（固体力学专业论文）基于基面力概念的新型有限元方法.pdf

摘要 摘要 本文采用连续介质力学理论，分别应用高玉臣提出的基于“基面力”概念的势能原 理、余能原理和弹性大变形余能原理，对基于“基面力”概念的势能原理有限元方法、 余能原理有限元方法和弹性大变形问题余能原理有限元方法进行了研究，主要工作如 下： ( 1 ) 利用高玉臣提出的单元刚度矩阵表达式，采用基于“基面力”概念的势能原 理建立了相应的有限元基本公式；研制出基于“基面力”概念的势能原理有限元 m a t l a b 软件、f o r t r a n 软件和相应的可进行任意单元网格自动剖分的f o r t r a n 软件；结合一些典型的线弹性理论问题进行了数值计算。研究结果表明：数值解与理论 解相吻合。 ( 2 ) 在商玉臣提出的单元柔度矩阵表达式的基础上，基于“基面力”概念的线弹 性余能原理推导了有限单元柔度矩阵表达式的具体形式；运用l a g r a n g e 乘子法推出以 “基面力”为基本未知量的余能原理有限元法的支配方程；给出了余能原理有限元法中 计算节点位移的公式：提出了一种具有边中节点的任意多边形单元；研制出基于“基面 力”概念的余能原理有限元m a t l a b 软件和相应的单元自动剖分f o r t r a n 软件：通 过结合一些典型的线弹性理论问题进行数值计算。研究结果表明：数值解与理论解相吻 合。 ( 3 ) 基于高玉臣提出的弹性大变形余能原理，将物体的余能分解为变形余能部分 和转动余能部分，利用基面力概念给出相应的余能表达式；运用l a g r a n g e 乘子法推导 出一种基于基面力概念的可描述大位移、大转动、小应变问题的余能原理有限元公式； 利用m a t l a b 语言研制出相应的有限元软件；结合一些典型的几何非线性问题进行了 非线性数值计算分析。研究结果表明：数值解与理论解相吻合。 通过本文的研究，论证了高玉臣提出的单元刚度矩阵表达式、单元柔度矩阵表达式 的可行性和弹性大变形余能原理的正确性。研究结果表明：本文给出的基于“基面力” 概念的有限元方法简单而有效，是有限元方法的一种新思路，具有较好的应用前景。 【关键词】基面力；势能原理：余能原理；刚度矩阵；柔度矩阵；弹性大变形：l a g r a n g e 乘子法；任意网格；有限元 a b s r r a c t a b s t r a c t b a s e do nt h ec o n t i n u u mm e c h a n i c st h e o r y , a n dt h ep o t e n t i a le n e r g yp r i n c i p l e , t h e c o m p l e m e n t a r ye n e r g yp r i n c i p l ea n dt h ec o m p l e m e n t a r ye n e r g yp r i n c i p l ef o rl a r g ee l a s t i c d e f o r m a t i o np r o p o s e db yg a o ，y cu s i n gt h ec o n c e p to fb a s ef o r c e s ，t h r e ek i n d so ff i n i t e e l e m e n tm e t h o d sa r es t u d i e d ，a n dt h em a i nr e s e a r c hw o r k sa r ea sf o l l o w s ( 1 ) b a s e do nt h ee x p l i c i te x p r e s s i o no fe l e m e n ts t i f f n e s sm a t r i xa n dp o t e n t i a le n e r g y p r i n c i p l eg i v e nb yg a o ，y cu s i n gt h eb a s ef o r c e s ，t h ef i n i t ee l e m e n tf o r m u l a t i o ni se s t a b l i s h e d t w on e wf i n i t ee l e m e n ta p p r o a c hp r o g r a m sa r cd e v e l o p e db ym a t l a bt e c h n o l o g ya n d f o r t r a nt e c h n o l o g yr e s p e c t i v e l y , a n dt h ec o d ef o rm a k i n ga r b i t r a r yf e mm e s h e si s d e v e l o p e da l s o t h en e wa p p r o a c hi su s e dt os o l v es e v e r a lp r o b l e m so f l i n e a re l a s t i c i t yt