（固体力学专业论文）CBGA在循环载荷下的热弹塑性分析.pdf

j l r r 奢 a t h e s i si ns o l i dm e c h a n i c s t h e r m a le l a s t i c - - p l a s t i ca n a l y s i so fc b g a u n d e r c y c l i n gl o a d b yx i ay i s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t e p r o f e s s o rl iy i n g m e i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y f e b r u a r y2 0 0 8 #静j籍 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 ：也 恧。 学位论文作者签名：真；捡 日期：沙of 2 砖 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：签字日期： 彳 i - ， 护，同时还要在一定的成本下满足不断增加的性能、可靠性、散热、功率分配等功能。 其可靠性问题，即在功率循环和热循环中由于电子元件与基板材料之间存在热膨胀失 配，使焊点内部产生应力而失效，最终导致焊点失效的问题越来越受到人们的关注。 本文的主要内容是采用双尺度的理论分析和有限元非线性求解两种方法，对带有 底充胶的c b g a 电子封装元件在热循环载荷下的力学行为进行了研究。 首先，将均匀化理论和高阶逐层离散层板理论相结合，采用热弹塑性增量理论， 考虑焊料的粘塑性行为，建立了c b g a 电子封装元件热粘弹塑性非线性力学分析模型及 其双尺度增量控制方程； 其次，采用瑞利一里兹法，求解了在热循环载荷作用下c b g a 宏观、细观的双尺度 问题的解析解，与数值分析结果的对照，验证了理论分析的正确性，并就加载速率、材 料参数和结构几何参数对焊球应力、应变行为的影响的进行了分析，为c b g a 电子封装 元件结构的设计提供了理论参考； 在数值分析中，利用有限元数值分析软件a n s y s 软件，采用3 d 模型，对c b g a 在热 循环载荷下的力学行为进行非线性有限元模拟，分析了结构在升温段、保温段、降温段 焊球应力应变的变化情况，最后，通过各焊球的应力应变迟滞回线，得出最容易发生失 效的焊球，为进一步的c b g a 元件可靠性分析提供数值依据。 关键词：c b g a ；热弹塑性；均匀化；焊球；有限元模拟 p r o v i d ec h i pp r o t e c t i o n ，b u ta l s ob es a t i s f i e dw i t hi n c r e a s i n gp e r f o r m a n c e , ，r e l i a b i l i t y , h e a t d i s s i p a t i o na n dp o w e rd i s t r i b u t i o ni ns o m ec o s t r e l i a b i l i t yp e r f o r m a n c ei st h ek e yp e o p l e c o n s i d e r s t r e s si ns o l d e rj o i n t sl e a d st oi n v a l i d a t i o nw h i c hi sd u et oc o e f f i c i e n to ft h e r m a l e x p a n s i o nm i s m a t c h e si nd i f f e r e n tm a t e r i a l s t h ee f f e c to fu n d e r f i l li nc e r a m i cb a l lg r i da r r a y ( c b g a ) p a c k a g eu n d e rt h e r m a lc y c l i n g l o a di ss t u d i e di nt h i sp a p e rb yu s i n gd o u b l e - s c a l eh o m o g e n i z a t i o nt h e o r ya n df i n i t ee l e m e n t n o n l i n e a ra n a n l y s i s f i r s t l y , c o m b i n i n gd o