（固体力学专业论文）压电热弹性理论中的若干问题.pdf

浙江大学博士学位论文 摘要 压电材料在工程技术和科学研究中有着广泛的应用，在2 0 种压电晶体中， 有l o 种晶类具有热释电效应，热效应对压电材料结构的影响可分为三种：1 由 于结构中各种材料的热膨胀系数不同引起的热应力。2 热电效应，即温度变化 与电位移量互相耦合。3 材料的弹性、压电、介电常数依赖温度，甚至在不 同温度，晶体类型会改变。研究表明当压电复合结构工作在温度变化显著的环 境中时结构的响应特性和总体性能会受到很大影响，所以压电热弹性的研究 有重要的理论和工程意义。 7 本文首先评述了压电热弹性理论的研究现状，介绍了压电热弹性和广义压 电热弹性理论基本方程的导出，并对压电热弹性问题做了分类。然后分别研究 了静力问题、拟静态问题、耦合振动和瞬态响应问题以及压电热弹性问题的拉 氏变换型变分原理。 导出了三维横观各向同性压电材料压电热弹性动力学问题的一般解，当忽 略惯性项时，退化得到了拟静态问题的一般解。本文给出的拟静态一般解和 a s h i 血的解形式相似，但推导过程简单、严谨，不出现积分运算，因此更便于 应用。利用这个一般解，借助于积分变换啾e l 变换和f o u r i e r 变换) ，给出 了热电材料半空间表面受热问题的精确解。对于准静态问题，利用本文提出的 一般解，借助有限f 0 u f i e r 变换，求解了热电材料矩形板在周边边界条件为广 义简支和广义刚性滑动两种情形下表面受热的拟静态问题，得到了三维精确解。 从耦合的三维压电热弹性理论出发分析了横观各向同性热电材料简支矩形 板的自由振动，证明其存在两类振动，即解耦的第一类振动和耦合的第二类振 动。给出了热电材料简支矩形板自由振动的三维精确解。采用m o n t ec 列。法 克服了超越方程求复根的困难，对于p z t - 4 矩形板给出了数值结果。用绝热处 理的方法研究了耦合效应对热电材料圆柱壳振动频率的影响，计算了不同电学 边界条件下、不同厚径比时振动频率的变化情况。 研究了热电材料圆柱的瞬态压电热弹性响应问题，应用b e s s e l - f o u r i e r 级数 展开和拉氏变换方法成功地求得了该问题的解析解，此解有助于研究瞬态响应 问题中耦合效应对应力、位移和电势等物理量分布的影响以及惯性项的作用等 问题。 应用有势算子理论导出了耦合压电热弹性问题的拉氏变换型变分原理，为 今后开展数值计算工作做了必要的准备。 最后对全文做了总结，并指出了需要迸一步研究的几个问题。j 浙江大学博士学位论文 a b s t r a c t p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sh a v eb e e nw i d e l yu s e di n e n g i n e e r i n g a n ds c i e n c e r e s e a r c h ( 玎船e i l t vp i e z o e l e c t r i cc r y s t a l s ，t e no ft h e me x l l i b i tp y r o e l e c t r i c e 丘宅c t t h e m a le f r e c t sb e c o m ei m p o r t a n tw h e nt h ep i e z o e l e c t r i cs t r u c t u r e sh v e t oo p e r a t ei n e “h e re ) 【t r 啪e l vh o to rc o l de n v i m 咖e n t st h e s e 吐r e m ec o n d i t i o n sm a ys e v e r e l y a f f b c tt h er e s p o n s eo fp i e z o e l e c t n cs t m c t u r e si nt h r e ed i s t i n c tw a y s ：1 ) i n d u c t i o no f t h e m a ls t r e s s e sr e s u l t i n gf m md i 何奄r e n c e si nt h ec o e 丘c i e m so ft h e 咖a le x p a n s i o n b e t w e e n 恤ev 耐o u s c o m p o s i t ep l i e s a n d p i e z o e l e c t r i cl a v e r s ，2 )p y r o e l e c t r i c p h e n o m e n a ( i e ，c h a n g e si nt h ee l e c t r i c a ld i s p l a c e m e m sa r i s i n g 台d mt h ec o u p l e d e l e c t n c a la n dt b e 珊a lb e h a v i o ro ft h ep i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ) ，a