h e o r y t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r ec o n s i s t e n tw i t ht h o s eo f t h et h e o r e t i c a ls o l u t i o n s ( 2 ) b a s e do nt h ee x p r e s s i o no fe l e m e n tc o m p l i a n c em a t r i xb yg a o ，y cu s i n gt h eb a s e f o r c e s ，t h ef u r t h e re x p r e s s i o no fe l e m e n tc o m p l i a n c em a t r i xf o ra r b i t r a r yf e mm e s h e si s d e r i v e di nt h i sp a p e r 。t h ef e mc o n t r o le q u a t i o ne x p r e s s e db yt h eb a s ef o r c e si so b t a i n e d u s i n gl a g r a n g em u l t i p l i e rm e t h o do ft h eg e n e r a l i z e dc o m p l e m e n t a r ye n e r g yp r i n c i p l e ，a n dt h e d i s p l a c e m e n t sf o r m u l a t i o no fn o d a lp o i n ti sg i v e n ak i n do fa r b i t r a r yp o l y g o n a le l e m e n t h a v i n gn o d a lp o i n t so nc e n t e r so f s i d e si sp r o p o s e d a n e wf i n i t ee l e m e n ta p p r o a c hp r o g r a mi s d e v e l o p e db ym a t l a bt e c h n o l o g y , a n dt h ec o d ef o rm a k i n gt h i se l e m e n tm e s h e si s d e v e l o p e da l s o t h em e t h o di su s e dt os o l v es e v e r a lp r o b l e m so fl i n e a re l a s t i c i t yt h e o r y , a n d t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r ec o n s i s t e n tw i t ht h o s eo f t h et h e o r e t i c a ls o l u t i o n s ( 3 ) b a s e do nt h ec o m p l e m e n t a r ye n e r g yp r i n e i p l ef o rl a r g ed e f o r m a t i o nc a b yg a o ，y c ， t h ec o m p l e m e n t a r ye n e r g yi sd e c o m p o s e di n t od e f o r m a t i o np a r ta n dr o t a t i o np a r t u s i n g l a g r a n g em u l t i p l i e rm e t h o d , a 玎e 、 rf i n i t ee l e m e n tf o r m u l a t i o no fc o m p l e m e n t a r ye n e r g y p r i n c i p l ef o rt h ep r o b l e mo fl a r g ed i s p l a c e m e n t s ，l a r g er o t a t i o n , s m a l ls t r a i n si so b t a i n e d a l l f f wf i n i t ee l e m e ma p p r o a c hp r o g r a mf o rt h i sp r o b l e mi sd e v e l o p e db ym a t l a bt e e b a x o | o g y t h em e t h o di su s e dt os o l v es e v e r a lp r o b l e m so fg e o m e t r i c a l l yn o n l i n e a r , a n dt h en