第1章 集合与不等式(初等数学教案).doc

第1章 集合与不等式【学习目标】1.了解集合的概念及其表示方法.2. 掌握集合之间的运算（子集、真子集、相等、交集、并集、补集）.3. 理解区间的概念,会在数轴上表示区间.4. 掌握绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式的解法.5. 培养学生应用数学概念的能力和计算能力.1.1 集合1.集合的概念集合是现代数学中最基本的概念之一.研究集合的数学理论称为集合论，它是数学的一个基本分支，是近代许多数学分支的基础. 我们在初中就已经接触到了“集合”一词,如: “自然数的集合” ,“有理数的集合”, “不等式的解集”等. 在数学和日常生活中，也经常把某些指定的对象作为一个整体加以研究，例如：一个班里的全体学生；某图书馆的全部藏书；所有的直角三角形；与一个角的两边距离相等的所有点；不等式3的所有解；某工厂金工车间的所有机床它们分别是由一些人、书、图形、点、数和机床组成的一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),用大写字母表示.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,用小写字母表示.如果是集合的元素，就说“属于集合”，记作 ；如果不是集合的元素，就说“不属于集合”，记作 .某校高一(1) 班全体学生就构成了一个集合，该校内的任一学生，或者是高一(1) 班的同学，或者不是，二者必居其一，这一性质叫做集合元素的确定性；在书写高一(1)班全体同学的名单时，谁写在前面或者后面，不论次序如何，都是高一(1)班全体同学的名单，这一性质叫做集合元素的无序性；另外，每名同学的名字，必须写而且只需写一次就可以了，这一性质叫做集合元素的互异性. 练一练:判断下列各组元素能否构成一个集合:(1) 所有爱唱歌的孩子;(2) 0,1,1,2.2. 常用数集下面介绍几种常用数集的表示符号：整数集,记作;自然数集（即非负整数集）, 记作;正整数集,记作 ; 有理数集,记作; 实数集,记作. 有时，正实数集我们记作，负有理数集记作，等等.不含任何元素的集合称为空集，用表示，如的实数解的集合3. 集合的表示方法集合的表示方法通常有两种：列举法和描述法. 把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内,这种表示集合的方法称为列举法. 例如：单词book中所有字母的集合；大于1而小于10的正整数所组成的集合等等. 把集合中元素的共同性质描述出来，写在大括号内,这种表示集合的方法称为描述法.例如：不等式的所有实数解组成的集合，记作；所有三角形的集合记作 究竟用哪种方法表示一个集合，要视具体情况而定. 例 用列举法或描述法表示下列集合:(1)大于4而小于17的奇数;(2)某校的所有电脑;(3)一次函数图象上的所有点.解 (1)用列举法表示为; (2)用描述法表示为某校的所有电脑;(3)用描述法表示为 或一次函数图像上的所有点.练一练:用列举法和描述法表示下列集合:(1)的解集(2) 大于0且小于5的整数【习题1.1】1. 判断下列各组元素能否构成一个集合？(1) 所有长发的女生;(2) 0,1，2，2，3，4，52.用适当的方法表示下列元素构成的集合:(1) 方程的所有实根;(2)大于0的偶数;(3)组成中国国旗图案的颜色;(4)中国古代的四大发明.3.用另一种方法表示下列集合:(1)一年的四个季节; (2);(3); (4) .4.用列举法和描述法各举一个集合的例子.5.下列结论中不正确的是( ).A.ON; B. Q; C.OQ; D.-1Z.1.2 集合之间的关系1. 子集观察下列集合:.可以发现,集合中的每一个元素都是集合中的元素,对于集合间的这种关系,给出下面的定义. 如果集合的任何一个元素都是集合的元素，那么称集合是集合的子集，记作,读作包含于(或包含).并规定: 空集是任何集合的子集，即.因此,任何一个集合是它本身的子集，即.集合不包含于集合时，记作.例1 写出集合的所有子集.解 集合的所有子集是: 2. 真子集在集合的所有子集中，除去它本身外，集合中至少有一个元素不在其余的某个子集中. 如果集合是集合的子集，且集合中至少有一个元素不属于,则称集合是集合的真子集,记作(或),读作真包含于(或真包含).如文氏图1-1所示.集合的子集中，除了外，其它子集都是的真子集.显然,空集是任何非空集合的真子集.练一练: 判断集合的关系:(1) 集合,;设合,.3、集合的相等如果集合与集合的元素完全相同，即，则称集合与集合相等，记作.