n d3 ) t e m p a 伽r e d e p e i i d e n c eo ft l l ee l a s t i c ，p i e z o e l e c t r i c ，a n dd i e l e c t r i cp r o d e r t i e s ，o re v e nc h a n g eo f c r y s t a lc l a s sa td i 丘b r e mt e m p e r a t u r e s ni sk n o w nt h a tt e m p 咖r ev a r i a t i o nc a i l s j g i l i f i c a m l vc h a i l g et h es e n s i n ga n dc o n t r o ld e f f b m a n c eo fd i s 证b u t e dp i e z o e l e c t r i c t m s d u c e r s ni sa l s ok n o 姗t h a tp i e z o e l e c m cc o m d o s i t es t n l c t u r e sl l a v ed i 丘色r e m r e s p o n s ec h a r a c t 耐s t i c s a td i 丑e r e m t e m p e r a l u r e st h e r d b r e ， t h e s t u d vo f p i e z o t h e r m o e l e c t r i c i t vi sn o to m vt h e o r e t i c a l l vi m p o r t 踟1 tb u ta l s os i 窖i l i f i c a mf o r e n g i f i r i n ga p p l i c a t i o n i nt 圭l i sd i s 眈r t a t i o 玛r e s e a f c ho np i e z o t h e 锄o e l a s t i c i t yi sr e v i e w e di nd e t a i la tf i r s t t h ed e r i v a t i o n so ft h eb a s i c e q u a t i o n s f o r p i e z o t h e r m o e l a s t i c i t vt h e o r va n d g e n e r a l i z 酣p i e z o t h 咖o e l a s t i c i t yt h e o r y a r e p r e s e m e d柚dp i e z o t h e 兀i l o e l a s t i c p r o b k m s 盯ec l a s s i f i e d a c c o r d i n g t ot h e i rc h a r a c t e r i s t i c s t h e n ，s e v e r a l p i e z o t h e r 埘d e l a s t i cp r o b k m sa r ea d d r 弓s s e d ，i n c l u d i n gs t a t i cp r o b l 锄s ，q u a s i s t a t i c p m b l e m s ，c o u p l e dv i b r a t i o n s ，订a i l s i e mr e s p o n s ep r o b l e m 柚dt h el a p l a c e - t r a n s f o r m t y p ev a r i a t i o n a lp 订n c i p l ef o rp i c z o t h e 咖o e l a s t i cp r o b l e m s a t h r e e _ d i m e n s i o n a lg e n e r a ls o l u t i o nf o rd y n a m i cp i e z o t l l e 册o e l a s t i cp r o b l e m so f c r y s t a lc l a s s6 衄i sd e d u c e d t h i sg e n e r a is 0 1 u t i o nr e d u c e st ot h eg e n e r a ls o l u t i o nf o r s t a t i cp m b l e m sw h e nt h ei n e r t i at e 姗i s d i s r e g a r d e dt h eg e n e r a ls o l u t i o ng i v e nb vt h e p r e n tp a p e ri ss i m i l 缸t oa s l l i d a ss o l u t i o ni nf o m n e 删h e l e s s t h ed e r i v a t i o no f t 1 