（概率论与数理统计专业论文）非参数回归误差密度估计的收敛速度.pdf

摘要 5 5 5 1 7 2 过去的五十年星，有道不少酌文献讨论道回归函懿的估计而对模烈中的误熬分布和误差密度 翁馊震酝究 霉穰步。掰在实鼯阚题孛，茬程继 完固姻灏数羼知道溪差密度懿蛙夔是缀燕婺浆+ 率文 将诈论i i d 情况情况和n 黼合情况下，非参数回归的误差密度估计的一致收敛和均方收敛+ 基于残 避构造的淤差密度f 占计被证明是一致a8 收敛和均方收敛的，奠：蛀在一定条件下给出了收敛速度。 第一露我翻主簧讨论了( t 一混合情况一f 嚣参数嚣瓣的误麓密度嵇计酌收敛速攮，褥到了如下两 个主要结泉 s u pl 五擘一，。 = 。( 骚l l l n ) 2 如；l 5 i n k ) ， # + s 扣 曼f 和 。 e 陵( g ) 一。= o ( l i l ”加 2 拍沁n 第二章主要研究了i , i d 情况下非参数目蛔的误差密度估计的致收敛和均方收敛，给盥了一定 条终下误蕤密度瓣接诗量五；( z j 懿一致敬敛速度，嚣筠方收敛速鼗，绩暴辩下+ 和 s u p i 五( # ) 一，( z ) = o ( n 。8 ( i n n ) 1 2 ) ，n 8 e 陬z 卜掩) 】2 = 。( n 刮9 ) 荚键字收敛邃度；浸差密瘴售诗；强蠲援鼙；均方收敛：一致收敛 巾銎分类号。0 2 1 2 + 7a m s ( 1 9 9 1 ) ：6 2 g 0 7 ，6 2 g 2 0 ab s t r a c t 0r e lt h el a s tf i v ed e c a d e s ，t h es t a t i s t i e a ll i t er a t u r eh a sb e e nr e p l e t ew i t hp a p e r so nt h ee s t i m a t i o no f t h el e g r e s s i o nf u n c t i o n r e l a t i v e l yl i t t l e i sk n o w na b o u tt i l ee s t i m a t i o no ft h ee r r o rd e n s i t yi nt h e s e m o d e l s i ti so f t e no fi n t e r e s ta n do fp r a c t i c a li m p o r t a n c et ok n o wt h en a t u r eo ft h ee r r o rd e n s i t ya f t e r e s t i m a t i n gar e g r e s s i o nf u n c t i o n t h i sp a p e r i l ld i s c u s s s o m ea s y m p t o t i c so ft h ee r r o rd e n s i t ye s t i m a t o r i nn o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l si nt h ei 1 dc a s ea n du n d e rd m i x i n gc o n d i t i o n t h ek e r n e lt y p e d e n s i t ye s t i m a t o r sb a s e do nn o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nr e s i d u a l so b t a i n e df r o mt h ef u l ls a m p l ea r es h o w n t ob eu n i f o r m l ya h n o s ts u r e l yc o r t s i s t e n ta n dn l e a ns q u a x ec o n s i s t e n t f u r t h e r m o r e ，t h ec o n v e r g e n c er a t e s i so b t a i n e du n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eh a v ed i s c u s s e dt h ec o n v e r g e u c er a t eo ft h ee r r o r - d e n s i t ye s t i m a t o ru n d e r c ￥一m i x i n gc o n d i t i o n t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d a n d s u pf z 。