（光学工程专业论文）二维光子晶体带隙计算和缺陷膜分析.pdf

摘要 光子晶体是发展非常迅速的研究领域。近年来，每年都有数百篇关于 光子晶体的文章发表，并有不少成功的关于光子晶体实验的报道。光子晶 体是周期性的介质或金属结构。电磁波在光子晶体内部传输的特性类似于 电子在晶体中的运动特性。对于某些频率范围，光子晶体反射所有入射方 向上电磁波的所有偏振态，晶体就被称为有一个完接的光子禁带。频率处 在禁带范围内所有模式的光及电磁波都不能在其中传播。光子晶体禁带的 这一特点具有广阔的应用前景。目前，光子晶体在光通讯，光子纤维，通 讯天线等方面已经取得了突破性的进展。在不久的将来，光子晶体的成果 必将对信息通讯业产生重大影响。 人们对二维和三维光子晶体做了许多研究。虽然三维光子晶体带隙结 构在应用中具有更大的潜力，但是这些禁带的构造在可见光及红外频率范 围内仍然是很困难的。相比较而言在这一频率范围内，二维光子晶体很容 易构造光予禁带。同时二维光子晶体也有许多重要的应用，如激光二极管 反馈镜。光子纤维等。 光子晶体的许多应用是基于光子禁带的存在与大小，因此在理论上研 究禁带的性质，设计出共有尽可能大的禁带的光子晶体材料具有重要的意 义。在对二维光子晶体的研究中人们发现，光子晶体的对称性情况和光子 禁带有着密切的联系。对称性的降低会使得能带结构的简并消除，具有获 得较大禁带的趋势。研究表明，改变光子晶体的对称性可以影响禁带的结 构。 。般来说，减少对称性可以得到相对较大的光子禁带。可以总结出三 种减少光子晶体对称性的方法：( 1 ) 使用各向异性的材料，即在不同的方 向上材料具有不同的介电常数。( 2 ) 降低晶胞基矢的对称性，比如从正方 结构变为长方结构，三角结构变为六角排列结构等等。( 3 ) 降低晶胞中介 质柱形状的对称性，比如圆柱变为椭圆柱，方形直柱改为长方柱等等。目 前，人们的研究已经证实了减少光子晶体的对称性可以做到产生较大的光 r 禁带。比如使用各向异性的材料，可以利用电磁波的本征频率与介电常 数成反i t 的特点，为模拟寻找较大的禁带提供了方便，从而得到较大的光 了禁带。 我们计算了二维长方结构各向异性碲椭圆柱光子晶体的带隙。得到了 o0 5 0 6 8 ( 0 。( m 。= 2 耳c a ) 的大带隙。将长方结构改为三角结构做了同样的计舅。 我们发现了两个大带隙。一个在归。化低频率区域大小为0 0 5 0 6 8 0 ) 。，同时，在 高频率区域找到了一个较大的带隙o 0 4 4 9 0 0 ) 。这一点很重要，这样我们就便于 理论模拟计算和实际制作进行比较。六角排列结构的二维光子晶体是一种常 用的重要结构，它比三角结构的对称性更低。我们用同样的材料，用圆柱 结构做了汁算，发现了六个较大的禁带。 用线性变换方法推导了二维正方结构正n 边形直柱光子晶体的带隙计算公 式。采用线性变换方法可以简单地处理平面波展开方法中f 。p ) 的f o u r i e r 交换 系数，使得相应的带隙计算变的简单有效。在固定填充率f = 0 4 的情况下，计算 了砷化镓( 占= 1 1 4 ) 材料的正1 1 边形直柱光子晶体带隙结构。发现随着n 的增 加，光子晶体的对称性相应提高，最大带隙的大小出现单调下降趋势。当n 趋向 于无穷大的时候，计算的正n 边形直柱光子晶体的带隙趋向于零，和圆柱的情况 完全相符。 我们用f d t d ( 时域有限差分法) 方法计算了二维正方晶胞各向异性碲圆柱 兜子晶体的点缺陷模。为了得到t e ，t m 模式在完全禁带中具有相同共振频率的 缺陷模，对中心点缺陷半径轧以及中- t l , 附近对称位置的点缺陷半径r n 做了一系 列的微调。计算表明，t m 模对于心的变化不敏感，而t e 模随着r 。的改变出 现了明显的规则的移动趋势。通过计算分析，发现对应于f = - 0 4 的背景 ( r = 0 3 5 6 8 a ) ，当r d = 0 5 5 a ，r 。= 0 2 6 a 时在完全禁带中t e 和t m 的缺陷模具有相 同的共振频率“o = 0 2 4 6 6 u 。( 其中t j 。_ 2 “c a ，a 为晶格常数) 。 本文用f d t d 方法计算了二维光子晶体线缺陷波导，并且对计算结果做了 讨论。 关键词：光子晶体， 光严禁带，乎面波展开方法，f d t d ，缺陷膜，线性变换 稳定性 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r st h e r eh a sb e e naf a s td e v e l o p m e n ti nt h er e s e a r c ho fp h o t o n i c c r y s t a l s ，a n dm u c hw o r kh a s b e e nd o n eb o t ht h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e n t a l l y a p h o t o n i cc r y s t a li sap e r i o d i ca r r a n g e m e n t