（应用数学专业论文）二阶hamiltonian系统的同宿轨道.pdf

二阶h a m i l t o n i a n 系统的同宿轨道+ 学科专业：应用数学 指导教师：唐春雷教授 研究方向：非线性分析 研究生：吕颖( 2 0 0 3 5 8 0 ) 摘要 本文首先考虑二阶h a m i l t o n i a n 系统 诅( ) 一l ( t ) u ( t ) + v w ( t ，u ( t ) ) = 0( h s ) 的同宿轨的存在性，其中l g 1 ( r ，r 彬) 是个对称的实值函数矩阵，w c 1 ( r r ，r ) ，而v w ( t ，z ) = ( o w o x ) ( t ，z ) 首先在没有任何周期性和强制性的假设下讨论 系统( h s ) 的同宿轨的存在性，具体地说，假设l ( t ) = 0 ，特别地，假设w ( t ，z ) 关于t 是偶的并且满足一类新的超二次条件，这类条件不同于文献 6 】，【7 】， 8 l 【9 】【l o ，【1 2 】， f 1 4 】， 1 5 j 【17 】， 1 9 j ， 2 0 】， 2 2 】，【2 4 j 】 2 5 】和【2 6 】中的超二次条件它不但包含通常的超 二次情形而且包含了渐近二次的情形，具体地说，wc t ，z ) 允许在原点和无穷原点处 都满足渐近二次的假设并且当l ( t ) 是一致正定的时候。我们在一类比a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 条件弱的新的超二次条件下，讨论了超二次的情形我们借鉴了文献 1 0 】 中一些思想，主要是利用一列零边值问题的解来逼近同宿轨，具体的做法是首先利用 山路引理得到了一列零边值问题的非平凡解，然后利用零边值问题的解逼近得到一个 非零的极限 主要结果如下： 定理4 1 假设满足 ( w 1 ) w ( t ，0 ) 三0 ，w ( - t ，z ) = w ( t ，z ) 对一切t r 和z r 成立； ( w 2 ) m ( t ，z ) 兰0 对一切t 0 和z 冗成立； ( w 3 ) 存在d 1 0 和r 2 使得 w ( t ，z ) d l 川7 对一切t r 和z 冗川成立； 国家自然科学基金资助项目( 批准号：1 0 4 7 1 1 1 3 ) ；教育部高等学校优秀青年教师教学科 研奖励计划项目 ( w 4 ) 当- - - + 0 时v w ( t ，z ) - - 4 0 对te r 一致成立； f w 5 ) 存在如 0 ，弘 r 一2 和声l 1 ( r ，酣) 使得 v w ( t ，g ) ，司一2 w ( t , z ) 磊 善p 一声f 蛰对一留t r 和善露成立； ( w 6 ) 挚8 u p 兰铲 0 使得 l 酬i r a i 。n f 旦势 2 霄u t ox 于te 卜t o ，t o 一致成立， 猁系统 砬( t ) + v w ( t ，缸( ) ) = 0( h 是) 至少存在个非平凡的偶同宿轨 定璞4 。2 设设w 潢蹩( w 1 ) ，w 2 ) ，( w a ) ，( w 4 ) ，( w 5 ) ( w 6 ) 以及 ( w 7 ，) l i m i n f l w 挚t o x c t e 冗一致成立， 则系统( h 8 , ) 至少存在个非平凡的偶同宿轨 定理4 3 缓设彤满足( w 1 ) ，( w 3 ) ，( w 4 ) ，( w 5 ) 帮 ( w 6 ) 当矧_ + 0 对w ( t ，譬) = o ( 1 9 1 2 ) 对t 冗致或囊； ( w p ) 存在t o 0 使得 1 i n l 旦琶铲= + o o 对t 【- t o ，t o l 一致成立， 薅三一致忑定并量满题 ( l 1 ) l ( - t ) = l ( t ) 对鳃t r 成立； ( l 2 ) 瓤( t ) z ，写) 一i 诉( t ，茹) o 对一切t 0 和茁r 成立， 则系统( 村s ) 至少存在个非平凡的偶同宿轨 本文透讨论了二静h a m i t o n i a a 系统 诅0 ) 一a “( t ) 十v w ( t ，让( t ) ) 一0( h 岛) 其中a 玩w g 1 