( z ) 一，( z ) f _ 。( f ( 1 i ) 2 1 1 5i n n ) ， a 8 z i 0 本章下面的内容安排如下：1 2 节为假设和记号 1 3 节为预备定理 1 4 节致力于阶的估计 本章中。e 表示任意正常数，其值会变化不定 4 1 2 记号与假设 设( x ，y ) ，( x 。，k ) ，i = 1 ，2 ，- 是口一混合的有共同密度m ( x ，) 相依随机变量在模型( 1 1 1 ) 下，设误差 e 。) 有共同的未知密度函数，( c ) ，首先，我们给出回归函数r ( x ) 的核估计最，设为r 。( z ) ， 定义残差为瓦= 1 二一n 。( x 。) 然后，基于t p 算出来的残差兹，i = 1 ，2 ，n ，我们构造误差密度的核估 汁最，令为厶本章主要的任务是研究 的一致as 收敛速度和均方收敛速度 为了估计，( z ) ，我们引入如下记号： r + 。 m ( $ ) = m ( x ) d y ， # er ， j rc z ，= e c y l x = z ，= ：7 “z 。：二：三! ； 。，。， ，。，= j 妒”：，n n ( z ) ，i f l ( z ) 。t l ：蚤k i f 吣 且 喇= 熹喜( 宰) 上面( 。) 是核函数， 是窗宽令瓦= k r 。( x i ) 基于磊，i = 1 ，2 ，n ，我们构造e i 密度估计 量如下： ( 1 2 2 ) 孙，2 去势( 喾) ， 同时，为了后面的证明需要我们令 注：，n ( z ) 与厶( j ：j 在构造过程中足完全独立的换言之。在( 1 - 2 1 ) 和( 1 。2 。2 ) 中嚣( 2 ) 与( $ ) ，h 与 ，h 可以完全不同，这是因为 ( z ) 的构造是将从回归函数估计量计算得到的残差俩) 作为假定样本 得来的 rz 由 zm 可 d厂l l z 妒 和 学 盯 k 。 土砒 坠这 等 。 l | | 厶 为定理叙述方便，我j f _ j 预先给出如下假没 ( a1 ) 存在，对所有z n ，i ( a ：) i 曼k c o ； ( a2jm o = e ( c l e oj ) + o 。，因此m = e ( e l ，j ) o ； ( a8 ) 存在凰，使得对任意。几，l 甄( 2 ) 4s 凰 。o ，凰( z ) l i p ( 1 ) ， 1 3 预备定理 为了定理的证明，本节将叙述和证明几叶、引理下面的引理为有界的随机变量序列提供了一个强 有力的指数型不等式，该结果来自【5 j ( 第2 6 页) 引理1 3 _ 1 令( 托，。ez ) 是一零均值的实值随机序歹q 且l m ) _ 4 e x p ( 一南a ) + 2 2 ( 1 + 2 。( 匀) 这里 = 暑文卅等 且p = 嚣，。2 ( 口) = 。兰j m s 3 2 x q le ( ( 【例+ 1 一。i p ) x l ，p i + l + x b 川+ 2 + ，+ x “j + 1 ) p 】+ ( 0 十1 ) 纠一【u + 1 ) ，】) 一( j 十1 ) ”l 】) 。 s h a o ，q i m a n 证明了如下在。一混合情况下的强大数定理( 见【7 】第2 0 4 页) 引理1 - 3 - 2 设( 置，t z ) 是一零均值的实值n 一混合随机序列，1 0 ，有 ，( 洲s u pi 妒】n ( z ) 一e 州。) l 孙) s 2 e 7 , 1 r h 一1 ( 2 肘) 1 肛( p ( i y f i ) ) 1 ，2 = o ( ：1 h 一1e - m n 2 ) h 要令e 。= ， 2 6 0 ，m 。= 卢i n7 i ，( p 2 1 0 ，卢是正常数) 易得 也就是 ( 1 3 1 1 ) s u pl 妒l 。( z ) 一e 妒l 。( 刮= o ( h 2 ) n s z e r 为了证明( 13 3 ) ，我4 f i r 要证明下面的结论 ( 1 3 1 2 ) s u pi 妒2 n ( z ) z j 妒2 ，l ( z ) j = o ( h 2i n ，i ) 口s z 为此我们将用到不等式( 1 3 1 ) 7 ( 胆 m e 3一 c ( 一 印 一 z 妒 巨。 妒 p 挖 u 8 f 2 p 虻叫l ( 曼) 耶帆，一e m 耳( 旦) “啦硪 】 l 机ish - i f 。