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r a d o n 变换波场分离技术研究 曾有良( 址_ j g c g 测与信息技术) 指导老师：乐友喜教授 摘要 r a d o n 变换早已应用于地震资料处理中，在地震同相轴识别、波场分 离、压制多次波、速度分析等方面具有良好的应用效果。相比于其它的变 换。如傅立叶变换、小波变换等，p - , , 丑d o n 交换算子不是正交的，这导致正变 换与逆变换都会有能量误差。许多方法被用于改进r a d o n 变换的结果，其 中使用最多的是反演的方法。在以往，无论是线性r a d o n 变换，还是双曲、 抛物r a d o n 变换，都采用最小平方反演的方法实现。最小平方法的平滑作 用会导致r a d o n 域数据存在一定程度的拖尾现象，这给其应用带来一定的 局限性。高分辨率r a d o n 变换是在最小平方的基础上发展起来的，它使数 据在r a d o n 域以能量团的形式呈现，消除了各能量团之间的平滑效应，提 高了r a d o n 域的分辨率，使不同的波场在r a d o n 域更容易分离。 本文从一般线性r a d o n 变换出发，进一步研究频率域阻尼最小二乘 r a d o n 变换，进而发展到频率域高分辨率r a d o n 交换，并且从线性r a d o n 变换扩展到抛物r a d o n 变换。在研究频率域r a d o n 变换之后，通过双曲 r a d o n 变换研究时间域高分辨率r a d o n 变换，并比较两种变换的优缺点。 为了与其它的方法相比较，本文还研究了f - k 法波场分离，并通过一个简 单的模型与线性r a d o n 变换进行比较。 文中的应用实例及模型结果表明：高分辨率r a d o n 变换与典型的 r a d o n 变换相比较，逆变换能使数据得到恢复，能够消除所谓的拖尾现象 及平滑效应，极大地提高了分辨率，体现了其优越性。 关键词：r a d o n 变换，高分辨率r a d o n 变换，波场分离，f - k 法，共轭梯 度法 r a d o nt r a n s f o r mw a v ef i e l ds e p a r a t i o nt e c h n o l o g y r e a s e r c h z e n g y o u - l i a n g ( g e o p h y s i c a lp r o s p e c t i n ga n di n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f e s s o ry u ey o u - x i a b s t r a c t r a d o nt i a n s f o r mh a sb e e nu s e dt os e p a r a t ew a v ef i e l de a r l yi ns e i s m i c d a t ap r o c e s s i n g ，s e i s m i ce v e n ti d e n t i f i c a t i o n ，a n dw a v ef i l e d s e p a r a t i o n ， m u l t i p l es u p p r e s s i o n , v e l o c i t ya n a l y s i se t c ，a n di th a sag o o de f f e c t c o m p a r e d w i t hf o u r i e rt r a n s f o r m ，w a v e l e tt r a n s f o n na n dt h eo t h e r , t h er a d o nt r a n s f o 蛐 o p e r a t o ri sn o to r t h o g o n a l t h i sr e s u l ti ne n e r g ye r r o ri nf o r w a r da n di n v e r s e r a d o nt r a n s f o r m m a n ym e t h o d sh a v e b e e nu s e dt o i m p r o v et h er e s u l t s ， a m o n gw h i c ht h em o s tp o p u l a rm e t h o di si n v e r s i o nm e t h o d i nt h ep a s t ，l i n e a r r a d o nt r a n s f o r m ，a n d h y p e r b o l i c ，p a r a b o l i cr a d o nt r a n s f o r m u s et h e l e a s t s q u a r e si n v e r s i o nm e t h o d t h el e a s ts q u a r e ss m o o t h i n ge f f e c tw i l tl e a dt o