u m e r i c a l r e s u l t sa r ec o n s i s t e n tw i t ht h o s eo f t h et h e o r e t i c a ls o l u t i o n s i nt h i sp a p e r , t h ea p p l i c a b i l i t yo fs t i f f n e s sa n dc o m p l i a n c em a t r i c e so ft h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o da n dt h ev a l i d i t yo f t h ec o m p l e m e n t a r ye n e r g yp r i n c i p l ef o rl a r g ed e f o r m a t i o ne a s eb y g a o ，y ca t ed e m o n s t r a t e d ，t h ea p p l i e dr e s e a r c h e ss h o wt h a t t h i sm e t h o di ss i m p l ea n d e f f e c t i v e t h em e t h o di sn e wi d e ao f f e m 。a n di th a sw i d e l ya p p l i c a t i o ne x t e n s i o n 【k e yw o r d s b a s ef o r c e s ；p o t e n t i a le n e r g yp r i n c i p l e ；c o m p l e m e n t a r ye n e r g yp r i n c i p l e ； e l e m e n ts t i f f n e s sm a t r i x ；e l e m e n tc o m p l i a n c em a t r i x ；l a g r a n g em u l t i p l i e rm e t h o d ；f i n i t e e l e m e n t i i 独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行的研究工作所取得的成果。除了文中已经标明引用的内容外，本论 文中不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的研究成果。对本论 文研究做出重要贡献的个人或集体，均已在文中以明确的方式表明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 扔一f 2 2 0 0 6 年5 月 第l 章绪论 1 1 课题的背景和意义 第l 章绪论d 1 i 1 背景l 一弹性大变形有限元法基本方程的描述体系和进一步研究 的意义 有限元法( f i n i t ce l e m e n tm e 吐i o d s ) 是计算力学的重要分支，是一种将连续体离散 化以求解各种力学问题的数值方法。1 9 6 0 年c 1 0 u g h 首先使用了。有限单元法”这一名 称。现在，有限元法已经成为处理力学、物理、工程等计算问题的有效方法之一瓯3 1 有限元的理论和方法发展到今天，人们不再满足于仅仅采用常规的位移协调元方法 “哪。1 9 6 0 年代发生发展起来的菲协调元、杂交元和混合元在实践中日益显示出巨大的 优越性和发展的潜力，近年来成为力学界、工程界和数学家们的一个中心议题。在这个 领域里，人们面临的一个主要困难是多变量非协调元解的可靠性( 即解的唯一存在性、 收敛性和对计算背景变化的适应性等) 闯题，既有理论方面的障碍，更有如何把理论付 诸实现的困难，国际上流行的非协调函数多是靠经验拼凑出来的，上述方法距工程界 可以直接掌握的力学工具仍有相当的差距。 近年来工程与材料科学的迅速发展对数值模型的可靠性和非线性行为提出了新的 更高的要求，全面优化单元的数值性能的问题提出来了。目前非协调元在线性领域的应 用已获得很大的成功，吴长春等建立了一个生成非协调元形函数的一般公式阢町，发展了 基于位移模式的q 6 元及q 惦元咖，基于各种杂交模式的非协调元等呱。但是，非协调 元在非线性领域的应用由于受到各种因素的制约，远没有在线性领域的应用成熟“习，目 前仍是国际计算力学界研究的热点问题“1 。 此外，由于上述的有限元方法均是采用传统二阶应力张量的描述体系，因此在这种 理论框架下，建立和表述弹性大变形问题的数学模型较为复杂繁琐，寻求新的突破较为 困难。 在弹性大变形理论研究方面：弹性大变形理论是弹性力学的一个分支，一般又称为 有限变形理论。由于其描述的是自然界普遍存在的一类非线性现象，而且这一理论在工 程实践中有着广泛的应用前景，所以它的理论研究一直受到力学界和工程界的重视 1 ) 国家自然科学基金( 1 9 5 7 2 0 0 1 ) 和教育部高等学校博士学科点专项科研基金( 约0 4 0 ) 资助项且 北京交通人学i ：学博十学位论文 有限变形理论经历了漫长、曲折的发展过程，它是与理性力学的发展联系在一起的。 