（应用数学专业论文）关于凸多胞形的几何不等式.pdf

摘要 凸体几何是现代几何学的一个重要分支，凸多胞形是凸体几何的主要研究对象 之一凸多胞形在线性规划和对策论中有着极其重要的应用 本硕士论文以凸多胞形的几何不等式为主要研究内容首先在第一、二章和第 四章第一节介绍了凸体几何的发展历史以及国内外数学工作者在凸多胞形的几何不 等式方面的研究概况，着重介绍关于凸多胞形中单形和平面凸多边形两方面的几何 不等式的主要研究成果其次，介绍了我们获得的有关凸多胞形不等式的结果在 第三章第一节中，利用逐步调整法，解决了2 0 0 2 年由m i h a l yb e n c z e 和2 0 0 3 年由 m i h 1 yb e n c z e 和s e t k e ta s l a n a g i c 提出的公开问题，给出了其具体证明过程，并且 得到了它在凸多胞形中的一个应用；在第二节中，利用距离几何的理论和方法，推 广了垂足单形的相应结果，得到了涉及单形的子块及其垂足单形的子块的体积不等 式，并且进一步证明了涉及多个单形的子块及其相应的垂足单形的子块的体积关系 式它们都是一些已有结论的推广形式在第四章第二节，对两个平面凸多边形， 通过以其中一个多边形的最长边为边做另一个多边形的相似图形，结合著名的等周 不等式，证明了两个平面多边形中最长边和次最长边与面积的不等式作为它的一 个特例，获得了一个多边形的次最长边与面积的关系利用这一方法，给出了著名 的b o t t e m a 不等式的一个新的证明 关键词：不等式，凸体，多胞形，单形，多边形，幂平均 a b s t r a c t c o n v e xg e o m e t r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r ng e o m e t r y c o n v e xp o l y t o p e s w h i c hi so n eo fl n a i ns t u d yo b j e c t so fc o n v e xg e o m e t r y l | h a s v e r yp r i m a r ya p p l i c a t i o n si n s o m ef i e l d ss u c ha sl i n e a rp r o g r a m m i n g ，t h e o r yo fg a m e se t e t h i sm a s t e rd i s s t a t i o n r e s e a r c h e st h ei n e q u a l i t i e so fc o n v e xp o l y t o p e s i nt h i sd i s s e r t a t i o n jw ef i r s ti n t r o d u c et h e h i s t o r yo fc o n v e xp o l y t o p e sa n ds t l o w s o n l eg r a n dr e s u l t si nt h ea s p e c to fc o n v e xp o l y t o p e s ，e s p e c i a l l yo fs i m p l e x e sa n dc o i l v e x p o l y g o n s 抽p l a n e t w or e s u l t sa b o u ts i m p l e x e sa r ee s t a b l i s h e di nc h a p t e rt w o i ns e c t i o n o n eo fc h a p t e rt h r e e ，a no p e nq u e s t i o n ，p r e s e n t e db ym i h a l yb e n e z ea n ds e f l 【e t a s l a n a g i c i n2 0 0 3 ，i ss o l v e da n di t sa p p l i c a t i o no nc o n v e xp o l y t o