（应用数学专业论文）二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 常微分方程解的振动性是微分方程解的重要性态之一微分方程的振动理论 的应用背景极其广泛，随着自然科学和生产技术的不断发展，在许多应用问题中 均出现了微分方程是否有振动解存在或者方程的一切解是否均为振动解的问题 众所周知，由g s t u r m 建立的二阶齐次线性微分方程解的零点分布的比较理 论和分离理论，为微分方程振动理论的研究奠定了基础一个半世纪以来，微分 方程的振动理论已经有了很大的发展，在微分方程定性理论及边值问题研究中占 有很重要的地位特别是近几十年，常微分方程解的振动性研究发展得相当迅速， 其中以二阶微分方程最受人们的关注，因此也被研究得比较深入和广泛，无论是 从方程的类型上还是从研究的方法上均有长足的发展 本文讨论了较一般的二阶非线性摄动微分方程 ( 口0 ) 妒( x ( f ) ) x ( f ) ) + q ( t ，x ( f ) ) = p ( t ，x o ) ，x o ) ) ( e ) 的振动性与渐近性，建立了方程( e ) 的4 个新的振动性定理和3 个渐近性定理 在第一章，简述了关于微分方程振动性的几个基本概念，介绍了微分方程振 动性问题研究的背景、该领域的研究现状、各阶段研究问题的思想方法和主要结 论，对参考文献进行了简要综述，说明了本文的主要工作 在第二章，首先给出对方程( e ) 中函数a ，9 ，p ，q 的约定，为了便于分类讨论， 对方程( e ) 的所有正则解分为s + ，s 一，s 。，s ”四类；在方程( e ) 不具有“积分小 系数的条件下，构造函数 眦) = 篙，瞄。， ( x ( f ) ) 1 利用广义r i c c a t i 一变换，结合完全平方技术和分类讨论的方法，建立了方程( e ) 的2 个新的振动性定理，推广和改进了已知的一些结果：最后应用新建立的振动 性定理判定4 个方程的振动性，而已知文献中的结果不能判定这几个方程的振动 山东大学硕士学位论文 性 在第三章，在方程( e ) 具有“积分小 系数的条件下，构造函数 眦，= 掣篙产f 著，。， 厂( x ( ，) )j 口( s ) 利用广义r i c c a t i 一变换和函数平均技巧，结合完全平方技术和分类讨论的方法，建 立了方程( e ) 的2 个新的振动性定理，推广和改进了已知的一些结果；最后应用 新建立的振动性定理判定2 个方程的振动性，已知文献中的结果不能判定这两个 方程的振动性 在第四章，讨论了方程( e ) 非振动解的渐近性构造函数 w 却( ，) 篙，嘲 建立了方程( e ) 的任意非振动解属于下列两种类型之一： a c ：x ( r ) 专c o ，f 专佃，a o ：x ( f ) 专0 ，tj 4 - 0 0 的充分条件，方程( e ) 有a c 型非振动解x ( r ) 的必要条件以及有彳。型非振动解x ( f ) 的必要条件，得到方程( e ) 的3 个新的渐近性定理 关键词：二阶；非线性；摄动微分方程；振动性：渐近性 i i 山东大学硕士学位论文 a b s s t r a c t t h eo s c i l l a t i o no fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i sa ni m p o r t a n tb r a n c ho f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ea p p l i c a t i o no fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o s c i l l a t i o n t h e o r y b a c k g r o u n di se x t r e m e l yw i d e s p r e a d a st h ei n c r e a s i n gd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y m a n yp r o b l e m so c c u r r e dd u r i n gp r a c t i c a la p p l i c a t i o n ，s u c ha st h ee x i s t e n c e o s c i l l a t i n gs o l u t i o n ，o ra l lo fi t ss o l u t i o n sb eo s c i l l a t o r y i ti sw e l lk n o w n , t h ez e r op o i n tc o m p a r i s o nt h e o r ya n ds e p a r a t i o nt h e o r