（应用数学专业论文）非线性碰磨转子的复杂动力学行为分析.pdf

4 江苏大学硕士学位论文 摘要 本课题应用现代非线性动力学理论研究了非线性局部碰磨转子的复杂动力 学行为。论文主要完成了两部分工作。首先，建立了非线性局部碰磨转子系统的 动力学模型，在原系统的无量纲模型的基础上，用l y a p u n o v f l o q u e t 变换这一 解析方法结合高维分岔理论，分析了局部碰磨转子在稳态解处的局部分岔行为， 给出了系统产生鞍结分岔和h o p f 分岔的解析条件，然后用计算机进行数值模拟， 分别以系统的无量纲频率和不平衡量作为分岔参数加以研究，发现系统具有倍周 期分岔、准周期运动、混沌运动等复杂非线性现象。 在上述模型的基础上，基于具体物理背景，考虑了用线性项和立方非线性项 之和来表示转轴材料的物理非线性因素，建立了含有非线性刚度项的转子发生局 部碰磨的动力学模型，并用数值积分法，分岔图、p o i n c a r e 截面图、轴心轨迹， 幅值谱等典型的分析非线性问题的数值方法研究了系统的复杂动力学行为。研究 表明：系统在一定的参数区间具有倍周期分岔、阵发性混沌、幅值跳跃等非线性 现象，且系统产生混沌对应很大的参数空间。 关键词：转子：碰磨；l y a p u n o v - f l o q u e t 变换；分岔；混沌， 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n , r e s e a r c h e sa r em a i n l yo b j e c t e dt oc o m p l i c a t e dd y n a m i c so f t w od e g r e eo ff r e e d o ml o c a lr u b b i n gr o t o rs y s t e mb yu s i n gn o n l i n e a rd y n a m i c s t h e o r i e s a tf i r s t , b a s e do nt h en o n - d i m e n s i o n a lf o r mo ft h er o t o rs y s t e m ，w ea p p l y l y a p u n o v - f l o q u e tt r a n s f o r m a t i o nt h a ti saa n a l y t i cm e t h o dt og e tt h ef o r m , w h i c h m a k eb i f u r c a t i o na n a l y s i se a s y a n dw eu s eh i g h - d i m e n s i o n a lb i f u r c a t i o nt h e o r yt o a n a l y z ei nd e t a i lt h el o c a lb i f u r c a t i o nb e h a v i o ra tt h es t a b l es o l u t i o no ft h es y s t e m a t t h es a m et i m e ，a n a l y t i cc o n d i t i o no fs a d d l e n o d eb i f u r c a t i o na n dh o p fb i f u r c a t i o na r e o b t a i n e d n u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h er o t o rm o t i o ni sc o n d u c t e d r e g a r d i n gt h e n o n - d i m e n s i o n a lf r e q u e n c yr a t i oa n do u t - o f - b a l a n c ea sb i f u r c a t i o np a r a m e t e r , w e d i s c o v e rp e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o na n dc h a o sa t w a e t o rw i t ht w o s c r e w ss t r u c t u r ei n t h er o t o rs y s t e m b a s e do nt h em o d e lw h i c hi ss t u d i e db e f o r ea n dt h i n k i n go ft h el i n e a f i t ya n d c u b i ci t e mo fa st h ep h y s i c sn o n l i n e a rf a c t o r s , w es e tu pt h er o t o rm o d e lw i t h n o n l i n e a rs