（控制理论与控制工程专业论文）输入受约束系统的稳定性分析及抗饱和控制研究.pdf

摘要 输入受约束系统近年来引起了广泛关注，这类问题不但具有重要的实际意义，在理 论上也极具挑战。一般来讲，所有实际系统都存在约束问题，特别是输入约束。输入约 束存在于各种各样的物理系统中，比如化学装置，机械系统以及网络通信系统等。执行 器饱和往往会严重影响系统的各项性能，甚至导致系统不稳定，以至于引起重大事故。 本文主要从系统稳定性分析和抗饱和控制两个方面分析输入约束系统。通常情况 下，对于存在执行器饱和的系统，整个系统的稳定是不能得到保证的，特别是不稳定系 统尤其如此。所以大部分的工作集中在系统局部分析上面。本文提出了新的饱和依赖李 亚普诺夫函数方法，结合顶点判据，这种方法可以减小估计系统吸引域时存在的保守 性。给定一些参考集合，本文得到了线性矩阵不等式结构的优化问题，此优化问题可以 最大化系统吸引域估计。借助于m a f l a b 中的l m i3 3 具，这些优化问题很容易求解。 对于同时存在输入约束和外部干扰的系统，本文系统地分析了干扰抑止问题。首 先，考虑了振幅有界的外部干扰，得到了保证系统原点渐近稳定的充分条件。给出了最 大可容忍干扰的定义，并得到了计算它的基于线性矩阵不等式的优化问题。同时考虑了 系统中存在的结构不确定性，并把这种不确定性融合到了优化问题中。 在外部干扰和输入约束同时存在时，采用c o 增益方法分析了系统的干扰抑制能 力。提出了一种新的计算系统c 2 增益的方法，比起以前的方法，结果的保守性小。同 时，保证了系统的鲁棒局部渐近稳定性。给定系统干扰幅值的上界，得到了线性矩阵不 等式形式的优化问题来优化系统的c 2 增益。 在电子工业，化工工业，以及基于网络的控制系统和其它相关领域，经常采用带有 时滞的非线性系统对实际问题建模。控制回路中存在的时滞通常会降低系统的性能，并 使控制系统的分析和设计变得复杂。而执行器饱和与时滞可能会并存于同一个系统中， 对于这类系统，本文设计了新的方法来处理存在的问题。相比其它的方法，本文方法得 到的结果保守性大大降低。分别分析考虑了系统输入和状态中存在时滞的情况。 最后，考虑了系统抗饱和补偿器设计问题。采用了所谓的两步法策略。首先，假设 系统不存在输入约束，根据性能指标的要求，为线性系统设计了动态控制器。然后设计 抗饱和补偿器来保证系统的局部稳定性，同时增大系统吸引域的估计。这样，抗饱和补 浙江大学硕士学位论文 偿器可以使系统的性能平稳下降，不至于发生大的起落。 关键词：输入约束：吸引域；l y a p u n o v 函数；干扰抑止：2 增益；线性矩阵不等式； 可容忍干扰；时滞；抗饱和补偿器。 a b s t r a c t d u e t o t h e p r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e a n d t h e o r e t i c a lc h a l l e n g e s ，p r o b l e m s f o rs y s t e m ss u b j e c t t o i n p u ts a t u r a t i o nh a v ea t t r a c t e dt r e m e n d o u sa t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s a l lr e a lw o r l dc o n t r o ls y s t e m s m u s td e a lw i t hc o n s t r a i n t s ，e s p e c i a l l yt h ei n p u tc o n s t r a i n t s i n p u tc o n s t r a i n t se x i s ti nv a r i o u s p h y s i c a ls y s t e m s ，s u c ha sc h e m i c a lp l a n t s ，m e c h a n i c a ls y s t e m s ，a n de v e nc o m m u n i c a t i o nn e t - w o r k s m o r eo f t e nt h a nn o t , t h eo c c u r r e n c eo fa c t u a t o rs a t u r a t i o nc a l lg r e a t l yd e t e r i o r a t et h e p e r f o r m a n c eo ft h es y s t e m s ，a n de v e nd r i v et h es y s t e m st ob cu