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摘要 y 4 2 10 7 7 本文从1 f 信号的定义出发，讨论了1 f 信号的特征，进而对i f 信号进行 处理，包括1 f 信号的生成和分析。全文分六章。 第一章( 绪论) 介绍了1 f 信号处理的重要意义、起源与发展及其主要的研 究方法和研究内容。 第二章( 1 f 信号的定义及基本特征) 本章分别从数学和数字信号处理角度 定义了i f 信号，描述了其特点，自相似性、长时间相关性，并初步分析了 f 信号的机理。 第三章( 1 f 信号的生成模型) 本章给出了i f 信号的物理生成模型，r c 网络 方法、滤波方法，和数字信号处理模型，m a 模型、分数维布朗运动模型等，并 给出了一种耨的1 f 信号生成方法。总结了各种模型的优缺点，并都给出了仿真。 第四章( 1 f 信号的恢复及其在图像处理中的应用) 本章给出了1 f 信号的参 数估计方法，最大似然估计法，介绍了1 f 信号在图像处理中的应用。最后，应 用小波滤波把掺杂了白噪声的1 f 信号恢复出来。 第五章( 1 f 信号在其他领域中的应用) 介绍了1 f 信号作为一种调制信号在 通信中的应用，作为一种控制信号在音乐合成中的应用。以及展望了i f 信号在 预测、提高晶体管精度及作为一种诊断方法的应用。 第六章( 全文总结) 总结全文，对所做主要工作进行回顾。 关键词：1 f 信号自相似性m a 模型参数估计信号恢复 图像处理音乐合成。 、 a b s t r a c t i nt h i st h e s i st h ed e f i n i t i o no f1 fn o i s ei sf i r s t yi n t r o d u c e d ，t h e n t h ec h a r a c t e r i s t i co f1 fn o i s e ，a n df u r t h e rt h ep r o c e s s i n go fi fn o i s e ， i n c l u d i n g t h es y n t h e s i sa n da n a l y s i s o f1 fn o i s e s i x c h a p t e r s a r e i n c l u d e di nt h i st h e s i s ： c h a p t e r 1 ( i n t r o d u c t i o n ) i n t h i s c h a p t e r t h e s i g n i f i c a n c e ， o r i g i n a t i o n a n d d e v e l o p m e n to f f n o i s ea n di t sr e s e a r c ht o o l sa n d c o n t e n t sa r em a i n l yd i s c u s s e d c h a p t e r2 ( t h ed e f i n i t i o na n dc h a r a c t e r i s t i co fi fn o i s e ) i nt h i s c h a p t e r1 fn o i s ei sd e f i n e di nt h ev i e wo fm a t h e m a t i c sa n dd i g i t a ls i g n a l p r o c e s s i n g ( d s p ) r e s p e c t i v e l y i t sc h a r a c t e r i s t i c ，s e l f f a m i l i a r i t ya n d l o n g - t i m ed e p e n d e n c e ，i st h e ni n t r o d u c e d i t sm e c h a n i s mi sa n a l y z e d c h a p t e r3 ( t h eg e n e r a t o rm o d e l o f1 fn o i s e ) i nt h i sc h a p t e rt h e p h y s i c a lg e n e r a t o rm o d e l ，r l1 i n e m o d e la n df i l t e rm o d e l ，i sf i r s t l y i n t r o d u c e d 。