yo ft h e s o l u t i o n so fs e c o n do r d e rh o m o g e n e o u sl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h i c hi se s t a b l i s h e d b ygs t u r ma r et h eb a s i sf o r t h er e s e a r c ho ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o no s c i l l a t i o nt h e o r y s i n c ea c e n t u r ya n dah a l f , o s c i l l a t i o nt h e o r yo ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hh a s b e e ng r e a t l yd e v e l o p e dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h er e s e a r c ho fq u a l i t a t i v et h e o r ya n d b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s r r e c e n td e c a d e s ，t h er e s e a r c ho ft h es o l u t i o n s o s c i l l a t i o n t h e o r ya b o u to r d i n a r yi f f e r e n t i a le q u a t i o n sw a sv e r yr a p i d ，e s p a c i a l yt h es e c o n d o r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hh a sa l s ob e e ns t u d i e dm o r ei n d e p t ha n de x t e n s i v e ，e i t h e r f r o mt h et h et y p eo fe q u a t i o no rf r o mt h em e t h o do ft h er e s e a r c ho n s t e a d y d e v e l o p m e n t t h ep a p e rd i s c u s s e dt h eo s c i l l a t o r ya n dt h eg r a d a t i o no ft h eg e n e r a ls e c o n do r d e r n o n l i n e a rp e r t u r b a t i o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 口( f ) 9 ( x ( f ) ) x ( f ”7 + q ( t ，x o ) ) = p ( t ，x ( f ) ，x ( f ) ) ( e ) f o u rn e wo s c i l l a t o r yt h e o r e m sa n dt h e r eg r a d a t i o nt h e o r e m so ft h ee q u a t i o n ( e ) h a v e b e e ne s t a b l i s h e d i nt h ef i r s tc h a p t e r , h a ss u m m a r i z e da b o u tt h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o no s c i l l a t o r y s e v e r a lb a s i cc o n c e p t s ，i n t r o d u c e dt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o no s c i l l a t o r yq u e s t i o nr e s e a r c h b a c k g r o u n d ，t h i sd o m a i nr e s e a r c hp r e s e n ts i t u a t i o n , v a r i o u ss t a g e sr e s e a r c hq u e s t i o n t h i n k i n gm e t h o da n dt h em a i nc