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浙江工业大学博士学位论文 拓扑与形状集成优化算法的关键技术研究 摘要 本课题受浙江省自然科学基金项目“基于谐波小波和s t e p 数据核的拓扑与 形状双重优化算法研究”( 项目编号：y 1 0 6 8 4 7 ) 支持。全篇论文以连续体结构的 拓扑与形状优化设计技术作为研究对象，主要讨论了连续体结构的拓扑优化设计、 连续体结构的形状优化设计和边界光滑处理技术等问题。将拓扑优化、形状优化、 有限元分析和计算机辅助设计有机地集成在一起，提出了一种以s t e p 为交换工具 的形状和拓扑渐进综合优化算法，构建了优化设计系统。 首先，本文介绍了连续体结构拓扑优化设计的基本理论。介绍了变密度法、 应力准则和拓扑优化算法。 其次，研究了用b 样条曲线啦面逼近拓扑优化后的结构体边界，进行边界光滑 处理。针对以连续体为对象的优化解法所求得的优化结果，常只是反映最佳传力 途径的具有锯齿状边界的某个区域；提出了通过权因子、控制顶点和基函数来灵 活地设计和控制曲线的形状，因此可以对曲面进行任意的构造和控制。研究了一 种新的边界平滑处理和参数化的求解算法；将前一优化过程所得到的反映传力途 径的概念解上升为具有光滑边界，并被参数化了的物理解。 第三，研究了一种边界节点移动速度场法的算法；边界移动速度场的构造方 法理论研究；探讨了边界移动速度场计算方法和边界形状调整方法及模型更新理 论。 第四，研究了形状优化方法，对曲线和曲面进行参数简约处理和参数化描述 的边界参数化管理。在形状优化中，设计变量定义为b 样条曲线或曲面的控制顶点 的运动，探讨了边界节点移动速度场计算方法，有效地控制节点的运动，给出了 相应的算法和计算表达式，寻求较快的搜索方向，以合理速度分布尽快使形状变 为最佳。 最后，设计实例的结果表明了本文所建立的模型的合理性和方法的有效性。 关键词：拓扑优化；b 样条；形状优化；几何引擎；有限元分析 h 浙江工业大学博士学位论文 s t u d yo nk e yt e c h n o l o g i e so fs y n t h e t i c a l g o 砒t h mo ft o p o l o g ya n ds h a p e o p t i m i z a t i o n a b s t r a c t t h i sw o r kw a ss u p p o r t e db yz h e j i a n gp r o v i n c en a t u r a ls c i e n c e sf u n dp r o j e c t s t u d y o ni n t e g r a t e do p t i m i z a t i o na l g o r i t h mo ft o p o l o g ya n ds h a p eb a s e do n h a r m o n i cw a v e l e ta n ds t e pd a t ak e r n e l ”u n d e rt h eg r a n tn o y 1 0 6 8 4 7 t h et o p o l o g y a n ds h a p eo p t i m i z a t i o nd e s i g nt e c h n o l o g yo fc o m i n u o u ss t r u c t u r ew a sa d o p t e da s r e s e a r c ho b j e c t i v e ，t o p o l o g yo p t i m i z a t i o na n ds h a p eo p t i m i z a t i o nd e s i g no fc o n t i n u o u s s t r u c t u r e ，b o u n d a r ys m o o t hd i s p o s a lt e c h n o l o g ya n ds oo nw e r em a i n l yd i s c u s s e di nt h i s p a p e r t h i sp a p e rp u tf o r w a r di n t e g r a t e do p t i m i z a t i o na l g o r i t h mo ft o p o l o g ya n ds h a p e b a s e do ns t e pd a t ak e r n e l ；t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n , s h a p eo p t i m i z a t i o n ，f i n i t ee l e m e n t a n a l y s i sa n dc o m p u t e ra i d e dd e s i g nw e r ei n t e g r a t e de f f e c t i v e l yi no r d e rt ob u i l dt h e s y s t e mo fo p t i m i