（应用数学专业论文）几何平均亚式期权的定价研究.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 近年来，随着金融市场需求复杂程度的提高，仅仅使用标准期权已很难满足市 场的需要，为了满足市场及某些客户的特殊需求，许多金融公司除了提供人们广为 熟悉的欧式、美式期权外，还设计了大量由标准期权衍生的通常在场外市场交易的 新品种一非标准化的衍生证券，我们称其为新型期权( e x o t i co p t i o n s ) 新型期权中 大多都具备路径依赖特征，即期权价格不仅取决于其到期日标的资产价格，而且取 决于标的资产价格在期权有效期内的变化路径亚式期权( a s i a i lo p t i o n s ) 正是其中 的一种代表性的产品，同时它也是当今金融衍生品市场中最为活跃的一种新型期 权由于具备路径依赖特征，使得亚式期权的定价模型与标准期权的定价模型相比 呈现出比较大的差异，其定价问题远比欧式期权定价复杂 本文主要研究新型期权中的亚式期权，它是强路径依赖型期权的典型代表亚 式期权与标准期权明显不同，它实质上是欧式期权的一种创新，因此它与标准欧式 期权有着密切的联系，所以溯根求源，在b s 模型的基础上来展开本文的研究工作 本文给出了一个强依赖期权统一的b l a c k s c h o l e s 模型由于路径依赖期权的独 有的路径依赖特征，我们引入一个路径因子，并利用肺定理与无套利原理推导出 强路径依赖期权统一的b s 模型对应不同的路径函数，只需在统一模型的基础上 给出具体的路径函数，再结合其相应终值条件和所带有的一些边界条件，就可以通 过求解方程得到定价公式另外，利用强路径依赖期权统一的b s 模型得到了连续 情形下固定敲定价格和浮动敲定价格的几何平均亚式期权的定价结果及在非风险 中性世界中连续情况下具固定敲定价格的几何平均亚式期权的定价公式 关键词：几何平均；亚式期权； b l a c k s c h 0 1 e s 公式；强路径依赖 a b s t r a c t hr c c e n ty e a r s ，a l o n gw i t ht l l ei i 】叩r o v 锄肌to f d e m a i l do nt l l ec o m p l e x 时i nm o n e y m a r k e t ，i ti sd i 伍c u l tt os a l i s 每t h es p e c i a ln e e d so fc 璐t o m e r sb yo 赳yl l s 证g 也es _ t a n d a r d 叩t i o n h lo r d e rt 0s a t i s f y i i l gn l ed e m 锄do fm 破e t s 姐dc u s t o m e r s ，m a n y 觚锄c i a l c o m p a i l i e sn o to i l l yd e s i 印e de 哪叩e 砚叩t i o 璐a n da m 耐c 锄0 p t i o n sb u ta l s 0d 嘶s e da 鲁? e a td c a lo fn e wb r e e d sw l l i c hd e r i v e 疗o ms t a i l d a r do p t i o n s 趾de x c h a 芏l g eo l i to f 也e c 0 u n t e rc o m i n o n l yw bc a l li te x o t i co p t i o n s m o s to fc x o t i co p t i o n sp o s s e s sm ef e a t u r e o f p a m - d 印胁d e n t ，t h a ti st os a y ，t l l e0 p t i o np r i c en o to i 衄d 印e 1 1 d so nn l eo p t i o np r i c ea t m 疵t ) r ；b u ta l s od 印e n d so nv a r 如n go fm eu n d 甜y i n g 舔s e t sp r i c e a s i a no p t i o n s 勰 j l l s t0 n eo f t h et y p i c a lp r o d u c t s ，a n di ti sak m do fe x o t i c0 p t i o n s 删c hi st l l em o s ta c t i v e o n ei n 丘n 锄c i a ld e r i v a t i v em a r k e t s b e c a 璐eo fm ep r o p e r t yo fp “h - d e p e l l d e n t ，廿l e r c e x i s t sd i 幽鲥s h e dd i 彘r 钮c eb e 帆e 吼缸i 姐0 p t i o np r i c i i l gn 1 0 