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具有d i n i 连续性系数的非线性椭圆方程组弱解的正则性 摘要 本文我们研究在自然增长条件下，具有d i n i 连续性系数的非线性椭圆方程组 - d i v a ( x ，t 正，d u ) = b ( z ，u ，d u ) ， z q 弱解u ( 其梯度d u 的增长指标为m = 2 及1 m 2 ) 的正则性问题对于部分 正则性证明的经典方法是”凝固系数法”，即通过”凝固系数”得到常系数方程组 再把解跟由”凝固系数”后得到的常系数方程细所构成的d i r i c h l e t 问题的解进行比 较，得到重要的衰减估计并进行标准的迭代，从而推出部分正则性结果其中需要用 到复杂而繁琐的反h s l d e r 不等式或者g e h r i n g 引理，而且得到的h 6 d l e r 指标不是 最优的即：h s d l e r 正则性指标低于已知系数函数的h s d l e r 连续性条件中的指标 本文采用部分正则性研究的新的方法一a 一调和逼近方法，来研究具有自然增长条 件的非线隆偏微分方程组弱解的部分正则性这种新方法是通过a 一调和逼近引理 架起a 一调和函数和非线隆偏微分方程组之间的桥梁，使得我们能够根据文章的实 际需要构造某个跟弱解札相关的特定函数，通过a 一调和逼近引理，揭示了存在这 样的a 一调和函数在l 2 意义下跟该特定函数靠得非常近，从而可以利用a 一调和 函数那些好的性质，推出需要的衰减( d e c a y ) 估计，由此得到部分正则性结果 在自然增长条件下，当m = 2 时，虽然2 0 0 2 年d u z a a r 和g a s t e l 在文【1 0 】， 袁秋宝和谭忠在文【2 6 中分别讨论了两类不同形式具有d i n i 连续性系数的非线陛 椭圆方程组弱解的正则性问题，但我们这里讨论的，是类更为广泛的具有d i n i 连 续陛系数的非线陛椭圆方程组，实际上它是a 关于变量( z ，) 的连续性为对所有的 z ，牙q ，f ，享r 和p l 良，聿 f 式成立。 ( 1 + i p l ) 一1 i a ( x ，f ，p ) 一a ( 孟，己p ) i k ( 1 引) 肛( ( 1 z 一孟1 2 + i 一享1 2 ) 譬) 这条件是对2 0 0 0 年d u z a a r 和g r o t o w s k i 文【1 4 】关于a 假设条件的推广，关于这 个问题以前并没有很好的结果 具有d i n i 连续性系数的非线性椭圆方程组弱解的正则l i i v 在自然增长条件下，当1 m 2 时，由于a 一调和逼近技巧已经不再适用， 庆幸的是另一种类似于p - l a p l a c e 形式的a 一调和逼近方法，使得我们可以对这类 d i n i 系数非线陛椭圆方程组弱解的部分正则性问题进行探讨然而此刻却出现了积 分函数的指数寻 旦铲 0 是负的情形，这使得我们在m = 2 时的技巧失效为了 克服这个困难，我们借鉴了1 9 8 9 年a c c r b i 和f u s c o 处理变分泛函极小的方法及陈 淑红【2 8 】处理1 m 2 情形下非线| 生椭圆方程组弱解的部分正则性问题的方法， 推出相应的不等式，证明了在自然增长条件下的c a c c i o p p o l i 不等式，并得到了在这 种情行的最优部分正则性结果因此，本文在自然增长条件下的c a c c i o p p o l i 不等式 的证明是全新的，在1 u 特别地，l n ( s i n g u ) = 0 ( 2 ) 当1 m 0 特别地，l n ( s i n g u ) = 0 关键词：非线性椭圆方程组；次二次增长条件；d i n i 连续陛；自然增长条件；部分 正则性；a 一调和逼近方法 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rr e g u l a r i t yo ft h ew e a ks o l u t i o no ft h en o n l i n e a r e l l i p t i cs y s t e m so fd i v e r g e n c ef o r mw i t hd i n ic o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t su n d e rt h e c o n t r o l l a b l eg r o w t hc o n d i t i o na n dn a t u r a lg r o w t hc o n d i t i o n ： - d i v a ( x ，u ，d u ) = b ( x ，u ，d u ) ， z q i nm o s td i r e c tp r o o