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带乘性噪声广义系统最优估计 数值稳定性算法研究 学位论文完成日期：2 里艘! 壁垒12 多 指导教师签字： 答辩委员会成员签字： 篓差 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 洼；垫遗查甚丝盂塞鳖别吏明的：奎拦亘窒2 或其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：孛f 巫砗签字日期：2 0 ! p 年护鲴。6 b 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，并同意以下 事项： l 、学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。 2 、学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权清华大学”中 国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社”用于出版和编入c n k i 中国知识资源总库， 授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：铘殳哮 签字日期：2 吖护年护占月d 日 。引 伊 阳 磁 肼 ，形 嘶 字 圳 错 导 日醛 带乘性噪声广义系统最优估计数值稳定性算法研究 摘要 研究带乘性噪声随机系统的信号估计方法是信号处理理论的重要内容，本文 主要研究带乘性噪声广义系统信号估计的数值稳定性算法和抗野值算法。 在工程实践中，广义系统是一类形式更一般化的系统，许多实际系统用广义 系统模型描述起来更符合实际。起初对广义系统的研究成果，一般都是针对不带 乘性噪声广义系统而展开的。近几年来，一些学者把广义系统的研究推广至带乘 性噪声情形，在线性最小方差准则下，给出了这类系统的最优估计算法，丰富和 发展了广义系统的估计理论。但这些算法在进行实际应用时可能会出现数值不稳 定现象，轻则影响算法的计算精度，重则导致算法发散甚至完全失效。另外，观 测数据中的野值数据对算法的计算精度影响很大，这些算法也没有给出野值的处 理方法。本文针对以上两个问题，主要研究了带乘性噪声广义系统最优估计的数 值稳定性算法和抗野值算法，具体完成了以下工作： 第一，针对带乘性噪声广义系统，基于广义系统的第一种受限等价变换，结 合现有的最优滤波算法，利用矩阵的奇异值分解，在线性最小方差准则下，得到 了系统状态最优滤波的数值稳定性算法。 第二，在线性最小方差准则下，推导出了带乘性噪声广义系统状态最优平滑 的直接算法。并基于此算法，利用最优滤波数值稳定性算法的结果，得到了系统 状态最优平滑的数值稳定性算法。同时，根据最优滤波推导过程中系统的特点， 给出了随机输入信号最优估计数值稳定性算法的提取方法。 第三，基于状态空间模型，根据新息序列的性质，采取对新息进行加权的方 法，得到了带乘性噪声广义系统状态滤波的抗野值算法。同时，结合状态最优滤 波的数值稳定性算法，给出了系统状态滤波的数值稳定的抗野值算法。 第四，本文除了在理论上对所有的算法进行推证之外，还进行了大量的仿真 研究，仿真结果表明了上述各算法的有效性。 关键词：乘性噪声；广义系统；最优估计；数值稳定性；抗野值 s t u d yo fn u m e r i c a l l ys t a b l ee s t i m a t i o nf o rs i n g u l a rs y s t e m s w i t hmu l t i p l i c a t i v en o i s e a b s t r a c t s t u d i e so ns i g n a le s t i m a t i o nm e t h o d n o i s ea r es i g n i f i c a n ti ns i g n a lp r o c e s s i n g f o rs t o c h a s t i cs y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v e t h e o r y n u m e r i c a ls t a b i l i t ya l g o r i t h ma n d o u t l i e rr e j e c t i o na l g o r i t h mf o rs i n g u l a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s ea r ed i s c u s s e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n i n e n g i n e e r i n gp r a c t i c e ，s i n