u b l e - s c a l eh o m o g e n i z a t i o nt h e o r ya n dh i g ho r d e rd i s c r e t ep l a t e ， u s i n gt h e r m a le l a s t i c - p l a s t i ci n c r e m e n tt h e o r y ，t a k i n ga c c o u n to fv i s c o p l a s t i cb e h a v i o u ro f s o l d e r j o i n t s ，i t b u i l d sn o n l i n e a rt h e r m a l e l a s t i c - , p l a s t i c m o d e la n dd o u b l e s c a l e h o m o g e n i z a t i o nc o n s t i t u t i v ee q u a t i o no f c b g a s e c o n d l y , u s i n gr a y l e i g h - r i t zm e t h o d ，i tg e t sm a c r oa n dm i c r oa n a n l y s i ss o l u t i o n so f c b g a c o m p a r i n gw i t hn u m e r i c a lr e s u l t ，i ta p p r o v e sr i g h t i ta l s ot a k e sa c c o u to fl o a d i n g v e l o c i t y , m a t e r i a lp r o p e r t i e sa n dm o d e ls t r u c t u r ep a r a m e t e r sa n dp r o v i d et h e o r e t i c sf o rd e s i g n 0 f c b g a i ts i m u l a t e s n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e c h a n i c sb e h a v i o u r0 fc b g au n d e rt h e r m a l c y c l i n gl o a dw i t ha n s y sb yu s i n g3 - dm o d e l i ta n a l y s e st h ec h a n g eo f s t r e s sa n ds t r a i no f s o l d e rj o i n t sw h e nm o d e li si nh e a ti n c r e a s i n g , h e a tp r e s e r v a t i n ga n dh e a td e c r e a s i n g h n a l l y , i tg e t ss o l d e rj i o n tw h e r em o s te a s i l yh a p p e n si n v a l i d a t i o nb ys t r e s ss t r a i nh y s t e r e s i sl o o pa n d p r o v i d e sp r o o ff o rf u r t h e rs t u d y i n gr e l i a b i l i t yo fc b g a k e yw o r d s ：c b g a ；t h e r m a le l a s t i c - p l a s t i c ；h o m o g e n i z a t i o n ；s o l d e rj o i n t ；f i n i t ee l e m e n t s i m u l a t i o n ， 东北大学硕士 目录 声明“i 中文摘要i i f 6 i b s 7 】 r a i ( ：? r - - i i i l 第1 章绪论1 1 1 弓l 言1 1 2b g a 封装介绍1 1 3 电子封装的可靠性研究介绍3 1 4 本论文的主要工作5 第2 章热弹塑性基本理论7 2 1 增量理论7 2 1 1 米赛斯增量理论7 2 1 2 普朗特流动法则8 2 1 3 弹塑性强化材料的增量本构关系9 2 2 焊料的粘塑性本构模型1 0 2 2 1 焊料的粘塑性力学行为”1 0 2 2 2 统一型a n a n d 粘塑性模型1 1 