（应用数学专业论文）关于几类扩散方程（组）解的研究.pdf

四川大学博士学位论文 摘要 关于几类扩散方程( 组) 解的研究 应用数学专业 研究生向昭银指导教师穆春来教授 扩散是最普遍的自然现象之一例如。在渗流理论、相变理论、生物化学以及 生物群体动力学等领域中都存在着大量的扩散现象而这些涉及到扩散现象的实 际问题往往都可用具有扩数项的偏微分方程进行描述，无论从数学理论还是应用 科学的角度来看，对这些扩散方程的研究都具有特别重要的意义近四十年来，特 别是近二十年来，这类方程的研究吸引了国内外众多的数学工作者，并且取得了令 人瞩目的进展人们发展了许多新的数学思想和方法。大大的丰富了偏微分方程的 理论并促进了相关学科的发展本文将对应用科学中提出的几类重要的扩散方程 ( 组) 解的性质作一些定性的研究 在第一章中，我们将研究几类具有非局部局部化源项的反应扩散方程组的 n e u m a n n 边值问题和c a u c h y 初值问题对于齐次n e u m a n n 边值问题，我们充分运 用新建立的比较原理得到了解整体存在与有限时刻爆破的充分条件，借助于g r e e n 函数的性质以及解的表示等技巧建立了爆破解的精确爆破速率估计，并给出了爆 破集我们将看到，由于齐次n e u m a n n 边界的绝热效应，爆破速率估计在整个闭区 域上一致地成立借助于相似的思想以及常微分不等式等技巧，我们也将研究相应 方程组的c a u c h y 问题解的同时爆破与非同时爆破、爆破解的精确爆破速率估计 以及爆破集等性质与一些学者之前的工作相比，我们的方法特别简洁，而所得到 的结论改进并推广了他们的许多结果与相关工作 在第二章中。我们首先研究类同时具有反应和吸引的扩散方程组的齐次 d i r i c h l e t 边值问题在合适的指数限制之下。我们利用s c a l i n g 方法得到了任意爆破 解爆破速率的上界估计我们将看到，如果对吸引项的指数作适当的限制，则爆破 速率的指数由反应项给出这表明。当吸引项的增长较慢时，反应项对解的增长起 着主导作用同时。我们也将仨较弱的指数增长限制之下给出爆破速率的下界估计 四川大学博士学位论文 其次。我们还将考虑一类具有边界和方程藕合的非线性扩散方程组的解的性质由 于这类方程组不具有结构对称，所以在研究中存在着很大的困难我们首先借助于 构造特殊的自相似上下解等技巧建立问题解整体存在与有限时刻爆破的充分条件。 然后利用s c a l i n g 方法建立爆破速率的上下界估计 在第三章中，我们考虑一类在非齐次介质中具有吸引的非线性扩散方程这一 方程描述的扩散过程中扩散系数依赖于未知量及其自身的梯度它是经典的多孔 介质方程和p - l a p l a c e 方程的推广，同时也与所谓的多重非线性方程密切关联由 于介质密度的非齐次性和吸引项的作用，将出现许多与经典的热传导方程完全不 同的性质通过构造各种类型的上下解，我们给出了解具有正性或局部性、自由边 界整体存在或有限时刻消失的完全分类对于某些特殊的介质，我们也得到了自由 边界的估计 在最后一章，我们处理一类半线性的反应扩散不等式组利用试验函数的方 法我们首先在问题的弱解的定义中选择一个特殊的试验函数，然后得到弱解的先 验估计在最佳的指数增长限制之下，非平凡整体解的非存在性本质上是基于这一 先验估计作为这一定理的应用，我们将观察到相应的抛物方程组的r u j i t a 临界现 象这一现象与己知文献中的结论完全一致我们指出，这种观察的重要性在于我 们仅仅考虑的是不等式( 或方程) 组的弱解，没有对初值附加任何正则性假设因 此，初值在初始平面上可能没有很好的“迹9 在一般的情形，我们也将建立解的 u n i v e r s a ll p 模估计，从而得到具有正下界的整体解的非存在性 关键词： 扩散方程( 组) ，退化，非局部源，吸引，非线性边界，爆破速率，自由边界， 正性，局部性，抛物不等式组，l i o u v i l l e 型定理，f u j i t a 型临界指数 四j i f 大学| 尊士学位论文 a b s t r a c t t h e a n a l y s i so ft h es o l u t i o n st os e v e r a ld i f f u s i o ne q u a t i o n s ( s y s t e m s ) m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：z h a o y i nx i a n gs u p e r v i s o r ：c h u n l a im u ? ： a v a r i e t yd i f f u s i o np h e n o m e n aa p p e a rw i l d l yi nn a t u r e i na p p l i e ds c i e n c e ，m a n y p r o b l e m sr e