（固体力学专业论文）浅埋圆形孔洞附近的弧形凸起对SH波的散射.pdf

哈尔滨j 二程大学硕士学位论文 摘要 本文采用“契合”的思想，给出了地f 孔洞与地面上的弧形凸起地形对 s h 波散射问题的解答。求解过程中将整个求解区域分割成两部分来处理。 其一为包括弧形凸起地形在内的一个圆形区域i ，其余为区域i i 。在区域i 中构造一个弧形部分边界应力为零，而其余部分位移、应力任意的驻波解， 在区域i i 中构造出弧形凹陷和浅埋圆孔的散射波，且要求它满足水平界面 上应力为零的约束条件。然后再通过移动坐标，满足“公共边界”的位移应 力连续条件和地下孔洞的边界条件，最终归结为一组无穷代数方程组并用截 断有限项的方法进行计算。最后，本文给出了分析例题和数值结果，并对其 进行了讨论。 关键词：s h 波散射；弧形凸起；半无限空间；移动坐标；地表位移幅值 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r , t h es c a t t e r i n go fs h - w a v eb ya a r c - s h a p e dc y l i n d r i c a lh i l l a b o v eas u b s u r f a c ec a v i t yi nh a l f - s p a c ei ss t u d i e db a s e do n c o n j u n c t i o n ，b y u s i n gc o m p l e xf u n c t i o na n dm u l t i - p o l a rc o o r d i n a t em e t h o d t os o l v et h ep r o b l e m ， w ed i v i d et h ed o m a i no fs o l u t i o ni n t ot w op a r t s ，t h ef i r s to n ei sac i r c l ed o m a i n ， w h i c hi n c l u d e st h eb o u n d a r yo ft h eh i l l ，a n da l lo ft h er e s ti sc o n s i d e r e da st h e s e c o n do n e as o l u t i o ni sc o n s t r u c t e di nt h ec i r c l ed o m a i n ，w h i c hs a t i s f i e st h e r e q u i r e m e n t st h a ts t r e s si sz e r oa tt h eh i l te d g ea n di tc o u l db ea r b i t r a r ya tt h e o t h e rp a r t t h es e c o n dd o m a i nc o n t a i naa r c s h a p e dc y l i n d r i c a lc a n y o na n da s u b s u r f a c ec a v i t 5i nw h i c hw ec a nc o n s t r u c tt h es c a t t e r e dw a v ef u n c t i o n ，w h i c h s a t i s f i e st h er e q u i r e m e n t so fs t r e s sf r e eo nh eh o r i z o n t a ls u r f h c e t h e n ，b yu s i n g m o v i n gc o o r d i n a t em e t h o d ，t h et w os o l u t i o n sa r ec o n j o i n e do nt h ej u n c t i o n i n t e r f a c ea n dw h i c hs h o u l ds a t i s f yt h eb o u n d a r yc o n d i t i o na tt h e s u b s u r f a c ec a v i t y e d g e t h ep r o b l e mt ob es o l v e dc a nb er e d u c e dt oas e r i e so fi n f i n i t el i n e a r a l g e b r a i ce q u a t i o n s f i n a l l yt h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l t so fs u r f a c ed i s p l a c e m e n ta n d t h ed i s c u s s i o na r ep r o v i d e d k e yw o r d s ：s c a a e r m go fs h - w a v e s ；a r c - s h a p e dc y l i n d r i c a lh i l l ；e l a s t i ch a l f s p a c e ；m o v i n gc o o r d i n a t es y s t e m ；a m p l i t u d eo fd i s p l a c e m e n to n t h es u r f a c e 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献等的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 日期：06 年2 月2 8 日 喻尔滨上稳大学硕士学僚论文 1 1 问题的研究琨状 第1 章绪论 l 。