规划布置使管道系统规划的关键部分，对工程投资、运行状况和管理维护有很 大的影响。针对目前城市排水管网布置中存在的问题，结合分形理论，提出管网分形学 研究方面的建议。使得排水管网的规划定线更为合理。 随着分形理论、优化技术和计算机的发展，以及各学科的相互渗透，许多研究者把 最优化方法、分形理论、模糊数学、控制工程等方面的理论引入工程设计领域，加深了 研究者对管网设计理论的认识，提出了一些管网优化设计方法，并运用计算机求解，从 2 长安大学硕士学位论文 而使设计者摆脱了凭经验设计的状态，在设计中对管网布置形式、总投资和可靠性等方 面进行优化，使工程设计更为合理5 6 ，7 1 。 本课题主要以分形理论为指导，对管网的分布规律与特性进行研究，为管网的评价 提供新的标准，为管网规划和定线提供全新的思路，以期使管网设计进一步摆脱经验的 束缚，更加科学合理。 1 2 排水管道研究现状 随着各学科之间的相互渗透，城市排水系统的优化设计在国内外已取得了较大的成 果，各种技术及模型等日趋完善，但是仍存在许多尚待解决的问题。例如，对于排水管 道的研究目前大多局限在已定管线的情况下，来选择管径埋深的优化设计，或者 建立费用模型来选择排水管网平面布局的优化方案。而由于排水管线一般是埋设在街道 下面的，这就无形中受到很多人为因素的限制，例如交通道路的走向，延伸情况，以及 街区的规划布局等。而把分形学的理论应用的管网的定线，规划方面的研究，可供查询 的相关报道依然很少。 1 3 本课题的研究 1 3 1 研究目的 本课题的研究想从分形理论的观点出发，通过研究已有管网的形态布置，计算出管 网分维值，并以管网的新的分形学评价指标来评价其管网的布置合理与否。以此来指导 排水系统的设计工作人员来对管网的定线、布局做出合适的调整，改变传统只凭掌握一 定量的经验值来规划布置的设计方法。从而使排水管网的平面布置更加合理可靠。 1 3 2 研究内容 本课题研究以分形理论为指导，主要从以下几个方面来对排水管网进行分析研究： 1 利用分形几何学的基本知识，建立定量描述管网空间分布状态的一种新的评价 指标管网覆盖度和管网覆盖深度，为管网形态描述提供一种新的思路和方法。 2 引入“盒维数”的计算方法，并通过v b 语言编制了一整套的计算程序，可以方 便快捷的实现对管网分形维数的计算，并对管网维数的计算结果进行了对比分析，剖析 了其隐含的信息。 3 第一章绪论 3 利用重力流枝状排水管道系统与河流水系的相似性，借鉴流水地貌分形学研究 成果，形态特性及存在等级分形的特征。建立了管网等级分形模型，并规定了管道等级 划分方案。 4 编制了管网等级维数的计算程序，方便、快捷的实现对管网等级分形的计算。并 对等级维数在排水管网中的应用研究进行了探讨。 1 3 3 研究意义 本课题的研究意义主要表现在下面的几个方面： 1 本课题把分形学的基本理论和观点运用于排水管网的研究中，从而为给排水 管道的设计工作人员提供一种新的思路和方法，从而更好的指导实践工作，使设计能有 理可循，摆脱传统只凭经验工作的局限。 2 本课题以广州市番禹区中心城区的五个区的雨水和污水管网为研究对象，通过 计算给出了番禹区的排水管网的分形模型的评价指标值，从而提出了需要改进的具体工 作及主要方法和措施。 3 本课题利用等级分形法比较计算了西安市南郊、榆林市开发区、商洛市西区及 汉中市的污水管网形态，从而给出了各区的形态现状及需改进的具体方法和措施。 4 本课题以非规则几何形态为研究对象，通过分形理论的架桥作用，很好的实现 了非规则对象的量化，这就给研究处理不规则形态的科学工作者提供一种新的研究方 法。在某种程度上也是一种启示。 4 长安大学硕士学位论文 2 1 分形理论概述 第二章分形理论及其应用 2 1 1 分形理论的提出及发展 被誉为大自然的几何学的分形( f r a c t a l ) 理论，是现代数学的一个新分支，但其 本质却是种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它 承认世界的局部可能在一定条件下，过程中，在某一方面( 形态，结构，信息，功能， 时间，能量等) 表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以 是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 1 9 7 5 年首先提 出的，但最早的工作可追朔到1 8 7 5 年，德国数学家维尔斯特拉斯( k w e i e r e s t r a s s ) 构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托( g c a n t o r ，德国数学家) 构 造了有许多奇异性质的三分康托集。1 8 9 0 年，意大利数学家皮亚诺( g p e a n o ) 构造了 填充空间的曲线。1 9 0 4 年，瑞典数学家科赫( h v o nk o c h ) 设计出类似雪花和岛屿边缘 的一类曲线。1 9 1 5 年，波兰数学家谢尔宾斯基( w s i e r p i n s k i ) 设计了象地毯和海绵一 样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形 几何思想的源泉。1 9 1 0 年，德国数学家豪斯道夫( f h a u s d o r f f ) 开始了奇异集合性质 与量的研究，提出分数维概念。1 9 2 8 年布利干( g b o u l i g a n d ) 将闵可夫斯基容度应用 于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1 9 3 2 年庞特里亚金( l s p o n t r y a g i n ) 等引 入盒维数。1 9 3 4 年，贝塞考维奇( a s b e s i c o v i t c h ) 更深刻地提示了豪斯道夫测度的 性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从 而产生了豪斯道夫一贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人 的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。 1 9 6 0 年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的 对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集 排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很 多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由 相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数 5 第二章分形理论及其应用 是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。1 9 7 5 年，曼德尔布罗特用法文出 版了分形几何第一部著作分开：形状、机遇和维数。1 9 7 7 年该书再次用英文出版。 