o fd i e l e c t r i cm e d i u mo rm e t a l i f , i ns o m e 好e q u e n c yr a n g e ，ap h o t o n i cc r y s t a lr e f l e c t sl i g h to fa n yp o l a r i z a t i o nt o t a l l ya ta n y i n c i d e n ta n g l e ，t h ec r y s t a li ss a i dt oh a v ea na b s o l u t ep h o t o n i cb a n dg a p ( p b g ) s i n c ee l e c t r o m a g n e t i cw a v e sw i t h f r e q u e n c i e s i nt h ea b s o l u t e g a p s a r e t o t a l l y f o r b i d d e n ，m a n yp o t e n t i a la p p l i c a t i o n si nc o m m u n i c a t i o n s c a nb e e x p e c t e d a l t h o u g h t h r e e d i m e n s i o n a lp b gs t r u c t u r e s m a yp r o v i d e t h em o s ts t i r r i n g p o t e n t i a li na p p l i c a t i o n s ，t h ef a b r i c a t i o n o fp b gs t r u c t u r e si se x c e e d i n g l yd i f f i c u l ti n t h ev i s i b l eo ri n f r a r e d r e g i m e i nc o n t r a s t ，i t i sm u c he a s i e rt of a b r i c a t et w o - d i m e n s i o n a lp b gs t r u c t u r e si nt h i s r e g i m ea n dm u c ha t t e n t i o nh a s b e e nd r a w n t o w a r d s2 dp b gs t r u c t u r e s f u r t h e r m o r e ，2 ds t r u c t u r e sc o u l da l s of i n ds o m e i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n ss u c ha sr e f l e c t i v em i r r o r si nl a s e rd i o d e s m a n ya p p l i c a t i o n s a r eo r i g i n a t e df r o mt h eb a n d g a p s t r u c t u r e o f p h o t o n i cc r y s t a l s i ti st h u si m p o r t a n t t o d e s i g np h o t o n i cc r y s t a l sw i t hl a r g eb a n d g a p s a f t e ri n v e s t i g a t i n gt w o d i m e n s i o n a l p h o t o n i cc r y s t a l s ，o n es e e st h a tt h es y m m e t r yo fp h o t o n i cc r y s t a lm a y i n f l u e n c et h e b a n ds t r u c t u r e t h es y m m e t r yr e d u c t i o nc a l lr e m a r k a b l yi n c r e a s et h eb a n d g a p so f a p h o t o n i cc r y s t a l i ng e n e r a l ，t h e r e a r et h r e ek i n d so fm e t h o d st od e c r e a s et h e s y m m e t r y o f a p h o t o n i cc r y s t a l ：( 1 ) u s i n g a na n i s o t r o p i cm a t e r i a lw h i c hh a sd i f f e r e n t r e f r a c t i v ei n d e xi nt h ex yp l a n ea n dt h ez d i r