o n c l u s i o n ，h a v ec a r r i e do nt h eb r i e fs u m m a r yt ot h e r e f e r e n c e ，e x p l a i n e dt h et h i sa r t i c l ep r i m et a s k i nc h a p t e rt w o ，t h ed o m a i no f 口，9 ，p ，ai nt h ee q u a t i o n ( e ) i sp r o m i s e d f o r d i s c u s s i o ni ns o r t , t h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ( e ) i sd i v i d e di n t o s + ，s - , s 。，s ” i i i 山东大学硕士学位论文 c o m b i n i n gt h em e t h o do fp e r f e c ts q u a r e a n dd i s c u s s i o ni ns o r t ，t w oo s c i l l a t o r y t h e o r e m so ft h ee q u a t i o n ( e ) h a v eb e e ne s t a b l i s h e dw h e nt h ee q u a t i o n ( e ) h a sr i o “s m a l l i n t e g r a l c o e f f i c i e n tb yc o n s t r u c t i n gt h ef u n c t i o n 呻) = 篙，纠 a n du s i n gt h eg e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o n t h er e s u l ti sn e w a tl a s t ，b yt h en e w o s c i l l a t o r yt h e o r e m st oj u d g eo s c i l l a t i o no ff o u re q u a t i o n s t h er e s u l tc a n tb eg i v e n w i t h o u tt h en e w o s c i l l a t o r yt h e o r e m s i nc h a p t e rt h r e e ，c o m b i n i n gt h em e t h o do fp e r f e c ts q u a r ea n dd i s c u s s i o ni ns o r t ， t w oo s c i l l a t o r yt h e o r e m so f t h ee q u a t i o n ( e ) h a v eb e e ne s t a b l i s h e dw h e nt h ee q u a t i o n ( e ) h a s s m a l li n t e g r a l b yc o n s t r u c t i n gt h ef u n c t i o n 眦) = 型篙产，f 著a ( s ， 厂( x ( ，) ) j ，- ) 7 ” u s i n gt h eg e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n dt h ef u n c t i o na v e r a g em e t h o d s t h e r e s u l ti sn e w a tl a s t ，b yt h en e wo s c i l l a t o r yt h e o r e m st oj u d g et w oo r d e re q u a t i o n s t h e r e s u l tc a l l tb eg i v e nw i t h o u tt h en e w o s c i l l a t o r yt h e o r e m s i nt h el a s tc h a p t e r , t h eg r a d a t i o no ft h ee q u a t i o n ( e ) sn o n - o s c i l l a t o r ys o l u t i o ni s d i s c u s s e d b yc o n s t r u c t i n gt h ef u n c t i o n w ( t ) 训箐txt ，似t ， ii ” t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ee