t i f f n e s s t h en o n l i n e a rc o m p l i c a t e dd y n a m i cb e h a v i o r so ft h es y s t e ma r e s t u d i e db yu s i n gt y p i c a ln u m e r i c a lm e t h o d si n c l u d i n gn u m e r i c a lv a l u ei n t e g r a l ， d i a g r a m so fb i f u r c a t i o n , p h a s ep l a n ep o r t r a i t , p o i n c a r ed i a g r a m ，t r a j e c t o r yo ft h e j o u r n a l c e n t e ra n da m p l i t u d e s p e c t r u me t a s t u d y i n g s h o w st h a tt h e r ea r e d o u b l i n g - p e r i o db i f u r c a t i o n , q u a s i - p e r i o d i cm o t i o na n dc h a o t i cm o t i o ni nt h es p e c i a l p a r a m e t e r s k e y w o r d s ：r o t o kl o c a lr u b b i n g ；l y a p u n o v - f l o q u e tt r a n s f o r m a t i o n ；c h a o s ， b i f u r c a t i o i l n l； 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的 规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以 将本学位论文的全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口 本学位论文属于 ，在年我解密后适用本授权书。 不保密函 学位论文作者签名： 波 一歹年卜月日 指导教师签名 年 月日 t 。声1 蠢 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容以外，本论文不包括任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律结果承担。 学位论文作者签名：i zi 反 日期：p 箩年产月g 日 l 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 非线性转子动力学的发展 转子是扰度限制在很窄范围内活动的绕定轴转动的弹性体，转子、轴承和支 座等部件统称为转子系统。 大型旋转机械均以转子作为工作主体，因此研究转子系统对社会生活和经济 发展具有重要意义。由于旋转机械系统各种异常振动的存在，常常引发灾难性的 事故，人们逐渐认识到必须用非线性理论来分析。应用非线性动力学理论研究转 子系统的非线性动力学行为成为非线性转子动力学的主要研究内容。 过去研究转子系统大多采用基于线性转子的动力学理论。例如传统转子动力 学对转子轴承系统稳定性研究时，一般采用8 个线性化的刚度与阻尼特性系数的 油膜力模型。对于大型旋转机械的中存在的油膜力、密封力、碰磨力等强非线性 激励源，由于数学模型不够完善，以至系统中存在的许多非线性因素引起的多种 复杂动力学行为均没有搞清，不能满足现代工程设计的需要，迫切需要建立转子 系统的非线性动力学理论，来揭示系统中存在的各种非线性动力学行为，提出转 子系统的非线性设计方法。研究旋转机械中各种实际问题，这对提高旋转机械运 行的稳定性、安全性、可靠性具有重要的现实意义和实际工程背景。如何保证转 子系统在非线性激励下仍具有良好的动力学性态，需要在非线性动力学理论的基 础上，研究转子动力学中非线性振动问题，分析解决各类实际问题。 非线性转子动力学的研究随着非线性科学现代理论的快速发展也取得了较 快进展。转子动力学中的非线性问题种类繁多，常见的有以下几种： ( 1 ) 转子系统的碰磨； ( 2 ) 具有裂纹的转子； ( 3 ) 具有非线性油膜力的转子系统； ( 4 ) 系统阻尼、刚度、激振力随时间慢变的转子系统； ( 5 ) 基础松动产生的非线性因素； ( 6 ) 内腔充液的转子； ( 7 ) 具有气弹效应的转子； 江苏大学硕士学位论文 ( 8 ) 考虑陀螺效应的转子系统。 由以上各种原因所引起的转子系统的非线性振动，可能呈现以下四种不同的 形式： ( 1 ) 振动主要以1 x 频率分量形式出现，这种振动形式占多数，它主要和 转子系统有明显的不平衡量有关，这种振动主要是强迫振动。 ( 2 ) 主要以2 x 、3 x 或其他整数倍的主频分量的频率形式出现，其出现的 原因主要是转子或轴承的非线性所致。 ( 3 ) 出现低于主频的，如1 2 x ，1 3 x 的次谐分量，这是由转子的自激振动 所引起。 ( 4 ) 转子系统进入混沌运动，表现为具有连续的功率谱、具有分形结构的 混沌吸引子以及正的最大l y a p u n o v 指数。 随着非线性转子动力学的发展，关于非线性转子动力学的文献涌现不断，徐 小峰、张文等【1 】研究了非线性油膜力作用下刚性转子的分岔与混沌行为。孙保 苍、周传荣等【2 】在给出新的油膜力模型的基础上，用数值方法分析了刚性j e f f c o t t 转子的复杂动力学行为。郑吉兵、盂光等【3 ，4 】考虑了非线性涡动的裂纹转子，用 数值方法找到了通向混沌的道路。王立平等【5 】分析了带有轴承间隙的裂纹转子 的分岔与混沌特性。丁千、陈予恕 6 ，7 】研究了非线性转子密封系统低频失稳机 理；张字、陈予恕、毕勤胜 8 】研究了转子轴承基础的非线性动力学行为，用中 心流形定理给出了系统的分岔方程。这类文献中关于转定予碰磨过程中的分岔与 混沌的研究则不多见，e h r i c h 9 ，1 0 用双线性振子模拟转定子之间存在的非对称径 向间隙产生的局部碰磨过程，用数值方法研究了转子在不平衡激励下的次谐波、 超谐波和混沌响应；g o l d m a n 1 l ，1 2 研究了转定子接触、压缩和恢复过程，将描 述接触区间的参数和整个转子的参数相联系，同时考虑了径向冲击和切向冲击多 转子的影响；m u s z y n s k aa 1 3 在对碰磨转子的研究中，找到了二、三、四阶亚 谐响应：c h uf 、z h a n gz 【1 4 ，1 5 】用数值方法研究了碰磨转子的分岔与混沌特性； 孙政策、徐健学等【1 6 】从经典碰撞理论出发，建立了具有广泛应用前景的碰磨力 模型，用数值方法研究了该模型的分岔与混沌特性；刘献栋等【1 7 ，1 8 】建立了考虑 定子本身刚度不对中质量偏心转子碰磨的动力学方程，选取不同的分岔参数，对 该模型进行了分岔与混沌分析。丁千、陈予恕 1 9 研究了柔性单盘挤压油膜阻尼 2 j j 、 f 1 l 江苏大学硕士学住论文 器转子系统的非稳态碰磨运动，用数值方法分析了在各种系统参数下，系统的非 稳态运动；袁惠群、闻邦椿等 2 0 用中心流形定理研究了碰磨转子的局部分岔， 并用数值方法找到了系统的倍周期分岔、准周期运动和混沌运动。岳国金、王德 友 2 1 , 2 2 用数值方法研究了转静件碰磨时单盘转子系统随转速变化引起的分岔 与混沌行为。 1 2 分岔与混沌发展概述 非线性科学是近3 0 年来发展起来的揭示非线性系统的共同性质、基本特征 和运动规律的一门综合性科学。继牛顿力学和量子力学之后发展起来的非线性科 学，正在改变人们对世界的看法，形成一种新的自然观，促进许多新兴学科的孕 育和发展，从根本上影响着现代科学的逻辑体系 非线性动力学中分岔( b i f u r c a t i o n ) 与混沌( c h a o s ) 理论的建立，被认为是 当代基础科学的重大成就之一，它使非线性科学有了可靠的理论保证。 由于描述转子系统运动的微分方程一般都具有非线性特征，在一定条件下， 必然发生分岔现象。因而，分岔研究成为非线性转子动力学研究的重要内容之一。 分岔问题的研究内容广泛而丰富，既需要较深厚的数学基础，又需要较宽广 的专业知识，归纳起来，大致分为如下几方面： ( 1 ) 分岔集的确定，即确定分岔的必要条件与充分条件，这是分岔研究的 基本内容。 ( 2 ) 分岔定性性态的研究，即研究分岔出现时系统拓扑结构随参数变化的 情况，这是分岔研究的重要内容。 ( 3 ) 分岔解计算，即系统平衡点和极限环的计算。由于非线性系统分岔的 直接求解往往较为困难，甚至不可能，这就需要采用有效的近似方法。 ( 4 ) 各种不同分岔的相互作用，以及分岔与动力系统的其他现象( 如混沌 等) 的联系 近年来，分岔理论取得了巨大进展，提出了多种研究方法 2 7 - 3 1 1 ，这些方法 基本可以分为三类：定性方法、定量方法和数值方法。定性方法主要有奇异性方 法、l y a p u n o v 函数方法、规范形理论、次谐m e l n i k o v 函数方法等。定量方法主 要有基于摄动方法的平均法、多尺度法、k b m 法，幂级数法、谐波平衡法等。 3 r - l l 江苏大学硕士学位论文 由于非线性问题的复杂性，理论分析往往需要较深的数学基础，使得定性方法、 定量方法都很困难，因此利用数值计算方法研究分岔具有重要地位，目前在分岔 的数值研究方面具有很大进展。 奇异性理论是现代数学的重要分支，它已被成功地应用到非线性科学中，在 分岔问题的研究中，它提供了处理静态分岔、动态分岔的统一方法。规范形理论 是利用近似恒等的非线性变换在平衡点附近将原系统简化，从而把对原系统的研 究转化为对其规范形的研究。对于高维分岔问题，通常需要将系统降阶，此时可 以用l s 约化方法和中心流形定理。l s 约化方法是将高维或无穷维非线性系统 转化为低维或有限维系统的方法。其基本思想是将矗”维空间中的状态变量x 表 示成两个子空间的直和，并将系统投影到这两个空间上，得到两个低维方程。