t h e nt h ed s pm o d e l ，i n c l u d i n g 姒m o d e l ，f b wm o d e l a tl a s t an e w1 fn o i s eg e n e r a t i n gm e t h o d ，t h ep r e s e n t a t i o no f1 fn o i s eb a s e d o no r t h o n o m a lw a v e l e tb a s e s 。i sg i v e n t h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s o ft h e s em o d e l sa r ec o n c l u d e d ，a n dt h e i rs i m u l a t i o ni sg i v e n c h a p t e r4 ( t h er e s t o r a t i o no fl fn o i s ea n di t sa p p l i c a t i o ni ni m a g e p r o c e s s i n g ) i nt h i sc h a p t e rp a r a m e t e r se s t i m a t em e t h o do f1 fn o i s e ，m o s t l i k e l i h o o de s t i m a t em e t h o d ，i sf i r s t l yi n t r o d u c e d ，t h e nt h ea p p l i c a t i o n o f1 fn o i s ei ni m a g ep r o c e s s i n g a tl a s tan e wm e t h o do ft h er e s t o r a t i o n o f1 fn o i s ea d d e dw i t hw h i t en o i s eu s i n gw a v e l e tf i l t e ri s g i y e n c h a p t e r5 ( t h ea p p l i c a t i o no f1 f n o i s ei no t h e rf i e l d s ) i nt h i s c h a p t e rt h ea p p l i c a t i o no fi fn o i s ei nc o m m u n i c a t i o na s am o d u l a t i o n s i g n a li sf i r s t l yi n t r o d u c e d ，t h e nt h ea p p l i c a t i o ni nm u s i cs y n t h e s i sa n d i t sp r o s p e c t i v ea p p l i c a t i o n s c h a p t e r6 ( c o n c l u s i o n ) i nt h i sc h a p t e rt h et h e s i si sc o n c l u d e da n d w h a tih a dd o n ei nt h i sp r o j e c ti s e m p h a s i z e d k e yw o r d s ：1 fn o i s es e l f f a m i 1 i a r i t y m am o d e l p a r a m e t e r se s t i m a t i o n s i g n a lr e s t o r a t i o n i m a g ep r o c e s s i n g m u s i cs y n t h e s i s 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 1 f 信号处理的重要意义 1 f 信号是非平稳随机信号，也是自相似的分形信号，是以它的功率谱密 度的形状来定义的，它定义为： s ( f 卜并舯o y ，黼y _ l 1 f 信号首先是在真空管中作为一种超低频噪音被发现的，再后来，又在半 导体中发现了1 f 信号。