练一练:对于集合, ,下列关系是否成立:, ,?例2 指出下列各组中两个集合之间的关系:(1);(2);(3); 解 (1) ; (2); (3). 例3 讨论集合与集合的关系.解 因为集合,集合,所以集合是集合的真子集，即.【习题1.2】1用符号、=、填空：（1）1 ； （2）0 ； （3）-2 （4） ； （5） ； （6） ； （7）1，2 2，1；（8）3，5 1，3，5；（9）2，4，6，8 2，8；（10） 1，2，3.2图1-2中A、B、C表示集合，说明它们之间的关系. 图1-23写出集合1,3,5的所有子集.4设A=1，3，5，7，9，B=1，2，4，6，写出由A和B的所有元素组成的集合C.5设A=1，3，5，7，9，B=1，2，3，4，6，8，10，写出由A和B的公共元素组成的集合C.1.3 集合的运算1. 交集观察集合与，容易看出，集合是由集合与的所有公共元素组成的，对于这样的集合我们给出如下定义. 定义 由集合与集合的所有公共元素组成的集合，叫做集合与集合的交集(如图1-3的阴影部分所示)，记作，读作“交”.即. 由交集的定义及图1-3可以看出, 既是的子集，也是的子集,即且.另外，交集还有如下性质：若，则，反之也成立.例1 设集合：(1),;(2) ,;(3) ,;(4) ,;(5),;(6),.求.解 (1) ;(2) ;(3) ; (6), 如图1-4所示.2. 并集我们把集合与的元素放在一起，构建新的集合,由集合元素的互异性得新的集合为. 它是由所有属于,或属于的元素组成的.对于这样的集合，我们给出如下定义.定义 由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与集合的并集(如图1-5的阴影部分所示),记作,读作并,即.由并集的定义及图1-5可以看出,集合都是的子集,即,.另外，并集还有如下性质：若，则，反之也成立.例2设集合：(1),;(2) ,;(3) ,;(4) ,;(5) ,.求.解 (1) ;(2) ;(3) ;(5),如图1-6所示.3. 补集观察下列三个集合之间的关系： 全班同学, A班上男同学 , B班上女同学. 容易看出,集合B就是在集合I中，去掉集合A的所有元素之后，由余下来的元素组成的集合.在研究集合之间的关系时,如果集合I包含我们要研究的各个集合，则称I为全集. 设I是全集，A是I的一个子集（即AI），则由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫作集合A在I中的补集 (如图1-7所示)，简称集合A的补集.记作，读作“A补”，即.由全集与补集的定义可得：，.例3 设，,求.解 .例4 设全集I,求(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) .解 (1) ，;(2) ; (3) ; (4) ;(5) .【习题1-3】1.设,求.2.设集合(1)(2)(3),.求, ,.3.设，A，求.4.若 ,求a值.5.已知A0，2，4， =1，1， =1，0，2，请用列举法表示集合B.6.设表示某校全体学生的集合, 表示该校全体男生的集合, 表示该校全体女生的集合, 表示该校全体教工的集合.(1)、中哪两个集合的交集是非空集合？(2)求.(3)求.(4)、中哪些集合是的真子集.1.4 区间设是两个实数，且,则:满足不等式的所有实数的集合,叫做由到的闭区间,记作.满足不等式的所有实数的集合,叫做由到的开区间,记作. 满足不等式(或)的所有实数的集合,叫做由到的半开区间,记作(或). 在这里,实数叫做相应区间的端点. 上述区间,统称为有限区间.满足的实数的集合，分别记作,，这些区间称为无限区间.其中符号与分别读做正无穷大与负无穷大.全体实数的集合也是无限区间,记作. 区间可以用数轴上的点集来表示,其中用实心点表示端点包括在区间内, 用空心点表示端点不包括在区间内,如图1-8所示.无限区间也可以用数轴上的点集来表示, 如图1-9所示. 例1 用区间表示下列集合:(1); (2). 解 各集合用区间分别表示为 (1); (2).练一练:用区间表示下列集合: (1); (2);例2 把下列不等式组的解集用集合、区间及数轴上相应的点集表示：（1） （2）解 (1)不等式组解集的集合形式为.区间形式为.数轴上的点集表示如图110(1)所示.（2）不等式组解集的集合形式为.区间形式为.数轴上的点集表示如图110(2)所示. 例3 设集合,求,并用区间及数轴上的点集表示.解 .区间形式为.数轴上的点集表示如图111(1)所示. .区间形式为.数轴上的点集表示如图111(2)所示. 