疗 出强死何撬合( g s m ) 的骰没( a 4 ) ，d a v y d c v 不等式( 觅f 1 1 ，第1 9 页) 鞠b o c h n e r 引理，翁得 a 2 b ) f ( 母l + 妒2 + + 砒，) 2 p p 霹( ) 1 ( r x 】) ) 2 十c o v ( y k h ( x x ) ，kr k h 扛一扎r ) ) t y t 。 = o ( p h 一1i n n ) 取p = 8 二1h t k ”，8 = = e h 2 l “$ f l 对所右e 0 ，当n 充分大时，我们有 敞 u 2 ( 口) = ) 。i = l j = 1 1 2 k ”“ 一鲁 ) z 七r i i h ( 1 3 - 1 6 ) o 和所有的整 数，有： ( 1 3 1 7 )s u pi ( 。) 一，( 。) i = 。( ，1 2i n kn ) ， a , 8 i t l s n l 证明：我们将运用不等式( 1 3 1 ) 令 k 1 陋( 等) 一e k o ( 等) | ：】( a8 ) js k l r o 可由( a4 ) ，b i l l i n g s l e y 不等式( 见f 1 1 ，第l o 页) 乖经典的b o c h n e r 引理，推得。 盯2 抽) e ( 咖l + 2 十一如) 2 = o ( p h 二1i n n l 这目! “i ( 。) 。二1 k o ( 彘) 取p = 7 i 二2 i n n ，e n = e 醒i n k n ，其中e 为任意正常数，当n 充分大时，我 们有 91 ”2 ( 口) 。弘2 ( g ) + i k l 露e n s 暑( m i l l n n + i l h t , 1 晚s 翥mi 1 晚 k 1 弱。 = ：凰，1 e 。 9 e z 磷 e $ ， kvoc ，圳 +e z ， g 一 p ( h 。( i n nn ) 。j 厶( z ) 一e l 。( z ) ( 13 ，1 8 ) 列 4 e x p ( 一繁) 蚴( - + 警) v 2 御m a ， = 4 e x p ( - 7 i i n n l n n ) + 2 2 ( 1 + 4 r 。m 。“， 1 z 2 q c 0p i 一= 2 t n t t 垒 其中7 l 是一正常数 ：1 - j - i x - ( z ： z lsi i 划分为女。个以q 为巾心的小区间，使得 = 笔川等卅h 1 + 避，骝卜吲s 筹，娜k 显然 ? ! p i t 扛) e l - ( z ) i = s u ps u pl ，n ( z ) 一e l , 。( z ) i 垒。 忙j s n l1 j s 。b 有假设( a6 ) ，有 j ，t “旷，f l ( 圳! 南若 类似的有 i e 删邶讹腿磊等 选取自。：n 7 + 4 5 ，则有 ( 1 ) m 挑矿1 钏引w ) - z h ：+ 羔等 其中：= s u p i ，n ( q ) 一e i , 。( ) l 由( 1 3 1 8 ) 有 ( 1 3 2 0 ) p ( 二2 ( 1 n t 。) 一1s u p i l 。( z ，) 一e f n ( x j ) 5 ) 。“。 届然- + o 。，( 1 31 7 ) 由( 1 3 1 9 ) ，( 132 0 ) 和条件，岛d ( 6 ) 得到从而引理1 3 4 获证 口 下面的引理给出了( $ ) 均方误差 引理1 3 5 如果 j a5 成立，( n h ) l i n n ，+ 。，h - 0 ，则 【l 3 2 1 ) e 妒，( z ) 一妒( 茹) 】2 = o ( i n n ( n ) 一1 + h 4 ) ， 。er 证明： 考虑如下分解， e f 妒n ( 一_ p ( z ) 】2 = ( e 妒。( z ) 一妒( 譬) ) 2 + = 1v a r ( m j “( z x 1 ) ) + i 1 ：c o v ( k k 扛一x ) ，kr k a ( x x r ) ) 叁砩( z j + 驴妒。( z ) + a 。 我们分项讨论，首先考察偏差项： b n ( x ) = f 【峨( 。一x ) 】7 】一妒( z ) 广 = k h ( x u ) m ( u ) e l y i x = u d u l p ( z ) j n = k h ( z 一“) 妒( u ) d t l 一妒( z ) ，i = f n k n ( u ) ￥，( 。一 u ) 一l p ( 。) 】咖 1 0 将妒进行t a y l o r 展开，由k 的对称性，绢 风( ) = i i t 2 厶f 妒, , ( ：c - s h y ) 铲( 岫m ( 。 