l 。l 弹性波教射阉题磅究概笼 弹性波在弹性介质中传播，当其遇到障碍物( 夹杂、孔洞、裂纹等) 时， 褥与障碍物发生葙驻佟螽，这穗鞠互律瑁的结采壤漳碍耱袭蓠上强簿一点成 为一个新的波源，这些次生的波源向各个方向发生次波，这种现象称为弹性 波的散辩，次生滚称为散瓣渡，簿褥豹氇被称为散射体。 研究弹性介质内异质物对弹性波的散射问题在许多工程领域中具有重要 意义。翻魏，矿产耱探、蕊漓裁搽及定量纛损检测，霉达、声缝秘爆薅等技 术的应用和发展，归根到底需要弄清楚弹性波的散射效应与埋藏的异质物的 咒健、穆理特性之闼豹关系，雾渍楚鼗鼓效应与菜些叛裂力学参数装糖互关 系等。从工程应用的观点来看，很多弹性波散射问题是弹性动力学的反问题， 馨楚在已皴弹蛙波敦瓣效疲懿藏爨下聂接谚魏教瓣体( 堙簸穆) 懿垃爱、大 小及方向，以及介质特性、发射源等。要系统地解决这些威问题，毫无疑问， 蓄先要对穗应豹委弱题遴霞系绞深入的研究，褥裂润题瓣溜鸯援簿窝特投， 从而为反问题的墩终解决奠定基础。对弹性波问题进行分析研究最早的是著 襄学者a 。c l e b s c h 。早在1 9 毽纪中时，c l e b s e h ( 1 8 6 3 ) 为弄清光波救教射， 分析了球状夹杂物对矢量波的散射效应。9 年后，l r a y l e i g h 于1 8 7 2 年首次 对声渡豹散射蛔题莱强波撼数展野法进季亍了礤究，讨论麴数射体怒剐性或竞 气的球状夹杂物。对弹性波的散射给出般分析的首先烧s e z a w a i ”。他在 1 9 2 7 年竞残了对辕、圜棱釉葫圜投体弓l 起的入射p 波的散射的研究，利用特 殊波函数构造了问题的解。在这以后，这方面的问题一宣很少有入问津。 弹性波豹教辫闯题真难成为物理及工程领域中活跃的研究课题是在本世 纪4 0 年代术和5 0 年代中期。w o l t 2 1 ，n a g a s e t 3 】和k n o p o f l 4 j 先后对球体的散射 捧了磁究，内容镳重地球物理学中的应爆。n i s h i m u r a 和j i m b o p j 解决了备向 辨性介质中球体孔洞的动应力集中问题。他们沿用s e z a w a 早期工作的研究步 1 晗尔滨上秘入学硕： 学位论文 骤，通过假设一个随时间变化的谐波入射到一个无限弹性空间内嵌有剐性、 真空或弹筏酌球形上产生散射，飘总的波束确定球体外备处的应力和位移。 他们得到了随入射波长变化的应力分布，对于频率趋于零的无限大波长的情 凝，结采与相应的静力情形相吻合。 同一时期，在声学领域，w h i t e l 6 l 和k a t o 7 1 分别运用实黢和理论的方法对 弹性函柱体酌散瓣给予了分析。p a o 等f “、m o w 簿 晕l 还探讨了圜 童体肉食物 的动应力集中问题。b a r o n 等人 1 0 , 1 1 i 率先对弹性介质中圆柱形空腔引起的脉 冲激射商鼷进行了分孝斤，使用积分交换帮渡函数震歼法绘港了基缩波散射静 解析解。 j a i n 幂羟k a n w a l 黼3 l 还全面研究了圆 童彩缺陷( 或内含物) 帮球体对弹毪 波的散射，得到了长波长情形下的位移场、应力场、远场幅值、动应力强度 因子及散瓣横截瑟的近锾公式。这鼍，靖翳柱钵秘球钵，裳解貔谂径仍是采 用波函数展开法。 d a t t 等入强壅采蹋匿酴酝逡豹方法分褥了半空闻走含柱形蠢溺对p 波、 和s v 波和s h 波的散射问题，给出了远场的渐近淡达式及相应的数值解。此 方法翡綦本思想蘧将覆逮麓转稼袋瓣应予鼗蕤运场稻远场瓣内羚嚣令阕透来 考虑，而这个问题的解是应用不同的级数展开形式的解为依据，通过一定的 惫徉匾配麓褥委豹。k r i e g s m a n n 等人驻5 】运年来瘸蠲这一方法讨论了声分袋串 的散射问题。 裁觳簸等人 1 6 l 予1 9 8 2 年盛功地将嚣糗静力学中的复炎丞数法推广到二 维散射问题的分析之中。对于单个和多个任意形状的孔洞，该方法可有效地 嬲决凌瘟力集中润题。 1 1 2 地形影响问题的研究现状 地形变化的模式，大致可分为凹陷遣形和凸怒地形两种基本形式。1 9 7 3 年t r i f u n a c 1 9 增先利用波瞒数展开法求解了平砸s h 波对半圆形凹陷地形的 散射问题；1 9 8 2 年刘殿魁等人f 冽成功地将弹性静力学中的复变黼数法推广 到二维散射问题的分析之中；1 9 9 0 年【2 0 】和1 9 9 1 年【2 1 】刘殿魁等人求解了平颟 s h 波对任意形凹陷的散辩问题：1 9 9 3 年1 2 7 l 剃殿簸、译贻燕研究了各自菇往 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 介质中s h 波与多个半圆形凹陷地形的相互作用；此后凹陷地形散射问题经 过众多学者的发展得以完善。