（信号与信息处理专业论文）图像恢复中的整体变分方法研究.pdf

摘要 图像恢复的目的是消除或者减轻图像获取传输过程中所发生的品质退化现 象，逼近没有退化的理想图像，即重建出原始图像。 本论文在能量变分方法的框架下，研究图像恢复问题，主要讨论如何利用整 体变分对图像( 特别是边缘) 的较优的度量特征来实现图像恢复这一病态问题的 更好的正则化性，由此获得更理想的图像恢复结果。基于整体变分的图像恢复概 括的说就是把图像恢复问题形式化为带有整体变分正则化项的图像能量泛函极 值问题，采用变分原理将其中的最小化问题转为所要求解的偏微分方程，即e u l e r - l a g r a n g e 方程，利用数字图像本身的离散特征使用适当的数值方法来求它的最优 解，最后达到逼近原始图像的目的。论文对所采用的整体变分( t o t a l v a r i a t i o n ) 方法的原理及其理由进行了详细的说明。 论文针对图像恢复中两个主要问题：去噪和去模糊展开了研究。在去噪问题 的研究中，我们首先讨论了传统正则化模型中的缺点，并描述了t v 模型在抑制 噪声的同时能保持边缘的特性，接着详细推导了相应的数值计算模型。最后通过 模拟和自然图像的实验结果来给出验证和分析。在去模糊的研究中，首先讨论了 如何解决己知模糊核的图像复原问题，然后推广到了去模糊问题中的一种更病态 的情况盲复原，即在不确知模糊核的情况下复原退化图像。在盲复原算法中， 论文利用交替迭代方法来求解偏微分方程，把恢复过程分解为模糊辨识和复原图 像两个阶段；同时，针对方程中的扩散系数的特性，在盲复原的交替迭代过程中 引入了一种自适应参数调整机制以便更好的保持图像的某些细节信息。最后的实 验结果也再次验证了t v 方法对于图像恢复有着良好的效果。 关键词：整体变分( t v ) ，图像恢复，图像盲复原 a b s t r a c t a b s t r a c t i m a g er e s t o r a t i o nf o c u s e so nr e m o v i n go rr e d u c i n gt h ed e g r a d a t i o nw h i c ha r i s e s d u r i n gt h ei m a g ea c q u i s i t i o na n dt r a n s p o r t a t i o n ，m a k i n gt h ei m a g er e s t o r e dg e tc l o s e t ot h ei d e a lu n d e g r a d e di m a g e ，t h ep u r p o s eo fw h i c hi st or e c o n s t r u c tt h eo r i g i n a l i m a g e t h i st h e s i ss t u d yi m a g er e s t o r a t i o nw h i c hi so b t a i n e du n d e rt h ef l a m eo fv a r i a t i o n f u n c t i o n a l ，a n dd i s c u s st h ef i n ec h a r a c t e r so ft h et o t a lv a r i a t i o nm e a s u r ef o ri m a g e r e s t o r a t i o n ( e s p e c i a l l yf o rt h ee d g e ) ，t og e t ab e t t e rr e s u l t t h ee s s e n c ei d e ao f r e s t o r a t i o nb a s e do nt o t a lv a r i a t i o ni st h a tt r a n s l a t et h ep r o b l e mi n t om i n i n l u n lo f e n e r g yf u n c t i o n a l 州廿lt vm g u l a r i z a t i o n t h e nt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r e g o tf r o mt h ep r i n c i p l eo fv a r i a t i o n ，f i n a l l ya f t e rd i s e r e t i z a t i o nt h eo p t i m a lr e s o l u t i o n w i t ht h en u m e r i c a lm e t h o d si so b t a i n e d t h ep r i n c i p l eo ft vw i l lb ei l l u s t r a t e di nt h e t h e s i s t h et vm e t h o di sa p p l i e dt os o l v et w op r o b