l a t e dt 0d i f f u s i o nc a l lb em o d e l l e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd i f - f u s i o nt e r m s f o ri n s t a n c e ，t h e s ee q u a t i o n sa r i s e si nm a n yf i e l d ss u c h 髂f i l t r a t i o n ，p h a s e t r a n s i t i o n , b i o c h e m i s t r ya n dd y n a m i c so fb i o l o g i c a lg r o u p s i nv i e w so fm a t h e m a t i c a l t h e o r ya n da p p l f e ds c i e n c e s ，i ti sv e r yi m p o r t a n tt oa n a l y s i st h e s ed i f f u s i o ne q u a t i o n s , w h i c hb r i n g so u tas e r i e sn e wm a t h e m a t i c a li d e a sa n dm e t h o d s i nt h el a s tf o u rd e c a d e s ， e s p e c i a l l yi nr e c e n tt w e n t yy e a r so rs o ，t h es t u d yi nt h i sd i r e c t i o na t t r a c t sal a r g en u m b e r o fm a t h e m a t i c i a nb o t hi nc h i n aa n da b r o a d r e m a r k a b l ep r o g r e s sh a sb e e na c h i e v e d m a n yn 州i d e a sa n dm e t h o d sh a v e b e e nd e v e l o p e d w h i c he n r i c he n o r m o u s l yt h et h e o r y o f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，w ew i l lg i v es o m eq u a l i t a t i v ea n a l y s i sf o r s e v e r a ld i f f u s i o ne q u a t i o n s ( s y s t e m s ) a r o s ei na p p l i e ds c i e n c e s i nc h a p t e rl ，w ew i l li n v e s t i g a t es e v e r a lr e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m sw i t hn o n l o - c a l i o c a l i z e ds o u r c e ss u b j e c tt on e n m a n nb o u n d a i yc o n d i t i o n sa n dc a n c h yi n i t i a ld a m f o rt h en e u m a r mb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，w eu s es o m en e wc o m p a r i s o np r i n c i p l e st o o b t a i n t h e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s t h a t t h e s o l u t i o n s e x i s t g l o b a l l y o r b l o w u p i n a f i n i t e t i m e a tt h ea i do f g r e e nf u n c t i o n ，w ea l s oe s t a b l i s h t h ep r e c i s eb l o w u pr a t ee s t i m a t e sa n dg e t t h eb l o w u ps c t w jw i l l ct h eb l o w u pe s t i m a t e sh o l du n i f o r m l yi nt h ew h o