g u l a rs y s t e m s a r em o r e g e n e r a l b e c a u s et h e i r m a t h e m a t i c a lm o d e l sa r em o r er e a l i s t i ca sd e s c r i p t i o no fm a n yp r a c t i c a ls y s t e m s t h e p r e v i o u sr e s e a r c ho ns i n g u l a rs y s t e m si sg e n e r a l l yb a s e do ns i n g u l a rs y s t e m sw i t h o u t m u l t i p l i c a t i v en o i s e i nr e c e n ty e a r s ，t h eo p t i m a le s t i m a t i o na l g o r i t h mi nt h el i n e a r m i n i m u mv a r i a n c ec r i t e r i o nh a sb e e ne x t e n d e dt ot h ee s t i m a t i o np r o b l e mf o rs i n g u l a r s y s t e m s w i t h m u l t i p l i c a t i v en o i s eb ys o m es c h o l a r st o e n r i c ha n dd e v e l o pt h e e s t i m a t i o nt h e o r yf o rs i n g u l a rs y s t e m s h o w e v e r ，n u m e r i c a li n s t a b i l i t ym a yo c c u r d u r i n gt h ea p p l i c a t i o no ft h e s ea l g o r i t h m st op r a c t i c a ls y s t e m s ，w h i c hw i l lh a v e n e g a t i v ei m p a c to nc o m p u t a t i o n a la c c u r a c ye v e nw i l lc a u s et h ea l g o r i t h md i v e r g e n to r c o m p l e t e l yi n e f f e c t i v e i na d d i t i o n ，o u t l i e rd a t ai nt h eo b s e r v a t i o np l a ya ni m p o r t a n t r o l ei nc o m p u t a t i o n a la c c u r a c yo ft h ea l g o r i t h m s ，w h i l et h et r e a t m e n to fo u t l i e rd a t ai s n o tg i v e ni nt h ec o n v e n t i o n a la l g o r i t h m s c o n s i d e r i n gt h ea b o v e m e n t i o n e dt w o p r o b l e m s ，t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so nt h en u m e r i c a ls t a b i l i t ym a d t h eo u t l i e rr e j e c t i o n o ft h eo p t i m a le s t i m a t i o na l g o r i t h m sf o rs i n g u l a rs y s t e m sw i mm u l t i p l i c a t i v en o i s e t h es p e c i f i cw o r ki sa sf o l l o w s f i r s t l y , b a s e do nt h e f i r s tr e s t r i c t e d e q u i v a l e n tt r a n s f o r m a t i o n f o rs i n g u l a r s y s t e m sa n d t h ee x i s t i n go p t i m a lf i l t e r i n ga l g o r i t h m ，t h en u m e r i c a l l ys t a b l ea l g o r i t h m o