n s t a b l e t h i st h e s i sd e a l sw i t ht h es t a b i l i t ya n a l y s i sa n da n t i w i n d u pd e s i g ni s s u e sf o rs y s t e m ss u b j e c t t oi n p u tc o n s 仃a i n t s g e n e r a l l y ，t h es t a b i l i t yo ft h ew h o l es y s t e m sw i t ha c t u a t o rs a t u r a t i o nc a l l n o t b eg u a r a n t e e d ，e s p e c i a l l yf o rt h eu n s t a b l es y s t e m s t h e r e f o r e ，m u c he f f o r th a sb e e ns p e n to n t h el o c a la n a l y s i s an e ws a t u r a t i o n d e p e n d e n tl y p u n o vf u n c t i o nm e t h o di sp r e s e n t e d , t o g e t h e r w i t ht h ev e r t e xc r i t e r i o n ，w h i c hc a ng r e a tr e x l u c et h ec o n s e r v a t i s mo ft h ee s t i m a t i o no fd o m a i n o fa t t r a c t i o n ( d o a ) t h u st h ee s t i m a t i o no fd o ac a nh e l pt h ed e s i g no ft h ec o n u o l l e rb e t t e r o p t i m i z a t i o np r o b l e m si nt h ef o r mo f l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) a r cp r e s e n t e dt om a x i m i z e t h ee s t i m a t i o no fd o aw i t ht h eh e l po fg i v e nr e f e r e n c es e t s b yt h el m it o o l si nm a t l 曲t h e s e o p t i m i z a t i o np r o b l e m sc a nb ee a s i l ys o l v e d t h ed i s t u r b a n c er e j e c t i o na b i l i t yo fs y s t e m ss u b j e c tt ob o t hi n p u tc o n s t r a i n t sa n de x o g e n o u s d i s t u r b a n c ew a sa n a l y z e d f i r s t , a m p l i t u d eb o u n d e de x o g e n o u sd i s t u r b a n c ei sc o n s i d e r e da n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a te n s u r et h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo ft h eo r i g i no ft h es y s t e m si sd e r i v e d 。 t h ed e f i n i t i o no fd i em a x i m a lt o l e r a b l ed i s t u r b a n c ei sg i v e n ，w h i c hc a l lb ec o m p u t e db yo p t i m i z a t i o np r o b l e m si nt h ef o r mo fl m i s m o r e o v e r ，u n c e r t a i n t i e si nt h es t r u c t u r eo ft h es y s t e m s a r ca l s oc o n s i d e r