l e m ss u c ha s d e n o i s ea n dd e b l u r , w h i c h a r eo f t e nc o n c e m e di nt h ei m a g er e s t o r a t i o n a sf o rt h ed e n o i s e ，t h ed r a w b a c k so f t r a d i t i o n a lr e g u l a r i z a t i o ni sf i r s td i s c u s s e d ，a n dt h e nt h et o t a lv a r i a t i o n sc h a r a c t e r so f s u p p r e s s i n gn o i s ea sw e l la sp r e s e r v i n gt h ee d g ei si l l u s t r a t e d ，t h en u m e r i c a lm o d e li s g i v e ni nt h ee n d t h ef i n a le x p e r i m e n t sh a v ev e r i f i e dt h ea l g o r i t h m se f f i c i e n c y a sf o r i m a g ed e b l u r , r e s t o r i n gt h ei m a g ew i t hk n o w np s fi sf i r s td i s c u s s e d ，t h e nw ee x p e n d i tt oam o r ei l l - p o s e dc a s e ，w h i c hi sc a l l e db l i n dr e s t o r a t i o n i t st a r g e ti st or e s t o r et h e d e g r a d a t i o ni m a g ew i t h o u ta n yi n f o r m a t i o na b o u tp s ei nt h eb l i n dr e s t o r a t i o n ，t h e a m ( a l t e r n a t i v em i n i m i z a t i o n ) m e t h o di sa p p l i e dt od e c o m p o s et h ep r o c e s s o f s o l v i n gp d e si n t ot w op h a s e ss u c ha sp s fi d e n t i f i c a t i o na n di m a g er e s t o r a t i o n t h e c h a r a c t e r so fd i f f u s i o n sp a r a m e t e r sa r ea l s od i s c u s s e d ，a n da na d a p t i v ea d j u s t i n g m e c h a n i s mi nt h ea mp r o c e s si si n t r o d u c e dw h i c hc a np r e s e r v em o r ed e t a i l e d i n f o r m a t i o n t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sh a v es h o w e dt h a tt h et vm e t h o dh a sag o o d e f f e c tf o rt h ei m a g er e s t o r a t i o n k e y w o r d s ：t o t a l v a r i a t i o n ，i m a g er e s t o r a t i o n ，i m a g eb l i n dr e s t o r a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安徽大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意 籼黼料：溉 撕札1 年6 月乙日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解安徽大学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅本人授权安徽大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：黜导师签名：名移 签字日期：吲年b 月日 签字日期： 1 年6 月5 日 学位论文作者毕业去向： s - 作单位：电话： 通讯地址： 邮编： 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 由于科学技术的突破，人类现在既可以看到外部世界图像( 遥远的行星、 星系和地球表面的地势) 又可以看到内部世界图像( 地质成像和在纳米层次上 的原子和分子结构) 。