e c t i o n ( 2 ) r e d u c i n gt h es y m m e t r yo f t h ep r i m i t i v el a t t i c e ，s u c ha sr e p l a c i n ga s q u a r el a t t i c ew i t har e c t a n g u l a rl a t t i c e ，o r r e p l a c i n gat r i a n g u l a rl a t t i c ew i t hah e x a g o n a ls t r u c t u r e ( 3 ) r e d u c i n gt h es y m m e t r y o ft h ei n c l u s i o n si n s i d et h eu n i tc e l l ，s u c ha sr e p l a c i n gc i r c u l a rc y l i n d e r sw i t h e l l i p t i c c y l i n d e r s b yd e c r e a s i n gt h es y m m e t r yo f ap h o t o n i cc r y s t a l ，o n ec a no b t a i nl a r g e r p b g f o ra n a n i s o t r o p i c i n c l u s i o nw i t h o r d i n a r y r e f r a c t i v ei n d e x n o a n d e x t r a o r d i n a r yr e f r a c t i v ei n d e xm ，i ti se a s yt om a t c ht h er e l a t i v ep o s i t i o n so ft h eb a n d g a p sf o rt h et w om o d e st oo b t a i nc o m p l e t eb a n dg a p s i ti sa l s ok n o w nt h a tam u c h l a r g e r p b gc a nb eo b t a i n e dw h e nr e p l a c i n gc y l i n d e r sw i t h e l l i p t i cc y l i n d e r s a s m c l t l s l o n s w eh a v ec a l c u l a t e dt h eb a n ds t r u c t u r eo fat w o d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l w i t har e c t a n g u l a rl a t t i c eo fa n i s o t r o p i ce l l i p t i cc y l i n d e r s ，al a r g eb a n d g a pa b o u t 0 0 5 0 6 8 m e i s a p p e a r e d i f , u s i n g a p h o t o n i cc r y s t a l w i t hat r i a n g l el a t t i c eo f a n i s o t r o p i ce l l i p t i cc y l i n d e r s ，w ec a nf i n dal a r g eb a n d g a p ，a b o u to 0 4 4 9 m ea th i g h f r e q u e n c i e sa sw e l la sac o e x i s t i n gl a r g ea b s o l u t eg a pa tl o wf r e q u e n c i e s ( o 0 3 5 m e ) o nt h eo t h e rh a n d ，o n ek n o w st h a ti ti se a s i e rt of a b r i c a t eap h o t o n i cd e v i c ew i t ha l a r g e rs i z e ( i e ，、v i t hal a r g el a t t i c ec o n s t a n taf o rap b gd e v i c e ) t h e r e f o r e ，i ti s e a s i e rt of a b r i c a t eap h o t o n i cc r y s t a lw i t ha na b s o l u t eb a n dg a po c c u r r i n ga tt h e h i g h e r n o r m a l i z e df r e q u e n c y ( c o r r e s p o n d i n gt oal a