p ei s g i v e n i nt h eo t h e rs e c t i o n o fc h a p t e rt h r e e ，i n e q u m l t i e si n v o l v i n gas i m p l e xa n di t sp e d a ls i m p l e xa r ep r o v e d w e a l s oo b t a i ns o m eg e n e r a t i o n sa b o u ts e v e r a ls i m p l e x e sa n dt h e i rp e d a ls i m p l e x e s o t h e r r e s u l t sa r ep r e s e n t e di ns e c t i o nt w oo fc h a p t e rf o u r b ys y m m e t r i c a lg r a p h ，w ea r r i v ea ta u i n e q u a l i t yo ft h ea x e a sa n dt h e i rg r e a t e s ts i d e sa n ds e c o n dg r e a t e s ts i d e so f t w op d y g o n si n p l a n e a si t ss p e c i a lc a s e ，a ni n e q u a l i t ya b o u to n ep o l y g o nw a si n f e r r e d a sa na p p l i c a t i o n o fo u rm e t h o d ，w eg i v eai l e wp r o o fo ft h ew e l l k n o w nb o t t e m a si n e q u a l i t y k e y w o r d s ：i n e q u a l i t i e s ，c o n v e xb o d y , p o l y t o p e ，s i m p l e x ，p o l y g o n ，p o w e rm e a n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：迷盗竭日期：型堑! ：! ! 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第一章绪论 凸体几何是以凸体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支凸体几何作 为。9 个独立的数学分支，起源于1 9 世纪末和2 0 世纪初，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两 位杰出的奠基者2 0 世纪三十年代至五十年代，前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 在该领域的一系列突破性的工作，大大推动了凸体几何的发展在随后的几十年中， 凸体几何理论发展迅速，一些经典的古老问题陆续得以解决，新的富于挑战性的问 题大量产生在这个过程中，它与数学的其他学科，如泛函分析、群论、代数拓扑结 合，产生了许多新的富于魅力的数学分支，其中最引人注目的是它与泛函分析结合 的产物- b a n a c h 空间的局部理论，这被认为是现代国际数学研究的主流方向之一 jb o u r g a i n 运用几何分析的局部研究理论，彻底解决了凸体几何的一些经典难题， 并因此获得了1 9 9 0 年的f i e l d s 奖1 9 9 9 年国际数学家大会报告者m i l m a n 运用凸渐 进理论研究凸体之间的逼近问题，成绩斐然国内，2 0 世纪五十年代，著名数学家 吴文俊运用拓扑方法圆满解决了复合形在欧氏空间嵌入的这一凸体几何的难题，成 果举世瞩目；2 0 世纪八十年代，杨路教授、张景中院士借用距离几何方法和计算机 辅助证明，在凸体几何的高维几何不等式与几何极值、初等图形的嵌入等方面作了 许多开创性的工作( 