日 0 ，r 0 满足 f 132 j 1 虮 ( 1 ! ) 们2 翟u p 。e ( 。1 1 。眦) o 证明： 令k = 鬯p 且c l n ，j l l | j f l ：1m a r k o v 不等式有 l t ( n ( 132 5)p(l。)墨ns u pj d ( ) n m e - a y 7 由f i i b i n i 定理和( 1 3 2 5 ) ，得 e 睇i m ( m ) ” = y i , d n 。( ) = p y ”“p ( 】j 。 yv ( c l o g n ) 1 7 ) 咖 j 0 r ( c l o g t l ) 1 p，+ 2 ”。( 9 ”一1 p ( k 1 ( c 1 。g n ) l i t ) a u 十p 。：三。，y p - 1 p ( e , ”) d u j o 一，一 4 于是有 故f 7 2 4 ) 成立 s ( c l o g n ) 9 7 + n p m 圹一1e - a y d y n 1 1 ，r ”7 2 璺”( c l o 酬价+ n p m _ c l 7 - ”( 1 0 9z ) 价一1 2 小c + 1 ) 出 j t l = 0 ( 1 0 9 n ) ”7 + o ( i o g n ) p 7 = 0 ( 1 0 9 n ) 9 7 e ( 1 s u ； 。i 0 9 1 1 ) 1 1 】 = o ( 1 0 9 n ) ”1 口 1 4 主要结果 下面是关1 ：在递增闭区问卜，一，n ， 上，( z ) 的两个一致收敛结果 定絮，卜致相合性j设(i)a1-a8虹，咆撕oi)h槲足恕阶嘲1州垆：0则有 ” 。 f l41 1 证明：显然 ( 1 42 ) 。s 咿l i p l y , 一m ) i + o ，n s l 。s j l ! i p ，。i 五z 一，( z ) l l j ：，i j j ( z ) 一，t t ( 。) | q - j 。s i u s p ，i ，。( z ) ，( z ) i 垒6 。+ 6 ： 1 2 吨( 舀+ 先考虑蠡；，得 6 n2 l 。s l u ! p ，i ，l ( 。) 一，t t ( 2 ) l 谜s u p 。， 击宴卜( 等) 一( 等) - n h n 玉i = s u 如p ， ( 警) 一( 等) s 壶。 ， 袁! u ；p m z ) 一r ( z ) o 由引理1 , 3 3 ，有 6 。= o ( f l i 21 ( 1 n7 i ) 2 ) “i n n ) ， 男一方面，m 引理1 3 4 ，可碍 砖= s u pi ，t l ( c ) 一，( z ) i = o ( 碡】n t ”) ，a 8 1 z l s t p 综上可得： ( 143 )s u pi 工。( z ) f ( z ) f = o ：l n kn ( h ：+ ，i 2 ( 1 1 1 n ) 2 n 】2 5 ) ) o s 1 2 i s 订 i 1 于 h ，0 满足( i i ) i 故( 1 4 1 ) 成立 口 定理1 4 2 ( - - 致8 收敛速度，设a 1 4 8 成立，c 2 ，d ( b ) jr l h 。= g 【( 1 n n ) 2 n 】1 ”有 ( 1 4 4 )s u t ) i 五( $ ) 一，( z ) l = o ( f ( 1 nn ) 2 n 】1 5i n n ) ， o 1 l 蔓r 订 证明： 由于函数n ( z ) = 。2 + x - 2 陋- n ) 2 n 】2 5 当g = 【( 1 n n ) 2 n 】o 时取得最小值，根据( 1 43 ) ， 如果取h ，。= c ( i nn ) 2 n 】1 o 我们能得到一致a a 最优收敛速度故( 1 4 4 ) 成立 口 l 、一定理给出，瓦渐近均方差 定理1 4 3 - t 。果 一a 7 成立，h = c ( 1 n n n ) 1 。，则有t ( 1 d5 ) e ( 而喵) 。= o 【! 【i l n * t ，- i n 2 n ) 证明：舀先我们旺明如下两个结论， ( 1 4 6 ) d i 。= e ( s u p ( z ) 一e q o ，、( z ) 1 2 ) = 0 ( h 4 ) z 雨1 ( 1 47 ) 如t - = e ( ：s u p i m ”) 一e m n 扛) 1 2 ) = 。( ，1 4 ) 我们只考虑6 m ，因为而n 可以类似处理不失一般性，我们令= 【o ，1 1 将其划分为k 。