而产生l f 信号的第一个模型，是b e r n a m o n t 于1 9 3 7 年基于具体的物理机理，为研究真空管而建立的。1 9 5 5 年，l c w h o r t e r 建立了为 了研究半导体的1 f 模型。自二十世纪五十年代以来，人们在大量系统参数的波 动中观察到了1 f 信号，而这些参数与真空管和半导体无关，也不能用解释真空 管和半导体的物理模型解释。人们在以下方面发现了1 f 信号： 1 真空管、二极管、电子管等的电压电流波动。 2 麦克风炭膜、半导体、金属薄片、电解溶液等的电阻变化。 3 石英晶体的频率变化。 4 平均季节温度的波动。 5 年降雨量的波动。 6 交通流的变化。 7 神经膜和人造膜之间的电压波动。 8 糖尿病人胰岛素分泌量的变化。 9 。经济数据的波动。 1 0 音乐音调和音量的变化。 1 1 通信信道中的淬发错误。 最近人们在更广泛的领域发现了1 f 信号。这些领域包括人的脑电波和 心电波的变化、人类认识事物的过程、混沌信号。2 0 0 1 年1 0 月2 2 - 2 5 日，第 十六届物理系统的噪声和1 f 波动国际会议在美国佛罗里达召开，物理学家和工 程师们把他们在新的领域发现的1 f 信号及其处理作了交流。该会议关于1 f 信号的主要内容包括； 1 纳米尺度仪器的1 f 信号。 2 磁场流量在超导体中产生的1 f 电压信号。 3 c m o s 电子管的低频噪声。 4 g a n 基的h b t 中电流传导和1 f 信号的建摸。 5 时间、连续分形与1 f 信号。 6 1 f 信号、间断及簇泊松过程。 7 噪声功率谱密度的斜率估计方法。 目前，1 f 信号已获得了较广泛的应用领域。人们发现几乎所有的音乐节律 符合1 f 信号，于是人们已把1 f 信号应用于音乐合成。日本科学家开发了一种 应用1 f 信号的模型，用来测量人的手指的灵敏度。把1 f 信号用于通信中，作 为调制波，可以适用于不同的接收器。但是至今为止还没有产生1 f 信号的简单 1 f 信号处理及应用 数学模型，关于1 f 信号的物理起源也知之甚少。正是由于1 f 信号的普遍存在 引起了物理学家和工程师们的广泛注意，1 f 信号的应用及对电子器件精度提高 的要求把下面信号处理要解决的问题摆在了人们面前：1 f 信号的机理、如何产 生1 f 信号、如何在搀杂了1 f 噪音的信号中把l f 噪声滤掉、如何把l f 信号 从其他信号中识别出来、1 f 信号的参数估计等。八十年代小波分析和分形的出 现更促进了人们对1 f 信号的兴趣，小波分析为人们研究1 f 信号提供了有力数 学工具，而对分形的深入研究使人们对1 f 信号的理解逐步加深，因为分形音乐， 分数维布朗运动都具有1 f 信号的特征。而这些只是1 f 信号处理的冰山一角， 1 f 信号的机理及它的广泛应用，要求人们对1 f 信号处理进行更深入的研究。 1 2 1 f 信号处理的起源与发展 最初，1 f 信号是在1 9 3 7 年，作为一种低频噪音在真空管中被发现的，为 了对其研究，b e r n a m o n t 开发了第一个研究1 f 信号的物理模型。随着科技的发 展，半导体逐渐代替了真空管，于是1 9 5 5 年人们发现了在半导体中的1 i f 信号， 并且m c w h o r t e r 开发了用于研究半导体中1 f 信号的物理模型。这是人们对1 f 信号的初步认识阶段，并没有认识到1 f 信号的广泛性，只是解决具体的1 f 信 号问题。二十世纪中叶以后，随着1 f 信号的被广泛发现，人们开始对1 f 信号 进行了系统的研究。七十年代末八十年代初，麻省理工学院的m a r v i nk e n s h e r 完成了对1 f 信号研究的博士论文，这是第一篇系统研究1 f 信号的文献，m a r v i n k e n s h e r 通过建立物理r c 线性网络系统模型，得出了1 f 信号的非平稳自相关 函数，并对其功率谱密度进行进一步分析，对前人的研究作了总结，指出1 f 信 号是非平稳随机过程，并且是在一定时间尺度上相关的，同时提出并解决了以下 问题： 1 1 f 信号比起其他噪声缺乏随机性。1 f 信号的事件之间存在一定的关 系，即相关性，但是在其他噪声中各事件( 比如，白噪声) 是不相关的。