d e l 龃ds t a n 删0 p t i o 璐 t h em a i ng o a lo f t h i sp a p e ri st 0s t i l d ya s i a no p d o 璐ni sat y p i c a l lr 印r e s 既此呖v eo f g 胁n 舀ypa _ m - d 印e n d e m0 p t i o i l s ，舡i 趾0 p t i o ni sd i 脑e n t 舶ms t 锄d a r d 叩t i o n0 b 访0 u s l y i ti si 1 1 1 1 0 v a t i o no fe l l l 0 p e a no p t i o n s s oi tc o 衄e c t sw i t l lt t l es t a n i 枷e 1 】r o p e a no p t i o n s n e 砌yb 1 a c k - s c h 0 1 懿o p t i o np d c i z l gm o d e li sj u s to n eo fm em o s te 腩c t i v em e a 璐t o s o l v em a i l lc o n t e n to fm e 矾c l e 1 1 l e r e f o r ew es h o u l du n d e r s c a n db l a c k - s c h o l e s0 p t i o n p r i c i n gm o d e lm l l yw h i c hc o n c l u d e st oo l l rr e s e a r c h j 1 1 1 i sp a p e r 昏v e st l l eu 面f o n nb l a c k - s c h o l e sm o d e lo fs 臼0 n gp a n 卜d e p e i l d e n t o 砸o n s b e c a u s eo fm e 谢q u ec h a r a c t e ro fp a t h - d 印e n d e n to p t i o 璐，w ei n l p o r t a p a ：d 1 触0 r ，m d e d u c en l eu i l i f b mb - sm o d e lo fs 缸d n gp a n 卜d e p e n d e n to p t i o nu s 证g i t ot t l e o r ) ，a n dn 0 一a r b i 仃a g ep 血c i p l e f 0 rd i 脑e n tp a m f a c t o r ，谢mac 伽【c r e t ep a _ c l l 觚c t i o n ，i 1 1 i t i a lc o n d i t i o na l l db o u n d a r yc o n d i t i o nw ec 觚g e tt 1 1 ep r i c i i 喀f 0 肌u l ao n s 0 1 v i i l g 捡e q 呻t i o n ha d d i t i o n ，w eg e tt h ep r i c eo fg e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o n 晰m 丘x e ds t r i k ep r i c e 锄df l o a t i n gs t r i k ep r i c e ，m a k i i l g1 l s eo f 妇1 eu i l i f o mb - sm o d e lo f s 咖gp a n l d e p e n d e n t 叩t i o na z l dn l ep r i c i 芏l gf i o n n u l ao fg m e t r i ca v e r a g ea s i a n0 p t i o 璐 u n d e rn o s k n e a 】t r a lw o r 】d 吣：g c 眺鲫田蹦加泌嫩b l a c l 浴c h o 妇缸m l 】a ；慨 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作考签名：套t j 、纽日期：夕叼年孓月2 户 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 丽配一 作者签名：套d 、兰3 导师签名： u 、 日期：) 山孑年譬月砷日日期：沁降na 日 i o o o - o o o 一 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童途塞握童卮进卮! 