陴霓，脚丽v w ( t ，霉) = ( o w l a z ) ( t ，茹) 对二阶h a m f l t o n i a n 系统酶戮究，超二次静h a m i l t o a i a n 系统一盔怒研究的热纛，露研究渐遥二次曲情形 文献却很少本文在没有蔺期性和强裁性条件的假设下，讨论了系统( 蜀& ) 在原点和 无穷远点都渐近二次的情形，得到了系统( 腻) 的同宿轨的存在性，并且在w c t ，正) 关予z 罴偶缀数的条件下利用偶泛函的临界点理论得到了同宿轨的多解性 主螫结聚妇下t 定瑾4 4 假设彤满足 ( v 1 ) l * m o 翌篱越= 0 关于t r 一致成立； ( v 2 ) 对于一切给定的t r 和z r n ，( 婴鼍型，z ) 关于r 非减，并且存在一个 泛函g c ( r ，r ) ，使得 脚掣= 夕( t ) z 关于t r 和z r n 一致成立； ( v 3 ) 存在一个泛函h c ( ，r ) 使得 。l i mv ( t ，z ) = h ( x ) x 关于茁r n 一致成立； ( v 4 ) 存在k ( o ，o o ) 使得 川氓l i m h 一哗产2l 慧 ( z ) 2l 概9 ( t ) = k ； ( v 5 ) ( v ( t ，z ) ，。) j i m ( v w ( t ，z ) ，。) = ( 。) 2 对一切t r 和茹r 成 立，并且 ( v w ( t ，茹) ，。) h ( x ) x 1 2 对一切t q 和z r 成立， 其中q r 是一个正测集若0 a f o o ，则( 且是) 存在一个非平凡的同宿轨 定理4 5 假设0 a f o o ，w 满足( v t ) ，( v 2 ) ，( v 3 ) ，( v 4 ) 和 ( v 6 ) w ( t ，一茹) = w ( t ，z ) 对切t r 和z r n 成立， 则易知h c ( r ，硒和h ( - x ) = l i l ( z ) 对一切z r 成立并且假设存在k 个支集 互不相交的泛函毋1 ，如，机h 1 ( r ) 使得 妒( 也) 0a n dp r 一2a n d 卢二1 ( r ，r + ) s u c ht h a t ( v w ( t ，z ) ，z ) 一2 w ( t ，z ) d 2 i x l 一卢( t ) f o ra l l ra n dz r ； ( w 6 ) l i m s u p 掣 0 s u c ht h a t l i r a i n f 帮 2 7 r 2 t ou n i f o r r e l y i nt 【一t o ，t 0 1 t h e np r o b l e m 豇0 ) + v w ( t ，n ( o ) = 0 h a sa tl e a s to n ee v e nh o m o c l i n i co r b i t 旧& ) t h e o r e m4 2a s s u m et h a tw s a t i s f i e s ( w 1 ) ，( w 2 ) ，( w 3 ) ，( w 4 ) ，( w 5 h ( w 6 ) a n d ( w 7 ，) l i m + i 。n f 鬻 o a 8i x l - + c ou n i f o r m l yi nt r t h e np r o b l e m ( 日& ) h a sa tl e a s to n ee v e nh o m o c l i n i co r b i t t h e o r e m4 3a s s u m et h a tw s a t i s f i e s ( w 1 ) ，( w s ) ，( w 4 ) ，( w 5 ) a n d ( w 6 ) w ( t ，$ ) = o ( 1 2 1 2 ) a si z i - + 0u n i f o r m l yi nt r ； ( w 7 ，) t h e r ee 】d ；s t 8t o 0s u c ht h a t l 器掣= 佃u n i f o r m l y i n t 【- t o ，引； a n dli su n i f o r m l yp o s i t