但1 f 信号在多大的时间尺度上相关仍是有待解决的问题。 2 对于现在事件被过去状态影响的系统，即时变系统，都有一定的信息存 储机理，即对过去状态的记忆。那么1 f 信号需要什么样的状态记忆，系统需要 记忆多长时间，需要记忆多少状态。 3 对于一个产生1 f 信号的线性系统，至少需要多少个记忆状态。并由此 延展到信息系统。 由于非平稳信号的不易处理性，k e n s h e r 并没有给出1 f 信号的处理方法， 只是到了八十年代，小波分析方法和分形的出现为人们分析1 f 信号提供了有效 工具后，一九九零年，m i t 教授g w w o r n e l l 在i e e e 上发表了类似于 k a r h u n e n l o e v e 展开式的1 f 过程的小波分析( “ak a r h u n e n l o e v e l i k e e x p a n s i o nf o r1 fp r o c e s sv i aw a v e l e t s ”) ，揭开了用小波分析1 f 信号的 序幕。又于一九九二年在i e e e 上发表了应用小波对噪声中分形信号的估计 ( “e s t i m a t i o no ff r a c t a l s i g n a l s f r o m n o i s ym e a s u r e m e n t su s i n g w a v e l e t s ”) ，解决了对1 f 信号功率谱的参数c o n s t a n t 和y 值的估计问题。而 于一九九三年发表的基于小波的1 f 类的分形信号的表示( w a v e l e t b a s e d r e p r e s e n t a t i o nf o rt h e1 ff a m i l yo ff r a c t a lp r o c e s s e s ) 综合论述了小波 分析应用于1 f 信号处理的各个方面，包括： 2 南京航空航天大学硕士学位论文 1 基于正交小波基的1 f 信号的生成。证明了互不相关的和符合一定方差 条件的小波系数，可以通过类似于k a r h u n e n - l o e v e 展开式的小波展开式合成1 f 信号。 2 基于正交小波基的l f 信号的分析。证明了1 f 信号通过正交小波基展 开式，可以得到互不相关的和符合一定方差条件的小波系数。 3 关于1 f 过程的信号处理。包括具有不同y 参数的1 f 信号的区别，1 f 信号参数的最大似然估计算法，1 f 信号的平滑。 与此同时，也在其他领域里出现了小波分析的应用，包括通过维钠滤波器对 1 f 信号过滤 5 ，以及分形调制的研究 1 4 ，并且建立了几个应用信号处理方 法产生i f 信号的模型。对于1 f 信号的处理可分为两个部分：一是利用分形和 小波分析的有力工具对1 f 信号进行处理；二是研究i l l 信号的有效生成方法和 简单数学模型，以揭示1 f 信号的机理。对于1 f 信号的应用研究主要有对人的 脑电波的分析，经典音乐的分析，和道琼斯股市数据的分析，证实了它们的确具 有1 f 特性，和具体的c o n s t a n t 和y 特征。第十六届物理系统的噪声和1 f 波 动国际会议的召开把对1 f 信号的处理扩展到更广阔的领域。 现在，日本和美国的科学家对1 f 信号的研究比较多，而我国则起步较晚， 只有零星的关于1 f 信号生成的文章，其中中国科学e 辑上发表了西安交通大学 的基于小波变换的l f 信号表示的文章，( 该项目受国家自然科学基金资助) 给出了用小波逆变换产生1 f 信号的基本条件。但关于1 f 信号的应用在我国还 没有多少研究。 1 3 小波分析和分形为：f 信号处理提供了有效方法 小波分析的发展也经历了漫长的过程，直到1 9 8 1 年，法国地质物理学家 m o r l e t 在分析地质数据时，才首先提出了小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 的概 念。m o r l e t 方法所取得的数值分析的成功，激发了更多的人对小波分析的研究。 1 9 8 5 年，法国大数学家m e y e r 首次提出了光滑的正交小波基，后被称为m e y e r 基，对小波理论作出了重要贡献。