旦坐生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：夺i j 、兰2 日期2 峙孓月2 7 目 导师签名： 气协 喊蜥j 1 鼍日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 1 选题背景和意义 第一章序言 在全球金融市场高速发展，金融产品极大丰富的今天，越来越多的投资者把目 光投向了衍生品交易金融衍生工具的优势明显，能够以低廉的成本，便捷灵活的 创造手段，强大的杠杆效用，满足不同风险喜好者的目标需求，有效对冲投资风 险在欧美成熟市场中，金融衍生品市场交投热烈，创造的价值量呈几何级数增长， 其中期权产品的作用不容忽视，无论是股票期权、股指期权、汇率期权、货币期权， 还是类似期权性质的权证产品系列，都有不俗的表现 近年来，国际金融市场除了交易人们广为熟悉的欧式、美式等标准期权之外， 还涌现出大量由标准期权变化、组合、派生而出的新品种，即新型期权这些非标 准期权多出现在场外交易市场，大都具备路径依赖的特征，即期权的价格不仅取决 于到期日的基础资产价格，而且取决于基础资产价格的交化路径其中的一项代表 性产品就是本文所论述的均值期权( a v e r a g e0 p t i o n s ) ，最早由美国银行家信托公司 a n k e r st r u s t ) 在日本东京推出，故也称其为亚式期权( 缸i a i l0 p t i o i l s ) ，它可以说是 当今金融衍生品市场上交易最为活跃的新型期权之一，其特点在于期权价格并不取 决于基础资产在期权期满时刻的价格水平，而是与期权在整个生命周期( 或结算期) 内的平均价格有关 衍生品市场的蓬勃发展带给投资者和金融市场更多的信心和机会，如何合理有 效地为衍生产品定价成为关键，各国学者一直致力于这方面的研究，并取得了突破 性的进展 虽然说欧式期权和美式期权都是相对比较成熟的类型，且欧式期权较易得到解 析解，但从我国的国情出发，选择亚式期权似乎更加理想 首先，对于一些合约规模较大而流动性不高的期货合约，虽然有做市商来维持 其流动性，但其作用是有限的，实力雄厚的交易方可能人为的操纵期货价格以达到 期权合约有利己方的目的，而亚式期权具有路径依赖的特性可以有效的防止这种价 格操纵行为同样，对于标的资产总值较小的期权品种来说，亚式期权也能够防止 人为操纵标的资产价格，有效地维护市场的公正性 其次，对于期望套期保值的交易者来说，亚式期权可以提供风险更小的期权合 约，而且由于其较低的波动率，期权合约的价格也较低，因此更受套期保值交易者 的青睐 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对于我国这样一个金融市场只有十几年发展历史的发展中国家来讲，市场的完 备性很低，仅有的交易品种无法实现风险的有效对冲加速建立期权交易市场，提供 更多的交易产品给投资者，构建投资组合，规避风险，实现保值增值，应该说是迫 在眉睫 又由于交易制度、交易品种、交易者素质等各方面不利因素的影响，我国金融 市场中的各种主要产品，如股票、期货、国债等，均表现出较发达国家更大的波动 性，因此在我国开展期权交易时，应优先考虑亚式期权而不是欧式期权或美式期权 1 2 期权定价的发展 期权定价理论自b 1 a c k 和s c h 0 1 e s7 0 年代革命性的工作以来有了飞速的发展， 已出现了多本这方面的专著，如w i l i l l 矾，d e 叼恤e 和h o 而s o n ( 1 9 9 3 ) ，h u l l ( 1 9 9 7 ) ， k w o k ( 1 9 9 8 ) 和w i h n o 似1 9 9 8 ) 等其中，h u l l ( 1 9 9 7 ) 在阐述期权定价的内容中尽量少 的运用数学知识，因此适合于商学，经济学以及金融市场上衍生证券实际操作者阅 读和学习，而弧1 m o t t ，d e 邺咖e 和h o 丽s o n ( 1 9 9 3 ) 与k w o k ( 1 9 9 8 ) 从数学理论角度 对各种期权的b s 模型进行论述，尤其是前者对其有相当完整的论述，因此比较适 于数学工作者研究学习 下面我们回顾一下标准期权和亚式期权的一些历史文献 1 2 1 标准期权 b 1 a c k 和s c h o l e s 1 于1 9 7 3 年开创性地推导出欧式标准期权的价格满足一个线 性的抛物型偏微分方程即著名的b 1 a c k s c h 0 1 e s 方程经适当变换后该方程与相应的 终值条件一起构成一个常系数的柯西问题，b 1 a c k 和s c h o l e s 通过求解这个问题给出 了欧式标准期权的解析定价公式同年，m e n o n 2 】和c o x ，r d s s 与1 1 1 9 e r s 0 1 1 3 又都 对其进行了深入的研究与改进，并将其推广到诸如股票期权、股指期权、货币期权 等众多衍生品之中随后许多学者以b 1 a c k 和s c h 0 1 e s 的研究为基础也发表了很多 的文献著作，尤其是数学研究者以b s 思想为基础找到了其他很多种求解b s 模型 的方法，如张顺明、杨新民 4 和刘海龙、吴冲锋阎分别介绍了推导b s 模型的五种 方法和适用于非完全市场的期权定价方法的八种主要成果；项立群 6 】和俞迎达，俞 苗 7 】以及张彩玉【8 