fo fp a r t i a lr e g u l a r i t y , o n eu s e st h em e t h o do f ”f r e e z e st h e c o e f f i c i e n t s ”t oo b t a i nt h ed i s i r e dr e s u l t p r e c i s e l y , b y f r e e z e st h ec o e f f i c i e n t s ”， w eo b t a i na ne l l i p t i cs y s t e mw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s ，a n dt h es o l u t i o no ft h e d i r i c h l e tp r o b l e ma s s o c i a t e dt ot h e s ec o e f f i c i e n t sw i t hb o u n d a r yd a t eua n dt h e s o l u t i o ni t s e l fc a n t h e n b ec o m p a r e d t h e nw ec a no b t a i nt h ei m p o r t a n td e c a y e s t i m a t eb yi t e r a t i n ga n dy i e l d i n gt h er e s u l t so fp a r t i a lr e g u l a r i t y t h ec o m p l e x a n dl o n gr e v e r s e - h s l d e ri n e q u a l i t yo rt h eg e h r i n gl e m m ai sn e e d e di nt h i sp r o c e - d u r e w h a tm a k e st h i n g sw o r s ei st h a tt h eh 6 1 d e re x p o n e n to fp a r t i a lr e g u l a r i t y o b t a i n e db yt h i sm e t h o di sn o to p t i m a l i tm e a n st h a to n ej u s tc a ng e tah s l d e r e x p o n e n tm o r el i t t e rt h a nt h eo n ei nt h eh s l d e rc o n t i n u i t yc o n d i t i o no ft h eg i v e n c o e f f i c i e n tf u n c t i o n h e r e ，w ea d o p tt h em e t h o do fa - h a r m o n i ca p p r o x i m a t i o n w h i c hw a sf i r s tc a r r i e do u tb yd u z a a ra n dg r o t o w s k i t h e yc o n s i d e r e dt h ei n t e r i o r p a r t i a lr e g u l a r i t yo ft h ew e a ks o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m sw i t hh s l d e r c o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t s t h en e wm e t h o ds i m p l i f i e st h ep r o c e d u r eo ft h ep r o o f i n p a r t i c u l a r ，w eg e tt h er e l a t i v e l ys a t i s f y i n gp a r t i a lr e g u l a r i t ya n do p t i m a li n t e r i o r p a r t i a lr e g u l a r i t y a l s o ，w eu s ean e wm e t h o d t h em e t h o do fa h a r m o n i ca p p r o x i m a t i o n ，t o c o n s i d e rp a r t i a lr e g u l a r i t yt h e o r yf o rw e a ks