它集中了1 9 7 5 年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道 夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相 似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难 以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。1 9 8 2 年，曼德尔布罗特的新著自 然界的分形几何出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维 数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避 免这一缺陷，1 9 8 2 年特里科特( c t r i c o t ) 引入填充维数，1 9 8 3 年格拉斯伯格 ( p g r a s s b e r g e r ) 和普罗克西娅( i p r o c a c c i a ) 提出根据观测记录的时间数据列直接 计算动力系统吸引子维数的算法。1 9 8 5 年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在 的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1 9 8 2 年德金( f m d e k k i n g ) 研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困 难。德金获得维数上界。1 9 8 9 年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的 维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1 9 8 2 年以后，分形理论 逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发 展的需要，还是一项艰巨的任务。 自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机 性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1 9 6 8 年，曼德尔布罗特研 究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1 9 7 4 年他又提出 了分形渗流模型。1 9 8 8 年，柴叶斯( j t c h a y e s ) 给出了详细的数学分析。1 9 8 4 年， 扎乐( u z a h l e ) 通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述 和模拟自然现象。 动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系 统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。 1 9 6 3 年，气象学家洛伦兹( e n l o r e n z ) 在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字 命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。1 9 7 6 年，法国天文学家伊侬 ( m h e n o n ) 考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分 形性质。1 9 8 6 年劳威尔( h a l a u w e r i e r ) 将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其 迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1 9 8 5 6 长安大学硕士学位论文 年，格雷波基( c g r e b o g i ) 等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉 斯函数，并得到盒维数。1 9 8 5 年，迈克多纳( s m m a c d o n a l d ) 和格雷波基等得到分 形吸附界的三种类型：( 1 ) 局部不连通的分形集；( 2 ) 局部连通的分形拟圆周；( 3 ) 既 不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。 动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚( g j u l i a ) 和 法图( p f a t o u ) 于1 9 1 8 一1 9 1 9 年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平 面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集( j 集) 。他们在处理这一问题 时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。 随后5 0 年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着可用机算机来做实验，这一研究 课题才又获得生机。1 9 8 0 年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特 集( m 集) 的第一张图来。1 9 8 2 道迪( a d o u a d y ) 构造了含参二次复映射f c ，其朱利 亚集j ( f c ) 随参数c 的变化呈现各种各样的分形图象，著名的有道迪免子，圣马科吸 引子等。同年，茹厄勒( d r u e l l e ) 得到j 集与映射系数的关系，解新局面了解析映射 击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特( l g a r n e t t ) 得到j ( f c ) 集豪斯道夫维数的数 值解法。1 9 8 3 年，韦当( m w i d o m ) 进一步推广了部分结果。法图1 9 2 6 年就就开始整 函数迭代的研究。1 9 8 1 年密休威茨( m m i s i u t e r w i c z ) 证明指数映射的j 集为复平面， 解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的j 集与有理映射j 的 性质差异，1 9 8 4 年德万尼( r l d e v a n n e y ) 证明指数映射e 入的j ( e 入) 集是康托束 或复平面而j ( f c ) 是康托尘或连通集。 复平面上使j ( f c ) 成为连通集的点c 组成m 集即曼德尔布罗特集，尤更斯 ( h j u r g e n s ) 和培特根( h 一0 p e i t g e n ) 认为，m 集的性质过去一直是并且将来继续是 数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈 巴德( h h u b b a r d ) 等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得 重大进展，使人们加深了对m 集的了解。