（地球探测与信息技术专业论文）非均质地层中电法测井响应研究.pdf

摘要 论文主要研究了几种较好的模拟算法，对于每一种算法，首先从理论 上进行推导，其次由简单到复杂建立地层模型，通过程序设计得到各自的 成果图，并进行分析。 非线性散射近似方法可以被用来有效解决任意均匀导电介质中大规模 电磁散射问题。在这一算法的推导中，采用了早期由h a b a s h y 提出的非线 性散射近似的方法和原理。h a b a s h y 提出的非线性散射近似与散射体内的 电场的局部近似相一致，内部电场是通过背景场向散射张量上的投影而得 到的，外部电场的近似取决于内部电场的光滑程度。因而散射张量是非线 性散射近似的基础，它可以综合分析幅度，相位以及由于电导率变化而引 起的正交极化变形，从而校正背景场成为内部电场的精确近似。论文中阐 述了散射张量关于频率和空间电导率变化的数学、物理特性。通过程序设 计由简单到复杂分析了导电介质中存在有多个异常体的情况，重点分析并 模拟了两个异常体的情况。表明非线性近似在较宽的频带范围内，对半径 较大，电导率对比度较高的散射体仍然非常有效。 在地层评价的过程中，二维径向不均匀地层模型被广泛使用。可使用 与数值模式匹配法相类似的一种方法求解该模型电磁响应问题。这一方法 是由积分方程法和有限差分法相结合来求解格林函数问题。在每层地层的 垂向得到解的解析表达形式，径向上场的分布可以通过扩展网格法得到。 该方法的应用大大降低了计算耗时，同时将其应用到感应和侧向测井响应 的模拟中，把初始的问题简化为一系列简单的一维问题，与积分方程和有 限差分方法相比，速度上有很大的提高。 反演问题一直是测井方法研究中的一个重要的问题。反演方法的目的 就是为了从视电阻率曲线得到一个真实电阻率的地层模型。但是，通常的 方法有两个薄弱环节，就是操作速度慢和结果的不唯一l 生问题。为了改善 操作速度，论文所提出的方法通过近似构造矩阵的方法避免了雅可比矩阵 计算上的时间耗费；为了解决结果的不唯一性，这个方法在校正步长中又 引入了一个简单的自动校正，从而避免了电阻率的过度校正，也避免了模 型更新中所出现的不稳定性。这对将反演更进一步应用于测井解释起到了 一定的推动作用。 关键词：非线性散自 近似数蝴匹配格林张量散躺长量散射体 积分方程有限差分雅可比矩阵 t h er e s e a r c ho fe l e c t r i c a lw e l l l o g g i n gr e s p o n s e i ni n h o m o g e n e o u sl a y e r s a bs t r a c t i nt h ep a p e r ，w ec o n e e n t r a t e do nt h es t u d yo fs e v e r a l s i m u l a t i o nm e t h o d f o re a c hm e t h o d ，w es t u d i e di ti nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c sa tf i r s t t h e nw ec o n s t r u c t e dt h e g e o l o g ym o d e lf r o ms i m p l i c i t yt oc o m p l e x i t ya n dp r o g r a m e dt h ec o m p u t e rt oo b t a i nt h ep os i t i v er e s u l t n o n l i n e a rs c a t t e r i n ga p p r o x i m a t i o nc a nb eu s e dt oe f - f i c i e n t l ys o l v el a r g es c a l ee l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r - o b l e m si na r b i t r a r i l yh e t e r o g e n e o u sc o n d u c t i v em e d i a i n t h ed e r i v a t i o no ft h em e t h o d ，w ea d o p t e dag e n er a l i z a t i o n o ft h en o n l i n e a rs c a t t e r i n ga p pr o x i m a t i o na d v a n c e de a r l i - e rb yh a b a s h y i