e d w h i c ha r ea l s oi n c o r p o r a t e di n t ot h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m si nt h ef o r mo f e a s i l ys o l v a b l el m i s m o r e o v e r , 2g a i ni su s e dt oa n a l y z et h ed i s t u r b a n c ea r e n u a t i o na b i l i t yo fs y s t e m ss u b j e c tt o b o t hi n p u tc o n s t r a i n t sa n de x o g e n o u sd i s t u r b a n c e an e wm e t h o di sp r e s e n t e dt oc o m p u t et h e b o u n do ft h ec 2g a i n ，w h i c hi sl e s sc o n s e r v a t i v ec o m p a r c dw i t hs o m eo t h e rm e f i a o d s a tt h e s a m et i m e ，t h er o b u s tr e g i o n a ls t a b i l i t yo ft h es y s t e m si sa l s om a i n t a i n e d g i v e na na m p l i t u d e b o u n d e dd i s t u r b a n c e o p t i m i z a t i o np r o b l e mi nt h ef o r mo fl m i sc o m p u t i n g t h eb o u n do fc 2g a i n 堑堡奎堂堡圭兰垒篓兰 i sp 1 e s e n t e d n o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m e d e l a ya r ec o m m o nm a t h e m a f i c f lm o d e l so fr e a lp h e n o m e n o ni n e l e c t r i c a li n d u s t r y , c h e m i c a li n d u s t r y , n e t w o r k - b a s e dc o n t r o ls y s t e m sa n do t h e rr e l a t e df i e l d s t h e p r e s e n c eo f t i m e d e l a y si nc o n t r o ll o o p su s u a l l yd e g r a d e st h e p e r f o r m a n c eo f t h es y s t e ma n d c o m p l i c a t e st h ea n a l y s i sa n dd e s i g no ft h ec o n t r o ls y s t e m s a c t u a t o rs a t u r a t i o na n dt i m e d e l a y s m a yb eo b s e r v e dt o g e t h e ri nc o n t r o ls y s t e m s n o v e lm e t h o di sc o n s t r u c t e dt od e a lw i t ht h i sk i n d o fs y s t e m s m u c hl e s sc o n s e r v a t i v er e s u l t sa r eo b t a i n e dc o m p a r e dw i t ho t h e rm e t h o d si nt h e l i t e r a t u r e s y s t e m sw i t ht i m e d e l a yi ni n p u ta n ds t a t ea l ec o n s i d e r e dr e s p e c t i v e l y f i n a l l y , t h ep r o b l e mo fa n t i w i n d u pc o m p e n s a t o rd e s i g ni si s s u e d as oc a l l