今后,我们可以采用不等式、集合、区间、数轴上的点集等不同的方法表示数集.【习题1-4】1. 用区间表示下列集合: (1) ; (2) ;(3) ; (4) .2. 把下列不等式组的解集用三种方式集合、区间及数轴上点集表示出来：（1） （2）3. 设集合,求,并用区间及数轴上的点集表示.1.5 绝对值不等式的解法一个数的绝对值,表示数轴上与这个数所对应的点到原点的距离一个实数的绝对值记作,是指由所唯一确定的非负实数，且 下面，我们学习绝对值不等式的解法.依据绝对值的定义可知，是数轴上表示的点到原点的距离.从而当时，的解集，是数轴上与原点的距离小于的点的集合，即（如图112（1）所示）；的解集，是数轴上与原点的距离大于的点的集合, 即（如图112（2）所示）.例1 解下列不等式:(1) ; (2). 解 (1) 的解集为; (2) 的解集为.对于型的不等式，可以把看作一个整体，转化成型不等式来求解. 例2 解下列不等式,并用区间表示解集:(1) ; (2).解 (1) 由，得 ,整理得 ,所以原不等式的解集为 .(2) 由 ，得 ,解得 ,所以原不等式的解集为 .【习题1.5】1. 解下列不等式,将解集表示为集合的形式:(1); (2); (3); (4).2. 解下列不等式,将解集表示为区间的形式:(1); (2);(2); (4).1.6一元二次不等式的解法形如的不等式称为一元二次不等式.这里，我们利用一元二次函数的图像，找出一元二次不等式与一元二次函数及一元二次方程之间的关系，进而得到求解一元二次不等式的方法.在一元二次函数中，令，得解得 .观察函数的图像(如图1-13),可得(1) 当时,;(2) 当时,;(3) 当时,.由此可知(a)一元二次方程有两个不同的根;(b)一元二次不等式的解集为;(c) 一元二次不等式的解集为.该例表明,一元二次函数的图象与轴的交点，可以确定相应的一元二次不等式的解集.练一练:讨论：当取何值时,下列一元二次函数的值?(1) (2) （3）下表按一元二次函数（）的判别式三种情形，给出了一元二次不等式的解集. 的图象的根的解集的解集(1)(2)(3)无实根如果二次项系数，我们可用(1)乘不等式两边，将其变形为二次项系数为正的情况例1 解下列不等式:(1); (2) .解 (1), 方程有两个不相等的实根 . 不等式的解集为;(2) 将不等式变形为.方程有两个不相等的实根 .不等式的解集为. 所以，不等式的解集为.例2 解下列不等式:(1); (2) ;(3) ; (4) .解 (1), 方程有两个相等的实根 .不等式的解集为.(2) ，方程有两个相等的实根不等式的解集为. (3) , 方程无实根. 不等式的解集为.(4) 将不等式变形为. , 方程无实根. 不等式的解集为.所以不等式的解集为.【习题1.6】1. 解下列不等式:(1); (2).2. 解下列不等式:(1); (2); (3); (4).3.某产品的总成本与产量之间的关系为,若产品售价为50元/件,问至少销售多少件才不亏本?4讨论当取何值时,函数的值(1) 大于零?(2) 等于零?(3) 小于零?5.取何值时,方程有两个不等的实根?1.7 分式不等式的解法 含有分式的不等式叫做分式不等式.形如的分式不等式，可化为一元二次不等式（或不等式组）来求解.例1 解下列不等式:(1); (2) .解 (1)不等式等价于. 方程有两个不相等的实根 .所以的解集为.(2)不等式等价于 .方程有两个不相等的实根 .所以的解集为.例2 解不等式.解 将不等式移项并整理得.这个不等式等价于 故不等式的解集为 .【习题1.7】解下列不等式:(1); (2) ;(3); (4).复习题1A组1.用适当的符号 “”填空:2. 用另一种方法表示下列集合:（1）; (2);（3）; (4).3.判断下列各组元素是否构成一个集合？（1）非常小的数; （2）本班兴趣广泛的同学;（3）0与1之间的实数; (4) 非常漂亮的孩子.4. 写出集合的所有子集和真子集.5. 设集合.用区间及数轴上相应的点集表示;(2)求.6. 解下列绝对值不等式: (1) ; (2) ;(3) ; (4) .7.解下列不等式:(1) ; (2) ; (3); (4) . 8. 解下列不等式: (1) ; (2) ; (3) ; (4) .B组1. 设集合，求,.2. 设集合,求, ，.3. 已知,.如果,求的值.4. 已知，求下列各代数式的取值范围:(1); (2) ; (3); (4).5. 用长的栅栏,一面靠墙围出一个矩形的花坛，问垂直于墙体的边长为多少米时，花坛的面积不少于?集合理论的创始人是 康托尔（Cantor,G.F.L.P，184519