见 6 5 ，6 6 ，6 7 ，7 6 等) ，获得了国际数学界的广泛好评九十年代， 冷岗松教授取得了一系列有意义的结果( 见 3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 7 等) ，其中彻底解决了单纯形 内的最大超平行体的体积估计问题，被著名数学家v k l e e 教授评价为是对”这一 领域的实质性的贡献” 著名数学家陈省身教授在祝贺我国自然科学基金设立1 0 周年的讲话( 刊数 学进展b2 5 卷5 期( 1 9 9 6 ) ) 中指出：”凸体几何是一个重要而困难的方面，c 6 0 的 研究( 1 9 9 6 年获得诺贝尔化学奖) 显示了它在化学中的应用，它当然对固态物理也 有重大作用”陈先生的话充分说明了凸体几何研究不仅具有深刻的理论价值，而 且有着广泛的应用价值 凸多胞形是凸体几何的主要研究对象之一，凸多胞形理论也是凸体几何的重要 组成部分根据研究内容的不同，凸多胞形理论又可分为组合理论和度量理论两部 分组合理论侧重研究凸多胞形各种不同维的面数( 如顶点、棱) 的数量关系；而度 量理论侧重研究凸多胞形的长度、角度、体积、投影等度量关系凸多胞形在线性 规划和对策论中有着重要的应用近年来在凸多胞形的研究领域中，有一批活跃并 有成效的数学家，他们以v k l e e ，p m e m u l l e n ，r s c h n e i d e r ，c m p e t t y 等为代表，在国 】 2 0 0 5 上海大学硕圭学位论文2 内，以吴文俊、杨路、张景中为首的一批数学精英张矗、冷岗松、毛其吉、左铨如 等所做出的凸多胞形方面的一系列研究成果，居世界领先地位1 9 7 9 年中国科学 技术大学常庚哲教授把n e u b e r g p e d o e 不等式首次介绍到我国，激起了我国许多人 的研究兴趣1 9 8 1 年杨路教授、张景中院士运用代数方法首先给出了p e d o e 不等 式的高维推广 8 4 ，6 6 ，促进了几何不等式的研究工作在我国蓬勃发展1 9 9 7 年冷岗 松教授运用分析的方法，给出了p e d o e 不等式地另一实质性的推广，即将p e d o e 不 等式推广为两个单形的n 一1 维侧面积与体积的高维形式此结果是彭加贵不等式 的高维推广f 3 7 我国数学工作者获得了许多p e d o e 不等式的其它高维推广结果( 见 第二章第二节) 本硕士论文以凸多胞形的几何不等式为主要研究内容，共分为四章第二章主 要介绍凸多胞形，特别是单形的发展状况，概述了国p q # l - 有关单形方面所获得的重 要结论第三章主要介绍了在凸多胞形中取得的两个结果 ( 1 ) 2 0 0 2 年m i h & l yb e n c z e 在【2 中提出了一个公开问题： 当q = 1 ，巧0 ( j = 1 ，2 ，n ) 时，证明或否定 j 2 1 、 。嚣。，南1s 2 南1 1 。 镪m 一掣，ij 一 。 次年m i h & l yb e n c z e 和s e f k e ta s l a n a g i c 在【3 中给出 o p e n q u e s t i o n l 2 6 3 设锄 0 ( = 1 h 2 一，n ) ，戤= 1 ，则 磊南 ( 2 ) 显然( 2 ) 式是( 1 ) 式的推广利用逐步调整法，给出了这个公开问题的具体证 明过程，并得到了它在凸多胞形中的一个应用 定理设s 1 1 一，s m 是r n 中凸多胞形p 的侧面积，令s = & 则 。，点“。瓦壶丽s i 惫1 土s k ( 3 ) 。g 。乞蜓。舭一，一一一嘉 ( 此结果已被上海大学学报录用) ( 2 ) 利用距离几何的理论和方法，推广了 7 7 】中垂足单形的结果，得到了涉及 单形的子块和其垂足单形的子块的两个体积不等式 定理设p 为n 维单形a 内任意一点，其体积为v ，则a 的子块a 的体积v 2 杀 一， 圆 睁 ( 一 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 3 与它的垂足单形8 的子块玩的体积v ( = 0 ，1 ，- 一，n ) 之间满足如下不等式： ( 静) ”孙矿1 ( 群祷) e v ( n - 1 ) # ( 争) ； 羹；，泸) n - - 1 孙m ( 南) 2 ev 2 ( n - 2 ) 。