nt h ep a p e r ，w ep a ym o r ea t t e n t i o nt ot h e v a r i a t i o no ft h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l dw i t hv a r i a t i o n so f f r e q u e n c ya n dc o n d u c t i v i t yi nc a s eo ft w os c a t t e r s a na x i a l l ys y m m e t r i c2 - dm o d e lc o n s i s t i n go fr a d i a l l y i n h o m o g e n e o u sl a y e r si sw i d e l yu s e df o rf o r m a t i o ne v a l u a t i o n af a s tn u m e r i c a ls i m u l a t i o no fw e l ll o gr e s p o ns e is p r e s e n t e dh e r e ah y b r i da p p r o a c h ，c o n s i s t i n go fac o m - - b i n a t i o no fi n t e g r a le q u a t i o n sa n df i n i t e - d i f f e r e n c es c h c m e s ，isa p p l i e dt oag r e e n sf u n c t i o npr o b l a m t h i sa p p r - o a c ha n dt h es t o r i n go fi n t e r m e d i a t er es u l t st h a ta r eu s e - dr e p e t i t i v e l yi nt h es o l u t i o n ，s i g n i f i c a n t l yr e d u c est h ec o m p u t a t i o n a lt i m e t h ee f f i c i e n c yo fm o d e l i n gi s n e a rt o b e i n ga p p l i c a b l ef o rw e l l 一s i t el o ge v a l u a t i o n i nc o m p l e xf or m a t i o ne n v i r o n m e n t ，t h ea p p a r e n tr es is t i v i t y c a n tr e f l e c tt h et r u ef o r m a t i o ne n v ir o n m e n t s b e c a 一u s ei ti sd i f f er e n tf r o mt h et r u er e s i s t i v i t y t h eo b j e c t i v eo ft h ei n v e r s i o na l g o r i t h mi st od e r i v ear e s i s t i v i t ym o d e lo ff o r m a t i o nf r o mt h ea p p a r e n tr e s i s t i v i t yc u r v e h o w e v e r ，t h e r ea r et w ob o t t l e n e c k st ot h eu s u a lm e t h o d ，e t 。 t h ep r o c e s s i n gs p e e da n ds o l u t i o nu n i q u e n e s s t oi m p r o v et h es p e e do ft h ei n v e r s i o n ，t h ec a l c u l a t i o no ft h ej a c o b i a nm a t r i xi sa v o i d e di nt h i ss o l u t i o nb yt h em e t h o do f e o n s t r u c t i o no faa p p r o x i m a t em a t r i x as i m p l ea u t o m a t i e a d j u s t m e n ti nc o r r e c t i