由于凸起地形内存在对入射波的多次反射，与 凹陷地形相比，凸起地形引起的散射波更为复杂，因此对凸起地形影响的理 论分析进展得比较迟缓。直到1 9 9 2 年袁晓铭才采用波函数展开法求解了半圆 形和任意圆弧形凸起对平面s h 波的散射问题。1 9 9 5 年刘殿魁等人采用“分 区”的思想，用一个全新的方法对圆弧形凸起地形的散射问题进行了研究， 将问题转化为。+ 个普通的“契合”问题加以解决。在“分区”、“契合”思想 的指导下，文献 2 3 , 2 4 j 分别给出了单个半圆形凸起地形和多个半圆形凸起地形 对平面s h 波散射的解析解。在此基础上，文献【3 0 l 利用复变函数和移动坐标 法研究了地下孔洞与地面上半圆形凸起地形对平面s h 波的散射和地震动问 题。2 0 0 1 年t r i f u n a c ”】在研究柔性基础和规则三角形坝体结构相互作用时讨 论了三角形凸起的地形影响问题并给出了部分算例。 1 2 本课题的研究背景 近年来由于工程实践的需要提出了许多迫切需要解决的问题。例如，在 抗震、抗爆工程中要求给出地下结构的动力分析，给震源定位，估计震源的 参数，认识地形和地壳厚度等对地震波的影响等等，以便改进防震、抗爆和 减少灾害的措施【1 7 1 。 界面广泛存在于天然介质和工程材料中，如：地下不同岩层、复合材料、 多晶合金，各种焊接和粘接的复合结构等。它的存在必然会影响材料和结构 的宏观力学行为。在动载作用下，含有界面的材料与结构将表现出某些特殊 的性质，因而关于界面动力学的研究受到人们的普遍关注1 1 7 , 1 8 】。令世人震惊 的日本阪神地震，其起因就是界面破坏，位于震源区域的浅软地层与其下的 硬质岩层之间发生了突然的断裂、华东 1 9 1 。同时，震区内以地铁为代表的 地下工程结构遭受严重的破坏，其程度超过唐山大地震对煤矿井道的破坏。 专家认为，这是由于日本的地下工程结构在施工过程中多数采用全场开挖的 方式，回填土与原有土体的力学性质明显不同，从而形成了一个界面，而且 地铁等地下结构就位于界面处，在地震力下容易破坏；唐山大地震中的矿井 通道都是采用掏挖方式构筑而成的，周围土体的性质没有改变，仍然属于较 3 嘧尔滨工程大学硕士学位论文 为均匀的介质。现今界面动力学的主要研究内容包括界面波动问题和界面动 态断裂动力学两大部分l 潮。 界硬附近缺陷在动态荷载作用下，缺陷附近会发生动威力集中现象，对 p ( s v ) 波和s h 波入射的情况，缺陷与界面距离院较远时( 不考虑界面影响) 的计算方法较为成熟，并已开始指导工程设计；丽对于界蹴附近缺陷( 必须 考虑界面彩响) 的分祈和计算，剐尚不完薷l 矧。在诸多的羿面辩遥缺陷臻构 动力分析的成果中，多数为理论和数学方法的研究，直接提供数值结果和可 方便指导实践的资籽甚少n 9 , 2 ”。本文就弹髋渡散射中最简肇的模黧稳森 s h 波对界面附近相邻多个圆形孔洞的散射问题进行了研究。它不但可以提供 一个便予工程实箴鼢分桥方法，雨藏还为磷究疆类儆淹题镊出了一耪新方法。 人们对界面缺陷进行动力分析，一般对两方面的内容感兴趣1 2 孙。一方面， 蒂宥赛鬣缺陷静复合榜籽鼹动态蓊簸俸丽辩，耱肇苒破坏与否往往取决于癸藤 缺陷附近的动态应力场的性质，即弹性波在界面缺陷附近的散射特性。因此 莽溪缺陷对于弹後波散射溺题一蠢受嚣众多凌力学研究者麴重稷；赘一方甏， 界呵缺陷产生的散射场也携带了缺陷的特征参数，如位羲、形状、尺寸、方 镣等，蠢鼗散赛聿波场静疆究对于建菝勘探、震害颈掇、无损检测及搽偌( 疆n 等领域也肖重要作用。 1 3 波动问题的研究方法 返几l “年来，大批蠢识之士致力于弹性波散射闻题的研究，已提出多 种分析方法用于弹性波散射的远谶场分析f 渊。这塑方法多数可推广用于界面 波动阀题豹研究，其中主要有： ( 1 ) 波函数展开法：在曲线坐括中，通过对标羹或矢量波动方程作变量分 离，利用一些曲线坐标和与之对应的特殊函数t 2 4 ，如b e s s e l 、w e b e r 、m a t h i e u 函数来构造波动方程的解，并进步满足边界条件，求瓣边值问鼷。由予蓝 线坐标的种类有限，到目前为只有1 1 种( 怠角坐标、圆柱坐标、椭圆柱坐标、 球坐标、瀚锥坐标、抛物线坐标，扁长球面坐标、扁球面坐标、椭因球磷坐 标、抛物短坐标) ，而对于矢量波动方程，分离坐标的数擞仅限于前6 种，因 此，该方法在使用上受到徽大限铜泌1 。毽楚它所旋供的舔爨 l 和解答，对入俄 4 喻尔滨工裰大学碛士学位论文 以詹求解弹性波散射和动应力集中等问题越到了非常重要的作用。 ( 2 ) 积分方程法：广泛斑用于弹性波散射f 萄题的研究。般从弹性动力互 等原理出发导出积分方程。根据积分表达式定理，可以用个面积分和一个 体积分来描述由任意形状的物体产生的散射波。对于材料住质不连续的夹杂 物，可以通过等价的体积力与周围介质g r e e n 函数的体积分来描述出不连续 区域弓f 超盼散射液。