1 9 8 8 年，女数学家d a u b e c h i e s 提出了具有紧 支集的正交小波基一d a u b e c h i e s 基，为小波应用研究起了催化作用。信号分析学 家m a l l e t 提出了多分辩分析的概念，给出了构造正交小波基的一般方法，并以 多分辩分析为基础，提出了著名的快速小波算法- m a l l e t 算法( f i | t ) ，使小波从 理论研究走向实际应用。由于i f 信号的相似性表现为信号的特性从不同的空间 尺度或时间尺度来看都是相似的或局部性质与整体性质相似，而小波变换正是对 信号进行多尺度分解，可进行尺度伸缩和时移。正是这种原因，使小波分析能够 克服非平稳随机信号的不易处理性，成为处理1 f 信号的主要手段。 分形对1 f 信号处理的促进主要体现在分形音乐、分数维布朗运动上。几 乎所有的音乐节律模仿1 f 信号，具有1 f 信号中可见的随机性和可预测性，音 乐和1 f 信号在随机和预见性之间，像分形形状，在任何规模上均有某种有起始 的事，即使最小的相也反映整体。分数维布朗运动( f b w ) 是自然中发现的一个极 有用的数学模型，它是对布朗运动主要概念的延伸，几乎所有自然的计算机图形 学分形模拟均基于f b m 延伸到分数维布朗运动的更高维，在描述1 f 过程的性质 中起着重要作用。粗略的讲，分数维布朗运动就是一类在某种意义上具有广义导 1 f 信号处理及应用 数的高斯统计自相似随机过程，是产生和分析1 y 3 的1 f 信号的重要模型。 正是因为自相似性使得小波分析和分形成为分析i f 信号的有力工具，促进 了1 f 信号处理与应用的发展。 1 4 本课题的主要研究工作 在本课题中，本人主要做了以下工作： 1 对前人成果进行总结，对生成1 f 信号的几个主要模型进行了仿真。 2 基于正交小波基生成1 f 信号。对高斯白噪声进行小波变换，对变换 后的小波系数进行正交归一化，找到了满足1 f 信号生成定理的正交小波系数， 通过k a r h u n e n l o e v e 展开式生成了1 f 信号，给出了仿真结果。找到了发现满 足1 f 信号生成定理的正交小波系数的新方法。 3 将1 f 信号的参数估计算法应用于分形信号的小波滤波，取得了较好 成果。 4 童塞堕皇堕茎查堂堡主兰垡笙兰一 第二章1 f 信号的定义及基本特征 2 11 f 信号的定义 1 f 信号通常是以它的的功率谱密度的形状来定义的，定义为： s ( f ) = c o g l s t 其中，o ( 2 1 2 ) 式中o o ，随机过程 x ( t ) ) 服从尺度关系： x ( t ) p 口“x ( 耐) ( 2 1 5 ) 则称x ( t ) 是具有参数h = 1 一p 1 2 的统计自相似过程，式中星表示统计意义 下的相等。参数h 习惯称为l l u r s t 指数。在工程中，通常考虑式( 2 1 5 ) 在相关 函数意义下的相等。 1 f 信号处理及应用 令x ( m ( t ) ( 其中m = l ，2 ，) 代表x ( t ) 的无重叠分段( 段长度m ) 上原序 m f 列 x ( t ) ) 之和，即x ( ”( t ) = 土x ( f ) ，r = 1 , 2 ，而r ( k ) 表示x m ( t ) 的 埘n 蒜+ 1 自相关函数。我们称x ( t ) 为x ( t ) 的m 段过程。 应些星：星若x ( t ) 的m 段过程x ( t ) 与原过程x ( t ) 具有完全相同的自 相关函数结构，即 r “( k ) = r ( k ) ，v m = l ，2 ，k = l ，2 ， ( 2 1 6 ) 则称x ( t ) 为严格( 或二阶) 自相似过程。 应簋墨：耋若式( 2 1 6 ) 只是当m _ 。0 时才成立，则称x ( t ) 为渐进自相 似过程。 2 持久相关性任何一个具有谱参数0 ( ，( 1 的1 f 过程x ( t ) ，其自相 关r ，( f ) 都服从幂函数式衰减： r ；( f ) “lf1 “，0 ( f ( 1 ( 2 1 7 ) 在i f 过程中，高斯1 f 过程起着关键作用，它最早是模仿高斯过程定义 的。具体说来，高斯1 f 过程x ( t ) 定义为高斯白噪声w ( t ) 激励一个线性时不变 系统的结果，该系统的冲激响应为 v ( t ) 5 高t h - u z u ( t ) ，h - i 1 ( 2 l8 ) 式中r ( ) 为y 函数，而u ( t ) = 1 ( t 0 ( 2 1 1 0 ) 占 是平稳的和自相似的。