ft h eo p t i m a lf i l t e ri nt h el i n e a rm i n i m u mv a r i a n c ec r i t e r i o nf o rs i n g u l a rs y s t e m sw i t h m u l t i p l i c a t i v en o i s ei sp r o p o s e db yu s i n gm a t r i xs i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n s e c o n d l y , t h ed i r e c tm e t h o do ft h es t a t eo p t i m a ls m o o t h i n gf o rt h es i n g u l a r s y s t e m s 、析t i lm u l t i p l i c a t i v en o i s ei sd e r i v e di nt h es e n s eo fl i n e a rm i n i m u mv a r i a n c e b a s e do nt h i sa l g o r i t h m ，t h en u m e r i c a l l ys t a b l ea l g o r i t h mo fs t a t eo p t i m a ls m o o t h e ri s g i v e nb a s e do nt h en u m e r i c a l l ys t a b l ea l g o r i t h mo ft h eo p t i m a lf i l t e r m e a n w h i l e ，a n u m e r i c a l l ys t a b l ee x t r a c t i o nm e t h o do ft h es t o c h a s t i ci n p u ts i g n a li so b t a i n e di n c o m b i n a t i o no ft h es y s t e m sf e a t u r e si nt h ed e d u c t i o no ft h eo p t i m a lf i l t e r i n g a l g o r i t h m t h i r d l y , b a s e do nt h es t a t es p a c em o d e l ，aw e i g h t e di n n o v a t i o nm e t h o da c c o r d i n g t oi n n o v a t i o ns e q u e n c en a t u r ei sa d o p t e dt od e v e l o pa no u t l i e rr e j e c t i o na l g o r i t h mo f t h es t a t ef i l t e rf o rs i n g u l a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e m e a n w h i l e ，c o m b i n i n g t h en u m e r i c a l l ys t a b l es t a t ef i l t e ra l g o r i t h m ，an u m e r i c a l l ys t a b l eo u t l i e rr e j e c t i o n a l g o r i t h mi sg i v e n t h ea l g o r i t h m sp r e s e n t e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r en o to n l yd e d u c e dt h e o r e t i c a l l y b u ta l s ot e s t e dt h r o u g ht h ec o m p u t e rs i m u l a t i o n s a t i s f a c t o r ys i m u l a t i o nr e s u l t sa r e g i v e nt ov a l i d a t et h ea l g o r i t h m s k e yw o r d s ：m u l t i p l i c a t i v en o i s e ；s i n g u l a rs y s t e m s ；o p t i m a le s t i m a t i o n ；o u t l i e r r e j e c t i o n ；n u m e r i c a l l ys t a b l ee