近代的大变形弹性理论己由g r e e n ，郭仲衡和o g d e n 等人建立了基本框架恤侧，但由 于符号复杂高度非线性，运算困难，因而不适应用。 近十几年来，g a o ，y c 的工作给出了弹性大变形新的描述方法m ，建立了两种典型 本构关系“删，并解决了一系列带有奇异点的代表性问题“”。 然而o a o ，y , c 所给出的描述方法( 基面力) 仍不能适应工程问题的具体需要，原因是 其中包含着物理与几何双重非线性，而且着眼于大应变情况，仍太复杂。另一方面，工 程中遇到的常常仅是几何非线性问题，而且是小应变大位移情况。这样就需要一种更简 化的理论，它将针对梁、板、壳问题，并解决有限元的需要。诚然，梁、板壳的大挠度 理论已经存在多年，但这种理论因受老的观念的局限，因而寻求进一步的发展较为困难。 本课题的主攻关键就是采用g a o ，y c 的基面力的概念，针对适于工程应用的弹性大 变形理论进行进一步探索，建立和完善基面力的描述体系和理论体系，利用数值分析手 段对新的基面力理论，特别是对g a o ，y c 最新提出的单元刚度矩阵精确表达式、单元柔 度矩阵精确表达式，以及g a o ，y c 最新提出弹性大变形余能原理进行较系统的研究讨 论，并利用这些基面力的最新理论，研制相应的基面力势能原理、余能原理和几何非线 性有限元软件。 因此，本课题的研究工作具有理论意义和工程应用价值。 本课题得到国家自然科学基金( 1 9 5 7 2 0 0 1 ) 和教育部高等学校博士学科点专项科研 基金( 2 0 0 3 0 0 0 4 0 0 3 ) 的资助。 1 1 2 背景2 交分原理的的研究和迸一步研究的意义 有限元法与变分原理之间有着密切的关系。能量变分原理是有限元的基础。h e l l i n g c r 在1 9 1 4 年第一个成功将变分原理应用于弹性力学问题的研究，不过当时他的工作并未 引起人们的注意。直到1 9 5 0 年r c i s s n c r 【7 * j 做了相似的工作，再加上计算技术的发展，人 们才开始在这方面有了进一步的认识。h e l l i n g e r 和r e i s s n e r 所作的工作就是著名的 h e l l i n g e r - r e i s s n e r 混合变分原理。 而h uh a i c h a n g ”“埘( 1 9 5 4 ) 和w a s h i z u 呻删( 1 9 5 5 ) 进一步提出了位移、应力和应变三 个独立的场变量的变分原理，即h u - w a s h i z u 三类变量变分原理。 此外，钱令希m 1 ( 1 9 5 0 ) 研究的余能原理，从理论上和应用上为研究广义变分原理 奠定了基础。钱伟长蚴倡导l a g r a n g e 乘子法，为建立各个学科领域的广义变分原理提供 了一个有效方法。 此后人们又进一步研究了弹性力学及弹塑性力学的广义变分原理侧，随着一些应 用数学家、力学家和工程师对弹性力学能量变分原理研究，以及电子计算机的广泛应用 和发展，人们开始用变分原理作近似计算，这其中运用最为成功的便是有限单元法。 2 第l 章绪论 有限元的成功激起了人们对弹性力学变分原理的研究，然而在过去的几十年中，人 们对小变形问题的余能原理进行了深入的研究，弹性大变形问题的余能原理的恰当形式 却还没有被很好的建立通过回忆可以发现，在力法出现以前，n a v i e r 在1 8 2 7 年就提 出了基于势能原理的位移法，但由于计算技术和手段的限制始终未能得到广泛的应用。 而后在1 8 7 3 年和1 8 8 9 年，c a s t i g l i a n o 和e n g e s s e r 提出了基于余能原理的力法，这种方 法得到极其广泛的应用。直到2 0 世纪6 0 年代，由于计算技术和计算机的发展，人们才 开始“偏爱”的矩阵位移法，相比之下的力法就不受重视了。那么随着今后技术的发展， 这种情况是否会再次发生逆转，这一点值得人们去探索。因此对余能原理的迸一步研究 是有价值的。 对弹性大变形余能原理做出最初贡献的是h e l l i n g e r 。在小变形假设前提下，余能原 理仅将应力分量作为独立变量，在总势能原理中汉有位移是独立变量。然而如果有大旋 转存在，这种良好的对称性将被打破。r e i s s n v r 在1 9 5 3 年阐述了以k i r e h h o f r 应力张量 为变量的余能原理，这一原理在有限变形力学中得到了广泛的研究”但是 h e l l i n g e r - r e i s s n e r 原理既包含未知位移也含有第二类h o l a - k i r c h h o f f 应力，同时含有两 类未知变量，因此不被认为是纯粹的余能原理。此外它的极值性问题也一直未能很好的 解决，仅被看成是一个驻值的理论，并且还产生了很多的争论。 正如l 既t i n s o l l m l 指出的，利用第二类p i o l a - - k i r c h h o f f 应力作为基本未知量，不可能 建立起大变形余能原理并使之与小变形情况一致其原因是，公式中包含一个很讨厌的 项，它由应力及位移梯度的二次方组成。