ac e r t a i nd e g r e eo ft r a i l si nt h ed a t ao fr a d o nd o m a i n , w h i c hl e dt ot h e a p p l i c a t i o n sl i m i t a t i o n s h i g l lr a d o nt r a n s f o r mi sd e v e l o p e do nt h eb a s i so f l e a s ts q u a r e ，w h i c hm a k er a d o nd o m a i nd a t ai nt h ef o r mo fe n e r g yg r o u p ， e l i m i n a t e st h es m o o t h i n ge f f e c t ，h a sg r e a t l yi m p r o v e dt h er a d o nd o m a i n r e s o l u t i o n t h i sp a p e rs t a r t sf r o mt h eg e n e r a ll i n e a rr a d o nt r a n s f o r m ，a n dt h e n d e v e l o p sd a m p e dl e a s ts q u a r er a d o nt r a n s f o r mi nf r e q u e n c yd o m a i n ；f u r t h e r m o r ed e v e l o p sh i g hr e s o l u t i o nr a d o nt r a n s f o r mi nf r e q u e n c yd o m a i na n d e x t e n d st h ef o r mf r o ml i n e a rt op a r a b o l i c a f t e r h i g hr e s o l u t i o nr a d o n t r a n s f o r mi ss t u d i e di nf r e q u e n c yd o m a i n , h i g hr e s o l u t i o nr a d o nt r a n s f o r mi n t i m ed o m a i ni ss t u d i e di nh y p e r b o l i cr a d o nt r a n s f o r m t h ea d v a n t a g e sa n d d i s a d v a n t a g e so fb o t hr a d o nt r a n s f o r mi nt i m ea n df r e q u e n c yd o m a i ni s c o m p a r e d i nc o m p a r i s o nw i t ht h eo t h e rm e t h o d s ，t h ep a p e ra l s os t u d i e sf - k w a v ef i e l ds e p a r a t i o n ，a n dc o m p a r e dw i t hr a d o nt r a n s f o r mt h r o u g has i m p l e l i n e a rm o d e l t h ea p p l i c a t i o no fm o d e la n dp r a c t i c a lr e s u l t ss h o w st h a t ：c o m p a r e dt o t y p i c a lr a d o nt r a n s f o r m , h i g h r e s o l u t i o nr a d o nt r a n s f o r m c o m p l e t e l y s u p p r e s s e st h es o c a l l e ds m o o t h i n ge f f e c t ，g r e a t l yi m p r o v e st h er e s o l u t i o n , a n d e n a b l ed a t ai n v e r s i o nr e c o v e r y , a l lt h e s ed e m o n s t r a t e si t ss u p e r i o r i t y k e yw o r d s ：r a d o nt r a n s f o r m ，w a v e f i e l d s e p a r a t i o n ，f - kt r a n s f o r m , c o n j u g a t eg r a d i e n t v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国石油 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： m 7 年 尹月劲日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： - m 7 年 y 月日 扫口 年 f 月加日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第1 章前言 1 1 研究的意义 r a d o n 变换又称为倾斜叠加或投影，就是沿着特定路径对介质的某个 特性进行线积分1 1 1 。