o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n - v l 英文摘要 t i a ls y s t e m su n d e rc o n t r o l l a b l eg r o w t hc o n d i t i o na n dn a t u r a lg r o w t hc o n d i t i o n ， r e s p e c t i v e l y a h a r m o n i ca p p r o x i m a t i o nl e m m a1 t h ek e yi n g r e d i e n to ft h en e w m e t h o d - s e t su pab r i d g eb e t w e e na - h a r m o n i cf u n c t i o na n dn o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，w h i c hm a k e su sc a l lc o n s t r u c tas p e c i f i e df u n c t i o nc o r r e - s p o n d i n gw i t hw e a ks o l u t i o n s 牡t h ea - h a r m o n i ca p p r o x i m a t i o nl e m m ar e v e a l s t h a tt h e r ei saa h a r m o n i cf u n c t i o nc l o s i n gt ot h es p e c i f i e df u n c t i o ni nl 2 i no r d e rt om a k i n gf u l lu s eo ft h o s ek n o w np r o p e r t i e so fa - h a r m o n i cf u n c t i o n ，o n ec a n d e r i v et h ed e s i r e dd e c a ye s t i m a t ea n dt h e no b t a i nt h ep a r t i a lr e g u l a r i t yr e s u l t s t h r o u g h o u tt h ep a p e r ，w ed e n o t eb ymt h eg r o w t he x p o n e n to ft h ed e r i v a t i o n o fw e a ks o l u t i o n s w h e nm = 2u n d e rt h en a t u r a lg r o w t hc o n d i t i o n ，a sy o uk n o w ， t h e r ei sn ob e t t e rr e s u l t so i lt h ep a r t i a lr e g u l a r i t yt h e o r yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m su n d e rg r o w t hc o n d i t i o n w ed e d u c ec a c c i o p p o l is e c o n di n e q u a l i t yu n d e r t h en a t u r a lg r o w t hc o n d i t i o nb yan e wm e t h o d i nt h ec a s e1 m 2 t h em e t h o do fa - h a r m o n i ca p p r o x i m a t i o ni s1 1 0 l o n g e rs u i t a b l e t h a n k st oa n o t h e ra - h a r m o n i ca p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，w h e r e t h ef u n c t i o nd e f i n e da n a l o g o u sa sp l a p l a c ef u n c t i o n ，w ec a np r o c e e dt ot h e p r o o fo ft h eo p t i m a lp a r t i a lr e g u l a r i t yr e s u l t h o w e v e r ，an e wp r o b l e mh a sa r i s e n t h a ti st h ee x p o n e n to ft h ei n t e g