( 匏f 崩l 巧等) 川， 其中0 日1 且两式等号成立的充要条件是：4 为正则单形且p 为其中心 定理条件同上，则 馏n ”。； ( 6 ) 妻矗萨一一妻f iv f 塑， ( ，) 其中0 8 1 且两式等号成立的充要条件是：4 为正则单形且p 为其中心 其中( 6 ) 式是垂足单形体积不等式的一个推广我们进一步证明了涉及m + 1 个单形的子块和其垂足单形的子块的体积关系式 定理设凡是体积为 1 的单彤a 内任意一点，其子块4 “的体积为u 。它 的垂足单形魄的子块段。的体积为v “( = 0 ，1 ，m ) ，则这m + 1 个单形a 满 足不等式 ( 塞直帚) ”m + ，广1 ( f 若尸) 。基mk 矿n - i pf 妻i = o k f i = o 南1 ，c s ， 其中0 8 1 等号成立当且仅当这m + 1 个单形均为正则单形且点段为其相应 单形的中心 定理条件同上，则 nm月nm 嵋雨n “i i 赤， ( g ) 其h - 0 日曼1 当且仅当这m 十1 个单形均为合同的正则单形且点p 为其相应单形 的中心时等号成立 ( 此结果已投p r o c e e d i n g so f t h ei n d i a na c a d e m yo f s c i e n c e s m a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ) 第三章主要介绍了平面凸多边形的一些已有结论以及我们的一个结果通过以 最长边为对称轴做此三角形的对称图形，结合等周不等式的结论：在平面上，周长 一定的多边形中，正多边形的面积最大我们可以得到三角形除最长边外的其它两 边与面积的关系式运用这一方法，我们证明了下面的不等式： 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 定理设边长分别为o l 茎0 2 曼a n - 1 a n ，b l 茎6 2 冬- b , 1 一l b n 的两平 面n 边形q 1 ，n 2 的面积为日，玛，则 磊f i + 嚣 m + 1 时，其值为口 实际上， ( 2 12 ) 是c 8 y e y 定理的一般形式灵活运用c a y l e y 定理，能解决很 多问题( 如能证明n e u b e r g - p e d o e 不等式( 见2 2 1 ) ) ，一些从别的途径很难入手的几 何问题也能用c a y l e y 定理解决( 如 1 6 j 中所述就是一例) ，定理2 1 1 显然比c a y l e y 定理更便于应用由定理2 1 1 不仅容易推出单形高线公式和高维余弦定理，而且 还可以得出下面两个定理 定理21 2 6 5 对e ”中点集g n = e l ，印，e ，) ( n m ) ，任取g n 中 十1 个点，以它们为顶点作维单形，把所有这些维单形的维体积的平方和记作 帆( = l ，2 ，m ) ，则诸不变量 m 满足 筹踹( 删_ ( 1 鲰n ) ( 2 1 3 ) 磺( 警) 3 鼍半n k 一( ，* 2 2 。- 2 n 2 ( n 2 - 1 ) ( 篙) 。( 川待( 2 2 _ 6 ) 0 f f ( no z 七 2 或n = 2 ，0 0 1 时，等号成立当且仅当n 1 ，都是正则草形 定理2 2 5 1 6 2 条件同定理223 ，记& = 。嚣，s =a , 3 ，则当 0 j s n o g j s n d r ( o ，2 j 时，对任意序f 2 ，n j ，有 n 嚣( 口k p n 0 ) ：n ( n + 1 ) ( n 2 + ”一2 卢) ( ) ，( 2 2 7 ) o i j s n o l k s n 。 其中 趔( 熹) i 妾m 。