进一步，l e v i n s o n 给出了一个大变形余能原理， 他采用了第一类p i o l a - - k i r c h h o f f 应力为基本未知量然而，l e v i n $ o n 未证明这类应力 的共轭量，即位移梯度，可以唯一地通过该应力表示出来。o g d e n 嘲讨论了这种逆表示 的唯一性并给出了若干限制条件。但是这些限制条件是不正确的g a o 和s t r a n g t ”j 讨论 了l v v i a s o n 称之为讨厌的一项，并且称它为“裂隙函数”其后，在文献【9 4 】中，将“裂 隙函数”通过第一类和第二类p i o l a - - k i r c h h o f f 应力表示了出来，从而得到了所谓的“纯 余能原理”然而，该原理中包含着第二类p i o l a - - k i r c h h o f f 应力的逆，这是很难求得的。 此外，c r a o 的余能公式与线弹性情况不相似。f r a 西j sd ev e u b e k e 嘲基于极分解方法给出 一个余能原理。但它仍然不是纯余能原理这样，大变形余能原理仍是未解决的问题。 还有其他许多学者对余能原理及其应用进行了深入的研究阱 g a o 。y c 队7 司也对弹性大变形的余能原理进行了深入研究，他利用“基面力”作为 描述弹性系统应力状态的基本变量，其共轭交量是位移梯度，通过极分解定理可以将位 移梯度唯一地分解为旋转与变形两部分。由本构方程和力平衡方程及力矩平衡方程，可 以由基面力来表示位移梯度的旋转和变形这两部分，从而建立了弹性大变形的纯粹余能 原理。 本课题将利用数值分析手段对基面力表示的势能原理和余能原理，特别是g 。y c 提出的弹性大变形余能原理进行研究讨论，以验证其正确性和可行性。本项研究工作将 3 北京交通人学i ：学博十学位论文 对变分原理，特别是弹性大变形余能原理的进一步发展具有理论意义和应用价值。 i i 3 背景3 一有限元方法的研究和进一步研究的意义 从应用数学的角度来看，有限元法的基本思想可以追溯到c o u r a n t 在1 9 4 3 年的工作。 他首先尝试应用在一系列三角形区域上定义的分片连续函数和最小势能原理相结合，来 求解s t v e n a n t 扭转问题。此后，不少应用数学家、物理学家和工程师分别从不同角度 对有限元法的离散理论、方法及应用进行了研究。随着电子计算机的广泛应用和发展， 有限元法的发展速度才显著加快。 t u r n e r 。c l o u g h 等人“”1 在1 9 5 6 年分析飞机结构时将矩阵位移法推广应用于弹性力 学平面问题，第一次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。1 9 6 0 年c l o u g h 迸一步处理了平面弹性问题，并第一次提出“有限单元法”的名称。 f r a e i j sd ev e u b c k e “嘲在1 9 6 4 年将变分原理用作有限元基础建立了平衡元：卞学镄 ”州( 1 9 6 4 ) 建立基于多场变分原理建立了杂交元( 某些场变量仅在单元交界面定义) 的表达式；t o n g “删提出了杂交位移元表达格式；w i l s o n “州等提出了非协调位移元表达 格式。h e r r m a n n ”( 1 9 6 5 ) 用h e l l i n g c r - r e i s s e r 变分原理建立起混合型( 单元内包括多 个场变量) 的有限元表达格式：唐立民等“”3 提出的拟协调元；钟万勰等”研究的理 性有限元；龙驭球等“旧研究的广义协调元和分区混合元，等等。 对应不同的变分原理，人们研究出不同的单元： ( 1 ) 协调位移元( 采用在单元间精确协调的位移试函数) 最小势能原理； ( 2 ) 非协调位移元( 采用在单元间不精确协调的位移试函数) 分区势能原理： ( 3 ) 广义协调位移元( 采用在单元问广义协调的位移试函数) 分区势能原理 的退化形式； ( 4 ) 应力杂交元( 采用应力试函数，满足平衡微分方程) 嘬小余能原理； ( 5 ) 混合元( 采用混合试函数，含位移、应力和应变) 广义变分原理； ( 6 ) 分区混合元( 部分单元采用位移试函数，其余单元采用应力试函数) 吩 区混合能量原理。 本课题将对基面力表示的势能原理和余能原理，特别是g a o ，y c 堤出的弹性大变形 余能原理进行研究讨论，研制新型的、基于基面力概念的势能原理有限元程序、余能原 理有限元程序和余能原理几何非线性有限元程序。本项研究工作将对有限元法的进一步 发展具有理论意义和应用价值。 1 2 基面力概念及其理论研究概述 在文献 3 9 ，4 0 q ，c r a o , y c 提出一个描述应力状态的新概念一“基面力”，它远较 传统的应力张量简单，并且解决了一系列难以解决的具体问题“删。 4 第l 章绪论 利用基面力，各种应力张量都可以由表征位移的协变矢基的并矢来表示可以得 到弹性力学基本方程( 平衡方程、边界条件、本构关系) 的简洁表达式。在研究物体 的力学行为。