o ni sb u i i ti n t ot h ea l g o r i t h mt oa v o i d er e s i s t i v i t yo v e rc o r r e c t i o na n dt h ei n s t a b i l i t yi n u p d a t i n gt h em o d e l ，t h ea l g o r i t h mp r o m o t et h ea p p l y i n go f i n v e r s i o nt ow e l l - s i t el o gi n t e r p r e t a t i o n k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs e a t t e r i n ga p p r o x i m a t i o n ，g r e e n t e n s o r ，n u m e r i c a lm o d em a t c h i n gm e t h o d ， s c a t t e r i n gt e n s o r ，s c a t t e r ，i n t e g r a le q u a t i o n ， f i n i t ed i f f e r e n c e ，j a c o b i a n 耱a t r i x 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究 成果，也不包含为获得石油大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明酶的说明并表示了谢意。 签名鱼圭皇 z 0 0 3 年岁月臼 关于论文使用授权的说明 本人完全了解石油大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交沦文的复印件及电子版，允许论文被查 阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影 印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名 导师签名 堕i皇 寺习 2 0 0 3 年5 月6 日 2 0 0 3 年5 月6 日 石油大学( 华东) 硕士论文 第1 章前言 电法勘探在经历了近一个世纪的发展后，其方法理论、仪器设备等方 面都经历了一系列的重大变化。电法勘探是野外数据采集、处理和解释， 寻找金属、非金属矿产、煤田、油气藏和地下水的重要而有效的一种方 法。近几十年来，其应用领域又扩展到地质工程、工程勘探、环境监钡4 等 领域，是勘探地球物理学中的重要分支。 电法测井是应用电磁理论来测量地层电性参数的一门技术，利用电法 测井，人们可以得到电测井曲线。 电法测井起源于地面电法勘探0 1 ，它是测量井眼周围岩石电性参数的 一种地球物理测井方法，并在生产和实践中不断的发展和完善起来的门 技术。在本世纪的二三十年代，电法测井还是一门较为简单的技术。在地 面地质勘探或地球物理勘探确定了有可能存在的含油气构造以后，要验证 这些构造的含油气的可能性是采用钻井技术，并且给出探明钻遇地层的地 质资料。在采用电法铡井之前，唯一能够分辨地层的方法是监控钻井的速 度、观察泥浆和进行岩屑录井，在当时的技术条件下，这些方法的精度较 差。而精确一点的方法就是钻井取芯，但由于需要频繁地起钻下钻，换接 钻头，作业也比较复杂，而且费用很高，对比起来电法测井不但兼顾了上 述方法的优点，而且又有其独特的特点，于是电法测井就迅速地发展成为 勘探和开发的一种有效手段。 人类第一次电法测并作业是1 9 2 7 年9 月5 日在法国东北部阿尔萨斯 地区，由h g d o l l 嘲等人完成的。他们采用4 米长的电极系，a m 长3 米， 州长1 米，电极系的下面带有1 米长2 5 磅熏的加重体，用这套简单的设 石油大学( 华东) 硕士论文 前言 备，他们给出了第一张电法测井曲线图，这在地球物理测井中具有划时代 的意义。随后，标准电极系就出现了，它成为测量自然电位和电位电阻率 两条曲线的装置。在最初的测井过程中，操作人员发现：即使不发射电流 ，电路中的电位也会随深度变化。这种现象是由于泥浆滤液与地层之 间的相互作用而产生的，因为它的产生不存在人工电源，故称之为“自然 电位”。通过自然电位曲线可以确定渗透层，这为电阻率曲线提供了极为 宝贵的补充。s c h l u m b e r g e r 兄弟在1 9 2 9 年获得了用自然电位确定渗透性 地层的专利圆，1 9 3 1 年把它投入商业使用。目前，自然电位测井仍然是常 规测井项目之一。 