由r a d o n1 9 1 7 年提出，它为图像重构问题提供了一个 统一的数学基础，目前已被广泛应用于地球物理、医学、天文、分子生物、 材料等领域。1 9 7 8 年c h a p m a n 、s c h u l t z 和c l c a r b o u t 等把抛物r a d o n 变换 引入到地球物理学中【2 l 。此后一些学者开始把它运用到各种勘探地震学问 题中，例如速度分析、压制多次波、波场分离、偏移、反演和道内插等网。 使用传统定义的r a d o n 变换算子的一个基本缺陷，这就是拖尾效应可 能产生相似的时问截距和切除。这个缺陷是由于r a d o n 变换算子的非正交 性造成的【4 】【”。反演的r a d o n 算子是基于最小范数概念的，这将可能帮助 减少拖尾现象，但是在期望获取高分辨率r a d o n 域结果的相关条件下，最 小范数约束将会产生平滑效应，从而不能保证能量足够集中嘲。因此要想 获得高分辨率的r a d o n 变换结果，消除平滑效应，必须采用新的方法改进 约束方式。另外r a d o n 变换的计算效率、适应性、反演的保真度这些方面 仍值得研究。 高分辨率r a d o n 变换使不同的地震波同相轴在r a d o n 域内高度收敛， 从而达到易于分离的目的。与传统的r a d o n 变换分离波场相比，它能够消 除不同波场之间的影响，使分离工作变得更加容易、彻底。 1 2 国内研究现状 国内研究波场分离和r a d o n 变换的学者很多。朱光明等把中值滤波、 s v d 分解等方法应用于v s p 上、下行波分离。吴律在他的专著r - p 变 换及其应用中，把线性r a d o n 变换用于v s p 资料的上、下行波分离，并 用角度旋转的方法进行纵、横波分离。李远钦早在1 9 9 4 就发表了线性与 非线性r a d o n 变换，并用于v s p 地震资料上、下行波波场分离。2 0 0 1 年 牛滨华等人提出了多项式r a d o n 变换。2 0 0 2 年同济的许世勇、孙显义等 提出了71 变换，实际上就是抛物r a d o n 变换。刘喜武等于2 0 0 4 年研究 了高分辨率r a d o n 变换方法及其在地震信号处理中的应用，王维红等于 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 2 0 0 6 年将该方法应用于波场分离中。此外，西安长安大学在r a d o n 变换 方面有过多年的研究。2 0 0 1 年，戴华林的硕士论文快速高分辨率抛物 线拉冬变换，研究了频率域高分辨率r a d o n 变换的算法效率方面的问题。 2 0 0 2 年，包乾宗的硕士论文变偏移距v s p 上下行波分离，就是用频率 域阻尼最小二乘法r a d o n 变换来做变偏移距v s p 波场分离方法研究。2 0 0 5 年，陈见伟的硕士论文用高分辨率双曲线r a d o n 变换实现波场分离用 时间域双曲线r a d o n 变换实现时间域高分辨率r a d o n 变换，然后进行相 关波场的分离工作。石油大学( 华东) 的张军华教授在r a d o n 变换用于多次 波分离方面进行了深入的研究。 1 3 国外研究现状 在r a d o n 变换方面国外很多专家学者做出了开拓性的贡献。p h i n n c y 等0 9 8 1 ) 检验了r a d o n 变换在地球物理中的特性。c a r s w e l l 把r p 变换 用于v s p 地震资料的上、下行波分离。d u r r a n i 和b e s s e t ( 1 9 8 4 ) 、 t a t h a m ( 1 9 8 4 ) 、c h a p m a n ( 1 9 8 1 ) 建立了笛卡儿坐标系下点源、柱坐标系线源 的精确变换公式。s t o f f a 等( 1 9 8 1 ) 和t r e i t e l 等( 1 9 8 2 ) 较好的建立了平面波分 解和r a d o n 变换之间的关系。t h o r s o n 和c l a e r b o u t ( 1 9 8 5 ) 、 b e y l k i n ( 1 9 8 7 ) 、k o s t o v ( 1 9 9 0 ) 等分别研究了计算r a d o n 变换的最小平 方法。为了避免大矩阵求逆，r a d o n 变换问题可在f - x 域建立， b e y l k i n ( 1 9 8 7 ) 、k o s t o v ( 1 9 9 0 ) 、f o s t e r 和m o s h e r ( 1 9 9 2 ) 、z h o u 和 o r e e n h a l g h ( 1 9 9 4 ) 均采用这种技术，但是这种方法存在低频段不稳定的问 题。