e dt w os t e pa n t i w i n d u ps t r a t e g yi sa d o p t e d f i r s t l y d y n a m i cc o n t r o u e ri sd e s i g n e da c c o r d i n gt ot h ep e r f o r - m a n c er e q u i r e m e n t sf o rt h el i n e a rs y s t e m sa s s u m i n gt h ea b s e n c eo ft h ei n p u ts a t u r a t i o n t h e n a n t i - w i n d u pc o m p e n s a t o ri sd e s i g n e ds u c ht h a tt h es t a b i l i t yo ft h es y s t e m si sm a i n t a i n e dw h i l e e m 盯o n gt h ee s t i m a t i o no ft h cd o m a i no fa t t r a c t i o n a n t i w i n d u pc o m p e n s a t o rc a nm a k et h e p e r f o r m a n c eo ft h es y s t e m sd e g r a d eg r a c e f u l l y k e y w o r d s ：i n p u tc o n s t r a i n t s ；d o m a i no fa t t r a c t i o n ；l y a p u n o vf u n c t i o n ；d i s t u r b a n c er c j e c t i o n ； 2g a i n ；l i n e a rm a r xi n e q u a l i t y ；t o l e r a b l ed i s t u r b a n c e ；t i m e - d e l a y s ；a n t i w i n d u p c o m p e n s a t o r 插图列表 1 2 1 输入饱和系统结构 2 1 2 2 抗饱和系统结构6 1 2 3 动态抗饱和系统结构8 2 6 1 当0 = 0 4 ，r ，系统的吸引域估计2 2 2 6 2 0 在o 到2 7 r 变化时，得到的系统吸引域估计2 3 2 6 _ 3 稳定区域2 4 表格列表 3 5 1 对应于不同的o l 得到的仉和协3 7 4 4 1 对应于不同的r 得到的6 4 5 2 对应于不同的r ，得到的6 和以 4 5 3 对应于不同的( e l ，钾) 得到的6 和丘 v 1 1 1 的 盼 a r a b a 0 ，a 0 - ( 2 3 8 ) i = l 这样，系统吸引域的估计就可以用下面的集合得到。 q ( p ( q ) ，p ) = 。7 矿：茁r p ( q ) z p 然而，容易看出，区域( p ( 卵) ，p ) 只是椭面体集合q ( 只，的交集，即 q 。( p ( 町) ，力= n 悔2 m 1 q ( 只，p ) 13 因此，上述方法必然会带来保守性。 类似于混和l y a p u n o v 函数( h ua n dl i n ，2 0 0 3 ) ，对于系统( 2 2 3 ) ，我们引入一个新 的饱和依赖l y 印u n 。v 函数。令q 。= ( 譬) ，ie 【1 ，2 ”】。我们把( 2 3 7 ) 中p ( 叩( 七) ) 的定 义变为 p ( 卵( z ( 七) ) ) ：= p 0 ( 町( z ( 七) ) ) 一1 2 m q ( q ( z ( 女) ) ) ：= 仇 ( m ) ) q ， i = 1 ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) 令 r ： 。冗。”：2 r a 琅：t ，。s 仇，) 如果对于所有的i ，我们令酝= q 1 ，那么矿( z ( 纠) 就变成了普通的二次型 l y a p u n o v 函数。这个l y a p u n o v 函数有一个很好的特性，下面会介绍。在文章( h ua n d l i n , 2 0 0 3 ) 中，作者提出了混和l y a p u n o v 函数： k ) 。磬，p ( 7 ) z ， ( 2 3 1 1 ) 其中p n ) = q - 1 h ) ，q ( 1 ) = 墨l m q t ，r = 7 冗。：竺1 m = 1 ，0 ms1 。 