常规的电极系( 电位电极系和梯度电极系) 测井不具备聚焦的性能， 仪器受井眼中泥浆特性的影响较大，这给它的解释工作带来了困难，为此 发展了聚焦类的电法测井，侧向测井在本世纪四十年代末期开始进入商业 应用阶段。1 9 4 9 年h g d o l l 等设计的七侧向测井仪在美国休斯敦试验成 功，记录了第一条聚焦型电测井曲线。该仪器发展为今天的九电极双侧向 测井仪，这种仪器成功的解决了普通电极系测井装置对井眼的敏感问题。 所有这些采用直流电测井的仪器受淡水泥浆的影响十分大，并且它们都不 能在油基泥浆井眼中进行作业，为了克服这种不足，h g d o l l 等人提出 了感应测井。 感应测井作为电法测井的一个重要的组成部分，是本世纪四十年代提 出并发展起来的一种测井方法，提出的目的是为了解决当时出现油基泥浆 钻井中的电阻率测量问题o 。提出以后就受到了人们的普遍关注，并且应 用到水基泥浆的测井中，取得了良好的效果，随后就发展为通用的测井方 法。 2 石油大学( 华东) 硕士论文前言 四十年代初期口 ，正是第二次世界大战的困难时期，h g d o l l 和他的 同事们参加了为美国作战部服务的研究工作，他们的主要成果是研制成功 装在吉普车前面的探雷器。到战争近结束时，d o l l 又研制成功了相敏检 波装置，该装置可以有效的将同相信号和异相信号分开，即实部信号和虚 部信号分开，后来它又被成功地应用于感应测井的信号接收中。战后，感 应测井进入了蓬勃发展时期，发展成为六线髑系双感应测井，最具代表性 的仪器是6 f f 4 0 ，至今仍在广泛使用。 双感应测井投入商业使用以后，多年一直没有变化，这期间，许多的 理论工作者意识到，双感应测井仪器把虚部信号作为无用信号，采用相敏 检波装置进行压制并丢弃，十分可惜。j hm o r a n 和k s k u n z k ， w c d u e s t e r h o e f t m ，田子立8 1 和张庚骥o _ ”“1 1 发表文章或论著阐述虚部 信号的应用，这些论著中影响最大的是m o r a n 的几何因子描述同和张庚骥 的高阶几何因子理论“，所有这些理论的提出推动了感应测井技术的发 展。1 9 8 3 年s c h l u m b e r g e r 推出相位双感应测井仪( p d i l ，p h a s o rd u a l i n d u c t i o nt 0 0 1 ) ，同时测量实部和虚部信号；1 9 9 0 年a t l a s 推出自己的 相位双感应( d p i l ，d u a lp h a s ei n d u c t i o nl o g ) ，该仪器使用三种工作 频率l o k h z ，2 0 k h z 和4 0 k h z ，并且同时测量实部和虚部信号：1 9 9 2 年 h a l l i b u r t o n 推出自己的高分辨率感应测井( 躲i ，h i g hr e s o l u t i o n i n d u c t i o n ) 。总之，这几家大的测井服务公司均致力于改进双感应测井装 置，以便能够测量响应的两种信号，然后对实部和虚部信号进行处理，得 到比较高的纵向分辨率和比较深的径向探测深度。与此同时，名不见经传 的b p b 测井服务公司却在t 9 8 3 年推出了它的阵列感应测井仪( a i s ， a r r a yi n d u c t i o ns o n d e ) ，这种装置具有个发射线圈和四个接收线圈， 石油大学( 华东) 硕士论文前言 并且这种装置不采用硬件聚焦方式，它通过计算机软件处理获得地层电性 参数，这种处理手段后来被称之为软件聚焦，这是一种全新的思路，是感 应测井的发展方向，进入九十年代后，s c h l u m b u r g e r 公司推出自己的阵列 感应化测井仪器( a i t ，a r r a yi n d u c t i o nt 0 0 1 ) ，该仪器有一个发射线 圈，八组接收线圈，采用三种工作频率，同时测量实部和虚部信号，可以 提供1 1 2 条阵列感应测井曲线。采用非聚焦类的阵列化电测井，导致了二 维电阻率截面成像的出现。阵列化电测井的仪器均采用一发多收的装置， 对于每一个深度点都可以采集大量的观测数据，利用这些观测数据可以重 建地层的电阻率剖面。 电法测井是电磁波的理论在地球物理测井应用中产生的一门技术，这 项技术的发展离不开实验做后盾。但是，这种实验的代价是昂贵的，同时 实验中的物理参数非常难以改变。而计算机模拟则体现了其方便性、灵活 性和实用性，计算机模拟使得这项研究的费用大为降低，电磁波数值模拟 技术或更一般的科学计算，随着算法研究的深入和计算机的迅猛发展，已 日益成为独立于物理实验和人类实践之外的认识自然的又一手段。