r g e rv a l u eo fa ) ，i ti s v e r y i m p o r t a n t t oi n v e s t i g a t et h ep b ga th i g hf r e q u e n c i e s h e x a g o n a ls t r u c t u r e sa r eo f t e n u s e di nt w o d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l s c o m p a r i n gt oat r i a n g u l a rs t r u c t u r e ，a h e x a g o n a l s t r u c t u r er e d u c e st h e s y m m e t r y w eh a v ea l s o c a l c u l a t e dt h eb a n d s t r u c t u r e sw i t hah e x a g o n a ls t r u c t u r eo f a n i s o t r o p i cc i r c l ec y l i n d e r s ，a n do b t a i n e ds i x l a r g ec o m p l e t eb a n d g a p s , a m o n gw h i c ht h r e ea r eo v e ro 0 5 c o ci nt h eh i g hr e g i o no f t h en o r m a l i z e d f r e q u e n c y l i n e a ro p e r a t i o n sm e t h o di si n t r o d u c e dt oo b t a i na ne x p l i c i tc a l c u l a t i o nf o r m u l a f o rp h o t o n i cc r y s t a l sw i t hr e g u l a rp o l y g o n c y l i n d e r s ，o n ec a l ls e et h a ti ti se a s i e rt o c a l c u l a t et h ef o u r i e rt r a n s f o r m so f - 1 ( f ) i nt h ep l a n e w a v ee x p a n s i o nm e t h o db y l i n e a r o p e r a t i o n s i t i ss h o w nt h a t s y m m e t r yo ft h ep h o t o n i cc r y s t a lr i s e sa sn i n c r e a s e sa n dt h e p h o t o n i cc r y s t a l b a n d g a p sr e d u c eg r a d u a l l y w h e nnt e n d st o i n f i n i t e ，t h eo b t a i n e dr e s u l tc o r r e s p o n d st ot h ec a s eo f p h o t o n i cc r y s t a lc o n s i s t i n go f c i r c l ec y l i n d e r s af d t dm e t h o di s e m p l o y e dt o c a l c u l a t ed e f e c tm o d e si nat w o d i m e n s i o n a l p h o t o n i cc r y s t a lc o n s i s t i n go fa n i s o t r o p i cc y l i n d e r so fm a t e r i a lt e l l u r i u m i no r d e rt o o b t a i nad e f e c tm o d ei n s i d et h ec o m p l e t e db a n d g a p ，w ea d j u s tt h ec e n t r a lc y l i n d r i c a l r a d i u sr da n dr a d i u sr nf o rt h e n e i g h b o r i n gc y l i n d e r s i ti ss h o w nt h a tt h ed e f e c t m o d e sf o r f h ee - p o l a r i z a t i o na r en o ts e n s i t i v et or n ，w h i l e t h er e s o n a n c ef r e q u e n c vf o r h - p o l a r i z a t