1 9 9 5 年s a c c h i 和u l r y c h 等在此基础上发表了高分辨率r a d o n 变换 方法，奠定了高分辨率r a d o n 变换的理论基础，并用于道插值以及v s p 波 场分离。1 9 9 9 年h e r r m a n n 等人提出了抗混淆r a d o n 变换。2 0 0 1 年t r a d ， s a c c h i 等提出了复合式r a d o n 变换。近年来s a c c b i 等研究了3 dr a d o n 变换以及局部波场r a d o n 变换。 1 4 研究思路 本文首先从时间域简单线性叠加开始，进一步发展到频率域最小二乘 线性r a d o n 变换，再发展到频率域高分辨率r a d o n 变换，然后推广到抛 物r a d o n 变换。同时，为了适应双曲形态的地震同相轴，从线性r a d o n 2 兰坚坚堡叟堂查2 堡主堡奎 茎! 童堕宣 变换开始就研究了基于最小平方的时间域叠加，进而发展高分辨率时间域 r a d o n 变换，并应用于双曲和线性两种地震同向轴形态的地震数据。 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o n 变换直法原理 第2 章r a d o n 变换方法原理 2 1 线性r a d o n 变换 2 1 1 倾角叠加算子 线性r a d o n 变换，沿着线性路径进行积分，即对线性射线路径上的点 进行叠加，得到r a d o n 域的结果为不同的射线参数p 和截距时间r 。对于 线性特征的波场，如v s p 地震记录、地面直达波、折射波等，在r a d o n 域理想情况下呈点状收敛。 记甜( j i l ，t ) 为v s p 地震信号，t 为时间，h 为深度。令v ( f ，p ) 为地震信 号的r 中域模型值，r 表示时间截距，j 口为视慢度( 斜率) ，厅( 而，t ) 为逆变 换的结果，工为正变换算子，r 为逆变换算子。这样根据r a d o n 变换，f 巾域模型值与砌域地震信号的对应关系为： 正变换： v ( p ，r ) = ( 工“) ( p ，f ) = 甜( 矗，r = r + 幼坳( 2 - 1 - 1 ) 逆变换： 面( 矗，f ) 专( r v ) ( p ，f ) = v ( p ，r = f 一纫( 2 - i - 2 ) 以上是简单线性倾角叠加的正、逆变换式，实际计算时也可以把咖砌 略去。分离上、下行波时，需要在叩域平面上开一个窗口。若期望提取 下行波，则在z - p 域将p o 的值充零，保留p 。 假设用基本的速度进行n m o 校正。n m o 校正把下面的时移应用于 数据。 瓦啪= 瓦一( 碍+ 厅2 。) ( 2 2 5 ) 因此，基本旅行时通过n m o 校正后： 乃( a f t e r ) = 乃+ ( 2 - 2 6 ) 可以清楚的看到，n m o 速度就是基本速度，基本的旅行时变为： 乃( a f t e r ) = 瓦( 2 - 2 7 ) 换句话来说，基本旅行时对于所有偏移距的地震道都是合适的。而多 次波在旅行时n m o 校正后如下式： 乙( 舻盯) = 瓦+ t o 一( 譬+ 2 屯) ( 2 - 2 8 ) 或者在代替乙以后 乙( a f t e r ) = r o + ( 碧+ 矗2 ) 一( 譬+ 2 ) ( 2 - 2 - 9 ) 在上面的等式中有两个平方根，它们可以展开为t a l o r 级数序列( 仅仅 保持二次项) ，有： v o ( a f t e r ) 兀+ 壶炉一i 面1 矿( 2 - 2 - l o ) 上式可以重写为： 1 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o n 变换方法原理 瓦( d r i e r ) * t o + 神2 ( 2 - 2 1 1 ) 式中 g = 击( 吉一去 仔z 可以清楚的看到，沿着抛物积分变换的路线，可以简单的把原来倾斜 叠加的h 改为h 2 0 6 。 也可以对双曲形态同相轴的地震道集数据进行拉伸变换可以得到抛 物形态的道集数据，这时再进行抛物r a d o n 变换，可以得到较精确的r a d o n 域的结果。但是正常地震数据的同相轴在经过拉伸变换以后，小于1 秒的 同相轴“变细”，而大于1 秒的同相轴变粗，而同相轴的这种不连续变化， 对r a d o n 域的能量收敛是有影响的。因此，要不要拉伸还要看具体情况。 2 2 1 频率域抛物r a d o n 变换 首先定义抛物r a d o n 变换。 