1 e p r e s e n tg e n e r a ls o i u t i o ni ss i m p l e r 卸dm o r er i g o r 叫s i i l a d d i t i o l l t h eg e n e r a l s o l u t i o nd o e sn o ti n v o l v ei m 蛾尹r a 曲no p e 枷o ns ot h a ti ti sc o n v e n i e mf o ra p p l i c a t i o n b y u o ft h es o l u t i o na n d 、撕t 1 1t h ea i do fi m 皇窖，锄t r a i l s f o m s ( 1 a n k e la n df o u r i e r t r 觚s f o 珊s ) ，t h ee x a c ts o l u t i o n sf o rt h ep m b l e mo f ap y r o e l e c t r i ch a l s p a c e 跚b i e c t e d t o h e 砒i n g 盯eo b t a i n e d f o rq u a s i s t a t i cp r o b l e m s ，t h ep r o b l e mo fap y r o e i e c t r i c r e c t a l l g u l a rp l 甜es u b j e c t e dt oh e a t i n gi sa l s o 咖d i e db yu t h cg e 聆r a js o l u t i o na i l d w i t ht h ea i do f 五n i t ef o u r i e rt 啪s f o r nt h ee x a c ts 0 1 u t i o n sf o rg e n 啪l i z e ds i m d l e s u p p o r ta n dg e n e r a l i z e dr i g i ds l i d ec o n d i t i o 嬲o nl a t e f a ls u d k 髓a r eo b t a i n 酣 f r e ev i b r a t i o no fa r e 乱鼬g u i a rp y m e l e c t r i cp l a t e o ft r a i i s 、r e r i s o t r o p y i s a i l a i y z e db a s e do nt h et b r e e _ d i m e n s i o n a lc o u p l e dp i e z 0 曲锄o e l a s t i c i t yt h e o r ynh a s b e e np r o v e dt i m tt h c r e 耐s tt w oc l 私so f v i b m t i o l l sf o rap y r o e l e c 啊cp l a t e0 ft h i s t y p e ，t h a ti s ，t h eu n c o u p l e df i r s td a 站o fv i b m t i o n 卸dt h ec o u p l e ds e c o n dd a s so f v i b r a i o n t h ef i r s tc l a s so fv i b r a t i o ni n c i u d e st h et 址c k n 鹤s - s h e a rm 州o n t l l r e e d i m e 硒i o n a le ) 【a c ts o l u t i o n s 黜o b t a i n e d m 伽t ec 砌om e t i 州i su m i z e dt oo v e r c o m e 浙江大学博t 学位论文 t h ed i f f i c u l t vo fs o l v i n gt r a n s c e n d e m a le q u a t i o n sf o rc o m p l e xr o o t sn u m e r i c a lr e s u l t s a r eg i v e nf o rar e c t a n 脚1 a rp z t 4p l a t et h ev i b r a t i o no fap v r o e l e c t r i cc y l i n d r i c a l s h e | li sa n a l v z e db vt r e a t i n 窟i ta sa na d i a b a t i cp r o c e s si no r d e rt os t u d vt h ei n f l u e n c e o fc o u p l i n ge 矗 e c t so nn a t u r a l 仔e q u e n c i e sn u m e r i c a lr e s u l t sf o rd i 住宅r e n te l e c t r i c