2 3 热弹塑性问题的求解方法1 2 2 3 1 热弹塑性问题“1 2 2 3 2w e l s o n 法1 3 2 3 3 增量直接迭代法1 4 2 4 本章小结”1 5 第3 章c b g a 的三维有限元模拟1 7 3 1 有限元法1 7 3 1 1 有限元法的基本思想1 7 3 1 2 有限元软件a n s y s ，一1 8 iv 东北大学硕士学位论文 目录 3 2 三维有限元模拟1 9 3 2 1 模型简化假设1 9 3 2 2 定义材料属性2 0 3 2 3 单元类型2 0 3 2 4 划分网格2 1 3 2 5 边界条件设置2 2 3 2 6 热循环载荷设置2 2 3 2 7 结果分析：2 3 3 3 焊球尺寸变化的影响。2 7 3 3 1 焊球半径变化的影响2 7 3 3 2 焊球高度变化的影响2 7 3 4 本章小结2 8 第4 章c b g a 热弹塑性的双尺度分析2 9 4 1 弹塑性控制方程2 9 4 2 双尺度分析方法3 0 4 2 1 均匀化理论3 0 4 2 1 热弹塑性控制方程的双尺度形式3 1 4 3 c b g a 多层板的高阶逐层离散方法一3 2 4 3 1 多层板的高阶逐层离散3 2 4 3 2 非完全的双尺度形式3 3 4 4 本章小结一3 5 第5 章热循环载荷下c b g a 的双尺度解法3 7 5 1 里兹法3 7 5 2 细观尺度的里兹法3 7 5 3 宏观尺度的里兹法3 8 5 4 算例分析4 0 5 4 1 c b g a 材料属性和结构尺寸4 0 5 4 2 热循环载荷设置4 0 5 4 3 计算结果4 0 v 、 东北大学硕士学位论文 1 1 引言 丛立 弟一覃 电子封装技术就是一种将集成电路用绝缘的塑料或陶瓷材料打包的技术。电子封装 是连接半导体芯片和电子系统的一道桥梁，随着半导体产业的飞速发展及其向各行业的 迅速渗透，电子封装在近二三十年内获得了巨大的发展，并已经取得了长足的进步。今 日的电子封装不但要提供芯片保护，同时还要在一定的成本下满足不断增加的性能、可 靠性、散热、功率分配等功能。电子封装的设计和制造对系统应用正变得越来越重要。 美国国防部已经把电子封装业列为国家高度优先发展的三大领域之一。新加坡、台湾等 亚洲国家和地区，更是把电子封装及组装技术作为他们的工业支柱，处于绝对优先的发 展地位。近几年，我国也开始重视电子封装技术，国内封装行业也取得了一些发展。目 前，电子封装业已经成为全球的朝阳产业【圳。 1 2b g a 封装介绍 b g af b a l lg r i da r r a y ) 意思是球栅阵列封装技术，是近几年才迅速发展起来的最新表 面安装技术中的一类封装形式。它是在基板的背面按阵列方式制出球形触点作为引脚， 在基板正面装配集成电路，而形成的一种表面贴装技术。此种封装技术具有优良的散热 性、电性和适用于高脚数的特点，符合高效能系统产品需求，故b g a 封装将有越来越 多的应用。 b g a 按封装基板材料分主要有四种基本类型：p b g a 、e b g a 、c b g a 和t b g a 。 为了满足多引脚、高散热能力、高频、低损耗、小型、薄形等各种特殊需要，每种b g a 都派生出许多新的形式。下面简要介绍这些基本类型1 5 , 6 1 。 ( 1 ) 塑封球栅平面阵列封装( p b g a ) p b g a ( p l a s t i cb a l lg r i da a y ) 即开始人们所说的o m p a c ( o v e r - m o l d e dp l a s t i ca r r a y c a r r i e r ) ，是最普通的b g a 封装类型，如图1 1 所示。p b g a 的载体( c a r r i e r ) 或中介板 ( i n t e r p o s e r ，现在称封装基板) 是普通的印刷板基材，例如f r 4 、b t 树脂等。芯片通过 金属丝压焊方式连接到载体的上表面，然后用塑料模注成形，在载体的下表面连接有共 晶组分的焊球阵列。焊球阵列存器件底面匕可以呈完全分布或部分分部。 东北大学硕士学位论文第一章绪论 罄憝婴逖墅廷 弋o 严产” 图1 1p b g a 不恿图 f i g 1 1p b g ap r o f i l e ( 2 ) 增强型b g a ( e b g a ) e b g a ( e n h a n c e db g a ) ，其断面结构如图1 2 所示。e b g a 的结构特点：芯片采用电 极面朝下的方式，有利于减小封装高度。封装结构中带有上空腔和下空腔。前者便于在 芯片背面附加金属( 如铜) 散热板，以提高散热性能；后者便于布置金丝引线。采用多层 封装基板，由于它是三维立体布线，故可缩短布线长度。