7 ( 熹) i 妒 z 剖 当且仅当n 1 ，吼是正则单形时等号成立 对于p e d o e 不等式，还可以从单形的n 维体积与n 一1 维侧面积的角度上推广 定理2 2 6 3 7 】设n 1 = ( a o ，a - ，a 。) ，n 2 = b o ，b 一，岛 是驴中两个n 维 单形，其体积分别为kv ，侧面 a o ，a 一1 ，4 l + 1 ，一，a 。) ， b o ，b 1 ，b l + 1 ，- ， 口，、 的n 一1 维体积分别为只，s ( o 曼。n ) 设f = 砰，s = 霹( o 0 茎1 ) ， = 蔫( 嵛) 一i 薹n 碍( 薹ng 一。霹) 乏 群( 菩矿擎。+ 善掣9 ) ( z 舢) 4 = 0 f = 0 “ 。 7 等号成立当且仅当q l ，为正则单形 推论2 2 1 条件同定理2 2 瓯有 n 聊( g 一2 霹) ( 舻一1 ) p ：( v ) 警。 ( 2 2 1 0 ) i = 0 j = 0 等号成立当且仅当n 1 ，为正则单形 定理2 2 7 7 5 设n 1 = a o ，a 1 ，a 。 ，n 2 = 岛，夙，b 。) 是驴中两个n 维 单形，其体积分别为kv ，侧面 a o ，a 一1 ，a 件1 ，a 。 和( b o ，b i 一1 ，b + 风) 的n 一1 维体积分别为曩，& 0 = 0 ，1 ，n ) 设f = 坪，s = 霹，则 委砰t 嘉霹删) 蚓( 警) i ( i s v 掣+ 可f 掣) ( 2 z ，1 1 ) 等号成立当且仅当q l ，n 2 为正则单形， 推论2 , 2 ，2 条件同定理22 t 则 薹砰c 妻即鸵帮( 岩卜掣皿z - 等号成立当且仅当n 1 ，啦为正则单形 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 0 最近，张晗方教授从形式上把( 2 2 1 ) 推广到涉及两个单形的n 维体积与其k 维 子单形体积的高维n e u b e r g p e d o e 不等式 定理2 2 8 7 4 】设n 】= a o ，a 1 ，厶) ，n 2 = b o ，b h 一，b 。，是e n 中两个n 维单形，其体积分别为kv ，由n 1 的+ 1 个顶点a ，a 。：，a “+ 。所构成的 维子单形的体积为k ，由q 2 的顶点且；，最：，b i 。所构成的女维子单形的体 积为v m 1 ，则有 巩 m、 增砷( v 一( n 十l k ) v ；) c p ( 吣) ( y v 悖， ( 22 1 3 ) 一1v = 1 其m 蚶) _ m ( m 一( n + l - k ) ) ( ( 错崩熹) j r 。：嘲k + l ，当且仅当n 棚。 为正则单形时等号成立 在定理2 2 8 中令k = n 一1 ，可得推论2 2 2 ；令女= 1 可得 推论2 2 3 设中n 维单形n 1 和n 2 的体积分别为k ，棱长分别为 a i ，6 。( i = 1 ，2 ，暖+ 1 ) ，则 哟猢 ，) ( 熹) ；c 州 。a 等号成立当且仅当n 1 ，f b 均为正则单形 定理2 2 9 7 4 1 条件同定理2 2 8 ，若0 0s1 ，则有 k ) ( 矿儡) 一m + l 一) y 儡) ) 妒( n ， ，口) ( 矿) 警， ( 2 卫1 5 ) i = 1 j = l 其中咖，啪) ：m 沪( 州叫) “害淹篙) i ) k o ，m ：诺托当且仅当毗q 。 为正则单形时等号成立 n e u b e r g - p e d o e 不等式在两个单形中的推广还有许多结果，在此不一一陈述 对于多个单形，也有类似结论， 定理2 2 1 0 1 6 3 设e n 中n 维单形n 。= a 护，a p l ， 妒) ( m = 1 ，2 ，n ) 的棱长为p i j ( 05i ，j n ) ，体积分别为y ( ，q 。的诸顶点的c a y l e y m e n g e r 阵为 a m = + 2 ) ( n + 2 吁 咚吼 霹 咯 、l，。，。 2 0 0 5 上海大学硬学位论文ij 令五m = ( p 垆) 。其中p ”( r e = ( 成? 2 + 嘏归一俄( j r n ) 2 ) 又设一元实系数多项式 ，( 钆强尚) = d e t ( g 。厶) ， 则有 ，n、i 2 ，n ( 1 ，1 ，1 ) ( n f ) 3f y ( m ) ( 2 2 1 6 ) 其中f n ( i l ，地，- - ，i n ) 为f ( x l ，2 2 2 ，z 。) 