均从概率论角度给出了欧式标准期权的定价；陈占锋 9 分别从 两种角度一随机偏微分方程和概率方法详细地描述了期权定价的过程等等在c o x ， r o s s 等【1 0 】于1 9 7 9 年得到一个期权定价的简易方法一二叉树方法后，也出现了一系 列从离散角度考虑定价期权的文章随后在金融数学研究中得到了多种更加符合现 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 实金融市场的期权定价模型由于在标准的b s 模型中假设无风险利率r ，红利率 q 和股票价格波动率a 均是常数，固定不变，然而在现实市场中，它们却受多种因 素的影响，w i l i i l o t t 等学者已考虑了r ，q ，a 在期权有效期内是时间t 的函数的情形， 随后关莉、李耀堂【1 1 】、王琳 1 2 以及黄正洪 1 3 】又均对修正的b s 模型进行了研究， 并给出修正b s 方程的解以及看涨和看跌期权的定价公式；陈万义【1 4 】给出了非风 险中性意义下的欧式期权定价公式；郑小迎，陈金贤 1 5 】等运用证券组合模拟期权 收益构造了有交易成本的欧式期权定价基本方程，通过分析保值因子，最终得到其 定价公式标准的b s 模型均是在假设股票价格遵循几何布朗运动的情形下得出其 定价方程的，而李秉祥 1 6 】王锋、徐小平、赵炜 1 7 】等给出了股票价格在布朗运动和 泊松过程共同驱动下的欧式期权定价；闰海峰、刘三阳【1 8 】推导出了股票价格遵从 o m s t e i n - u i l l e n b a c k 过程的期权定价等等 1 2 2 亚式期权 亚式期权是9 0 年代为迎合金融市场的需要而创设出来的，从此亚式期权等新 型期权也成了学术界研究讨论的核心问题近几年，许多学者在b s 模型的基础上 创造出了许多求解亚式期权的数学方法，如郑小迎，陈金贤 1 9 2 0 】在关于路径依赖 型期权定价模型的研究中剖析了路径依赖型期权的主要特征和价值形成机理，归纳 出路径依赖期权的主要类型，在新型期权及其定价模型的研究中同样较简单的讨论 了路径依赖中的亚式，并创建了包含路径因子在内的定价模型：戴民【2 1 】系统详细 地给出了路径依赖期权的数值方法一二叉树方法，他运用二叉树方法定价了亚式期 权和回望期权等郑小迎等 2 2 】对亚式期权定价模型给了简要的介绍；章珂等 2 3 】 从风险中性定价思想角度给出了几何平均亚式期权的定价；在姜礼尚 2 4 】中通过解 偏微分方程求解亚式期权的定价公式；冯广波【2 5 】利用前向打靶格的方法计算了障 碍期权，也简要的介绍了如何计算亚式和回望期权由于算术平均期权在金融市场 上的运用更为普遍，但是显示的解析定价公式很难求得，许多研究者针对这一问题 也都进行了深入的研究以寻找其近似的解析定价公式，如孙坚强等 2 6 】，金春红等 【2 7 】和胡日东 2 8 】分别通过引入一个均值函数和运用二阶矩近似方法，得到离散时间 情形下的算术平均亚式期权的近似定价在后来曲军恒等 2 9 】在郑小迎等研究的基 础上得出了有交易费的几何平均亚式期权的定价公式，以及许端等【3 0 】对亚式期权 估价的最新进展做了简要系统的介绍等等 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 1 3 本文的研究框架 整篇论文分为五章：第一章序言介绍了选题背景、意义、国际和国内金融数学 的研究现状以及本篇论文的框架结构：第二章系统介绍了金融学中有关期权的基础 知识；第三章详细的介绍了b s 模型，给出了由此而得出的衍生金融工具定价的有 效方法：对冲原理，无套利原理及是否为风险中性世界的影响，给出了由推广b s 模型而得出的两个重要结果：有交易成本的欧式期权定价和非风险中性意义下的 b s 模型，最后给出了强路径依赖期权统一的b s 定价模型：第四章是本文的主要 内容，系统而详细地介绍了亚式期权在连续情形下不同终值收益类型( 固定敲定价格 与浮动敲定价格) 及分别从看涨和看跌情形下全面地研究了其定价模型和定价方 法本章还给出一个重要结果，即在非风险中性世界中的几何平均亚式期权的定价 公式第五章描述了亚式期权在金融市场上所起的作用，并对本文内容进行总结 4 硕士学位论文 盹s t e r st h e s l s 2 1 期权的基础知识 第二章期权基础知识 期权是最基本的金融衍生工具之一，金融衍生工具( d 商v a t i v ei 璐仉l i n e n t s ) ， 又称为金融衍生产品或金融衍生证券，是一种新型的金融工具近年来在国际金 融市场上发挥着越来越重大的作用，金融衍生工具的价值或投资回报最终取决于其 基础资产( 又称标的资产) 的价格及其变化，其中用来作为基础资产的可以是债券、 股票、货币等基础金融工具，可以是其他实物资产，也可以是金融衍生工具本身远 期合同、期货合同和期权合同是三种最基本的金融衍生工具，除此之外，金融市场 上还存在着各种各样的金融衍生工具如金融互换可转换证券、资产抵押证券等金 融衍生市场作为金融衍生产品交易的市场由于具有风险规避以及效率促进的经济 