道迪和扈巴德1 9 8 2 年证明m 集是连通的和单 连通的，人们猜测m 集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至 今还没有人能给予证明。m 是否为弧连通，目前尚不清楚。m 集边界的维数也是值得研 究的问题之一。 m 集除了将j 集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个j 集的图解目录表作 用，即把m 集c 点周围的图形放大就是与c 点有关的j 集的组成部分。但这一发现的数 学密性至今仍未确定，谭磊( t a nl e i ) 1 9 8 5 年证明了在每一个密休威茨点邻近m 集与 7 第二章分形理论及其应用 相关的j 集之间存在着相似性。尤金斯等在m 集的静电位研究中获得与自然形貌相似的 分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索m 集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1 9 9 0 年德万尼通过数值实验观察到m 集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1 9 9 1 年黄永念运用他提 出的代数分析法证明了这一事实，研究了m 集及其广义情况周期轨道整体解析特性。 巴斯莱( b m b a r n s l e y ) 和德门科( s d e m k o ) 1 9 8 5 年引入迭代函数系统，j 集及 其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函 数系逼近。1 9 8 8 年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的j 集。 1 9 8 5 年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到m 集d 并d 与m 在连通性上的 差异。在一线性映射系迭代下，可以产生著名的分形曲线双生龙曲线。1 9 8 6 年水谷 ( m m i t z u t a n i ) 等对其动力系统进行了研究。 一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数d h 难以通过理论方法或计算方法求得。 对于有迭式构造的分形集，贝德浮德( t b e d f o r d ) 等在1 9 8 6 年已给出卓有成效的算法， 但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维 数d h 的结论与算法实际上没有。卡普兰( j l k a p l a n ) 和约克( j a y o r k ) 1 9 7 9 年引 入李雅普洛夫维数d l 并猜测d l = d h 。1 9 8 1 年勒拉皮尔证明d h d l 。杨( l - s y o u n g ) 1 9 8 2 年证明二维情况下d h = d l 。艾茄瓦( a k a g a r w a l ) 等1 9 8 6 年给出例子说明高维情形卡 普兰一约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引 子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。 此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。 多重分形( m u l t i f r a c t a l s ) 是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集， 其概念首先由曼德布罗特和伦依( a r e n y i ) 引入。法默( j d f a 珈e r ) 等在1 9 8 3 年定 义了多重分形广义维数。1 9 8 8 年博尔( t b o h r ) 等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描 述与热力学类比。1 9 8 8 年，阿内多( a a r n e o d o ) 等人将子波变换用于多重分形研究。 费德( j f e d e r ) 、特尔( t t e l ) 等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特 里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维 数进行了修正。李( j l e e ) 等发现了多重分形热力学形式上的相变。1 9 9 0 年，伯克 ( c b e c k ) 得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特 研究了随机多重分形及负分维。1 9 9 1 年科维克( z k o v a c s ) 等引入双变量迭代系统， 最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的 8 长安大学硕士学位论文 一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方 法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。 分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研 究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数 学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善， 使之理论简便，可操作性强，是喁喁分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上， 维数的理论计算、估计、分形重构( 即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集) 、j 集和m 集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃 的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引 起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。 分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一 粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动( 布朗运动) ，这是花粉在大量液体分子的无 规则碰撞( 每秒钟多达十亿亿次) 下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的 折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小 尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分 维是2 ，大大高于它的拓扑维数1 在某些电化学反应中，电极附近沉积的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。 