特别是大变形的分析中，基面力具有传统的二阶应力张量无法比拟的优 越性，提供了一个很好的分析工具。 基面力的优越性不仅表现在将繁冗公式的推导简化4 e 3 、给出有限元刚度阵简洁 的表达式，也表现在建立大变形余能原理方面m 。“ 1 2 1 基面力r 的定义及功用 考虑三维弹性体区域，q 表示变形后的径矢，r o = 1 , 2 ，3 ) 表示l a g r a n g e 坐标，则变 形后的坐标标架随“”为 2 = 等 ( 1 2 1 ) 为了描述q 点附近的应力状态，在向量凼1q l ，d r 2 q 2 ，d r 3 q 3 上作一个平行六面体 微元，出1q l ，, i x 2 9 2 ，凼3 幺所对应的面上的力记为d f ，d t 2 ，d t 3 ，如图1 1 所示， 并做如下定义 1 ” r 。2 赤打，矗_ o ( 1 2 2 ) 这里约定3 + 1 = 1 ，1 - 1 = 3 。 上式中，t ( f = l ，2 3 ) 称为坐标系一中q 点的基面力。 q l 打1 图1 1 基面力 f i g 1 1b a s ef o r c e s 北京交通人学i ：学博十学位论文 为了说明r 的作用，作一个外法线为n 的任意平面万与坐标轴在d x 。( f = 1 , 2 ，3 ) 处相 交，如图1 2 所示。 珐 图1 2 四面体上的力 f 嘻1 2 f o r c 髑o nat c t n a h e d r o n 由三个坐标面与平面万所围成的四面体侧面上受的力向量为一r 凼”出“1 ，2 ，而在 半衄万上受的力同重以d s a ”表不这里d s 为平曲窟的曲积，盯”为7 上的压力同量。由 四面体的平衡条件，并考虑式( 1 2 2 ) ，可得 仃”西= 三出饼疵3 ( 刍九壶n 万1 ，) m 2 若以嚣矿表示四面体的体积，d n 表示从点q 到平面石的垂线长度，财 d v = 吉出1 出2 出= 砌，嘏 ( 1 2 - 4 ) 式中为x 。系统的基容。 = 娩，q ：，q ，) ( 1 2 5 ) 由方程( 1 2 3 ) 和( 1 2 。4 ) ，可得 儿瓦ir 毒 ( 1 2 6 ) 玩 缸 、 注意，这里有 熹= q f 忭 ( 1 2 7 ) 缸 ， 、7 则式( 1 2 6 ) 可写为 2 玄r q 0 2 名 r “ 6 第1 章绪论 方程( 1 2 8 ) 表明，基面力可以给出一点应力状态的完整描述。 任意方位的平面上的应力矿可由其法向量一与c a u c h y 应力张量盯点乘得到臼町，即 o - 。= 仃矗 ( 1 2 9 ) 故基面力r 与c a u e h y 应力张量盯的关系有 弘去r 。q f ( 1 2 1 0 ) 以基面力为基本量，可建立平面问题和空间问题的本构关系、平衡方程及边界条件， 给出新的应力状态的描述方法，可取代传统的二阶张量。 为了进一步解释基面力r 。的含义，令一表示第i 个坐标面上的应力，根据式( 1 2 2 ) ， 得 t = 彳。盯。 ( 1 2 1 1 ) 其中 a = i 色“仍一t l 彳被称为基面积，在式( 1 2 1 1 ) 中因为f 处在相同的水平上， 面体单元，如图1 1 所示，力矩平衡为 一a = 0 当势能给定时，此条件应自动满足。 1 2 2 基面力r 表示的弹性定律 ( 1 2 1 2 ) 不求和。考虑一个平行六 ( 1 2 1 3 ) 传统的弹性定律给出应力张量和应变张量之间的关系。现在，给出一种新的弹性定 律，直接建立基面力和位移梯度口的关系为此，须首先给出变形前单位质量的应 变能函数，设其为g r e e n 应变g 的函数，即矽= w ( 6 d 。 令p 和q 分别表示一物质点变形前和变形后的矢径。口为位移，只和q 分别为变 形前和变形后的矢基，为位移梯度，则 矗= q p ，= 百o u = q ：一只 ( 1 2 1 4 ) i r 则 7 北京交通人学i ：学博十学位论文 g = j 1 ( 。p + p 。p 珥+ q 口j p 。p ) ( 1 2 1 5 ) 其中p 是只的共轭基，因此形是口，的函数。 矽= 矿“) 则基面力为溉枷 ( 1 2 1 6 ) 碱署= p o v , a 哟w ( 1 2 1 7 ) 式中风为变形前的物质密度；p 为变形后的物质密度；砟为变形前的基容 咋= ( 只，最，只) 1 2 3 基面力r 表示的平衡方程和边界条件 ( 1 2 1 8 ) 静力问题，平衡方程可以写为 参r + p ，= 。或昙r + v ，p o f = 。 ( 1 2 1 9 ) 式中，为单位质量的体力。 如图1 3 所示的物质区域，瓯为给定位移脚的边界，岛为给定面力的边界。边界条 件可以写为 图1 3 各种边界条件 喀1 3 d i f f e r e n tb o u n d a r i e s 式中面为给定位移；萨为当前边界上给定的面力；一为当前面& 的法线。 应力边界条件( 1 2 2 1 ) 同时可以写为魄枷 8 ( 1 2 2 0 ) ( 1 2 2 1 ) t & 趴 在 在 瓦 一 吣 一 第l 章绪论 石1r 化+ 胁) 2 古r 。2 氓，在& 上 ( 1 2 2 2 ) 式中肘为变形前应力边界的单位法矢量；瓦变形前应力边界上的面力。 