其 中一个方程由隐函数存在定理知必有唯一解，把求出的解代入另一个方程中去， 于是高维方程求解就转化为低维方程求解。虽然约化方程的维数比原系统的维数 低，但求解依然十分困难，通常采用级数展开等方法求其低阶项。 对于临界情形的非线性系统，其特征根具有负实部当系统微分方程的维数 疗3 时，其稳定性的判定是一个尚未解决的难题。利用微分动力系统中的中心 流形定理可以将高维非线性系统降阶，进而判断某些临界情形的非线性系统的稳 定性，中心流形定理将疗+ i f 维系统的稳定性问题变换为刀维系统的稳定性问题， 降低了研究系统的维数，简化了问题的复杂性。对于特征值有零实部的非线性系 统，一次近似方法失效，而用l y a p u n o v 直接方法又难以构造l y a p u n o v 函数时， 中心流形定理便成为较为有效的分析方法。 随着分岔理论和方法研究的深入，有关分岔理论与方法的工程应用研究也得 到了很大发展。陈予恕等对非线性系统的分岔问题作了广泛研究，发表了一系列 成果。吴志强对规范形理论作出了详细的介绍。毕勤胜在内共振条件下对周期激 励浅拱和双摆进行了分岔分析，并指出了通向混沌的道路。徐健学利用规范形理 论对弹塑性梁的动力学问题和一不完全余维二分岔进行了研究。分岔理论在转子 动力学领域的应用也很多。 关于非线性动力学中分岔问题的研究内容是十分广泛的，分岔不仅揭示了非 线性系统不同运动状态之间的联系和转化，往往是系统进入混沌的先兆。 混沌现象在自然界中是普遍存在的。自然界存在的绝大多数运动几乎都可以 4 江苏大学硕士学住论文 认为是混沌运动，规则运动只是相对地在局部范围内和较短的时间内存在，对于 物理系统，从能量观点可以分为保守系统和耗散系统。保守系统又可分为可积系 统和不可积系统。不可积系统意味着混沌的普遍性。同时，客观世界的不断发展 变化，存在各种各样的耗散结构。最简单的耗散结构是由极限环描述的周期运动。 两个或者两个以上周期运动可以产生混沌。因此，当系统表现为强非线性时，一 般都会出现混沌运动。混沌现象只出现在非线性系统中，既普遍存在又极其复杂。 1 9 0 3 年法国数学家p o i n c a r e ( 1 8 5 4 - 1 9 1 2 ) ，为从数学上论证太阳系的稳定性， 他发现既使只有三个星体的模型仍产生明显随机的结果。1 9 5 4 年前苏联数学家 k o l m o g o r o va n 研究了h a m i l t o n 函数微小变化时条件周期运动的保持性问题， 预言了不仅耗散系统中存在混沌，保守系统中也存在混沌。之后a m o r dvi 和 m o s e rj 在1 9 6 3 年对k o l m o g o r o v 的研究成果给出了严格的数学证明，这就是现 在著名的k a m 定理1 9 6 3 年美国气象学家l o r e n z 在大气科学杂志上发表 了“决定性的非周期流”的文章，描述了系统混沌运动对初值的敏感依赖性，发 现了混沌研究中第一个奇怪吸引子7 0 年代混沌动力学的正式创立形成了在多 个科学领域同时开展混沌的世界性热潮。1 9 7 5 年，中国学者李天岩和其导师美 国数学家y o r k ej 在美国数学杂志上发表文章，提出了“周期三蕴涵着混沌”， 这就是著名的l i y o r k 定理，揭示了从有序到混沌的演变过程。并率先引入混沌 ( c h a o s ) 一词以及它的数学定义。1 9 7 6 年美国生物学家m a yr 在( n a t u r e ) 上 发表了“具有极复杂动力学行为的数学模型”的文章，提出简单的数学模型也可 以产生类似随机的结果。1 9 7 8 年，美国物理学家f e i g e n b a u mm 在统计物理学 杂志上发表“一类非线性交换的定量的普适性”一文，提出了著名的f e i g e n b a u m 常数。8 0 年代混沌科学得到了进一步发展，关于混沌问题的杂志大量出版，混 沌研究的学术会议大量召开。9 0 年代后，混沌科学渗入到许多其他科学，并在 其他科学中得到了广泛的应用。 由于混沌的复杂性，目前对混沌的研究仍然处于发展阶段。混沌的研究内容 主要包括以下几方面 3 2 3 8 】： ( 1 ) 产生混沌的途径 从规则运动通向混沌运动的道路多种多样，至今人们知道了四条典型通向混 沌的道路：倍周期分岔，准周期分岔，阵发性混沌路径，k a m 环面破裂。还会 ，； 一 ；吣 。 一 江苏大学硕士学位论文 有其他可能的道路，尚待进一步的研究。 ( 2 ) 混沌的判据和统计特征 判断或预测混沌出现的方法有多种多样，如数值方法，谱分析方法，p o i n c a r e 映射方法，l y a p u n o v 指数方法，胞映射方法，符号动力系统方法等等。由于目 前人们对混沌尚未取得共识，而且有时不同方法所得结论也有所差别，因此在这 方面有待于进一步研究。 ( 3 ) 奇怪吸引子和吸引域的几何特征 吸引子是耗散系统运动相空间的特征。在耗散系统的运动过程中，相体积是 收缩的。耗散系统的混沌运动通常存在具有分形结构的奇怪吸引子，确定吸引予 以及吸引盆边界的分维数有助于判断吸引子的“奇怪性”。 ( 4 ) 混沌的控制与应用 混沌的控制受到广泛关注，其中包括混沌抑制和混沌稳定。