i 发m ( q ，f ) 为r a d o n 域模型值，g 为速度平方的倒数，沩截距时间， d ( x ，t 1 为t - x 域数据，f 表示时间，x 表示偏移距，抛物r a d o n 变换正变换 为： 聊( ) = d ( x ，r + q x 2 净( 2 - 2 _ 1 1 ) 逆变换为： d ( 硝) = m ( g ，t - q x 2 妇 ( 2 - 2 - 1 2 ) 由于抛物r a d o n 变换中t 和f 是线性关系，与线性r a d o n 变换一样满 足变换的时不变性，所以可以在频率域中处理，i 殴d ( x ，m ) 和盯( 叮，国) 分 别为d ( x ，f ) 和肌( g ，f ) 的傅立叶变换，则变换对推导如下1 7 1 毋： 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o l l 变换方法原理 m ( q ，) = d ( z ，r + 铲2 ) e x p ( - i w r ) 删r = d ( x ，t ) e x p ( - i c o ( t - q x 2 ) ) 捌r = d ( x ，t ) e x p ( - i a ，t ) e x p ( i o ) q x 2 ) 砒 即频率域正变换为： m ( q ，) = d ( x ，c o ) e x p ( i a ，q x 2 ) 出( 2 - 2 1 3 ) 由= y - d ( 毛) = f i m ( q ，t - q x 2 ) 唧( 一i a n ) d t = l m ( q ，r ) e x p ( 一砌( r + q x 2 ) ) d r 嘶 = ll m ( q ，r ) e x p ( - i o r ) o x p ( 一i c o q x 21 如a q 即频率域逆变换为【1 9 】【2 0 】： d ( x ，国) = 肘( g ，国) 【p ( 一f g x 2 妇( 2 - 2 1 4 ) 2 2 2 离散抛物r a d o n 变换 设d ( x ，t ) 为偏移距一时间地震剖面，m ( q ，f ) 为要得到的r a d o n 域剖面， 变量x ，v ，t ，f 分别表示偏移距、速度、时间和时间截距，则从似域剖面到 r a d o n 域剖面的变换为【2 l ： 肌( ) = 喜d ( 州= 乒爵) 缸 ( 2 2 。1 9 ) n 为空间采样点数。 从r a d o n 域剖面到“域剖面的变换为： 咐) 2 喜m ( q j 产乒万) 幻( 2 - 2 - 2 0 ) ，为q 的采样点的个数。 假设q = l v 2 , t = t 2 , f 。= f 2 则( 2 - 2 9 ) 署1 1 ( 2 2 t o ) 变为离散抛物r a d o n 变 1 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o n 变换方法原理 m ( 乃，f ) nd ( _ ，r = f + 田# ) x ，= l ，2 ，( 2 - 2 - 2 1 ) j - i ， d ( _ ，f ) = m ( 田，r = t - q j x 2 , ) a q i = l ，二，2 一，行( 2 - 2 - 2 2 ) j - t 经傅立叶变换后为 m ( q j ，国) = d ( 耳，国) e x p ( f 国乃# ) 缸j = 1 ，2 ，( 2 - 2 - 2 3 ) d ( 薯，口) = f ( 劬，国) e x p ( 一i r o q , x ? ) a q j = l ，2 ，押( 2 - 2 - 2 4 ) 每个频率成分( 2 2 19 ) 和( 2 2 2 0 ) 式可以表示为如下的矩阵形式为 m ( q j ) = l u d ( x s ) d ( x j ) = l m ( q , ) 式中，l = e x p ( - i r a q j x 2 , ) ；i = l ，2 ，n ；j = 1 ，2 ，l 。 写成矩阵形式为： l = e x p ( - i r o q , x 1 2 ) e x p ( - i r o q 2 x 1 2 ) e x p ( - i r o q , x ；) e x p ( - i r o q , x ；) e x p ( - i r o q 2 x ；) e x p ( - i r o q , x ；) e x p ( - i r o q l x ；) e x p ( - i r o q ：) e x p ( - i n , q a ) p = e x p ( i c o q , x ；) ：i = l ，2 ，n ；j = 1 ，2 ，l 写成矩阵形式为： l h = c x p ( i o , q ：? ) e x p ( i t o q , x ；) e x p ( i r o q , x ；) e x p ( i a - ，q 2 x a 2 ) e x p ( i r o q t x ；) e x p ( i r o q 2 x ：) e x p ( i r o q j x ；) e x p ( i o j q l x ；) e x p ( f ) 1 6 ( 2 - 2 - 2 5 ) f 2 - 2 2 6 ) ( 2 2 - 2 7 ) ( 2 - 2 - 2 8 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o n 变换方法原理 f l q ( 2 2 2 1 ) 和( 2 2 - 2 2 ) 式知，l 和l h 是长方形矩阵，因此l 和l h 并不 是真正的互逆算子，这时就要利用广义逆来求解1 2 ”。实际上，这是类似于 2 1 节中线性r a d o n 变换的最小平方解。 