利用这种方法定义的分数维布朗运动x ( t ) 可以表示成 x ( t ) 2 高 “叫“”小p 2 ) w m 小 f i ”一- ，zw ( f ) d f 南京航空航天大学硕士学位论文 o h l 式( 2 1 1 1 ) 中w ( t ) 是平稳高斯白噪声，并且当t o 时 以下替换： j f ( 2 1 1 1 ) 式中的积分要作为 ( 2 1 1 2 ) 对于h = i 2 ，式( 2 1 1 1 ) 定义的分形布朗运动退化为经典的布朗运动，即w i e n e r 过程。 由式( 2 1 11 ) 容易求出分数维布朗运动的相关函数为： r ，( t ，s ) = e f x ( t ) x ( s ) = 譬( f j f 2 ”+ i t l ”i t - s f 2 ”) ( 2 1 1 3 ) 式( 2 1 1 3 ) 中 仃三= v a r x ( t ) = r ( 1 - ，h ) c o s 蒯( z h ) ( 2 1 1 4 ) 由式( 2 1 1 3 ) 容易验证该过程是参数为h 的统计自相似过程。 虽然分数维布朗运动不能微分，但它却存在广义导数。由式( 2 1 1 1 ) 求得广 义导数为 堋2 丢m ) 2a x ( t 2 高n r - , 2 w ( 彬r ( 2 1 1 5 ) 式中 = h 一1( 2 1 1 6 ) 习惯将式( 2 1 1 5 ) 定义的广义导数x ( f ) 称为“分形高斯噪声”，式( 2 1 1 5 ) 表明，分形高斯噪声可以视为一个谱指数，= 2 h + l 的i f 过程。 于是，以平稳高斯白噪声w ( t ) 为 输入，产生分数维布朗运动x ( t ) 的过程 分为触先由平稳高斯白噪声产生分 m ) 团玛四州，( f ) 形高斯白噪声，再将分形高斯白噪声积分 图2 1 1 分数维布朗运动的产生 得到分数维布朗运动，如图( 2 1 1 ) 所示。 分形高斯噪声一( f ) 的特性主要决定于h 值。业已证明 2 ，对于大的滞后 i fi 占，增量过程的相关函数 r h ( e 0 = e f z ( ，；) x ( f e 0 ) * 盯刍( 2 h 一1 ) l f j 2 “2 ( 2 1 1 7 ) 因此，当1 2 h l 时，分形高斯噪声显示持久相关性：而当o h i 2 时，则是持 久反相关的。当h = l 2 时，分形高斯噪声退化为平稳高斯白噪声，它没有任何相 关性。当o h i ( 即l y 3 ) 时，分形布朗运动具有分形维 d = 2 一h ( 2 1 i s ) 分形维也叫h a u s d o r f f b e s i c o v i t c h 维。 1 f 信号处理及应用 分数维布朗运动提供了谱参数0 ( h ( 1 ( 即1 ， 3 ) 的1 f 过程的有用 模型，但却不能提供y 1 和，3 的1 f 过程的模型。 对于1 f 过程，也可以从频率角度进行描述。 定丝星：垒一个广义统计自相似的零均值过程x ( t ) 称作1 f 过程，若存在 频率和q ( o e o o c o 。 ) 使得当x ( t ) 被理想带通滤波器 = i 坝i , c 。o 他 1 脚醐( 2 1 1 9 ) 滤波时，输出过程y ，( t ) 是广义平稳的，并具有有限的方差。下面定理刻画 了l f 过程的性质。 蕉! 翌墨：l f 过程被理想带通滤波器 b l ( 妒 摇蛊圳锄( 2 1 2 0 ， ( 其中o 吼 0 ，且y = 2 h + i 。 崖! 垄星星当o h l 的1 f 信号，由于它的功率谱密度的积分为无穷大，即在功 率谱的起始邻域内是不可积分的，这表明能量主要集中在1 f 过程的低频率阶 段，这称为红外( i r ) 灾难。如果1 f 信号是平稳随机信号，则它的方差必为无限 大，该过程的幅值必然很大。为了解决该问题，有人假设存在一个很低的频率， 低于该频率，功率谱密度的形状发生变化，使得可积。 于是人们努力寻找证明1 f 信号在低频率下功率谱密度发生形状改变的实 验。人们所能精确确定的功率谱密度的最低频率取决于仪器的长期稳定性，和他 们对随机过程观测的时间长度。尽管有此限制，人们还是在i d o s f e t 里的1 f 信 南京航空航天大学硕士学位论文 号，最低频率达到1 0 “3 h z ，周期约三周，参看参考文献 9 ，没有发现功率谱 密度形状的变化。