b o u n d a r vc o n d i t i o n sa n dd i f f b r e n tf a t ：o so f m e a nr a d 沁st om i c k n e s sa r em s p l a v e d f u r t h e m l o r e ， t h e p m b l e m o f c o u p l e dp i e z o t h e m l o e l a s t i cr e s p o n s e o fa p i e z o e l e c t r i cc v l i n d e ro fc r y s t a lc l a s s6 m mi si n v e s t i g a t e d a n a l v t i c a ls o l u t i o n sf o r t h i sp r o b l e ma r es u c c e s s m l bo b t a i n e db vu s i n gb e s s e l - f o u r i e rs e f i e se ) a n s i o na n d l a p i a c et 砌s f o r m t h e s es 0 1 u t i o n sa r eh e l p 血lf o rs t u d vo f t h ei n n u e n c eo f c o u p l i n g o nt h ed i s t r i b u t i o no f s t r e s s e s ，d i s p l a c e m e m s ，e i e c t r i cp o t e n t i a la n do t h e rq u a n d t i e sa s w e l la st l l er o l e0 f i n e n i at e r m b y u s eo ft h e0 f p o t e n t i a lo p e r a t o rt h e o mt h el a p l a c e - t r a l l s f o r mt y p ev a r i a t i o n a l p r i i l c i p l e f o rc o u p l e dp i e z o t h e m o e l a s t i cp r o b i e m sa r ef 0 舢u l a t e d ，t h u sm a l 【i n gt h e n e c e s s a r yp r e p a r a t i o n sf o rf e m c a l c u l a t i o n f i n a i l y ，ab r i e fs u m m a r yo ft h i sd i s s e r t a t i o ni sp r e s e n t e da n ds o m ep m b l e m st h a t a f en e e d e dt ob ef h r t h e rs t u d i e da r es u g g e s t e d 浙：王1 、学博士学位论文 1 1 概述 第一章绪论 自然界中，晶体一般可以分为7 大晶系，即三斜、单斜、正交、四方、三 角、六方以及立方晶系。在7 大晶系中，按照对称性又可分为3 2 种晶类，其中 除去中心对称晶类1 1 种加上4 3 2 晶类外，其余2 0 种晶类都是压电晶体，但其 中只有1 0 种极性晶类才有热释电效应眦】。 压电效应是在1 8 8 0 年由法国c 嘶e 兄弟最先发现的，第二年他们验证了逆 压电效应的存在4 1 。令人惊奇的是热电效应的发现远早于压电效应，约在公 元前三百年，人们就发现j ，热电效应，不过热电性的现代名称p y r o d e c t r i c i t y 是 1 8 2 4 年才由布儒斯特引入的。热电效应很早就被发现的原因是它很容易显示出 来，关于热电效应的最早记录就是电气石吸引轻小的物体。早期的研究主要是 对现象的描述，从1 9 世纪末开始随着近代物理的发展，关于热电效应的定量 的和理论的研究才日益增多。本世纪6 0 年代以来，激光和红外等技术的发展极 大地促进了热电效应及其应用的研究，丰富和发展了热电理论，发现和改进了 一些重要的热电材料，研制了优良的热电探测器和热电摄象管等热电器件。热 电效应及其应用已成了凝聚态物理和工程技术中活跃的研究领域之一”。 压电材料由于其独特的机电耦合特性，被广泛地应用于各种传感器、作动 器、换能器等高技术领域，特别是“智能结构”( s m a ns t m c t l l r e s 或i m e l l i 2 e m s t m c t u r e s ) 的概念提出后得到更广泛的应用”l 。除了压电材料的用途外，热电 材料还可应用于声纳列阵、水声探测器、热成象仪等领域。 目前已知的压电材料超过千种，在实际应用中，般将其分为压电晶体、 压电纤维、压电陶瓷和压电聚合物等几类，应用最多的是后两类材料，工程 中广泛应用的对称性相当于2 m m 和6 m m 类晶体的压电陶瓷及聚合物压电材料 均具有热电效应m ”“。