个以却为 中，l , f c j d , t k l i i jl 使得 厶= j 百- 1 ，aq = 簪，驯z x j l 0 ，有 其中 一e 峨( h 睁) l l m 荆吣) 1 ) 2 】- o ( ( 警) 们】n 2 n ) p t h ( z ) 这里女 ( z ) = h - i k ( x h ) ，因此 由引理1 3 7 ，立即可得 f 1 ，4 1 2 1 e(：舭n|q=e咄噻蹦；ta t 。) # 、# l 0 i f m ( ) = 0 e ( s u p 、嘲尹s e s u p | 疑p ； 2 l 兰“ ( e ( s ，u p i 7 k l ，1 2 9 ) 1 7 ”曼【( e l nn ) 2 ”j 1 7 $ 令q 一1 + 。( i p ) + ( 1 t q ) = 1 可褥 ( e ( s u pi l n e m ”i ) 2 4 ) 1 7 9 ( ( 2 r h 一1 ) 2 。”e ( s u p i m 。一e m 。1 2 ) ) 1 。 4 e 、邑 ” 焉罨连撂( 4 ，7 j ，褥 ( e ( s u p i m n e m ，门m ! ( ( 2 r e e ) 1 加h 4 - n 1 0 + c 一 t 令 t 一熹1 = a 志i i 一= 矗2b 1 十n l 件 扩l i l n 一 瘫予h i “”= 0 ( i ) ，我砖霹褥 ( e ( ：里i m ”一e m 。i ) 柚m q = 。( ，1 4 ) 并方新，因m g ，d ( ，拯然有 ( 1 ，4 埘) ( 嚣( ：鍪| - g ”t 。m 1 ) 2 l q = o ( h t 用h o l d e r 不等式和( 1 4 ，1 2 ) ，( 1 41 3 ) ，( 1 4 1 4 ) ，可得 。，2 9 魄墓眠i t 一浮 2 层 竺f r n l 2 ( s ，l i p i m 。一e m 。 2 + s u pt e r n 。一m l z ) l $ j g e ( 则s u pi 俐枷陋( 盟一e m , , 1 2 4 ) p 蝴阪嚣嘲肇) 门e 瑟l 露m n m 湖魄 ，iillf，、it 对。足，根据( 1 , 46 ) ，有 ( 1 4 1 5 ) 。几= e 幽 妒咧2 娜( 她s u p l i p , , - e 妒, , | ) 2 + e ( 掣一妒悱 晶后( 149 ) ，( 1 41 。) 和( 1 4 1 5 ) 可得( 14 5 ) ，故( 1 45 ) 获证 口 毒要的定理甏纛黧嚣高弩篙警煞，巾螨堋。、49ln2n+h1删，44 a8c 2ti n ) 定理，p 匀方相合性，设aj 一一成立， ，d “。“n 1 1 n ” n1 “” 有 ( 1 4 1 6 )e 阶z ) 一m ) 2 一+ o ，v z 酿 证明：臣j 为 j = e 瞄( z ) 一m ) 2 ：e 暖( 。) 一，。( z ) + 。( z ) 一m ) 兰2 e 【五。( z ) 一k ( z ) 】2 + 2 e 【，t 。( z ) 一，( z ) 】2 垒1 1 + 如， 根据引理l36 ，我们有 对，i 由定理1 43 ，有 故有 1 2 = 2 e 厶一n 州2 = 。( 赛：) ，x 6 r = 2 e ( z t ( 茁) 一，扛) 2 一 一 击彀j 。( 等) 幽( 等) ) 纛娄e l 硒( 等) 一诋( 等) 2 s 纛娄驴毪 = 酗弧矛 ：。( ，。二一( i i n n 4 j 1 1 1 2n ) 因为i 。 满足条件( i i ) ，故得( 1 ，4 1 6 ) 因此( 1 4 1 6 ) 成立 口 定理、d 5 。芦匀方收敛速度，设似 j 8 成立，岛d ( 砷i “妒7 ；。= c o l 0 1 7 1 8 ( 1 i 】n ) 1 4 ，则有 ( 14 二 e 阶z ) 一巾) 1 2 = o ( ( 1 n m ) 2 7 9 i n t t ) 证明： 出j 二函数r ( ) = ( i n n ，；) 4 ，9 l n 2n z t + 3 ；4 当z = ( 1 n n 加) 1 7 1 8 ( 1 n n ) 1 4 时，取得晟小值根 据( 4 1 7 ) ，如果取k = p ( 1 n n n ) 1 7 “( i n ，t ) ，则得0 4 1 8 ) ，定理获证 口 1 6 l 碡 + j 。 一0 + + “。 一。 砘 砒 舻 一 p p 坠。坠。 