电磁波 运动规律遵从麦克斯韦方程，在电法测井的特定领域，麦氏方程可以转化 为l a p l a c e 方程和h e l m h o l t z 方程，研究这类方程的解( 即数字仿真技术 ) 在某种程度上可以代表这方面的物理实验，因此这种研究显得格外重 要。随着计算机内存、外存的增加和计算机运行速度的提高，电法测井的 数字仿真技术在八十年代初期出现，经过科学家们十多年的努力，至今已 经发展成为十分成熟的技术，这主要包括：( 1 ) 有限元法( f 喇) ； ( 2 ) 积分方程法( i 酬) ；( 3 ) 数值模式匹配法( ) ：( 4 ) 非线性 近似方法；( 5 ) 逐次逼近解法( s a m ) 。 4 石油大学( 华东) 硕士论文前言 有限元素法的出现使得数值模拟向前迈进了巨大的一步。复旦大学李 大潜“2 1 等人1 9 8 0 年把它引入直流电测井响应的计算中；s 兄c h a n g 和 b a n d e r s o n 等人在1 9 8 4 年用它模拟了感应测井响应，随后张庚骥把前线 解法“”引入有限元素法的计算中，使得该方法走向成熟。 有限元素法在模拟电测井响应方面取得了巨大的成功，发展成为电法 测井数字仿真方面十分有效的工具，但它也存在着先天的不足：方程所涉 及的未知量过多，针对二维问题，结点分布在二维予午面上，每一个结点 都与一个未知量对应。为了得到较为精确的结果，结点的分布不能太稀 疏，但是过多的结点又会使得计算时间太长，为此人们想到了积分方程 法。它又叫边界元法，该方法的未知量分布在区域的边界上，而在地球物 理中所遇到的介质多数具有分区均匀的性质，这使得积分方程法解决电法 测井的响应变得十分有效。这样，二维问题的正演计算中，未知量仅仅分 布在边界上，在二维子午面中是一维的线上。但是这种方法也有它自身的 不足：尽管减少了未知数的个数，离散化后矩阵元的计算变得相对复杂。 近年来，w c c h e w 和q h l i u 采用c b - f f h r 计算感应测井的响应，这种方 法的实质就是积分方程的积分变换解。 数值模式匹配法又被称之为混合法( h y b r i dm e t h o d ) 或半解析半有限 元素法。在1 9 8 4 年，c h e w m l 将通讯中的模式匹配法( p u d e n s i 和f e r r e i r a ， 1 9 8 2 ) 引入到感应测井的数值分析中，其效率比c h a n g 的f b i 方法高两个 数量级，从而使低频电磁波场的数值分析有了新的进展。由于它在一个方 向上使用数值方法，习惯上称其为数值模式匹配法( n 。此后许多的学 者从事了这方面的研究。张庚骥，金勇( 1 9 8 8 ) ，c h e w 等，聂在平等( 1 9 9 2 ) 将n 推广到任意多层媒质，最终使之成为一种普适的二维数值模拟工 石油大学( 华东) 硕士论文 前言 具。1 9 9 5 年、1 9 9 9 年张庚骥口5 1 等在n 中引入幅度基函数和斜度基函 数，使其效率进一步提高两个数量级，这也是n m m 方法引入电法领域的新 进展。 为了对测得的感应测井数据进行正确的解释、处理和反演，多维非均 匀介质中的感应测井的数值模拟在过去的几年内已被投入了大量的研究精 力。尽管在正演方面人们已经做出了很大的努力，但是对于大规模的实时 模拟仍是一项极富挑战性的研究任务。全波方法，例如有限元法和矩量法 都是属于计算耗费很大的方法。基于b o r n 近似的方法为正演问题提供了 一种快速的计算方法，但是随着散射体与背景场电导率对比度的增大，这种 方法的计算精度明显的降低。基于由h a b a s h y 提出的非线性的方法和原理 的非线性散射近似可以对在任意非均匀的导电介质中的点源和线源的电磁 感应场进行数值模拟。这种近似公式关于空间电导率的变化是非线性的， 并且具有与源独立的散射张量。通过由背景场在散射张量上进行投影，可 以得到不规则电导率区域内部场的近似公式。与2 5 维的有限差分相比， 新的近似公式能够在地下电磁实验的频率带范围内，对具有较大范围的电 导率对比度的散射场进行估计，也能估计散射体的大小。这种近似具有线 性系统的同样的效率，例如b o r n 近似。我们可以从非线性散射近似中得 到j a c o b i a n 矩阵的近似表达。通过重复非线性反演建立了一个限制范围 内的电导率模型，从而降低了最小化代价函数的不唯一性。 非线性近似使用大量的电磁数据，减少了对大量未知数据转化所需要 的时间。实验结果表明，这种非线性近似对较大半径的球体具有高的精 度，电导率对比度，宽的频带范围。在既能保证计算效率又不降低精度的 6 石油大学( 华东) 硕士论文前言 情况下，非线性近似比有限差分具有更大的优越性。同时也能够证明，新 的非线性散射近似在任何隋况下都比b o r n 近似具有优势。 