q u a t i o n ( e ) sa r b i t r a r yn o n - o s c i l l a t o r ys o l u t i o nw h i c hi s c o m b i n e do n eo ft h en e x tt w ok i n d s 如：x ( t ) jc o , t 专+ 0 0 ，4 ：x ( t ) o0 ，f 寸佃 i se s t a b l i s h e d t h e n ，t h en e c e s s a r yc o n d i t i o no ft h ee q u a t i o n ( e ) w i t hn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o nx ( t ) o f a co ra oi sc o n s t r u c t e ds e p a r a t e l y t h e r e f o r e ，t h r e en e wg r a d a t i o no ft h e e q u a t i o n ( e ) a l ee s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：s e c o n do r d e r ；n o n l i n e a r ；d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 诚n lp e r t u r b a t i o n ；o s c i l l a t i o n ； i v a s y m p t o t i c 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 日 期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 一：蝉一水俨 山东大学硕士学位论文 1 1 基本概念 第一章绪论 常微分方程的产生和发展已有近三百年的历史，十九世纪四十年代以前，人 们致力于研究各种类型方程的求解问题，在积累不少经验的同时，也遇到了越来 越大的困难，自从1 8 4 1 年法国数学家l i o u v i l l e 证明了r i c c a t i 方程1 捌 x = a ( t ) x 2 + b ( t ) x + c o ) 的解一般不能用初等积分法来求解之后，迫于自然科学及生产技术的需要，人们 对微分方程的研究从寻求方程的解逐步发展为定性地讨论方程解的性态，起推动 作用的是法国数学家h p o i n c a r 6 和俄国数学家a m l y a p u n o v 共同开创的定性与稳 定性理论【1 一目前发展起来的还有微分方程解的振动性、渐近性、有界性等【l 】 众所周知，由g s t u r m 建立的二阶齐次线性微分方程解的零点分布的比较理 论和分离理论f 3 l 为微分方程振动理论的研究奠定了基础一个半世纪以来，微分 方程的振动理论已经有了很大的发展，在微分方程定性理论及边值问题研究中占 有很重要的地位微分方程的振动理论的应用背景极其广泛，振动是物理学、技 术科学中广泛存在的物理现象，如建筑物和机器的振动，无线电技术和光学中的 电磁振动，控制系统和跟踪系统中的自激振动，声波振动，同步加速器中的束流 振动和其结构振动，火箭发动机燃烧时所引起的振动，化学反应中的复杂振动等 等这一些表面上看起来极不相同的现象，都可以通过振动方程统一到振动理论 中来，参见【i ，2 】等 考虑以阶微分方程 x 伽o ) + 厂( f ，x ，f ，x ( 万一1 ) = o ，f r + = 【0 , + o o ) ， ( 1 1 ) 定义1 【1 1 如果方程( 1 1 ) 的解x ( ，) 可以延拓于无穷区间【2 ，佃) ，t ，0 上，且 在任何【丁，佃) 仃疋) 上，工( f ) 不恒等于零，这样的解叫正则解如果 x o ( t ) 兰0 ，o 0 ) 是方程( 1 1 ) 的解，称为方程( 1 1 ) 的平凡解 山东大学硕士学位论文 定义2 【1 1 若微分方程( 1 1 ) 的一个正则解x ( f ) 有任意大的零点，则称为振动的； 否则就称为非振动的；一个非振动解x ( r ) ，若对任意大的，总满足x ( ，) 可以改变 符号，则称x o ) 为方程( 1 1 ) 的z 型解( 或弱振动解) 定义3 t 1 】 若微分方程( 1 1 ) 的任何正则解x ( ，) 都是振动的，则称微分方程( 1 1 ) 是振动的；若微分方程( 1 1 ) 的任何正则解x ( f ) 都是非振动的，则称微分方程( 1 1 ) 是 非振动的 在以后讨论中，为了叙述方便，在不会产生混淆时，我们常把正则解简称微 分方程的解 定义4 【1 】对于微分方程 ( 口( f ) x ( f ) ) + p ( f ) x o ) = 0 ，t 0 其中a , p 在【0 ，佃) 上连续，ra 0 如果 ，- - h ，+ o of 0 著一， 且 p ( ，) = ，a r g op ( s ) d s 存在，我们称该微分方程为具有“积分小 系数的微分方程 1 2 研究进展 或 2 一二阶线性微分方程的振动性 二阶线性微分方程的一般形式 x + g o ) x + p ( f ) x = ，( f ) ( 1 2 ) ( 口o ) x ) + p ( ，) x = ，( ，) ( 1 3 ) 若，( f ) = 0 ，则方程( 1 3 ) 简化为二阶齐次线性微分方程 山东大学硕士学位论文 ( 口( f ) x ) + p ( f ) x = 0 若口( f ) 兰1 ，则方程( 1 4 ) 进一步简化为 ( 1 4 ) x ”( f ) + p ( t ) x ( t ) = 0 ( 1 5 ) 二阶线性齐次微分方程的振动理论，最初是利用比较的思想方法，建立了一 系列比较定理具有代表性的是1 8 3 6 年由g s t u r m 在文 3 】中建立了最重要而最基 本的s t u r m 比较定理和s t u r m 分离定理 定理1 1 t 3 】( s t u r m 比较定理) 设口( ，) 么( ，) ，p ( f ) p ( f ) ，a ，卢若方程( 1 4 ) 存在一个非平凡解z o ) ，使x ( a ) = x ( 卢) = 0 则方程( 1 4 ) 的共轭方程 ( 彳( f ) x ( f ) ) + 尸o ) x o ) = 0 的每一个解在 ，卢) 内至少有一个零点，除非y = k x ，k 是某一常数 定理1 2 【3 】( s t u r m 分离定理) 若口( ，) ，p ( f ) 在 o ，佃) 上连续，且口( r ) 0 ，则方 程( 1 4 ) 的任何两个线性无关解的零点相互交错分离 最早由w i n t n e t t m ，h a r t m a n 5 1 开始使用r i c c a t i 代换，把二阶线性齐次微分方 程化成等价的r i c c a t i 方程，利用r i c e a t i 方程的形式特点，借助函数平均方法研究 二阶线性齐次微分方程的振动性，建立了若干个振动性定理，得到很多好的结果 例如 定理1 3 t 1 1 若口( r ) ，p ( f ) 在【o ，佃) 上连续，且口( f ) 0 ，则方程( 1 4 ) 为非振动 的充要条件是r i c c a t i 方程 讹m + 等= 。 在某一区间【，o ，佃) ( t o 0 ) 上存在连续可微解”( ，) 其中最著名的是由w m t n e r 在1 9 4 9 年建立的关于自共轭方程的最基本定理： 定理1 4 【4 】设口( r ) ，p ( ，) 在【0 ，佃) 上连续，且口( ，) 0 ，若对于某一f o 0 有 熙【未严= 佃，憋f ，p 。) d s = 佃， 3 山东大学硕士学位论文 则方程( 1 4 ) 为振动的 定理1 5 t 4 1 若条件 艇“1 聃f ) 如d s = 佃 成立，则方程( 1 5 ) 是振动的 之后，l i g h t o n l 6 1 ，h i l l e t 7 1 ，w o n g t 引，c o l e s t 9 1 ，w i l l e t t t l 0 1 等，对该方法进一步作了 发展，目前这种方法已发展得十分丰富 1 9 7 8 年，k 锄e n e v f i l j 首先开创了利用r i c c a t i 方程的形式特点，结合积分平均 和完全平方技术，判定二阶线性齐次微分方程的振动性的有效方法积分平均方 法，主要应用于函数p ( t ) 可以任意取值而不限制其取值符号的情形后来许多研 究者在这方面做了有益的推广和改进 总之，二阶线性齐次方程的振动性，有比较完美的结果：二阶线性齐次方程 每一个非平凡解的零点，都同另一个线性无关解的零点相互交错分离；对于二阶 线性齐次方程来说，微分方程是振动的，当且仅当它有一个非平凡解是振动的； 若二阶线性齐次微分方程不是振动的，它一定是非振动的；此外，由解的存在唯 一性定理容易知道，二阶线性齐次微分方程不会存在弱振动解 对于二阶线性非齐次微分方程，解的零点分离性质不再成立，解的性质及解 集的结构有本质的差别例如比较简单的二阶线性非齐次方程一+ x = l ，有非振动 解x ( t ) 童l ，有振动解x ( t ) = 1 + 2 s i n t ，弱振动解x ( t ) = l + s i n t 因此，二阶线性非 齐次微分方程解的振动性及非振动解的渐近性的研究，比它相应的齐次方程的研 究要困难的多，研究方法也有很大差别二阶线性非齐次方程的解的振动性，一 般借助它对应的齐次方程的解的振动性，结合强迫项的性质确定k e e n e r 【1 2 1 、 w a u g r e n t l3 1 、r a n k i n t l 4 1 、c h e na n d y e h 1 5 、p a r h ia n dn a y a k l l 6 1 等，给出y - g t 线性 非齐次方程振动或非振动的条件及性质 二二阶非线性微分方程的振动性 二阶非线性方程的振动性更为复杂，不像二阶线性齐次方程那样，方程的解 要么全是振动的，要么全不是振动的，其振动性受系数的制约例如二阶非线性 4 山东大学硕士学位论文 方程r + f 1 叶x 。