（光学工程专业论文）非线性平板波导耦合器的特性分析.pdf

论文摘要 论文摘要 集成光学是建立在微波、激光、半导体、薄膜光学和集成电路的理论和技 术基础上的新兴学科， 经过多年的发展，目 前集成光学已 形成较为完整、 渐趋 成熟的理论体系、实验方法和工艺手段。 集成光学器件主要应用于 光计算机技术、 光学信息处理和光通信技术领域。 现代集成光学技术已 经把光源、 光波导、电子器件、电 光器件和接收器等集成 在同一块片子上， 制成高速、 低功率的各种运算器件和逻辑开关器件。在信息 光学和集成光学领域， 光的传输和控制尤为重要。传输和控制光的物理基础是 光波导及波导器件，理论基础是光波导理论。 在集成光学中，由 于光波导的截 面尺寸仅为光波长量级， 光场极为集中，小的输入光强就可以在波导中形成很 高的 光功率密度， 加上光波导在结构、 材料上的特点，使它们比 块状光学材料 更容易满足非线性效应所必需的相位匹配条件， 所以 光波导是形成非线性效应 的最佳介质。 光波导理论最初研究的波导多为线性光波导，而随着集成化程度 的不断提高， 强光源的普遍使用，光波导中出 现的非线性效应已 倍受关注，对 光波导中的非线性效应的研究成为必需。 研究各种类型的线性或非线性波导 重点多在其传输特性和辐合特性两个与应用紧密联系的方面。其中祸合特性分 析是制作各种有源无源光器件的理论基础， 如光波分复用器、 祸合器、 滤波器、 偏振选择器、调制器、 光开关及激光器等多种光电器件的 研制均涉及到非线性 波导 藕合问 题， 而方这面的研究起步较晚，有待更多的人介入该领域进行进一 步的研究。 鉴于以 上情况， 我选取了平板光波导的非线性辊合作为学习研究的课题， 本文的主要内容是: i .在查阅了 大量国内 外有关非线性光波导祸合特性分析的文献， 并结合国内外 有关非线性光波导的理论和应用的最新发展现状的 基础上， 确立了 本论文的 选题和工作. 较为详细的回顾了线性平板波导祸合的基本理论。 讨论了 平板波导定向 祸合器的分析方法。 北方交通大学硕士学位论文 4 分别用微扰法、 变分法和加权余量法分析了 矩形双沟道定向祸合器， 给出了 如何计算祸合长度、祸合系数及传播常数，并比较了儿种方法的优劣。 s .讨论了两个n l l 型非线性平板波导祸合特性。 6 .针对经典的 j e n s e n非线性相干祸合器，全面分析了有关特性，并用新的方 法得到了更丰富的信息。 7 .讨论了t o - t o型及s o - t o混合型非线性祸合器， 比 较了不同 结构祸合器的 祸合特性， 纠正了 文献 4 1 中 的 错误， 得到了 有参考价值的结论。 在本课题的研究及研究生阶段的学习过程中， 作者曾把部分独立或合作完 成的成果写成论文， 发表在北方交大学报、 大学物理、 量子电子学报等刊物上。 关键词:非线性 光学， 平板光 波导， 祸合特性， 导模， 光开关 ab s t me t ab s t r a c t i n t e g r a t e d o p t i c s i s a n e w s u b j e c t b a s e d o n t h e t h e o r y a n d t e c h n i c h o f m i c r o w a v e , l a s e r , s e m i c o n d u c t o r , f i l m o p t i c s , i n t e g r a t e c i r c u i t e t c . . a ft e r a b o u t t w e n t y y e a r s d e v e l o p m e n t , n o w i n t e g r a t e d o p t i c s h a s b e c o m e m o r e a n d m o r e i n t e g r a t e d a n d m a t u r e i n t h e o ry s y s t e m , e x p e r i m e n t m e t h o d a n d t e c h n i c s . p r o d u c t s o f i n t e g r a t e d o p t i c s a r e m a i n l y u s e d i n o p t i c a l c o m p u t e r , o p t i c a l i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g a n d o p t i c a l c o mmu n i c a t i o n s . i n i n t e g r a t e d o p t i c s , t h e t r a n s f e r a n d c o n t r o l o f l i g h t w a v e i s p a r t i c u l a r i m p o r t a n t . a n d t h e o p t i c a l w a v