中关于z 扎，z 括的系 ( k = 1 ，2 ，n ) 为非负整数，其等号成立当且仅当n 个单形q 。两两相似 定理2 2 1 1 1 7 5 设口2 中n 维单形= a o j ，a l j ，a ) 的体积为巧，侧面 积为& j ( 0 t n ；1 j m ) ，吼，如，一，为正实数且8 1 + 如+ - - + 0 m = 1 ，则有 垂c 驷岫鑫亟学帮( 害) i ( 亟垆) “亿z f 1t = 0k 0 ，= 1 、。 、7 ，= 1， 等号成立当且仅当噙( 1 i m ) 均为正则单形 定理2 2 1 2 1 7 5 条件同定理2 2 1 1 ，且设由顶点集中的 + 1 个顶点所构成的 维子单形的体积为k j ，则有 n ! 畿：g “k + lmm l - i ( 喵( j ) 2 如一+ 】一砷嵋& ) 妒h 自) ( 垆) 掣 瑚) 其中妒( n ，) 的意义同定理2 2 8 ，等号成立当且仅当n i ( i = 1 ，2 ，m ) 为正则单形 2 3单形的几何不等式与极值问题 2 3 1 关于单形体积的优化不等式 单形体积的几何不等式是关于单形的棱长、体积与侧面面积等之间的关系式 定理2 3 1 1 f 2 8 ( v e u a n k o r e h m j r o s 不等式) 俨中n 维单形n 的体积y 与诸棱 长a i j = i & a 3 1 ( 0 i ，n ) 之间有不等式 y 刍( 字) 5 。曩。旁 亿。工， 当且仅当q 为正则单形时等号成立 定理231 2 7 7 设九( i = 0 ，1 ，一，n ) 是正实数，则e “中n 维单形n 的体积v 与侧面积只之间有t - 等式 ( 妻k r 矗砰7 磊, 1 3 币n 妻矗b 砰y 。( n _ 1 ) ( 2 - 3 1 2 ) ( 萎”娶砰百面蚤，鳃社b 砰俨m _ 1 ( 2 3 。1 2 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 l 】 令a 。= ( p ：7 ) ，其中p 垆= ；( 卢 ? 2 + p 譬净宵2 ) 又设一元实系数多项式 ，扛，x 2 ，一- - ，z 。) = d e ( z m l 。】， m = i 则有 一 ( 1 ，l ，。1 ) 2 ( 州j 3 f y (22 1 6 j 、i m = 1 其中厶( t 1 ，赴，一，z 。) 为，( z 1 ，。2 ，一：z 。) 中关于。 ，磬的系= 1 ，2 ，。n ) 为非负整数，其等号成立当且仅当n 个单形n m 两两相似 定理2 2 1 1 【75 设e “中n 维单形= a o j ，且1 j ，a n j ， 的体积为k ，侧面 积为s ”( o t 曼q 1 曼j 曼r n ) ，日1 ，如，8 m 为正实数且日l + 0 2 + + f 1 ，则有 等号成立当且仅当n 。( 1 i 曼m ) 均为正则单形 定理22 1 2 7 5 条件同定理旦兽1 1 ，且设由顶点集中的七+ 1 个顶点所构成的七 维子单彤的体积为k ，( k ) ，则有 f i ( 掣。虮小+ l _ 砷譬h ”k 孙黼) ( f i 哆) 掣( 2 2 1 8 】( 嘿k ) ) 2 虮坼+ l 一) k ( k ) ( i i 哆) 。 ( 22 1 8 ) 1 = 1 2 lj 2j j 2 1 其中咿( n ，七) 的意义同定理22 8 ，等号成立当且仅当n ，“= 1 ，2 ，一，m ) 为正则单彤 2 3单形的几何不等式与极值问题 23 1 关于单形体积的优化不等式 单形体积的儿何不等式是关于单形的檀长、体积与侧面面积等之间的关系式 定理2 3 1 2 8 ( v c l j a n - k o r c h m d r o s 不等式) 口中n 维单形q 的体积v 与诸棱 长。 = i a 。a j i ( o 曼i 冬n ) 之间有不等式 v 曼刍( 等) i 。娶。