b r i n d l e y 和 k a p i t a n i a k 用动力吸振器来控制混沌。c h e m o u s k o 研究了非线性动力系统的控制。 k o v a c s ，s z a b o 和t e l 提出在分形吸引盆边界上控制混沌。机械系统在具有干扰的 工况下维持特定的混沌运动，同样需要采取控制措旌。在噪声背景下的抑制混沌 也得到了广泛研究。物理领域中的概周期轨道稳定技术、对参数缓变系统的周期 轨道的跟踪技术、通信领域中两个系统的同步技术等均具有启发性。 目前判断或预见混沌的主要方法有： ( 1 ) 利用数值方法结果观察运动轨迹和奇怪吸引子结构的不规则性； ( 2 ) 利用数值方法得到功率谱，出现连续谱线； ( 3 ) 利用p o i n c a r e 映射，将连续动力系统转化为离散动力系统加以研究， 如果p o i n c a r e 映射呈现具有分形结构云状图； ( 4 ) l y a p u n o v 指数是衡量系统运动对初值敏感程度的量，一般需要用数值 方法计算，系统有几维就有几个l y a p u n o v 指数，其中最大l y a p u n o v 指数大于零 可以作为系统进入混沌的重要判据； ( 5 ) 具有分维数的吸引子也是判定混沌的重要特征； ( 6 ) 测度熵或拓扑熵是衡量系统信息量在运动中的变化量，如果测度熵或 拓扑熵大于零，则认为系统是混沌的； ( 7 ) 通过计算m e l n i k o v 函数出现简单零点，判断稳定流形是否与不稳定流 6 t 乒 江苏大学硕士学位论文 形横截相交，从而出现s m a l e 马蹄意义下的混沌，但要注意这是系统出现混沌的 必要非充分条件。 ( 8 ) 符号动力系统是研究混沌的严格方法，它也可以通过数值计算实现， 其根据位移不变集的存在去判定系统的混沌。 ( 9 ) k a m 定理指出，在非共振条件下，近可积h a m i l t o n 系统运动的定性 图象与未扰系统基本相同，除少数的随机运动外，大多数运动依然留在k a m 环 面上，当k a m 环面定理条件不满足时，k a m 环面破裂可导致混沌。 ( 1 0 ) 胞映射方法在动态分岔和混沌研究中是一种有效方法，简单胞映射是 1 9 8 0 年由徐皆苏首先提出，1 9 9 4 年国内学者江俊、徐健学提出了胞参照点映射 方法。这两种方法在工程学科中获得了广泛的应用。 混沌表示的不是无序和紊乱，而是某种不规则性，更像是没有周期性的次序。 因此，混沌系统与分形系统具有密切的联系，混沌运动的轨道或奇怪吸引子常常 具有分形结构。分形被认为是描述混沌运动的几何语言。 近年来，非线性理论研究的重大进展和计算机运算能力的加强，使人们加深 了对混沌的认识混沌理论逐渐渗透到自然科学的许多分支。系统的混沌运动来 自于系统的非线性因素，但是非线性也只是系统产生混沌的必要而非充分条件。 1 3 论文主要工作及安排 论文主要完成了两部分工作，第一部分建立了局部碰磨转子的动力学模型， 用l y a p u n o v f l o q u e t 变换结合高维分岔理论，分析了局部碰磨转子在稳态解处 的局部分岔行为，给出了系统产生鞍结分岔和h o p f 分岔的解析条件，并用数值 方法找到了系统的倍周期分岔、阵发性混沌等复杂动力学行为。第二部分基于具 体的物理背景，考虑用线性项和立方非线性项之和来表示转轴材料的物理非线性 因素，建立了含有非线性刚度项的转子发生局部碰磨的动力学模型，用数值积分、 p o i n c a r e 截面等方法研究了系统的分岔与混沌行为。 论文主要安排： 第一章绪论 这一章首先介绍了非线性转子动力学的发展过程和国内外研究现状，同时对 非线性科学中分岔与混沌的发展作了概述，最后介绍本文所做工作及论文安排 7 江苏大学硕士学位论文 第二章非线性转子动力学系统的理论基础 在这一章中具体介绍了分析非线性转子系统的非线性动力学的现代理论，首 先介绍了微分方程和动力系统概念，然后对研究分岔和混沌的方法作了详细介 绍，最后介绍了研究非线性转子系统的各种数值方法。 第三章局部碰磨转子系统的复杂动力学行为分析 此章首先建立了局部碰磨转子的数学模型，在原系统的无量纲模型的基础 上，用l y a p u n o v f l o q u e t 变换结合高维分岔理论，分析了局部碰磨转子在稳态 解处的局部分岔行为，给出了系统产生鞍结分岔和h o p f 分岔的解析条件，然后 用计算机进行数值模拟，分别以系统的无量纲频率和无量纲不平衡量作为分岔参 数加以研究，发现系统具有倍周期分岔、双螺旋结构的混沌吸引子等非线性现象。 第四章含有立方非线性刚度项的碰磨转子的分岔与混沌分析 这章在第三章模型的基础上，基于具体物理背景，建立了含有非线性刚度项 的转子发生局部碰磨的动力学模型，并用数值积分法、分岔图、p o i n c a r e 截面、 轴心轨迹、幅值谱等典型的数值方法研究了系统的复杂动力学行为。研究表明： 系统在一定的参数区间具有倍周期分岔、阵发性混沌、幅值跳跃等非线性现象。 第五章结束语 这章归纳了论文的研究成果，对全文的研究工作进行总结。 