s t i m a t i o n 目录 l 引言1 1 1 选题的意义1 1 2 带乘性噪声系统概述2 1 2 1 带乘性噪声系统的特点及应用背景2 1 2 2 带乘性噪声系统估计理论的发展及现状3 1 3 广义系统概述5 1 3 1 广义系统的结构特征及应用背景5 1 3 2 广义系统估计理论的发展及现状6 1 4 本文所做的工作7 2 带乘性噪声广义系统最优估计的数值稳定性算法9 2 1 广义系统的正则性及第一种受限等价变换一9 2 2 问题描述及扩维滤波方法1 0 2 2 1 问题描述1 1 2 2 2 扩维滤波方法1 2 2 3 数值稳定性概述1 4 2 3 1 数值不稳定产生的原因及影响1 4 2 3 2 数值不稳定的解决方法1 4 2 4 最优估计的数值稳定性算法1 5 2 4 1 最优滤波的数值稳定性算法1 5 2 4 2 最优平滑的数值稳定性算法一1 9 2 4 3 最优反褶积的数值稳定性算法2 5 2 5 本章小结2 6 3 带乘性噪声广义系统状态滤波的抗野值算法2 7 3 1 野值问题概述2 7 3 2 状态滤波的抗野值算法2 8 3 2 1 状态最优滤波算法及新息特性分析2 8 3 2 2 状态滤波算法的新息修正项分析2 9 3 2 3 最优修正函数的选取方法31 3 。2 4 状态滤波的抗野值算法3 2 3 3 状态滤波数值稳定的抗野值算法3 3 3 4 本章小结3 4 4 算法仿真3 5 4 1 带乘性噪声广义系统最优估计的数值稳定性算法仿真3 5 4 1 1 最优滤波数值稳定性算法仿真3 5 4 1 2 最优平滑数值稳定性算法仿真3 7 4 2 带乘性噪声广义系统状态估计的抗野值算法仿真3 9 4 3 本章小结4 2 5 结论4 3 参考文献4 5 致谢4 8 发表的学术论文4 9 i l 带乘性噪声广义系统最优估计数值稳定性算法研究 1 引言 1 1 选题的意义 随机系统的最优估计理论是现代控制理论的一个重要分支，即按照某种最优 准则，利用信号与噪声的统计特性，从受到干扰和噪声污染的信号中提取有用信 息。对随机信号处理的一个重要方法是建立含有随机干扰的数学模型，并根据模 型进行信号的最优估计。其中经典线性随机系统的最优估计理论是目前发展最为 完善成熟的。这类系统由于其处理简单而得以在控制、通信、空间目标跟踪、水 下目标探测、地震信号处理、模式识别、语音处理等诸多领域广泛应甩。 传统上在建立实际系统的数学模型时，对随机干扰的处理通常是把它作为一 项加性噪声。因此，许多最优估计理论，如k a l m a n 滤波理论刮都是基于如下经 典模型的： x ( k + 1 ) = 彳( 尼十l ，尼) x ( 七) + b ( 七) w ( 七)( 1 - 1 ) z ( 七) = c ( 七) x ( 七) + v ( 七)( 1 2 ) 其中，x ( k ) 为n 维状态向量，z ( k ) 为m 维观测向量，w ( k ) 和v ( 忌) 分别为s 维动态 噪声和m 维观测噪声，a ( k + l ，k ) 、b ( k ) 和c ( k ) 均为具有适当维数的确定性系数 矩阵。在该模型中，随机干扰的影响被视为加性噪声，即系统的动态噪声w ( k ) 和 观测噪声v ( 七) 。自从k a l m a n f 7 3 、b u c y 3 等人基于这一经典模型提出状态最优滤波 的递推算法以来，在信号最优估计领域已取得众多理论成果，并在空间技术、通 讯、导航等诸多领域得到广泛应用。 然而，在许多领域，实际观测过程是更为复杂的。该模型并不能很好的描述 实际系统，因此将实际系统近似简化成上述经典线性系统模型从而得到的估计结 果有时是不能令人满意的。例如：在石油地震勘探、水下目标探测、通讯工程、 语音处理等应用领域中，由褶积形式描述的观测模型中，不仅含有加性噪声的干 扰，而且当迸一步考虑系统的时变性、非线性时，还应该加上各种线性与非线性 畸变、能量衰减等复杂的甚至是不确定的因素，这在数学上可近似地归结为一个 乘性随机因子，即乘性噪声心1 。另外，在空间、水下目标跟踪等问题中，被估计 的信号并非总是出现在观测之中，而是具有随机消失的可能性，即其模型中含有 一个取值为0 1 的两值随机噪声。这类观测模型中含有乘性噪声的随机系统称作 带乘性噪声随机系统。带乘性噪声随机系统的观测模型中同时含有加性噪声和乘 性噪声。以离散系统为讨论对象，用状态变量法描述，带乘性噪声系统可表达为： x ( k + 1 ) = a ( k + 1 ，尼) x ( 尼) + b ( k ) w ( k ) z ( 七) = u ( 七) c ( j | ) x ( 七) + v ( k ) 其中，u ( 七) 为观测模型中的乘性噪声。 带乘性噪声广义系统最优估计数值稳定性算法研究 随着现代控制理论与方法应用于控制工程系统的深入和向其它学科领域如 机器人、电子网络、航空航天、经济管理和生物医疗等学科的渗透，出现了较正 常系统更具有广泛形式的一类系统，即广义系统。