随现代成像技术变得越来越先进，产生的科学数据在细节 和体积上都是前所未有的，对这些数据的处理和解释的需要使得图像处理和计 算机视觉的重要性增加。目前，图像处理技术涉及的应用领域概括医疗图像、 遥感图像、视频图像、特征识别、三维物体或场景的重建、质量检测、指纹分 析等等。图像恢复是图像处理中一项重要的内容，主要目的是消除或者减轻图 像获取传输过程中所发生的品质退化现象，逼近没有退化的理想图像，提高图 像的视觉效果，它同样有着极其广泛的应用领域。 在景物成像或传输的过程中，由于受多种因素的影响，图像质量都会受到 不同程度的影响，造成图像质量的下降，此过程通常被称为图像的退化。图像 恢复研究则是试图分析退化原因，了解图像变质的机理，在此基础上建立退化 现象的数学模型( 退化模型) ，通常此模型是一个病态的逆问题，需要利用图像 退化现象的某种先验知识来对其进行正则化，最后利用适当的逆问题的处理方 法进行反向的推演运算，使图像质量得到改善，以最大的保真度恢复成原来真 实的景物图像。因此，概括起来说，图像恢复或者说图像处理方法有三个关键 的成分是：分析、建模和计算实现。 图像处理方法的研究已有很长的历史，最古老的方法来源于一维信号处理 技术，如滤波理论，频谱分析及一些最基础的概率统计模型。现在出现了三类 主要的图像处理理论：随机建模( s t o c h a s t i cm o d e l i n g ) 理论、小波理论( w a v e l e t s t h e o r y ) 和偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p d e s ) 理论。随机建模理论主 要基于马尔可夫随机场理论，可以直接处理数字图像；小波理论来源于信号处 理，并且依赖分解技术；自9 0 年代以来，用偏微分方程处理图像的方法获得了 较大的发展，并极大地推动了图像处理方法与现代数学的结合。 安徽大学硕士学位论文图像恢复中的整体变分方法研究 偏微分方程( p d e ) 是数学分析的最重要部分之一，它与现实中的物理世 界密切相关。每个科学家都会碰到波方程或热方程，并且对e u l e r , p o i s s o n , l a p l a c e 等名字都很熟悉。虽然p d e 来自于物理和机械领域，但经过众多研究 者广泛深入的研究，偏微分方程理论应用到了图像处理和计算机视觉等许多方 面，包括：数学形态学、不变形状分析、分割问题、图像复原等。目前在图像处 理中使用偏微分的原因之一是其理论是成熟的，而且具备相当完备的数值分析 和计算方法，并可以更容易地掌握和处理诸如梯度、切线、曲率等视觉上重要 的几何特征。另一个重要的原因，偏微分方程与在能量变分框架下进行图像处 理的方法可以很自然地联系起来，而且在此变分框架下研究图像处理，我们可 以更容易地把测量数据和先验模型结合在一起，并建立与数据相适应的能量泛 函以及正则化项，从而更好的解决逆问题中的病态性【1 - s l 。 本论文中借助整体变分对图像( 特别是边缘) 的优良度量特征【6 】给出了图 像恢复这一病态问题的更优的正则化性，从而获得更好的图像恢复结果。 1 2 本文中所涉及的图像恢复问题 1 2 1 图像去噪 图像中噪声的存在是无法避免的，在图像的捕获，传输或处理过程之中都 有可能出现噪声，噪声可能依赖于图像，也可能与其无关。图像去噪是图像处 理中的一个重要问题，它对后续处理带来很大影响。图像的平滑和细节保持是 一对矛盾关系，传统的方法虽然可以有效的降低噪声，但同时也会造成图像中 的某些细节( 比如边缘) 的模糊，导致整个图像视觉效果的下降。论文采用基 于整体变分1 v ( t o t a lv a r i a t i o n ) 的图像平滑方法可以在平滑噪声的同时保持图 像的边缘信息。 1 2 2 图像复原 图像去模糊也是图像处理中的基本问题，由于该问题的退化模型中通常存 在某种类型的卷积操作，因而它比图像去噪问题更具有复杂性。早期的图像复 原方法往往是在假设系统的点扩散函数p s f ( p o i n ts p r e a df u n c t i o n ) 为己知， 2 第一章绪论 并且常需假设噪声分布也是已知的情况下进行推导求解的，采用各种反卷积处 理方法，如逆滤波等，对图像进行复原，这就是典型的图像复原方法。然而随 着研究的进一步深入，在对实际的图像进行处理时，许多先验知识( 包括图像的 及成像系统的先验知识) 往往并不具备，于是就需要在系统点扩散函数未知的情 况下，从退化图像自身抽取出退化信息，并根据退化图像数据来复原真实图像， 这就是图像盲复原( b l i n di m a g er e s t o r a t i o n ) 所要解决的问题。 由于缺乏足够的信息来唯一确定真实图像的估计值，图像盲复原方法需要 利用有关图像信号、点扩散函数和高斯噪声的己知信息和先验知识，结合一些 附加条件，对问题的解形成约束条件，而图像盲复原就是在满足这些约束条件 的前提下，求取真实图像在某种准则下的最佳估计值。