e g u i d e i s p h y s i c s b a s e o f t r a n s f e r a n d c o n t r o l . w a v e g u i d e i s t h e p e r f e c t m e d i u m w h e r e n o n l i n e a r p h e n o m e n a a p p e a r s b e c a u s e o f i t s c h a r a c t e r i s t i c i n c o n f i g u r a t i o n a n d m a t e r i a l . s o i t i s q u i t e n e c e s s a r y t o s t u d y o n t h e n o n l i n e a r e ff e c t i n w a v e g u i d e s . a n a l y s i s o f n o n l i n e a r c o u p l i n g c h a r a c t e r i s t i c o f w a v e g u i d e s i s u s e f u l i n d e s i g n o f a mm, c o u p l e r , fi l t e r , m o d u l a t o r , o p t i c a l s w i t c h i n g , l a s e r e t c . . b u t t h e r e s e a r c h i n t h i s s u b j e c t i s b e h i n d h a n d i n c h i n a . i t s w h y i c h o o s e t h i s t o p i c . a s i m p l e m e t h o d i s u s e d t o a n a l y z e c o u p l i n g c h a r a c t e r i s t i c s i n s e v e r a l t y p e s o f n o n l i n e a r c o u p l e r s i n m y p a p e r . t h e s e c o u p l e r s h a v e s i m i l a r c o n f ig u r a t i o n s w h i c h c o n s i s t s o f t w o n o n l i n e a r w a v e g u i d e s e m b e d d e d i n a h o s t w i t h l i n e a r s u s c e p t i b i l i t y . t h e d i ff e r e n c e i s t h a t t h e n o n l i n e a r w a v e g u i d e s a r e ma d e o f ma t e r i a l wi t h s e c o n d - o r d e r o r t h i r d - o r d e r s u s c e p t ib i l i t i e s r e s p e c t iv e l y . t h e r e s u l t s p r o v i d e u s w i t h i n f o r m a t i o n a b o u t t h e i n t e n s i t y v a r i a t i o n a n d p h a s e v a ri a t i o n in t h e c o u p l e r s . a n d t h e c o n d i t i o n f o r s a t i s f a c t o r y s w i t c h i n g p r o f i l e i s a n a l y z e d a n d c o m p a r e d . t h i s m e t h o d i s v a lu a b l e f o r d e s i g n i n g o p t i c a l s w i t c h i n g i n t h e n o n l i n e a r c o u p l e r s . 丫5 8 6 4 4 9 独创性声明 独创性声 明 本人声明， 所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下 进行的 研究工作及取得的研究成果。 尽本人所知， 除了 文中 特别加以 标注和致谢的 地方外， 论文中不包含其它人己 经发 表或撰写过的研究成果， 也不 包含为获得北方交通大学或其 它教学机构的学位或证书而使用过的 材料。 