2013--2015年上海高考数学试题(文科)+答案.doc

2013-2015年上海高考数学（文）试卷与参考答案2013-2015年上海高考数学（文）试题与参考答案2013年上海高考数学试题（文科）附答案一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1不等式的解为 2在等差数列中，若，则 3设，是纯虚数，其中是虚数单位，则 4若，则y = 5已知的内角、所对的边分别是，若，则角的大小是 6某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 7设常数若的二项展开式中项的系数为-10，则 8方程的实数解为 9若，则 10已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆心上两个不同的点，是母线，如图若直线与所成角的大小为，则 11盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）12设是椭圆的长轴，点在上，且若，则的两个焦点之间的距离为 13设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为 14已知正方形的边长为1记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、若且，则的最小值是 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15函数的反函数为，则的值是（ ）（A）（B）（C）（D）16设常数，集合，若，则的取值范围为（ ）（A）（B）（C）（D）17钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件18记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（ ）（A）0 （B） (C) 2 (D) 2三解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤19（本题满分12分）如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积20（本题满分14分）本题共有2个小题第1小题满分5分，第2小题满分9分甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为；（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润21（本题满分14分）本题共有2个小题第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数，其中常数（1）令，判断函数的奇偶性并说明理由；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值22（本题满分16分）本题共有3个小题第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分已知函数无穷数列满足（1）若，求，；（2）若，且，成等比数列，求的值；（3）是否存在，使得，成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由23（本题满分18分）本题共有3个小题第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分如图，已知双曲线：，曲线：是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；（3）求证：圆内的点都不是“型点”2013年上海高考数学试题（文科）参考答案一 填空题1. 0 X 2.152. -23. 14.5. 786. -27.8. -9.10.11.12.13. -5二 选择题题号15161718代号ABAD 三 解答题19.解：由已知条件可知，正三棱锥O-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形。 经计算得底面ABC的面积为 所以该三锥的体积为 设O是正三角形ABC的中心 由正三棱锥的性质可知，OO垂直于平面ABC 延长AO交BC于D，得AD=,OD= 又因为OO=1，所以正三棱锥的斜高OD= 故侧面积为 所以该三棱锥的表面积为因此，所求三棱锥的体积为，表面积为320.解： （1）生产a千克该产品，所用的时间是小时 所获得的利润为100 所以生产a千克该产品所获得的利润为100a元 （2）生产900千克该产品，获得的利润为90000，1x10,记（x）=则（x）=获得最大利润90000元。因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元。21.解：（1）（x）= F（x）= （x）+ 所以，F（x）既不是奇函数也不是偶函数。 （2）（x）= 将y= （x）的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到 令 因为上零点个数为21 当a不是零时，上恰有两个零点，故在上有20个零点。 综上，22.解：（1） （2） 当 当2时，综合得 （3）假设这样的等差数列存在，那么 由 以下分情况讨论： 当2时，由（*）得2矛盾 当02时，有（*）得=1，从而所以是一个的等差数列 当0时，则公差0，因此存在m2使得2.此时0，矛盾综合可知，当且仅当23解：（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；（2）直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须；直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则直线与圆内部有交点，故化简得，。若直线与曲线C1有交点，则化简得，。由得，但此时，因为，即式不成立；当时，式也不成立综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆内的点都不是“C1-C2型点” 2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（文科）及参考答案满分150分;考试时间120分钟一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数的最小正周期是 2若复数，其中是虚数单位，则 3设常数，函数若，则 4若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 5某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 6若实数满足，则的最小值为 7若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）8在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 9设 若是的最小值，则的取值范围为 10设无穷等比数列的公比为，若，则 11若，则满足的的取值范围是 12方程在区间上的所有的解的和等于 13为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）14已知曲线，直线若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15设，则“”是“且”的（ ）(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件16已知互异的复数满足，集合，则（ ）(A) (B) (C) (D) 17如图，四个边长为的小正方体排成一个大正方形，是 大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点， 则的不同值的个数为（ ）(A) (B) (C) (D) 18已知与是直线（为常数）上两个不同的点， 则关于和的方程组的解的情况是（ ）(A) 无论如何，总是无解(B) 无论如何，总有唯一解(C) 存在，使之恰有两解(D) 存在，使之有无穷多解三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 设常数，函数（1） 