由于体积分中的未知函数古奢总波场，所鞋我们褥到静 是关于散射波的积分方程，其类型主要为f r e d h o l m 泌积分方程和具奄c a u c h y 鹫税分核的奇异积分方程。可角渐近方法兢叠代方法进行浓解。如栗第一次 试函数用入射波长代替总波场，所得的解被称为b o r n l 2 6 j 近似；如果用静态场 代替未知的总波场，所褥翁解被称为静态避钕 2 ”。袄分方程对予二维定常波 和瞬态波间题很有效。 f 奠积分交换法：弱甭暖有的积分交换将编微分方程化为交换空闻静代数 方程或常偏微分方程进行求解，再将得到的解答做逆变换到物理空间，从而 褥翻真实解答。该方法多被嗣予瓣态动力嗣蘧的分耩，餐遂交换一般需要送 行数值反演，由于反演具有内在的不稳定趔而常常遇到困难。 f 4 镄输矩薛法( 箍簿法 ：遥矮予镁意形菰羧袈钵靛弹性髂敬瓣舔怒。 根据定常弹性波的不同表示定理，w a t e r m a n 2 8 】和p a o 2 9 】等几乎同时提出了弹 魏滚散瓣鹣 踅簿法。遮耪方法泉源予毫磁波帮声波豹觳瓣矩箨瑗谂。它豹 基础是弹性波散射的积分表达式和各种波函数，即把积分表达式中的已知或 泰翔函数瓣波函数表这，考虑逮爨条 孛褥剜求舞拳翔系数靛孓矩簿方程。转 换矩阵的主要特点是如果敞射体确定，则转换矩阵不变，与入射波无关，而 曼转换矩阵曩套慕萃孛歪定瞧。 f 5 ) 摄动法：对波动方程或其边界条件进行摄动，然盾蒋进彳亍求解的一种 遥曩鬟方法。跬摄动边暴法嚣多。缀动法毪零和其它方法蝴结合碍予阗题麴求 解。近几十年来送一方法又发展为渐近匹酉己法，将原问鼹变为内问题和外问 熬，凌癸翊题瘸不阉豹级数末鳃，然螽按一定熬祭终匹囊e 起来。避耪方法爨 于声波和弹性波1 3 0 】，研究任意形状物体的各种参数对散射的影响。 f 国瓣线法：k e l l e r 秘l a v y 嘏摆声波理论提出懿射线法在波动理论中褥 到深入的发展。a c h e n b a c h t 3 1 1 等详细阐述了射线法在弹性波散射理论中的应 e 哈尔滨工程大学硕十学位论文 用。弹性动力射线法的思想是把波动方程中的势函数取为级数形式，该级数 具有未知的振幅和相位函数，在高频意义下，获得的相位函数满足径向方程， 振幅满足传输方程，其结果与实验结果吻合。尽管射线理论在原理上仅仅对 高频波适用，但是实际上可以用于一定的低频范围。 ( 7 ) 复变函数方法：刘殿魁等人【3 2 , 3 3 提出的复变函数方法为求解二维散射 问题提供了一个新的有效方法。此法是弹性力学复变函数法的推广，在保角 变换下，引入“域函数”的概念，使得变换后的波动方程的通解可以表示为 以“域函数”为项的波函数的级数形式，通过离散满足边界条件的级数方程 为线性代数方程组，可以数值求解。该方法对任意形状的夹杂以及任意形状 的带衬砌的孔洞的弹性波散射问题较为有效【3 4 - 3 7 。该方法已经应用于板壳开 孔( 包括大孔) 等问题的研究1 3 8 , 3 9 】。 ( 8 ) 数值方法：鉴于弹性波动问题本身的复杂性，人们采用理论分析和数 值计算两种方法来求解问题。在通常的情况下，解析解很难得到，它只限于 几种最简单的情况。由于实际介质的情况的复杂性和多变性，使得解析方法 的应用常常受到限制，而直接的数值方法也被用来分析稳态波入射问题，其 中，透射边界研究取得了重要进展，有限元法、有限差分法、边界元法、边 界法和混合法等数值法取得了大量的在工程中有使用价值的研究成果。然而， 计算量大、高频波入射时误差不易控制以及不易实现对问题的深入分析等， 仍然是数值方法将要克服的缺点。 1 4 本文的主要工作 建立了求解浅埋圆形孔洞附近的弧形凸起对s h 波散射的物理模型，给出 一定边界条件下的s h 波散射和动应力分析的解析方法。 本文具体工作如下： 第一章概述弹性波动理论的工程背景与应用，阐明有关的基本概念、研 究状况和基本方法，介绍叻弹性波散射引起的动应力集中和地震动。 第二章介绍了弹性动力学的基本方程，有关弹性波的的基本知识。 第三章研究了半无限空问中浅埋圆形孔洞附近的弧形凸起对s h 波的散 射，使用与研究普通s h 波对浅埋圆形孔洞附近的圆形凸起相类似的方法对 哈尔滨工程大学硕士学位论文 该问题进行研究。本文采用“分区”的思想，利用复变函数法和移动坐标的 方法研究了地下孔洞与地面上弧形凸起地形对平面s h 波的散射和地震动问 题。将求解区域分割成二个部分，区域i 为包括弧形凸起地形在内的一个圆 形区域，余下部分为区域i i 。在区域i 、i i 中分别构造位移解，在二个区域的 “公共边界”上实施“契合”。区域i 中的位移解，应当是满足弧形凸起地形 上半部分应力为零而其余部分上位移、应力均为任意的驻波，而在区域i i 中， 则要考虑“公共边界”和地下孔洞所产生的散射波，并要求它们能满足水平 界面上应力为零的边界条件。这样就将所研究的问题“转换”成了一个只需 要满足“公共边界”上的“契合”条件和地下孔洞边界条件的边值问题，可 利用移动坐标方法对其进行求解，建立起求解该问题的无穷代数方程组。最 后给出在不同角度的弧形凸起下，具有不同波数的s h 波以不同入射角入射时，水平面、凸起地形表面及浅埋圆形孔洞的表面 位移的算例，作为地形影响问题进行研究。 本文最后给出了分析例题和数值结果，并对其进行了讨论。 