z a t i o nd e s i g n f k a l y t h eb a s i ct h e o r yo ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o nd e s i g no fc o n t i n u o u ss t r u c t u r e w e r ei n t r o d u c e di nt h i sp a p e r , w h i c hi n c l u d e sd e n s i t yv a r i a b l em e t h o d s ，s t r e s sr o l ea n d t o p o l o g yo p t i m i z a t i o na l g o r i t h r n s e c o n d l y , t h a tb s p l i n ec u r v ea n dc u r v e ds u r f a c ew a s u s e dt oa p p r o a c hc o n t i n u u m s t r u c t u r eb o u n d a r ya f t e rt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nw a sr e s e a r c h e d ，w h i c hi st h ew a yt od o t h eb o u n d a r ys m o o t h i n g t h eo p t i m i z a t i o nr e s u l tw h i c hw a sg o tb yo p t i m i z a t i o n a l g o r i t h ma i m e da tc o n t i n u u m s t r u c t u r eo n l yr e f l e c tt h es a w - s h a p e db o u n d a r ya r e a o w n i n gb e s tf o r c e - p a s s e dp a t h ，s ot h ew e i g h t s ，c o n t r o lp o i n t s ，b a s i sf u n c t i o nw a sp u t f o r w a r dt od e s i g na n dg o v e r n st h ec u r v es h a p ef r e e l y ，i nt h i sc a s e ，t h ec u r v e ds u r f a c ec a n b er e c o n s t r u c t e da n dg o v e r n e d an e wc a l c u l a t i o na l g o r i t h mo fb o u n d a r ys m o o t h i n ga n d n i 浙江工业大学博士学位论文 p a r a m e t r i c a lw a sr e s e a r c h e d ，w h i c ht r a n s f o r mt h ec o n c e p ts o l u t i o nt h a tr e f l e c t sf o r c e p a s s i n gp a t hg o tb yt h ea b o v eo p t i m i z a t i o np r o c e s st ot h ep a r a m e t r i c a lp r e c i s i o n s o l u t i o n t h i r d l y , t h en e wa l g o r i t h mo fm o v e m e n tv e l o c i t yf i e l do nb o u n d a r yn o d ew a s r e s e a r c h e d ，w h i c hi n c l u d e st h er e s e a r c ho ft h ec o n s t r u c t i o nm e t h o dt h e o r yo fb o u n d a r y m o v e m e n tv e l o c i t yf i e l d ，c a l c u l a t i o nm e t h o do fb o u n d a r ym o v e m e n tv e l o c i t yf i e l da n d b o u n d a r ys h a p ea d j u s t m e n t , a l s om o d e lu p d a t i n gt h e o r y f o u r t h l y , s h a p eo p t i m i z a t i o nm e t h o dw a sr e s e a r c h e d , w h i c hs h o w e dt h ep a r a m e t e r s i m p l ed i s p o s a lo