q 0 o 0 i i = 第二章i i d 情况下非参数回归误差密度估计的收敛速度 摘要 本章研究i i d 情况下，非参数回归的误差密度估计的收敛问 题，给出误差密度估计量的一致a s 收敛速度和均方收敛速度 结果如下： s u pi 五( z ) ，( 。) i = o ( n 一1 6 ( i nt t ) 1 2 ) ，n s = r 肃1 阮一y ( z ) 12 ：o ( n - 2 e y9 ) m 一( z ) j 2 o ( 9 ) a m s ( 1 9 9 1 ) ：6 2 g 0 7 ，6 2 g 2 0 。 关键字收敛速度；误差密度估计；回归模型；均方收敛；一 致a s 收敛 2 1b 言 过去的五十年里，有过不少的文献讨论过回归函数的估计而对模型中的误差分布和误差密度的 性厨_ _ 开究得很少而在实际问题中，往往估汁完回归函数后知道误差密度的性质是很重要的本章将 讨晓一id 情况情况，非参数回归的误差密度估计的一致收敛和均方收敛基于残差构造的误差密度 估计被证明是一致as 收敛和均方收敛的，并且在一定条件下给出了收敛速度。 本章下面的内容安排如下：2 , 2 节为假设和记号2 3 节为预备定理 2 4 节致力于阶的估计 2 ：记号与假设 误差密度的核估计量，令为五本章主要的任务是研究五的一致a s 收敛速度和均方收敛速度 9 ( z ) = ，“。m ( 砌) 由，z r ， r 陋，= e c r j x = 。，= f ：9 。k ：薹；! 绐出样本( 。y ，】7 ) ，( 置，】j ) ，i = 1 ，2 ，n ，首先我们估计出g 和r ( 22 1 )7 。沏) = m 。= 熹娄，。k ( 宰) 帅= 熹娄盯( 竿) 土二面k ( 。) 是核函数，h 是窗宽令邑= k 一( x 。) 基于磊， = 1 ，2 ，n ，我们构造q 密度估计 馈如下： 。 。 胁，= 击静( 鲁) 一叽 注：( z ) 与，t t ( 。) 在构造过程中是完全独立的换言之，在( 2 _ 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 中k ( z ) 。jj 矗( z ) ，h 与 h 。可以完全a ：同，这是因为，n ( z ) 的构造是悔从回归函数估计量计算得到的残差黾作为假定样本得 来的 为定理叙述方便，我们预先给出如下假没 ( a 1 ) 没是一有二阶连续有界导数的有界对称密度并且。，“2 k ( u ) d u o ； ， ( a - l ：e l 】1 。 2 zj 本章中。g 表示任意正常数，其值会变化不定 2 3 预备定理 为了定理f l , j i i 明，本节将叙述和证明几个引理下面的引理是一般核密度函数估计量关于一致 # a 收敛的结论 引理2 3 1 若 j ，阻纠成立，则有 ( 23 lj s u 。i ) l ，n ( z 卜f ( x ) l = 。( 胪+ ( 1 n n n ) h ) ， 这“，= 熹塞( 警) 证明： 根据8 第2 9 1 页。有 s u pje ，( z ) 一，( z ) i = o ( h 2 ) m ，” r 。 妒 上n ，：，、l ；卜方面，由 9 】第4 6 页，有 8 i a ( z ) 一e ；( z ) l = 。( ( 1 一n ) 1 7 3 i z ) 。s 因此( 2 3 1 ) 冠然成立 注：设h = c ( i n n n ) 7 6 且( a 1 ) ，( a 2 ) 成立，则s u 。p l l - ( z ) 一( x ) l = o ( 1 n n 扎) 1 2 】 下一引理给j l 了 ( z ) 渐近均方差，该结论可从 8 1 第2 9 0 2 9 1 推得 引理2 1 1 2 若甜圳成立，满足删影，n h _ + o 。，h _ 0 ，则 ( 232 ) e 【 。( z ) 一， ) 2 = o ( ( n ，。) 一1 + h 4 ) ， z 几 注：显然，当h = 1 5 取到最优速度， e ( a ( z ) ，( 。) ) 2 = 0 0 1 4 肛) 2 4主要结果 下面关刊目归函数一致收敛的引理包含于 1 0 l 定理b 引理2 4 - 1 设( a d m 卅成立且ji z l n i x l l d k ( z ) ，当h ：c n - 1 a 有 ( 24 1 ) 。s u p l ”n ( 。) 一( r ) i = o ( n - l ai nn ) ，n 8 口 下面的定理给出了五( z ) 的两个一致收敛结果+ 定理2 4 2 卜一致相合性，设倒若( a d 一似彬成立且，i 。l n 1 1 2 d k ( x ) ，h = c n - z 3 j 一叫f 。l 满足 ，皿【峰+ 。