对于这个混和l y a p u n o v 函数，等位面集合l v ( p ) = f n ，p ) ，i 1 ， 1 ) ； u ，e r q ( p ( 7 ) ，p ) 。很明显，尽管采用了类似的结构，我们的新的饱和依赖l y a p u n o v 函数( 2 3 7 ) 与混和l y a p u n o v 函数( 2 3 1 1 ) 是不同的，参考( 2 3 9 ) 和( 2 3 1 0 ) a 下面来说 明，我们可以用u 譬n ( 只，p ) 来估计l v ( p ) 。 对于闭环系统( 2 2 3 ) ，系统在原点是渐近稳定，并且集合厶，( p ) 被包含在吸引域 中，如果存在嚣7 “，使得b ( p ) cc ( 日) 。同时对任意的。( ) l y ( 力 o 】，满 足 矿b ( ) ) = y ( 。( + 1 ) ) 一y ( 。( 七) ) = x t ( ) a 7 唧( 七) ) p 沏( + 1 ) ) a ( 尼) ) 一p ( q ( ) ) 】茁( ) r2 m = z ( ) i ( 协( 七) 丑) 7 p 加( + 1 ) ) l i = 1 2 m ( r 7 d k ) a t ) 一p ( 吁( ) ) ig ( 七) 0 ，i = 1 ，2 ，2 “，使得 一a i x 嘞警 0 嘶邙，。m | 口s m ， i劬i 并且l v ( p ) c ( 日) ，只= p q ，那么闭环系统( 2 2 3 ) 在原点渐近稳定，并且有l v ( p ) 被包含在吸引域中。 证明上面已经提到，对任意的z l v ( p ) c ( 日) 如果 y 扛( 南) ) = t ( 町( 七) ) p ( 叩( 七+ 1 ) ) 五( 叩( 七) ) 一p ( 讲七) ) o ， l a ( z ( ) ) xp - 1 ( 町( + 1 ) ) l 也就是说，对任意的矩阵x 缈“， i x r q 一1 ( q ( ) ) xx r r ( q ( z ( ) ) i o 【a ( 。( ) ) xq ( r l ( k + 1 ) ) j 注意到。 ( x q ( q ) ) t 臼“( 卵) ( x q ( q ) ) 0 ， 我们得到 x 0 1 ( ) ) x x + x 7 一q ( 町) ， 也就是说不等式( 2 3 1 3 ) 成立，如果 lx + x 7 一x 7 妒( q ( 。( ) ) ) i o l ( z ( ) ) x p 4 ( ，7 ( + 1 ) ) i 上式的左边可以被改写为 lx + x 7 一轨( 七) q l l ( 2 础m 啦( 自) ax ；二。仍( + 1 ) 劬j f 2 3 1 3 ) f 2 3 1 4 ) 浙江大学硕士学位论文 ：墨啾砷萎啡+ 1 ) 卜一q i 妒霉i 叫5 ) 2 孕砷到1 ur ：t x i a 。吼“列 国3 。1 5 ， = 1，=v j 因此，如果( 2 3 1 2 ) 对任意的i ，j 【1 ，2 ” 成立，那么对于v x ( k ) l v ( p ) o ) ，有 y ( z ( ) ) o ( 2 3 1 6 ) i 1 ，u l j “， l 五t q q j 令p = q ，不等式( 2 3 1 6 ) 等价于 l t 霹pl o ，【1 ，2 m 1 l p a 尸j 从而得到了文章h ue t a l ( 2 0 0 2 ) 的定理1 。很容易发现当定理2 3 1 的条件成立时，可以 得到 r 警 0 号眺 蛳；一。，v i , j e i , 2 因此得到a ；只五一只o ，v i 【1 ，2 1 如果加上限制条件f l ( p , ，p ) cc 旧) ，那么q ( 只，p ) 就称为系统( 2 2 3 ) 的一个不变集 ( h ue ta l ，2 0 0 2 ) 。因此我们得到下面的引理 推论2 3 1考虑系统( 2 2 3 ) ，给定状态反馈矩阵f 。如果存在矩阵x r “，日 冗m x n ，q t 舻。“，q 0 ，i = l ，2 ，2 ”，使得 r x 剖扎川啪m 】 亿s 聊 i aq l 并且u 篓n ( 只，p ) cc ( 日) ，其中只= p q 。那么系统( 2 2 3 ) 在原点渐近稳定，并且 u 焉q ，p ) 包含在吸引域中。 2 4 吸引域估计 在所有满足定理2 3 1 的等位面集合中，很自然的，我们可以找最大的一个来得到 系统吸引域的尽量不保守估计。通常情况下，我们采用一个参考集，例如多顽体或者椭 1 6 塑鋈奎耋雪圭童堡篁塞 球体，来量度吸引域的估计( h ue ta 1 ，2 0 0 2 ) 。令c7 护为一个给定的包含系统原点 的有界凸集合。