i v e l yd e f i n i t ea n ds a t i s f i e s ( l 1 ) l ( - t ) = l ( t ) f o ra l lt r ； ( l 2 ) ；( 三7 ( 0 x ，$ ) 一仰( t ，$ ) 0 f o ra l l t 0 a n d 霉r t h e np r o b l e m ( h s ) h a sa tl e a s to n ee v e nh o m o c l i n i co r b i t w ea l s oc o n s i d e rt h et h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i tf o rf o l l o w i n gs e c o n do r d e r n o n a u t o n o m o u ss y s t e m s 豇( f ) 一a u ( t ) + v w ( t ，钍( t ) ) = 0 ，( h 岛) w h e r ea 0 ，w c 1 ( r x r ，r ) a n d v w ( t ，。) = ( o w o 。) ( t ，z ) a s w e a l l k n o w m o s t p a p e rc o n s i d e rt h es u p e r q u a d r a t i cc a s e ，v e r yl i t t l eh a sb e e nd o n eo ut h ea s y m p t o t i c a l l y q u a d r a t i cc a s e i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ea s y m p t o t i c a l l yq u a d r a t i cc a s e ，w h e r e ( 日岛) i sa s y m p t o t i c a l l yq u a d r a t i cb o t ha ti n f i n i t ya n da tz e r o ，w i t h o u ta n yp e r i o d i co r e o e r c i v i t yc o n d i t i o n t h e nb ya p p l y i n gac r i t i c a lp o i n tt h e o r e mf o re v e nf u n c t i o n a l si n t h es p i r i to ft h es y m m e t r i cm o u n t a i np a s st h e o r e m ( s e e 【4 】) ，w ec o n s i d e rm u l t i p l i c i t y o fh o m o c u n cs o l u t i o nw h e nw ( t ，霉) i sa ne v e nf u n c t i o no f 岳 t h em a i nr e s u l t sa x et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e m4 4a s s u m ews a t i s f i e s ( v 1 ) i 毂眢= o u n i f o r m l y i n t e 足 ( v 2 ) ( 掣，z ) i sn o n d e c r e a s i n gw i t hr e s p e c tt o 下f o ra l lt r a n dz r n f i x e da n dt h e r ee x i s t saf u n c t i o ng c ( r ，r ) ，s u c ht h a t 岫掣= g o 扣u n i f o r m l y i n t r a n d 。