7 哈尔滨j 二程大学硕士学位论文 第2 章基本方程 2 1 弹性动力学的基本疆论 2 1 弹性动力学的控制方程 由动量平衡、角动量平衡和能量平衡三个原理可以推得体积为v ，表面 为s 熬连续、均匀、鑫囱羁瞧静线撵装钵中瓣动力学淘题戆控制方稳 4 0 】力： 运动方襁 a 。i 粤p l = p i i 辱。1 ) 本构关系 崔旯s 从a 4 + 2 , u e ( 2 2 ) 几姆方纛 旗量守憾式 动量矩守恒式 8 口。i 1 0 f ，j 十“，) p p e o 暑o 即应力张量照对称性昀。屯称为k r o n e k e r d 函数， 铲s z 燃j l # 歹 ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) 考虑到虚力和应变的对称性，上述应力张量、成交张量和位移矢量的分 量共计寄1 5 个未韵数，当体力、密魔秘弹蕊掌数为嚣翔嚣，( 2 一1 ) 、穆一2 ) 移( 2 一势 共计1 5 个方程，这组方程便成为一套完整的方程组，在适当的边界条件和 裙戆条臀下羧秘残撵瞧动力学豹定瓣方程。 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 对于均匀各向同性材料，把( 2 - 2 ) 和( 2 3 ) 代入( 2 1 ) 可得以位移矢量作标志 的运动方程 ( 娜) 老+ 杀州，一p 吾0 2 u ，i , j = 1 , 2 , 3 ( 2 - ，) 2 1 2 波动方程的简化 在不受体力作用的情况下，位移运动方程用矢量和张量符号表示为 ( a + u ) v ( v u ) + p v 2 u = p f i( 2 - 8 ) 按照h e l m h o l t z 定理，任何一个矢量场都可以表示为一个标量场妒的梯 度与一个矢量场啪旋度之和： h 。v 妒+ v 吁 v 渺；0 ( 2 9 ) 妒和啼为标量和矢量位移势。将上式代入方程( 2 8 ) 得 v 【( a + 2 肛) v 2 妒一p ；】+ v n 刀2 妒一p 妒】l0( 2 1 0 ) 如果 。，2v 2 妒4 乒，。；i ( a + 2 ) p ( 2 - 1 1 ) c ；v 2 妒；1 ；2 ；，c 。2 = 肛p 上述方程便可以满足。这里可以看出，妒和吩别满足一个标量波动方程和 一个矢量波动方程。 由于波动方程比原始运动方程简单了许多，所以，可以从方程( 2 9 ) 构造 出u 的解，并使其势能满足波动方程( 2 - 1 1 ) 以k 边值条件和初始条件。完备性 定理指出：( 2 8 ) 中的每一个解都能分解为式( 2 9 ) ，所含有的妒和酬匀满足方 程( 2 1 1 ) ( v f to 并非唯一条件) 。完备性定理还肯定在弹性固体里仅存 在两种类型的波，其一是以速度c 。传播的妒波，其二是以速度传播的嗽a 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 由于a ，0 和，0 ，故c 。恒大于。这两中波的波速之比仅仅是材料泊松比 v 的函数，用单独符号r 来表示 n c _ _ l p ( 竽一( 警声 ( 2 - 1 2 ) c s l 一埘 由v 伊产生的波的速度较快，称为初波( p 一波) ，由v x 妒产生的波称为次 波( s 波) 。为了用别的物理性质来区分这两种波，考虑位移分解式 u u l + 1 1 2 ( 2 - 1 3 ) 式中已记 u 1 * v 妒 u 2 ；v 、i ， ( 2 - 1 4 ) 由上式易知 v u iv ( v 妒) = o r 2 1 5 ) v 1 1 2 一v ( v v ) = 0 、 这意味着，妒对应的波无转动变形，仅有体积变形和剪切变形；晰对 应的波则仅有剪切变形和转动变形。前者由此又称为膨胀波、无旋波、压缩 波、纵波、p 波( p r i m a r y 或p r e s s u r ew a v e ) 等名称；后者又被称为旋转波、 等体积波、剪切波、横波、s 波( s h e a r 或s e c o n d a r yw a v e ) 等。 2 2 固体中的平面波 固体中平面波表示为 或 1 1 ；a ，( x n c t ) u i a i r ( x k n k c t ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 6 ) 其中，a 为振幅矢量；，为任意函数；一为波面法线，即波的传播方向 c 为波速。将式( 2 1 6 ) 代入( 2 _ 8 ) 可以看出，只有在 1 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( a + ) ( a n ) n + ( 肛一肛2 ) a - 0( 2 - 1 7 ) 时，( 2 - 1 6 ) 式给出的形式才能代表弹性固体中的平面波。 还可以用位移势将平面弹性波表现出来，p 波可写成 垆= 9 0 f ( r n c p t ) 妒一0 ( 2 - 1 8 ) 相应的位移为 u 。= v 9a 伊onf 7 ( r 。n c p t ) 式中撇号表示对宗量的微分。 