当压电复合结构工作在温度变化显著的环境中时，结构 的响应特性和总体性能会受到很大影响呷t “】。这样的环境在高技术领域会经常 第一章绪论 遇到，例如，据大众传媒报道，美、俄阿尔法空间站计划中，空间站在距地面 3 0 5 0 0 公里高的轨道运行时，背向太阳和朝向太阳时温度变化从 一1 5 0 。c 1 2 0 。c 。热效应对压电材料结构的影响可分为三种p l 】：l 由于结构中 各种材料的热膨胀系数不同引起的热应力。2 热电效应，即温度变化与电位移 量互相耦合。3 材料的弹性、压电、介电常数依赖温度，甚至在不同温度， 晶体类型会改变，如某些铁电材料。所以，需要深入研究这种力热电的耦合 效应，正如文献 1 2 0 】在展望2 l 世纪初力学发展趋势时指出“力学将融汇力热 电磁等效应，这些效应的结合孕育着极有前途的新机会，以往那种只注意利用 材料某一方面特性的时代已经过去，随着科学技术的发展，人们己将注意力转 向对材料交叉耦合效应的研究”。近年来，激光超声技术的发展和压电材料的应 用还为实验力学提供了新的测量手段，可用于测量材料常数、残余应力、温度 分布等【豫他明。 1 2 文献综述 早在1 9 6 1 年腼n d l i n 从连续介质力学和热力学的基本定律出发导出了热电 介质的控制方程m “1 。n o w a c l 【i ，w ( 1 9 7 8 ) 提出并证明了解的唯一性和互易性定 理”，n o w a c k i ，j p ( 1 9 8 2 ) 讨论了温度场对弹性电介质的影响和互易定理呻】。 i e 鼹l l ，d ( 1 9 8 9 ) 在减弱一些正定性的条件下证明了解的唯一性和互易性定理 呻l 。c i a f l e t t a m 和s c a m e t t a ，e ( 1 9 9 3 ) 导出了多孔压电介质的压电热弹性控制 方程，提出并证明了解的唯一性定理和互易定理田】。经典的热传导方程是抛物 型的，由此得出的热传导速度是无穷大，显然与物理实际不符【17 ”。为此，l e b o n ( 1 9 8 2 ) 将热流作为一个独立的本构变量导出了称为广义热弹性理论的一组方 程，它与经典的热弹性理论的不同之处是由这个理论可以推出热扰动的传播速 度有限m ，经过多年研究，现在学术界一般认为对涉及非常短的时间间隔和非 常大热流的问题广义热弹性理论能给出更合理的结果1 1 。上述m i n d l i n 和 c i a l l e t t a 等导出的压电热弹性的控制方程，也是基于经典f o 嘶e r 定律导出的， 因此也存在着同样问题。为此，c h a n d r a s e k h a r a i n a l l ，d s ( 1 9 8 趵将l 曲o n 的工 2 浙江大学博士学位论文 作推广到压电材料，导出了广义压嘏热弹性理论酌控制方程并在一定条件下证 明了勰的唯一性定理叫j 。此蜃，c i a f l 毗a ，m 等( 1 9 9 6 ) 又导出了多孑l 压电赍硬的 1 义压电热弹性理论的基本方程，当热弛豫时间r 趋近于零时，退化到经典理 途熬缝暴，在一定条馋下，剥媛c l a u s i 疆s d 滤e 趣不等式泛明歹簿匏暌。淫定爨， 并建立了b i o t 型变分原理2 ”。t i e r s t e i l hf ( 1 9 7 1 ) 辱出了描述存在电极化和热 传导躲连续介矮著与电场程互捧溪静有疆交澎静基本方程p “，k a i p a l ( 矮s ，v k 等( 1 9 9 3 ) 推广了n e r s t e n 的理沦，考虑了四级电极予( q u a d r u p o l e ) 的影响。 静力闻题或准静态问题盘于温度场可单独解出，使问题躺求解难度大为降 低。强前已有t 年多磷究工作。最简单靛处理是假设滋度均匀竣服从菜一分布， s t a m ，m 等( 1 9 9 6 ) 研究了直线电机的简化模型一径向极化的层合圆柱结构，不 考感溃帮豹影瘸可善佟是轴对称运鬟。缓设瀑度场掺匀，势考虑了攥篷常数骧 温度线性变化，每层求出解析解，由层问连续性条件和边界条件确定待定常数， 求密了电辍豹承载麓力，给滋了耄瓿能正常工 乍静袋低溢囊阳。l e 瓴h ，簿 ( 1 9 9 6 ) 采用分层有限元模型分析了压电层合粱在均匀热载荷下的响应。t a u c h e r t ， 王r ( 1 9 9 2 ) 在暇设漱度线性分布的条件下，应用经熟层合掇理论分析了含有压 电层的层合投对稳态热、电缀合载旖的响应，指出适当地施搬电压霹毒效避减 小由于热载荷所引起蛾变形i “】。尚福林等( 1 9 9 7 ) 从三维理论出发研究了2 m m 类 压电楗辩层合叛在均匀湛度场佟翅下浆热殛蘸淀题。 a s h i d a ，f 等( 1 9 9 4 ) 给出了二维m n l 2 类压电材料聪电热弹性静力问题的一般 解，并趸莛一般解求鼹了一个宠为2 6 静半无黻长正交各离异健压电秘辩板受热 且边界上有电荷作用的问题”0 1 。a s h i d a ，f 等( 1 9 9 4 ) 猩文 3 】觏f 4 】中分剐给出了 6 m m 炎压电辛才辩运电煞弹性静力问题一般解猩直角坐标和柱嫩标中的表达式， a s h i d a ，f 和其他学费应用这个一般孵解决了无限大投、圆板、圆柱等一系列淀 题口。