在多层封装基板中设置接地层， 通过阻抗匹配以降低电感。为实现多引脚，芯片电极可采用分列布置，并采用5 0 # m 以 下精细节距的引线键合连接技术。这种类型的e b g a 具有多端子、低热阻，以及优良的 电学特性等特点。 多层封装蓐扳 ， 一信崎展 、g n d 屡 、信号联 霖1 理 多嚣箸彩 j j 襞埘j l 旨 图1 2 e b g a 示意图 f i g 1 2e b g ap r o f i l e ( 3 ) 陶瓷球栅平面阵列封装( c b g a ) c b g a ( c e r a m i cb a l lg r i da r r a y ) 通常也称作s b c ( s o l d e rb a l lc a r r i e r ) ，如图1 3 所示，最 早源于m m 公司的c 4 倒装芯片工艺。c b g a 的芯片连接在多层陶瓷载体的上表面，芯 片与多层陶瓷载体的连接可以有两种形式：其一是芯片的电极面朝上，采用金属丝压焊 的方式实现连接；其二是芯片的电极朝下，采用倒装片方式实现芯片与载体的连接。芯 片连接固定之后，采用环氧树脂等灌封材料对其进行封装以提高可靠性，提供必要的机 械防护。在陶瓷载体色下表面，连接有焊球阵列，焊球阵列的分布可以使完全分布或部 分分布两种形式； 。 2 。：；i 一_ l ? f ，+ fr 。t 一“： 东北大学硕士学位论文第一章绪论 盯j ， 一一一一一一一一、l i ， 山- ! ，- ，h h 一一1 ，- 。- 陋 一1 ，_ j ! 一 。- 一- = 乡一一二7 n 蝴旧一一 图1 3 c b g a 示意图 f i g 1 3c b g ap r o f i l e ( 4 ) 带载球栅平面阵列封装( t b g a ) t b g a ( t a p cb a l lg r i da r r a y ) 是b g a 的一种相对较新的封装型，如图1 4 所示。其上 表面分布有信号传输用的铜布线，而另一面则作为接地层使用。载体上的过孔起到了连 通两个表面、实现信号传输的作用，芯片凸点通过采用类似金属丝压焊的连接工艺接到 过孔焊盘上，并形成焊球阵列。在载体的顶面用粘结胶连接着一个加固层，用于封装体 提供刚性并保证封装体的共面性。在倒装芯片的背面一般采用导热胶连着散热板，以提 高散热性。在芯片连接方式上，t b g a 不采用p b g a 的w b 而采用t a b 连接或凸点连 接。这种t b g a 封装一般可以由普通的t a b 技术来实现。 姗壁 雾芋蔓军孥丽 3 弋，3 7 五焊铒徽砷 j 嘻装w 脂 e i 目翻 由疗删化即饿远r 多1 l 脚封斌 l l 1嚣焉鋈尝- ：4 7 0 1 , “，4 蛳mi i! 翟2 螂p 卜7 一i i ：霪终i g - 戳gl i g - 胛n 转广诌i p 价格棚h 锉低|l住胛n 转广t 诌i p - 价格棚h 错低i 图1 4 t b g a 示意图 f i g 1 4t b g ap r o f i l e 1 3 电子封装的可靠性研究现状 + r r 膏 j n 【) ( 臣j 毫 i g 峨廿啵 # 式r 矗它 f r f i 监 钾， 阻捎展 在表面贴装技术( s m t ) 的应用推广过程中，焊点的可靠性问题，即在功率循环和 热循环中由于电子元件与基板材料之问存在热膨胀失配，使焊点内部产生应力而最终导 致焊点失效的问题越来越受到人们的关注。一九八九年在美国宇宙飞船的地面试验中， 就发现了表面组装电子元件焊点的失效。值得注意的是，在表面贴装技术中，焊点既起 到表而元件和荩板的机械同定作斤j ，又起到表而元件与荩板及其它元件l 日j 的电气连接作 用，尤其刈于无引线元件，由于焊点人鄙在元件底部，焊点一旦失效其检查和维修非常 ：， 东北大学硕士学位论文第一章绪论 困难，因而s m t 焊点的可靠性问题是目前微电子领域要解决的重大课题，是s m t 能否 被成功运用的关键。近几年来的历届国际电子元件会议上都把s m t 及其可靠性问题做 为重要讨论内容【7 , 8 j 。近年来，采用底充胶工艺在芯片与基板间隙内填充聚合物，可以显 著提高封装结构的热疲劳可靠性。 我国的表面贴装技术发展尚处于初始阶段，对其可靠性问题的研究甚少。但随着表 面贴装技术在我国的应用推广，其可靠性问题是必然要遇到的重大课题，它将直接影响 到s m t 在我国的应用前景，因而开展这方面的研究工作是非常必要的 焊点在热循环条件下的可靠性问题可以通过试验研究和理论计算两种途径来解决。 试验研究需要高精度的测试设备和制作特定的测试样件。目前主要采用多种方法 ( 如应变计、激光全息、光栅云纹等) 对焊点热循环过程的应力应变进行测量，但是现有 的测试技术还只能提供平均的或表面( 断面) 的测量结果。