剪切波可写成 舻= 0 妒= 妒og ( r n c s f ) ( 2 - 1 9 ) 式中，妒。为垂直于n 的任意常矢量。令p 为剪切波的偏振方向的单位矢量。 于是我们可将妒。写成妒。一妒op n 并将剪切波写成 妒一0 1 ；f - - 妒o ( p 月) g ( r 肛一c s f )( 2 2 0 ) 式中妒。为标度系数。f l j ( 2 1 9 ) 式中的势求得位移矢量 s - v x 妒- 妒o pf ( r 。一一c p t ) ，p n = 0( 2 - 2 1 ) 由于位移矢量口。总是与波的法线刀平行的，所以，关于平面p - 波的偏振方 向不会有第二种解释。但是，除非( 2 - 2 1 ) 式中的p 是规定好的，否则剪切波 的偏振方向则难以确定，因为。可以是许许多多与n 相垂直的单位矢量中的 任意一个( 图2 1 ) 。为方便起见，我们在介质中选一条直线作为垂直坐标轴( 图 2 1 中的x 2 - 轴1 任何一个垂直于该宣线的平面均视作水平面。如果剪切波的偏 振方向是与水平的x 3 - 轴平行的，则称此剪切波叫s h 波；如果是与垂直平面 1 1 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( 以一工2 平面) 相平行，则称此剪切波叫s v 波。 图2 1 平面波在固体中的传播 f i g 2 1p r o p a g a t i o no fp l a n ew a v e si ns o l i d 由于地球表面给我们提供了一个天然的水平基线，所以这种参考系对于 处理地震波是非常方便的。对于其它问题，我们可以有意地选择某个方向作 为垂直轴，其它的轴随之也就确定下来了。显然，p 波和s v 波构成一种平面 运动的分量，而s h 波则代表一种反平面运动。平面运动与反平面运动是两种 不相耦合的运动。 本文研究出平面波动问题，即s h 波的散射问题。这时只有沿着x 3 轴方 向的位移分量，即 相应的不为零的应力分量为 h 1t0 “2t 0 ( 2 - 2 2 ) u 3 - w ( x l ，x 2 ，f ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 根据( 2 2 2 ) ，丁将( 2 8 ) 式所含的第三个运动方程简化为单一的标量波动方 程 z v 2 w 吣：力一p 害 ( 2 2 4 ) 2 3 浅埋圆形孔洞附近的半圆形凸起对s h 波的散射 2 3 1 单个圆形孔洞所激发的散射波以及边界条件 由文献【3 3 】知，均匀、连续、各向同性的无限空间中由单个孔洞所引起 的散射波，利用复变函数法可以写为 “k _ 。h 帅i1 ) 【斧( 2 - 2 5 ) 又由文献【4 1 】知，在半无限空间中，由单个圆形孔洞所激发的，且同时 满足水平面上应力自由条件的散射波，可以利用s h 波散射的对称性、复变 函数法构造为 胪，= 妻“州唯眦印侧1 】( t i z - 2 h ib ( 舌嵩r ( 2 - 2 6 ) 其中：h ：- ( ) 为n 阶第一类h a n k e l 函数，h 为孔心至地表面的距离，爿n 为 待定的系数，应由孔边条件给出，即： f ! + f 竺= 0 ，l z l r ( 2 。2 7 ) 在直角坐标系中波动方程表示为 功p 鲨魄翌岘 p 肛 暑 兰 m v 2 = 罢o x + 罟= 言罢o t p z s ， 2 d v 2 c j 2 其中： 。、拦为介质的剪切波速；p 、肛分别为介质的质量密度和剪切模 量。 位移函数与时间的依赖关系为e “，则位移函数w 满足平面直角坐标 系中的h e l m h o l t z 控制方程： 0 2 w + _ 02 w + 2 w ；0( 2 2 9 ) 0 x 2却2 而对应的应力是 f 。，卢婴，r 。p i o w ( 2 - 3 0 ) 7 n2 卢i 。p 百 引入复变量z ：x + i y ，；= x 一y ，在复平面( z ，；) 上，式( 2 2 9 ) 和式( 2 3 0 ) 可表示如下： 堡+ i k 2 w ：0 ( 2 3 1 ) 和 ”口学+ 警，矿啦e 一警，( 2 - 3 2 )”口唁+ 引p 唁一i 而在极坐标系中，应力表达式( 2 - 3 2 ) 有： = 肛( 警矿+ 詈矿小。嘶( 警e 一詈一) ( z 弓s ) 2 3 2 辅助问题i 在圆域1 内，求解一个驻波解，其要满足以下边界条件 f 0 z g c 铲 譬皇吼州h 。) 】【却 z 石 q 。3 4 哈尔滨工程人学硕士学位论文 其中，w o 为驻波之最大幅值，c 。为待求常数。 与式( 2 3 3 ) 对应的驻波解为 眇= 睨羔见，n ( 2 i z i ) i - - 毛1 ”。量名 其中d 。为任意常数。 将式( 2 3 4 ) 在【石，石】内展成f o u r i e r 级数，有 k 一半耋耋巳u k 舷l zi ) - j m , l 】【南r 其中 1 e 。【卅一4 n 一1 知f ( m h ) ( 2 - 3 5 ) f 2 3 6 ) ，打= 玎 ( 2 - 3 7 ) 卅幸m 将由式( 2 3 5 ) 得出的应力表达式，在l z i 一口上与式( 2 - 3 6 ) 相比较则有 即皇c 。