fc u r v ea n dc u r v e ds u r f a c ea n db o u n d a r yp a r a m e t r i c a lm a n a g e m e n t d e s c r i b e dp a r a m e t r i c a l l y i nt h es h a p eo p t i m i z a t i o n ，t h ec o n t r o lp o i n tm o v e m e n t so ft h e b s p l i n ec u - n 矿e s0 1 s u r f a c e sa r ed e f i n e da sd e s i g nv a r i a b l e sf o rs h a p eo p t i m i z a t i o n ，a n d t h e nt h ec a l c u l a t i o nm e t h o do fm o v e m e n tv e l o c i t yf i l e do fb o u n d a r yn o d e w a s c o n s t r u c t e dt oc o n t r o ln o d em o v e m e n te f f e c t i v e l y , c o r r e s p o n d i n g a l g o r i t h m a n d c a l c u l a t i o ne x p r e s s i o nw a sg o tt os e e kt h eq u i c ks e a r c hd i r e c t i o n , t h es h a p ew a s r e c o n s t r u c t e dt ot h eb e s tb yt h er e a s o n a b l ev e l o c i t yd i s t r i b u t i o n f i n a l ，t h er a t i o n a l i t yo ft h em o d e la n dt h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o da r e i l l u s t r a t e db ye x a m p l e k e y w o r d s ：t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ；b - s p l i n e ；s h a p eo p t i m i z a t i o n ；g e o m e t r i ce n g i n e ； f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ( f e a ) i v 浙江工业大学博士学位论文 浙江工业大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的研究成果。除文中已经加以标注引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙 江工业大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明 的法律责任。 作者虢饧髟髟蹶力彦年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权浙江工业大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： e t 期：如年月日期：7 一矿年莎月d 日 日期p 弼年乡月 浙江t 业人学博 ：学位论文 1 1 课题概述 1 1 1 课题来源 第一章绪论 本课题受浙江省自然科学基金项目“基于谐波小波和s t e p 数据核的拓扑与形 状双重优化算法研究”( n o y 1 0 6 8 4 7 ) 支持。 1 1 2 课题研究背景 近几年，在机械和结构工程领域中，结构的优化设计技术发展非常之快，已 成为科技界和企业界共同关注的焦点。发展优化设计技术，可以提高产品性能、 降低成本。如德国宝马公司利用m s c n a s t r a n 所作的概念车设计，可以把车身 主体结构的重量减轻3 4 。美国三大汽车公司、日本丰田汽车公司都开展了这方 面的研究工作，福特汽车公司也对汽车车架等关键部件进行了结构拓扑优化设计。 连续体结构的拓扑优化的研究有了长足的发展，各种求解方法相继涌现，比如： 在拓扑优化领域中，就发展了均匀化法、变密度法、遗传算法、神经网络法、模 拟退火法等等新的算法，研究成果得到了应用。目前大部分关于拓扑优化的研究 还处在理论探索阶段，以连续体为对象的优化解法所求得的优化结果，常只是反 映最佳传力途径的具有锯齿状边界的某个区域；得到的优化解大多都是概念解， 具有锯齿状边界，对加工造成一定的难度。形状优化是在结构的初始拓扑形式下， 追求一定约束下结构的最佳布局，并使目标函数最优。形状优化方面也已有了很 多基本理论和算法，有待提高算法在应用中的稳定性和计算效率。