1 3 本文的研究内容 本课题的主攻关键就是采用g a o ，y c 的基面力的概念，针对适于工程应用的弹性大 变形理论进行进一步探索，建立和完善基面力的描述体系和理论体系，利用数值分析手 段对新的基面力理论，特别是对6 a o ，y c 最新提出的单元刚度矩阵精确表达式、单元柔 度矩阵精确表达式，以及6 a o ，y c 最新提出弹性大变形余能原理进行研究和讨论，并 利用这些基面力的最新理论，研制相应的基面力势能原理、余能原理和几何非线性有限 元软件。 本课题的研究工作内容涉及连续介质力学、变分原理、基面力理论，以及有限元技 术和现代编程技术。 一 第1 章绪论 对弹性大变形理论、变分原理、基面力理论，以及有限元方法的研究历史和现状进 行综述，为开展本课题的研究奠定理论基础和技术准备。 第2 章基面力有限元方法的基本公式 建立了基于基面力概念的小变形问题及弹性大变形问题的基本方程。针对新型有限 元方法所需的基本公式、基本力学量进行了讨论，并给出了较详细的推导过程。本章的 研究工作将为第3 章基于基面力概念的势能原理有限元方法的研究；第4 章基于基面力 概念的余能原理有限元方法的研究；第5 章基于基面力概念的余能原理几何非线性有限 元方法的研究奠定理论基础。 第3 章基于基面力概念的势能原理有限元方法 利用连续介质力学基本理论和已有的有限元技术，在基于“基面力”概念的势能原 理新型有限元方法方面，以及新型有限元程序研制方面进行了探讨和较细致的研究工 作；对g a o ，y c 刚度模型的可行性进行了评价；推导出基面力势能原理有限元列式；研 制出基面力势能原理有限元f o r t r a n 软件和姒t l a b 软件，以及任意多边形单元网格剖 分f o r t r a n 软件；为了保证本文软件程序的正确往，作者对程序进行了分段考题工作， 限于论文篇幅，这里没有列出考题算例；较系统地研究了g a o ，y c 刚度模型对三角形单 元网格、三角形四边形混合单元网格、规则四边形单元网格、不规则四边形单元网格、 五边形单元网格，以及任意多边形单元网格的适用性进行了探讨，得到了大量的研究数 9 北京交通人学r = 学博十学位论文 据，验证该模型可行性，找到了g a o ，y c 刚度模型的应用规律。通过本章的工作，将 g a o ，y c 数学模型进一步变为有限元法的具体运用，形成了一种新型的、有一定特色势 能原理有限元算法。 第4 章基于基面力概念的余能原理有限元方法 放弃了传统余能原理有限元的描述方法，采用g a o ，y e 柔度模型，给出了一种基于 基面力概念的新型余能原理有限元方法；在算例中，把它应用于经典的平面弹性理论问 题，得到满意的结果；在基于“基面力”概念的余能原理新型有限元方法方面，以及新 型余能原理有限元程序研制方面进行了探讨和较细致的研究工作：对g a o ，y c 柔度模型 的可行性进行了评价；利用基面力概念，推导了任意形状有限元网格都可以使用的统一 的柔度矩阵直接表达式的具体形式；运用广义余能原理中的l a g r a n g e 乘子法，推导出 以基面力为基本未知量的余能原理有限元法的支配方程；研制出基面力余能原理原理有 限元m a t l a b 软件，以及研制出可以剖分具有边中节点的任意多边形单元网格的 f o r t r a n 软件；在软件的研制过程中，作者对软件中的各程序段进行了分段考核，从 而保证了程序的顺利调通，限于文章篇幅，没有列出考题算例；给出基面力余能原理原 理有限元方法的节点位移表达式：较系统地研究了g a o ，y c 柔度模型对四边形单元网 格、任意凸多边形单元网格和任意凹多边形单元网格的适用性，得到了大量的研究数据， 并将数值结果与理论解及势能原理有限元的结果进行了对比分析，验证了该模型可行 性，找到了g a o ，y c 柔度模型的应用方法，从而形成的一种新型的余能原理有限元方法。 第5 章基于基面力概念的大变形余能原理有限元方法 基于基面力的概念，将弹性大变形问题的余能分解为变形部分和转动部分，推导出 单元的余能表达式的具体形式，运用广义余能原理中的l a g r a n g e 拉格朗日乘子法，得 到以基面力为基本未知量的余能原理有限元法的支配方程；研制出相应的几何非线性有 限元分析m a t l a b 程序，并运用于解决梁的弹性大位移、大转动问题，数值解与理论解 相吻合，从而验证了6 a o ，y c 弹性大变形余能原理和基于该余能原理的有限元分析程序 的正确性和可行性。 第6 章结论及展望 对论文的研究工作进行了全面总结，指出了今后进一步的工作内容和努力方向。 1 0 第2 章基面力有限元方法的基本公式 2 1 引言 第2 章基面力有限元方法的基本公式 本章在第1 章讨论的基面力概念的基础上，将建立基于基面力概念的线弹性有限元 方法和弹性大变形有限元方法所需的基本方程。 首先推导出位移表示的应变张量表达式、基于基面力概念的应力张量表达式，然后 推导了线弹性应变能密度及线弹性余能密度表达式，最后对弹性大变形势能原理及余能 原理的基本公式进行了推导。 