如今，图像盲复原已经 成为推动图像处理学科发展的一个新的增长点。论文将主要针对这一问题使用 t v 方法来求解1 3 , 7 - 9 1 。 1 3 论文主要研究内容与组织结构 论文所做的工作主要有以下几个方面： i 研究了在能量变分框架下处理图像的方法，并介绍了为了克服图像恢复 中的病态问题而引入的正则化方法。其中重点分析了整体变分口v ) 对图像( 特 别是边缘) 较优良的度量特征，以及由此带来的更好的正则化性，从而带来更 理想的图像恢复效果。 2 详细研究了能量变分方法处理图像恢复的一般过程。首先，构建带有合 适正则化项的图像能量泛函的最小化问题，利用变分原理将其转化为要求解的 偏微分方程，最后使用相应数值方法求其最优解重建原始图像。论文中针 对t v 方法用于图像恢复详细推导了相应的数值计算模型。 3 针对图像恢复中的去噪和去模糊展开具体研究。对于去噪问题，首先讨 论传统正则化方法的缺点，分析了t v 方法在抑制噪声的同时保持图像的边缘 的特点，最后给出了实验结果与分析。在去模糊的研究中，本文首先讨论了如 何解决已知模糊核的图像复原问题，然后推广到了去模糊问题中的一种更病态 的情况盲复原，即在不知道模糊核的情况下如何复原模糊图像。在盲复原 过程中，论文利用交替迭代算法来求解偏微分方程，把恢复过程分解为模糊辨 安徽大学硕士学位论文 图像恢复中的整体变分方法研究 识和复原图像两个阶段。与此同时，针对方程中的扩散系数在扩散过程中的特 性，在盲复原的交替迭代过程中引入了一种自适应调整参数的机制，通过该方 法可以更好的保持图像的某些细节边缘。最后的实验也再次验证，t v 方法对于 图像恢复有着良好的效果。 全文由五章组成，具体的组织结构如下： 第一章：介绍全文的研究背景以及论文的结构安捧。 第二章：介绍论文中所采用的相关数学模型，并研究了在能量变分框架下加入 正则化项以加强病态解约束的方法，最后对为何采用t v 正则化做了 说明。 第三章：将t v 方法应用于图像去噪。首先讨论传统正则化方法的缺点，然后 分析t v 在处理图像( 特别是边缘部分) 的优势，并给出了数值计算 模型，最后对去噪的实验结果进行验证分析。 第四章：将t v 方法应用于图像盲复原。首先介绍盲复原问题概述及其意义， 并对已有的相关算法进行总结，然后针对已知模糊核的退化图像进行 复原，接着将算法推广到盲复原，并提出了改进方案，最后给出实验 结果分析。 第五章：对所做的工作进行总结，对今后可研究的方向进行展望。 4 第二章图像恢复问题中相关的数学模型 第二章图像恢复问题中相关的数学模型 2 1 图像恢复中的数学模型7 】【1 0 】【1 1 1 2 1 1 图像退化模型 众所周知，在形成，传输以及记录过程中图像会产生退化。一般来说，退 化是两种现象的结果。第一种是确定性的，与图像获取设备状态有关( 比如由 于透镜的不正确调整或者运动而造成的模糊) 。第二个是随机性的，对应的就是 信号传输过程中产生的噪声。选择一个同现实尽可能接近的退化模型非常重要。 而随机噪声一般服从概率分布，在许多情况下都假定为高斯分布，但一些应用 需要特殊的噪声分布，比如对于x 射线断层摄影术就需要泊松分布的噪声。我 们在图2 1 中列举了退化的几种可能情况。 原始图像 椒盐噪声 加性高斯噪声模糊与加性高斯噪声 图2 1 原始图像与常见的退化【l 0 1 f i g2 io r i g i n a li m a g ea n dg e n e r a ld e g r a d a t i o n 安徽大学硕士学位论文图像恢复中的整体变分方法研究 在实际中，一般很难去确定一幅真实图像中所加入的噪声形式，这时我们 会采用下述的一个通用模型。让i l ：qc - r 2 聿r 去描述某个真实场景的原始图 像，而是同一幅场景的观察图像( 即的退化结果) ，我们假定 u o = h u + n ( 2 1 1 ) 上式中的n 是高斯白噪声，而h 是线性的模糊算子( 通常是个卷积) 。给定了， 图像恢复问题就变成了在( 2 1 1 ) 假定模型的基础上重构原始图像“，显然，要 求解的问题是病态的，我们只能获得原始图像“的近似解。 2 1 2 图像处理模型 在大多数情况下，图像处理可以抽象为一个输入一输出系统 图2 2 图像处理模型 f i g 2 2t h em o d e lo f i m a g er r o c e s s i n g 这里的t 代表图像的处理算予，比如去噪、锐化、分割、压缩或图像修复。 输入数据u o 可以是一幅图像也可以是图像序列，输出数据u 可以是所有希望得 到的图像。表2 1 列出了几种典型的图像处理问题。 图像处理的两个基本问题就是对输入u 和对算子t 的建模。因此，现代图 像处理的数学方法主要分为( a ) 输入的视觉信号u 。的建模表示，( b ) 图像处理算子 t 的建模。它们是相对独立但又紧密相连的。算子t 的性能很大程度上取决于输 入数据的模型。 tu a u ( 1 ) 去除噪声+ 去除模糊 = f l u + 甩 平滑而清晰的图像 ( 2 ) 图像修复u oi m d ( d 为破损区域)1 0 ( 整幅图像) ( 3 ) 图像分割 “目标”【心，n 。】