3 江苏大学硕士学住论文 第二章非线性转子动力学系统的理论基础 定量描述一个非线性系统的运动可采用差分方程、常微分方程或偏微分方 程。因涉及非线性，其定性和定量分析都很复杂，且各自均可产生混沌运动，就 其本质而言有许多共同之处。实际问题中，状态变量随时间变化的系统可用动力 系统理论进行研究。分岔与混沌是当前非线性动力学研究及应用的中心问题，分 岔与混沌理论也成为近代分析非线性系统的有力工具。 2 1常微分方程与动力系统基础 有限维物理系统一般可用常微分方程描述。虽然许多物理系统都是无限维系 统，但往往可用一定的方法转化为有限维系统，例如用有限元法、有限差分法等 离散方法将无限维系统化为有限维系统。本文中描述转子系统运动的方程都是非 线性常微分方程 目前，研究非线性常微分方程主要有三种方法：定性方法、近似方法和数值 方法 1 定性方法 在不求解非线性常微分方程的基础上，揭示其定性性态，如解的存在性、唯 一性、渐近行为、局部分岔和全局分岔行为等。 2 近似方法 近似方法主要有：小参数法、渐近展开法、平均法和多尺度法等，主要用于 研究解在奇点处的局部性态。 3 数值方法 数值方法是借助计算机，按一定算法，对给定参数的非线性系统进行求解， 也可以研究当参数变化时解的性态的变化 上述三种方法各有侧重，但它们是相辅相成的，定性方法描述解的定性结构， 但对非线性系统，往往不能求出解析解，需借助近似方法和数值方法求近似解或 数值解。数值方法又需要近似方法和定性方法来指导。 1 9 世纪末p o i n c a r e 在对用常微分方程描述的三体问题的定性研究中首次提 出动力系统概念，动力系统的现代研究始于本世纪6 0 年代p e i x o t o 等人的工作， 在s m a l e 等学者的大力倡导下，动力系统的基本理论和研究方法取得了巨大发 9 江苏大学硕士学位论文 展，自7 0 年代后，动力系统理论扩散到各个领域的研究，如振动理论、流体力 学、经济数学、气象学、化学反应等许多方面。 常微分自治系统描述为： i = ，( d ，x ( o ) = ( 2 1 1 ) 其中膏= 出，西，x ( t ) r “是t 时刻的状态变量，f ：u t - r ”_ r ”为c ( 七1 ) 映射， u 是r 。中的开集。设x o u ，据常微分方程解的存在唯性定理，方程( 2 1 1 ) 存在满足初值条件的解工( f ) ，记作矿( f ，x o ) ，称为而处的流。设解的存在区间为 卜，佃) ，可证明所得流妒( f ，) f - 吼o ) 满足： 2 工，v x 刨 ( 2 1 2 ) 仍( 见( 工) ) = 仍+ l ) ，v t ，j r ，x u 仍( 曲是u 到自身的同胚，仍- 1 = ，且 仍) 组成u 的单参数变化群，由此可引 出动力系统的定义 定义2 1 1动力系统 ， 设j 为相空间，t = o r z + ，v x z ，连续映射p ：t x x 寸x 满足： ( 1 ) 9 ( 0 ，x ) = x , v x e z ( 2 1 - 3 ) ( 2 ) 妒( s + ，x ) = 妒( s ，伊( f ，功) ，v s ，t t ，工x ( 2 1 4 ) 且p 为同胚时，( x ，妒) 称为动力系统。t = r 为连续动力系统，t = z 时为离散动 力系统。 定义2 1 2 轨道 对于任意x x ，集合 9 6 ，+ ( 工) = ( d ：七z + q r 哆o ) = 广( x ) ：k e z 一 ( 2 1 5 ) q r b l ( x ) = f k ( x ) ：k e z 分别称为过x 的正半轨、负半轨和轨道。 定义2 1 3 周期点和不动点 若存在正整数疗1 和x x ，使得，“( 工) = x ，则称z 为，的周期点。使 广( 力= 工成立的最小正整数疗称为x 的周期。当以= 1 时，称x 为不动点。将的 周期点和不动点集合记为j p ( ) 、f ( 力，则有f ( 门亡j p 。 1 0 定义2 1 4 极限集 对于任意x 工，集合 ( 力= y ：3 屯z ，k - - o o ，f ( x ) - o y 口( 工) = j ，：了吒z ，毛寸哪，f ( 曲_ j ， ( 2 1 6 ) 三( 力= ( 工) u 口( 工) 分别称为轨道q 帕，( x ) 的一极限集、口一极限集和极限集。 定义2 1 5 游荡点与非游荡点 对于工x ，若存在x 的邻域u ( x ) ，使得对任意七z ，均成立 f ( u ( 工) ) n u ( x ) = ( 2 1 7 ) 妒为空集，则称工为厂的游荡点。当f ( u ( j ) ) n u ( 功妒，则称j 为的非游荡 点，的非游荡点的全体记作嘲。 定义2 1 6 不变集 集合a e x ，且八a ) = a ，则称a 为，不变集。如果a 非空，且不存在真包 含于其中的不变集，则称a 为的极小集。p ( 力、f 署1 1 q r b ，( 力都是，不变集。 定义2 1 7 拓扑共轭 设( 置门和( j ，g ) 是两个动力系统，如果存在同胚映射h ：x l ，对任意 k z 成立 | i l o f = g o h ( 2 1 8 ) 其中。表示函数的复合，则称这两个动力系统是拓扑共轭的。 