l ed o m a i n b e c a u s eo f t h ei s o l a t e de f f e c to f h o m o g e n e o u sn c l m 妇n nb o u n d a r y u s i n gs i m i l a ri d e a s a n d t h e t e c h n i q u e o f o d e ，w e w i l l a l s o c o n s i d e r t h e c a u c h y p r o b l e m f o r t h ec o r r e s p o n d - i n gs y s t e m sa n ds t u d yt h es i m u l t a n e o u sb l o w - u pa n dn o n - s i m u l t a n e o u sb l o w - u p ，b l o w u p e s t i m a t e sa n ds oo n t h e s er e s u l t si m p r o v ea n de x t e n dt h ep r e v i o u sr e l a t e dw o r k s i nc h a p t e r2 ，w cf i r s td e a lw i t ht h eh o m o g e n o u sd i f i c h l c tb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m f o rad i f f u s i o ns y s t e mw i t hr e a c t i o na n da b s o r p t i o n u n d e rt h es u i t a b l eg r o w t hr c s t r i c - 一一 四川大学博士学位论文 t i o n s ，w eg e tt h eu p p e rb l o w u pe s t i m a t e sf o ra n yb l o w u ps o l u t i o n sb yu s i n gs c a l i n g t e c h n i q u e w ef i n dt h ee x p o n e n t so f b l o w u p r a t e sa r ed e t e r m i n e db yr e a c t i o nt e r m s p r o v i d e dt h a to n ei m p o s e ss u i t a b l er e s t r i c t i o no nt h ea b s o r p t i o nt e r m s t h i ss u g g e s t st h a tt h e r e a c t i o nd o m i n a t e st h ee v o l u t i o np r o c e s sw h e nt h ea b s o r p t i o ni sv e r yw e a k t h el o w e r b l o w u pe s t i m a t e sa l ea l s og i v e n t h en e x ts u b j e c to f t h i sc h a p t e ri sa n a l y s i san o n l i n e a r d i f f u s i o ns y s t e mc o u p l e db ya ne q u a t i o na n dab o u n d a r y t h e r ee x i s tm a n yd i f f i c u l t i e s s i n c et h es y s t e mi sd e g e n e r a t ea n dn o n s y m m e t r i c a tt h e a i do fs e l f - s i m i l a rs u p e r - o r s u b s o l u t i o n ，w eo b m i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tt h es o l u t i o n se x i s tg l o b a l l yo rb l o w u pi na f i n i t et i m e f o rb l o w u ps o l u t i o n s ，w ea l s oe s t a b l i s ht h eb l o w u pe s t i m a t e sb yu s i n g s c a l i n gm e t h o d s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yan