形状优化和拓 扑优化对应产品设计的概念设计阶段，可看作是一种高层次的综合优化技术。 结构的拓扑优化设计是在结构优化领域出现的一种新型的富有挑战性的研究 方向。虽然国际上对拓扑优化技术的研究已有2 0 多年的历史，但由于结构拓扑优 化设计因其描述及算法的复杂性，一些关键性的技术，如优化模型和优化算法还 处于探索和发展阶段，目前拓扑优化技术已成为国际结构优化领域的热点研究问 浙江工业大学博士学位论文 题。国际上一些知名的c a d 和c a e 软件系统，如n a s t r a n 、i - d e a s 、a n s y s 、h y p e r w o r k s 和t o s c a 等都普遍加入了结构尺寸及形状优化功能模块，有的甚至加入了拓扑优 化设计模块，但目前拓扑优化模块中所选用的算法还存在不足，得到的优化解大 多都是具有锯齿状边界的概念解。本文主要研究和探索有关连续体结构优化的一 些基础理论，尽量利用现有的c a e 软件系统( 如n a s l r a n 、h y p e r w o r k s ) 中的分析 模块，将其融入开发的优化设计系统中，目的是建立起c a d 有限元分析优化设计 集成环境下的一个利用几何引擎的求解系统，使寻优计算能顺利进行：研究一种 面向形状和拓扑优化的变密度算法，实现内循环寻优。对边界调整技术和外循环 优化技术进行研究，初步得到较光顺的几何外形；将内循环分解为拓扑寻优和形 状进化两个独立模块，然后在拓扑控制器的控制下，进行形状和拓扑交替进行的 渐进综合优化外循环寻优计算；研究一种边界平滑处理和参数化算法，将前一优 化过程所得到的反映传力途径的概念解上升为具有光滑边界，并被参数化了的物 理解；探索两个算法，即用于内循环形状优化的边界节点移动速度场法，和用于 外循环形状和拓扑综合优化的拓扑控制形状渐进优化算法：使寻优过程能在设计 者的控制之下，按所希望的拓扑结构和形状逐渐优化；同时，研究一种边界平滑 处理和参数化的外循环边界处理求解算法；优化结果将是一个具有光滑边界，并 具有边界参数的几何形状；研究优化结果向c a d 系统的返回机制，建立模型重建系 统，优化结果可以返回至i j c a d 系统中去，进行设计者所需要的进一步设计和修改， 这样所得到的优化结果将更贴近工程实际。连续体结构的拓扑优化设计技术在航 空航天、汽车、机械、船舶、桥梁、水利等领域中必将有着广泛的应用前景。 1 1 3 研究目的和意义 虽然结构的拓扑优化、形状优化设计经过几十年的发展，已达到了较为成熟 的水平，但也存在着不足之处。形状优化建立在用有限元对结构进行重分析的基 础之上，形状优化过程中，结构的初始拓扑形式一般固定不变，通过优化过程寻 求结构最理想的边界形式。形状优化过程中设计域的形状不断发生变化，单元的 结点坐标在优化过程中随着结构边界的变化在不断发生变化，旦结构的拓扑发 生变化意味着相应有限元模型的显著变化，需对有限元网格重新划分，因而，形 状优化离不开单元网格的剖分技术和曲线曲面形成技术的支持。在进行形状优化 2 浙江工业大学博士学位论文 设计时，结构体的初始拓扑形式一般不发生变化，因此在概念设计阶段就需大致确 定出结构的基本拓扑形式，这在结构的最优拓扑形式未知的情况下显然具有一定 的盲目性，因为选择的初始拓扑形式不一定是最优拓扑。虽然结构的形状也可能 最优，但这种最优是建立在结构初始拓扑形式未知的条件下的。为了克月艮结构优 化的这种缺陷，引入结构拓扑优化设计的概念。结构拓扑优化设计是在结构的初 始拓扑关系未知的情况下，以寻求结构的材料在设计空间最佳传力路径或最佳刚 度分布形式下的对应的拓扑形式，因而开展结构拓扑优化技术的研究，在结构的 概念设计阶段具有很重要的指导性意义。拓扑优化很大程度上能够保证结构后续 的形状优化，是在初始拓扑最优的形式下进行的。发展优化设计技术可以提高企 业资源利用率、产品性能，降低成本，近几年产生了很多优化的研究成果，这类成 果已广泛应用于汽车、机械、船舶、桥梁、水利等领域，本文的研究具有良好的 产业前景。优化设计能推动我国的经济和技术的进一步发展，对企业推出具有竞 争力的高技术水平的产品和社会进步，都具有很重要的意义。 我国正在实施制造业信息化工程。在这中间，各个c a x 系统的集成和数据的 有效交换问题，常常是关系到系统能否充分发挥其效益的关键问题之一。显然， 优化设计技术只有与信息系统中的其它技术很好地集成在一起，才能真正发挥出 它的作用。优化设计跟c a d c a e 的集成问题，以及在集成环境下的优化解法和技 术，是一个很重要的理论问题；它们是目前国际上c a x 领域里的前沿问题，具有 重要的理论意义和实用价值。 本文具体的研究目的和意义主要体现在以下几个方面： 1 ) 以连续体为对象的优化解法所求得的优化结果，常得到具有锯齿状边界的 概念解，本文针对这种情况，提出了在拓扑优化后的概念解基础上，用几何重构 技术逼近拓扑优化后的边界，使其边界光滑化，便于加工。但这样优化后的形状 并非一定最佳，为此，再在前面拓扑优化和表面光滑处理后的基础上，再进一步 进行形状优化，使其达到最佳形状，真正实现拓扑优化、形状优化、有限元分析 和计算机辅助设计融为一体。本研究旨在建立起c a d 有限元分析优化设计集成环 境下的一个利用几何引擎先进的求解系统，使寻优计算能顺利进行；研究一种面 向形状和拓扑优化的算法。