2 2 位移表示的应变张量表达式 2 2 1 应变张量的表达式 考虑三维弹性体区域，和q 分别表示变形前后物质点的位置矢量，一( i = 1 ，2 ，3 ) 表示物质点的l a g r - d n g e 坐标，则变形前后的坐标标架，即矢基为溉“” 只= 等，q i - = 詈 ) 位移为 t = q - p ( 2 2 2 ) 位移梯度为 = i a u 了= q ，一只 ( 2 2 3 ) p 和q 都是协变矢量组，而其共轭基和q 均为逆变矢量组。按张量合成法则， 利用q 和可以构成一个二阶张量，即变形梯度张量f f = q 圆p 。 ( 2 2 4 ) 变形梯度张量f 可以充分反映出任意一点附近的变形状态，但是，通常是不对称 的。为了使用方便，通常由，造出几种对称张量，如 g = f 7 f ( 2 2 5 ) 北京交通人学i ：譬博十学能论文 c = f f 7 ( 2 2 6 ) g 称为g r e e n 应变张量，c 称为c a u c h y 应变张量。 将f = q 。o p 。代入式( 2 2 5 ) ，则g r e e n 应变张量g 可表示为 g = ( q ，o p 厂( q ，固p ，) ( 2 2 7 ) 这里应注意的是，并矢的转置存在下面关系“”3 娩o p ) r = p o q ，( 2 2 8 ) 故 g = p 。q ) ( q j 圆) ( 2 2 9 ) 根据并矢的缩并规则，则g 的表达式可写为 g = ( q ，q ，) p 。p j ( 2 2 1 0 ) 同理，对c a u c h y 应变张量c ，可将f = qo p 代入式( 2 2 6 ) ，则c a u c h y 应变张 量c 可表示为 c = ( q ，固p ) 包o p 7 r ( 2 2 1 1 ) 根据并矢的转置关系m ”，有 ( 1 2 i 圆pj 、l = p i 。g j q 2 1 2 ) 故 c = 娩。，) ( p 70 9 j ) ( 2 2 1 3 ) 根据并矢的缩并规则，则c 的表达式可写为 c = c p ，。娩p g j ( 2 2 1 4 ) 这里应指出的是，应变张量g 及c 虽然可以作为变形的表征量，但当变形为零时 它们并不等于零。g 或c 与单位张量u 之差才能真正代表形状的改变。令 = 妻 一，) ( 2 2 1 5 ) = 妻 一) ( 2 2 1 6 ) 式中称为g r e e n 有限应变张量( 或l a g r a n g e 有限应变张量) ；岛称为a l m a n s i 有限应 变张量( 或e u l e r 有限应变张量) 。 2 2 2 位移表示的g r e e n 有限应变的张量表达式 下面将g r e e n 有限应变张量8 。用位移表示： 第2 章基面力有限元方法的基本公式 利用g i n 应变张量g 的表达式( 2 2 1 0 ) ，并注意单位张量u = 只固p = p o 只， 则应变的表达式( 2 2 1 5 ) 可写为 = 圭陋蜴) p 。肚只。p 】 又注意到 q f = q + 只，q j = 口，+ 只 故可得 即 = 兰舭+ 只) o ，+ 巴p 固儿只。p ， = 吾l “乃+ 毋吩+ q 一+ 只弓) p 。固p 一g 。p 。】 下面将上式进一步简化。为此可令 p i p i = p4 p “p i = p 根据下面条件 ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) 只p 7 = s ( 2 2 2 2 ) 式中彰为k r o n e e k e r 符号，当i = ，时取值l ，f 时取值零。 矢基p 可由表示出来，即 p = 矿p j 现迸一步以足点乘上式，于是有 忍= p ，眈只) 由式( 2 2 2 1 ) ，可得 又根据两向量点积的交换律 再根据式( 2 2 2 2 ) ，可得 p i p k = p m p i p i = p k p l ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) c 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) b p 。= ( 2 2 2 7 ) 将式( 2 2 2 3 ) 代入式( 2 2 2 7 ) ，并考虑到式( 2 2 2 5 ) ，可得 p p # = 6 ： 将式( 2 2 2 3 ) 的两端乘以乃，可得 p p = 矿p ，p | 由式( 2 2 2 8 ) 可得 ( 2 2 2 8 ) ( 2 2 2 9 ) 北京交通人学1 ：学博十学位论文 p o p 口= 1 ( 2 2 3 0 ) 因此，可以得到 巴= p ，p ( 2 2 3 1 ) 从以上分析可以看出，p 与地位是对等的，它们互为共轭。 因此，利用式( 2 2 2 1 ) ，可得 钯只) p 。p 7 = 矾p 。p ， ( 2 2 3 2 ) 在利用式( 2 2 3 1 ) ，使上式变为 诤? p 沁固pj = p j s p j q 。2 3 3 ) 因此，式( 2 2 2 0 ) n - 进一步写为 ；委【( 正只+ 只_ + 1 1 且，) p 。p ，+ 髟。p ，一只固p 】 ( 2 2 3 4 )