其数学模型可表示如下： e x ( k + 1 ) = a ( k + 1 ，k ) x ( k ) + b ( 七) w ( 七)( 1 3 ) z ( 七) = c ( 后) x ( 七) + 1 ，( 七)( 1 4 ) 其中，e 为奇异矩阵。 广义系统是对工程领域和社会经济领域中实际存在的一类系统比较精确的 描述，如h o p f i e l d 神经网络模型、多个机器人主体协调作业的动力学模型、具有 非线性负载的电力系统模型等都是广义系统1 ，因此，研究广义系统的最优估计 问题是很有必要的。 本文所讨论的状态估计及其它随机信号估计问题，是以如下一类带乘性噪声 广义系统作为讨论的基础： 戤( 七+ 1 ) = a x ( k ) + b w ( k ) z ( 后) = u ( k ) c x ( k ) + v ( 七) 其中，x ( k ) 为状态向量，z ( 七) 为观测向量，w ( k ) 为动态噪声，v ( 七) 为量测噪声， u ( 后) 为乘性噪声，么、b 和c 为常系数矩阵，e 为奇异矩阵。 显然，乘性噪声的引入使广义系统的形式更复杂，在处理上比带乘性噪声的 正常系统以及不带乘性噪声的广义系统更加困难。基于这类模型的系统估计问 题，如动态系统的状态估计、信号反褶积估计及其参数辨识估计等有着十分重要 的意义。随着当前计算机高速度、大存储，并行化技术及相应的并行算法的发展， 使得研究更为精确复杂的数学模型及其处理方法不会导致应用上大的困难，带乘 性噪声广义系统最优估计算法的数值稳定性算法及野值处理算法还需要进一步 的完善和发展。 1 2 带乘性噪声系统概述 1 2 1 带乘性噪声系统的特点及应用背景 在随机信号处理中，噪声按其与信号的关系可分为加性噪声和乘性噪声。带 乘性噪声系统是指同时含有加性噪声和乘性噪声的系统。以离散系统为讨论对 象，用状态空间描述法，带乘性噪声系统可表达为： x ( k + 1 ) = a ( k + 1 ，尼) x ( 七) + b ( 后) w ( 后)( 1 - 5 ) z ( 后) = u ( 忌) c ( 七) x ( 七) + v ( 七)( 1 - 6 ) 其中，( 1 5 ) 式是系统的状态方程，( 1 6 ) 式是系统的观测方程；x ( k ) 为系统的状态 向量，z ( k ) 为系统的观测向量；u ( k ) 为观测模型中的乘性噪声，w ( k ) 和v ( k ) 分 别是动态噪声与观测噪声；a ( k + 1 ，k ) 、b ( k ) 、c ( k ) 为确定性系数矩阵。由式( 1 5 ) 带乘性噪声广义系统最优估计数值稳定性算法研究 和( 1 6 ) 可以看出，此系统具有以下特点： l 、在观测方程中出现了两个随机量的乘积，即状态向量x ( k ) 和乘性噪声 u ( k ) ，使系统的观测方程不再是线性的，更加复杂。 2 、乘性噪声的产生是由于传输特性不理想而产生的干扰，它随信号的消失而 消失，而加性噪声始终存在，与信号存在与否无关。 3 、带乘性噪声系统模型描述的是更为广泛的一类实际过程，当乘性噪声取l 时，带乘性噪声系统将退化成为经典的状态空间表达( 1 1 ) 、( 1 2 ) ，而带乘 性噪声广义系统也将退化成( 1 3 ) 和( 1 4 ) 所表示的普通广义系统。 带乘性噪声系统有着广泛的实际应用背景，下面举例说明。 例l 、石油地震勘探中震源子波观测的不准确性、时变性、及传播时的扩展 损失与透射损失都可以归结为乘性噪声而不能被加性噪声所包括，因此带乘性噪 声的褶积模型更能反映实际情况u 训 z ( f ) = m ( t ) f ( t ) 车w o ) + 甩( f ) 其中，m ( t ) 为乘性噪声，门( ，) 为加性观测噪声，f ( t ) 母w ( t ) 为理想地震道，这里宰 为褶积运算符。 例2 、水下目标探测。海洋信道在本质上是随机时变和空变的非理想声信道， 这种随机性用乘性噪声来描述，海洋中还存在着多种加性噪声源，因此海洋信道 可看作为一个带乘性噪声系统。水下目标反向散射系数包含有目标本身的重要信 息，因此可以通过估计目标的反向散射系数来实现水下目标探测。而这一反向散 射系数在数学模型中可以归结为海洋信道这一带乘性噪声系统的动态噪声，因 此，可以通过对带乘性噪声系统的反褶积运算，即估计带乘性噪声系统的动态噪 声，来实现对目标反向散射系数的估计n 引。 1 2 2 带乘性噪声系统估计理论的发展及现状 由于石油地震勘探、水下目标探测、空间目标跟踪等许多实际应用问题的需 要，带乘性噪声随机系统的信号估计问题日益受到研究者的重视。已有的研究成 果主要集中在两个方面，分别是针对离散型和连续型的乘性噪声系统而展开的。 一、关于乘性噪声取值为离散值的随机系统的研究 对于乘性噪声为离散型随机变量的情形，1 9 6 9 年，n a h i 1 首先针对离散型 乘性噪声为0 ，l 两值序列的情形，在乘性噪声为独立同分布的条件下，推导出了 最小方差意义下的最优滤波递推算法，当乘性噪声取0 的概率为零时，该滤波器 退化为k a l m a n 滤波器。