r ； ( v 3 ) t h e r ee x i s t saf u n c t i o nh c ( r 一，r ) s u c ht h a t l i mv w ( t ，。) = h ( z ) xu n i f o r m l yi nu r n ； ( v 4 ) t h e r ee x i s t sl o o ( 0 ，o 。) s u c ht h a t 川+ 船一哗产。f 耘九( ) 2f 糕g ( t ) = k ； ( v 5 ) ( v w ( t ，钍) ，t ) 单m ( v w 7 ( t ，t ) ，n ) = h ( u ) l u l 2f o ra l lt r ，u r a n d l “- = b ( v w ( t ，t 上) ，t 上) ( t 上) i u f 2f o rt ua n dt 上r ， w h e r eu ri sas e to fp o s i t i v em e a s u r e i f0 a k ，t h e n ( h s 2 ) h a san o n t r i v i a l h o m o c l i n i c0 r b i t t h e o r e m4 5a s s u m e0 a k ，伽s a t i s f i e sc o n d i t i o n s ( v 1 ) ，( v 2 ) ，( v 3 ) ，( v 4 ) ， a n d ( v 6 ) i 矿( t ，一z ) = w ( t ，z ) f o ra l lt r ，z r t h e n ，i tc l e a r l yf o l l o w st h a th c ( r ，固a n d ( 一z ) = h ( z ) f o ra l l 茹r a l s o ，a s s u m et h e r ee x i s tkd i s j o i n ts u p p o r t e df u n c t i o n s 咖l ，也，毋h 1 ( 硒s u c h t h a t 妒( 咖) 0 ，w g 1 r n ，r ) 而v w ( t ，茹) = ( o w l o z ) ( t ，茹) 文中无须类似于( 2 1 ) 稳( 2 2 ) 豹强稍性条件，壤癃缝说，潇照 ( v 1 ) l 溉犁= o z , t q ：t 置罐触； 4 ( v 2 ) 对于一切给定的t r 和z r ，( 婴鼍掣，z ) 关于f 非减，并且存在一个 泛函g c ( r ，r ) ，使得 1 i m 旦g t 二兰l = 9 ( t 净关于t r 与z r 一致成立； ( v 3 ) 存在一个泛函h c ( r ，r ) 使得 l i mv w ( t ，z ) = ( z ) z 关于2 7 r 一致成立； ( v 4 ) 存在k ( 0 ，) 使得 嘲l i r a l 。哗产。i 怒h ( 霉) 2i 糨g ( t ) = l o d - 当满足( v 1 ) ，( v 2 ) ，( v 3 ) 和( v 4 ) 时，系统( 凰岛) 在原点和无穷远点都渐近二 次我们把系统( 日岛) 看成关于下面的系统( 口岛) ”的扰动 a ( t ) 一a u ( t ) + h ( u ) u = 0 ( h s j ) ” 在0 o ，使得，l a 巩媚 ( b ) 存在e x 岛( o ) ，使得，( e ) 0 令r 是x 中连接0 和e 的道路集合，即f = d g ( 【o ，1 】，x ) 1 9 ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = e ) ， 设c 2 措吲m a x l f ( g ( o ) ，则c o ，且，关于山路水平c 有临界序列，再若，满足p a l a i s - s m a l e 条件，那么c 还是，的个临界值 注3 1 因为在( b a r t o l o ，b e n c i 和f o r t u n a t o 【l 】) 中用( c e ) 。条件代替了( p s ) 。 条件证明了形变引理，所以山路引理在( c 色) 。条件下仍然成立 定义3 2 ( 见b a r t o l o ，b e n d 和f o r t u n a t o 【1 】) 泛函，c ( x ，r ) 满足( c e ) 。条件是 5 指。