七= 1 ，2 表2 1 图像处理的几种抽象模型：( i ) h 为模糊算子，n 为加性噪声( 2 ) q 为图像的整个 区域，d 为信息丢失区域( 3 ) 【，n i 】q 是分割后的单个物体，是这个物体的像素灰度 6 第二章图像恢复问题中相关的数学模型 2 1 3 图像的表示模型 为了能够有效的处理图像，首先需要知道如何从数学的角度理解和表示图 像。例如，用二维的函数来表示一幅图像是否合适，需不需要加一些适当的约束 条件等等。图像模型和它的表示方法在很大程度决定了图像的处理模型。这里大 略介绍三类图像建模和表示方法。 随机场模型( r a n d o mf i e l dm o d e l i n g ) 将图像l l o 看成是一个随机场的抽样结果。图像可以用一些g i b b s 或m a r k o v i a n 随机场模型来模拟。随机场模型在描述纹理比较丰富的自然图像( 如树和山等) 方 面是很理想的。 小波模型( w a v e l e t sr e p r e s e n t a t i o n ) 一幅图像都是通过一组微传感器的响应( 或相片感应器) 得来的。在最近的二 十年里，人们逐渐认识到并且证明了这些局部的响应可以用小波来近似。小波作 为一种新的表示方法，让我们对图像的看法有了根本性的变化。 正则空间( r e g u l a r i t ys p a c e s ) 在传统图像处理的线性滤波理论里，一幅图像u 被认为是s o b o l e v 空间里的 一个元素。因为s o b o l e v 空间的函数具有连续性，所以s o b o l e v 模型在处理一幅 图像的某块均匀区域的时候是很好的，但它不足以作为一整幅图像的模型，因为 它模糊了图像中一个最重要的视觉信息边缘。目前有两个非常有名的模型可 以处理边缘的问题。一个m u m f o r d - s h a h 】的边缘模型，另一个就是r o f ( r u d i n , o s h e r , f a t e m i ) 的b y ( b o u n d e dv a r i a t i o n ) s l 6 1 图像模型。所有的这些基于正则空间 的图像模型一般只适合用于纹理较少并且没有什么振荡的图像。 本论文中利用图像的正则空间来进行处理各类恢复问题。针对去噪，如果理 想图像n 被看成是某个正则函数空间的一个元素，如日1 ( q ) 或b v ( n ) 空间。那 么去噪算子t 就可以用能量变分的最小化来实现，如： 啊nj 1 v l 凼砂且满足d - - ) 2 d x d y b - a ，因而不是m i nt v ( u ) 的解。这也说明不连续解和光滑解没有什么 不同之处。 整体变分正则化就是寻找具有最小t v 能量的观测图像u o 。a c a r 和v o l e l u 3 证明了整体变分正则化的收敛性和良态性，d m s t r o n g1 1 哪对总变分正则化进行了 详细的理论分析，并证明了整体变分正则化在去噪的同时能精确的保留图像边 缘。 ( 2 2 8 ) 式的最小化问题实际上就是一个变分问题。对于图像二维函数的变分 问题可以通过经典的e u l e r - l a g r a n g e 方程求解，即在域q c r 2 中寻找u ( x ，力，满 足q 的边界条件，并使泛函 e 队 y ) 】= p y ，尝，移妣妒 ( 2 2 9 ) n j 达到极值。式中函数f 的定义域为q ，且具有连续的二阶偏导数。 泛函e 取得极值的一个必要条件是它的一阶变分为零。通过推导可得 i o f i o ( i o f ) 一晏芒) ：0 ( 2 2 1 0 ) 锄缸、劫7 匆、7 、 其中p = 罢，g = 罢，这就是具有两个独立自变量的e u l e r - l a g r a n g e 方程。 出卯 安徽大学硕士学位论文 图像恢复中的整体变分方法研究 转到t v 模型，则硐 f ( 而y ，“，罢，祟) 爿v “i + 昙a ( 胁f 一) 2 ( 2 2 1 1 ) 壤们z 通过f 2 2 1 0 ) 计算可得到 v ( 剐以训_ o ( 2 2 1 2 ) 上式是一个二阶的偏微分方程，可以通过偏微分方程的数值解法来求解，通常的 做法是引入额外的时间参数t 并利用最速下降法来求解，即 鲁= v 儡卜伽训 叫s ， 1 2 第三章基于t v 方法的图像去噪 第三章基于t v 方法的图像去噪 在各种基于偏微分方程的去噪模型中，t v 方法处理的结果得到了比较令人满意的输出 图像，因为它在去除噪声的同时并不会对图像的边缘产生扭曲和模糊。上一章节引出了t 、， 方法处理图像的变分模型，并把变分问题转化为偏微分方程来处理。在本章将对图像去噪进 行具体的实验验证。 3 1 传统正则化去噪 令为观察到的图像，并含有均值为0 的，方差为j 2 的加性噪声打，为原 始清晰的图像。其退化模型( 不考虑模糊情况) 为： 4 02 1 4 + 刀 ( 3 1 1 ) 并且该模型服从下面两个约束： f ( d - u o ) a x a y = 0去( 一u o ) 2 a x a y = 占2 ( 3 1 2 ) q_ n 由于去噪是一个病态逆问题，我们可以构建图像的能量函数并添加合适的正 则化项，以加强近似解的稳定性。