若，求函数的反函数；（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差现在实测得，求的长（结果精确到0.01米）22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分在平面直角坐标系中，对于直线和点，记若，则称点被直线分隔若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线（1）求证；点被直线分隔；（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线求的方程，并证明轴为曲线的分隔线23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分 已知数列满足，（1）若，求的取值范围；（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围参考答案一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15 16 17 18三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19（本题满分12分）解：在中，所以是中位线，故同理，所以是等边三角形，各边长均为设是的中心，则平面，所以，从而，20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解：（1）因为，所以，得或，且 因此，所求反函数为，（2）当时，定义域为，故函数是偶函数； 当时，定义域为， ，故函数为奇函数； 当且时，定义域为关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解：（1）记根据已知得， 所以，解得因此，的长至多约为28.28米（2）在中，由已知， 由正弦定理得 ，解得 在中，有余弦定理得， 解得 所以，的长约为26.93米22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分（1）证：因为，所以点被直线分隔（2）解：直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有解，即因为直线是曲线的分隔线，故它们没有公共点，即当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔故实数的取值范围是（3）证：设的坐标为，则曲线的方程为，即对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔所以轴为曲线的分隔线23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分解：（1）由条件得且，解得所以的取值范围是（2）设的公比为由，且，得因为，所以从而，解得时，所以，的最小值为，时，的公比为（3）设数列的公差为由， 当时，所以，即 当时，符合条件 当时，所以，又，所以综上，的公差的取值范围为2015年上海高考数学（文科）试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分）1、函数的最小正周期为 _. 分析：本题是基础题目，主要考查余弦的二倍角公式，属于常考题目。 答案：2、设全集，若集合，则_.分析：本题考查了学生的集合运算，属于基础题目和常考题目 。答案：3、若复数满足，其中为虚数单位，则_. 分析：考查复数基本形式及共轭复数的概念，属于基础题目和常规题目。 答案：4、设为的反函数，则 _.分析：考查了反函数的知识点，较为基础。答案：5、若线性方程组的增广矩阵为，解为，则 _.分析：考查了二元一次方程组增广矩阵的概念，属于基础知识，但考前这个小知识点被遗漏的学校较多。答案：6、若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则_.分析：首先考查了学生对于正三棱柱的认识，其次考查了棱柱的体积公式，题型和知识点较为常规。 答案： 7、抛物线上的动点到其焦点距离的最小值为1，则_.分析：考查了抛物线上的点到焦点的距离问题，可以通过第一定义，将到焦点的距离转化成到准线的距离，这样题目就非常容易解决掉。答案： 8、方程的解为_. 分析：考查了对数方程的知识点，通过对数运算，去掉对数符号，解出方程的根，易错点为根的验证。答案： 9、若满足，则目标函数的最大值为_. 分析：本题是线性规划的知识点，属于文科拓展的内容，问题比较直接，并没有拐弯难为学生。 答案：10、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_.（结果用数值表示）分析：排列组合知识点出现在第十题这个位置，相比较模拟卷和往年高考卷，难度不算大，可以用容易来形容。答案：11、在的二项展开式中，常数项等于_.（结果用数值表示）.分析：考察了二项式定理的通项公式，知识点比较简单，本题的指数不算大，很多同学可以把二项式展开做；数理统计的内容在考卷中连续出现两题，而且较为简单，往年高考中很少见到。答案：12、已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为_. 分析：考察了共渐近线的双曲线方程求法，根据顶点相同，可进一步确定双曲线方程；如果本题“斜率的2倍”改成“倾斜角的2倍”，所考查的知识点就多一些，本题相对简单，尤其是出现在12题的位置。 答案： 13、已知平面向量满足，且，则的最大值为_.分析：首先考查了集合元素的互异性，可能很多同学会填9；解决本题的最好方法就是数形结合，因为已知和之间的关系，在通过向量平行且同向时相加模最大，就能够很容易解决本题目。答案：14、已知函数，存在，满足，且，则的最小值为_.分析：本题属于压轴的填空题，难度比前面的十三道题都提升了很大一个档次，首先考查了正弦函数的知识点，其次是要理解绝对值的含义，因为要求得最小值，所以要尽可能的使得每个绝对值的值尽可能的大，所以会利用正弦函数的最大值和最小值。答案：二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）设，则“均为实数”是“为实数”的（ ）充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件下 D、既不充分也不必要条件分析：基础题目，考查了条件与命题和复数的定义。答案：下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ） B、 C、 D、分析：考查了学生对于分式不等式解法的步骤或者等价性，属于基础题目。答案：17、已知点的坐标为，将坐标原点逆时针方向旋转至，则点的纵坐标为（ ）A、 B、 C、 D、分析：考查了任意角的三角比的概念及正弦的两角和公式，属于中等题目，但与往年的模拟考中的一道题只是换了一下数据。答案：18、设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（ ）A、 B、 C、1 D、2分析:本题的知识点属于极限的求法，但实际上在解题时会先取极限再求值；因为的极限位置为点，而题目中所要求的是与构成的斜率的极限，由于两点都在圆上，而且无线逼近，可以得到斜率的极限为过与圆相切时的斜率。答案：三、解答题（本题共5大题，满分74分）19、（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角。分析：本题考查了圆锥的体积公式和异面直线夹角的求法，属于比较基础的题目，几何法主要通过中位线，把已知直线平移到同一个平面内即可，因为垂直关系比较容易找到，从而线段的长度也就容易计算了。答案：，20、（本题满分14分）已知函数，其中为常数，根据的不同取值，判断的奇偶性，并说明理由；若，判断在上的单调性，并说明理由。分析：比较简单的一类奇偶性的判断和证明，首先要注意本题要求先判断，所以解题时要把结论写在前面，然后再去证明；第二问考查了函数单调性的一般步骤，及时含有参数，也比较容易能够判别符号。总体来说本题考查的知识点偏基础。答案：（1）时，为奇函数；时，非奇非偶。（2）单调递增。21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，三地有直道相通，千米，千米，千米现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时乙到达地后在原地等待设时，乙到达地（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过3? 说明理由分析：本题是解三角形与函数最值综合的一道应用题，虽然牵扯到分段函数，但并不是很难，主要考察学生的基础知识余弦定理的应用及二次函数求最值求法.答案：（1），设此时甲运动到点，则，在中，（2）当时，乙在上，设为点，设此时甲在点，则：，当时，乙在点不动，设此时甲在点，则：，当时，且的最大值超过了.22、（本题满分16分）本题共有2个小题第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已