i o n v a r i e s r e g u l a r l y a s r n c h a n g e s w h e n t h e f i l l i n g f r a c t i o nf = o 4 ( r = 0 3 5 6 8 a ) ，= o 5 5 a a n dr n = 0 2 6 a , t h ed e f e c tm o d eh a st h es a m er e s o n a n c e f i e q u e n c yf d 0 = o ，2 4 6 6 e ( w h e r e ( i ) e 2 2 冗c a ) f o rb o t he - a n dh - p o l a r i z a t i o n a l s o w a v e - g u i d e i si n v e s t i g a t e dc a r e f u l l y , a n dt h er e s u l ti sd i s c u s s e d k e y w o r d s ：p h o t o n i c c r y s t a l ，c o m p l e t eb a n d g a p s ，p l a n e w a v ee x p a n s i o n m e t h o d ，f d t d ，d e f e c tm o d e s ，l i n e a ro p e r a t i o n sm e t h o d ，s t a b i l i t y 第一章绪论 随着固体理论的发展，人们对电子在周期性原子势场中的运动规律有了深入 的了解。半导体物理的发展就是基于固体能带理论和量子力学的结合。由于人们 做成的半导体材料可以控制晶体中电子的行为，从而诞生了高度发展的电子工业 和信息产业。 然而，近十几年来，科学家开辟了一个崭新的研究领域光子晶体及其应 用领域，目的是为了控制光及电磁波的传播。可以想到，光子晶体的发展会对通 讯领域产生巨大的影响。 光子晶体的概念以及性质 光子晶体是人工的晶体，它是周期性排列的介质或者金属。在1 9 8 7 年 y a b l o n o v i t c h 1 ，和j o h n 2 】各自独立的提出光子晶体的概念。实质上，光子晶体 的概念来自于和固体能带的类比。电子在周期性的原子势场中运动的时候，会出 现一个禁带。这是量子力学微扰论的直接结果。作为类比，当光( 电磁波) 通过 周期性排列的光子晶体的时候，其行为也可以出现类似的结果。那就是，会出现 光子禁带。频率在光子禁带中的电磁波不能在光子晶体中传播，这是光子晶体中 最重要的特征。 一维光子晶体是平行的介质平面在一个方向上的周期排列，二维光子晶体是 在一个平面上周期排列的柱体结构，而三维光子晶体是三维周期排列的点阵结 构。 b r a g g 反射镜实质上就是一维光子晶体，它由于存在光子禁带而反射光。但 是它有缺陷，它的光子禁带依赖于入射角，因此它不能禁止所有角度入射的电磁 波的传播。光子晶体概念的提出使人们对b r a g g 反射镜的认识变得更为深刻， 1 9 9 8 年w i n n 等人 3 就设计出了能反射任意入射光的一维光f 晶体反射镜。显 然，具有完全禁带的三维光子晶体更是理想的光子反射镜。 白光子晶体概念提出后人们对具有完全禁带的三维光子晶体的存在曾提出 了种种猜测和疑问，直到1 9 9 0 年k m h o ，c t c h a n 和c m s o u k o u l i s 等从理 论l 二证实了第一个具有完全禁带的三维光子晶体结构晶刚石结构 4 】。1 9 9 1 年，y a b l o n o v i t c h 在实验上制作出了第一块具有完全光子频率禁带的三维光子晶 体【5 1 ，从此光子晶体成为个迅速发展的科学领域。 光子晶体的发现是光和电磁波传播与控制技术方面的一次革命，1 9 9 9 年，更被 美国权威科学杂志评为年度十大科技成就之( ( s c i e n c e ) ) ，1 9 9 9 年1 2 月 1 7 日，第2 2 3 8 至2 2 4 3 页) 。对于这一新技术的研究在最近的自然、科学、 物理学评论快报等国际最权威的杂志上已经有十余篇文章发表。国外最近每 年都有数百篇关于晶体的文章发表( 而且每年文章数量迅速增多) ，并己报道了 升i 少成功的关于光子晶体的实验。 二光子晶体的理论研究 由于电磁场的矢量特征，光子晶体的理论模拟变得比较困难。尽管如此，几 种理论上的模拟和实验上的结果已取得了极好的致。这些理论方法能比电子能 带理论计算方法更为完善，主要原因是线性光学是个单粒子问题，也就是说光子 之间不存在着库仑互相作用，而这在电子能带计算中则必须考虑。以下是几种用 来计算光子晶体带隙结构以及缺陷膜等理论方法。所有的方法都是基于经典的电 磁场理论。 1 平面波展开方法 平面波展开方法是光子晶体理论分析方法中应用最早和最广的一种方法。在 计算光子晶体能带结构中，平面波展开法直接应用了结构的周期性，将m a x w e l l 方程从实空间变换到离散f o u r i e r 空间，将能带计算简化成代数本征问题的求解。 