n k h 。v 选择r ) = j 1 v “1 2 妫作为稳定化泛 n 函，其能量泛函如下： m 】= j 1 一甜1 2 蚴+ 口j 1 v “1 2 蚴 ( 3 1 3 ) - nq e u e e 的第一项度量了与观察数据的拟和程度，第二项是利用图像梯度的l 2 模 对图像进行平滑。换句话说，我们寻找与数据拟和最好的“，并同时使得它的梯 度是低的( 保证噪声被去除) ，口是正则化参数，起到在这两项之间的协调和折 衷作用。并且上述两项都有定义的泛函空间是： 形啦( q ) = r ( q ) ；v ”r ( q ) 2 ( 3 1 4 ) 对于问题i l l f e ( “) ，ew 啦( q ) ，我们可用e u l e r - l a g r a n g e 方程来表示： ( 一“) 一( 吐= 0( 3 1 5 ) 安徽大学硕士学位论文 图像恢复中的整体变分方法研究 其n e u m a n n 边界条件： o u a n = 0o na q ，( n 是a q 的外法线) 然后，上式的解u 并不是我们原先恢复问题的一个好的选择，原因是方程( 3 1 5 ) 中的l a p l a c i a n 算子有很强的各向同性( i s o t r o p i e ) 的平滑性质并且不保留图像的 边缘( 见图3 1 ) ，当”具有不连续点或者尖锐梯度的时候，利用这个泛函得到的 重构图像具有g i b b s 现象，即图像中的不连续点被平滑掉或者具有假振荡。也就 是说，梯度的口( p = 2 ) 允许我们去除噪声，但太多的惩罚了与边缘相关的梯度， 为了尽可能的保持图像边缘，我们应该降低p ，即利用图像梯度的范数来代替 r 范数，也就是整体变分方法。 ( 1 ) 原始噪声图像( 2 ) 恢复结果 图3 1 左图是带有加性高斯噪声的原始图像；右图为最小化能量式( 3 1 _ 3 ) 的结果【i o i f i g 3 1t h el e f ti st h eo r i g i n a li m a g ew i t ha d d i t i v eg a u s s i a nn o i s e ；t h er i g h ti st h er e s u l to f m i n i m i z a t i o n o f t h ef _ x l u ( 3 1 3 ) 3 2 t v 方法去噪 仿照上一节恢复模型，利用t v 正则定义的图像能量泛函如下 研】_ 告j l 一甜1 2a x a y + j 1 v 圳西田 ( 3 2 1 ) - qn 其中这里的五是一个l a g r a n g e 常数，它定义了能量泛函中两项各占的比重( 它与 正则化参数口的关系：a 屁= 1 ) ，本文将会讨论五的计算方法。 要求函数u 使该能量e 达到最小值。用e u l e r - l a g r a n g e 方程可以得到相对应 的极值条件 1 4 第三章基于1 v 方法的图像去噪 w 儡卜训= 。 2 这是一个二阶铂i i t l i 分方程，可以利用f l i i o l t 分方程的数值解法来求解。在这里我们 使用最速下降法来求解，则有 詈= v ，l 旦i v = l h j ) ( 3 2 3 ) a 、”7 上式中的t 是我们额外地引入的时间演化参数。在实际的求解过程中，为了避免 i v i 为。而导致的解的不稳定，我们选取i 丽来表示图像u 的t v 模，这 里的s 是一个正常数。 现在分析引入常数占后的扩散项v ( 了舞 ，我们想通过此项的分析来 得到t v 模型在恢复图像的特性和优势。 首先考虑图像的平滑部分( 不存在边缘) ，在这一区域l v “j f 畏小有可能近似 11 为0 ，那么有，毒一* 三，则 i v 甜1 2 + 占2 占 v 南卜仰，= ( 窘+ 雾 = 吾幽 2 舢 是拉普拉斯算子，这时( 3 2 4 ) 式就等价于各向同性的热扩散，也就是意 味着在图像平滑区域会形成较强的扩散，这就允许我们对图像中的噪声进行去 除。 而在图像区域的边缘附近，这时的l v “l 会相对较大，那么对于扩散系数 - 1 = 喜一r 就会很小，这就抑制了沿图像的梯度方向的扩散。 、i v u l 2 + 占2 以上过程可以说明，u 的扩散只会发生在图像梯度的正交方向上，在保持图 像轮廓清晰的同时沿轮廓进行平滑和去噪。这样就使得图像在边缘两侧以及区域 内部得到充分的平滑，从而使得图像的细节特征得到较好的保持。 安徽大学硕士学位论文 图像恢复中的整体变分方法研究 中所需要离散的扩散方程可以参考f 回这个模型 詈= v 啦q v “b v 毗_ ，棚 ( 3 2 5 ) 上式中的函数c 实际上是偏微分方程的扩散系数，不同的c ( s ) 针对不同的扩散模 型( 如t v 模型：“s ) = 1 摹，而对于p e n a - m a l i l 【模型：“j ) = 南 在离散化时，除了保证离散化的正确性以外，还希望做到：( 1 ) 离散化结果 尽量简单。因为在求解偏微分方程时要用迭代的方法，复杂的离散化会给分析和 计算带来很大的困难。