功能，现已成为现代金融市场体系中最有活力、最具潜力的市场形态 期权( o p t i o n ) 也叫选择权，是一种契约持有该契约的人叫买方( b u y e r ) ，也 叫期权的持有者( h 0 1 d 砷，写契约的人叫立权人( w t i t e r ) 或期权的卖方( s e l l 钉) 期 权的买方有权利但没有义务在未来一段时间段内( 或未来某一特定日期) 以一定的 价格向期权的卖方购买( 或向期权的卖方出售) 一定数量的特定的商品，这种特定 的商品称为标的资产( 眦d 甜y i i l ga s s e t ) 期权的买方要获得这种权利必须向期权的卖 方支付一定的费用，这种费用叫期权的期权金( 0 p t i o np r “啪) 期权中约定的标 的资产的价格称作期权的交割价( 舭e 研c e ) ，也叫期权的执行价格( e x e r c i s e 埘c e ) 期权的买方所拥有的买卖标的资产的权利有一定的时间限制，超过这个时 间，期权将自动失效，其中期权到期的时间叫期权的到期日( m a t l l r i 付) 期权的买卖双方享有的权利和承担的义务具有强烈的不对称性期权的买方有 权利在期权的到期日( 或到期日之前) ，根据市场上标的资产的价格情况，选择是 否履行合约，而期权的卖方则必须根据买方的决定来履行合约 2 2 期权的分类 ( 1 ) 根据交易性质的不同，期权可以分为看涨期权( c a l lo p t i o n ) 和看跌期权 ( p u t0 p t i 锄) 看涨期权是指期权的买方在期权的到期日( 或到期日之前) 具有以 事先约定好的交割价格向期权的卖方买进标的资产的权利看跌期权是指期权的买 方在期权的到期日( 或到期日之前) 具有以事先约定好的交割价格向期权的卖方卖 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 出标的资产的权利 ( 2 ) 若根据期权的履行时间来分，期权可以分为美式期权( a m 耐c 觚0 p t i o n ) 和欧式期权( e u r o p e a no 鲥0 n ) 美式期权是指期权的买方在期权的到期日之前的任一 时刻都有履行期权的权利；欧式期权是指期权的买方只能在期权的到期日才能履行 期权的权利 显然，美式期权相对欧式期权来说具有更大的灵活性，虽然这对期权的买方来 说是好事，因为他可以选择自己认为最优的时刻即获利最多的时刻履行合约，但这 对期权的卖方来说，却要承担更大的风险因此，在其它情况一定的条件下，美式 期权的期权金比欧式期权要高 ( 3 ) 根据期权的标的资产的不同，期权又可以分为股票期权，债券期权，期 货期权，汇率期权等以上期权还可以进一步分成障碍期权( b a i t i e ro p t i o n ) ，回望 期权( 1 0 0 kb a c ko p t i o n ) ，亚式期权( 舡i 锄0 p t i o n ) 2 3 期权的作用 作为当今金融市场上最受欢迎的衍生工具之一，期权具有以下几个方面的重要 作用： 第一，期权向需要避险的投资者提供了一个类似于保险的单向套期保值工具， 尤其是对于那些持有复杂的投资组合的投资者而言，他们可以通过交易与他们的投 资组合有关的期权来调整其投资的风险和收益特征，实现最优的风险管理 第二，对于那些希望对标的资产价格的涨跌进行投机的投资者来说，期权是一 个较好的替代品一般情况下期权价格都低于标的资产价格，使得期权投机所需的 资金较少，有助于降低交易成本 第三，同时期权的波动性又大于标的资产价格的波动性，因此投资者在期权上 的每个投资可以得到更大的价格运动变化，具有杠杆作用 第四，期权还可以帮助投资者规避现货市场上的一些交易限制( 如严格的卖空条 件) ，实现相应的交易 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章期权定价模型 期权定价是指期权价格的确定，期权价格是期权购买者为获得期权合约所赋予 的权利而支付给期权出售者的费用，反映出期权的买卖双方对这一权利做出的价值 判断长期以来人们都在探索寻找评估期权的有效方法 在本章总结了经典的期权定价模型，如b 1 a d k s c h 0 1 e s 期权定价模型等，并将 重点介绍b l a c k s c h o l e s 期权定价模型及其推广为本篇论文打下扎实的理论基础 3 1bia c k s c h oie s 期权定价模型 以股票期权为例，除了下文特别声明，本文总采取下面符号： 矿一期权价格； s 股票价格； 定一敲定价格； ，无风险利率； g 一红利率； 一期望回报率； 仃一股票价格的波动率； 【o ，丁卜一期权有限期； c 购买一股股票的欧式看涨期权的价值； 矽购买一股股票的欧式看跌期权的价值； c 购买一股股票的美式看涨期权的价值； p 一购买一股股票的美式看跌期权的价值： 早在1 9 0 0 年，法国数学家巴歇里就在他的博士论文：“投机的理论中”，把股 票价格的变化描述为布朗运动，由此诞生了时间连续的随机过程数学与连续时间的 