1 9 8 0 年张庚骥先生首先把逐次逼近解法“”引入到直流电测井响应的 计算中，随后，在1 9 8 2 年把该方法引入到交流电测井的响应计算中，在 这个引入过程中，提出了直流电和交流电测井的高阶几何因子理论，随着 1 9 8 7 年逐次逼近解法收敛性的证明，这套理论已经发展成为完善的数值 模拟方法。逐次逼近解法的基本思想是：把地层的电性参数分为背景值和 微扰项之和，然后采用求解微扰问题的方法来计算非均质介质中测井响应 的各阶近似，在计算过程中采用数论上最佳格点集计算多重积分。采用 f f h t 和s a m 计算感应测井响应，在同等条件下与采用c g - f f i e 1 7 1 计算积分 方程相比，s a m 比c g - f f h f 快一倍多。采用积分变换法计算电测井响应的 逐次逼近项，算法在保证精度的前提下收敛快，可以与混合法相媲美，但 其应用灵活性要超过混合法，这为电测井的成像提供了高效可靠的正演算 法。 7 石油大学( 华东) 硕士论文非线性散射近似方法 第2 章非线性散射近似法 2 1 概述 在油田的采油开发过程中，随着采油的进行，油井内的压力不断减小， 井内残留了许多剩余油。后期，在井内注入液体或蒸气，从而对油井进行加 压处理，这时会有部分油在压力的作用下流入到井周围的地层空间中。为了 得到这一部分残余油的分布，我们可以通过声波和电法测井进行研究。 实际上，这两种测井方法多年来直被作为地层评价过程中的一个重要 组成部分。电法测井被作为常规的方法来评价饱台度，可动油的分布，渗透 率等。原因是由于大多数可渗透岩石的电导率是通过孔隙流体来控制的，因 此，孔隙度、孔隙水的电导率、饱和度和温度都控制着岩石的体电导率。常 规的测井方法只能决定在裸眼井中几米内的岩石体电导率，而井间电磁方法 可以对相隔距离为i 0 0 米到2 0 0 米的岩石的体电导率进行成像。井间电磁方 法可以提供很多与并问地层相关的信息，并能大大提高加密钻井、储层模拟 的效率。许多在地层表面进行的实验和井间地震模型已经证明，在今后的储 集层特征评价中，井间电磁方法将有更广阔的应用前景。 对于任意电导率分布区域的电磁散射问题的解决方法过去普遍使用的， 如弹性波动方法，但是它不能解决代表复杂地质情况的数字化模型。在裸眼 井中建立的井间电磁的j 下演模型已经包括了二维的和三维的散射体的情况， 为了解决这样的电磁散射问题，由l e e 提出了有限微元方法，但是使用这 种数字化正演模型的解释过程计算将是非常的繁琐。 后来发展了使用近似工具来解决井间电磁散射问题，这种方法被称为 b o r n 近似法，这种方法的有效性和实用性由z h o ue ta 1 ( 1 9 9 3 ) ，a l u m b a u g h 和 石油大学( 华东) 硕士论文非线性散射近似方法 m o r r i s o n ( 1 9 9 3 ) 在相关的文章中讨论过。这种方法对于低电导率对比度的模 型比较精确，但是在电导率对比很高时，这种方法的精度将会大大降低。 而非线性散射近似方法“”是一种较为实用的井间电磁的数值模拟方法， 我们引用了一个新的近似公式。这种公式能够对任意的均匀导电介质中的点 源或线源所激发的电磁场进行近似模拟。在电法测井中，我们可以通过对电 磁场的测量来分析井间地层及与周围流体的相关的信息，而非线性散射近似 则能较好地完成这一项工作。通过数字化模拟及与2 5 维的有限差分相对 比，非线性散射近似能够在地下电磁实验的频带范围内，对那些体积较大， 电导率对比度较高的散射体内外的电磁场进行近似模拟。非线性散射近似中 的散射张量可以通过幅度、相位和由于散射体之间的频率相关交互偶合效应 而造成的正交极化校正来调节背景场。一般来说，这三种校正方法对于较为 普遍使用的b o r n 近似方法是不可能的。这一近似公式与空间的电导率的变 化成非线性关系，这一散射近似的关键在于求解一个与源独立的散射张量。 通过将背景场投影到散射张量上，我们可以得到散射体内外电磁场的近似表 达，这对于解决实际问题是非常有用的。 2 2 方法原理 2 2 1 简介 非线性散射近似可以被用来有效地解决任意均匀导电介质中的大规模的 电磁散射问题。在新的非线性散射近似的推导中，采用了早期由h a b a s h y 1 9 提出的非线性散射近似的方法和原理。h a b a s h y 提出的非线性散射近似与散 射体内的电场的空间变化的局部近似相一致内部电场是通过背景场向散射 张量上的投影而得到的，外部电场的近似精度取决于内部电场的光滑程度。 石油大学( 华东) 硕士论文非线性散射近似方法 因而散射张量是非线性散射近似的基础，它可以综合分析幅度，相位以及由 于电导率变化而引起的正交极化变形 近似。