而且电子封装焊点细小，应力 应变复杂，所以实现起来有一定难度。并且采用这种方法，人们对故障机理的了解也很 有限，再者所花费的时间和费用也很多。比如在优化芯片封装设计时，必须先对样机进 行热循环次数测试，然后才能对设计进行修正，修正完了再制造样机进行测试。所以在 重复上述相同的步骤( 制造样机、测试和设计修i e ) 时，就浪费了很多时间和费用。 国外于二十世纪8 0 年代就将无损检测的光学方法应用于表面安装技术( s u n 的微 变形研究，主要分析s m t 的热力学可靠性问题。1 9 8 3 年，h a l l 等最早采用二次曝光全 息技术测量了l c c c p c b 组件在功率循环热稳态状态下p c b 板的离面变形场，发现了 在功率循环中，p c b 板有周期性的翘曲变形，并由此推算出了焊点的拉伸或压缩变形【9 1 。 1 9 9 6 年，泰曼格林干涉仪被y g u o 等用于p b g a 组件的变形研究中【1 0 l 。二十世纪9 0 年代初，由y g u o 和b h a r t 等人应用影子云纹法测量微电子封装( b g a , p c b ，t b g a 等) 的离面热变形【1 1 j 。c p y e h 用几何云纹的方法测量了多层印制电路板在热循环中的翘曲 变形。显微云纹方法及相移技术等也被用于s m t 组件的变形研究，并与图像处理软件 相连，使其测量的精度增加2 0 倍左右l l 到。1 9 9 6 年，云纹干涉反转倍增法的引入，使位 移测量灵敏度由0 4j c lm 提高到0 0 2 5 m ，实现了1 6 倍倍增【1 3 j 。 国内的一些研究者自2 0 世纪9 0 年代中期也开始从事电子产品的光测力学研究 1 4 , 1 5 j 。王卫宁、戴福隆等运用云纹、实时全息和二次曝光加搭桥技术等研究了表面安装 器件( s m d ) 的热变形，并对同一样品运用云纹干涉和全息干涉方法研究其面内和面外位 移和有限元模拟，由此得到了微电子封装三维变形场。 基于前人的研究基础，可以知道：云纹和全息干涉度量方法具有高灵敏度、高精度、 非接触性、全场分析等优点，可分别获取面内、离面位移。因此，是研究微电子器件可 4 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 靠性的有效方法。但是，随着电子封装器件的密度不断增大，焊点这样的中介层不断变 小，实验方法由于受到分辨率及灵敏度的限制，测量热变形变得越来越困难。随着计算 机软件的不断更新，功能逐渐强大，有限元分析成为电子元器件可靠性研究的有力手段。 有限元( f e m ) 分析是评价焊点可靠性和进行理论研究的有效方法。通过有限元模拟 我们就可以得到新产品或新设计的可靠度资料，这样就不用实际做出样本后再做可靠度 实验，从而可以节省大量的开发成本，及缩短产品的开发周期，并让我们能对故障机理 有更深入的了解，同时还可以通过参数化模拟来优化整个过程。在封装模拟技术中，绝 大多数文献所采用的有限元软件都是大型通用软件，如a a n s y s 、a b a q u s 及a d i n a 等。 1 9 9 1 年，n j n i g r o 等人提出了s m t 焊点的计算机辅助设计( a 蛐) 思想。利用焊点 形态预测模型，输入有关设计参数，计算出相应的焊点形态；在获得焊点形态的基础上， 利用可靠性问题的分析方法，考察该形态焊点在热一力加载条件下的应力应变分布、蠕 变和疲劳寿命等。1 9 9 2 年，j l a u 和d r i c e 等人引入了一种利用计算位移边界条件和局 部有限元分析的数字处理方法来决定焊点的应变及可靠性预测。1 9 9 7 年，z h u 等人把有 限元模拟应用到b g a 封装上来。国内王国忠等以统一型粘塑性a n a n d 本构方程为基 础，采用非线性有限元方法研究了热循环试验过程中高低温端点温度、温度升降速率、 高低温保持时间对焊点应力分布和应变的影响【1 6 1 7 1 。 有限元方法可以对对象进行全面的、多工况下的分析；可以方便地得到全场及局部 的变形和应力解；可以减少设计成本，缩短设计和分析的循环周期；可以在产品制造或 工程施工前预先发现潜在的问题，进行机械事故分析。但有限元分析的缺点是对单元类 型、尺寸和网格设计过分敏感，理论，和计算还缺乏合适的边界条件，结果正确与否也 需实验来检验。 1 4 本论文的主要工作 本文主要选取带有底充胶的c b g a 电子封装元件，对其在热循环载荷下的力学行为 进行了研究，采用双尺度的理论分析和有限元非线性求解两种方法。