期权定价经济学，但他的工作直到2 0 世纪6 0 年代才引起重视包括诺贝尔奖获得 者萨缪尔森在内许多的经济学家都试图攻克这一难题，革命性的变革发生在1 9 7 3 年，布莱克和斯科尔斯首次提出b l a c k s c h 0 1 e s 期权定价模型，在期权定价方面取得 了突破性进展，尔后m e 哟n 、c o x 、r o s s 与m g e r s o l 又对其进行了深入的研究与改 进，并将其推广到股票期权、股指期权、汇率期权等众多衍生产品的定价中，它首 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 先假设股票价格服从对数正态分布，然后综合运用有效市场的理论，无套利的原理 和定理，最终得到了基于股票价格的任意一种衍生产品的偏微分方程，然后用热传 导方程得出其解 由于亚式期权的价值与标的资产的价格变化路径有关，所以其定价要比欧式期 权的定价复杂得多，但亚式期权与欧式期权有着直接和间接的联系，它是标准期权 的延伸和派生，所以首先应溯根求源，在充分理解欧式期权定价原理的基础上，研 究亚式期权的定价问题，因此我们先分析b s 模型，我们对市场做如下的假设： ( 1 ) 标的资产价格遵循下面的随机微分方程 掘( f ) = s o ) ( 出+ 盯d 形) ( 3 1 ) 这里形是一个标准布朗运动，即满足 e ( d 形) = o ，玩r ( d 形) = 以 ( 2 ) 市场上允许卖空行为， ( 3 ) 不考虑交易费用及税收，所以证券交易都是高度可分的， ( 4 ) 按无风险利率，借入和贷出资金， ( 5 ) 遵循无套利原理， ( 6 ) 证券交易具有时间和数量上的连续， ( 7 ) 在衍生证券的有效期内没有红利支付 由于期权的价格矿= y ( f ，s ) ，所以根据假设条件( 1 ) 和嬲定理得到 d y = ( 詈+ 筇嚣+ 三盯2 s 2 豢卜+ 剪等d 形ia 。瓠2 瓠2j帮 现在利用对称技巧，我们给出b s 期权定价的数学模型 构造投资组合：此证券组合的持有者卖出一份衍生证券，买入数量为的股票， 定义此投资组合的价值为n ，根据定义： n = y 一s ， 这里是股票的份额，选取适当的使得在( f ，f + 出) 时间段内，n 是无风险的， 因此经过微小时间段出后，证券组合的价值变化为： d n = d y 一蝴 硕士学位论文 n t a s t e r st h e s l s = ( 詈+ 筇等+ 丢盯2 s 2 豢卜+ 懿詈d 形一( 鼬+ 仃跗形) = ( 詈+ 筇等一卸s + 丢仃2 s 2 豢卜+ ( 盯s 詈一盯s ) d 形 根据无套利的思想，该证券组合的瞬时收益率一定与其短期无风险证券收益率 相同，所以d 兀= r 兀西则有 d 兀= ，( y 一s ) 出 = ( 詈+ 筇詈一舡s + 三仃2 s 2 寨卜+ ( 盯s 等一仃s ) d 形 ( 3 由于( 3 2 ) 左端是无风险的，因此( 3 2 ) 右端随机项d 形的系数必须是0 ，即 选取 ：豢， ( 3 3 ) 将( 3 3 ) 代入( 3 2 ) 并消去班化简得到 詈+ 心等+ 三如2 窘卅= o 4 ) a t8 s2a s | j 这就是著名的b l a c k s c h o l e s 方程，他描述了期权价格变化遵从的规律，在现代 金融理论中占有重要地位因此为了确定在合约有效期【o z 】内期权的价值，就要 在区域： o s ，o f 丁 上求解定解问题 良心詈+ 扣2 豢川一o ， i 钟铅2茁2 7 卜r = 僻二，豁 此模型诞生后，金融学家、经济学家、数学家以及计算机专家紧接着进行了大 量的研究，得到了多种推导b s 公式的方法，例如从偏微分方程的角度通过逐步代 换，化为热传导的p o i s s o n 公式进行求解，从博弈的思想考虑，利用概率论中 f 劫呦a n - k a c 公式求解，以及c o x - r d s s - r l i b i l l s t e i n 模型( 二项式定理模型) ，d o n l ( s e r 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 州：一咖扣厉 6 ) c ( s ，) = & 一r “f ) 出( 乏) 一胎一f “f ) 出( 乏) ， ( 3 8 ， 盒：型一每盒一腼n 9 ， 厦= j - _ f ：，l ，么= 反一，i 盯2f f l d f ( 3 9 ) 1 j f r 仃2 ( f ) 打 川 p ( s ，) = 一r ，( f ) 出( 一乏) + & 一r “r ) 出( 一乏) ， c 3 t 。