= 0 ，( c 为奇整数之比) ( 1 )当1 5 时，所有解为非振动的； ( 3 ) 当3 1 ) ( 1 6 ) 是振动的充要条件 定理1 6 t 1 7 1 若p ( ，) 在【0 ，佃) 上为正的连续函数，则方程( 1 6 ) 振动的充要条 件是f r p ( f ) 衍= 佃 这是非线性方程振动性方面最早而最重要的结果，尽管后来许多研究者把它 做了不同方向的推广，但他的方法一直为后来研究者所借鉴 19 6 8 年m a c k ia n dw o n g l l 8 1 建立更一般的非线性方程 x ”+ 厂o ，x ) = 0 ，o o ) ( 1 7 ) 振动和非振动的充要条件，但对函数厂有较严格的要求 1 9 7 3 年t r a v i c t l 9 1 、1 9 7 5 年w o n g l 2 川建立了具有变号系数方程 一。+ p ( f ) ( x ) = o ，o 0 ) ， ( 1 8 ) 在p ( t ) 可改变符号，厂在不同条件下的振动性结果 1 9 7 6 年r a n k i n t 2 1 1 、1 9 7 8 年g r a e f a n ds p i k e s p z l 建立了具有扰动项的方程 ( 口( f ) x ) + 厂i j f ，工，x ) = o ，o ) ( 1 9 ) 的比较定理及振动性定理 1 9 9 2 年c e c c h ia n dm a r i n i t 2 3 1 推广并改进w i n t n e r 的结果，利用广义r i c c a t i 变 换、积分平均技巧和完全平方技术，结合分类讨论的方法，建立了方程 ( 口( ，) 9 ( x ( f ) ) x 7 ( ，) ) + 口( ，) 厂( x ( f ) ) = 0 ， ( 1 10 ) 5 山东大学硕士学位论文 的两个新的简明的、便于应用的振动准则 1 9 9 3 年燕居让和张全信利用c e c c h ia n dm a r i r f i 的方法研究了二阶非线性阻 尼微分方程 ( a ( t ) c p ( x ( t ) ) x o ) ) 7 + p ( t ) x ( f ) + g ( ，) 厂( x ( r ) ) = 0 ， ( 1 11 ) 的解的振动性质，建立了上述方程的若干个振动性定理 2 0 0 0 年r o g o v c h e n k o 2 5 1 研究了二阶非线性微分方程( 1 1 0 ) 的解的振动性质， 分别建立了上述方程的若干个振动性定理 2 0 0 4 年张全信和燕居让1 2 6 】研究了二阶非线性阻尼微分方程 ( 口( f ) 妒( x ( f ) ) x o ) ) + p ( t ) x o ) + g p ) 厂( x o ) ) = 0 ， ( 1 12 ) 的解的振动性质，建立了三个新的振动性定理： 定理1 7 1 2 6 】设9 ( x ) 厂( x ) c o ，x 0 ，如果条件 l i mj 一1 一蒜】凼= 佃， ( 1 1 3 ) f 静 棚，。， 都成立，并且对所有的丁 t 。，有 l i 墨挚，二击胪m ) 一丽p 2 ( r ) 】d r d s = 栩 ( 1 1 5 ) 成立，则方程( 1 1 2 ) 是振动的 定理1 8 1 2 6 1 设p ( f ) o ，f - - t o ，缈( x ) 厂( x ) c o ，x 0 ，如果条件( 1 1 3 ) 成立， 并且有 熙l 著= 悃 成立，则方程( 1 1 2 ) 是振动的 ( 1 1 6 ) 定理1 9 t 2 6 1 设9 ( x ) 厂( x ) c o ，x o ，如果条件( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 成立，对所有 的r ，o ，有 6 山东大学硕士学位论文 - 唑n 们) 一高】f 者m = 佃 成立，并且 l 妒 协 o ，俨( ，) l + 广k ，则( 1 5 ) 是振动的 定理1 1 1 1 2 9 1 设p ( ，) o ，f i t 。，佃) ，f i p ( t ) = j ，忡p ( s ) d s ，f t o ，蜘) 存在， 若尸2 ( f ) 譬，则( 1 5 ) 是非振动的； 若孔 0 ，尸2 0 ) 了l + k 础) ，则( 1 5 ) 是振动的 定理1 1 2 3 0 1 设p ( ，) o ，i t 。