乒 ( 2 3 “， 当且仅当n 为正则单形时等号成立 定理2 31 2 嘲设 攀= 0 ，1 ，n ) 是正实数，则酽中n 维单形q 的体积v 与侧面积r 之间有不等式 与侧面积r 之问有不等式 ( 妻n 】n h 2 亲妻血砰矿。( 竹叫 ( 2 3 ，l - 2 ) ( i = 0 “珏t 斋善，5 ；，砰俨旷” 临3 1 1 2 1 = 0 、7 t o uj 2 u 1 丑。钙 哆 m 闻 n ，案料 警 m 阍。 蹄 。 m 一 2 0 0 5 上海大学硬学位论文ij 令五m = ( p 垆) 。其中p ”( r e = ( 成? 2 + 嘏归一俄( j r n ) 2 ) 又设一元实系数多项式 ，( 钆强尚) = d e t ( g 。厶) ， 则有 ，n、i 2 ，n ( 1 ，1 ，1 ) ( n f ) 3f y ( m ) ( 2 2 1 6 ) 其中f n ( i l ，地，- - ，i n ) 为f ( x l ，2 2 2 ，z 。) 中关于z 扎，z 括的系 ( k = 1 ，2 ，n ) 为非负整数，其等号成立当且仅当n 个单形q 。两两相似 定理2 2 1 1 1 7 5 设口2 中n 维单形= a o j ，a l j ，a ) 的体积为巧，侧面 积为& j ( 0 t n ；1 j m ) ，吼，如，一，为正实数且8 1 + 如+ - - + 0 m = 1 ，则有 垂c 驷岫鑫亟学帮( 害) i ( 亟垆) “亿z f 1t = 0k 0 ，= 1 、。 、7 ，= 1， 等号成立当且仅当噙( 1 i m ) 均为正则单形 定理2 2 1 2 1 7 5 条件同定理2 2 1 1 ，且设由顶点集中的 + 1 个顶点所构成的 维子单形的体积为k j ，则有 n ! 畿：g “k + lmm l - i ( 喵( j ) 2 如一+ 】一砷嵋& ) 妒h 自) ( 垆) 掣 瑚) 其中妒( n ，) 的意义同定理2 2 8 ，等号成立当且仅当n i ( i = 1 ，2 ，m ) 为正则单形 2 3单形的几何不等式与极值问题 2 3 1 关于单形体积的优化不等式 单形体积的几何不等式是关于单形的棱长、体积与侧面面积等之间的关系式 定理2 3 1 1 f 2 8 ( v e u a n k o r e h m j r o s 不等式) 俨中n 维单形n 的体积y 与诸棱 长a i j = i & a 3 1 ( 0 i ，n ) 之间有不等式 y 刍( 字) 5 。曩。旁 亿。工， 当且仅当q 为正则单形时等号成立 定理231 2 7 7 设九( i = 0 ，1 ，一，n ) 是正实数，则e “中n 维单形n 的体积v 与侧面积只之间有t - 等式 ( 妻k r 矗砰7 磊, 1 3 币n 妻矗b 砰y 。( n _ 1 ) ( 2 - 3 1 2 ) ( 萎”娶砰百面蚤，鳃社b 砰俨m _ 1 ( 2 3 。1 2 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 2 当n 为正则单形且 o = a 1 = h 时等号成立 定理23 1 ，3 3 7 条件同上，则对于0 a 兰1 ，有 f 厶砰n 卜( 。+ 1 ) 卜1 ) ( 一) k = 0 f 2 3 13 其中等号当且仅当n 为正则单形且 o = a 1 一= 。时成立 定理2 3 1 4 1 3 7 设最( i = 0 ，1 ，n ) 是e ”中n 维单形n 的侧面积，对0 osl 记九= f “( 劈+ 矸+ + 器一2 矸) ，则 i i ，( n + i ) ( n 1 ) 8 i = 0i = o ；j 士 等号成立当且仅当f 0 f 1 一昂 ( 2 3 1 4 ) 由定理2 3 ，1 3 和定理2 3 1 ，4 可推出 定理23 1 5 3 7 设e “中n 维单形n 的体积与侧面积分别为k 丑( 2 = 0 ，1 ，n ) m 1 j 当0 2 ) 中单形q 的侧面 面积和棱长，其体积为v ，则 ( 亟丑) “茄v ( n + 1 ) ( n - 2 ) 。l 。蠢江。均， 其中等号当且仅当n 为正则单形时成立；当n = 2 时，上式为恒等式 郭曙光给出了单形中面的定义以及单形体积与单形中面体积的关系式， 定义2 - 3 1 1 1 8 设尬j ( 0 。 