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九年级上册第三章用3圆内接四边形的性质与判定一、基础知识回顾1在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的相等,所对的 也相等。2. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条 、两条 、两个 中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等。3. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 。(1) 半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 90的圆周角所对的弦是 .(2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 .二、知识延伸拓展如果四边形的各顶点在一个圆上,这个四边形叫做这个圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆。例如,图1中,四边形ABCD是O的内接四边形;O是四边形ABCD的外接圆。圆内接四边形有以下性质:图1E图2性质定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。已知:如图2,四边形ABCD内接于O,DCE是四边形ABCD的外角。BADBCDA所对的弧是BCDBCD所对的弧是BADmmm求证:(1)A+BCD=180,B+D=180; (2)DCE=A。证明:(1) , , 和 的度数和是360 同理,B+D=180。 (2) DCE是四边形ABCD的外角,DCE+BCD=180由(1)得A+BCD=180DCE=A。反过来,如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗? 已知:四边形ABCD中,B +D=180求证:A,B,C,D在同一圆周上。分析:根据不在同一直线上的三点确定一个圆,不妨设A、B、C三点确定O,则点D与O的位置关系有三种:在圆外、在圆上、在圆内,如果能排除点D在圆外和在圆内,则点D必在圆上。证明:(1)如果点D在O外部(如图3)。则AEC+B=180因B+D=180得 D=AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。(2)如果点D在O内部(如图4)。则B+E=180B+ADC=180E=ADC同样矛盾。点D不可能在O内。综上所述,点D只能在圆周上,四点共圆。判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上(简称四点共圆). 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么它的四个顶点共圆. 三、精典例题点拨例1 已知:如图5,AD是ABC的外角EAC的平分线,与ABC的外接圆交于点D。求证:DB=DC。证明: AD是EAC的平分线,DAC=DAE。 四边形ABCD内接于圆,DCB=DAE 圆周角DBC和DAC所对的弧都是CD,DBC=DAC DBC=DCB DB=DC。例2 如图6,O1与O2都经过A,B两点,经过点A的直线CD与O1交于点C,与O2 交于点D,经过点B的直线EF与O1交于点E,与O2交与点F.O2O1求证:CE/DF.证明:连接AB四边形ABEC是O1的内接四边形。 BAD=E. 四边形ADFB是O2的内接四边形。 BAD+F=180 E+F=180 CE/DF . 例3 如图7,CF是ABC的AB边上的高,FPBC,FQAC. 求证:A,B,P,Q四点共圆.证明:连接PQ。在四边形QFPC中,FPBC FQAC, FQA=FPC=90.Q,F,P,C四点共圆。 QFC=QPC.又CFAB QFC与QFA互余.而A与QFA也互余. A=QFC.A=QPC. A,B,P,Q四点共圆。想一想1.圆内接平行四边形一定是 形;2.圆内接梯形一定是 形;3.圆内接菱形一定是 形。四、随堂练习设计1.在圆内接四边形ABCD中,已知A=50 ,D -B=40 ,则B= ,C= ,D= 。2.如图8,四边形ABCD为O的内接四边形,已知BOD=100 ,则BAD= ,BCD= 。 3.如图9,以等腰ABC的底边BC为直径的O分别交两腰AB,AC与点E,D,连结DE。求证:DE/BC。4.任意画一个矩形,再画出它的外接圆。五、课后作业巩固1.若圆内接四边形ABCD中,A,B,C的度数的比是236,则该四边形内角中最大度数是( ) A.1200 B.1350 C.900 D.4502. 如图10,四边形内接于O,它的对角线把四个内角分成八个角,其中相等的角有( )A2对B4对C6对D8对 图11图103. 如图11,已知PA、PB是圆O的切线,A、B分别是切点,C为圆O上不与A、B重合的另一点,若ACB=120,则APB=_.4圆内接四边形ABCD中,则 .图125如图12,四边形ABCD内接于圆,DCE=50,则BOD=_图136如图13,AB为半圆O的直径,C、D为半圆上的两点,则 .7如图14,在ABC中,AEF=45,BEAC于E,CFAB于F,EFC=20,则ABE=_图15图148. 如图15, O的内接四边形BCED, 延长ED, CB交于点A, 若BDAE, AB=4,BC=2, AD=3,则DE=_;CE=_.9.如图16,已知ABC中,AB=AC,D是ABC外接圆劣弧上的点(不与A,C重合),延长BD到E.(1)求证:AD的延长线平分CDE;(2)若BAC=30,ABC中,BC边上的高为2+,求ABC外接圆的面积. 图1610. 已知:如图17, 四边形ABCD中,ABC=ADC=90,DAB=60,BD=6cm求:对角线AC的长图17六、本课时参考答案随堂练习1.70,130,110; 2. 50,130; 3. 四边形BCDE内接于O AED=C 又B=C AED=B DE/BC 。4. 略。课后
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