， l o 碛士学住论文 m a s t e r 7st h e s i s 其中匾，吐见( 3 9 ) 定理3 2 驯设c ( s ，f ) ，p ( s ，f ) 分别为具有相同敲定价格k ，到期日t 的欧式看涨 与看跌期权的价格，其中无风险利率r = r ( f ) ，红利率g = g ( f ) ，波动率仃= 盯( f ) ， 则在支付红利情形下欧式期权看涨看跌平价公式为 c ( + 一r f ：p ( 最f ) + & 一胁渺 ( 3 1 1 ) 注：( 1 ) b s 模型以无套利原理作为基础，运用各种数学方法得出其定价公式，尤其 是运用偏微分方程理论进行定价的方法，对研究金融衍生品的定价具有很强的指导 意义： ( 2 ) ( 3 9 ) 式中( 4 ) 与( 也) 的意义：( 4 ) 度量了期权价格变化对其标的资 产价格变化率( 芸，也称d e l t a 套期保值因子) ，而( 畋) 则表示股价s 大于执行价 硝 格k 的概率； ( 3 ) 该模型仅有股价s 与时间f 两个独立变量，但当描述某些新型期权，比如亚 式期权等时就必须考虑标的变量移动路径对其价格的影响； ( 4 ) 在b - s 方程( 3 4 ) 中没有出现标的资产遵循的随机微分方程( 3 1 ) 中期望回报率 代替它出现在方程( 3 4 ) 中的是无风险利率r ，这表明通过一对冲技巧，b s 方 程把人们引入一个风险中性世界，利用所谓的风险中性方法进行定价它的定价理 论不依赖于每个投资人的偏好以及对未来风险资产的期望值风险中性定价已发展 成一套非常有效的定价方法，因此通过求解b s 方程所得到的期权定价是一个风险 中性价格 3 2bia c k s c h ole s 期权定价模型的推广 自从1 9 7 3 年b s 模型诞生以来，学术界不少学者基于该模型基础上，通过大 量的研究工作，对该模型进行了修正，发展与推广，极大地推动了期权定价理论的 研究本节给出对b - s 模型推广后得出的部分结论 3 2 1 有交易成本的欧式期权定价公式 假设波动率叮，红利率g 和无风险利率，均为时间f 的已知函数的条件下的修正 硬士学位论文 m a s t e r st h e s l s 的b - s 模型和郑小迎【1 5 】等所研究的有交易成本的期权定价问题的基础上，本节将 以上两个条件结合起来，利用偏微分方程理论得出了有交易成本的情形下欧式b s 期权定价公式及其平价公式 首先给出有交易成本的欧式期权的定价模型如下 ( 1 ) 有交易成本且修正的b - s 欧式期权多头的定价方程为： 链h ) + 2 圳丹豢+ ( ，叫啪s 著 一，( f ) y = o ， ( 3 1 2 ) 哪一= 氍二 ( 2 ) 有交易成本且修正的b s 欧式期权空头的定价方程为： 锃h ) - 2 圳罔s 2 豢+ ( ，吲f ) ) s 詈 一，( f ) 矿= o ，( 3 1 3 ) 忡= 瞄徭渊 其中m 为交易成本比例比如交易一份股票，则交易成本为脚五为微小的时间 段 其定价公式以定理的形式给出如下： 定理3 3 嘲设股票价格为s ，执行价格为k ，在波动率盯( f ) ，红利率g ( f ) ，无 风险利率，( f ) 均为时间f 的已知函数和证券市场中有交易成本的假设下，欧式看涨 期权多头的定价公式为 c ( s ，f ) ：痧r g ( i ，) d ”( 吐) 一面j ，( y 抄( 畋) ， ( 3 1 4 ) 其中 4 = 1 2 加而一腼， 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s l s 叫t ) 钉2 ( t ) 删嘶) 佶 ( 3 1 5 ) 注：吒( t ) 表示欧式期权多头的期望波动率 推论3 3 嘲设股票价格为s ，执行价格为k ，在波动率仃( f ) ，红利率g ( f ) ，无 风险利率厂( f ) 均为时间f 的已知函数和证券市场中有交易成本的假设下，欧式看跌 期权多头的定价公式为 p ( s ，f ) ：厅j 巾砂( 一以) 一弦r - ( y 抄( 一面) ， ( 3 1 6 ) 其中么，以及气2 ( t ) 与( 3 1 5 ) 定义相同 定理3 4 闭设股票价格为s ，执行价格为k ，在波动率仃( f ) ，红利率g ( f ) ，无 风险利率，( f ) 均为时间f 的已知函数和证券市场中有交易成本的假设下，欧式看涨 期权空头的定价公式为 c ( 噼咖抄( 盒) 百( 乏) ， 萁中 磊= ，乏= 盒一瓜丽 州毋( t ) ( f ) 压 注：( t ) 表示欧式期权空头的期望波动率 推论3 4 闭设股票价格为s ，执行价格为k ，在波动率仃( f ) ，红利率g ( f ) ，无 风险利率r ( f ) 均为时间f 的已知函数和证券市场中有交易成本的假设下，欧式看跌 期权空头的定价公式为 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 咖) 趣m ”( 一乏) 一咖抄( 一乏) ， 其中吐，畋及2 ( t ) 与( 3 1 8 ) 定义相同 定理3 5 2 1 设c ( s ，f ) ，p ( s ，f ) 分别为具有相同敲定价格k ，到期日t 的有交易成 本的欧式看涨期权多头与欧式看跌期权多头的定价，则看涨期权与看跌期权的平价 公式为： c ( 跏+ 缸一肌抄= p ( 叫+ & 一r g m 定理3 6 囝设c ( s ，f ) ，p ( s ，f ) 