对任意的序列 u 。) x ，由，( ) 有界以及当n - + + 。o 时( 1 + 0 川i ，( t i ) i l - 0 可以推得 t ，1 ) 有一个收敛子列 在我们证明过程中，我们将会用到( l i o n s 【2 】，【3 】) 中的引理，通常我们称之为集 中紧性引理 引理3 3 ( 集中紧性原理) ( 见l i o n s 3 ( 1 9 8 4 ) ) 令加是l 1 ( r ) 中的一个序列，在 整个实数集r 上满足 芝0 并且等加= ，7 是一个常数，则存在一个子序列，不失 一般性。我们仍记为加，满足下列三种可能性中的一种 ( i ) ( 消失性) 。鹄。c郇)atlim s u p = o 。一皿如一l p n 0 2o 对所有的l o 成立； ( i i ) ( 紧性) 一存在y n r 满足对任意的 0 ，存在j 0 使得 仨郇) d t 悱 对一切n 成立； ( i i i ) ( 二分性) t 存在口( 0 ，町) ，砖0 ，庶0 ，以及砖，砖l 1 ( r ) 使得 ( 1 ) i i 一( 砖+ 露) il l , _ + 0 当n - + o 。， ( 2 ) 麝以( t ) d t - + a 当n - + o o ， ( 3 ) 盥砖出- + 叩一q 当n + 0 0 ， ( 4 ) d i s t ( s u p p 砖，s u p p 砖) - + o 。当n _ + o 。 为了排除集中紧性引理中的其它可能性，我们将用应用( a r i o l i 和s z t d k i n 1 1 ) 中 的引理，它是( l i o n s 【2 】，引理1 1 ) 的特殊情况 引理3 4 ( 见a r i o f i 和s z u l k i n 1 1 ( 1 9 9 5 ) ，l i o n s 2 ( 1 9 8 4 ) ) 令加是口( r ) 中的 一个有界序列，其中1 s 0 0 ，使得“在口( r ) 中有界，1 r 0 使得当n + 时 ，。q-i(t)”dt+0supi o ， fi + ， y e rj y 一 则p n _ + 0 在小( r ) 对一切( 8 ，。) 成立 为了证明山路引理中的几何条件，我们将介绍下面的引理( c o s t a 和t e h r a n i 2 3 命题2 2 ) 6 引理3 5 ( 见c o s t a 和t e h r a n i 2 3 ( 2 0 0 1 ) ) 考虑m = g o l 一( 钍) ，u ) = l i t , 1 1 2 一 盥( v w ( t ，u ) ，u ) d t = o ) 并且让 t o 日1 ( r ，r ) ，如果i i 训1 2 一j ：磐9 ( t ) i 叫1 2 d t o 使得妒口成立， ( d ) 存在k 维的子空间x kce 使得kn a o 有界，并且 l i r a s u p l ( q ) = m o o ， e x k 其中a o = q 引妒( u ) 0 记b 1 是e 上的单位球而& 是它的边界的，h 是定义在 e 上的个奇的同态，下面定义 r = c ( e ，e ) l h ( 0 ) = 0 ，h ( b 1 ) ca o ，k 是e 上的一个紧子集， r 。= ce 一k = k ，7 ( k n 危( 岛) ) m ，对一切h r 成立， 称 f f k ) 为对称子集k c e 的经典的亏格 引理3 6 ( 见r a b i n o w i t z 4 】) 令e 是一个b a n a c h 空间并且妒c 1 ( e ，兄) 满足 上述条件( c ) 和( d ) ，另外，假设对a c 兰m ，妒满足( c e ) 。条件令 k 2 蕊洲s u p o ( u ) 对一切m = 1 ，2 ，k 成立则 ( 1 ) 0 0a n dp r 一2 和卢l 1 ( r ，r + ) 使得 ( v w ( t ，z ) ，) 一2 w ( t ，g ) d 2 吲p 一卢( t ) 对一切t r 和o r 成立； ( w 6 ) l i m 8 u p 旦琶铲 0 使得 l h i r a + i 。