主要工作有： l 将均匀化理论和高阶逐层离散层板理论相结合，采用热弹塑性增量理论，考虑焊 料的粘塑性行为，建立了c b g a 电子封装元件热粘弹塑性非线性力学分析模型及其双尺 度增量控制方程： 2 采用瑞利一晕兹法，编程求解了在热循环载倚作用一fc b g a 宏观、绌观的双尺度 问题的解析解，与数值分析结果的对照，验证了理论分析的l 卜确性，并对结构儿何参数 与 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 对焊球应力、应变行为的影响进行了分析，为c b g a 电子封装元件结构的设计提供了理 论参考： 3 在数值分析中，利用有限元数值分析软件a n s y s ，采用3 d 模型，对c b g a 在热循 环载荷下的力学行为进行非线性有限元模拟，分析了结构在升温段、保温段、降温段焊 球应力应变的变化情况，最后，通过各焊球的应力应变迟滞回线，得出最容易发生失效 的焊球，为进一步的c b g a 元件可靠性分析提供数值依据。 6 东北大学硕士学位论文第二章热弹塑性基本理论 第二章热弹塑性基本理论 载荷作用在物体上，当载荷逐渐增大到某一值，物体的某一点的应力状态达到某一 极限值，物体中开始产生塑性变形。塑性与弹性之间的根本差别在于载荷消失后，能自 动恢复载荷施加以前的无变形状态的是弹性。反之，当载荷消失后仍有不能自动恢复的 残余变形存在则是塑性。在塑性力学的范围中，应力应变关系一般为非线性。这种非线 性特征不仅与材料有关，而且与环境条件、加载历史有关【1 8 l 。 由于塑性力学比弹性力学要复杂得多。在解决具体问题时，常常需要通过总结实验 研究的结果，给出一些假设。一般采用如下基本假设： 1 材料是连续、均匀的。 2 塑性变形部分的体积变化为零。由于一般认为体积变化是弹性的，且与平均应力 呈线性关系。体积变化本身是微小量，因此可以假设塑性变形部分的体积变化为 零。 3 一般情况下静水压力不影响屈服准则和加载条件。 4 不考虑时间因素对材料塑性性质的影响。 2 1 增量理论 2 1 1 米赛斯增量理论 米赛斯理论假设材料为理想塑性的，并认为材料到达塑性区，总应变等于塑性应变， 即假设材料符合刚塑性模型1 引。其理论假设归纳如下： 1 在塑性区总应变等于塑性应变( 忽略弹性应变部分) 。 2 体积变形是弹性的。 3 塑性应变增量的偏量与应力偏量成正比例，或应力偏量主方向与塑性应变增量偏 量主方向一致： d p p 。d as( 2 1 ) 式中，d e p 为塑性应变增量的偏量，s 为该点此时刻的应力偏量， 例系数，取决于质点的位置和荷载水平。 由于塑性变形的体积不可止缩，由上式可得 d 矗p1d as 7 d a ( d a 乏0 ) 为比 ( 2 2 ) 东北大学硕士学位论文 第二章热弹塑性基本理论 式中，d f p 为塑性应变增量。忽略弹性应变部分，应变增量曲又可表示为 d e d a s 对于理想刚塑性材料，按m i s e s 屈服条件将有： 拈店厨一q 其中，仃为等效应力，q 是材料的屈服极限。将( 2 2 ) 代入上式可得 击如厣面一孑一q 定义 信厣面 称其为等效塑性应变增量。 所以有 3 d 73 d ；， d a 一= = 一= = ： 2 0 2 0 , 由于弹性应变部分忽略不计，则总应变增量等于塑性应变增量。 d 暑。3 d d s 2 q ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 上式即为理想刚塑性材料的增量型本构方程。 对于特定材料，若已知应变增量则可以求得应力偏量。但由于体积的不可压缩性， 不能确定应力球张量，所以不能确定应力张量。另一方面，若已知应力分量，能求得应 力偏量，只能求得应变增量各分量的比值而不能求得应变增量的数值。原因是对于理想 塑性材料，应变增量与应力之间无单值关系。只有当变形受到适当的限制时，利用变形 连续条件才能确定应变增量的值。 2 1 2 普朗特流动法则 普朗特流动法则是在米赛斯理论的基础上发展起来的，该法则考虑了弹性变形部 分，总应变增量偏量d 寥由弹性部分d p 。和塑性d e p 部分组成1 1 8 l ： 塑性应变部分为： d e d e 。+ d e ，( 2 9 ) 8 东北大学硕士学位论丈 第二章热弹塑性基本理论 d g p d as 弹性部分为： d e 。上ds 2 g 于是，得到总应变增量偏量的表达式为： d p 。土d s + d a s 2 g 式中以仍可由米赛斯屈服条件确定，根据米赛斯屈服条件： 丢s s 一三z 将上式求微分，有： s ds = 0 将式( 2 1 2 ) 两端同乘s ，并利用( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 得 劓口一z 定义： 称其为形状变形比能增量。 