对边界调整技术和优化技术进行研究，解决优化过程 中对拓扑结构的人工调控实施机制，得到具有较光顺的几何外形的物理解，实行 拓扑和形状的综合优化。 3 浙江工业大学博士学位论文 2 ) 研究一种面向形状和拓扑综合优化的拓扑控制形状渐进优化算法，能给出 边界比较光顺的第1 级优化近似结果。为此，需研究一个具有较高求解效率的面 向内循环拓扑优化( 和布局优化) 算法。再研究个面向内循环形状优化的曲面 表示和造型方法，研究广义有理曲面的各种控制和设计方法；研究边界节点移动 速度场的新算法。然后在这两个内循环的基础上，研究一个具有拓扑控制机制的 形状和拓扑交替渐进外循环优化算法。研究一种外循环边界平滑处理和参数化的 求解算法，将内循环的第1 级优化近似结果上升为具有光滑边界和参数化描述的 物理解，给出第2 级优化近似结果；研究外循环模型重建算法，将第2 级优化近 似结果上升为外界的c a d 系统能够直接接受的通用c a d 模型；以便进一步融入 工程设计意图，改进产品设计。 “计算机辅助结构优化设计 将是一项具有很大潜在发展前途的新技术。具 有力学、机械、结构工程、信号处理和信息技术等多学科相交叉的特点。研究以 s t e p 文件为交换工具的将c a d 、有限元分析和优化设计集成在一起的优化设计 系统：在寻优算法中，将运用并发展力学和数学中的一些现代优化算法；在边界 处理时，将运用计算几何和现代曲线曲面( 如n u r b s ) 技术等概念。研究内容是 计算机辅助设计、分析和制造系统中的一项高新技术。对于发展深层次c a e 技术， 对于提高传统制造业的技术水平将有很大的实际意义，研究成果可广泛应用于汽 车、机械、船舶等领域，对实现我国的经济的可持续发展具有重要的科技意义与 应用价值。 1 2 国内外的研究概况 2 0 世纪6 0 年代以来，随着计算机技术的迅速发展和有限元方法的诞生，结构 优化迅速发展起来。经过许多力学工作者和工程技术人员的不断研究，结构优化 成为力学的一个重要分支，并逐步应用到工程结构设计中。结构优化主要研究如 何为工程师提供可靠、高效的方法以改进结构的设计，有很强的应用背景。根据 问题的特点，结构优化可分为三个层次：结构尺寸优化( 一般以截面尺寸为设计变 量) 结构形状优化( 以确定结构几何形状的参数为设计变量) 和结构拓扑优化( 以确 定结构布局、拓扑的参数为设计变量) 。目前，结构拓扑优化难度较大，被认为是 结构优化中最困难、最富挑战性的研究领域。拓扑的改进可以大大改善结构的性 4 浙江t 业大学博士学位论文 能或减轻结构重量，因此人们一直很关注结构拓扑优化的研究。结构拓扑优化方 法研究仍处在初期阶段，在设计实践中的应用较少。 结构拓扑优化的基本概念是指在给定设计空间、支撑条件、载荷条件和某些 工艺设计等要求下，确定结构构件的相互连接方式，结构内有无孔洞、孔洞的数 量、位置等拓扑形式，使结构能将外载荷传递到支座，同时使结构的某种性能指 标达到最优，这个过程称为结构拓扑优化。根据优化对象的不同，结构拓扑优化 可以分为两大类：一类是以桁架结构为代表的离散结构拓扑优化，主要确定节点 间单元的相互连接方式，同时包括节点的删除与增加；另一类是连续体结构的拓 扑优化，主要是确定其内部有无孔洞，孔洞的位置，数量和形状等等。结构拓扑 优化的研究最早是从离散结构中最具代表性的桁架结构开始的，可以追溯到1 9 0 4 年由m i e h e l l 提出的m i c h e l l 桁架理论【lj ，但其只能适用于单工况并且依赖于选择 适当的应变场，并不适用工程实际。然而受其启发，近年来在尺寸优化及形状优 化领域的研究已经取得了重要进展，但拓扑布局优化理论发展仍然进展缓慢。国 际结构与多学科优化学会主席r o z v a n y 2 】以及国际结构与多学科优化学会副主席 k i r s e h t a l 认为，结构布局和拓扑优化也许是结构拓扑优化设计中最富有挑战性、最 困难的一类问题。拓扑布局优化方法仍然处在发展初期，他们在设计实践中的应 用相对来说较少。 离散结构拓扑优化主要围绕桁架进行，其结构分析比较简单，设计变量少， 计算量小，主要用于理论方法的推导和验证。经多年研究，离散结构拓扑优化研 究取得丰硕成果，在实际工程设计中也得到一些应用。在一般的桁架拓扑优化问 题中，通常假定外力，支撑和基本节点已经给定，要求确定节点之间杆件的最优 连接情况及杆件的截面积，使结构的重量或造价最小，同时满足应力，节点位移 和结构柔顺度等动态要求。由d o m 、g o m o r y 和g r e e n b e r g 提出的基结构法1 4 j 是桁 架结构拓扑优化的主要方法。根据这一方法，对于给定的桁架节点( 外载荷作用 点和支承) ，在每两个节点之间用杆件连接起来，得到的结构称为基结构。用基 结构作为拓扑优化的初始设计又可分为两类：线性规划类方法和非线性规划类方 法。线性规划类方法的特点是：一般以杆件内力作为拓扑设计变量，节点平衡方 程或者预定位移场下的刚度方程为约束条件，把结构拓扑优化问题简化为线性规 划问题求解，壹【l r i n g e r t z 5 1 、k i r s c h n 、段宝岩和叶尚辉m 、谭中富和孙纯焕8 】等人 的研究。