对于包含原点的集合cc 冗n ，定义 口a 名( c ) ：= s u p a 0 ：口 名cc ) 选择多面体集合拖，定义为 娲= c o x 1 ，z 2 ，锄 ( 2 4 ，1 8 ) 另一个常用的参考集合是椭面体，定义如下： = z 冗“：x t p “x 1 ) ，r 0 ( 2 4 1 9 ) 定理2 3 1 给出了充分条件来保证集合l v ( p ) 包含在吸引域中。采用上面的参考集 合，我们可以从所有的l y ( p ) 中选取一个，以使q 稚最大化。这个问题可以转化为下面 的约束优化问题： 8 t ( 口) n cl v ( p ) ， ( b ) i n e q u a l i t i e s ( 2 3 1 2 ) ， ( c ) i h , x ls 1 v z l v ( p ) 其中h t 表示日的第i 行。 根据推论2 3 1 ，我们可以用u 当e ( a ，p ) 来代替l v ( p ) 。优化问题( 2 4 2 0 ) 就转化 为下面的约束优化问题： s t ( a ) a 拖cn ( 只，p ) ，【1 ，2 ”】 ( b ) i n e q u a l i t i e s ( 2 3 1 2 ) ， ( c ) i 旭。i 1v 。f 2 ( b ，p ) ，w 1 ，2 “ ，v i 1 ，m 上面的优化问题( 2 4 2 1 ) 可以被变换为l m i 形式的优化问题。不失一般性，在下文 令p = 1 。首先注意( 2 4 2 0 ) 中的约束条件( 口) 等价于 舻巧c p c 们， 邙，巩 ia x + + ) q ji 。 。 ia x 篙0 e i - z ，三l 扎m 】， l + b ( 晟f x + ) q ji 。 其中z = h x ，令= x 。条件( c ) 等价于 b p 一1 ( q ) 碍1 骨研 1 一b q t 7 巧) 0 ， 骨狐 b + ；吨卜虮小邙，2 z a z z ， o 舞殳，z 仉 s t 小，酬x jq i 独v j 1 , i , i e 1 , 2 m c a ， a x + x b 。+ 旦x f t x - + q 耳i 日x ，毒 。，v i , j e 1 , 2 m c c ， x + 二：一q 。 。，坳 ，m ，t t ，z ” 其中 = n 。 ( 2 4 _ 2 3 ) 注2 4 1 显然条件( b ) 和( c ) 保i i - f 等位面集合l v ( p ) 包含在吸引域中。用l m i 工具解 这个优化问题，我们可以得到一个只的集合。根据推论2 3 1 我们可以用这些集合的并 1 8 塑垩查耋堡圭兰堡篓塞 集来估计系统的吸引域。这个性质减少了在估计系统吸引域时的保守性。 2 5 抗饱和补偿器设计 考虑下面输入饱和的线性离散时间系统： z ( + 1 ) = a z ( k ) + b 口扣( ) ) ， ( 2 5 2 4 ) y ( ) = c 0 ( ) ( 2 5 2 5 ) 假定已经得到下面的动态控制器 石。( 七+ 1 ) = a 。z 。( ) + b 。”( 女) ，z 。( 0 ) = 0 ， u ( k ) = c ：。( 七) + d 。g ( ) ， 其中z 。( 七) 冗“。这个控制器用来稳定不存在输入饱和的系统( 2 5 2 4 ) 和( 2 5 2 5 ) ，并 且满足系统设计的性能指标要求。 通常，由于执行器饱和，系统的性能会受到严重影响。主要原因是系统的动态控制 器是在没有考虑饱和因素的情况下设计的。为了减小执行器饱和对系统的影响，经常采 用的一种方法就是增加反馈补偿项。这个补偿项利用了控制器输出信号与饱和的控制信 号之间的差异。一个典型的抗饱和补偿器增加了一个校正项及( 一( 让( ) ) 一钍( ) ) 。经过 修正的控制如下： 互。( 七十1 ) = a 。( ) + b ：y ( k ) + 已( 口( u ( 女) ) 一“( ) ) ，z 。( o ) = 0 ， u ( ) = = l ? 乒。( 七) + d 。”( 七) ， 采用经过补偿后的控制，闭环系统变为： 童。( + 1 ) 一a 。莹。( 是) + 啻。哆( ( 趵) 一钍( 妨) ， ( 2 5 2 6 ) u ( 膏) = f 童( ) ， ( 2 5 2 7 ) 其中 t 埘a = a 嚣e 斟 直：f 主1 ，f ： d c cq 采用反馈控制律( 2 5 2 7 ) ，系统( 2 5 2 6 ) 可以写成： 童( 七+ 1 ) = ( a 一亩f ) 量( 七) + 直盯( f 圣( 而) ) ) ( 2 5 2 8 ) 塑望奎兰堡圭兰堡篁苎 对于闭环系统( 2 5 2 8 ) ，我们可以直接采用上节的方法得到系统吸引域的估计。用 五一豆f 和西代替( 2 1 4 2 3 ) 中的a ，b ，得到： 。琴般，z 7 ， ( 2 5 2 9 ) s t 一) 蚓 o ，呲吼蚓1 2 m ， ia x b f x x 焉品f xe v z ，三l 川水m 。”