比如说对于梯度离散，象p r e w i t t 算子和s o b c l 算子运算 都比较复杂，所以不宜采用。( 2 ) 离散算子的对称性。即要求对某一点的离散算 子关于这一点是中心对称的，也就是说算子对图像的方向不变性。按照上述 要求，我们对式( 3 2 5 ) 进行离散 v 和( 1 v ”d v u c 毛y 堋= 去。珊，+ 专“，= 赛尝+ 考考+ c ( 旦v “+ v u ， ：堡塑+ 生丝+ c v 2 甜( 3 2 6 ) 出o x 砂砂 在实际离散过程中，采用煎向差分和后向差分相结合的方式来对上式进行离散： 对上式最后结果出现的三个微分算子离散化为 曼塑i ：三曼：! ：二鱼竺! ! ：二兰+ 生兰d 二墨d 竺：! ：z 二苎1 b x 知l 。，2 。h hhh 。 丝丝i - 三【鱼_ 互垃+ 笠_ l 垃】 砂钞i ，2 。h h h h 1 v z “：亟正丑萼纽兰立+ 亟正丑掣盟兰生 h 2 ；竺：! ：z 竺：! d ：竺：娑! ! 竺：z = ! 二! 竺z( 3 2 7 ) 其中，( f ，力为图像中的某个象素点，h 是象素点之间的距离，扩散系数钆表示 的是c 4 v 。将( 3 2 7 ) 代入( 3 2 6 ) ，整理后可得到 v 【c v m 川儿一“。邑学( ) ( 3 2 8 ) ，m ) e z l j “ 1 6 第三章基于1 v 方法的图像去噪 ( 3 2 8 ) 中的z ( f ，力表示当前点( f ，j ) 四个相邻象素的集合。 下面我们再来计算l v ”i 陆瓜丽= 两缸) 而k a y j ( 3 2 9 ) 按照上面类似的方法可得 i v u t ( 3 2 1 0 ) 这样，我们就可以把( 3 2 5 ) 写成时间上离散的模式 华n + l - - z ( i 。学( 吃吲 ( 3 z 川) , m ) e z o ，) “ ( 3 2 1 1 ) 中的f 表示时间步长，这样u 的上标表示离散的时间序号，下标表示 空间的离散序号。在时间上离散，表示了在时间上的一个迭代的过程。 上面给出的是本文中的离散化方法。对每一种离散化方法，它都必然会引入 一定的误差，而且不同的离散化方法，对最后的求解方程的收敛性和稳定性都有 很大的影响。以上的方法在实际的运算过程比较简单，而且也可以达到很好的收 敛。 我们把( 3 2 1 1 ) 的结果代入到( 3 2 3 ) ，就可以得到整个扩散方程的离散化 形式 孕n+l n ： 亟2 未h 拿( 以一眈) + z ( 心一心) ( 3 2 1 2 ) f ( ，一氦，) 2 一u 7 州u 7 。 我们用p 表示当前点g 力，表示z ( f ，力中的某个点，并令嵋= ! 与n b 产e n 代入 得到 华n + ln = 坳( 磅一甜；) + a ( 砖一蟛) ( 3 2 1 3 ) 整理后可得 “= f w p u ；+ r 2 u ：+ “；( 1 一f 坳一祝) ( 3 2 1 4 ) 上式中有两个参数，时间步长r 和l a g r a n g e 常数五。在文章”1 中，给出了具体 7 窒竺查兰堡主兰壁垒塞璺堡堡墨! 堕鳖笪窒坌查垫翌塞 的五的估计方法，并说明了a 应该和噪声方差成反比。根据现有的离散方程模型， 最优的a 可以近似为 兄z 吉荟丕坳一u p ) ( u p - u o p ) ( 3 2 1 5 ) 对于时间步长f 可以固定，也可以按每一步的结果来迭代更新。它的选取对 迭代方程的收敛性有直接的影响。这里为了简化迭代方程，我们选取 f 2 丽1 ( s 洲) 记： 。h , 一- - 南，h - - 蠢j 2 舯， 则有： 1 + 1 = 嵋+ k 砖 ( 3 2 1 8 ) 上式就是t v 迭代去噪声的演化方程。 原理上，t v 模型的偏微分方程是个二阶的微分方程。在用t v 或者其他的 二阶微分方程去处理图像的时候可能会产生区域分块。在无限区域的图像上，这 类偏微分方程将会使图像演化并趋势于一幅平坦( 图像各处亮度变化不大) 图像。 而在有限区域上的图像，在对称边界条件下，边界点两边的象素值相等，边界点 的方向导数为零钿a = 0 ，所以随着时间t 的不断演化，整幅图像最终也会收 敛为一幅平坦图像，那么，在迭代若干次后，虽然图像的能量函数e 达到最小值， 但图像有可能会看起来象是由不同亮度的灰色区域所组成。对于分块的出现，有 研究表明，可以采用四阶或更高阶的偏微分方程来解决。 3 3 t v 方法去噪实验 去噪实验主要是针对灰度图像。 我们首先用加噪产生的模拟图像做去噪恢复，用以验证t v 正则化方法在去 噪同时能够保持边缘的能力。模拟图像为8 位的灰度图像，噪声采用标准差盯为 2 0 的高斯加性噪声，时间步长f 选取为0 2 。实验结果如下图： 1 8 第三章基于t v 方法的图像去噪 ( 1 ) 原始图像( 2 ) 加噪结果( 3 ) 恢复结果 图3 2 模拟图像的去噪。上面三个图从左到右针对着原始图像，退化以及恢复结果；下 面三个图分别对应上图，表示图像中某条水平线的灰度值分布。 