非线性规划类方法的特点是：一般以杆件断面积作为拓扑设计变量，采 s 浙江了业大学博十学位论文 用优化算法来优化杆件断面积，在迭代过程中，如果某根杆的断面积足够小，则将 其从基结构中删除，迭代收敛的结果便认为是最优拓扑( r i n g e r t z 【9 1 、k i r s c h t 6 1 、王 跃方和孙纯焕【1o 】) ；桁架结构的拓扑优化中，全局最优解往往是奇异最优解。因 此，相当长一段时间内，奇异最优解问题成为阻碍结构拓扑优化理论发展的重大 障碍。程耿东等【1o 】研究了用模拟退火算法进行拓扑优化，许素强等 i 1 1 研究用遗传 算法进行拓扑优化。程耿东等【1 2 - 1 4 】提出了种放松算法处理桁架结构奇异最优 解。 连续体结构拓扑优化是指在给定外载及支承位置的情况下，采用优化方法决 定是否应该在连续体内开孔、开多少个孔以减轻结构的重量或提高结构的性能。 连续体结构拓扑优化存在设计变量多，模型复杂等特点。连续体结构发展的起点 是以b e n d s o e 和k i k u c h i 0 5 1 提出的均匀化方法为标志的。连续体拓扑优化模型主要 分为两类，一类是根据拓扑优化问题0 1 离散变量组合优化的本质，建立基于0 和1 离散变量描述的优化模型，采用组合优化方法求解拓扑优化问题。组合优化方法 对于小规模问题具有较强的全局寻优能力，同时也不存在其它连续变量拓扑优化 中的“奇异最优解 问题。但当优化问题的规模较大时，优化求解效率低且易出 现所谓的“组合爆炸”问题。另一类是避开原问题离散变量的本质描述方式，将 拓扑变量取为单元尺寸或材料物理参数等连续变量，使原问题优化模型转化为连 续变量问题的优化模型，通过连续变量取下限值，实现结构拓扑变更。根据连续 变量描述方法的不同，该类方法有可以大体上分为两类，以几何( 尺寸) 描述形式的 拓扑优化和以材料( 物理) 描述形式的拓扑优化方法。 几何( 尺寸) 描述形式的拓扑优化方法主要有变厚度法【1 6 - 1 8 1 和泡泡法【1 9 1 等。其中 变厚度法较多采用，基本思想是以单元厚度为拓扑设计变量，以优化结果中厚度 的分布确定最优拓扑，是尺寸优化的推广，但很难用于三维连续体结构的拓扑优 化。材料( 物理) 描述形式是目前连续体结构拓扑优化问题描述的一种很有效的形 式，主要有均匀化方法和变密度方法，主要思想是将结构拓扑优化问题定义为确 定材料在设计空间中最优分布的问题，即确定设计空间中那一点有材料，那一点 没有材料。从理论到算法到实例，从静力到动力，己有一大批论文发表。国内的 拓扑优化设计取得了很多成果，但主要集中在桁架结构，对于连续体结构的研究 相对较少。 6 浙江工业大学博士学位论文 均匀化思想最早来源于材料科学领域，是指用一种等效的材料模型来代替复 合材料模型以克服因材料异质性带来的计算困难问题，因为复合材料单胞在设计 空间的周期性重复导致了材料的高度异质性。要表示材料的这种异质性，需要离 散出大量的有限元网格，用有限元法直接求解将很困难。均匀化方法不用详尽表 示域中各点的材料属性，而能以一种近似的方法反映微结构材料的宏观力学属性， 将原问题的力学量化为互不耦合的细观问题和宏观问题。均匀化理论以数学中的 奇异摄动理论为基础( b e n s o u s s a l l 等【2 0 2 1 】) ，引入细观和宏观两种尺度之比作为小参 数，以数学中关于周期性假定和渐进扩张的理论，用缓慢变化或者常系数的微分 方程来替代高频振荡系数的微分方程，从数学的观点来看是具有一定的近似性的。 均匀化方法的基本思想就是在组成拓扑结构的材料中引入微结构( 单胞) ，优化过程 中以微结构单胞的几何尺寸和空间方位角作为设计变量，以单胞尺寸的变化来实 现微结构的增删。均匀化方法应用于连续体结构的拓扑优化设计，起源于程耿东 和o l h o f f 2 2 , 2 3 】对实心弹性薄板形状优化所做的研究工作，他们首次将微结构引入结 构优化设计中，拓展了设计空间。b e n d s o e 和k i k u c h i t b 】在1 9 8 8 年首次将均匀化方法 成功用于连续体结构的拓扑优化设计中，建立了以结构柔顺度最小为目标函数， 结构体积为约束的连续体结构的拓扑优化设计模型，这标志着连续体结构的拓扑 优化设计技术进入一个新的阶段。随后，s u z u k i 和k j k u c k i l 2 4 ，g u e d e s 和k i k u c k i 2 5 1 ， f e m a n d e s 等【2 6 】对此进行了概括和不断的完善，并由d i a z l 2 7 和m a l 2 8 】进一步推广至特 征值问题的结构拓扑优化，h a s s a n i 和h i n t o n ( 1 9 9 8 ) 2 9 j 回顾了均匀化方法方程的理论 和推导，描述了拓扑优化中用到的不同材料模型的均匀化方程的理论和结果，并 构造了结构拓扑优化的数学模型，推导了与之相关的优化标准。h c g e a ( 1 9 9 6 ) t 3 0 l 提出了一种新型微结构可行域设计方法，该法中，杨氏模量和剪切模量以相位参 数和强度系数方式表示，用数学规划方法解决了拓扑优化问题。j c e a ( 2 0 0 0 ) 3 1 等 人研究了形状和拓扑优化的联系，指出当传统的形状梯度和拓扑梯度同时应用时， 可拓宽其应用领域。