o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t ha b s o r p t i o ni ni n h o m o g e n e o u sm e d i u m t h i se q u a t i o n w h i c hi sag e n e r a l i z a t i o no f t h ep o r o u sm e d i u me q u a t i o n a n dt h ep 2 l a p l a c ee q u a t i o n ，d e s c r i b e st h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n td e p e n d s0 1 1aq u a n t i t ya n d i t sg r a d i e n ti nad i f f u s i o np r o c e d u r e c o m p a r e dw i t hb e a te q u a t i o n , m a n yn e w p r o p e r t i e s w i l la p p e a rb e c a u s et h ed e n s i t yo fm e d i u mi sn o n h o m o g e n e o u s w ec o n s t r u c tv a r i o u s s u p o rs u b - s o l u t i o n st og i v eac o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no f p o s i t i v i t ya n dl o c a l i z a t i o n ，a n d o f g l o b a le x i s t e n c ea n df i n i t et i m ed i s a p p e a r a n c eo f i n t e r f a c e s i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e ras e m i l i n e a ri n e q u a l i t ys y s t e m w ef i r s tc h o o s eas p e c i f i c t e s tf u n c t i o ni nt h ed e f i n i t i o no f w e a ks o l u t i o na n dt h e ng e taap n o de s t i m a t e u n d e r t h eo p t i m a lg r o w t hr e s t r i c t i o n , w ep r o v et h en o n e x i s t e n c eo fn o n t r i v i a lg l o b a ls o l u t i o n a sa l la p p l i c a t i o n , w eo b s e r v et h ef u j i f i ap h e n o m e n af o rt h ec o r r e s p o n d i n gp a r a b o l i c s y s t e m t h e s er e s u l t sa r ec o n s i s t e n tw i t ht h ek n o w no n e s h e r e , t h ei m p o r t a n c eo ft h i s o b s e r v a t i o ni st h a tw eh a v en o ta s s u m e da n y r e g u l a r i t yo i l i n i t i a ld a t a ，w h i c hm a yh a v en o g o o dt r a c ei nt h ei n i t i a lh y p e r p l a n e i nt h eg e n e r a lc a s e ，w ea l s oe s t a b l i s ht h eu n i v e r s a l l 9e s t i m a t e s ，w h i c hi m p l yt h en o n e x i s t e n c eo f g l o h a ls o l u t i o n sb o u n d e df r o mb e l o w j k e yw o r d s ：d i f f u s i o ne q u a t i o n s ( s y s t e m ) ，d e g e n e