n f 号铲 2 丌2 t o 在t - t o ，t o 上一致成立 则系统( 日冀) 至少存在个非平凡的偶同宿轨 定理4 2 假设满足( w 1 ) ，( w 2 ) ，( w 3 ) ，( w 4 ) ，( w s ) ，( w 6 ) 以及 ( w r 7 ，) l 蚓i r a _ + i 。n f 帮 0 当h _ + o o 时对一切t 兄成立 则系统( h s l ) 至少存在个非平凡的偶同宿轨 定理4 3 假设满足( w 1 ) ，( w 3 ) ，( w 4 ) ，( w 5 ) 和 ( w 6 ) 当蚓- + 0 时w ( t ，茹) = o ( i x l 2 ) 在t r 上一致成立； ( w 7 ，) 存在t o 0 使得 l 晕罨铲= + o o 在t - t o ，t o l 上一致成立； 而l 一致正定并且满足 ( l 1 ) l ( - t ) = l ( t ) 对一切t r 成立， ( l 2 ) ；( ( t ) z ，z ) 一( t ，z ) o 对一切t 0 和z r 成立 则系统( h s ) 至少存在一个非平凡的偶同宿轨 注4 1 作为定理4 1 的一个推论定理4 2 既讨论了超二次的情况又讨论了渐近二 次的情况我们能找到这样的泛函缈满足定理4 2 ，但是不满足【6 1 ， 7 1 ，【8 】，【9 1 ，【1 0 】， 8 【1 2 j ，【1 4 】，【15 】，【17 】， 1 9 】，【2 0 】，【2 2 】，【2 4 1 ， 2 5 】和【2 6 】中的相应定理例如 咐，= 懈- 2 x 叫1 2 + 印l x l 3 篙 【6 】， 7 】， 8 1 ， 9 】，【l o l “1 2 】， 1 4 】，【1 5 1 ，【17 】，【1 9 】，【20 】，【2 2 】， 2 4 】，【2 5 】和【2 6 只讨论了超二 次的情形，但是由条件( w 6 ) 和( w 7 ，) 知，w ( t ，z ) 在定理4 2 中可以在原点和无穷 远点都是渐近二次显然如果我们用定理4 1 代替定理4 2 ，贝! 上述讨论仍然成立 注4 2 存在这样的l 和满足定理4 3 ，但是不满足【6 】，【7 1 ，【8 】， 9 1 “l o ，【1 2 】 1 4 ，【15 】，【17 】， 1 9 】，【2 0 】，【2 2 】，【2 4 】， 2 5 】和【2 6 】中的相应结论例如 l ( t ) = 如，w ( t ，正) = 蚓2 l n ( 1 + i z l 2 ) 其中如是阶的单位矩阵通过简单的运算易知上述l 和满足定理4 3 ，但是不 满足上述文献中的相应条件 4 2 系统( 日岛) 的同宿轨的存在性和多解性结果 本节主要讨论二阶h a m i l t o n i a n 系统 程( t ) 一a u ( t ) + v w ( t ，牡( t ) ) = 0( 日s 2 ) 在一类渐近二次的条件下讨论系统( 日岛) 的偶同宿轨的存在性。并且利用偶泛函的临 界点理论证明得到了同宿轨的的多解性 定理4 4 假设w 满足( v 1 ) ，( v 2 ) ，( v 3 ) ，( v 4 ) 和 ( v 5 ) ( v ( t ，z ) ，z ) 1 啦( v w ( t ，z ) ，z ) = h ( x ) l x l 2 对一切t r 和霉成 j i ，聊 立，并且 ( v w ( t ，钍) ，u ) h ( u ) l u l 2 对一切t u 和钍r 成立 其中叫r 是个正测集若0 a k ，则( 日岛) 有一个非平凡的同宿轨 注4 3 定理4 4 讨论了系统( 凰岛) 在原点和无穷远点都渐近二次的情况存在这 样的泛函w 满足定理4 4 ，但是不满足 6 】， 7 】，【8 】，【9 ，【l o l ，【1 2 ，f 1 3 ， 1 4 1 ，f 1 5 ，【1 7 1 ， 【1 8 】， 1 9 】，【2 0 】，【2 2 】，【2 4 】， 2 5 】和【2 6 】中的相应结论例如 帅，加坩( 一高) 9 通过简单的计算易知上述满足定理4 4 中条件上述所有的文献中，除了【1 3 】和 【1 8 ，都讨论超二次情形或者次二次情形【1 3 】和【1 8 】讨论渐近二次情形，但是【1 3 j 和【1 8 1 中需假设强制性条件( 2 1 ) ，而我们的定理4 4 