同时散射张量不依赖于发光源 从而校正背景场成为内部电场的精确 是一个与电导率变化具有明显的非线 性关系的矩阵函数，这特性对于反演过程非常有效。h a b a s h y 通过实验成 功地检测了这一方法的有效性和精确性。结果表明，非线性近似在较宽的频 带范围内，对半径较大，电导率对比度较高的散射体仍然非常有效。 本章主要阐述了散射张量关于频率和空间电导率变化的数学和物理特性 。通过大量的细节分析推导出了多个散射体的处理方法。在具体的分析过程 中通常假定非均匀的导电介质为立方柱形或圆柱形，假定源是一个平行于y 轴的无限长的线性电流源。同时，通过程序设计由简单到复杂分析了导电介 质中存在有多个异常体的情况。重点分析并模拟了当有两个异常体存在时， 观测点处的电磁场随频率及电导率的变化情况。 2 2 2 电磁场积分方程 建立一个坐标系，坐标系中任意一点的位置可以表示为：，= 戒+ 谚+ 西 ，假设一个时间谐调因子为e 。“，国为角频率，为时间。对于非磁性介 质，它的电场满足以下的波动方程： v v x e o ) 一i ( o t g ( r 归( ，) = i c o ，p ) 一v x m ，o ) ( 2 一1 ) 其中是自由空间的磁导率，以p ) 和m 。( ，) 分别是外加的电流源和磁流 源，盯( ，) 是空间的电导率。 在( 2 一1 ) 式中，介质特性的空间变化都体现在电导率分布盯( r ) 上，它 是一个与频率相关的复数。可以表示为： o ( r ) = 仃p ) 一u o e ( r ) 石油大学( 华东) 硕士论文非线性散射近似方法 其中盯p ) 是欧姆电导率，是介电常数。 为了将( 2 一1 ) 式转化为一种积分形式，引入了无边界的电导率为的 导电介质的格林张量堡p ，r o ) ，它满足下式： v x v 堡o ，) 一k b2 鱼p ，0 ) = l 6 ( r r o ) ( 2 2 ) 其中是单位张量，占( ，) 是三维狄拉克函数，传播常数吒在均匀的背景场 中满足： k62=icoh盯(2-3) 假定源位于无限远处，定义e 。( r ) n h 。( ，) 分别是电导率为吼的均匀无 限大导电介质的电场值和磁场值，利用( 2 1 ) ，( 2 - 2 ) 式和格林理论，则 可以得到e o ) 的积分表达形式： 占p ) = 瓦( ，) + i c o pf g ( r ，r o ) 以妇盯瓴蛾 ( 2 4 ) r 其中， a c r ( r ) = 盯( ，) 一盯。( 2 - 5 ) f 亡r 3 ，它是4 盯o ) 的支集。 磁场强度的积分表达式可以表示为： 膏( r ) = 风o ) + f g ”p ，o ) f “皿仃亿地( 2 - 6 ) r 其中 鱼“( ，r o ) = v x 鱼( r ，r o ) ( 2 7 ) ( 2 4 ) 式， ( 2 6 ) 式对于支集内外的观测点都是有效的。对于，。p ) ， m 。o ) 和盯p ) 都已知的介质来说，求解e ( r ) ，何( r ) 的标准数字化程序包含 有两部分。首先，按r 将函数离散化为一系列合适的扩展函数( 通常使用脉 冲扩展函数) ，( 2 - 4 ) 式特别适用于那些相对于每个扩展函数而言的内部 石油大学( 华东) 硕士论文非线性散射近似方法 电场。更为普遍的是，将扩展函数的内部电场假设为恒定的，这将会产生一 个与扩展函数数目相等的内部电场的线性等式系统。然而这些矩阵是相当复 杂的，因而反演过程也是相当耗时的，尤其当f 被优化离散时( 例如，在该 例中要求的大的电导率对比度和高频率) 。第二步就是要得到f 以外的观测 点的电场值和磁场值。这一步的计算量比起将它转变为一个由复杂的矩阵乘 以一个复合向量的计算量要小，因此通过积分等式对电场，磁场模拟的关键 是复杂矩阵的演变。频率上的微小变化，要求必须进行重新反演，甚至在主 要离散值和介质特性都未发生变化时，也必须这样做。 2 3 非线性散射近似 对于( 2 - 4 ) ，( 2 5 ) 式也存在这样的近似解法，而不需要矩阵求逆 ，这些解法中包含有一级b o r n 近似和r y t o v 近似法。这些近似都忽略了内 部电场相对于背景场的微小变化。所得到的结果与电导率分布成线性关系， 这些结果只有当介质的特性与背景场的特性对比较小时才精确。更进一步的 精确需要进行不断的迭代( 例如b o r n 迭代近似，变形b o r n 迭代近似) 。经 过迭代，内部电场被线性化，可以用来处理与较高的电导率对比度和离散维 数相关的问题，然而，尽管这样的迭代过程对于大的电导率和离散维数来说 有时是精确的，但仍有限制，超过了这一限制，这种方法的会聚率非常低， 在与直接进行矩阵反演的过程相比时并无优势可言。后者在处理由于电流穿 越导电介质边界而引起的极化现象时也有局限因素。