当刀，即方程( 2 - 2 - 2 2 ) 为超定方程时，l x l 矩阵p l 是可逆的，因 此l 的广义逆为 1 7 = ( p l ) “( 2 2 2 9 ) 则抛物r a d o n 正变换为： m ；( 扩l ) - 1 l h d 当n l ，即方程( 2 2 - 2 2 ) 为欠定方程时， 此l 的广义逆矩阵为： l - l = ( l r ) 。 ( 2 2 3 0 ) n n 矩阵l l 是可逆的，因 f 2 2 3 1 ) 则抛物r a d o n 正变换为： m = p ( l ) d ( 2 - 2 3 2 ) 式( 2 - 2 2 9 ) 是最小平方解，式( 2 2 3 0 ) 是最小范数解吲。 算子p l 为 r l ： 珂 扣m 哂一呸) # 毒耐一氆) # 扣m 呸一哂) # 珂 嘲呸一研) # ； !； 驷陬岛一哂) # p 科m 啦一呸) # 行 同理 1 7 ( 2 2 - 3 3 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o n 变换方法原理 ，狮纠) 毋 狮“) 毋 叫- l 狮“) q ， 狮纠) 毋 汕“) 毋 脚“) 田 ( 2 。2 。3 4 ) 由于p l 和l 有可能为奇异矩阵或接近奇异矩阵，特别是对于低 频成分。因此，为了保证数值解的稳定性，需要加一阻尼因子，使得解的 形式为： m = ( i ，l + a 2 i ) 。1i，d(2-235) m = ( l + 旯2 i ) 一d ( 2 2 3 6 ) 九为阻尼因子，取值一般为0 1 1 。因此，( 2 - 2 3 0 ) 和( 2 - 2 - 3 2 ) 式的最 小二乘问题变为( 2 2 3 5 ) 希1 ( 2 - 2 3 6 ) 式的阻尼最小二乘问题吲剀。 对于式( 2 - 2 3 5 ) 求解，可以通过解方程( 2 - 2 - 3 7 ) 来获得。 f p l + 五2 i ) m = p d ( 2 - 2 - 3 7 ) 而对于( 2 - 2 - 3 6 ) ，则还需要变换一下进行求解。设 z = ( l p + 五2 i ) d ( 2 - 2 3 8 ) 求出z 向量后，则由式( 2 - 2 - 3 9 ) ，可以得到解向量m m = r z ( 2 2 - 3 9 ) 由( 2 2 3 3 ) 和( 2 - 2 3 4 ) 式可知这两个矩阵具有特殊结构，都是h e r m i t 矩阵。且在方程( 2 - 2 3 7 ) 和( 2 - 2 3 8 ) 中要分别计算p l 和l ，由 ( 2 - 2 - 3 3 ) l 具有t o e p l i t z 结构，因此又称为t o e p l i t z - h e r m i t 矩阵。对于 该矩阵可以用矩阵分解法、l e v i s o n 递推算法求解【2 5 l 2 f l 。 1 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o n 变换方法原理 2 2 3 抛物r a d o n 变换的参数选择 在地震资料处理中参数的选择是一个重要的环节。对于抛物r a d o n 变换，口的采样范围必须在合适的范围之内，g 的范围过大将会导致假频 或者不满足采样理论。频率厂的选择有一个有效带宽，抛物r a d o n 变换在 低频不稳定，导致能量混淆，而过高的频率浪费计算效率。 由信号分析理论可以知道，对于有限带宽毋的任意函数x “) ，其采 样率为血，则应该满足如下关系式1 2 7 】 a t b , s 2 7 r( 2 - 2 - 3 7 ) 对于抛物r a d o n 变换，其带宽为皱= ( 矗一2 。) ，式中x m a x * 1 x m m 分别为最大炮检距和最小炮检距，把它代x ( 2 2 - 3 7 ) 式中则又对于频率为 的信号，抛物r a d o n 变换中参数q 的采样率应该满足下式 却南 ( 2 - 2 - 3 s ) 由此可知抛物r a d o n 变换中参数q 的临界采样率吼为 衄= _ 了生丌( 2 - 2 3 9 ) 衄2 不习 设原始数据中信号的最高频率为国k ，欲使所有的有效频率成分成 立，则将上式的c o 替换为k ，则有 舰：了要可 ( 2 2 4 0 ) 靓5 云砭j 面 陋。 由于在抛物r f l d o l l 变换过程中出现假频，使得变换的质量下降。这里 通过选择合适的g 的扫描范围来减小假频的产生。对于抛物r a d o n 变换设 其真实的同相轴对应的曲率参数为q o 则抗假频条件为脚】 m l 亦 1 9 ( 2 2 4 1 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o n 变换方法原理 考虑到所有有效波的成分，则上式可以写成 缸c p - - x - - i 三( q - - - q m ) ( 2 - 2 - 4 2 ) 由此可以得到曲率参数q 的扫描范围满足的条件为 ( 一q m ) 瓦孟瓜( 2 - 2 - 4 3 ) 对于离散抛物r a d o l l 变换而言，翻k 对应的是一个较大的整数。根据 傅立叶变换中输入和输出采样间隔的关系： f 鲈= i ( 2 - 2 4 4 )。 