，佃) ，且p ( f ) = r p o ) d s ， t o ，佃) 存在， 若，蛐尸2 ( s ) 凼半，则( 1 5 ) 是非振动的； 若j 尼 o ，r 尸2 ( s ) 凼半尸( ，) ，则( 1 5 ) 是振动的 以f = 三个定弹都含有一个方稃中不m 瑚的常麴k 并日都不旱充分- 必要条 7 山东大学硕士学位论文 件1 9 7 7 年k a m e n e v t 3 1 1 给出了一种判别方程( 1 5 ) 振动性的新方法1 9 8 0 年c h e n a n dy e h t 3 2 】推广了k a m e n e v 的工作到方程( 1 4 ) 1 9 8 7 年燕居让【3 3 i 利用函数 尸( ，) = f “p o ) d s ，构造函数列，通过函数列建立了这类方程振动新的充要条件，也 推广和改进了k a m e n e v ，c h e na n dy e h 等给出的结果1 9 8 9 年汤慕忠【3 4 】引入了c 可 化为一个积分小系数方程的概念，推广和改进- 3 3 1 的结果 1 3 本文的主要工作 本文的主要工作为： 在第二章，讨论一类较广泛的二阶非线性摄动微分方程 ( 口( ，) 9 ( x ( ，) ) x ( ，) ) + 9 ( ，z ( ，) ) = 尸( ，x ( ，) ，x ( ，) ) ， ( e ) 在不具有“积分小”系数的条件下，利用广义r i c c a t i 一变换，结合完全平方技术和分 类讨论的方法，建立了方程( e ) 的2 个新的振动性定理，推广和改进了已知的一 些结果 在第三章，讨论了二阶非线性摄动微分方程( e ) 在具有“积分小”系数的条件 下解的振动性，利用广义r i c c a t i - 变换，结合完全平方技术和分类讨论的方法，建 立了方程( e ) 的2 个新的振动性定理，推广和改进了已知的一些结果 在第四章，讨论了二阶非线性摄动微分方程( e ) 的非振动解的渐近性，建立 了方程( e ) 的3 个新的渐近性定理，推广和改进了已知的一些结果 8 山东大学硕士学位论文 第二章不具有“积分小系数的二阶非线性摄动 2 1 引言 微分方程的振动性 张全信和燕居让【2 6 1 研究7 - - 阶非线性阻尼微分方程 ( 口o ) 妒( x o ) ) x o ) ) 7 + p ( t ) x 7 ( ，) + 9 ( f ) 厂( x ( f ) ) = 0 ， ( 2 1 ) 的解的振动性质，建立了三个新的振动性定理在此基础上，本章讨论一类较广 泛的二阶非线性摄动微分方程 ( 口( ，) 妒( x o ) ) x ( ，) ) + q ( t ，x ( f ) ) = p ( t ，x ( ，) ，x ( ，) ) ， ( e ) 不具有“积分小”系数时解的振动性 在本文中，约定： ( 4 ) a ： t o ，佃) 专r( r = ( - - o o ，佃) ) 是正的连续可微函数； ( 4 ) 9 ：r 寸r 是连续可微函数，并且当甜0 时，妒( “) 0 ： ( 4 ) q ：阮，删足专足是连续函数，且存在连续函数9 ( f ) 和连续可微函数 厂( x ) ：其中g ：i t o ，佃) jr ，留( f ) 不最终为零，即存在 0 ) ，t k 一佃，使得g ( ) 0 ； 厂：r 寸r ，当”。时，u f ( “) 。，并且厂( 甜) 。，使得鬻g ( 吐x o ( 以) p ：【f o ，+ o o ) xr 2 专r 是连续函数，并且存在连续函数p ( f ) ：【f o ，棚) 专r ，使 得地) j p 9 ，x o ) ，x u ) ) x ( t ) p ( t ) x p ) ，x 0 本文总假设方程( e ) 的每一个解x ( ，) 可以延拓于【f 。，佃) 上为了从解的渐近 状态着手讨论，我们将方程( e ) 的所有正则解分为以下四类： s + = 扛= x ( ，) ：x ( f ) 是方程( e ) 的正则解，且jt j o ，当f t x 时，有x ( t ) x ( ，) o ) ； s 一= 伽= 坤) ：砸) 是方程( e ) 的正则解，且jf ，o ，当f f ，时，有x ( t ) x ( f ) t o , 3 乞。 乞，乞2 乞，使得x i ( f 口1 ) x ( ，口2 ) 容易证明，s + ，s 一，s 。，s ”是互不相交的根据上面的定义可以知道，s + 中的 解最终或者是正的非减函数，或者是负的非增函数；s 一中的解最终或者是正的非 增函数，或者是负的非减函数；s 。中的解是振动的：s ”中的解最终是弱振动的 2 2 不具有“积分小 系数时方程( e ) 的振动性质 j 5 i 理2 1 砹9 ( x ) ( x ) c 0 ，x 0 ( i ) 若 l i m s u p 球m ) 一器胁佃 ( 2 2 ) 则对于方程( e ) 有s + = a 。 ( i i ) 若 熙j t 驰) 一勰】承= 佃 ( 2 3 ) 则对于方程( e ) 有s ”= a 证明 ( i ) 假设方程( e ) 有一个解x ( f ) s + 不失一般性，假设存在f 。t o 使 得当f f l 时，有x ( f ) 0 ，x ( r ) 0 类似的可以证明当f r i 时，x ( ，) o ，f ) 0 矛盾。 ( i i ) 假设方程( e ) 有一个解x ( f ) s ”不失一般性，假设存在，t o 使得 当t 时，有x ( t ) 0 类似的可以证明当f f 。时，工( f ) f l ，3 乇l f 。，乇2 ，口，使得x ( f 。i ) x ( f 。2 ) 0 如同上面( i ) 的证明过程，得 到( 2 4 ) 式，即 箐掣鬻产一脾旷地4 c a ( s ) m 厂( x ( f ) ) 厂( x ( ) ) o ，l “ 。 由条件( 2 3 ) 得 t i m 坐塑丝型塑：埘 h ” ( 工( f ) ) 于是对于充分大的r ，恒有一( f ) 0 ) 上可积，也就是 ：静 棚 亿5 ， 成立，并且对所有的t t 。，有 t ；2 攀j 二高胪加) 一器m 凼= 佃 汜6 ) 成立，则对于方程( e ) 有s 一= g 证明假设方程( e ) 有一个解x ( ，) s 一不失一般性，假设存在f 。r 。使得 当r t i 时，有x ( ，) 0 ，一( ，) 0 类似的可以证明当f r l 时，x ( ，) o ，x 0 ，如果条件 熙i fo【t m ) 一器】凼= 佃， ( 2 3 ) f 静 咱， 眨5 ， 成立，并且对所有的t ，o ，有 - 紫f 赤胁巾器体如佃 汜6 ， 成立，则方程( e ) 是振动的 证明由引理2 1 和引理2 2 知，对于方程( e ) 有 s + = s 一= s ”= a 因此对于方程( e ) 的每一个解x o ) ，有x ( t ) s d ，即方程( e ) 是振动的证毕 定理2 2 设p ( f ) 0 ，f - t o ，妒( x ) 厂( x ) c o , x 0 ，如果条件 舰肿沪蒜肛佃， ( 2 3 ) 成立，且 l i r a j l o - 口- ( - s ) s = 佃， ( 2 7 ) 也成立，则方程( e ) 是振动的 证明由引理2 1 知，对于方程( e ) ，有s + = s ”= f 2 j 因此，只需证明 1 3 山东大学硕士学位论文 对于方程( e ) ，有s 一= o 即可 假设方程( e ) 有一个解x ( ，) s 一不失一般性，假设存在，。“使得当， 时， 有x ( f ) o ，x ( f ) 0 类似的可以证明当f f l 时，有x ( ，) 0 ，( f ) 0 的情况 如同引理2 1 的证明过程，得到( 2 4 ) 式，即 等塑f 铲( x ( t一胁沪煎4 c a ( s ) m厂( x ( ，) )1 ) ) o 。 。 由上式和条件( 2 3 ) 得知，存在t 2 t l 使得当f f 2 时，有x ( f ) f 3 ) h t ，到，积分( e ) 式得 口o ) 妒( x o ) ) x o ) = a ( t 3 ) q 口( x ( t 3 ) ) x ( 岛) + i e ( s ，x ( s ) ，r ( s ) ) 凼一i ，q ( s ，x ( s ) ) a s ，f一， 口( f 3 ) 9 ( x ( 岛) ) 一( 岛) + jr 3 p(s)f(s)ast 一”p t ( s ) 厂( x ( s ) 迹 ， 因为p ( t ) 0 并且f ( ，) 0 ，得 口( ，) 妒( x ( r ) ) ，( f ) 口( t 3 ) q t ( x ( 岛) ) 一( 岛) 一，三g ( s ) 厂( x ( s ) 灿 刮u 砸( 删心) 一肛一蒜】厂( 删出一丘t 丽p 2 ( s y ) ( 删凼 口( 如) 妒( x ( 蝴一肛( j ) 一丽p 2 ( s ) ( s ) ) 出 毗删f 3 ) 沙也h 似嘞n 邪) 一器 出 + 肌邢m b ) ”贴) 一器m 凼 a ( t 3 ) 妒( x 0 3 ) ) x ( f 3 ) = k ( k 。) ， ( 2 l 。) ( 赤) t + 矿一， ( 0 ) ( 2 1 1 ) 方程( 2 8 ) 和( 2 9 ) 分别满足定理2 1 和定理2 2 的全部条件，由定理2 1 和定理2 2 知，方程( 2 8 ) 和( 2 9 ) 是振动的，文献 2 3 中的结果不能判定以上两个方程的振 动性； 方程( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 仅不满足定理2 2 中p ( ，) 0 的条件，这两个方程都 有非振动解x o ) ：! 1 5 山东大学硕士学位论文 第三章具有“积分小 系数的二阶非线性摄动 3 1 引言 微分方程的振动性 上一章我们讨论了二阶非线性摄动 ( 口( ，) 9 ( x ( f ) ) z ( ，