应用超胞技术，平面波展开方法也可推广应用于分析光子晶体a n d e r s o n 局域态 和光子晶体波导本征模。目前平面波展开法流行两种具体形式，一种称常规平面 波展”法【6 ，另。种是k mh o 等提出方n 4 1 。平面波展”法的缺点是收敛 述度慢。 2 有限时域差分法 有羧耩雩域差分法( f 甜d ) f 7 】豹基本愚憨是：定义秘始对闯的一疆场分靠，然 后根掘周期忭边界条件，利用畿兜斯韦方程组可以求得场强随时间的变化，随藿 时间的演化，最终解得光子晶体的能带结构。f d t d 方法不但能计算光予晶体介 质结构的能带关系，同时也能计算金属结构的光予黼体能带关系( 平面波方法不 能诗冀会簇建，于鑫薅能豢) 【鞠，阏瓣我翻可戳结会袋佳莲配垂( p e r f e c t l ym a t c h e d l a y e r ) , 技术，利用f d t d 方法计算帮处理出光子晶体a n d e r s o n 局域态【9 】、光子 晶体波导本征模的特性 1 0 l 、光予晶体表面膜【1 1 】的特性等一系列的问题。 3 转移矩辫方法 转移秘降骞法 1 2 n 样把求麟光子晶钵带隙诗爨转化为本征擅求解阉戆。对 m a x w e l l 方桴缓骰离散铯，褶邻滔层空瘸豹场之闯羽获系可敬焉一个转移矩薄寒 表示。利用转移矩阵，从一个鼷颡上的场可以外推熬个光子晶体空间的场分布。 这种方法对介电常数随频率变化的金属系统特别莉效。由于转移矩阵只与层面上 的格点数的平方成芷比，与平聪波黧法相比，这静方法的计算量大为降低。转移 筵阵方法遥每以诗算一令毒隈必寸毙孑鑫薅静疲瓣系数及逶瓣系数。 以上怒一墨种最为常用的光予晶体理论分析方法。除了这三种方法，人们也提 出了其他多种光子晶体理论计辣方法，如多重散射法、格林函数求解法、平均场 分析法和紧束缚法等方法，这毖方法各有其优缺点。 三光子晶体的制作 光予綮带是否存在主要取决予光子晶体的三个刚素：1 ) 两种介质的介电常 数( 季嚣瓣率) 差；2 ) 夯质静壤宠率魄：3 ) 鑫矮绪擒。套毫鬻数稳差越夭越容易 出现光予禁带。由于半导体材料其有较高的介窀常数，半导体介质与空气结构其 有很大的折射率差，因此半释体材料成为光予晶体材料的主要选择。1 9 9 1 年，y a b l o n o v i t c h 用活性离子柬依次从三个相差1 2 0 度的方向在介质上穿孔耐制成 了第块= 专篷光子鑫体 1 3 】。这是一季孛葱心立方结梅，螽寒豹龌究表嬲这鞭 结秘 不存矗宠全繁带。毽隧磊( 瓣一年) y a b t o n o v i t c h 涮0 2 了爨毒完全禁带的二维毙 f 晶体。暖结构属会刚石结构，禁带频率从1 3 g h z 划1 5 g h z 5 1 。 早期制n ：的这类光予晶体的工作频率部落在微波段。当工作波段向短波长推 进时，实验制作则变得越来越困难。目前的实验技术还无法实现工作于远红外或 光波段的金刚石结构。近年来，人们提出了“逐层叠加”( 1 a y e r b yl a y e r ) 【1 4 1 的 另种光子晶体制作方案。目前该方法已把光子晶体的工作频率推进到远红外波 段，如f l e m i n g 和l i n 制作了近代在1 3 5 u r n 到1 9 5 u m 的光子晶体l5 1 。还有的 另外两种光子制作方案是：1 ) 应用微制造技术( m i c r o f a b r i c a t i o n ) 制作，已报 道了工作窗口存l5 u r n 的成功例子f 1 6 ，1 7 ：2 ) 自组织生长技术【1 8 ，通过将介 质微粒均匀混入特殊溶液而制成，其缺点是介电常数比较小而且禁带窄小。 光予晶体对对称性和周期性通常要求很高，对称性的轻微破坏就可能使光子 禁带消失，ct c h a r t 等人 1 9 ，2 0 1 提出了在大小相同的介质球外镀上金属来制作 光子晶体，结果表面对于多种晶格结构，甚至非周期性排列情况下，都产生了光 子禁带。 与三维光子晶体相比，二维光子晶体要容易制作得多，成熟的芯片集成工业 提供了二维光子晶体制作的有力技术，而二维光子晶体在晶格结构上也容易出现 光子禁带，如空气孔在介质中三角排列、蜂窝结构等都能产生较大的禁带。应用 电子束刻蚀技术，人们成功制作了红外到可见光波段的众多二维结构 2 i ，2 2 】。 四光子晶体的构造 i y a b i o n o v i t c h 构造的三维光子晶体 3 、l 2 i a y e rb yi a y e r 氧化铝三维光子晶体 3 二维光子晶体示意 五光子晶体能带以及完全禁带示意 六光子晶体在通讯领域的应用举例 1 光子晶体波导 传统的波导转弯损耗非常的大， 引导和拄制光在晶体中的传播。 雨光f 晶体通过引入线缺陷，能 光子晶体波导可无损耗直角转弯 2 光子晶体点缺陷d w d m ( 波分复用示意图) 光子晶体波分复川措件7je d g a w g 、r 曲波导波分复用器件原理虽不同，但制做t 艺及设备几乎 相同，我们在e d g ：a w g 器件制作巾积岽了i 午多经验，这对实现新一代光予晶体的d w d m 提供 了强确力的。丈骑仪| ；蠡。 