1 9 7 1 年，j a f f e r 等人n 2 3 对乘性噪声为两值m a r k o v 序列的 情形给出了状态的b a y e s 估计算法，但由于存储量大，该算法并不实用，后来的 改进形式虽然降低了存储量，但当系统维数较大时仍不实用。后来，n a h i 的工 作被推广，m o n z i n g o n 3 3 进一步讨论了状态固定域平滑递推算法，但算法中要求对 带乘性噪声广义系统最优估计数值稳定性算法研究 矩阵求逆，使其应用受到了限制。1 9 7 9 年，h a d i d i 钔等人又将n a h i 的结果推广 到乘性噪声为非独立同分布的情形，但在一般情况下，状态最优滤波不能表达为 递推形式，例如乘性噪声为m a r k o v 链时。1 9 9 4 年，c a r a z o n 副等人又把n a l l i 的 工作推广到了动态噪声和观测噪声相关的情况，并推导出了预测算法的一般表达 式。此外，a k a s h i 等人n 们还研究了观测噪声的均值和方差以m a r k o v 转移概率变 化时的状态滤波问题。 二、关于乘性噪声取值为连续值的随机系统的研究 对于乘性噪声为连续型随机变量的情形，1 9 7 1 年r a j a s e k a r a n 口1 等人首先对 乘性噪声为独立非平稳白噪声的情况进行了研究探讨，推导出了在线性最小方差 意义下最优的状态递推滤波算法和非递推的平滑估计算法，同时还给出了连续系 统的最优状态估计器。1 9 8 1 年，t u g n a i t 【i 刀定义了带乘性噪声离散随机系统的能 观性和能控性，还引入了在线性最小方差意义下与滤波等价的经典系统，讨论了 r a j a s e k a r a n 状态滤波算法的稳定性。1 9 8 9 年，c h o w n 引在乘性噪声为有色噪声的 情形下，将其滤波算法推广到了噪声均值为非零的情况。1 9 9 3 年，文献 1 0 以 石油地震勘探为应用背景，针对离散系统，将r a j a s e k a r a n 的工作推广至动态噪 声与加性观测噪声同时刻相关时的线性最小方差递推滤波器，同时给出了白噪声 情形下固定域平滑估计的直接算法和间接算法。此外，在m e n d e l h l 所提出的针对 一般线性状态空间模型的反褶积理论的基础上，文献 1 0 第一次提出了带乘性噪 声系统的反褶积问题，并通过研究给出了独立白噪声条件下的最优反褶积算法。 与此同时，对定常系统给出了更简单实用的次优反褶积算法，还推导出有色噪声 时的反褶积算法，且把固定域、固定臂长的反褶积最优算法推广到动态噪声和观 测噪声l 一时刻相关的更一般的情形。1 9 9 9 年，文献 1 9 针对带乘性噪声系统， 基于s v d 分解给出了具有数值稳定性的最优估计算法，并基于极大似然准则给 出了一种自适应滤波算法。2 0 0 0 年，文献 2 0 给出了可用于并行处理的带乘性 噪声系统的分布式滤波及平滑算法，同时还给出了基于分布式平滑的反褶积算 法。2 0 0 1 年，文献 2 1 建立了加性噪声在有限时间段上相关时的最优滤波、平 滑及反褶积算法。2 0 0 2 年，文献 2 2 以水下远程目标探测为应用背景，将海洋 信道看作为一个带乘性噪声系统，针对加性色噪声及乘性色噪声的情形给出了最 优状态滤波器和最优状态平滑器，同时给出了多种情形下的噪声估计器，包括： 动态噪声估计器、观测噪声估计器及乘性噪声估计器。以上均是针对乘性噪声为 一维随机变量的情形做出的研究，这种假设意味着各观测通道的加性噪声虽然可 以互不相同，但乘性噪声却完全相同，因此，这种模型并不是真正意义下的多通 道系统。由此，2 0 0 1 年，文献 2 3 在以往工作的基础上，将乘性噪声推广至对 角矩阵的情形，建立了真正意义下的多通道s m n 的最优滤波、平滑及反褶积算 法。2 0 0 2 年，文献 2 4 又将单传感器观测下的多通道带乘性噪声系统的最优滤 波算法推广至多传感器观测下的情形，并基于极大似然准则提出了多传感器观测 4 带乘性噪声广义系统最优估计数值稳定性算法研究 下的逆向滤波融合算法及单向反褶积算法。进一步，2 0 0 3 年，文献 2 5 又将乘 性噪声推广到了一般随机矩阵的情形，刻画了一种更复杂的通道特性，使之更加 符合实际情况。同年，文献 2 6 针对多传感器观测下的带乘性噪声系统和二维带 乘性噪声系统，对其最优估计方法进行了进一步研究探讨。2 0 0 4 年，文献 2 7 针对多通道带乘性噪声系统的观测噪声最优估计算法和状态最优融合估计算法 展开了进一步的研究。同年，文献 2 8 针对更普遍意义下的多通道带乘性噪声系 统的状态最优估计理论，在保证线性最小方差意义下最优的同时，进行了数值稳 定性研究。2 0 0 5 年，文献 2 9 针对复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单 向反褶积算法进行了研究，同年，文献 3 0 针对带乘性噪声系统的状态分部滤波 算法进行了研究。