f i g3 2t h ed e n o i s eo fs y n t h e t i c a li m a g e t o pf r o ml e f t ：o r i g i n a l , n o i s e ，r e s u l tw i t ht v b o t t o m ：p l o to f i n t e n s i t yv a l u e so f o n eh o r i z o n t a ll i n e , c o r r e s p o n d i n gt ot h et o p 接着，我们对2 5 6 x 2 5 6 的l e n a 图像进行了恢复实验。噪声为标准差仃- - - - 2 0 的加性高斯噪声，时间步长f 选取为0 2 ，算法在迭代2 8 次就开始逐渐收敛。 ( 1 ) 原始图像 1 9 安徽大学硕士学位论文图像恢复中的整体变分方法研究 ( 2 ) 加噪结果( 3 ) 去噪结果 图3 3l e n a 图像的去噪结果 f i g 3 3t h ed e n o i s e d 旭s i l i co f l e n a 从以上的实验结果我们可以看出，t v 的去噪能力效果是不错的，而且由于 其扩散的各向异性特征，使得在抑制噪声的同时还具有良好的保持边缘能力，所 以对平滑图像来说，t v 方法是个好的选择。但我们从l e n a 实验也可以看出，虽 然去除了噪声，边缘也得到了很好的保持，但是图像中更细节的特征，比如纹理， 在平滑的过程中还是给抹去了，它本质上反应了平滑算子在处理尖锐边缘之间的 共性，所以在处理细节比较丰富( 不仅仅是边缘) 的图像的时候，需要探索更好 的算法，比如将图像的结构和纹理的部分分别处理，并设计一种能处理振荡的正 则空间等等。 第四章基于t v 方法的图像盲复原 第四章基于t v 方法的图像盲复原 使用含有t v 正则化项的变分方法可以较好的恢复出图像的边缘，特别是针对一些具有 边缘的模糊核函数( 比如运动模糊，散焦模糊) 造成的退化图像，可以达到较理想的效果。 在本章中，我们将研究一种基于t v 最小化的图像盲复原算法。算法中使用了显式交替最小 迭代a m ( a l t e r n a t i v em i n i m i z a t i o n ) 机制，能够在不知道点扩散函数( p s f ) 有关信息的情 况下恢复出原始图像。 4 1 图像盲复原概述1 6 】 4 1 1 问题的提出以及意义 图像恢复的难易程度主要取决于对退化过程的先验知识的掌握的精确程度。 如果我们对退化的类型，机制和过程都十分清楚，那么就可以根据图像退化的先 验知识建立退化模型，以此为基础，采用各种反退化处理方法，对图像进行恢复， 这就是经典的图像恢复方法。然而这与许多实际的图像处理问题并不相符。在对 实际的图像进行处理时，许多先验知识( 包括对图像及成像系统的先验知识) 往 往并不具备。例如在某些情况下，要获得图像的先验知识需要付出很大的代价， 甚至有的还是物理不可实现。如在遥感和天文应用中，要得到原始图像的统计模 型或获得从未被拍摄过的景象的特定信息都是十分困难的；在航空拍摄和天文学 中，因为点扩散函数( p s f ) 的变化难以把握，所以无法获得模糊过程的精确随 机模型；在医学，电视会议等实时图像处理中，p s f 的参数很难预测，从而也难 以实时地恢复图像。另外，用于估计退化过程的识别技术还会产生很大的误差， 以至于恢复出的图像存在人为假象。在一些应用领域中，提高图像质量的物理要 求并不现实，如宇宙探索，若采用高清晰度摄像机，则其实际重量超过了限定重 量。类似的，在拍摄x 光片时，尽管增大射线的强度会改善图像的质量，但对 病人的健康却十分不利。由此看来，图像退化是不可避免的，同时又很难用硬件 来准确测出图像系统的p s f 。基于以上原因，提出了图像盲复原这一课题。 更简明地说，图像盲复原是在图像系统( 即退化过程) 的信息全部或部分末 2 l 安徽大学硕士学位论文 图像恢复中的整体变分方法研究 知的情况下，通过退化图像的特征来估计真实图像和p s f 的过程。 但是，不管从理论上还是从实际操作上讲，这都是一个十分困难的问题。而 且在恢复过程中，由于加性噪声的影响，图像盲复原是一个病态问题，即直接采 用对p s f 求逆进行恢复，通常会带来高频噪声放大问题而导致算法性能的恶化。 由于原始图像以及p s f 的先验知识只是部分已知的，噪声图像复原的结果往往 不是唯一的，而且解的好坏与初始条件的选择以及附加的图像假设都有关系，因 此，图像盲复原算法往往较复杂，只能针对具体的情况采用相应的算法。尽管对 经典的线性图像恢复已进行过深入的研究，但这些方法并不能直接应用于图像的 盲恢复，而是需要进一步的研究。 下面我们将通过对已有算法的研究来讨论图像盲复原的基本模型以及目前 的研究方法。首先给出线性退化的通用模型如下： g 也力= “力+ h ( x ，力+ 一力 m = h ( x m ，y - n ) u ( m ，一) + 疗y ) x , y ，m ，行z ( 4 1 1 ) 一ln - i + 表示二维线性卷积，z 为整数集，u ( 】【，y ) 为原始图像，大小为mxn ，g y ) 是u ( x ，y ) 经过成像系统输出的退化图像。h 伍y ) 是二维p