与我一起工作的 同志对本研究所作的任何贡献己在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 本 人 签 名 : l roo 111d 日 期: 亿 刃 汐 2 年 r 明 r “ 日 来经作杆、 舒帅间意 勿全文公布 绪论 第一章 绪论 光通信的历史虽 然可以追溯到很远的年代， 但只是在1 9 6 0 年t h梅曼 研制 成世界上第一台激光器红宝石激光器之后，加上对人容量通信系统日益增 长 的需要， 才迅速发展成一个活跃的研究领域。几乎在同一时期，以 光通信为 背景， 在微波、 激光、 半导体、 薄膜光学和集成电路的理论和技术基础上， 1 9 6 9 年 m i l l e r 等首次提出“ 集成光学” 这一概念。 集成光学作为一门新兴学科，由 于它在光通信、光学信息处理等方面存在着巨大的潜力和经济效益， 首先引起 了欧美及日本等国的重视和关注，随后，包括中国在内的许多国家也相继开展 了集成光学方面的 研究工作。经过二十多年的发展，目 前集成光学已形成较为 完整、 渐趋成熟的 理论体系、实 验方法和工艺 手段。 特别是 近十年来， 这门 学 科取得了 惊人的进展，无论是波导的 制作技术还是器件的性能指标都有了 前所 未有的突破。 其研究成果被广泛应用于光通信和信息处理等方面。正是集成光 学的迅速发展给人们展示了现代光电子学的美好前景，同时也对其它学科诸如 半导体技术、材料物理学等的发展起了极大的促进作用。 集成光学这一光波技术作为信息传递、处理与交换的方式，有着传统的集 成电 路系统所无法比 拟的 优点: 它以高于电子学频率1 0 0 0 倍以 上的光频作为载 波来工作，使得信息容量发生巨 大突破; 扩展了电 集成仅以 一维时间顺序处理 信息的方式，而具备了空间并行处理方式即多维处理方式;有很高的开关响应 速度;有很强的抗电 磁干扰能力。 集成光学器件由于具有高效率、高频率、 低 功耗、 长寿命、 高可靠性、多功能、 微小尺寸、 易集成、 易批量、 低成本产出、 易于电子器件特别是半导体微电 子器件相兼容等特点， 在光电子技术领域有着 独特的关键性地位。集成光学器件主要应用于光计算机技术、光学信息处理和 光通信技术领域，目 前正在向波导集成和光电 子单片集成 ( o e i c ) 两个方向 迅 速 发 展 。 现 代 集 成 无 学 技 术 已 经 把 光 源 、 光 波 导 、 电 子 器 件 、 电 光 器 件 和 接 收 器等集成在同一块片子上， 制成高速、 低功率的各种运算器件和逻辑开关器件。 在以 光波导为基础的集成光学领域，钒酸铿材料集成光学器件在技术上己 经成 熟， 光调制器、 祸合器、 光开关、光祸合器以 及各种专用芯片已 广泛用于光信 北方交通大学硕士学位论文 息传输和处理。 面向2 1 世纪的 集成光学器件将趋向 于大规模集成化， 其发展将 充分考虑各种应用需求，以开拓和完善相应的集成光学器件，并加速其产业化 进程。可以预见，随着集成光学日新月异的发展，信息技术领域将实现一次又 一次的 七 跃。 介质光波导是传输和控制光的物理基础， 集成光学的发展也是以微细薄膜 光路光波导研究为基础开展的，而介质光波导现象的研究与理论的建立为 发展包括波导棱镜、 透镜、光栅、光祸合器件等一系列波导器件奠定了基础。 在国内，集成光学的工作始于1 9 7 5 年，研究的范围也是主要涉及光波导理论、 光波导器件以及器件的测试和微加工技术。在集成光学中，由于光波导的截面 尺寸仅为光波长量级，光场极为集中，小的输入光强就可以在波导中形成很高 的光功率密度，加上光波导在结构、材料上的特点，使它们比块状光学材料更 容易满足非线性效应所必需的相位匹配条件，所以 光波导是形成非线性效应的 最佳介质。对光波导中的非线性效应成为光波导理论所要解决的新的问题，而 国内对非线性光波导的研究则是九十年代才正式开始的。鉴于非线性效应在集 成光学器件中 所显示出来的各种特殊的 现象和特点，使得集成光学领域有可能 再发生一系列的突破。我国已 经明 确将在今后加强非线性光波导的理论和应用 方面的研究，国家自 然科学基金委员会在关于 “ 光子学与光子技术”的最新战 略研究报告中曾 指出; “ 非线性光学效应的 利用是光子学器件领域中一块尚 待开 发的处女地，不仅由于在薄膜波导中容易呈现非线性光学效应，量子阱超晶格 又以几个量级增强了 这个效应。 ” 可见， 在一定程度上掌 握非线性光波导的理 论对高速信息处理系统中光电 子器件的 研究、 制作、测量有重要的实际意义。 研究各种类型的线性或非线性波导，重点多在其传输特性和料合特性两个 与应用紧密联系的方面。 其中祸合特性分析是制作各种有源无源光器件的理论 基础， 如光波分复用器、祸合器、 滤波器、偏振选择器、调制器、光开关及激 光器等多种光电 器件的研制均涉及到非线性波导祸合问 题， 而我国在这方面的 研究起步更晚。 光在波导中传输时， 部分光能集中在波导中， 少部分光能存在于波导之外， 称为消逝场 ( 或瞬逝场) 。当两波导极为靠近时，由于光学隧道效应， 将会通过 .2. 绪论 消逝场进行能量交换， 产生了两波导之间的祸合。 这种祸合叫做波导的横向藕 合。波导祸合器的工作原理就建立在横向祸合的基础之上。 