2 0 0 6 年，文献 3 1 围绕一类带乘性噪声非线性离散随机系统， 较深入地研究了与其相关的状态滤波、平滑及随机输入信号的估计，同年，文献 3 2 针对不同尺度多传感器观测下的带乘性噪声系统给出了多尺度最优滤波融 合算法。2 0 0 7 年，文献【5 0 针对带乘性噪声广义系统的状态估计问题进行了研究， 在线性最小方差准则下，给出了系统的状态最优滤波算法。 1 3 广义系统概述 1 3 1 广义系统的结构特征及应用背景 广义系统( d e s c r i p t o rs y s t e m s ) ，又称为奇异系统( s i n g u l a rs y s t e m s ) ，广义状态 空间系统( g e n e r a l i z e ds t a t e s p a c es y s t e m s ) ，微分代数系统( d i f f e r e n t i a la l g e b r a i c s y s t e m s ) 。广义系统是客观系统的一种自然表示，它可用来描述系统的更多性能 特征，如关丁物理量的静态约束等。自从这种模型提出以来，广义系统广泛出现 在电路理论、经济学理论、电子网络、经济系统、机器人等领域，近三十年来广 义系统理论及其应用受到了人们的广泛关注。 广义系统模型可表示为 驯： e ( x ，t ) i c = f ( x ，甜，f ) ( 1 - 7 ) y ( f ) = g ( x ，u ，f ) ( 1 - 8 ) 其中，x 表示状态变量，“表示输入变量，t 表示时间变量，f ( x ，u ，f ) 和g ( x ，u ，f ) 是x 、u 和f 的，z 维向量函数；e ( x ，f ) r “”。 广义系统与正常系统之间既存在着内在联系又有着本质的区别。其联系在 于：如果式( 1 7 ) 中的e 非奇异，则广义系统转化为一个正常系统，因此，如 果从矩阵e 的广泛取值考虑，广义系统是对正常系统的推广。由于正常系统理论 的研究基本成熟，已形成一套较为完善的理论体系，所以为了与之区别，习惯上 以e 为奇异矩阵作为广义系统的明显标志从而使广义系统理论成为一个独立的 研究分支。 带乘性噪声广义系统最优估计数值稳定性算法研究 广义系统与正常系统的区别主要体现在以下几个方面引： 1 、广义系统的解通常由三部分组成：对应于有穷极点的指数解，对应于无 穷极点的脉冲解和静态解，以及输入函数的导数项；而正常系统只有指数解。在 离散情况下，广义系统的解不仅需要t 时刻以前的信息，还需要，时刻以后的信 息，即离散广义系统不再具有传统的因果性。 2 、正常系统的动态阶为刀，等于系统的维数；而广义系统的动态阶为，阶， 一般小于系统的维数。 3 、正常系统的传递函数矩阵为真有理分式矩阵；而广义系统的传递函数矩 阵通常由真有理分式矩阵和指数大于1 的多项式矩阵两部分组成。 4 、正常系统一般满足初值问题解的存在唯一性；而广义系统初值问题解的 存在唯一性称为初值问题解的可处理性及初始函数的相容性，广义系统对解的初 值问题，会出现有解存在、无解或有无穷多解的情形，即使有解存在，其解也常 常出现跳跃和脉冲，故通常要求广义系统是正则的。 5 、广义系统具有层次性，一层为系统对象的动态特性( 由微分( 差分) 方 程描述，或称为系统的慢变部分) ，另一层为系统对象的静态特性( 由代数方程 描述，或称为快变部分) ；而正常系统没有静态特性。 6 、广义系统有两类极点：一类是有穷极点，共q ( q = d e g ( d e t ( s e 一彳) ) ) 个； 另一类是无穷极点，共( n q ) 个，这些无穷极点又可分为动态无穷极点和静态无 穷极点；而正常系统只有n 个有穷极点。 7 、在系统结构参数扰动下，正常系统可以有系统的结构稳定性；而广义系 统通常不再具有结构稳定性。 8 、正常系统可以有满足l y a p u n o v 意义下的稳定性、镇定性；而广义系统不 一定满足一般意义下的l y a p u n o v 稳定性与镇定性。 广义系统的这些特点反映了广义系统比正常系统在结构上变得复杂而富于 新颖性，其所能描述的系统范围比正常系统广阔得多，在理论研究上变得困难而 更具有挑战性。因此，在正常系统理论日趋完善成熟的基础上，广义系统理论也 逐渐吸引着国内外许多学者的关注，并取得了丰富的研究成果。 1 3 2 广义系统估计理论的发展及现状 在广义系统理论发展阶段的初期，即2 0 世纪7 0 年代，研究进展较慢，这一 时期的突出成果有l u e n b e r g e rd g 关于非线性广义系统的研究口引。进入2 0 世纪 8 0 年代，越来越多的控制理论工作者对广义系统产生了浓厚的兴趣，广义系统 理论也进入新的发展阶段，从2 0 世纪8 0 年代初到8 0 年代末的1 0 年中，广义系 统理论取得了蓬勃的发展，这一阶段的重要成果有：v e r g h e s egc 等定义了广 义系统的一些基本概念，如脉冲模的可控性和可观性等。玷1 ；c o b bd 和y i pe l 提 6 带乘性噪声广义系统最优估计数值稳定性算法研究 出了广义系统的能控性、能观性及对偶原理n 引；y a n gc 等提出了广义系统的最 小实现问题。