m t e , n o n l o c a l $ o u r c e ，a b s o r p t i o n ， n o n l i n e a r b o u n d a r y , b l o w u p r a t e s ，i n t e r f a c e s ，p o s i t i v i t y , l o c a l i z a t i o n , p a r a b o l i c i n e q u a i i t i e s ，l i o u v i l l e t y p et h e o r e m ，f u j i t a - t y p oc r i t i c a le x p o n e n t s 一一 四川大学博士学位论文 引言 扩散是最普遍的自然现象之一例如，在渗流理论、相变理论、生物化学以及 生物群体动力学等领域中都存在着大量的扩散现象而这些涉及到扩散现象的实 际问题往往都可用如下形式的抛物型偏微分方程进行描述： t l t = v a ( u ，v u ，。，t ) + b ( 让，z ，) ( 0 0 1 ) 其中，a 掐述了扩散，而b 表示扩散过程中伴随的反应或者吸收我们假设a 满足 椭圆性条件无论从数学理论还是从应用科学的角度来看，对方程( 0 0 1 ) 的研究都 具有特别重要的意义( 见1 4 ，2 0 ，9 5 ，1 0 6 1 ) 近四十年来，特别是近二十年来，这类方 程的研究吸引了国内外众多的数学工作者，并且取得了令人瞩目的进展人们发展 了许多新的数学思想和方法，大大的丰富了偏微分方程的理论并促进了相关学科 的发展我们简要地介绍一下方程( o 0 1 ) 的解的部分性质 为了得到一些直观的认识和启发性的想法，我们首先观察方程( 0 0 1 ) 的相对 简单的情形。即如下经典的半线性方程 t t = a u + ，( t i ) ，z n ， 0 ，( o 0 2 ) 其中n = r t o 或者q c r 方程( 0 0 2 ) 的扩散系数片= 1 ，表明所发生的扩散是线 性的在适当的初( 边) 值条件下，许多学者对方程( o 0 2 ) 的解的性质作了大量的研 究显然，当f ( s ) = 0 时，( 0 0 2 ) 为经典的热传导方程此时，在非负初值具有合适 增长的假设之下，其c a u c h y 问题或者齐次d i r i c h l e = t 边值问题的解“整体存在，并 且对空闻区域内部的任一点z ，在任意的时刻t 0 都有u ( z ，t ) 0 但是，当源项，( s ) 0 为上线性函数( r ”击d s 0 自从上个世纪6 0 年代k a p l a n ，f u j i t a ，f r i e d m a n 等的开创性工作以来， 对方程( 0 0 3 ) 的研究取得了丰硕的成果比如，当qcr 为有界区域时，方程 ( 0 0 3 ) 具有齐次d i r i c h l e t 边界条件的解具有如下性质( 参见【1 4 ，3 2 ，2 8 ，9 9 】及其中 的参考文献) ： 1 若0 l ，则方程( 0 0 3 ) 在“小 初值”时存在整体解，在“大初值”时存在有限时刻爆破的解； 2 若1 0 使得 c ( ，一) 一南s u p u ( x ，) c ( 7 一t ) - 由，0 0 使得 一l o g ( t 一) 一g s u ( o ，) - l o g ( t 一) 十g 0 0 4 + ，f 4 一些学者研究了这些方程组的各类初n z ) 值问题，并得到了与单个方程相似的一 些结论( 见【1 8 ，9 7 ，1 0 5 】及其中的参考文献，也可见下面的第二节) 另一方面，当，( s ) 0( 0 0 5 ) 的c a u c h y 问题，若0 l ，则对任意的 善r n ，t 0 都有乱( z 。0 0 ( 标准的正性) ( 参见1 2 4 ，3 1 1 ) 因此，人们经过四十多年的研究，对方程( 0 0 2 ) 已经有了较好的认识( 当然，这 一3 一 四川大学博士学位论文 些认识还在不断深入) 然而，在实际问题中也提出了大量其他的扩散方程( 组) ，例 如。具有非局部反应项的问题、同时具有反应和吸引的方程组、具有非线性扩散 的方程等等，这些问题要么方程具有更复杂的形式，要么具有其它形式的源项或者 非线性边界等，其性质与经典的问题( 0 0 2 ) 的性质之间既有着一定的联系又有着 重耍的区别下面我们先对这些问题作一简单介绍和比较，然后在以后几章进行更 深入的研究 o 1 具有非局部，局部化反应项的问题 在物理学和工程科学中，许多模型的反应项对空间变量的依赖都具有泛函形 式，它可用如下一般形式的方程来描述： m = t + ，( u ) ( t ) ，z n ，t 0 ，( 0 1 1 ) 其中，：c ( h 【0 ，】) 一c o ，t l 是一个非线性泛函例如，( “) ( ) = ，n ，( t ( ，) ) d y 或者，( “) ( ) = f ( u c z o ( t ) ，t ) ) 等前者是某种可压缩气体的燃烧模型；而后者可用 来描述在一个热反应系统中动力由单点的温度所提供这一物理现象，例如，缺陷结 构对催化表面的影响( 参见【8 ，1 2 ，7 0 ，8 7 ，8 8 1 及其中的参考文献) 这类模型也经常 在核反应动力学，人口动力学等领域中出现数学上，关于抛物方程反问题以及所 谓的非经典方程的研究也提出了上述形式的方程( 见 9 ，11 1 ) 非局部局部化问题 ( o 1 1 ) 直到最近二十多年才逐渐引起人们的普遍关注b e b e m e s ，l e v i u e ，c h a d a m 和s o u p i e r 以及王明新等在【3 ，5 ，1 0 ，1 7 ，8 7 ，9 8 】中研究了方程( o i 1 ) 及其某些变体 的解在有限时刻爆破和爆破集等性质在b e b c m c s ，b r e s s a n 和l a c e y 的工作【5 】的 基础之上，s o u p l e t 于1 9 9 9 年在【8 8 】中引入了一种新的方法，即借助于特征函数、 下调和函数的均值不等式以及积分不等式等，系统地研究了方程( 0 1 1 ) 在齐次 d i r i c h l e t 边界条件下爆破解的爆破速率估计以及边界层估计等与局部问题( 0 0 2 ) 相比，方程( o 1 i ) 的解的性质显示出了非局部效应的整体性例如，当ocr _ 为 有界集、，( t ) ( t ) = 丘扩( p ，t ) d y 时，方程( o 1 1 ) 在齐次d i r i c h l c t 边界条件下解具 有如下性质： 1 若p 1 ，则问题的所有解都整体存在；若p l ，则方程( o 1 i ) 在。小初 一4 一 四川大学博士学位论文 值”时具有整体解，在。大初值”时存在有限时刻爆破的解； 2 若p 1 ，则对任意在有限时刻t 爆破的解，极限 ! 粤( t 一) 南“扛，) = 粤( t - t ) , - l , i i n ( ，t ) l l 。= ( ( p 一1 ) l q i ) 一击( o 1 2 ) 在q 的任意紧子集上一致地成立； 3 方程( o 1 i ) 的任意爆破解的爆破集都是整个区域n 与局部问题( 0 0 3 ) 不同的是，在( o 1 2 ) 中未对p 1 的增长作任何限制对指数增 长情形，( ( t ) = r n 铲妇”) d y ，与相应的局部问题( o 0 4 ) 也有显著的不同的性质： ( 0 1 1 ) 的解的爆破将不依赖于区域q 且爆破集为整个开区域n 其后，p e d e r s o n , 林 支桂，王明新，谢春红和郑斯宁等借助于s o u p l e t 【8 8 】的思想，将相应的问题推广到 方程组的情形，并得到了许多相似的结论( 见 7 5 ，7 6 ，6 1 ，6 2 ，5 9 ，1 0 4 1 ) 但是。s o u p l e t 的方法并不适用于处理c h a d a m 等提出的齐次n e u m a n n 边值问 题我们将利用比较原理、g r e e n 函数的性质和解的表示等技巧来研究上述非局部 问题在齐次n e u m a n n 边界条件下解的性质( 事实上，我们更一般地研究了相应非 局部源在方程组时的情形) 我们将看到，上述关于齐次d i r i c h l e t 边值问题的部分 结论仍成立另一方面。与齐次d i r i c h l e t 边界情形显著不同的一些性质也将出现 例如，由于齐次n e u m a n n 边界的绝热效应，极限( o 1 2 ) 在q 上一致地成立从而， 没有边界层现象发生并且爆破集是整个闭区域磊我们也对一类具有吸引项的非 局部问题建立了爆破解的爆破速率估计借助于类似的思想，我们将应用常微分不 等式的各种技巧处理相应方程组的c a u c h y 问题，得到了同时爆破与非同时爆、精 确的爆破速率估计等与先前许多学者的工作( 例如，文献【1 0 ，6 5 】) 相比，我们处理 这些问题时所使用的方法相当简洁，而所得到的结论改进并推广了相关的结果 0 2 同时具有反应和吸引的扩散方程组 正如前面提到，方程组 t t = a u + t ，p ，吨= 射+ 矿，z q ，f 0( o 2 1 ) 一5 一 四川大学博士学位论文 的解有许多性质类似于相应的单个方程( o 0 ，3 ) 例如，c h l e t k , d e n g ，e s e o b e d o , f i l a ，s o u p l e t 等 1 4 ，1 6 ，2 3 ，2 8 】对齐次d i r i c h l e t 边值内问题给出了如下结论： 1 若朋1 ，则所有解都整体存在；若p q 1 ，则对充分大的初值存在有限时刻 爆破的解； 2 设a q 1 ，p q 1 而解( ) 在有限时刻t 爆- c z 若n m 嚣，黯) 譬或 者( t ，u ) 满足t t ，仇0 ，则存在常数g 0 使得对任意的z q ，0 0 ， 在齐次d i r i e h l e t 边界条件和非负初值假设下解的性质，其中参数p ，q ，r ，s ，口，b 0 ， qcr 。