分别为具有相同敲定价格k ，到期日t 的有交易成 本的欧式看涨期权空头与欧式看跌期权空头的定价，则看涨期权与看跌期权的平价 公式为： c ( 跏+ 蔚肌抄：p ( 叫+ 一胁抄 从上面两个定理可以看出无论是欧式期权多头还是欧式期权空头，它们的平价 公式是完全一样的 3 2 2 非风险中性定价意义下的b s 模型 陈万义 1 4 】中运用概率论的方法给出了非风险中性定价意义下的欧式b s 定价 模型 定理3 7 1 1 4 1 在非风险中性意义下，设股票价格为s ，执行价格为k ，股票价格 的期望收益率及波动率分别为和仃的情况下欧式看涨期权的定价公式为 勺= 彭乒一7 x 卜( 呸) 一k a r ( r - ) ( 畋) ( 3 2 0 ) 其中 面=，噍= 匾一盯五 推论3 7 1 4 1 由欧式看涨、看跌期权的平价公式勺+ 版r ( 卜) = 办+ s ， 中性世界中欧式看跌期权的定价公式为： 1 4 ( 3 2 1 ) 在非风险 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s n = s j 声- r 卜o ( 4 ) 一1 + 一 卜o ( 畋) ( 3 2 2 ) 此处反，畋和( 3 2 1 ) 中定义相同 3 3 强路径依赖型期权统一的bla c k s c h oie s 模型 亚式期权的价格要依赖于一个路径变量，它属于路径依赖期权，其b s 模型可 以用一个统一的数学思路导出 本节给出强路径依赖期权的统一的b s 定价模型，由于路径依赖型期权所独有 的路径依赖特征，使其在构造其定价模型时，必须首先考虑该特征对期权定价的影 响，并构造出包含路径因子( 记为，) ，股价s ，时间f 三个因子在内的模型结构 首先，路径因子，与标的资产价格s 和时间f 有关，可将其描述为： ，= f 厂( s ( f ) ，f 胁， ( 3 2 3 ) 这里厂( s ( f ) ，f ) 是任意路径函数，可表示为 邢( 州= 尝 ( 3 2 4 ) 设强路径依赖期权统一的期权价格为y ( s ，f ) 根据五5 定理，y ( s ，f ) 遵循 如下的随机过程 d y = ( 詈+ 筇著+ 三仃2 s 2 窘+ 厂( 即) 署卜+ 盯s 詈忽 c 3 苈) 构造以下的资产组合兀： 兀= y 一心 经过微小时间段西后，n 的变化量为 ( 詈+ 筇豢+ 三仃2 s 2 窘+ 厂( 黜) 詈卜+ 酊詈忽一( 勋+ 一) c 3 猫， 选择适当的，令= 芸，利用无套利原理，有 o o d 兀= d y 一刃= 厂兀出 进而可得 硕士学位论文 地s t e r st h e s i s 型 詈+ 心詈+ 三莎2 s 2 豢+ 厂( 如) 罾一，y = 。 c 3 ) 这样我们就得到了一个包含路径因子在内的强路径依赖期权统一的b s 定价模 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 第四章亚式期权定价理论 4 1 亚式期权简介及其定价模型 亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的期权之一它是一种新型期 权，由标准期权变化、派生出的一种新的金融合约，最早是由美国银行家信托公司 ( b a n k e r st r 璐t ) 于9 0 年代在日本东京推出的亚式期权又称为平均价格期权，它 与标准的欧式期权又不完全相同，其到期收益不是取决于期权到期日的标的资产价 格，而是取决于期权合同期内标的资产在某段时间内的平均价格关于平均价格， 可采取几何平均，也可采取算术平均，相应的亚式期权可分为两种，一种是几何平 均亚式期权，一种是算术平均亚式期权，其中以算术平均亚式期权最为常见由于 亚式期权是路径依赖的期权，因此一方面避免了投机者在接近到期日时通过操纵标 的资产价格来牟取暴利的可能，另一方面在一定程度上避免了期权价格的人为波 动按照结算方式的不同，亚式期权又分为平均价格期权和平均执行价格期权其 中平均价格期权是以期权有效期内标的资产某段时间内的平均价格代替欧式期权 中到期日的标的资产的价格，又称为具有固定执行价格的亚式期权而平均执行价 格期权是以期权有效期内标的资产某段时间内的平均价格作为执行价格，又称为具 有浮动执行价格的亚式期权每一个确定的平均类型都对应着两种亚式期权的形 式，即平均价格型与平均执行价格型 如果用品表示标的资产到期日的价格，厶表示标的资产在有效期内的平均价 格，x 为执行价格，g 为到期收益，则亚式期权的平均价格及在到期日的收益情 况可描述如下： 算术平均几何平均 离散情况 矗= 丢窆& 厶：( 兀圳；= e 辨 ， l 连续情况 五：! 墨d f ：p 舡打 1 f 国 与之相应，亚式期权在到期日的收益为： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 期权种类看涨期权收益表达式看跌期权收益表达式 欧式期权 m a ) 【( 品一x ，o )i l 凇( x 一品，o ) 平均价格亚式期权 m 瓢( 一x ，