可以证明拓扑共轭是一种等价关系，拓扑共轭的两个动力系统具有相同的动 力学性质。在非线性实际问题的研究中，往往通过找到与未知动力系统拓扑共轭 的动力系统，来研究未知动力系统的性质。 定义2 1 8 拓扑传递和初值敏感 设( x ，力为一紧致度量空间，f ：x - x 是连续映射，若对任意开集，vc x 3 k o 使f k ( u ) n v 妒，则称，在x 上是拓扑传递的；若j 万 0 ，对x 和x 的邻域n ( x ) ，总砂( 力，疗0 使厦厂o ) ，“o ) ) 万，则称对初值敏感。 定义2 1 9 吸引子和吸引域 设置”是动力系统m 的相空间，若存在集合x 亡r 4 ，u 是x 的领域，对任一 江苏大学硕士学位论文 初值e u ，当f 0 时有q u ，且当f 一。o 时，m ，( x o ) g x ，则称x 是动力 系统中的吸引子。如对搬v c ，当t 哼o o 时有q ( 而) x ，则称矿为吸引 子x 的吸引域。 2 ，2 分岔理论介绍 2 2 1 分岔定义 设区域u 肜，v 且4 ，考虑如下的含参数口的疗阶连续动力系统： j = f ( x ，口) ( 2 2 1 ) 其中口矽，称x u g 为状态变量，口= ( q ，锡，a m ) 7 矿r m 称为分岔参数。 定义2 2 1 当参数口连续变化时，系统( 2 2 1 ) 的拓扑结构在处发生突变， 则称系统( 2 2 1 ) 在口= a o 处出现分岔。并称为分岔点。 定义2 2 2 在( x ，瑾) 空间中画出系统( 2 2 1 ) 的极限集( 平衡点、极限环等) 随参数盯变化的图形称为分岔图。 2 2 2 分岔分类 1 鞍结分岔( s a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o n ) 考虑如下一阶系统 i = 盯一善2 ( 2 2 2 ) 当口 0 时 有特征值为_ 2 石的稳定平衡点石和特征值为2 石的不稳定平衡点石，因此 口= 0 是系统的分岔点。分岔图如图2 2 1 所示 x j 厂一。 ， l口 、， 图2 2 1 鞍结分岔 f i g2 2 1 s a d d l e n o d eb i f u r c a t i o n l 江苏大学硕士学位论文 2 叉型分岔( p i t c h f o r kb i f u r c a t i o n ) 考虑如下一阶系统 i = 口工一，( 2 2 3 ) 对任意的口在原点有一个平衡点0 ，对应的特征根为口。当口 0 ，平衡点0 是不稳定的，另外还有两个平衡点口，这两个平衡点的特 1 征根为一三，所以平衡点是稳定的；当口= 0 时，在原点处的平衡点的稳定性改 口 变且出现两个新平衡点，所以口= 0 为系统的分岔点。这种分岔有时也称为超临 界叉型分岔( s u p e r s c d t i c a lb i f u r c a t i o n ) 。分岔图如图2 2 2 所示 图2 2 2 起塔界叉型分岔 f i g2 2 2s u p e r s c r i t i c a lb i f u r c a t i o n 还有一种叉型分岔称为次临界叉型分岔( s u b c r i t i c a lb i f u r c a t i o n ) 考虑一阶系统 i = 口膏+ ，( 2 2 4 ) 对任意的口有平衡点0 ，当口 0 时，两个不稳定平衡点消失且平衡点0 不再稳定。分岔图如图2 2 3 所示 j j 、 、 ， 口 ， 图2 2 3 次临界叉型分岔 f i g2 2 3 s u b c d f i c a lb i f i j r c a t i o n 3 跨临界分岔( t r a n s c d t i c a lb i f u r c a t i o n ) 考虑一阶系统 童= 口工一工2( 2 2 5 ) 1 3 江苏大学硕士学位论文 对任意的系统的平衡点0 和口，当口 0 时，系统有特征值为口不稳定的平衡点 0 和特征值为叫的稳定平衡点口。分岔图如图2 2 4 所示 图2 2 4 跨临界分岔 f i g2 2 4 t r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o n 4 霍普夫分岔( h o p f b i f u r c a t i o n ) 考虑二阶系统 i2j ，一工( x 2 7 ，= 口 ( 2 2 6 ) 夕= 一x j ，( 工2 + j ，2 一口) 。 系统在原点有特征根为口f 的平衡点，当口 0 ，平衡点不稳定且有一个极限环解，+ y 2 = 口，由 于在口= 0 时，系统稳定性改变，所以口= 0 是系统的分岔点。由于一对复特征根 通过虚轴而出现了极限环，这种分岔称为h o p f 分岔。