蚓；f a h m ym m 等进行了观测器的设计。坶1 ；f l e t c h e rl r 等分别研究 了广义系统的干扰解藕及特征结构配置等问题h 叫；b e n d e rd j 等关于连续及离散 广义系统研究了线性二次型最优调节器问题h ；l i nj 等讨论了时不变广义系统 的最优控制问题n 别，而l i nx 等讨论了时变广义系统的最优控制问题h 3 。1 9 8 8 年，王恩平等人利用加权最小二乘法讨论了广义离散随机线性系统的状态估计， 并给出了状态的马尔科夫估计的递推形式h 5 1 。综合上述各基本问题的一系列研究 结果，d a il 于1 9 8 9 年出版了广义系统理论的第一本专著m 1 ，系统地介绍了广义 系统的基础理论，从而标志着广义系统的基础理论已经形成。而后，r a m i n e n i k o u k h a h 于1 9 9 2 年对广义系统的卡尔曼滤波问题进行了研究h 。秦超英等人 1 9 9 4 年针对广义离散随机线性系统提出一种限制条件少且便于实际应用的状态 估计算法8 l 。张焕水、柴天佑1 9 9 7 年运用新息理论和射影的方法研究了广义离 散随机线性系统的最优状态估计，将状态估计转化为输出预报估计和白噪声估 计，提出了广义离散随机线性系统的最优滤波、预报和平滑的统一格式h 劓。陶贵 丽、邓自立2 0 0 6 年提出了广义系统多传感器分布式融合降阶k a l m a n 滤波器旧1 。 以上介绍的状态估计算法都是针对不带乘性噪声广义系统的，但在实际生活 中，乘性噪声是广泛存在的，因此研究带乘性噪声广义系统的估计问题是十分重 要的。文献【5 0 针对带乘性噪声广义系统的估计问题进行了研究，在线性最小方 差准则下，给出了系统状态的最优滤波算法。但是关于带乘性噪声广义系统的数 值稳定性算法和抗野值算法尚处于起步阶段，仍具有较大的研究空间。 1 4 本文所做的工作 本文以如下带乘性噪声离散广义系统： e x ( k + 1 ) = a x ( k ) + b w ( k ) z ( 七) = u ( k ) c x ( k ) + v ( 后) 为研究对象，重点讨论了系统最优估计的数值稳定性问题以及观测数据中的野值 剔除问题。本文主要工作可以概括如下： 一、针对带乘性噪声离散广义系统，在线性最小方差准则下，给出了系统的 状态最优滤波、平滑以及随机输入信号的最优反褶积估计的数值稳定性算法。 1 、基于广义系统的第一种受限等价变换以及现有的线性最小方差准则下的 状态最优滤波算法咖1 ，利用矩阵的奇异值分解，解决了滤波过程中误差 协方差矩阵不对称的问题。给出了系统状态最优估计的数值稳定性算法， 该算法在线性最小方差准则下同样是最优的。 2 、应用新息序列的性质和投影定理，推导出了带乘性噪声广义系统的状态 固定域最优平滑估计的直接算法，并在此基础上，利用矩阵的奇异值分 带乘性噪声广义系统最优估计数值稳定性算法研究 解，在线性最小方差准则下，给出了系统状态固定域最优平滑的数值稳 定性算法。 3 、利用扩维过程中系统的特点，结合以上两种算法的推导过程，在线性最 小方差准则下，提取出了随机输入信号最优反褶积估计的数值稳定性算 法。 二、针对带乘性噪声离散广义系统，讨论了观测数据中的野值剔除问题，给 出了系统状态滤波的抗野值算法。 1 、根据系统最优滤波算法推导过程中所基于的状态空间模型的特点，针对 带乘性噪声离散广义系统，具体分析了新息序列的性质，采取压缩影响 函数的方法，给出了系统状态滤波的抗野值算法。 2 、结合系统状态滤波的数值稳定性算法，给出了系统状态滤波的数值稳定 的抗野值算法。 三、针对以上算法进行了仿真实验研究。仿真结果验证了上述算法的有效性。 8 带乘性噪声广义系统最优估计数值稳定性算法研究 2 带乘性噪声广义系统最优估计的数值稳定性算法 2 1 广义系统的正则性及第一种受限等价变换 广义系统的处理思路大多是将广义系统转化为非广义系统，用现有的成熟理 论解决广义系统问题。本章下面公式的推导过程中，将用到广义系统一种常见的 受限等价变换，我们称之为第一种受限等价变换阳1 。在介绍这种受限等价变换之 前，首先介绍广义系统一个非常重要的性质广义系统的正则性。 对离散时间的线性时不变广义系统，其状态空间描述一般表示如下： e x ( k + 1 ) = a x ( k ) + b w ( 七) ，( 2 - 1 ) z ( 后) = c x ( k ) + d r ( k ) ，( 2 - 2 ) 其中x ( k ) 为系统的n 维状态向量、z ( k ) 为g 维观测向量；e ，a r “”，b r “， c r q 。g l ，d r q 妯皆为定常矩阵；e 为奇异矩阵，e 的秩满足r a n k f e ) = r n 疗。 特别指出的是，当e 非奇异时，广义系统等价于： x ( k + 1 ) = e - 1 a x ( k ) + e - 1 b w ( k ) z (