分析非线性祸合特性时要根据祸合器结构和祸合的强弱情况作具体分析， 一般应依次解决以下几个问题:建立非线性祸合方程:导出计算祸合系数 的公式:解非线性祸合方程。利用祸合方程的解求出祸合系数:进而得 到有效祸合条件、功率转换效率等参数，供研制器件参考。 自 从1 9 8 2 年j e n s e n 的开创性工作报道以 来， 非线性祸合器及光开关倍受关 注。在光纤通信系统中很多种光开关得到了 广泛的不可替代的应用。 此后，围 绕各种类型的祸合器展开了许多理论和应用研究。纵观前人的工作，或纯粹从 理论上或结合料合器、光开关进行的研究，多将注意力放在祸合器结构的改进 和解决祸合方程的计算方法上。就计算方法而言大致可概括为两类:第一类是 折射率的非线性变化比 波导各层介质的线性折射率差小，此时，各参数对于功 率的依赖关系可由线性祸合的处理方法经微扰得到;第二类是当折射率的非线 性变化可与波导介质间的线性折射率变化相比 甚至更大， 此时，应该用更精确 的解析方法计算，即求非线性祸合方程在满足各界面处场强的连续性条件下的 解。而各种结构祸合器的非线性祸合方程难以 直接求解，因 此出 现了一系列的 近似计算方法，但许多方法的 有效性和适用性尚不理想，这方面的工作远未完 成，有必要进一步研究。 鉴 于以 上 情况 ， 我 选 取了 光 波 导 的 非 线 性 a 合 作 为 学 习 研 究 的 课 题， 所 做 工作将以平面波导为主。 在实验条件具备的 情况下，设计制作各种波导器件， 探索新工艺，当然对信息光子学集成光学的发展具有推动作用:然而，从理论 上对各种非线性波导的祸合特性进行分析也非常重要。因此，我将在学习掌握 已 有方法的基础上， 对多种结构类型的二波导祸合的计算方法进一步完善和创 新。其间 将利用多种数学手段和计算机工具，以 求获得更简化、更有效、 更精 确的分析方法。 并通过理论分析， 得出若千供实际应用及研制器件参考的结论。 然而，由于作者水平有限，对上述各类非线性祸合器的分析讨论尚不够深 入，难免出现缺点和错误，在此，恳请各位老师和前辈批评指正。 .3. 北方交通大学硕士学位论文 第二章波导祸合基本原理 2 . 1 引言: 自 然科学和工程技术中，常常要研究各种祸合现象. 例如，两个单摆，当不 受干扰时，各自 独立地作谐振动， 但是，如果用弹簧将这两个单摆连接起来，则 两个单摆的振动就要相互影响， 成为一个祸合摆， 如果没有阻尼， 容易观察到振 动能量周期性地由 一个单摆转移到另一个单摆又反过来转移回 来. 同样，两个振 荡回路互不干扰时，各自 独立地振荡:但如果由它们构成祸合电路时，这两个电 磁振荡就相互影响，周期性地交换电 磁能量. 与祸合摆及祸合振荡电 路相类似， 当 两个介质波导靠得很近时，由 于消逝场 的作用，也会发生两个波导间的能量交换， 这叫做波导祸合. 同样的道理， 可以 说明 在一个波导中的两个模式也可以 有效地祸合， 使一个模式的功率完全转移到 同 一波导的另一模式之中， 这种类型的祸合是由于 波导表面几何形状或折射率的 周期性变化引起的， 这种情况将不是本文讨论的重点， 只作简单介绍. 2 . 2 祸合波方程w 一、 两个波导导模之间的祸合 如图2 . 1 所示为两条平行、 彼此十分靠近的光波导， 其折射 率平方的 分布如下: 波导 1 处 及 波 导2 处 折 射 率 平 方 各为n 2 ( x ) 及n 2 (x ) ， 两者 之间 及 外 侧 折 射 率 平 方均为n 3 ( 常 数值 ! . 如 果设 心( x ) 在 波 导1 的 芯 区 外 部 取 值 心( x )心， 心(x ) 在 波 导2 处 的 芯 区 外 部 取 值n 2 ( x ) - n 3 ， 如图 2 . 1 所示， 则祸合波导的折射率 平方分布可由下式表示: 波导 i 波导 2 图 2 . 1 n 3 两个独立平板波导的折射率平方分布 。 ( 小 f n i ( x ) 一 砧 + n 圣 ( 小 心 + n 3 因 为 在 波 导2 区 域 外心(x ) 一 心 。 ， 在 波 导1 区 域 外心(x ) 一 心 。 ( z . 1 ) 故上式 4 . 波导袱合基本原理 能正确地描述波导1 内 及邻近区域的 折射率分布， 以 及波导2内及其邻近区 域的 折射率分布. 只要两个波导不重叠，式( 2 . 1 ) 是适用的. 设两个波导各自 独立时的场分布为 e 。 一 e m o e - = - ) m - 1 ,2 ( 2 . 2 ) h - - h m n e ( m 一 “ )m 1 ,2 ( 1 . 3 ) 它们都满足麦克斯韦方程 o x h- - i ro e o n 2 e ( 2 . 4 ) o x 名一 i oj u o h ( 2 . 5 ) 但 对 波导1 ,护一 心( x ) ， 对波 导2 , 护 心( x ) . 当 两个波导邻近时， 按照微扰理论的思路， 可以 把祸合波导的场近似地表示 为两个波导互不干扰时的非微扰场的 线性叠加. 考虑到两个波导相互影响，必须 考虑场分布随导 波沿纵向 ( 取为z 方向 ) 距离发生变化， 因 此， 可以 把祸合波导的 场分布写成如下形式. e - a , ( z ) e , + a 2 ( z ) e 2 ( 2 . 