n f f t 、7 设叼：是n k 对应的离散傅立叶序列整数，n f f t 为傅立叶序列总的 采样长度则 叼眦= c o 。, n f f t a t( 2 - 2 - 4 5 ) 晚i 。= c o i 。n f f t a t( 2 2 - 4 6 ) 在实际运算中，通常晚h 取5 。因此，在傅立叶域，r a d o n 变换在5 叼纛范围内进行。 2 3 频率域高分辨率r a d o n 变换 2 1 3 1 高分辨率r a d o n 变换算子 高分辨率r a d o n 算予的估计问题可以被看作一个逆问题。因为解不满 足存在性，唯一性和稳定性，反问题是病态的。借助于某些先验信息而构 建一个唯一和稳定的解，这种方法就是规则化。先验信息以固定的形式给 出或者以随机的形式给出。正定性( 先验信息固定形式给出) 是一个常用的 确定性约束，这对于解决各种各样的反问题是有用的。而随机约束假设关 于模型的一些相关信息的对应分布方面【2 9 】。 在许多问题中，规则化没有考虑到要寻找的模型的性质。这就是普遍 使用的零阶二次规则化。这种方法有平滑模型的优势，是避免放大相应观 2 0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o n 变换方法原理 测的随机误差常用方法。著名的预白化技术被用于脉冲和预反褶积就是二 次规则化的例子。然而，在许多情况下，可能需要使用其他的规则化方式， 这些规则化允许加入一些模型的相关信息。如果附加的信息是概率的形 式，这就可能用b a y e s 原理把数据通过相似性联系起来 3 0 l 。 通过合并用广义高斯分布模拟先验数据的稀疏性，获取到r a d o n 变换 算子。另外，c a u e h y 分布概率密度用于产生另外一种先验稀疏性。两种 先验信息导致变换域不同子波解的连续性，同时在数据域上也是连续的。 当先验信息介入稀疏规则化，不仅使变换的能量集中，而且能极大的 减少假频。所以，这种算法可能用于处理严重有限带宽的实际数据和由于 欠采样而导致的地震同相轴之间模糊。 第一种规则化方式为由模型的最小化作为数据约束的方式导出。根据 b a y e s 观点，在假设未知参数可以被广义高斯分布模拟的情况下，可以产 生这种规则化【3 ”。在这种情况下，两种参数都适用于协调反演。形状参数 控制分布的尾巴) ，而尺度参数( 盯) 用于调节重构的数据与原始数据的拟 合程度。形状参数是反演稀疏模型的关键。广义高斯分布的一个吸引人的 特征是，可以根据选择的形状参数，产生稀疏pa1 ) 或平滑( 旷2 ) 模型。 第二种调节由c a u c h y 分布导出。这种分布曾经被用于地震数据健壮 反演。c a u c h y 调节被用于减少可能混合到反演中的外部影响或者总的误 差。使用这些分布的调节方法将导致一个稀疏的解。总的说长尾巴分布被 用于给模型施加特征。 用b a y e s 原理可以得到先验分布与数据的相似性( 观测误差的分布) 。这 将允许构建一个最大先验解的反问题。通过高斯分布模拟观测误差。后者 有这样的优势：首先，提供了一个简单的噪音处理描述；其次高斯相似性 导致类似于最小二乘解的最大先验解【3 2 】。实际上，最大先验解是通过最小 二乘模型加权迭代的方法获取的。后者是一个使用非线性函数进行模型加 权的最小平方解，取决于前一次迭代。这种算法与迭代最小平方法概念上 很相似。尽管如此，在迭代最小平方法中误差作为重新加权作为外部的阻 尼影响。在迭代最小二乘法中，把模型参数重新加权以增加解的稀疏性。 加权的标准是最小地利用数据约束( 例如，时间采样序列) 。这个思想 从理论上来说，一个时间有限信号不可能有一个有限带宽的频谱，因此这 2 1 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o n 变换方法原理 个规范用于有限带宽的迭代和构造频谱的形状。加权的标准合并了频谱形 状的先验信息以及信号的有用频谱。这个步骤包括通过前一次的迭代计算 加权。通过一步步的迭代求解，最终使算子的能量得到聚焦1 3 3 1 。 2 3 2b a y e s 原理 先简单介绍一下b a y c s 原理。设p ( 彳i ，) 表示a 在i 为真的条件下为 真的概率。b a y e s 参数估计原理用概率理论简单的表示为乘积与加和的方 式： p ( _ 丑i i ) = p ( a i o p ( b i a i ) = p ( b i ) p ( a i b i ) ( 2 3 一1 ) 以及 p ( 么1 8 ) + p ( b i 彳) = l( 2 - 3 - 2 ) 在( 2 - 3 - 1 ) 中假设p ( b i l l 0 ，导出b a y e s 原理 p 耻p a ) 黼 b a y e s 原理建立了一个更新p ( 4 i i ) 的方式，在b 介入的条件下。在 式( 2 - 3 - 3 ) 9i 为先验信息，p ( ai ，) 在给定i 的信息上的a 的前一次条件 概率。( 2 - 3 3 ) 式的右端称作后续概率。对于b a y e s 判别，概率是衡量真实 程度的命题。基本上，b a y e s 原理用于在信息改变的情况下更新命题的真 实性。最后的估计建立了与频率观点概率的不同之处。