在边界上，前后两次的 迭代结果将会出现较大的差别。 为了扩展公式的使用范围，使背景场对内部电场的近似更为精确和实 用，引入了下述过程。在这一过程中散射张量与源独立。通过背景电场向散 石油大学( 华东) 硕士论文非线性散射近似方法 射张量上进行投影可以得到内部电场的近似解。在它的有效范围之内，非线 性近似比数字模拟化程序，例如有限差分伽，更具有优越性。 2 3 1 非线性散射近似公式的推导 当( 2 - 4 ) 式应用于散射体内部的点时，即，r 时，对整个积分的主要 贡献取决于源点周围的区域。在源点r o = ，处，格林张量或者表现为奇异值 0 或者表现为峰值。为了更好的理解这一点，假设有一个电导率为t ；r b 的无 限大的均匀的各向同性介质，它的格林张量可以表示为： 醣小【n 毒w 弘r o ) ( 2 - 8 ) 其中，标量格林函数g p ，r o ) 是h e l m h o i t z 方程的解 v 2 9 p ，) + 屯2 9 ( r ，r o ) = 。占( ，一r o ) 对于三维的源，标量格林函数g ( ，o ) 的奇异值表现为： 南 蜘一+ 对于二维的源，标量格林函数g ( r ，r 0 ) 的奇异值表现为： 三 。i p p 。1 )当p _ + p 。 对于一维的源，标量格林函数g ( r ，) 没有奇异值，它的峰值表现为 当z 一 石油大学( 华东) 硕士论文 非线性散射近似方法 由此可见，源的维数越高，格林张量异常值的阶数也就越高，传播常数 k 。的值越大，异常也就越尖锐。 对于散射体内部的观测点( r f ) ，由于格林张量堡( r ，r o ) 在源点r o = r 处可能表现为奇异值，因此要小心定义积分区间。实际上对( 2 - 4 ) 式的积 分贡献主要来自于源点的邻近区域内，根据这一思想可以将( 2 _ 4 ) 式改写 为： 占( ，) = 岛( ，) + r 掣 ( + 专v v g p ，均a 亿凤 占”，掣j g o 陋亿) 一且( ，耻一k 鲰 ( 2 - 9 ) 经过数学变形可以得到： 且( ，) = ( ，) 1e o ) + f 掣g o ，o ) 陋( ，0 ) 一百p 必口“) 钒j ( 2 - 1 0 ) l rj 因而可以得到散射张量的表达形式为： o ，= z 一，n w ( z + 若丁v v p o ，4 盯c ，o 战 一 c z 一， 实际上，( 2 - 9 ) 式右边的第二项在对内部电场的求解过程中比第三项 起了更为重要的作用，这个相对重要性可以从占( ，o ) 关于，o = ，的泰勒展开 式中得到理解： e ( ) = 旦( ，) + ( ，0 一，) v e ( r o = r ) + d 0 一r 1 2 ) 很明显可以看出v e ( ，) 甚至是更高阶的电场变化值对于( 2 9 ) 式的最 后积分影响很大，而不能忽略。然而，为了分析问题的需要，假设不管介质 的特性如何，内部的电场足够的光滑，其梯度为零。在这一假设条件下，内 石油大学( 华东) 硕士论文 非线性散射近似方法 部电场可以通过上面泰勒展开式中的第一项精确i 丘1 以，因此而忽略了e ( r ) 的梯度，所得到的结果被称为是局部近似，可以表达为如下形式： 刖鸭，掣专v v g ( r , r o 均口( ，0 蛾卜) 瑚钉 ( 2 一1 2 ) 或者可以写为： e ( 4 - - ，( 厂) 玩( 厂) vrr(2-13) 从( 2 - 9 ) 式可以明显看出如果内部电场强度可以通过( 2 1 2 ) 式近似 估计，则( 2 - 9 ) 式中的第二项将对散射场做完全近似，由第三项给出误 差。因此考虑到( 2 - 1 2 ) 式的近似隐含着下述关系： 慨o 】 l f 掣g p ，) 陋伉) 一e o 妣d ( 概l ( 2 1 4 ) 如果内部电场是观测点到格林函数最高峰的距离的光滑函数，则这种近 似将变得较为精确。不等式( 2 - 1 4 ) 在r o = ，处时，堡o ，r o ) 是一个异常 值，e ( r 0 ) 一占( ，) 是零，则该项为零。总之，近似的精度取决于两种假设： 第一，当r 0 偏离r 时，受( r ，o ) 迅速减小；第二，内部电场e “) 的变化相对 于它在，点的近似非常小。 上述的推导证明，在局部近似中，内部电场可以通过背景场在散射张量 ( r ) 上的投影而得到。如( 2 1 1 ) 式所示，散射张量的特性通过加权电导 率平均分布函数很明显地表现为非线性形式，其中在加权平均函数中格林张 量是权函数，此平均函数与源独立。 将( 2 - 1 3 ) 式代入( 2 4 ) 式，( 2 6 ) 式中可以得到支集4 仃以外的区 域中的电场及磁场的非线性近似公式： 石油大学( 华东) 硕士论文非线性散射近似方