应用地质技术，人们对大气数据中的1 f 信号计算到了1 0 。o h z 周期约3 0 0 年，参看参考文献 1 0 ，也没有发现功率谱密度的形状改变。在所有 的实验报告中，人们只在锡的薄板在超导温度时的电阻变化和穿过神经薄膜时电 压的变化时，观察到了功率谱密度形状的变化。 m a n d e l b r o t 提供了解决无限方差问题的另一个方法。他认为对于l y o ) ，它可能在半径r 的 范围内( 以起始位置为圆心) ，时间越长，半径越大。颗粒位置的均值是个定值， 等于它的起始位置，但它的方差却随着半径范围线性增大。 m a r v i ns k e n s h n e r 在论文1 f 信号中，通过给出一个具体产生l l f 信号的r c 网络模型，关于该模型的具体实现参看参考文献 4 ，具体给出了1 f 信号的非平稳自相关函数( 对于0 y t n ( t 2 , t l ，2 略赤击扣 对于n 个相似独立的过程，最后的结果是以上的n 倍，为： 吣： ，2 芋去c o 盯1 黹 0 岛2q r o “他p 其 一丁q ，、【 = ) 0 fd p ” 动 孙 埘 & 互 & 得 互 卫 弦 仫 眨 糊 但 南京航空航天大学硕士学位论文 假设该r c 网络已开始彷真很长时间，即t ，和t ：都交大，而t ：一t 。却很小， 则t 。t2 近似为1 ，式( 2 ，2 1 0 ) 的近似为： 吣小，；刍加： 矧诣去知： 捌 “1 ，2 ，2 以r _ 如4 t 2 - n z 丽r 如( t 2 - t i ) ( 2 2 1 2 ) 同时，作者在文献中用相似过程给出了所有o y 0 , 0 ， i r 0 2 ，f ) o c i n 4 t 2 一i n l f i ，对于0 f r 2 ，y = 1 ( 2 2 1 3 ) i r ( ，2 ，r ) f 广- ( c o n s t a n t s ) j f l ，_ i ，对于l ， 2 所以1 f 信号是非平稳随机信号，同时1 f 信号又是进化的随机过程，它 过去的历史在很大程度上影响了它现在的行为。而且它的记忆是动态的，现在事 件的影响逐渐增加，逐渐超越较远时间事件的影响。而较远时间事件的影响逐渐 以对数函数形式或其他形式消失，远慢于用来描述系统建摸的低阶微分方程，这 些先后在m o s f e t 和信息系统中得到验证。 随着时间的增长，大多数物理系统逐渐趋向于热平衡，起始状态的影响减 小。例如m o s f e t ，对于足够长的时间，就会逐渐扩散。对其动态过程的描述，通 常分为两个子系统，相对于观测时问来讲，一个子系统变化很慢，另一个较快。 变化得这样慢，以至于可以认为是静止的。从另一个角度讲，晶体管内电子和空 穴的重新分布的变化时间很短，可以认为是动态平衡的。 而m o s f e t 中1 f 信号的存在表明，把动态系统分为两个子系统是不恰当的， 相反，真空管必须包括由电子和空穴重新分布的变化时间组成的系统，而这也是 应该引起注意的时间尺度之一。不管观测多长时间，一些过程达到平衡，起始状 态的影响逐渐消失。些过程在观测时间上有明显变化，而一些过程变化很小以 至观测不到，几乎全部保留着起始状态。人们对系统的观测时间将子系统分为三 个类别：快速变化的，较快变化的，变化很慢的。改变观测时间只是改变一个类 别替换另一个类别，而总的过程保持不便。为了描述晶体管的行为，人们必须知 道同整个观测时间相比，较短的时间内每个状态变量的值。又必须知道在整个观 测时间内，虽然所有状态变量的综合作用不会改变，但是每个状态的单独作用又 无法在观测时间内得到。所有这些变量可由一个值表示，即系统的稳定值。改变 观测时间的长短，只是改变了那些变量可以作为整体来研究，那些必须被单独研 究。 二零零一年，澳大利亚哲学家 参看参考文献 6 用滑动平均模型解释了人 的认知也可以分为三个过程，这三个过程可用三个时间尺度来刻画，较小时间尺 度的短期记忆，较大时间尺度的记忆储存，最大时间尺度的长期记忆。也从侧面 证明了1 f 信号的多时间尺度刻画的特点。 信息系统对过去的信息有一个积累的过程。随着时间的增长，系统的结构 1 f 信号处理及应用 和复杂性增加，而不是象真空管那样减小。象生物进化，文化发展，政府的演化， 经济系统的发展，以及个人的成长和发展都是很好的例子。1 f 过程从过去把发 展趋势提取出来，加以简化，来决定现在状态变量。