对于频率观点来说， 概率从一个试验有限的关键数目来重复相关频率的结果。这个定义把 限定为关于一个随机变量的命题。从b a y e s 判别的观点，另一方面扩展了 概率理论的领域，从而包括任何命题 3 4 1 。 2 3 3 反演问题的b a y e s 方法 在考虑噪音的情况下，r a d o n 域与数据域的关系如下： l v + n = i i ( 2 - 3 4 ) 式中n 代表噪音项，l 是倾角或抛物叠加算子，这取决于所要解决的 问题。让v = a 为想要利用的命题，u = b 代表数据，b a y e s 原理可以写成 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o i l 变换方法原理 巾= 掣 ( 2 - 3 - 5 ) 当中为了简单起见忽略州| 勺表示。区分表示式： p ( u i v ) 是在模型v 为真的假设下，数据u 为真的概率或相似性。 p ( v ) 是模型的先验概率。 p ( u 1 是当问题作为一个标准化因子情况下的数据相似性。 p ( v ln ) 是模型的后续概率 为了利用b a y e s 公式的形式，必须假设两个余下的问题。首先给定 p ( v i u ) ，怎样确定v ，其次，怎样来确定p ( v ) 。第一个问题用合适的判 别原理可以解决。例如，使用最大先验解，v 。使p ( v i u ) 最大化，同样( 对 于规则化因子) 作为寻找最大联合概率。第二个问题，可能是反演问题中 最麻烦的问题之一，这就是怎样把模型的先验估计转化到概率密度函数中 f 3 5 】。 如果先验概率和相似函数有下面的形式： p ( v ) e 一以 ( 2 - 3 6 ) p ( u i v ) o c e 一山 ( 2 3 7 ) 这样，后续的概率分布给出如下： p ( v iu ) a cp ( v ) p ( uiv ) c ce - ( 4 + 以( 2 3 - 8 ) 最大先验解方法将与，= 胁( u i v ) 的最小化一致，其中，经常被 称为目标函数或代价函数。 ，= 以+ 以( 2 - 3 - 9 ) 如果后续分布是多模型的，那么目标函数将不是严格的凸函数，所以 需要用一个广义的优化问题来找到最大先验解。如果用先验信息和相似性 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o n 变换方法原理 用正态分布来模拟，那么目标函数变成反演理论广泛使用的经典二次型 阳。 需要指出的是可能要用到其他估计v 的方法。例如，v 的后续分布概 率扔的均值： 可= j p ( v iu)咖(23-lo) 或者中值，v l ， j p c 怄飞 _ j 1 ( 2 - 3 1 1 ) 从计算的观点看，常常选择到最大先验解方法，既然要计算均值或者 中值，就需要在整个模型空间积分。对于一个对称单峰后续分布，均值、 中值以及最大先验解估计是一致的。后续分布概率扔常量的正则化不需 要最小化目标函数，所以在分析中可以忽略。 b a y e s 推论认为以作为一个附加信息，它能够帮助确定最相似的参数 集。从一个非b a y e s 的角度( 甚至于经典的反演理论方式) ，该项是为了增 加反演的稳定性。 2 3 4 给模型付初值 b a y e s 推导的是对先验信息目标的选择程度。各种设想都期望找到先 验概率，这个概率展现忽略模型的情况。这些先验值由对称和不变的数学 参数导出。一个先验目标同样可由最大熵原理导出【3 7 】。考虑到随机变量， x ，及x 的后续分布。它的熵可以由下式给出； 而= l ( x m e ( x ) k ( 2 3 1 2 ) h 表达了与分部函数厂( x ) 相联系的不确定性。因此，分布必须忠实 地描述数据，假设已知而不能确定，就是拥有最大熵地那个。这是自然的， 所以，当想要导出基于不确定的信息，就从最大熵允许的信息的概率分布 导出它们。 熵的最大化由下面的限制约束： 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章r a d o n 变换方法原理 r 厂( 工) 出= 1 ( 2 - 3 1 3 ) 以及 r 厂( x ) ( x ) 出= q ，k = l 州2 - ，m ( 2 - 3 - 1 4 ) 其中第一个限制是正则化限制，第二个是假设未知量的部分。使用 e u l e r - l a g r a n g e 方程计算变量的最大熵后续分布p d f 由下式给出： ，( x ) = e - 一枷卜如( 。卜厶如( 枷 ( 2 3 1 5 ) g l l 掣 i m g e 参数凡，五，厶通过取代，( 石) 作为约束，来解决非线性阔磨 【3 引。 而后续概率分布p d f 可以通过最大熵原理来取得。一个例子就是广义 高斯分布。在这种情况下，描述的约束方程( 2 3 - 1 3 ) 以及与差量评估相关 的，。模， ( ) 9 = h 9 厂o ) 办( 2 - 3 1 6 ) 最大化熵下的后续分布函数为： 小刊= 赢e 器 渊7 ， 广义高斯分布的形状参数p 及尺度参数盯。描述一个族的分布。特别 是当p = 2 ，等式( 2 - 3 - 1 7 ) 对应于正态分