6 ) h - a , ( z ) h l + a 2 ( z ) h 2 ( 2 . 7 ) 祸合波导的场e和h应满足麦克斯韦方程. 将式( 2 . 6 ) 及( 2 . 7 ) 代入麦克斯韦方程( 2 . 4 ) , ( 2 . 5 ) 中，利用矢量分析公式 o x ( f a ) 一 f v x a + o f x a ， 并 注意 到v a , ( z ) 一 m, - u l a z ， v a 2 ( z ) 一 a a 2 . u / a z ( u 为 沿z 轴方向 的 单 位矢 量， 而e 1 , 城及e 2 , h 2 都 满 足 麦克 斯韦 方 程， 就 得 到 如下的两个方程 己 咬 ，_ _. _， 、.- ( ux h, ) + i ( n ; 一 ” 爹 ) a , e, + a z 鲁(u x h 2 ) + irue o (n ; 一 ; )a 2 e 2 。 aa (u x h ,) + aa 2 (u x e 2az az ) 一 。 我们定义 e m ) 一 e m o e 一 (e , -)， h m - ) 一 h - a e - (n - -) m 1 ,2 即 e 含 ) , h 盆 ) 中 的 指 标卜 ) 是 表 示 角 频 率. 和 传 播 常 数d 取 负 值 用 e ( - ) 点 乘 式 ( 2 . 8 ) ， 用 h 盆 ) 点 乘 式( 2 . 9 ) ， 并 将 所 得 方 程 相 减 ， ( 2 . 8 ) ( 2 . 9) ( 2 . 1 0) 再把所得的 .5. 北方交通大学硕士学位论文 方程在xy 平面上积分， 并利 用公式a 伪x c ) 二 b - ( c x a ) ， 就得到 f f e () x h az 一一 + m 2 e -) xlf2az 一 一 ,ludxdy 一 万 眺 。 ( 2 - n 3 )a ,ff i we o (n 2 2二 一， ，二 ， + u osa (n , - n 2 )a 2e 一， .e 2 协 ( 2. 1 1 ) 在微扰计算中，我们可以把方程中的二阶小量略去，以使方程简化，注意 b a 1 / a z , a 4 2 / a z 均 为 一 阶 小 量 ， 又 因 两 波 导 之 间 的 场 重 叠 很 小 ， 故 知 e 犷 ) x h : 及 e 2 x h 犷 均 为 一 阶 小 量 . 于 是 可 见 左 边 被 积 函 数 的 第 二 项 为 二 阶 小 量 ， 可 以 略 去 其 次， 在 波 导2 以 外心一 心一 。 而 在 波 导2 内 部e 尸. e ， 为 二 阶 小 量. 于 是 可见 式( 1 .1 1 ) 中右边被积函数的第一项亦为二阶小量，可以略去. 于是就得到 k 1 2 a 2 e - i( fl l - 0 2 )z ( 2 . 1 2 ) f f (, 1 2 一 i )e - )i e 2 一 2 r e ( k 2 1 a , a 2 ) 12-1=-得 丸有丸即 因d-dz同d一dz由 2 r e i ( k t 2 + k 2 , ) a t a 2 一 0 .,. 北方交通大学硕士学位论文 于是有 k 12 二 一 k 2 1 ( 2. 1 8) 如果祸合区 域在0 z l 范围内， 而初始条件为a , ( 0 ) 0 , a 2 ( 0 ) 1 ，即: 在起始时光功率在波导2处，则可求得祸合波方程的解为 a , (z， 一 潇忿 “ ” sin(k ,2 + a 2)12z ( 2. 1 9) 一 ，一 ez icos(k ,2 二 ” ”，一 么 ( k + e 2 ) 1 / 2 sin(k 2 二 ” ， ( 2 . 2 0) 式中:2 e一 i3 : 一 0 2 , k 2 - 1 由式( 2 . 1 9 ) 可知，当 k it ( 式广 p. + 犷产2 z 。 二 / 2 时， a 1 q ) 功率 达到 最大 值， 即两个 导模之间实现最大的功率转换 l二 一了n 2 ( k 十 e 0 ) - 这个距离定义为祸合长度，用l 。 表示. ( 2 . 2 1 ) 当 )4 ， 一 p 2 i 微 小 时 ， : 一 l 处 a l ( z ) 最 大， 而a 2 ( z的 模 值 很 小 ， 即 光 功 率由 波 导 2 儿乎 完 全转换 到 波导1 中， 1 16 , 一 # 2 ! 愈 小， 转换 愈 完 全. 当# t - 9 2 时， 即 两个 传 播常 数 相同 时 ， 在: - l : 处 实 现 功 率的 完 全 转换. 通 常把条件 9 , - r : 称为相位匹配条件，在相位匹配条件下 - 0，有 a l ( z ) a 2 ( z ) _ 丝 亘 s in ( k , z ) k , ( 2 . 2 2 ) 二 c o s ( k , z ) ( 2 . 2 3 ) 相应的祸合长度为 ( 2 . 2 4 ) 个 棋 式 功 率 ia (o)r l i ,(l)17 i (l)17 。 