i 2 n 叫7 3 i n n = o i ( i i i ) k oc l i p ( 1 ) i 息i k o ( z 7 ) 一k o ( 一) ise l $ ”一一i 这里是一工i p s c i 如 常数则有 f 2j ? 1 证明：显然有 ( 243 ) 首先考虑j 。得 s u pj ( z ) ，( $ ) i - 0 ，n 8 五( z ) 一，( z ) j i l ( z ) 一厶( z ) l + i ，n ( z ) 一，( z ) i 垒d 。+ 醇 6 。= i 五。扛) 一 ，( z ) i = f 击塞警) 一峨( 等) s 击娄m 等) 一硒( 等) j 击宴t 型 s 击塞z 隧等型 嘉? s u pi t ( z ) 一r ( z ) f - 1 9 另一方面，由引理2 3 1 ，有 综上可得 s ! p6 ：= s l ，i pi f , 。( z ) 一f ( x ) l = o ( ，。：+ ，z i l ( i n n n ) 1 7 2 ) ，。s o ( ，。i + i 1 ( 1 n n n ) 1 7 2 + ，。7 2 n - l 3 1 ，n ) = 0 ( ：+ h ：2 n - l 3 1 nr z ) 。s 由于 。) 满足( i i ) ，故( 2 4 2 ) 成立 定理2 4 3 r 一致5 收敛速度j 设俐阻u 似4 ，成立且ri x l nh 1 1 2 d ( z ) ，h = c n c ( n 一1 2 ( l n 7l ) 1 4 ) i ( i i i ) k oc l i p ( 1 ) 则有 ( 2 _ j )s u p 五( z ) ，( z ) l = o ( n 一1 6 ( h l n ) 1 2 ) j o s z 口 1 3 i 一订h 。= 证明由于函数r ( x ) = x 2 + 一2 n 一i 3i n ，当z = ( i , l - 1 1 2 ( 1 n n ) 1 4 ) ( 1 + o ( 1 ) ) 时取得最小值，根据 ( 244 ) ，如果取h = c ( n 一1 1 2 ( i n n ) 1 ) 我们能得到一致a s 最优收敛速度故( 2 4 5 ) 成立 口 下一定理给出了黾渐近均方差 定理2 4 4 设似口纠，m 驯成立且k ( z ) l i p ( 1 ) ，= # i n 一1 9 i 一砂i y i m 则有 ( 246 )e ( 邑一e i ) 2 = 0 n - a o i _ 1 ，2 证明 首先我f i j 证明如下两个结论 ( 2 47 ) 和 ( 2 48 ) d l 。= e ( ，s ；u p i 妒。( 。) 一e 妒。( z ) 1 2 ) = 。( n 一4 7 9 ) 、7 e ( s 。u p i g 。( ：c ) 一e 9 a 。( z ) 1 2 ) = o ( n “7 9 ) o e 、 我们h 考虑j m ，因为d z 。可以类似得到 不失一般性我们令a = f 0 ，1 1 将其划分为。= 【n 4 9 1 个以q 为中t ；, n d , n nd 使得 = j 百- 1 ，船q = 1 2 j f - 1 ，嘲s u pi x - x s l _ 瓦1 ，1s jsk 易知 ( 249 ) 骝州。) 一砜( 2 ) 恒- f = l i n a x i s n 扛j ) l + 舢s u p i s - ( 刮 i 川； s 。( z ) = 妒。( z ) 一e 妒。( z ) 【= l ( ) = ：s ”( 2 ) 一s n ( 锄( 。) ) 2 n so 卢 以。 0 = j 跏。 得可 42 理目斛根 l ( e ) 是包含z 的那个小区间五的编号从而 k 1 掣, l t j 忸学( 等兰) 心孰喇i i 宰( 竿) 1 ) 山条件k ( z ) l i p ( 1 ) ，可得 d f ( 2 49 ) 甜】 e 础s u pi s , 如川2 南e l ：鼢it “元b 1t o ：= ： ”南 m t - 晒s u 掘p ( q ) 一e l p n ( q ) 1 2 ) + 赤 。 、r1 - ) j ) n ， 席矗， 而n h ( 。：) = o ( ( n7 e ) _ 1 ) ( 见 5 】第6 9 页) ，敞有 5 - 。s2 e l ：，。 j 2 l n 2 j = l e ( q ) p 耵c m 圳十南 其次，注意到n 。( z ) 可写成加权平均的形式 这里 且 故有 n n 和，= ? 扣一x 。广；“z x 。：二兰：! ； e ( s u p1 1 n ( 。) 