是一个具有光滑边界a q 的有界区域方程( o 2 3 ) 提供了一个简单的生物 学或者物理学模型例如，两种生物种群的共存问题( 参见【6 】) 在文献【6 】中，b e d j a o n i 和s o u p l e t 证明了：( 1 ) 若p 口 m a x ( r , 1 ) m a x ( s ，1 ) ，则问 题存在有限时刻爆破的解；( i i ) 若p q 1 ) ，即 饥= ( “m ) 站+ u p ， z r t 0 ( o 3 1 ) 当t 1 = 0 时，相应的有k = 0 ，此时方程( 0 3 1 ) 将发生退化非线性退化抛物方 程的数学理论起源于o l e i n i k , k a l a s h n i k o v 和周毓麟的开创性工作 6 9 1 由于方程 的退化性，( 0 3 1 ) 一般没有经典解而仅存在连续的弱解借助于自相似解的性质 容易知道，当p l 时，( o 3 1 ) 的c a u c h y 问题存在有限时刻爆破的解p a b l o 和 v d z q u e z 【7 2 ，s a m a r s k i i 等 8 5 】进一步研究了爆破解的爆破集，爆破速率等性质( 在 高维情形关于爆破集的最新研究，可参见【1 5 】 4 1 1 ) 特别地，在合适的初值假设之 下，存在常数c c 0 使得 c ( t - t ) 一击m 跏s , x t ( 而t ) c ( t - t ) 一击 这一速率估计的指数与非退化的情形( m = 1 ) 完全相同，即扩散系数的指数未对 速率的增长产生影响另一方面，g a l a k t i o n o v 和l c v i n e 在文献f 3 8 】中研究了具有 非线性边界但是没有反应项的问题 t t 2 ( “”) 一 z o ，。 0 ， ( 0 3 2 ) 一( 矿) ：( o ，t ) = 舻( o ，t ) ，t 0 在对非负初值作合适的假设之下，若2 q m + 1 ，则( 0 3 2 ) 存在解让在有限时刻t 爆破且有速率估计 c 口一t ) 一矗莉蛩“( z ，t ) c ( t 一) 一矗丽 由此可知，对于具有非线性边界的问题( o 3 2 ) ，其爆破速率的指数将依赖于扩散系 一7 一 四川大学博士学位论文 数的方幂对于( o 3 2 ) 在高维情形的f u j i t a 型临界指数，可参见尹景学等 4 5 1 相 一ou面02umoto纛嘉，。如，urr。 一= 面+ 矿，瓦= 刁万， z 0 ， t 0 ，n 1 乱 一面。= o ，一筹( o ，力划班t 0 ， w 。 具有非负紧支集初值时解的性质，其中参数m ，n 1 ，p ，口 0 这一方程组可以作 为一个描述等离子气体中非线性热传导的物理模型此时，t ，口表示两种介质的温 度，而边界条件描述了边界上的散热规律而在多孔介质中的多方气流、化学反 应、人口动力学等应用中也常涉及这类模型 形式地看，方程组( o 3 3 ) 可看成是由方程( o 3 1 ) 和( 0 3 2 ) 在相应的方程组情 形进行内插而得因此许多性质可能具有内插的特征我们所得的结论证实了这种 直觉比如，爆破速率的指数等但是，由于这种内插使得方程组( o 3 - 3 ) 的结构并不 对称，从而为我们的研究带来了很大的困难我们首先借助于自相似的上下解建立 问题( o 3 3 ) 解整体存在与有限时刻爆破的充分条件，然后利用s c a l i n g 方法建立爆 破速率的上下界估计 我们顺便指出，对于( o 3 3 ) 中m = n = 1 ( 非退化) 的特殊情形 地= + 矿，仉= ，z o ，t 0 ， 4 ) 一( 0 ，t ) = 0 ，- v , ( o ，t ) = 舻，t 0 ， f i l a 和l e v i n e 在【2 6 】中借助于解的隐式表示公式证明了：若0 l ，则存在有限时刻爆破的解在合适的假设之 下，c h l e b i k 和f i l a 【1 4 】从一个f u j i t a 型定理得到了问题( o 3 4 ) 的如下爆破速率估 计 ， t ( z ，) c ( t t ) 一i 赫，t ，扛，t ) g ( t t ) 一j 躺【o 3 5 ) 我们所得到的结果在非退化情形与这些结果保持一致 一8 一 四川大学博士学位论文 0 4 具有吸引项的退化方程 前面我们提到，在方程( o 0 2 ) 中，( s ) 0 缸( z ，0 ) = t o ( $ ) ， z r ， ( 0 4 1 ) ， 其中参数m l ，a 1 ，p 0 ，而c o 0 是常数假设初始值t 0 ( z ) 是一个非负且 具有紧支集的函数，而p ( z ) 为有界且充分光滑的正值函数 问题( o 4 1 ) 中的方程描述了扩散将依赖于物理量自身及其梯度流( 即一= t m - 1 i “。