筹糕n 。 p 3 8 ， 代式( 2 3 8 ) 至式( 2 3 5 ) 则可得到驻波 w ( s t ) f f i 形羔熹g 每舞岩揣n 一蹦她id t 南，“ c 2 - 3 式( 2 - 3 9 ) 即为构造的在区域i 中，满足上边界c 应力为零，下边界石上 应力任意，并满足式( 2 3 1 ) 1 。 相应的应力表达式为 拶；睨耋熹c m 筹糕_ 1 ( 比一帅ii ) 1 1 - - 知 1 “ 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 3 3 辅助问题i i ( 2 4 0 ) 在区域i i 内，求解一个散射波“) ，且要求它能满足半空f n q 表回s 上 应力自由这一条件。 在区域i i 中的散射波形应由半圆形凹陷s 和浅埋圆孔丁的散射波 哪5 和叫。组成，且有 5 1t 哪曲+ 叫曲 ( 2 _ 4 1 ) 而由s h 波散射的对称性和 哕t 睨弘础( k l 加 【哥+ 【静”) ( 2 - 4 2 ) 和 哕一耋既z - dd 网z - d 卜础仲- - d 【高p ( 2 4 3 ) 其中，d 是以o 为原点时，t 孔孔心的复坐标，d 为其共轭。 而在复平面( 2 。，；。) 上，式( 2 - 4 2 ) 和( 2 4 3 ) 又可写为 哪! z 1 _ t ) - k 蠢 日 k + d 1 ) 【毒晶r + 【毒尚p ) ( 2 4 4 ) 皑瓴，_ 1 ) = 耋蹦础引) 【南卜础啦l z t + d d 【高尚n ( 2 4 5 ) 其中，d7 。d 一孑。 相应的应力可分别表示为，在复平面( 2 ，2 ) 上 r 学弘畔川帅卅卸 【甜+ 【自1 ( 2 - 4 6 ) 嚼= 譬耋驯皑帅i 训) 【专三r 1 埘熟卜孙【号焉】- ( 巾“ + 【_ 础触卜圳专昌r 1 + 昭仲- _ i ) 【号高】- 佃。1 巾“叮 ( 2 4 7 ) 在复平面( z l , 一z ) 上 惦一半弘僻船1 2 1 圳) 【毒尚】m - 1 - n 删矿州高尚附矿l + 【- 础川”伽丽z 1 + d 】m + 1 卅mk “d 【最高r 1 】e “1 ) ( 2 - 4 8 ) f 3 一警耋巩愀，( k i 。z - i ) 1 a l l i r a - 1 - - ( 1 ) ，眯l z l + d | ) 【尚】_ ( “) 】毋 + 【- 碟引) 【南】m + 1 + 醒渺h “m 最高卜1 ) 】t 哪 陀- 4 9 ) 2 3 4 入射波和反射波 在复平面( z ，；) 上，入射波和反射波可写为 哦矗1 一一。ni n a i ) 【南r ( 2 - 5 0 ) 1 j 5 三p zl j 呲 e 。一 睨 ， = i 晴2 p 睨 = 缈 哈尔滨工程大学硕士学位论文 相应的应力可表示为 ( ! ) f f ii “k w oc o 即啡啡岫虬孚n 弘e - - 。叫。川邡山帅i 1 ) 】【御 ( 2 5 2 ) 拶- f l 。k w oc o s ( 疗一妒。陋町t 华耋v h i ) - k 川扑】【御 ( 2 5 3 ) 在复平面( z l ，j 1 ) 上，形“) 和) 有 ( 2 。，；。) ，鼯和删叫狮1 ( 2 - 5 4 ) 删( 粕) ：即扣m 西i 。1 ( 2 5 5 ) 相应的应力可表示为 删：i z k c o s ( 0 1 + a ) e 帅t ”+ 撕。1 ( 2 5 6 ) 畦：i p kc o s ( 0 1 一a ) 挣”妒“岫州。1 ( 2 - 5 7 ) 2 3 5 边界条件及定解方程组 下面的工作是将区域i 和区域i i 装配起来同时还要满足浅埋圆孔7 3 2 应力自由的条件，则有 f 彬( = 形( f ) + 形+ 睚5 + 孵5 e s _ l 破r ) = 镂+ r z n + ：+ 破j e s 上 l 碟+ 删+ 了鬟；+ 槎r = o 在吐 f 2 5 8 ) 进一步利用位移和应力表达式，则有 叩删 熹耋，铺碧籍a m la l n - - 羹o a m 。一塾。 ；2 罗f ”c o s ( m a ) j 。沏) ，。 一 c t j 。) 一j 一( 加) k 一以叩：。一吼。 一2 一c o s a ) 一( 妇) 一i ，一( 妇) k 以妒。+ 风妒二哪。= o - n = 0 ，1 ，2 ，( 2 - 5 9 ) 一新卵啡d 订+ 【牙】 e “加 t 去轷 日乳眯) - 日黝t i zd 】【高】卅+ 【南】“】) e “叼p ”瓤删z - 圳号昌r 删黔l z _ 砷【号高p ) c 叼8 ，1 ，伸婶l 州| ) 【高p - l 一碟( i i z - a 眦丽z - d 】- ( “y 。 副。+ 【_ 豫。卧- d i ) 毒奇+ l + 础川z 硼毒打删可吲日 1 ，佃踟h + d d 【毒晶r 1 一蛾m 一旧z l + + 可d 】_ ( “妒 吲一+ 【_ 础川州附击鲫一峨md o 【毒打“p 1 ) e 嘲d t 【，旧槊kd 【静埘腓k “r d 【蠢尚】- 忡“母峨 r 刮“+ 【_ 昭 【弦峨m 枷【毒新“ 冲吣 l 帆：寺酗。 一州扣川”“+ ( _ 1 + _ 卜+ f c 。