“9 ”，” ”4 ”，他们不但研究了由已知热学i 2 z 界条件计算力学最和电学 量黪委霹题，嚣显磅突了麦魄努反攫滠疫戆瀵度努鸯夔煞溅方法，逐逶遘对惩 电热弹性问题的反分析，从测最到的电势推测由未知的热载荷引起的位移值， 然嚣褥旌螽籍定熬奄势分布，蕊两控涮结构豹变形。 d u b e ，g p 等( 1 9 9 6 ) 推导了定宽度无限长简支觅交各向辩性压魄材攀 平板 在力、热、电躐荷下的压电热弹性精确解。位移、电势、温度展开成宽度方向 第一章绪论 坐标f o u e r 级数，将控制方程化为常系数常微分方程组，其通解中的六个常数 由上下表面的边界条件确定，对正问题和反问题都给出数值结果口1 。 k a p u r i a ，s 等( 1 9 9 6 ) 利用a s l l i d a 的一般解给出了横观各向同性压电材料圆 柱壳的三维压电热弹性精确解，首先将基本方程写为用位移函数表示的通解形 式，利用调和函数b e s s e l f 0 u r i e r 级数形式的解将各个物理量表示成级数形式， 利用边界条件确定级数中的系数，从而得到精确解。文中还讨论了求温度场和 表面压力的两类反闯题脚】。 k a p u r i a ，s 等( 1 9 9 8 ) 还利用a s l l i d a 的解求解了周边固支的横观各向同性压 电材料圆板受轴对称电热和机械载荷的问题，通过f o u r i e r - b e s s e l 级数展开，来 满足边界条件，得到无穷代数方程组，可根据所要求的精度截取得到有限方程 组。计算结果表明，当直径与厚度之比小于1 0 时，三维精确解的结果与二维理 论的结果差异较大。 申胜平等f 1 9 9 5 ) 给出了以复变函数形式表示的二维压电热弹性问题一般解， 并利用此解和s t m h 方法研究了热电材料界面裂纹问题，得到了温度、位移、 电势、应力和电位移的全场解及裂纹张开位移和电势差的解析表达式【。6 】。y a n x x 等( 1 9 9 7 ) 研究了上述问题当材料特征根出现等根时的情形【1 l ”。s h a n g ，fl 等 ( 1 9 9 6 ) 用势函数和f o 埘e r - h a n k e l 变换的方法解决了压电材料内币形裂纹面均匀 受热的问题l “】。 x u ，km 等( 1 9 9 6 ) 用状态空间法推导了层合圆柱壳耦合压电热弹性响应的 三维解析解，首先将基本方程化为状态空间方程形式，每个响应量展开成轴向 和周向变量的双f o u r i e r 级数，问题归结为解1 0 个一阶变系数常微分方程组， 这个方程组可用修正的f m b e m u s 或子层( s u b l a y e r ) 法求解，计算了不同层的物 理参数对圆柱壳整体响应量影响的灵敏度系数【1 0 ”。 d o k r n e c i ，mc ( 1 9 7 8 ) 从变分原理出发采用k i r c h h o 尽l o v e 假设提出了含有 热电材料层的层合板振动的二维近似理论，并证明了解的唯一性定理。n o d a ，n 和k i m u r a ，s ( 1 9 9 8 ) 用经典层合板理论研究了热电材料层合板考虑热力、热电 耦合效应时的变形嘟】。x u ，km 等( 1 9 9 5 ) 用状态空间法分析了压电材料层合矩 形板的静力压电热弹性问题m ”，t a n g ，yy 等( 1 9 9 6 ) 用上文的精确解检验了各 种近似模型，如一阶理论、二阶理论、离散层理论、预报修正方法等的精度， 4 浙江大学博士学位论文 结果表明预报一修正法的精度最好印j 。 t z o i l hs 等( 1 9 9 7 ) 利用h 锄i l t o n 原理推导得到考虑几何非线性的热电材 料层合壳体的方程，在推导中假设均匀温度分布呻”，在文【1 0 2 】中还讨论了热电 材料层合圆板非线性挠曲的控制以及热屈曲问题。 采用耦合压电热弹性方程的研究工作非常少，主要是p 枷，hs 等的几项 工作。p a u l ，hs 等( 1 9 9 1 ) 研究了2 m m 类热电材料无限大板中对称和反对称模 态波的传播，给出了对应于每一个无量纲频率的无量纲波数和频散曲线问。p a u l hs 等( 1 9 9 1 ) 还研究了6 m m 类压电材料圆柱壳中波传播问题，并给出了频散 关系曲线【7 ”，p a u l ，s 等( 1 9 9 7 ) 还应用傅氏级数展开配点法( f o 诚e r 唧a i l s i o n c o l l o c a t i o n ) 研究了具有任意截面形状柱状热电材料结构中波的传播，给出了频 散关系曲线【7 ，】。但是，这些文章中，计算细节如求根的方法、数值溢出的处理 等均未给出。应用压电热弹性的一般方程研究振动或波的传播问题时，由于热 弹性阻尼现象的出现，频率( 或波数) 为复数，而有物理意义的是最小频率， 数学上归结为求方程实部最小的复根，这是解决这类问题的主要困难之一，另 外，由于热弹性阻尼很小在计算时还会遇到一些技术性问题。 王晓明等( 1 9 9 5 ) 讨论了热电材料的准静态、动态变分原理和关于固有频率的 变分原理，并导出了热电材料板的二维理论的控制方程和边界条件m 】。 