3 光子晶体光纤 传统的光纤基本上基于全反射原理而光予晶体光纤由于禁带的特性使得传输中的电磁场被局 域在一个非常小的区域如果再结台光于晶体波导。可大大减少传输巾的损耗。 4 光子晶体棱镜 h 这种结构对被k 很敏感，如果被k 捕羞小小的悄种光漱以相同角度射八这利品俅山j 二光严带隙利料对曲 种波k 的折刺率不问，将发生小川m 瞳的折q j 实验证实波长相差1 的曲种光九返种特殊的光严带| l ；f 材料 中将彻底地分开，分开的角度选剖5 0 ，毡j m 与这两种光射入传统的s i 品体中返两种光几乎没有分开。 5 光子晶体天线 光二f 晶体天线是在光r 晶体结构在微波段的一种应用，m 于其制作方法比较 l l j 简单所以其应片j | i i 景j f i 酱的广。目前基于光子晶体的高疗向性系数f 3 1 】、高 增箍和超宽频带的天线和列阵人线的研究、基于光子晶体的小尺寸隐蔽天线的研 究以及超方向性的光予晶体共振天线的研究都已取得了一定的成绩，光予晶体天 线协必将成为光r 晶体自城的义火热电。 7 参考文献 fi1ey a b l o n o v i t c h ，p h y s r e vl e f t ，19 8 7 ，5 8 ( 2 0 ) ：2 0 5 9 - 2 0 6 l ， f 2 sj o h n ，p h y s r e v l e f t 。，i9 8 7 ，5 8 ( 2 3 ) ：2 4 8 6 2 4 8 9 3 】j n w i n ne ta 1 ，0 p t l e t t ，1 9 9 8 ，2 3 ( 2 0 ) ：i5 7 3 - 1 5 7 5 4 km h oe t a 1 ，p h y s r e v l e f t ，1 9 9 0 ，6 5 ( 2 5 ) ：3 1 5 2 3 1 5 5 【5 】e y a b l o n o v i t he t a 1 ，p h y s r e v l e t t ，19 9i ，6 7 ( 2 4 ) ：2 3 8 0 3 3 8 3 【6 m p l i h a la n d aa m a r a d u d i n ，p h y sr e vb ，1 9 9 1 4 4 ( 1 6 ) ：8 5 6 5 8 5 7 1 7 】c tc h a n e t a 1 ，p h y s r e v b ，1 9 9 5 ，5 1 ( 2 3 ) ：1 6 6 3 5 - 1 6 6 4 2 1 8 】mq i u a n dsh e ，j a p p l p h y s ，2 0 0 0 ，8 7 ( 1 2 ) ：8 2 6 8 8 2 7 5 【9 】m q i ua n ds h e ，p h y s r e v b ，2 0 0 0 ，6 1 ( 1 9 ) ：1 2 8 7 1 - 1 2 8 7 6 1 0 】mq i ua n ds h e ，p h y s r e v l e t t a ，2 0 0 0 ，2 6 6 ，4 2 5 4 2 9 ( 1 1 】mq i ua n d s ，h e ，p h y s r e v l e 也a ，2 0 0 1 ，2 8 2 ，8 5 - 9 1 。 f 1 2 j bp e n d r y a n d a m a e h i n n o n ，p h y s r e vl e t t ，1 9 9 2 ，6 9 ；2 7 7 2 - 2 7 7 5 【1 3 e y a b l o n o v i t c he 1 a 1 ，p h y s r e v l e t t ，1 9 9 1 ，6 7 ( 1 7 ) ：2 2 9 5 - 2 2 9 8 【1 4 】e o z b a e t a 1 ，p h y s r e v l e f t ，1 9 9 4 ，6 4 ( 1 6 ) ：2 0 5 9 - 2 0 6 1 i5 jgf l e m i n ga n ds y l i n ，o l p t l e t t ，1 9 9 9 ，2 4 ：4 9 5 1 【1 6 】c cc h e n ge t a 1 。v a c s c i t e c h n 0 1 b ，1 9 9 5 ，1 3 ：2 6 9 6 - 2 7 0 0 ( 1 7 】c cc h e n ge t a 1 ，v a c s c i t e c h n 0 1 b ，1 9 9 7 ，1 5 ：2 7 6 4 2 7 6 7 1 8 】hm i g u e ze t a 1 ，a p p l p h y s l e n ，1 9 9 7 ，7 1 ：1 1 4 8 1 1 5 0 【i9 】wvz h a n ge t a 1 ，p h y s r e v l e t t ，2 0 0 0 ，8 4 ，2 8 5 3 - 2 8 5 6 2 0 】c z c h a ne t a 1 ，p h y s i c ab ，2 0 0 0 ，2 7 9 ( 1 3 ) ：1 5 - 1 5 4 2 f 】j mg e r a r de t a l ，s o l i d s t a t ee l e c t r o