所以有： d w d s d e d x 。3 d w a 耐 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 将上式代入( 2 1 2 ) ，由塑性的不可压缩性，即体积变化是弹性的，得到理想弹塑 性材料的增量型本构方程： 沁孚+ 土2 g 帆孑s ( 2 1 8 ) 如果应力和应变增量已知，由式( 2 1 6 ) 可以算出d 形，再代入式( 2 1 8 ) 后即可求出 应力增量偏量和平均应力增量，从而求得应力增量。将它们叠加到原有应力上，即得新 的应力水平，也就是产生新的塑性应变后的应力分量。反之，如果已知应力和应力增量、 不能由式( 2 1 8 ) 求得应变增量，只能求得应变增量各分量的比值。 2 1 3 弹塑性强化材料的增量本构关系 对于弹塑r 仁强化材料，若采用等向强化模型，其强化条件通常采，f j 沿着应变路径积 分的等效耀性应变总量束描述，即： 一9 东北大学硕士学位论文 第二章热弹塑性基本理论 一o f f i ( 产p ) ( 2 1 9 ) 等效塑性应变总量与塑性应变强度通常不等。只有在简单加载( 比例加载) 情况下两者才 相等。因此，可利用简单加载条件下的实验( 如简单拉伸实验) 确定h 函数。对上式求导 得 h ，。粤 ( 2 2 0 ) d _ ， 经过与上两节类似的推导可得到 姐! 坚 2 h ：a 孚d 吒j + 瓦1m 豢s d 堕j 堕1 j d d 。立坐i ，h ，+ j 堕 l 。d 堕 l0 0 l 0 0 2 2 焊料的粘塑性本构模型 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 封装结构的使用过程中，主要是受热循环载荷的作用。焊料的熔点较低，热载荷作 用下焊料的变形行为表现为与时间( 或应变率) 相关，非弹性变形具有显著的粘塑性。 这种热载荷下的弹塑性分析，主要涉及焊料的非线性行为及其本构模型和热粘弹塑性问 题的求解方法两个方面。 2 2 1 焊料的粘塑性力学行为 焊料的力学性能与加载速率和温度有很强的相关性。，焊料即使在常温下，其非弹 1 0 东北大学硕士学位 性变形都是热激 粘塑性【2 0 1 。 2 2 2 统一型a n a n d 粘塑性模型 很多学者对焊料的变形行为进行了大量的实验研究，提出了许多描述焊料力学行为 的本构模型。目前，焊料本构模型主要有两大类：一类是把非弹性变形分为与时间无关 的塑性变形和与时间有关的蠕变变形两部分，如d a r v e a u x 的双曲弹塑性蠕变模型【删、 w e e r t m a n 的幂指数弹塑性蠕变模型等；另一类是不区分塑性变形和蠕变变形，用统一 型粘塑性模型来描述焊料的非弹性变形行为，如b u s s o 采用单一内变量背应力状态来描 述焊料形变所需的热激活能和包辛格效应的粘塑性本构方程，而基于单一内变量的 b o d n e r - p a r t o n 粘塑性模型，能够在应变率1 0 弓s 一一1 0 五s 一、温度一5 5 0 c 1 2 5 0 c 范围内模 拟焊料的单轴拉伸和蠕变行为。下面重点介绍目前描述焊料最常用的模型的a n a n d 粘塑 性模型，也是本文的两种方法所采用的焊料本构模型。 统一型a n a n d 粘塑性模型2 1 l 可以反映材料与应变速率、温度相关的变形行为，以及 应变率历史效应、应变硬化和动态恢复等特征，它有两个基本特征： 1 没有屈服面的定义，在加载和卸载过程中不需要加卸载准则； 2 采用单一的内变量形变阻抗( s ) 表现材料内部状态对塑性流动的宏观阻抗。形变 阻抗具有应力量纲，与位错密度、固溶体强化以及晶粒尺寸等有关。 内变量阻抗s 与等效应力万成正比 孑a c 。s c 1 ( 2 2 5 ) 其中，c 为材料参数，在恒应变率下，c 为常数，可表示为 c 叫( 和剐 仁2 6 ， 式中，i 拥为非弹性应变率，a 为常数，享为应力乘子，朋为应变敏感指数，q 为激活能， 尺为气体常数，丁为绝对温度。 a n a n d 模型中，内变量阻抗作为除数出现在应力项，应变率与温度的关系满足 a r r i h e n i u s 形式，采用双曲正弦规律将流动方程描述为 p 卅【s h ( 亭e x p ( - 茜) ( 2 - 2 7 ) 内变量阻抗的演化方程可以表示为 东北大学硕士学位论文第二章热弹塑性基本理论 j 2 1 1 一 r s i g n c l 一 ， 。叠抽 c 2 2 8 ， 其中 s 叫鲁唧c 纠 亿2 9 ， 式中，j i l 0 ，a 为形变硬化敏感系数，s 为给定温度和应变率下的内变量饱和值，j 为系数， n 为指数。焊料的塑性强化参量h7 可由下式确定 。