卵删e 嘲圳“而厕“o 可吣媚 方程( 2 5 9 ) 即为决定未知系数c m 、a m 、b 。的无穷代数方程组 1 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 4 本章小结 本章介绍了有关弹性波的的基本知识，并利用s h 波散射所具有的对称 性质和使用多极坐标方法，研究了浅埋圆形孔洞附近的半圆形凸起对s h 波 的散射问题。波在固体中的传播与散射和材料在动荷载作用下的破坏是固体 力学中两类典型课题，无论在理论发展方面还是在工程实践方面都具有重要 意义。其中，研究强地震时地面运动特征，为结构物的抗震设计提供合理的 设计参数，是地震工程学研究的基本课题之一。地面运动是一个复杂的物理 现象，受到多种因素的影响。国内外许多震后调查可以证实，局部地形条件 对地震产生的地面运动影响很大。因此，近二十年来，研究地表局部地形对 地面运动的影响一直是令人关注的课题。研究地形对地面运动的影响是地震 工程学研究的基本课题之一。关于地形变化的模式，大致可分为凹陷地形和 凸起地形两种基本形式。而分析方法则又可分为解析法和数值法这两大类。 在解析法研究上人们利用波函数展开法、复变函数法等研究了凹陷、凸起地 形的散射问题。“隐蔽地形”的研究是一个具有理论意义和应用前景的研究工 作。若将浅埋的圆形孔洞视为“隐蔽地形”，则浅埋圆形孔洞问题的研究可与 对凹陷、凸起地形的研究归于一类，同属于地形影响范畴。关于类似问题的 研究，文献 5 4 5 5 给出了有关浅埋孔洞和凹陷与浅埋圆形孔洞组合地形对 s h 波散射与地震动的研究成果，并对问题进行了评述。地下有孔洞、地上有 弧形凸起的弹性半空间水平地面记为s ，凸起边界记为c ，凸起半圆半径为a ， 中心为0 ，而地下孔洞半径为r ，中心位置为0 ，。由以上条件可知，求解该问 题对s h 波散射问题，就是要在水平地表s 、凸起边界c 和地下空洞t 上给定 应力自由的边界条件来求解s h 波的控制方程。由于在s 、c 和t 上分别要求 应力为零，问题属于混合边值问题，求解时有一定困难。为此，可采用“分 区”思想加以解决。即可将整个求解区域分割成两部分来处理，其一为包括 c 和c 在内的圆形区域i ，余下部分为区域i i ，它包括了边界s 、s 和t 。s 和c 为二个区域的“公共边界”。在区域i 、i i 中分别构造位移解， 区域i 中的位移解，应当是满足弧形凸起地形上应力为零而其余部分上位移、应力 均为任意的驻波，而在区域i i 中，则要考虑“公共边界”和地下孔洞所产生 的散射波，并要求它们能满足水平界面上应力为零的边界条件。这样就将所 2 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 研究的问题“转换”成了一个只需要满足“公共边界”上的位移条件和地下 孔洞边界条件的边值i s 题，可利用移动坐标方法对其进行求解，建立起求解 该问题的无穷代数方程组，最终求得地表的位移幅值。研究含有浅埋圆孔的凸 起地形对s i 波散射对地震动的影响，就要求给出水平界面上任一观察点上地 震动变化与s l l 波的波数和入射角n 的关系。入射波的频率m 可与弧形凸起 的半径a 组合成为一个入射波波数。对稳态s h 波而言，如果求得了观察点处 的位移量，即可求出该点的加速度值，这对地震工程是至关熏要的。 哈尔滨工程大学硕+ 学位论文 第3 章浅埋圆形子l 洞附近的弧形凸起对s h 波的散 射及出平面反应 3 1 引言 无论从震害的宏观调查或者已有的理论成果来看，局部地形对地震时地 表运动确实有明显的影响。合理的估计局部地形对地面运动的影响，是地震 工程中的重要课题之一。尽管人们已经积累了一些理论成果和大量的观测资 料，但是定量地确定局部地形对地震时地表运动的影响，至今仍然是人们感 兴趣的问题之一。 对强震时的地震加速度记录进行分析，是地震工程学研究的重要问题之 一。强震记录又与震源的类型、地震波传播的路径、局部的地质条件以及地 面的几何形状有重要的关系。这些因素最终都将反映到记录中去，而影响到 对它进行分析和工程应用f 4 9 - 5 2 j 。 近2 0 多年来，在地面几何形状对地震动影响的研究工作中，已经积累 了一定数量的研究成果，研究了凹陷地形和凸起地形以及一些复杂地形对地 震动的影响。这些成果不但促进了强震记录研究与分析工作，而且也扩大了 地震科学中关于大陆边缘上的表面波和不规则表面反射波等方面的研究工作 4 9 ，5 0 ，5 2 5 5 1 。 本文研究在地震波传播过程中，当其接近地表面时，平面s h 型地震波 对圆形孔洞附近的弧形凸起地形的散射问题，并确定其对地震动的影响。若 将这一浅埋圆形孔洞视为“隐蔽地形”，则问题可与凹陷、凸起地形研究归 于一类，也属于地形影响范畴。“隐蔽地形”的研究是一个具有理论意义和 应用前景的研究工作。文献【5 4 j 5 】给出了一些研究成果。本文利用复变函数和 多极坐标的方法，求解浅埋圆形孔洞附近的弧形凸起地形对s h 波散射和地 哈尔滨工程大学硕士学位论文 震动问题，并利用s h 波散射的对称性，构造了自动满足半空间界面上应力 自由的位移解，将半空间中的散射问题“开拓”成为一个全空问的问题，可 按全空间问题求解程序最终给出解答。