， i 一 + b ( 墨 + ) q fl l x + ；一8 卜蜘倪l ，川啪m 1 其中1 = 口。 在( 2 5 2 9 ) 中，如果最是固定的，那么这是一个l m i 形式的优化问题。正如文章 yc a oa n dw a r d ，2 0 0 2 ) 中所述，我们可以把疋当作自由变量来增大系统的吸引域估 计。采用与文章( y yc a oa n d w a r d ，2 0 0 2 ) ，类似的方法，我们提出下面的迭代优化算 法，设计抗饱和补偿器来增大系统的吸引域估计。 注意优化问题( 2 5 2 9 ) 中的约束条件( b ) 对于& ，q ，和z 不是同时线性的。也就 是说我们不能得到一个l m i 形式的优化问题来求解抗饱和补偿器。我们提出如下迭代优 化算法：令 豆，：b 1 ，岛：f 。1 l0jl 疋j 其中b 冗“”。注意，如果日和x 固定，约束条件( 6 ) 司以写成： i x + x lq + i o i ( 1 + ( 百14 - 岛) 矾) x q ，i 甘l 。x t + x - q | f+ l ( 2 5 一3 0 一)甘l 。q - ) i ( 且+ b 1 攻) x + ( b 2 且正) xq ji 其中m i = 一f + e w 十耳日。显然，固定日和x ，( 2 5 3 0 ) 对于e 和0 是线性的。 这样我们就可以得到个约束优化问题来设计及，以使吸引域的估计尽可能的大。 m i n 7 ， ( 2 5 3 1 ) ，。一 堑鎏奎堂堡圭耋堡篁苎 s t ( 口) l7 量l o 1 ，2 】肛 1 ，2 气 i q 。 ( b ) i n e q u a l i t y ( 2 5 3 0 ) ， ( c ) i n e q u a l i t y ( 2 4 2 2 ) 根据上面的推导，我们得到如下迭代优化问题，以求取抗饱和补偿器e c 使系统的 吸引域估计尽可能的大。 算法2 5 1 抗饱和补偿器e 设计迭代算法： 百邓吖? 步骤1 给定参考集合和既= 0 ，求解优化问题( 2 5 2 9 ) 。把优化问题地解表示为 7 0 ，x o ，q f 和蜀。令拖= 百i 2 。 步骤2 给歇设定一个初始值。并且设i = i ，= 1 。 步骤3 求解优化问题( 2 5 2 9 ) ，对于7 ，q ，x ，和z 。把优化问题的解表示为： 仉，x ，q ，z 。 步骤4 令晰= m 晰。，= 盯1 2 硌，h = z x 一。 步骤5 如果l i 怕p t m 0 0 ，椭面体q ( p ，d ) 被定义为： q ( p ) 理) = 。7 护：。t p x 口) 令v 表示m m 的对角矩阵，它的对角元素是1 或者0 。这里有2 m 个元素在v 。假定 每一个元素被标记为：e i ，i = l ，2 ，沙，并且e l = i 一最。 引理3 2 1 ( h u e t a l ，2 0 0 2 ) 给定f ，嚣缈“。对于。7 p ，如果z c ( 日) ，那么 g ( f z ) c o e _ 【f x + e f h x ：i 【1 ，2 ”】) 其中c d ) 表示一个集合的凸包。相应的一( f z ) 可以被表示为 2 m 口( n ) = 琅慨f + 耳日) 奶 ( 3 2 3 ) 鼍1 2 6 塑垩奎堂堡圭耋丝墼兰 其中仉( ) 依赖于状态，并且满足。2 m 仇( 七) = l ，0s 哺( ) si 。 3 3 鲁棒稳定性分析 本节，我们采用新定义的饱和依赖l y a p u n o v 函数来对饱和不确定系统进行分析。 为了清楚表达问题，定义： a = a a 十b ( e f + e ，日) ， a 。= a + b ( 蜀f + 墨日) 其中h 冗”。“满足i i h ：r l l 。1 。由引理3 2 1 ，我们可以把系统( 3 。2 2 ) 写成： z ( k + 1 ) = a ( ”( k ) ) z ( 七) + b 1 训( ) ，v x c ( 日) ( 3 3 ，4 ) z ( k ) = g t ( 七) ， 其中彳( q ( 女) ) ：= ；2 m 1 ( ) 五，”( ) = lq ，( ) ，7 2 ( 后) r t 2 。( 七) i 是依赖于。( 七) 的时变参 数；并且0 曼研( ) s1 ，蝥哺( 动= 1 。在下面，我们用町i ( ) s t y , , 仇( 。( 甸) 。 3 3 1 稳定性分析 给定一个正定矩阵p 冗n “，一个二次型l y a p u n o v 函数可以被定义为：y ( z ( 七) ) = ，p x 。给定一个正实数p ，定义 l v ( p ) ：= z 7 护：y ( z ( ) ) p ) = q ( p ，p ) 未知的，但是可测量的时变参数叩( ) 能够提供饱和程度变化的实时信息。