n i c s ，1 9 9 4 ，3 7 ，1 3 4 1 1 3 4 4 2 2 下k r a u s se t a 1 ，e l e c t r o n i c sl e t t e r s ，1 9 9 4 ，3 0 ，1 4 4 4 1 4 4 6 2 3 】a m e k i s ，p h y s r e v l e t t ，1 9 9 6 ，7 7 ：3 7 8 7 3 7 9 0 f 2 4 】vlk o p p ，o p tl e l t ，1 9 9 8 ，2 3 ：1 7 0 7 一】7 9 0 【2 5 】s f a ne t a 1 ，p h y s r e v l e t t ，1 9 9 8 ，8 0 ，9 6 0 【2 6 】j f u ，s h ea n ds x i a o ，j p h y s a ：m a t hg e n ，2 0 0 0 ，3 3 ( 4 3 ) ：7 7 6 1 7 7 7 i 【2 7 】h k o s a k a ，e ta 1 ，p h y s r e v b ，5 8 ( 1 9 9 8 ) ，i 0 0 9 6 【2 8 j ck n i g h t e t a 1 ，o p t l e t t ，1 9 9 6 ，2 1 ：15 4 7 一i5 4 9 【2 9 1j ck n i g h t ，e ta l ，s c i e n c e ，1 9 9 8 ，2 8 2 1 4 7 6 【3 0 jh k o s a k a e t ，a 1 ，a p p l p h y sl e t t ，1 9 9 9 ，7 4 ：1 3 7 0 1 3 7 2 ， f 3l 】sh e ，e ta 1 ，m i c r o w a v eo p t t e c h nl e n ，2 0 0 0 ，2 6 ( 6 ) ：3 6 7 - 3 7 1 第二章光子晶体带隙计算的理论方法 一刖罱 最近，光子晶体控制光和电磁波传播的性质引起了人们的广泛关注。光子晶 体是周期性排列的介质和金属结构。和点子在周期性原子势场中运动的情况相类 似，光子晶体可以存在光子禁带，频率在禁带中的电磁波不能在其中传播。因此， 基于光子晶体的这个重要性质，光子晶体呈现出许多潜在的应用前景。比如新型 激光器、波导、波分复用器件等等。所以。计算研究光子晶体带隙结构，优化设 计出具有较大带隙的光子晶体具有实际的意义。 为了设计出具有较大禁带的光子晶体。常用数字模拟计算来实现。计算二维 光子晶体禁带常用的方法有平面波展开方法 1 ，2 ，3 】、时域有限差分法【4 ，5 ，6 ，7 】 ( f d t d ) 、多重散射法【8 ，9 】、特征矩阵法( 1 0 、等效介质法 1 1 】等等。在这些理 论方法中，平面波展开方法是最早提出的理论，它的应用也比较普遍。平面波展 开方法是将周期性介电常数e 在倒格子空间做f o u r i e r 展开。这样，光子晶体的 能带计算问题可以简化为代数本征值方程的求解。它的显著的优点是可以分辨简 并膜。但是，由于周期性介电常数e 展开的的f o u r i e r 级数收敛比较慢，因此精 确程度难以保证。 时域有限差分法( f d l d ) 是将空间区域和时间间隔进行格点离散化处理， 经过时间的演化，可以计算出电磁波随时间传播演化的规律。它可以适用于任何 复杂的界面。 本文主要是介绍平面波展开方法和时域有限差分法。其它的计算方法我们 不进一步深入讨论。 二平面波展开方法 平面波展外方法有两种基本方法。它们是基于对周期性介质、电场、磁场在 倒格子空问的展开，然后计算电磁场的本征方程以求出本征频率。 1 标准的平面波展开方法 12 我们知道，介质中的m a x w e l l 方程如下式所示： o h ：一l v 营 o t 鳓 丝a t = 嘉v 城 f n 具甲，7 3 栏( 1 ) 为法拉弟电磁感应定律，万程( 2 ) 为位移电流定律。 在片极化的情况下，电场和磁场分量为 厅( i ；r ) = ( o ，0 ，垃( 毛i ) ) e x p ( 一l o o t ) ， 豆( 哥；f ) = ( 乓( 而i ) ，b ( 勘l ) ，0 ) e x p ( 一i o d t ) ， 其中t i ”2 娃。+ 嫣y ，i = 姬。+ 姆。+ 蠢：。 m a x w e l l 旋度方程非零场分量方程为 誓一鲁咖船 ， 警= 泐b = 泐警， 等叫蝣砌警 其中为真空中的光速。消去e x 和岛我们得到关于皿的方程 昙 志剡+ 号 志刳o y + 手删，缸【毛( 而) 蠡j 砂l 乞( 而)j c 。2 7 将i 南和丝( 勘i 甜) 在倒格子空间按平面波展为 志= 事k c 晡瓯 日：( 冲) 2 萎矧6 佤山靠 o ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) k ，= t 。t 十kd ，g 0 ( ) = 6 j + 心6 z ， 臣= 等( 钏) ， 丘= 丝( 一o ，t ) 盘 在( 1 2 ) 式中，a 。= l 、l ，为整个晶胞的面积。 将( 9 ) ，( 1 0 ) 两