不需要类似的强制性条件 定理4 5 假设0 a k ，满足( v 1 ) ，( v 2 ) ，( v 3 ) ，( v 4 ) 和 ( v 6 ) w ( t ，一g ) = w ( t ，) 对一切t r ，z r 成立， 则易知h c ( r ，r ) 和 ( 一z ) = h ( x ) 对一切z r 成立并且假设存在七个支集 互不相交的泛函l ，如，机h 1 ( r ) 使得 j r ( 机) 0 无关 众所周知竹在明( 一正砷上的临界点是问题( 凰) 中方程的解，并且解满足 t ( t ) = u ( - t ) = 0 定义硪( 一z t ) 中的闭子集坼， 岛= u 掰( 一t , t ) i u ( 一t ) = u ( t ) v t ( 一l t ) ) 则我们将得到下列引理5 1 引理5 1t 坼是问题( 日函) 的解当且仅当t | 是泛函，的临界点，其中，是 由铆限制在) r j 上得到的 证明t 令 y r = 钍丑a ( 一正t ) l u ( - t ) = - u ( t ) vt ( 一l t ) ) ， 我们得到珥( 一正t ) = x ro 埽事实上，一方面对任意的乜嘲( 一正t ) ，令 11 v ( t ) = 言( u ( t ) + 牡( 一t ) ) ，叫( t ) = 言( 钍( t ) 一u ( 一) ) ， 则口坼，加y r ，因此硪( 一l t ) = x r + 埽另一方面我们有 ，t，t ( ，叫) 。上r ( ( t ) ，叫( t ) ) d t + 上t ( 。( t ) ，w ( t ) ) d t 2 厶( 口( 一t ) ，删( 一t ) ) d ( 一t ) + 上( 。( 一t ) ，曲( 一t ) ) d ( 一t ) 2 上t 扣( t ) ，一埘( t ) ) d t + 上t ( 一。( t ) ，f o ( t ) ) d t 对一切口x t ， t o 婚成立，这就得到了( ，叫) = 0 ，即x t 上硌因此哪( 一l t ) = 坼。玮其次，对一切u x t ，叫y t 我们有 ( 衍( u ) ，叫) = t ( 吐( t ) ，西( t ) ) 出一( v ( 柚( t ) ) ，叫( t ) ) 出 = 厂( ( 小班曲( 棚) d ( 卜( v ( 让( 卅) 川_ t ) ) d ( _ t ) r t i , t 5 上t ( 一也( t ) ，) 如+ _ t c v w c t ，u ( t ) ) ，一w c o ) d e = 一( 西( u ) ，叫) ， 由此可得，对一切钍x r ，叫埽 ( 西( t ) ，w ) = 0( 5 1 3 ) 最后，假设u x t 是泛函，的临界点，则对一切引硒我们有 ( 西( 札) ，”) = ( ，”) ，口) = 0 ( 5 1 4 ) 从( 5 1 3 ) 式和( 5 1 4 ) 式我们知井( t ) = 0 ，即t 是竹的一个临界点 引理5 2 在定理4 1 的条件下。系统( 日曲) 对一切t t o 都有非平凡的解 证明t 由注3 1 知山路引理( r a b i n o w i t z 4 j ) 在( g e ) 。条件下仍然成立 步骤1 由定义3 2 ，若，满足( c 色) 。条件，则对任意的 心。) 曲，由，( t 。) 有界 并且当礼- + + o 。时有( 1 + i l ，( ) 0 _ + 0 ，可以推得 ) 有一个收敛子列假 设 t 。 x t ，( t 。) 是有界的并且当n - - 1 0 0 时( 1 + 1 t | 。i i ) 1 1 ( ) - 40 ，则存在常数 m 0 使得 ，( 让。) t ( 1 + l i “。i i ) 1 1 7 ( “。) 0 m( 5 1 5 ) 对一切n n 成立由( 5 1 5 ) 和( w 5 ) 可得到 3 m 2 野) 一( ，( ) ，) 2 t ( ( v ( t ，) ，) 一2 w ( t ，) ) 出 如k l 2 d t z ( t ) d t 如上t 吲”一 r tg o o 如上t i 乱n i “d t 一上。卢( t ) d t 2 如上t i u n i “d t 一卢 1 2 其中卢= ，卢( t ) 出所以序j 让。