受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成 为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。 自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝权，每个枝 权继续分为细权，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。 有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从1 公里到1 0 0 0 公里的无标度区。 小于1 公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1 0 0 0 公里时，地球曲率开始起作用。大 小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分 形存在于这中间区域。 近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测 得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近 的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。 在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，m 集和j 集表现出的简单性与复 杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界( s o c ) 现象 9 第= 常分形璀论h 心月 的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预占，一场关于分形科学哲学问题 的讨论即将存囤内展丌。 2 12 分形的定义 数t 年以来，我们涉及的和研究的主要是欧氏几何。欧氏几何主要是基于中小尺度 上，点线、面之叫的关系，这种观念与特定时期人类的实践认识水平是相适应的，有什 么样的认识水平就有仆么样的几何学。当人们全神贯注于机械运动时，头脑中的图象多 是一些圆锥曲线、线段组合受认识主客体的限制，欧氏几何其有很强的“人为”特征。 这样说并非耍否定欧氏几何的辉煌历史，只是我们应当认识到欧氏几何是人们认识、把 握客观世界的一种工具、但不是唯一的工具。 进入2 0 世纪阻后，科学的发展极为迅速。特别是二战以后，大量的新理 仑、新技 术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了 很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了，如对植物形态的 描述，对晶体裂痕的研究，等等。 美国数学家b ，m a n d e l b r o l 曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多 长? 这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有 效? 这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。 图2l 海岸线的局部放大圈 实际上，数学家们很早就认识到，有的曲线不能用欧式几何与微积分研究其长度。 但那时解决办法是讨论具备什么条件的陆线宵长度。而没有长度的曲线就没有深入研 究。 此外，在湍流的研究。自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力 的。因此就产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学，就是分形几何。下面是k o h n 长安大学硕士学位论文 ( 克赫) 曲线和皮亚诺( p e a n o ) 曲线： 图2 1k o i l i l ( 克赫) 曲线 图2 1 皮亚诺( p e 锄o ) 曲线 1 9 7 5 年，m a i l d e l b r o t 在其自然界中的分形几何一书中引入了分形( 劬c t a l ) 这一概念。从字面意义上讲，仃a c t a l 是碎块、碎片的意思，然而这并不能概括m 锄d e l b r o t 的分形概念，尽管目前还没有一个让各方都满意的分形定义，但在数学上大家都认为 分形有以下凡个特点： ( 1 ) 分形集具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 ( 2 ) 分形集是不规则的，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程 的解集，以致于不能用传统的集合语言来描述， ( 3 ) 分形集通常具有某种白相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。 ( 4 ) 分形集在某种方式下定义的“分维数”通常大于它的拓扑维数； ( 5 ) 分形集在大多数情况下，可由非常简单的方法定义，并由递归、迭代产生。 据计算，南非海岸线的维数是1 0 2 ，英国西岸的维数是1 2 5 。 第二章分形理论及其应用 2 1 3 分形的几何特征： 众所周知，欧几里德几何学研究的图形都是规则的形状。例如圆、正方形、求和 圆锥体等等。构成这些图形的边缘( 线或者面) ，都是连续而光滑的。根据欧几里德几 何学，可以方便地描述砖块、轮子、机器部件一级建筑物等等。但是，大自然中的许 多形状都不规则，甚至是支离破碎的。例如天空中的云彩不是球体，地面上的海岸线 不是圆弧，山脉不是椎体，树皮不是光滑的曲面，动物体内血管的分布更是错综复杂 的。这些不规则的几何形状也经常出现在自然科学的各个领域中。例如流体力学中的 湍流，物理学中的布朗( r b r o w n ) 运动，化学中的酶的构造，生物学中的细胞的生 长，非线性动力学中的奇怪吸引予以及工程技术中的信号处理等等。为了研究这些大 自然的几何学，就诞生了一门新的分支分形几何学。 分形理论( 包括分形几何学、分形物理学等) 是非线性科学的主要分支之一。它 是自然科学各个学科中，甚至在经济和社会活动中，都有着广泛的应用。 大自然中的所有形状和人们考虑的一切图形( 可统称为几何体) ，可以分为两大类。 一类是具有特征尺度的。例如人的身高，球的半径，建筑物的长、宽、高等等。具有 特征尺度的几何体有一个重要性质，即构成几何体的线或面都是光滑的。另一类是没 有特征尺度的，即必须同时考虑从小到大的许许多多尺度。例如夏季天空中翻滚的积 雨云，北方冬季玻璃窗上的冰霜，以及极为普通的湍流现象( 小至静室中缭绕的青烟， 达到木星大气中的涡流) 。这些所谓“无标度 的几何体，其实就是分形。他们也有一 个共同的特征，即自相似性。 即从分形几何的观点理解，一个复杂对象虽然是杂乱无章的，但他们具有一个最 基本的特征，就是无标度性( 即标度不变性) 或自相似性。 无标度性是一个图像经过放大或是缩小，它具有形态、复杂程度、不规则性等均 不发生变化的特性。一粗糙表面为例，当用某一倍数的显微镜进行观察时，会看到某 种复杂的不规则凹凸形态；如果扩大观察倍数再观察某个局部表面，会看到同样复杂 的不规则凹凸形态；如果继续扩大观察倍数，还会出现同样情况。菏泽意味这当用不 同和瓷都去观察对象时，所看到的“图案 在统计意义上都是一样的，而与观察的尺 度( 或标度) 无关。 自相似性于无标度性有相同之处，它具有一个对象的局部于整体再形状、结构或