状态变量在1 s 内的平均值 代表了该过程在过去1 s 内的趋势或平均行为，状态变量在l o o s 内的平均值代表 了该过程在最近l o o s 内的趋势或平均行为，依次类推。每个状态变量均等的影 响现在的行为。每个状态变量在不同时间尺度上代表了事物的发展趋势。最新的 数据会支配最短时间范围内的状态变量，但对长时间变量的影响逐渐减小。当越 来越多的状态变量反映新的数据的发展趋势时，持久的发展趋势使得过程以指数 与时间适应。因此为研究1 f 信号而开发的模型对于仿真以上所提到的信息系统 是很有用的，特别是描述过去的信息可以简化和储存为不同尺度上的趋势的想法 特别有用。随机选择的音乐节拍，越具有1 f 功率谱密度，听起来越像音乐，也 表明人的思考和记忆具有1 f 结构。正是人的思考和记忆与i f 信号的联系及人 的记忆和行为对习俗产生的影响，使得人的自身发展，政府的演化和文化发展具 有1 f 特点。 1 f 过程可以作为一个很好的预测模型，由于现在和将来的高度相关，人 们一定可以通过对事物过去的理解来更好的预测事物的将来，但人们必须明白每 个状态变量如何影响现在行为的机理及每个状态变量的现在值。 2 2 21 f 信号功率谱密度特性描述 m a r v i ns k e n s h n e r 在论文中给出自相关函数的同时，也对1 f 信号的功 率谱密度作了描述。由r c 网络所得的自相关函数可知，自相关函数可以写成两 个函数的和，个仅依赖于t ，另一个仅依赖于r 。 r ( t2 ，f ) = f ( t 2 ) + f ( r ) ( 2 2 1 4 ) 实际上，非平稳自相关函数是接近平稳的，它的非平稳特性是由于引进了 变量t ，对变量f 做傅立叶变换得到近似的平稳过程s ( f ) ，并可以估算附加变量 i - 的作用，由于只能在观测时间内计算相关，我们把f 限定为： 0 f s ( 2 2 1 5 ) 我们以变量瓦将式( 2 2 1 1 ) 对于y = 1 的1 f 信号，分为两式： 对上式作傅立叶变换得到： s ( f h ”2 丽r 万1r 扎挚 ( 2 2 1 7 ) k 1，j r 期巾掣k _1fj 也一一 l r 卜r r 一贮 r 一贮 r 一獬 r 一猫 砖 砖 南京航空航天大学硕士学位论文 对于f ，t ：是常数，得到零频率时的脉冲为： 吣十卦 风( f ) 为f = o 的单位脉冲。总的结果归纳为 s ( f ) = ( 2 2 1 8 ) 由上式可以看出，在观测时间所决定的最低频率之上，s ( f ) 与1 f 成正比， 且s ( f ) 的幅值与t2 和z k 无关，即是平稳的。过程在区间 一z k ，丁k 上看似稳 定的值是对s ( f ) 的积分： f 瓮跗，够叫去 n 等+ z 一去c 厂c i l c z z z 。， 由r c 网络模型导出的非平稳自相关函数却得到了类似于平稳过程的自相 关函数，对于不知道起始状态的s ( f ) 的测量是与观测时间所决定的最小频率所 一致的。式( 2 2 1 7 ) 所示的功率谱密度如图( 2 2 1 ) 所示： s ( f ) ? 少 。 1 t o t i t o f 图( 2 2 1 ) 式( 2 2 1 7 ) 所示的功率谱密度 2 31 f 信号识别 对于1 f 信号，并没有特别的识别方法，一般是按照其定义，取信号的功 k去呱 玲 0 陟、尸爿幢 r 一以 足一彬 一2 2 砖 瑶 ! ! ! 焦呈竺望墨壁旦 一。 率谱，看其功率谱是不是符合1 f 特性。下面求得l f 信号的功率谱。图( 2 3 1 ) 为1 f 信号，图( 2 3 2 ) 为其功率谱特性。 图( 2 3 1 ) 由正交小波基生成的1 f 信号 图( 2 3 2 ) 图( 2 3 1 ) 所示信号的功率谱密度 可以看出1 f 信号的功率谱密度的幅值与频率取2 0 l o g 后，成线性关系， 即具有s ( 厂) = 去的特性，关于参数的估计，参看第四章。 j 2 4 本章小结： 本章分别从数学角度和数字信号处理角度给出了l f 信号的定义，分析了1 f 过程的统计自相似性，长期自相关性，并初步分析了1 f 信号的机理：耸出i 其 作为信息系统模型的优越性。推导出了1 f 信号的自相关函数，和功率谱密度函 数，以及识别方法。 4 宣室堕窒堕垂查堂堡主兰垡笙墨 一 第三章1 f 信号生成模型 3 1