扁2飞 找1门 功 产几 人 间一妙 ( a ) 相 位匹 配 情 况 d 图 2 . 2 -0 )( b ) 相位失配情况(e ;x , ) 同 方向 藕合之间的功率 式( 2 . 2 2 ) 及式( 2 . 2 3 ) 说明. 在相位匹配情况下， 两个波导中的导模周期性地进行 .8 . 波导袱合基本原理 功 率的 完 全 转换， 沿 传 播 方向 的 空间 周 期 等于 祸 合长 度l , 图2 . 2表示两个同方向祸合模之间的功率交换. ( a ) 为相位匹配情况， 功率完 全交换，( b ) 为相 位失 配 情况体;k , ) ， 不能 实现完全交换. 三、相反方向祸合 当波导的两个导模沿相反方向传时， 可以设它们的场分量分别由以下两式表 不 : a i ( x , z , t ) 二 - i ( w- 6 , i ) ( 2 . 2 5 ) a 2 ( x , 这时， z , t ) a , ( z ) f ( x ) e a 2 ( z ) f ( x ) e - i ( . 口 2 n ) 功率守恒条件是 d . - f i a . i 一i a, i ) =0 d z、 仿前，利用祸合波方程，可以得到 k i t 成1 ( 2 . 2 6 ) 因而祸合波方程可改写为: d a lk12 斑 - i 2 a zk 1 2 a 2 e ( 2 . 2 7 ) ki满 i 2 )手 a s i n h ( s l ) + i s c o s h ( s l ) ( 2 . 2 9 ) 、 一 撅 - 0 2，k 。 - 1 k 12 ( 2 . 3 0 ) 在相位匹配条件下，即当 0 0 时，有 i x a, ( z ) .i 一i l k , ) s i n h k ,. ( z 一 l ) ( 2 . 3 1 ) c o s h ( k , l ) a z ( z ) c o s h k , ( z 一 l ) ( 2 . 3 2 ) c o s h ( k , l ) 由 上 式 可 见 ， 后 退 波 的 功 率 ( 与 i a , (z ) 12 成 止 比 ) ， 在: 一 l 处 为 零 ， z 渐 减 至 .9. 北方交通大学硕士学位论文 : . 。 时 渐 增至 最 大 值， 反 之， 前 进 波的 功 率 ( 与i a z (z ) 1 2 成正比 ) 在: 一 。 处 最大， z 渐增至z - l 时渐减到零 这表示， 由 于祸合作用， 前进波不断把功率转移给后 退波， 使后退波功率逐渐增大. 相反方向祸合时两个导模的功率分布如图2 . 3所 不 ， 若把后退波作为入射波，前进波作为反射波，则可把z - 0 处反射波与入射 波的功率之比定义为反射率， 可见在相位匹配条件下，反射率为 * . 鱼卫 工. ta n h 2 (、 二: 、( 2 . 3 3 ) i a 2 ( 0 ) i 由 上式可见，只要微扰区域的长度l 足够大，反射率接近于 1 . 显然， 如果 相位失配( a 0 0 ) ， 反 射率就 要减小. 相反 方向 的 祸合的 一种重 要情形是周期性波 导，将不在本论文中讨论. 图2 . 3 反向 拐合时两个导模的功率分布 .1 0. 平板波导定向祸合器 第三章平板波导定向祸合器 3 . 1 引言 相邻光波导的导模之间所进行的功率交换称为光学定向祸合 ( 亦称方向祸 合) 光学定向祸合器是由两个相距很近并且相互平行的光波导组成的. 多个相 距很近并且相互平行的光波导构成定向 耀合器阵列. 定向 祸合器在导波光学中有 广泛应用，用于波导间祸合、 滤波、 偏振选择、调制、光开关以及激光器等许多 方面. 木节将利用222中阐i *的同方向拙合理论讨论定向藕合器的性质， 说明拐 合系数、祸合长度的计算方法。 3 . 2 定向 祸合的理论分析 如图 3 . 1 两个相互平行相距很近 的介质波导构成的定向祸合器，图中 示意地画出了波导 1 和波导2单独存 在时的导模场沿x 方向的分布，光功 率 沿z 方向 传播，y 方向则 与薄 膜表 面垂直 显然，由于两个导模在间隙 中的消逝场彼此渗透到另一波导，由 于光学隧道效应，就引起了光祸合作用 图3 . 1 波导定向藕合器 我们可以用上节的祸合波方程来处理定 向 祸 合 器问 题 . 事 实 上 ， 只 要 算 出 这 两 个 导 模 (相 位 匹 配 情 况 下 ) 的 祸 合 系 数k 1 2 , ( 即一 k 二 ， ) ， 即 可 求出 祸 合 长 度， 它 相 应于 相 位匹 配( 或 相 位接 近匹 配 ) 时 的同 方向 祸合问题. 我们可以直接用公式( 2 . 1 3 ) , ( 2 . 1 5 )计算祸合系数. 为了 进一步理解定向 锅合的工作原理， 我们可以 将两个波导构成的定向 锅合 看成一个波导系统，讨论这一系统的本征模. 设1v 1 (x , y ) , 1v 2 ( x , y ) 分别为 两 个导模的 横向电 矢量， 则 在微 扰近似下， 可以 把定向祸合这一波导系统的场写成两个场分布的线性叠加， ,v (x , y , z ) 一 a l (z r p i (x , y ) e z + a 2 ( z * z (x , y ) e i z (3 . 