r a lf u n c t i o no ft h i ss i t u a t i o nt a k e so nn e g a t i v e ( 一 o a n di np a r t i c u l a r ，l n ( s i n g u ) = 0 ( 2 ) w h e n1 o a n di np a r t i c u l a r ，l n ( s i n g u ) = 0 k e yw o r d s ：n o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s ；d i n ic o n t i n u i t y ；t h en a t u r a lg r o w t h c o n d i t i o n ；p a r t i a lr e g u l a r i t y ；a p p r o x i m a t i v e l y 么一h a r m o n i ct e c h n i q u e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任。 声明人( 签名) ： 年月 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) 。 ( 请在以上相应括号内打”) 作者签名：j 绎耍孝辔二 导师签名： 日期：2 卿f 硐分日 日期：年月 日 具有d i n i 连续性系数的非线性椭圆方程组弱解的正则性 第一章引言 本文我们研究二阶非线性椭圆方程组在散度形式下弱解的部分正则性问题： - d i v a ( x ，u ，d u ) = b ( x ，仳，d u ) 在q 中 ( 1 1 ) 其中q 是舯( n 2 ) 中的有界区域，a 和b 是定义在q r n 舯上的可测 函数，是满足n 1 的整数，u ：q _ r 是个向量值函数 受d u z a a r 和g a s t e l 的论文【1 0 】及陈淑红、谭忠的论文【5 】5 以及袁秋宝，谭忠 的论文【2 6 】启发，与其他相关论文( 5 】，【6 】，【7 】和【2 6 】) 不同，这里我们把系数a 的 h 6 1 d e r 连续性减弱为d i n i 连续陛，b 满足自然增长条件详细地说，我们假设a 关于变量( z ，) 的连续性为对所有的z ，孟q ，f ，酞和p r n 有下式成立； ( 1 + i p l ) 一1 i a ( x ，f ，p ) 一a ( 圣，f ，p ) is i c ( i 引) 芦( ( i z 一孟1 2 + i 一手1 2 ) 譬) ( 1 2 ) 其中k ：( 0 ，。) _ 【1 ，o 。) 是非减的，p ：( 0 ，。o ) _ 【0 ，。) 是非减目具有初值为 p ( o + ) = o 的凹函数还要求对某个o l ( 0 ，1 ) 有rhr - a t z ( r ) 是非增的，并且 肌) = z 7 学d p o o 渐例 ( 1 3 ) 我f f 瑚挝调和逼近技巧得到定理的结论，首先我们证明了c a c c i o p p o l i 第二不 等式，这样我们将不再需要用繁琐而复杂的反h s l d e r 不等式或g e h r i n g 引理我 们主要的结果可以叙述如下：另外假设( 如a 的椭圆性条件以及a 关于变量p 的 正则性和增长性) ( 1 + l v l ) a ( x ，p ) 满足( 1 2 ) 和( 1 3 ) 在自然条件下，令u 日1 ，2 ( q ，r ) n o o ( q ，r ) 是( 1 1 ) 的弱解，则u 在_ 卟l e b e s g u e 测度为零的相 对闭奇异集外是c 1 的进步地，对o o 1 2 s i n g u ，他的导数d u 在x o 的某个 领域内具有连续模rhm ( r ) 我们的结论在p ( r ) = 严，0 q 0 使得 l 筹( 呱l 0 使得 ( 筹( 呱，p ) ) 刈l + i p l 2 ) 孚川2 黼的x e1 2 , er ；v , p , ue 舯成立； ( h 3 ) 存在个连续模p ：( 0 ，o 。) 