分岔图如图2 2 5 所示 图2 2 5h o p f 分岔 f i g 2 2 5 h o p f b i f u r c a t i o n 分岔的种类很多，除了上面介绍的鞍结分岔( s a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o n ) 、叉 型分岔( p i t c h f o r kb i f u r c a t i o n ) 、跨临界分岔( t r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o n ) 、h o p f 分岔， 还有f l i p 分岔、切分岔、同宿( 异宿) 分岔和闭轨分岔等。 2 2 3 分岔理论的研究方法 定理2 3 1 设点( ，) 【，使得f ( x o ，g o ) = 0 ，在点( 而，) 附近，对x 可 1 4 江苏大学硕士学位论文 微，且( x ，口) ，乜f ( x ，a ) x f f x ，口连续，若点( ，a o ) 是f 的静态分岔点，则d , f ( x ，口) 奇异。 有时我们也将( 而，) 称为向量场，口) 的奇异点，由定理2 3 1 的条件可以 求出方程的奇异点，它们也就是可能产生静态分岔的分岔点如果需要确定这些 分岔点可以采用以下方法： 1 l s 约化方法 l s 约化方法是李雅普诺夫施密特约化方法的简称，用于研究非线性方程时 降低方程维数的方法。其主要思想是将状态空间表示成两个子空间的直和，并将 方程投影到这两个子空间上，得到两个方程，其中一个由隐函数定理知它总有唯 一解，于是原方程就转到一个低维方程的求解问题。 2 中心流形定理 为研究局部分岔的稳定性，需分析非双曲平衡点附近流的结构，但这种结构 通常是很复杂的，用中心流形定理降阶是研究这种结构的有效方法。 定理2 3 2 中心流形定理 设u c 肜是包含原点的开集，f c 7 ( ( ，掣) ，使f ( o ) = 0 ，对矩阵一= j 矿( o ) 的特征值作如下分解a = 五u 屯u 五，相应特征子空间为f ，f ，则系统存 在过0 r “分别与空间，f ，f 相切的c 流形矿，。，这些流形都是局部 不变的，且流形形，肜。是唯一的。 3 奇异性理论 函数的奇异性理论是从二十世纪六十年代中期发展起来的，它使我们能用统 一确定的方法来处理不同的静态分岔问题。奇异性理论在研究分岔时主要包括三 方面：识别问题，开折问题和分类问题。 研究复杂非线性微分方程时，将其变换到较简单的形式是有利于分岔问题的 求解，通常采用规范型理论，其基本概念和计算方法如下： 考虑自治微分方程 量= ，( 功工胄“ ( 2 2 7 ) 设( 力足够光滑且厂( o ) = 0 ，这时可以通过一系列坐标变换使其在的泰勒展开 式中直到，次的项都具有较简单的形式，其结论由以下定理给出： 江苏大学硕士学位论文 定理2 3 3 设厂( 功是c 7 ( r 2 ) 向量场，f ( 0 ) = 0 ，l = o f ( o ) ，则在原点附近 存在个坐标的，次多项式变换，使其在新坐标系下，方程的规范型为： 夕= l y + 9 2 ( y ) + + g ，c y ) + o ( 1 l y n ) ( 2 2 8 ) 其中g ( f = 2 ，) 是从r ”到彤的所有i 次齐次多项式组成的向量空间。 在平衡点附近，原系统与其规范型的拓扑结构并非完全相同。尽管如此，大 量研究表明：阶数不太高的规范型通常已能提供原系统的定性性质。因此，规范 形理论是研究分岔问题的重要手段。 2 3 混沌理论概述 2 3 1 混沌定义 定义2 3 1 设，为一集合，g ：i _ ，如果g 满足： ( 1 ) g 对初始敏感依赖 ( 2 ) g 是拓扑传递的 ( 3 ) 周期点在j r 上稠密 则称g 在，上是混沌的。 上述定义说明混沌系统的三大特征：( 1 ) 隶属于确定性系统又难以预测( 2 ) 隐含于复杂系统又不可分解( 3 ) 貌似无序确有规律 2 3 2 混沌的分维数刻画 维数是空间和客体的重要集合参量，例如在状态空间中维数反映了描述空间 中运动所需要的变量的个数。欧氏空间的维数定义为描述空间唯一一点所需要的 最少坐标数。这些维数都是整数，它们不能用于刻画奇怪吸引子，因为奇怪吸引 子具有分数维，其结构具有分形的特征。一些维数定义如下： 定义2 3 2 容量维数 设( x ，d ) 是一距离空间，a p ( j ，) ，对每一占 0 ，设n ( a ，占) 表示用来覆盖 a 的直径为占的体积单元覆盖一个吸引子所需的最小体积单元数，如果下式成立 口：l i m 坐丝丝：生( 2 3 1 ) 。 一“h l ( 1 占) 则称见为容量维数。 由于在容量维数的定义中只考虑了覆盖所要求的直径为占的体积单元个数， 1 6 江苏大学硕士学位论文 而没有规定每个球所覆盖的点数的多少，照此定义，对掣上某个区域中任何一 个可数集a ，都会有皿( = 甩。作为改进还有许多其他维数的定义： 定义2 3 3 信息维数定义为 d ，：l i m i nn ( 8 )( 2 3 2 ) ： i i n 0 | 、 f n 其中日p ) = 一只l n 只，正如容量维数定义中，( o 是一直径为占的体积单位 - i 覆盖一个吸引子所需要的最小体积单元数目，尸是一个典型轨道进入体积单元的 相对频率，h ( s ) 是熵。从定义中可以看到，信息维数是容量维数的推广。由于 概率计算的引入，又使得计算难度加大，因此有了相关维数定义： 定义2 3 4 相关维数定义为 t