1 2 ) z e k a ( 曲= ：( ；) 壹k 晦m 。 b l 刷删由1 二9 和妒满足( a 2 ) ，从而有( 见t 3 0 s q 5 第4 1 4 2 页】 241 1 1 ( 2 4 1 2 ) d s n = e ( s u p 1 e 妒。( 。) 一妒( z ) i ) 2 = o ( a ) $ 5 4 n = e ( s u p ieg。(z)一g(z)i)2=o()a z e 、，l 渺 一南 ， 0 、9 丽叫 ，n 0 0 = = ，tp 。 i l # p l 嵯 e 最后山( 2 4 7 ) ，( 2 d 8 ) ，( 2 4l o ) ，( 2 4 1 1 ) 韦丌( 2 4 - 1 圳，有 e ( 而一e 。) 2 = e ( r 。( 。y 。) 一? t ( x 。) ) 2 s e k h ( 圹“圳2 l jz i 石击 e 。s 。u 。p ( ，毫( z ) l f n ( z ) 一口( z ) 1 2 ) + e 【：昙i 妒n ( z ) 一_ p ( 。) 1 2 ) s 砉 州2 e 唾洳( 小口( 瑚2 州 。s u pi ( z ) 刊z ) 1 2 ” 嘉 m 2 ( 屯。舶。) + ( “。“。) 】) ( 241 3 )= o ( n 一4 9 ) 所以f 246 1 成立 口 下面的定理足关于 ( z ) 的两个均方收敛结果 定理2 - 4 5 p 自方相合性j 设倒似纠，m 圳，似圳成立， ( $ ) l i p ( 1 ) ，h = “n 一1 9 ，i y i m t i oe l i p ( 1 ) ；f i i ) n - , t 1 9 h 二4 + 哇_ d 则有 ( 24 1 4 ) e 阶z ) 一m ) 】2 一+ 0 ，比r 证明：显然 r 1 ，2 e ( z ) 一，( z ) i = e i ，t t 扛) 一 。( z ) 十 ( z ) 一，扣) l f 一 1 2 2 e 【五( z ) 一忡) 2 + 2 e ( z ) 一m ) 】2 垒1 1 + 对，l ，由定理9 4 4 有 从而有 1 2 = 2 e l i , , ( 。) 一，( z ) j 2 = o h 一1 k 1 + 碡) ， z r ，l = 2 e 阵( z ) 一厶( z ) 2 一 击耋( ( 喾) 一凰( 等) ) 1 2 纛耋e m 警) 凰( 等) 1 2 碗2 薹n 护e f ： o i l 2 - = 和计。1 2 = o ( n “一。二4 ) 、， d n + 一n n + 2 d 2 一n h 叫 一 ，l d i ， ( 24 1 5 ) = o ( ? “9 ，b 二4 + ， ：) 因为 h n ) 满足条件( i i ) ，故得( 241 4 ) 因此( 2 4 1 4 ) 成立 口 定理2 4 6 p 匀方收敛速度，设倒( a o ，别，似叫成立，h = # n - l 9 ，i y i m ，k oe l i p ( 1 ) i 一一 ， 。= c n “，则有 ( 24 1 6 ) e 阪( 叫一，( z 圹：o ( n - 2 ”) i i l 8 , q ： f l j - 二函数几( z ) = 旷4 。一4 + 一当z = 旷1 1 8 时取得最小值根据( 2 4 1 5 ) ，# a 果- a 。： ， l “”8 则得( 2 4 】6 ) 从而定理获证n 1 1 1 2 参考文献 施笋蜗，张文扬非参数回归模型误差廿布的渐近理论i j 】。四川大学学报r 自然科学版 3 2 ( i ) ，1 9 9 5 ， 1 6 2 2 张文扬，施笋娟误差分布的相合估计【j 】，四川大学学报r 自然科学版j 3 3 ( 2 ) ，1 9 9 6 ，1 2 8 1 3 3 杨瑛非参数回归模型误差密度估计的了( 样本性质f j 】，北京大学学报r 自然科学版j ，3 3 ( 3 ) ，1 9 9 7 ，2 9 8 3 0 4 柴橄象线性模型误差分布估计的渐近理论 j 】j ，中国科学阻辑j ，1 1 ( 1 ) 1 9 9 2 ，1 1 3 8 - 1 1 4 4 b o s q ld ，n o n p a r a r a e t 7 i cs t a t i s t i c s 如rs t o c h a s t i cp r o c e s s e s 【m 】，l e c t u r en o t e s i ns t a t i s t i c s 1 1 0 8 1 ) 1 i n g e t u m l i nj 9 9 5 i , a z l 6g y 6 r f ie t a l ，n o n