警；c h o ( 1 一昙y ( 2 3 0 ) d h 盯 式中，口i i t c s ，万，s 分别为某一加载速率和温度下的等效应力和内变量阻抗的饱和 值。从以上所述可以看出，a n a n d 统一型粘塑性模型中共有9 个材料参数：a ， q ，亭，m ，h o ，i ，刀，口以及初始内变量阻抗s o ，须有材料的不同温度下的恒应变速率拉 伸试验结果来确定。 2 3 热弹塑性问题的求解方法 2 3 1 热弹塑性问题 假设材料性质与温度无关，单元的平均温度从r 改变为丁+ d r ，那末它的应力应变 关系由增量表示为 在弹性区域 d c x d ( d e - d e r )( 2 3 1 ) 在塑性区域 d a 一( d e d e r ) ( 2 3 2 ) 式中，d 暑r 是由于温度增量d t 所引起的热应变增量 d # r a d t( 2 3 3 ) 其中，口为材料的热膨胀向量。口一口 1 110 0 吣r ，口为材料的热膨胀系数。 当材料进入塑性以后，热膨胀的影响也具有非线性的性质。在具体求解时，可以通 过将整个加载过程分段使原有的非线性问题线性化。为此，在每个时间段内，除了计算 载荷增量外，还需要引进温度增量。于是，增量形式的应力应变关系可近似地表示为 a c x = z 乙( 暑一暑r )( 2 3 4 ) 1 2 东北大学硕士学位论文 而 a e r 一口a t 弹塑性矩阵叱和热应变增量a e r 与应力增量和应变增量无关，于是每步加载时，由热 膨胀所产生的影响完全可以由线性问题热膨胀初应变来处理。就是说计算时用变温度影 响的等效载荷代替。对于弹性区域，它的等效节点载荷 a r 。一p d 岛d y ( 2 3 6 ) 而对于塑性区域 a r p p 。a e r d y ( 2 3 7 ) 把各区域相应的贡献叠加，得到 r 一f + ar ， ( 2 3 8 ) 基本平衡方程就可以写成 k 6 一a r ( 2 3 9 ) 等式右端项就是由a t 引起的等效载荷。 2 3 2w eis o n 表示法 现采用w e l s o n 法确定某一时间增量内各参量的数值。设定在两个相邻时刻气和气小 结构的温度分别为瓦、瓦+ l ，材料的应力、应变分别为吼、气和吼+ 1 、气+ 。这一时间 ；， 段的时间、温度、应力及内变量阻抗的计算值可取为： 。 一+ 0 ( f t + 1 - t k ) = t k + 口气( 2 4 0 a ) 巧一瓦+ 8 。( 瓦+ 。一五) 一夏+ 口瓦 一吼+ p 。( 吼+ l 一吼) 一吼+ 0 吼 ( 2 4 0 b ) ( 2 4 0 c ) 一+ 口o i + l 一& ) i i s k + 0 a s t( 2 4 0 d ) 式中，0 为差分系数，0s0s1 。 在厶时间内，焊料的非弹性应变增量簟为 一 ，口 f ? ；n 知。a t k 彳亭军砖瓦 ( 2 4 1 ) 为了能更精确地计算非弹性应变增量，将时间增量垃。分为一段，求和确定在f 。时间内 的f ? ，其汁算表达式为 1 3 东北大学硕士学位论文 第二章热弹塑性基本理论 。一砉( 姒州) 一妻( 蜘【s h ( 亭争e 寺) ( 2 4 2 ) 式中，彳，分别为时间增量他内的第砸s f 刀) 段的时间增量、温度、等效应 力和内变量阻抗。每段内变量阻抗增量趟为 一 ，b f l 一芒r s ；g n c l 一善， 。c p ， c 2 4 3 ， 2 3 3 增量盲棒i 失代渎 求解上述热粘弹塑性问题有多种方法，下面介绍本文中采用的增量直接迭代法。 1 首先将整个加载过程分成若干时间段f o ，- t o + 她，t 2 一f l + 址2 ，一乞，+ 铖 确定每个时间段的温度载荷增量互( 七。1 2 ，力) ； 2 对于每一个时间增量步，采用直接迭代法求解。具体求解步骤如下： ( 1 ) 根据前一时间步的结果，按照方程( 2 2 4 ) ，计算本载荷步初始迭代所采用的材 料弹塑性矩阵，并通过求解控制方程得到本载荷步解的初值a p 。 ( 2 ) 由w e l s o r 法，给定差分系数o ( o 口s1 ) ，一般选p - 0 5 ，取a ：。a 。0 + 弘a ：们， 代入控制方程，得到被改进了的一次近似解a ：n 。 ( 3 ) 重复上述过程，可以得到刀次近似解a ：”，直到误差小于规定的容许小量e ， 即怕i l - 忙”- - & ”1 忙p ，上述迭代过程可以终止，进a t - - 个载荷步的计算，如图2 1 所 示。 - 图2 1 直接迭代法 f i g 2 1 d i r e c ti n t e r a t i v em e t h o d 3 重复上述计算，直到全部时间步加载完毕最后得到的位移