一【0 ，o o ) 和非减函数k ：( 0 ，o 。) _ 【1 ，o 。) ，对 于某一p ( 0 ，1 ) 使得 i a ( z ，p ) 一a ( 童，p ) l k ( k 1 ) p ( ( i z 一引m + l 一f i ”) 景) ( 1 + i p l ) 等 叉于巨干有的z ，童q ，享r ，和p r n 成立； 不失般陛，我们假设仡1 并且下面条件成立 ( p 1 ) p 是非减的且，i ( o + ) = 0 ，p ( 1 ) = 1 ； ( 芦2 ) p 是凹的，在证明定理的正则性时要求对某个指数q ( 0 ，1 ) ，7 hr - g ( r ) 是非增的 ( p 3 ) d i n i 条件 嘶) ：= z 7 字如 o o 榭刚 ( - 4 ) 存在常数a 和b ，使得非齐次项b ( x ， ，p ) 满足自然增长条件即 l z ( z ，p ) l a l v l m + b ， 具有d i n i 连续性系数的非线性椭圆方程组弱解的正则性 4 或 b ( x ，p ) i 圳m 吖+ b 当1 0 的，存在具有下列性质的6 = 6 ( n ，n ，入，l 6 ) ( 0 ，1 】；对任意的 a b i l ( r “) ，满足 a ( ，1 2 ) a l 1 2 ，r n ，( 3 1 ) 和 i a ( z ，_ ) l l l v l l 矽l ， 彤n 秒r n ，( 3 2 ) 叉十任意的g h 1 , 2 ( b p ( z o ) ，r ) ，( p 0 ，x 0 r ) ，游浞 五l d 9 1 2 d z 1( 3 3 ) 和 l 。a c 珊，。妒，如i 石邬s u 。训p i 。妒i 妒础c 邬c z 。，冗，c 3 q 则存在a 调和函数满足 _ id h1 2d x 1 和p 一2 - iih g 2d x g j b p ( = o )j b p ( x o ) 其中调和函数定义如下 定义3 1 对于引理3 1 中定义的a b i l ( r ) ，若函数h 1 , 2 ( b p ( z o ) ，r ) 满足 a ( d h ，d 妒) d x = 0 ， 妒础( q ，r ) 具有d i n i 连续性系数的非线性椭圆方程组弱解的正则性 6 则称它是a 一调和的 ( 引理3 1 的证明见 1 2 】) 下面是_ 种简便形式p o i n c a r e 的不等式( 证明见【1 8 】，第7 , 8 部分) 弓i 理3 2 彳硇，仅依赖n 的c p ，刁孓妫设c p 1 ，徊删每个u h 1 , 2 ( b p ( z o ) ，r ) ， 下列不等式成立 l 让一让p1 2d x 饰矿id u1 2d x j b _ ( 。o )j b p ( z o ) 最后引进的是个来自c a m p a n a t o 3 】中的定理9 2 的常系数二阶齐次椭圆方 程组的标准f 舒十它是由h 以及它的任意阶导数的c a c c i o p p o l i 不等式，结合s o b o l e v 不等式以及p o i n c a r e 不等式得到的该结果最初是对方程得到的，但是很隗就被推 广到方程组下面给出的是比 3 】中更般的形式； 引理3 3 对于引理3 1 中给定的a ，入和l ，存在仅依赖于n ，n ，a 和己的岛( 不 妨设c o 1 ) ，使得对易( z o ) 上的任意a 一调和函数h ，满足 p 2s u pld 1 2 + 矿s u pfd 2 h1 2 岛p 2 ld 1 2d x s p 2 ( z o ) b p 2 ( z o ) t ，点0 ( z o ) 我们注意到( p 1 ) 一( 肛3 ) ，可以导出s p ( t ) s p ( s ) 对所有的0st s 成立根 据7 h 华和叩( 1 ) l 的非增 生贡，我们还知道对所有的0 s t ，0 ss1 满足s n ( t ) t n ( s ) st 所以由以匕两种情况可以得到。 s n ( t ) s n ( s ) + t 对于s 【0 ，1 1 ，t 0 ( 3 6 ) ( 班) 7 7 ( 1 ) = 1 得到，对t 【0 ，1 】有叩( t ) t 成立 由( 啦) 我们可以得到对于口( 0 ，1 ) ，t 0 ，i nu o ) 有： 扣蝴c 缈2 ，= 篇晨打伫：，：学杌 进而有 ；删f 南聊2 ) ( 3 7 具有d i n i 连续性系数的非线性椭圆方程组弱解的正则性 7 特别地，对于所有的t 0 ，都有弘( t p 2 ) a h ( t 口1 2 ) 进而有，th 亡- q m ( t ) 是非增函数 利用( h 1 ) ，( h 2 ) 很容易推出 1 4 ( z ，p ) 一a ( z ，f ，痧) i n l ；一痧l ( 3 8 ) ( a ( x ，p ) 一a ( x ，痧) ) 一庐) ap 一痧1 2 ( 3 9 ) 对于z q ，r 和p ，庐r “成立这里入是大于0 的常数 根据( 风) 可知对所有的t 都存在连续模u o 【0 ，。o ) 【0 ，。o ) _ 【0 ，o 。) 