i “d t 对一切t 0 和n 有界，即存在c 1 0 ，使得 o 和n 都成立由( w 6 ) 知，存在0 p 0 ) t 砒 对一切s o p o ) l u n l 2 d r + d l 上t 【一t 闻i ( 圳 p o ) l 让n 7 出 m + c o k 羽j m m 麻- d t + d l k 删胁舾舶 蚶m m + ( 。p 2 - 7 + 血) k 删协恰p o ) m 出 5 m + ( e 。露1 + d z ) i l o 嚣9 上r ipdttt m + ( e 。儡一7 + d 1 ) c 奢一l i 乱。i i r 一一仁i 钍。r d t 0 使得f l s 0 0 ，其中s = ( u 晒t t “= | p 选取 p = p 0 氏，由( 5 1 2 ) 知对u s 有i i , u 1 1 。p o ，即对一切t 【- t ，卅有1 t ( t ) i 0 和g 0 使得 对一切 g 和t 【- t o ，t o 】有下式成立 鬻垫t o 川2 = 。 令62 t 卜- m 函a , x 州g i c t , z ) l ，因此得到对一切z r 和t 【- t o ，t o 有 w ( t ，z ) 兰! ；当皇( i z i 。一g 2 ) 一点( 5 1 7 ) 定义 e ( = 8 | 8 i n l 自t 卜t 正卅 - t o , 一t o 蜀 ，蜀 你) = ；肛胁呻e ) 出 = 仁( w 出一仁眦朋ii n ( 啡。) 出 兰仁忡圳2 出一警s 2 层忡t ) 2 d r + 2 而p 警+ a ) 一百2 e ls 2 竭( g 2 警+ 0 当s - o o 时因此对所有t t o ，我们选取一个足够大的8 使得l p 并且满 足( e ) 0 利用山路引理，对一切t t o 存在，的个临界点w r 坼使得 ，( e ) 咖 0 这意味着当t2t o 时系统( 日岛) 至少有一个非平凡解 事实上，如果我们定义一个道路的集合 r t = d ( t ) ： 0 ，1 】+ x t i g ( o ) = o ，9 ( 1 ) = e ) ，( 5 1 8 ) 则系统( 且鼢) 存在一个解鲫，并且在鲫处达到山路水平 感t 【m u l a x jl ( g ( 。) ) 三m t ( 5 1 9 ) 现在令于 t ，如果我们在 于，甸 _ 正巧上补充定义成零，则b 中的泛函都可以 看成坼中的元，所以我们有叶c 珞，即对应于于道路集合( 5 1 8 ) 比对应于t 的 道路集合大，这就意味着对一切于t t o 有 坞m r 蔓m t o 1 4 所以系统( 且翰) 的解对t 蜀一致地有 ，( 鲫) = 互1 上t tl u 1 2 d t 一仁w ( 屯t ) d r m n ( 5 1 1 0 ) 引理5 3 “t 关于t 蜀一致有界 证明t 对于一切t 而显然有 ，( u t ) = 0( 5 1 1 1 ) 由( 5 1 1 0 ) 和( 5 1 1 1 ) ，我们得到 ，( 鲫) m n ，( 1 + i i 嘶1 1 ) l l f ( 鲫) = 0 类似引理5 2 中的步骤1 的证明，我们很容易证明得到0 鲫关于t 蜀一致有界 引理5 4 在定理4 1 的条件下有鲫( o ) 0 证明t 由于鲫是偶函数，所以西( o ) = 0 ，又由于鲫( t ) 是非平凡则u r ( o ) 0 若不然则假设鲫( 0 ) = 0 ，定义实数叩如下 t 7 = s u p s f o ，卅i t 吁( t ) = o ，鲫( t ) = 0v t 【0 ，s 】) 由于在假设下0 显然满足条件，因此定义，7 有意义并且有0 s f 7 t 我们断言7 7 = t ， 如若不然，假设，7 t 因为w c 1 ( 一正卅r ，冗) ，叼c 1 ( 【一正卅，r ) ，则 u = v ( ，z ( ) ) g ( 【一z 邪，固，由p i c a r d 存在唯性定理易知存在0 h t 一叩 使得下列线性的有界边值问题 j 越( t ) + u ( t ) = 0t m ，卅 【吐( t 7 ) = u ( 卵) = 0 在区问【编叩+ j 上存在唯一的解，由唯一性