1 ) 式中9 ， 与p 2 分 别为 波导1 和波 导2 的 导 模 沿z 方向 的 传播常 数 在 相 位 匹 配 情 况 下 ， # 1 13 2 0 r , 称 z 一 k 2 1 ， 而 对 同 方 向 祸 合 凡 2 - k z l .1 1. 北方交通大学硕士学位论文 故 k 矛 二 k , - k 几 = k u2 ， 有 k 12 / k , = 1 ， 因 而 式(2 . 2 2 ) ( 2 . 2 3 ) 可 写 为 a 1 ( z ) 二 s i n ( k , z ) ， a 2 ( z ) 二 c o s ( k , z ) 将a , ( z ) , a 2 z ) 代入 式( 3 . 1 ) 得 到: v (x , y , z ) = 告 (w 2 + w , ) ex p fi(r + 、 它可以改写成 ) 】 + 告 (w 2 一 v , ) c x p l i ( r 一 k , ) z 1 v p ( x , y , z ) - 式中 岩 vps expfi(p + k , )z l+ vo exp i(” 一 k , )zl ( 3 . 2) ， 一 岩 iv 2 (x ,y ) +v1 (x ,y )l w, e 岩 iv 2 (x , y ， 一 , (x , a (3 .3 ) 上 式 表明 ， 定向 祸 合 器有 两 个 本 征 模: 一 个 是 场分 布w ( x , y ) 为 对 称的 模( 下 标s 表 示 对 称 ) ， 其 传 播 常 数 为户 十 k , ; 另 一 个 是 场 分 布w e ( x , 刃为 反 对 称 的 模 ( 下 标a 表 示反 对称) ， 其传播常 数为fl 一 k , . 对 称 模的 相 速 为， : c u /( 6 十 k , ) ， 它 小 于 反 对 称 模 的 相 速v 。 一 。 / ( p 一 k ) , 因此，当传播距离为z 时，两者间的相位差为 a t一 2 k , z ( 3 . 4 ) 当z - o 时。a t _ o ， 对称模与反对称模在波 导1 中 相干加强， 而在波导2中 相 干抵消， 故全部功率都 集中 在波导1中. 当: e l , 二 /1 ( 2 k ) 时，a t 二 对称模 与反对模在波导1 中相干抵消耗， 而在波导2 中相干加强， 故全部功率都集中在 波 导2 中 . z 由 : 一 0 渐 增 到 z _ l 。 时 ， 两 个 波 导 中 的 功 率 逐 渐由 波 导1 转 移 到 波 导2 ， 可见l 是 功 率 交 换 的 空 间 周 期 一 般 地说 ， 当 : ( 2 y 十 1 ) l , ( v 为 整 数 ) 时， 产生功率的完全转换. 由上面的讨论可以 看出， 如果直接求解定向祸合器这个系统的本征值方程， 求 得对 称与反 对 称模式 的 传 播常数13 , . p + k 。 及r o - p - k ， 则 两者 之差即 等 于 祸 合系 数k 。 的 两 倍， 而 祸 合 长度l 。 可由 下 式 得到: l ， 一 二 生 一 tj 二一几 ( 3. 5) 可见， 也可以 用这种方法而不利用祸合系数的计算公式( 2 . 1 3 ) , ( 2 . 1 5 ) 来计算祸 合长度或祸合系数. 我们将在下一章讨论矩形双沟道祸合时介绍这种方法的应 用. .1 2 . 平板波导定向祸合器 3 . 3 平板波导定向祸合器 图3 . 2 平板波导定向 祸合器的剖面结构和折射率分布 图3 . 2 平板波导定向 祸合器剖面结构和折射率分布 图中两个平板波导的 薄 膜的 折 射率 和厚 度分 别为n , 和2 a ， 间 隙的 折 射 率 和厚 度 分别 为n 2 和d ， 包 层 和衬 底的 折射率 均 为n 3 . 这里， 两个 波导 的 折 射 率 分 布和 几 何结 构 是 完 全 对 称 的. 我们利用公式( 2 . 1 3 ) 来计算这种祸合器的祸合系数. 这里，设介质是无损耗 的， 折射率是实数. 在这种情 况下， 式( 2 . 1 3 ) 和( 2 . 1 5 ) 中的e (- ) 和h ( ) 可以 用场 矢量的复共扼e . 和h 代替，于是上述两式中的分母即等于功率p的 4倍，因 而祸合系数的表示式可改写为: 一 ioje4p f f (n, ( 3 . 6 ) 一 器 f f (n 一 可 ) e ; e 2 d x d y ，1 2 ,3 一 心 )城 e l d x d y ， 1 2 ,3 ( 3 . 7 ) 122 kk 其中， 对于t e模 p 一 共 f r e 2 dx dy l a 邓 左 “ ( 3 . 8 ) 我 们 利 用三 层 平板 波 导导 模的 场 分 布 公 式 来 表 示e , 和e 2 . 令 p 2 ,6 2 一 k o2 n 圣 ， 9 2 s 2 一 无 2 n 2 ， 犬 2k o n 3 , k 一 * 2 。 2u n 1 一 p 2 则有 ( 3 . 