k r o g 并1 o l h o f f ( 1 9 9 9 ) 1 3 2 1 研究了以复刚度和特征频率为目标，静 态加载或自由振动的盘和板结构的拓扑优化，板的不同类型的全挂式加强件的布 局优化问题。o h s a l d 和n a k a m u r a ( 1 9 9 6 ) 3 3 】提出一种系统拓扑优化的最小约束扰动 的方法，该法中约束以状态变量形式定义，讨论了解的唯一性。b l e t z i n g e r 和 m a u t e ( 1 9 9 7 ) 瞰】进一步发展了面向广义形状和拓扑的自适应优化方法。s h i n j i n i s h i w a k i ( 2 0 0 1 ) 3 5 】扩展了均匀化设计方法，研究了考虑弹性的结构优化。他们用能 7 浙江工业大学博士学位论文 量法建立了弹性公式，提出了为得到弹性和刚性相结合的优化结构的多目标方程， 用均匀化方法和连续线性规划方法编写了拓扑优化程序。n i e l sl p e d e r s e n ( 2 0 0 1 ) 3 6 】 对具有预应力的板结构的柔度和特征值进行了拓扑优化j 以罚函数法和移动渐近 线法相结合进行拓扑优化，进行了最小化柔度或最大化特征值的实例的计算。k t a i 和r t f e n n e r ( 1 9 9 9 ) 3 7 】应用边界元方法对二维线弹性连续体结构同时进行了形状 和拓扑优化。j l u oa n dh c g e a ( 1 9 9 8 ) t 3 8 】提出了用来解决三维板壳结构加强件的静 态和特征值问题的系统拓扑优化方法，给出了加强件的位置和方向的确定方法。 k a p r o o s ( 2 0 0 1 ) 3 9 1 等人在他们的文章里研究了多目标问题的结构优化，即固有频 率最大和结构柔度最小。s m i n ( 1 9 9 9 ) 1 4 0 1 等人研究了动载作用下结构拓扑优化。与 以往优化工作集中在动载作用下最小化结构重量、约束条件为位移、应力、频率 和单元尺寸不同，他们应用均匀化设计方法得到最优拓扑，应用显式积分法解决 线性瞬变问题。b l a s i eb o u r d i n ( 2 0 0 1 ) 4 l 】在他的文章里提出了一种最小柔度拓扑优化 问题的改进的筛选方案，该方案中，材料特性对密度的直接依靠被调整了的密度 场代替，密度场则通过回旋因子的改变而改变。他还将此项技术应用于拓扑优化 的两个重要的数值问题：“棋盘图案 和单元依赖。p a y t e n ( 1 9 9 8 ) 凇】提出了整体自 组织拓扑优化方法，该法中，局部状态因子决定每轮迭代中每个单元的状态，状 态因子以非线性微分方程解的形式表示，该微分方程通过每个单元的材料密度和 应变能不断迭代求解。m b e c k e r s ( 1 9 9 9 ) 4 3 】研究了静态线弹性连续体结构的拓扑优 化，他们提出的方法是在最小化柔度的前提下，解决如何将给定材料分布在给定 有限区域的单元网格上，该法对具有大量设计变量和少量约束条件的问题特别有 效。n o l h o 坟1 9 9 8 ) 【4 q 应用最优微结构对静态单工况线弹性三维连续体结构进行了 拓扑优化，最优结构拓扑由最大集中刚度( 即最小弹性柔度或最小弹性变形能) 决 定。s t o l p ea n d s v a n b e r g ( 2 0 0 1 ) 4 s 】研究了以最小化结构柔度为目标寻求两种线弹性材 料最优分布的离散的0 - 1 连续体拓扑优化问题，通过对设计区域周边加约束来限制 设计的几何复杂性，提出了建立在合理方程上的材料插补模型，该方程以比例因 子为参数，使得当比例因子为零时，柔度为凸函数，增加了松弛问题得到0 1 解答 的可能性。l i na n dc h a o ( 2 0 0 0 ) 1 4 6 提出了二维结构的全自动图案优化系统，该系统 分三阶段，第一阶段用均匀化方法或材料分布方法得到具有最小柔度的界限不明 的结构图案；第二阶段包括将第一阶段的图案转化成参数化结构模型；第三阶段 则把形状参数作为设计变量处理，以寻求规则的图案并保证满足所有设计约束。 8 浙江工业大学博士学位论文 该系统由于不需人机交互，提高了完成拓扑和形状优化的效率。n i s h i w a k i ( 2 0 0 0 ) 4 7 】 等人提出了一种周期荷载作用下弹性结构的拓扑优化方法，首先，应用互能原理 建立了动态周期荷载作用下的弹性公式：其次，建立了多目标优化问题，旨在得 到同时考虑弹性和刚度的多目标方程的最优解：最后，应用均匀化方法开发了拓 扑优化程序。k i m ( 2 0 0 0 ) 4 8 】等人提出了一种叫做智能孔洞生成的改进的进化结构优 化法，这种方法对减少“棋盘图案”现象最有效。b u h l ( 2 0 0 0 ) 4 9 】研究了承受大变 形几何非线性结构的拓扑优化。均匀化方法对二维结构每单元有三个设计变量， 三维有六个设计变量，设计变量多，灵敏度计算复杂。并且优化后的结构含有多 孔质材料，不易制造。迄今为止的均匀化方法还不能给出带有微观结构材料的宏 观许用应力和微结构尺寸的关系，且求得的最终设计可能具有很不清晰的拓扑。 