l 1 ) 这一现象，有着强烈的物理背景例如，它可用来描述热量在具有非齐 次浓度的等离子体中的传导，或者某气体或液体在非齐次多孔介质中的渗透等在 前一种情形，u 表示温度而p 表示气体的浓度；在后一情形，t 表示气体或者液体的 浓度而p 表示介质的疏松度特别地，当 = l 时，即为多孔介质方程口m e ) ；当 m = l 时，即为形式的n + 1 ) - l a p l a c e 方程同时，这一方程也与一维情形的所谓的 多重非线性方程( 非n e w t o n 多方渗流方程) u t = v ( 1 v 个v t ”) 一c o u p 在密切相 关( 见 9 5 】) 在 4 6 ，4 7 ，5 0 ，8 3 】等文献中，我们可以发现相关方程的更多的具体的物 理意义 首先观察a = 1 时，方程( 0 4 1 ) 的解的各种有趣的性质对于p 为常数( 齐次 介质) 的情形，b e r t s c h , k e r s n e r , p e l e t i e r 等在【7 】中证明了若p 之m 1 ，虽然“没 有标准的正性t ( z ，) o ( 比酞，t 0 ) ，但它仍有一个稍微弱一些的正的性质 ( p o s i t i v i t y ) ： v z r ，j t ( z ) 0 使得v t z 让( z ，t ) o ； 本文以后所提到的正性，除了特别的说明之外，均指这种弱的正性另一方面，若 - 9 四川大学博士学位论文 p 0 使得s u p p u ( ，t ) c 卜二，目，v t 0 ( 也可参见【1 3 ，4 8 】) 对于a 0 ，吃= 1 ，c o = 0 “入+ 1 ) - l a p l a c e 方程) 情形解的熄灭 与正性的研究，可参见袁洪君等的工作 1 0 1 ，1 0 2 ，i 0 3 从物理意义上来说。若缸表 示某种气体的浓度，则t 具有正性意味着气体将最终扩散到整个区域：而t 具有局 部性则表明存在一个有界的空间区域使得在任意的时刻，气体都不会逸出这一区 域( 参见【7 】) 但是在非齐次介质( 即密度p 依赖于空间变量习的情形。k a m i n ，k c r s n e r , r o s e n a u 等在 4 9 ，5 0 ，8 3 中观察到了新的有趣的现象我们用 ( + ( t ) = s u p x ：t ( z ，t ) o ) ，c ( t ) = ：i a f z ：t ( z ，t ) o ) 表示问题( o 4 1 ) 的解牡在t 时刻的自由边界对( o 4 1 ) 中a = 1 ，m 1 ，c o = 0 的 情形，若函数户( 。) 在无穷远处具有p ( x ) 一h 一，( 女 ：= 2 ) 形式的衰减，则自由 边界在有限时刻消失即存在t ( 0 ，+ o o ) 使得当t 一2 _ 时，i ( ( ) f 一反之， 若0 1 但句= 0 时自由边界消失的充分条件 将齐次介质中具有吸引项与非齐次介质中不具有吸引项的问题解的性质联系 起来，我们提出如下问题：对于非齐次介质中具有吸引项的问题，解的性质如何? 对 于m 1 ，a = 1 的情形，i h r s n e r 等在 5 2 ，8 1 中给出了一个完整的回答：若p m ，则解具有正性在正性的情形，他们也证明了：若 2 景未，则自由边界在有限时刻消失；而若k 0 研究上述问题，给出解具有正性或局部性、自 由边界整体存在或有限时刻消失的完全分类我们将看到p d _ m + a ：1 是问题 ( 0 4 1 ) 的解具有正性或局部性的临界指数；而i ：= 一1 ) q + 1 ) 0 , 一( m + 一1 ) ) 一l o 四川大学博士学位论文 是函数p ( z ) 衰减以使解的自由边界整体存在或在有限时刻消失的临界指数特别 地，当a = 1 时，我们的结果与【5 2 ，8 l 】中相应的结论保持一致同时，对于某些特殊 的介质，我们也给出了自由边界的估计为了理解l i 函界指数m 和以，我们可以考 虑有奇异权重的方程 z l - t k - ( “m 一1 l “；1 1 1 “：) 。一c o u p 。 ( o 4 2 ) 通过一系列的计算可知。当 p 弘= 二+ m ，七畎= 箸等等 时，问题( o 4 2 ) 存在自相似解而当p m 十 一1 ，k ；酸时，对于任意满足 n 扫一( m + a 一1 ) ) = p o + 1 ) 的口，p r ，函数u ( z ，t ) = e a t ，( 扩神都是问题 ( o 4 2 ) 的一个自相似解 0 5 具有扩散的不等式( 组) 在反应扩散方程的研究中，f u j i t a 型临界指数一直是比较热门的课题之一众： 所周知，对于半线性反应扩散方程( 0 0 3 ) 的c a u c h y 问题，即 他= a u + u p ， “( 石，o ) = t o ( z ) ， 。r t