t z o uhs 等( 1 9 9 4 ) 介绍了用有限元进行压电热弹性计算的方法和步骤，构 造了三个能量函数，其驻值条件分别对应于运动方程、高斯方程和热传导方程。 但他在有限元列式的推导过程中略去了热传导方程中与位移和电势有关的耦合 项，文中用有限元法计算了一个p z t 钢夹层悬臂梁的振动问题l ”“。 r a o ，s s 等( 1 9 9 3 ) 用有限元法分析了热效应对智能结构高精度分布控制性 能的影响，指出对于智能结构即使环境中的热影响可以忽略，当反馈电压较高 时，作动器需要当作热源来考虑。 s u n 瓯m 等( 1 9 9 7 ) 采用与上文相同的有限元模型计算了上下表面贴有压电 材料层的悬臂梁模型，讨论了作动器位置对控制效果的影响及考虑热效应影响 后整个系统控制性能的变化，文中只考虑了均匀温度场的情形【9 3 l 。 第一章绪论 1 3 本文的主要工作 压电热弹性理论现有的研究工作主要集中在静力和准静态问题，其它问题 研究较少，本文在充分了解现有的研究状况的基础上，主要研究了一般解、静 态、准静态问题、耦合压电热弹性振动，耦合压电热弹性瞬态响应，压电热弹 性问题的拉氏变换型变分原理等方面的一些问题，归纳起来有以下几方面： 1 导出了三维横观各向同性压电材料压电热弹性动力学问题的一般解，当忽 略惯性项时，退化得到了拟静态问题的一般解。本文给出的拟静态一般解 和舡i l i d a 的解形式相似，但推导过程简单、严谨，不出现积分运算，因此 更便于应用。 2 利用本文提出的一般解，借助于积分变换r h a n k e l 变换和f o u r i e r 变换1 ，给 出了热电材料半空间表面受热问题的精确解，对c a d i m u ms e l e n i d e 材料给 出了数值结果，并与具有相同材料常数但不考虑压电、热电效应的情形做 了比较。 3 利用本文提出的一般解，借助于有限f o u e r 变换，求解了热电材料矩形板 在周边边界条件为广义简支和刚性滑动两种情形下表面受热的拟静态问 题，得到了三维解析解，并给出了数值结果。 4 从耦合的三维压电热弹性理论出发分析了横观各向同性热电材料简支矩形 板的自由振动，证明其存在两类振动，即解耦的第一类振动和耦合的第二 类振动，第一类振动中包括厚度剪切振动。如果板的结构和上下表面边界 条件关于中面对称，则第二类振动又可进一步分解为对称振动和反对称振 动，给出了热电简支矩形板自由振动的三维精确解。采用m o m ec a r l 0 法克 服了超越方程求复根的困难，对于p z t 一4 矩形板给出了数值结果。 5 用绝热处理的方法研究了耦合效应对热电材料圆柱壳振动频率的影响，计 算了不同电学边界条件下、不同厚径比时振动频率的变化情况。 6 应用。b e s s e l - f o u r i e r 级数展开和拉氏变换方法成功地求得了热电材料圆柱轴 对称耦合压电热弹性瞬态响应问题的解析解，此解有助于研究瞬态响应问 题中耦合效应对应力、位移和电势等物理量分布的影响以及惯性项的作用 等问题。 6 浙江大学博士学位论文 7 应用有势算子理论导出了耦合压电热弹性问题的拉氏变换型变分原理，为 今后开展数值计算工作做了必要的准备。 8 除了压电热弹性问题的研究外，还研究了个不考虑热的压电材料圆锥 的平衡问题。从压电材料三维问题的一般解出发，用试凑法求解了压电 材料圆锥顶端作用集中力、点电荷和集中力矩的解，此解形式简单便于 应用。当圆锥顶角2 口= 丌时，集中力、点电荷和扭矩的解可退化得到半 空间问题的解。 游江夫学媾学篷谂文 第二章压电热弹性理论的基本方程 2 。l 压电熟弹性基本方程的导出 压电热弹性理论的基本方程可由连续介质力学、电动力学和热力学的基本 凝理鲞笈耀褥黔“】。裰箨蒸力学第一定律，系绞悫髓霸动齄交纯率之爨】等于努 界对系统所做的功的功率与外界传入系统热量的净增率之和，即 鬈+ 够= 形+ 坌( 2 一1 ) 其中k 为系统动能，u 为系统肉能，q 为外界传入系绕的热量，矽为外界对系 统做的功，= 矿+ 矽“，矽表示机械力所做的功，“表示电磁力 所做的劝，对于电介质磁场的影响可忽略不计。霞，移，矿8 ，矿“，q 的表 达式分别为 霞= 勰脚，西 口= 鲁：f 脚 谵一= l | 毒l d s + l 尊l 幽 a rr 妒“= 一f 勘。蠡+ j 哪，函 d rr q = 一批丞+ j 触 0 rp ( 2 _ 2 ) 式中：( f = 1 ，2 ，3 ) 为位移分量，为内能密度，为单位体积力， 为热源强度( 热 源单位h 桐、肇位质爨产生的热量) ，为物体密度，够为电势，仃为自由电 祷俸密菠，拧系指0 矿鹣井法线，或菇边界上泡位移炙量匏法海分量，敷为遮 器上鲍热流密度矢量鲍法l 趣分餐， ，为边爨上瓣西力分篷。 将( 2 2 ) 式代入( 2 一1 ) 式得 丢；p ( 争。疔，十s 弦如。f ( z 或+ 加知如一，。蠡十f 嗡幽十强啦呸謦渖浯3 ) 叉壤援凌量守蠖定律，宥 葚 第二章压电热弹性理论的基奉方程 l 。，。d 、】+ 塾。d s 一去l 融。d 、) = 0f 0 l +一r 写成微分形式为： z + 盯= 。 ( 2 _ 4 ) 对于电介质，磁感应率可以忽略，这样m 删e l l 方程v 。