变密度法人为假定单元的密度和材料物理属数( 如：许用应力，弹性模量) 之间的某种对应关系，以连续变量的密度函数形式显式地表达这种对应关系。变 密度法基于各向同性材料，不需引入微结构、不需均匀化过程，它以每个单元的 相对密度作为设计变量，每个单元有唯一的设计变量，假设材料弹性模量和许用 应力都依赖于材料密度。优化结果是材料的最优分布，材料分布反映了结构的最 优拓扑，程序实现简单，计算效率高。当然这里所讲的密度是单元正则化以后的 相对密度。变密度法不仅可以采用结构的柔度为优化的目标函数，也可以用于特 征值优化，屈曲优化，柔性机构的优化，多学科优化等领域。变密度法主要的密 度- 冈4 度插值格式有“带惩罚指数的固体各向同性微结构模型 ( s i m p ：s o l i di s o t r o p i c m i c r o s t r u c t u r e sw i t hp e n a l i z a t i o n ) s o , s l 】、“材料属性的理性近似模型”( r a m p ：r a t i o n a l a p p r o x i m a t i o no fm a t e r i a lp r o p e r t i e s ) 5 2 l 两种。对于s i m p 模型，b e n d s a e 和s i g m u n d 两人已证实了其物理意义的存在【5 3 】。对刁：r a m p 模型，s t o p l e 和s v a n b e r g 5 4 两人详 细讨论了其属性。s i m p 或r a m p 通过引入适当的惩罚因子对中间密度值进行惩罚 【5 5 】。b o r r v a l l 和p e t e r s s o n ( 2 0 0 1 ) 1 5 6 】通过控制调整后的中间密度进行了弹性连续体的 拓扑优化设计。他们假设弹性张量与密度成线性关系，得到“黑一白相间的设 计图案，用一个外在约束控制中间密度值，该外在约束通过调整线性算子来保证 解的存在，该方法对具有类似网格独立或棋盘图案的数字奇异现象不适用。 y c h l i a n gh s u ( 2 0 0 1 ) 5 7 】提出了一种用等密度线来解释拓扑优化结果并进而使拓扑 优化与形状优化相结合的处理方法，指出这种方法完全是自动处理的，并能应用 于三维结构的拓扑优化中。黼( 1 9 9 2 ) 1 16 】用此法对弹性平面体结构的最小柔度问 9 浙江丁业大学博：卜学位论文 题进行了拓扑优化设计，并讨论了材料密度和弹性模量之间假定关系的合理性。 ：e 健( 1 9 9 7 ) t 5 8 】在此基础上进一步发展了变密度法，并对应力约束下的连续体结构进 行了拓扑优化设计。他不仅假设弹性模量与材料密度有关，而且假设材料许用应 力与材料密度有关。t s k i m 和y y k i m ( 2 0 0 0 ) i s 9 1 阐述了一种基于模型稳定准则 的模型跟踪法结构拓扑优化设计方法，该法用于结构特征频率最大化的设计，即 让结构拓扑塑形状相对于最初结构明显变化，该法在正确跟踪所需模型上是十分 有效的，惩罚密度函数法对拓扑优化的应用使精度分析成为可能。隋允康等提出 了基于i c m ( 独立、连续映射变量) 方法的优化模型6 0 - 6 2 1 ，建立离散变量和连续变量 拓扑优化的统一模型，并试图将刚度拓扑优化和强度拓扑优化统一起来；隋允康 等【6 3 巧5 1 研究了基于有无复合体模型的应力约束下平面连续体的拓扑优化，在此基 础上建立的以重量最小为目标、应力和位移为约束的适于线体和面、实体连续结 构的拓扑优化统一模型，其结构拓扑生成方法的一个重要途径是以参数化模型为 基础，几何模型的参数必须以最能反映其结构的形状特征，诸如模型描述、几何 特征建立、拓扑信息等确立适于形状描述及形状变化的方法，这些基本思想已经 取得了较好的效果。 变厚度法或许是最早被用于连续体结构拓扑优化设计的方法。它以单元厚度 为设计变量，以优化结果中的厚度分布确定最优拓扑。具有方法简单、概念清晰 的特点，缺点是不能应用到三维连续体结构。程耿东和张东旭( 1 9 9 5 ) 【吲用变厚度法 研究了应力约束下平面弹性体的拓扑优化问题。王健和程耿东( 1 9 9 7 ) 【6 7 】用变厚度法 研究了应力约束下薄板结构的拓扑优化问题。 结构拓扑优化研究开始于上个世纪末，本世纪六十年代出现过一个研究热潮， 但进展很小，从八十年代末，结构拓扑优化再次在国际上成为热点，出现很多好 的研究工作。x i e 和s t e v e n 6 引、z h o u 和r o z v a n y 6 9 】等提出了基于进化策略的进化结 构法。m i c h a e l 等提出一种所谓的水平集方法( l e v e ls e tm e t h o d ) t 7 0 1 ，优化问题中结 构的边界用嵌入到高维尺度函数中的水平集模型来表示，该模型在描述复杂结构 的拓扑及边界变化方面具有较好的灵活性。软杀法( s o f tk i l lm e t h o d ) 和硬杀法( h a r d k i l lm e t h o d ) p 1 1 ，可作为均匀化方法的替代方法。h a s s a n i 和h i n t o n l 2 1 】的专著、 r o