且 u ( ，0 ) = 0 使得对固定的s ，thu ( t ，s ) 是非减函数，而对固定的t ，sh u ( t ，s ) 2 是非减的凹函数，以及使得对所有的( z ，p ) ，( 孟，享，痧) q r 酞n 满足 l 筹( 一面o a ( 厕l 纠尬i z 吲2 咪一萄2 + i p 一艄 ( 3 1 0 ) 具有d i n i 连续性系数的非线性椭圆方程组弱解的正则性 8 第四章具有d i n i 连续性系数的非线性椭圆方程组弱解的最 优部分正则性：m = 2 本章正如引言部分所叙，我们只讨论形如( 2 2 ) 非线性椭圆方程组弱解的部分 正则性，证明部分正则性理论时个关键的因素就是个c a c c i o p p o l i ( 或反p o i n c a r 6 ) 不等式下面我们证明所需要的c a c c i o p p o l i 第二不等式 4 1c a c c i o p p o l i 第二不等式 对s ，t o 假设p l ( s ，t ) ：= ( 1 + t ) 一1 k ( s + t ) 一1 ，k 1 ：= ( 1 + t ) 4 仡( s + t ) 4 又有p l 1 以及shj d l ( s ，) ，hp l ( s ，t ) 是非增连续函数，有下面的引理： 定理4 1 1 考虑p r n 并固定r 假设u 日1 , 2 ( q ，r ) 是( 2 2 ) 在条 件( 研) 一( 风) ，( p 1 ) ，( p 2 ) 下的个弱解则对任意的黝q 和p p l ( 蚓，l p l ) 2 伊 使b p ( x o ) c cq ，有下面的不等式成立 p 一2f s p 2 ( z 。) i d u p 1 2 d x c lf s p ( 茁。) l u 一一p ( x z o ) 1 2 d x + c 2 口n p n 十2 k l ( 1 i ，l p l ) p ( 矿2 ) 2 其中c 1 = c 1 ( a ，l ) c 2 = c 2 ( 入) 证明：设v = 札一f - p ( z - x o ) ，以及妒昭( b ( z o ) ) 满足0 妒1 ，i v 妒i 0 ，有 ，= 2 l l d u p i l v l l v c , l , d x j b p ( z o ) 川，i d u - p j b p ( x o2 如十等j 厂b p ( x o ，川2 如) 巴。 ) 为了估计地i i 巩我们利用j e n s e n 不等式，( 3 6 ) 以及当t i ，有叩( s ) 铆( s ) 并注意到r 一丝掣是不增的，p ( r ) r 对切o 0 ，( 依赖于n ，n ，a ，c ，p + ，和u ( ) ) 使得 w ( 2 t , 2 圣o ( ? ) ) 2 + 2 圣o ( 丁) 去铲， ( 4 3 1 8 ) 4 c 3 圣o ( t ) p 礼( 1 一舻。) 2 t 2 ( 4 3 1 9 ) 根据( 4 3 1 8 ) 和( 4 3 1 9 ) 中的( 丁) 选择p o ( t ) ( 0 ，1 3 ( 依赖于礼，n ，入，c ， a ，p + ，u ( ) ，叩( ) ，圪( ) ) 使得 p o ( t ) 冬p l ( 2 t + 1 ，2 t + 1 ) 2 p ，( 4 3 2 0 ) c r k i ( 2 t , 2 t ) 2 ，z ( 肋( 丁) 2 ) 2 6 2 ，( 4 3 2 1 ) ( 丁) 肛( 冈( t ) 卢2 ) 2 ( 俨p 一口2 矿) 圣o ( t ) ，( 4 3 2 2 ) 8 ( 1 + c p ) k o ( t ) m ( p o ( t ) p 2 ) s 口n ( 1 一口譬) 2 ( 伊咿一口2 矿) 严，( 4 3 2 3 ) 其中k o ：= k 2 ( 2 正2 t ) 定理4 3 1 假设晰t o 0 ，和b px o ) c cq 有 ( i ) l u p i + i ( d u ) 孤p i t o ， ( i i )ps 舶( 而) 口2 ， ( i i i )圣( 铷，p ) c o ( t o ) 贝i j l 及、条件( 4 3 1 5 ) 一( 4 3 1 7 ) 在b 彬p ( z o ) 上对歹nu o ) 都成立 具有d i n i 连续性系数的非线性椭圆方程组弱解的正则性 1 8 糊，极限a x o ；，l 。i r a 。( d u ) 鲥p 槲阱骄戳 j b p ( x o ) i d u - - a x o1 2 如c s ( ( 丢) 2 p 圣c z 。，p ，+ m c r 2 ，) ， c 4 3 2 4 ， 对0 j 有 i ( d u ) 孤o j p 一( d u ) 孤鲈p l i ( d ) 地0 t p 一( d u ) 孤0 1 一t p i( 4 3 2 5 ) 伊2 ( 孥沪+ v v 再k o ( n ) 一m f ( ( o 删j p ) 2 ) t 1 2 ) ) 考虑到假设条件( p 3 ) 可以看出 ( d 钍) 舢鲥p 是r 州中的个柯西列因此，极限 a 。= l i m ( d u ) 孤鲥p 存在并且由( 4 3 2 5 ) 可推出，对j n t 3 【o 有 i ( d ) 卫。，刖p a z 。l c 9 0 2 伊j 西( z o ，p ) + m ( ( o s n ) p i 2 ) ( 4 3 2 6 ) 其中c 9 = 莉翻