e + 孚：o 可以简化为 讲 v e = 0 ，式中b 为磁感应强度，这表明e 有势，引入电势函，则有 哆，= 一e( 2 - 5 ) 这样，v e = o 自动满足。 另外d ，满足高斯方程 d 。= p f 利用( 2 - 4 ) 、( 2 - 5 ) 和( 2 6 ) 式，( 2 3 ) 式可简化为 丢脚2 舢+ p 咖+ 膨p 一胁咖 由此可得局部能量守恒方程 p 搴= 吐。+ 聃飞，+ 力 p 百2 盯 ”u + e ，d r 一吼，z + 力 ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 引八目由能函数2 一，7 丁，7 为熵密度a 设= 庐( 气，口，) ，将的表达式代入 能量守恒方程得： p ( 考屯喏于若口郴渤嘲，删w 加 ( 2 _ 9 ) 注意到疗。= 盯f p 口则上式可改写为： ( p 嚣一磅+ p ( 等+ 叩) 于+ ( p 若一e ) 鱼+ p ( 功一+ = 。 ( 2 - i 。) 式中p 。，口，7 1 分别为应变分量、电位移分量和绝对温度。 由，口，是相互独立的变量，得： 气= 磋俨一等辟p 暑删卅= 。 ( 2 _ 1 1 ) 设瓦为参考温度，而，= 瓦+ 口，将自由能函数在( o ，o ，五) 点展开成t a v l o r 级 塑垩查兰竖主兰堡笙奎 数并略去高阶项 献巩耵防献o ，o ，功岬羚+ p 剖。帅剖。日出”l 。( 雌l o1 吲o l + i i p d j q + p 剖。口2 皿切 伽刹。p 剥。竹2 p 别。口1 假设矿( o ，o ，五) = o ，且k 。】= 0 巨k 。= o ，叩k ) = o ，并记 p p 鑫卜，p 器f o 嚣卜，p 器i 。= 哏p 科一8 ，p k ( 2 - 1 3 ) 将式( 2 一1 2 ) 代入式( 2 一1 1 ) 得到本构关系： 0 9 2 c g n e u h 崎d i a 口8 e = 一 h p “+ 屈；d l 一0 口 f 2 1 4 1 一p q = a h p q 一吒d k n e 如果将勺，e 和口作为独立变量，上式改写为以下形式： 6 q 2 c h q e h e 晦e t 一q 8 d i2 + 靠互+ 只目 ( 2 1 5 ) p q = z u e h + p k e k + 甜8 式中。州为弹性常数，为压电常数，五。为热模量，只为热电常数。 由( 2 _ 1 5 ) 的第三式有2 掣，而等= 嘉一叩一r 舅，将( 2 - 1 1 ) 的第二式代入 得嚣玎舅，这样口。= 笋= 等等，嘉即为比热印因此口e ：卢。，。 根据热力学第二定律，物体总熵的增加率等于或大于净热增量与绝对温度 就匕即啦等，叩为熵撼其积分形规丢驴枷可争一羔， 写成微分形式为：p 聊一p b + 吼，一睾i o( 2 1 6 a ) 此即为著名的c l a u s i u s d u h e m 不等式。 将局部能量守恒方程式( 2 8 ) 代入c l a u s i u s d u h e m 不等式得： 1 0 别 剐 西嘞 第二章匿电热弹性理论的基本方程 p 即等巧竹。+ 聃一p 象加 ( 2 。1 6 b ) 利用式( 2 一) 的第四式，由式( 2 1 6 a ) ，可得： 吼，0 ( 2 一1 7 ) 上面最后一式的物理意义为热流与温度梯度方向的夹角大于或等于9 0 。，这个 关系可应用于解的唯一性证明。 现在我们已经得到r 本构方程和一个热力学关系式( 2 1 1 ) 的第四式，要得到 压电热弹性的控制方程还需考虑运动方程、电学方程和f o u r i e r 定律。 运动方程为 仃。，+ 工= 。 ( 2 一1 8 ) 假设是小变形，有 根据f o u r i e r 定律有 ：昙( ，。) q 。= 一k q e i ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 将上式代入式( 2 1 1 ) 最后一式钆+ p ( 功一矗) = o ，并利用式( 2 1 5 ) 的第三式，得 ，( 五h 打“一p t 哆f + d 。毋) 一口。a 毋一膏f 护，= p b ( 2 - 2 1 ) 在口= 7 一五 瓦的条件下，在( 2 2 1 ) 式中将7 1 换为五，此时盯。= 伊。瓦为常数， 并略去非线性项矿鲥，这样就将方程线性化，大大降低了问题的求解难度。 将本构关系式( 2 1 5 ) 分别代入运动方程和高斯方程并将( 2 2 1 ) 式线性化，便 得到压电热弹性问题的控制方程： c u h n t ? 。l + e 晦。庙一a v e 。+ ，i = p i i f e k 一”k 一8 b 巾? q 七p 。e 。= pr 城嵋卟刎一譬= 钮 ( 2 2 2 ) 式中为弹性常数，为压电常数，勺为介电常数，只为热电常数，凡为热 模量，为热传导系数，矿= 成兀，t 为等应变比热。考虑到 彬，p 坷，毛，乃，的对称性，在一般的情形中有2 1 个弹性常数，1 8 个压电常 数，6 个介电常数，6 个热传导系数，6 个热模量，3 个热电常数。对于6 m m 类 ( 横观各向同性) 压电材料和2 m m 类( 正交各项异性) 压电材料，只有p ：o ， n = 以= o ，上述压电热弹性控制方