为了减少 系统稳定性分析时的保守性。可以利用此饱和信息。在文章c a oa n dl i n ( 2 0 0 3 ) 中，饱和 依赖的概念首先被提出。类似的，w a n ge t a l ( 2 0 0 5 ) 提出了一种新的饱和依赖l y a p u n o v 函数，它有一些较好的性质。令q l = p i - 1i 1 ，2 ” t 我们引入这个l y a p u n o v 函数： y ( 。( ) ) ：= x t ( ) p ( q ( k ) ) $ ( 七) ， ( 3 3 5 ) 其中 p ( 卵( z ( 南) ) ) ：= q ( 叩( ( 毫) ) ) 一1 ， 2 m q ( 卵( z ( k ) ) ) ：= ”( ( ) ) q t i = 1 这样系统的吸引域估计就可以采用l y a p u n o v 面得到。定义： q ( p n ) ，a ) = 。冗”：x t p ( 叩) 茁曼d ) 2 7 堑垩奎耋錾圭兰堡丝塞 如文章w a n ge t a l ( 2 0 0 5 ) 所述，采用上面定义的新的l y a p u n o v 函数( 3 3 5 ) ，我们就可以 用u 璺q ( 只，口) 来估计l v ( a ) 。而在文章c a oa n dl i n ( 2 0 0 3 ) 中，只能用n 罄q ( 只，a ) 来 估计厶，( a ) 。 对于闭环系统( 3 2 2 ) ，系统在原点是渐近稳定，并且集合l y ( 户) 被包含在吸引域 中，如果存在h 妒“，使得l v ( p ) c ( 日) ，同时满足 y ( 后) ) = y 忙( 七+ 1 ) ) 一y 扣( ) ) 0 ，并且q ， 0 i = l ，2 ，2 “，使得： 一x x 7 + q 圣。一q j + e d 瑶 圣1 0 - a i 0 ( 3 3 6 ) 对任意的i ，j 【l ，2 “】，其中 西o = a x + b ( 且f x + e i z ) ， ( 3 3 7 ) 垂1 = 日：x + 日b ( 晟f x + e _ z ) ， ( 3 3 8 ) 并且z = 日x l v ( 口) ce ( h ) ，同时最= q _ 1 。定义圣o ，圣l 在本章的其它部分也采 用。那么我们就说闭环系统( 3 2 2 ) 在不存在干扰时在原点是鲁棒渐近稳定的，同时，集 合l y ( 口) 也包含在吸引域中。 证明选择l y a p u n o v 函数( 3 3 5 ) 。上面已经提到，对任意的z l v ( p ) cc ( 日) ，如果 y 扛( ) ) = 矛( ) ) p ( 叩( 七+ 1 ) ) 肓( ) ) 一p ( 町( ) ) 0 ( 3 3 9 ) 则y ( z ( k ) ) o ，对任意的z ( ) l v ( e ) o ) 。 采用与文章( w a n ge t a l ，2 0 0 5 ) 相同的方法，得到使不等式( 3 3 9 ) 成立的充分条件如 下 ，1 扛r 套姐一妯川呷 一i 五x 一铴i “叫。叫 令z = h x ，圣o = a x + b ( e i f x + 耳z ) ，垂1 = 也x + 凰( 噩f x + 写z ) 。不等式 堑兰奎堂堡圭堂堡墼塞 置 0 可以被写成： 蜀+ 吲卿) 。昭 ； ，j “+ i i j m ( q 邺 叫水阻。1 ，m ， 其中蜀：卜“_ q + l 。 【 垂。 一q j j 根据文章x i e ( t 9 9 6 ) 中的引理2 4 ，得到使上面不等式成立的充分条件如下： 三o + ； 警 垂，。 + a 。岛 品 0 。根据s c h t t r 补，不等式( 3 3 6 ) 是( 3 3 1 1 ) 成立的充 分条件。因此，如果对于任意的i ，j 【1 ，2 ” ，有不等式( 3 3 6 ) 成立，那么我们得到 一v ( 砷l v ( a ) o 。t 有v ( 。( 女) ) 0 。这样我们就可以断定系统( 3 2 2 ) 在原点鲁棒渐 近稳定，并且集合l y ( 。) 包含在吸引域中。 口 注3 3 1 对于闭环系统( 3 2 2 ) ，定理3 3 1 给出了保证集合工v 陋) 包含在吸引域中的充 分条件。实际上，如果我们令q = q = x v i 1 ，2 ”】不等式( 3 3 6 ) 就变成： 一x 垂。一x + a 岛瑶十 0 ：血妊cc ) 选择多面体集合，定义为 = c o x 1 ，x 2 ，现 ( 3 3 1 3 ) 定理3 3 1 给出了充分条件来保证集合l y ( p ) 包含在吸引域中。采用上面的参考集 合，我们可以从所有的l y ( 中选取一个，以使a 拖最大化。这个问题可以转化为下面 2 9 的约束优化问题： 。穗，日p ，( 3 3 1 4 ) s t ( a ) p