9 ) .i 3. 北方交通大学硕士学位论文 cos 一 卜 。 ( _ 兰 _ 2 ad + 2 a 二 二 2 a c o s k(-一 号 一 ) 月 兰 、 ， ， : ， 一 兰 一 2 a ( 3 . 1 4 ) a c o s rye xp卜 ( + 兰 十 2 a ) 其中p q , k及甲 仍 满足( 3 . 1 1 ) , ( 3 . 1 2 ) 利用式( 3 . 8 ) 可把式( 3 . 6 ) 写为: _ 。 二 _ 兰 _ 2 a 2 而归一化常数a 也和e l 式中的 相同 ， k 1 2 - im 2 e n p 仔 、 e 2 (n 2 一 。 了 ) d x j - 2 , 3 ( 3 . 1 5 ) 进行积分运算， f e d x 并利用式( 3 . 1 1 )可算得 子 e , d x - 生 矛 ( 二 十 上 + 马 几 2 、p q ) ( 3 . 1 6 ) 式 中2 a + 1 1 p 十 11q 为 波导1 的 有 效 厚 度， 用叭 。 表 示 为计算式( 3 . 1 5 ) 中分子的积分。 应注意在弱导近似下， 计算式( 3 . 1 5 ) 中的分 子时， 积分可以 只在 波导1 以 及波导2 这两个芯区 计算. 因为其 它各区 域值e 1 - 凡 均为二阶小量，可以略去.由于波导系统的对称性，故只需在波导 1的芯区 ( x a d l 2 至x 一 d 1 2 + 2 a ) 内 计算积分， 再乘以a 我们有 .1 4. 平板波导定向a合器 f e , e 2 (n t2 一 ” ; )d c 一 2 (n ; 一 n 2n 2 ) f e i e 2 d z d1 2 d/ 2 + 2 a 2 a 2 (n j 一 n 2 ) f c o s ， _ 兰 _ 2 a 2 / + q?卜 os(2k a 一 t ，一 r.d /2)dx 一 a 2 ( n 1 一 。 i ) e - p d 积分公式 fd /2 、 ( 二 一 兰 ) 十 。 o s f k ( 二 一 兰 、 一 。十 、 1 飞 。 一 ， ( -d l2)d % 利 用 、 2 ) 1、 2 ) 1 1 日r偏厂 (e . s in f ktd u 一 翼 去 (a s in fl u 一 ， c o s fl u ) + c ja - +舀 f e - c o s ,6 u d u . 并利用关系式 s in ( 4 k n 一 2 q, ) e a 2 + ,6 2 ( 口 s i n 脚 + a c o s 户) + c 2 p k 尸 2 + 犬 2 c o s ( 4 k a 一 孙) 夕 2 一 2 夕 2 + 9 z 可以求得 f e l e 2 (n l 一 ” 2 )d zi 于是将式( 3 . 2 p 夕 z + 尺 z a 2 ( n t 2 一 n 2 ) e - p 0 ( 3 . 1 7 ) 1 6 ) 及( 3 . 1 7 ) 代入( 3 . 1 5 ) 就得到祸合系数 k , e 1 k 1 2 卜 2 p k x 队rr ( p + k 2 ) - e x p ( - p a ) ( 3 . 1 8 ) 其中有效厚度 w, 厅 .2 a ， 生 + 生 p 9 ( 3 . 1 9 ) 上式是在弱导引情况下当两个平板波导结构相同且相互靠近时的祸合系数 公式. 可以看出，祸合系数随间隙厚度的增加而指数式急剧减小，且随芯区厚度 的增大而减小. .1 5. 北方交通大学硕士学位论文 第四章 矩形截面双沟道定向藕合器 4 . 1 引言 本章的主要内容是分析 计算矩形截面双沟道定向 祸 合器的祸合特性，提出一种 计算祸合长 度的近似方法。 矩形截面双沟道定向祸合器 的结构如图4 . 1 所示，这种 2 b l n , v 2 c l _l , 2 6 2 a n 2 2 a 图4 . 1矩形截面双沟道定向祸合器示意图 定向祸合器本身由一对嵌入衬底材料中的矩形介质波导构成， 波导的边长 分别用 2 a ,2 b 表示， 波导间距为2 c ， 波导介质折射率为n i ， 波导上方为折射率是n o 的介质 或空气。为保证光波能量能在波导中有效地传输， 折射率满足关系n , n 2 n o . 为了讨论方便，用1 和2 分别代表这两条矩形波导。 当两个波导同时存在时， 原则上应该根据两波导 都存在时的边界条件求出电 磁场的分布。 但在通常情况下， 这种严格的求解方法是相当复杂和困难的。 在光 频波段， 介质波导祸合常常是弱祸合， 因 而可以 假定在两个波导之间只有微弱的 相互干扰，这样可认为在弱祸合情况下，两波导同时存在时的电磁场分布为: e ( x , y , z ) - a i ( z ) e , ( x , y ) e - i 6 + a 2 ( z ) 2 ( x , y ) - i s z = h (x , y , z ) - a , ( z 沂， (x , y ) e - i 6 ,= + a 2 ( z ) h 2 ( x , y ) e - i a = ( 4 . 1 ) ( 4 . 2 ) 其中 e 1 ,