jsn ) 是单形q = a o ，a i ，a n 的边a ：a j 的中点，则称n 一1 维单形n 叼= 毗j ，a o ， 1a i + l ，如咄a j + i ，a n ) 为 单形n 的边a a j 上的中面 定理2 3 1 8 【1 8 1 设us l j 分剐为n 维单形n 及其中面的体积，则 y 曼：( 希) 一。要。旁( 2 3 1 1 0 ， 其中等号成立当且仅当n 为正则单形 李小燕，何斌吾和冷岗松教授【3 8 1 利用拉姆代数的方法获得了单形中面面积的 解析表达式，建立t t y t 四个重要的几何不等式 定理2 3 19 设( 0 i j n ) 是单形n 的二面角的角平分面的面积， 是中面n ，的面积，则 只，冠， ( 2 3 1 1 1 ) 等号成立当且仅当局f 1一r 定理2 3 1 1 0 设只是单形n 的n 一1 维面n t 的面积， 假设f 02 。m 9 a g x，r2 罐嘎只，则 。邑。器s 掣掣 0 9 ( j ! n j 当n 是正则单彤时等号成立 或j 是中面n 玎的面积 ( 2 3 1 1 2 ) 定理2 3 11 1 设q = a o ，a 1 ， 走n 堆早彬，o 订3 娥j q ，“疋5 叼丌 径，m 。是对顶点a t 的中线长，则 。邑。焉s 劳( 。；巍。妒1 ； 一。薹。碍誊浠倒州) ；( 2 3 1 1 3 ， 。蓦。蜀上4n1 2 ( n + 1 ) 2 ( n - 2 ) i = 0m ；一 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文1 4 当q 是正则单形时等号成立， 定理2311 2 设e ”中n 维单形q 的侧面积为只，棱长为a i j ( o j ，j n ) ，有 当且仅当式正则单形是等号成立 2 3 2单形重心、内心、外心的极值优化与不等式 定义2 3 2 1 若e ”中n 维单形q = a o ，a 1 ，如) 内一点g ，它与各顶点 的连线段将单形n 的体积v 分成等体积的n + 1 部分，即n + 1 个n 维单形 o ，一a 1 ，g ，a 件1 ，a 。) ( t = 0 ，1 ，n ) 的体积k 均相等，则称点g 为单形n 的重心若a 。g 的延长线交a 所对的侧面 于g 。则称心q 为n 的中线 由定义2 3 2 1 可知，单形的重心与三角形的重心有类似的性质，如 k = i 击v ；1 a a ，l = i 击i a e “= o ，1 ，- - ，礼) ( 2 3 2 1 ) 定理2 3 ，2 i 4 9 设g 是e “中体积为v 的n 维单形n 的重心，n 一1 维侧面 的体积为& 0 = 0 ，1 ，- ，n ) ，则 ；j g a ；n ( 1 + n ) 一i ( n ! y ) ； ( 2 3 22 ) ；n ( 1 + n ) 一i ( n ! y ) i ； ( 2 3 2 ) g a ；”糟( ，j - i - 1 ) 一1 ( ( n 一1 ) ! ) 击咿 ( 2 3 2 3 ) n n 0 等号成立当且仅当n 为正则单形 定理2 3 2 2 3 9 1 设g 是e “中体积为v 的n 维单形n 的重心，a i g 的延长线 交单形n 的外接超球s n 一1 于b ，( t = 0 ，1 ，一，n ) 设n 和叫= b o ，b 1 ，b n ) 的 体积分别为kv ，则 v 7 矿( 2 32 4 ) 等号成立当且仅当s ”1 的球心与g 重合 定理2 323 5 5 设e ”中n 维单形n = a o ，a h ，a n ) 的重心是g ，侧面，t 的重心为g ：，a 。g 的延长线交单形n 的外接超球一1 于a ”记j a 山l = 册，中线 1 a 。g 。l = m ，( ，j = 0 ，1 ，一，n ) ，则 静肌墨扣 仁3 卫s ) a ，爿i 磊备蛳 ( 2 2 5 ) 2 2 0 l = u 咯 血吲 蜓 器m 瓦 呼 。：i 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文1 5 。l a i a j i2 高瓮。邑。例 皿。删 薹na 卵；鬲4 。! 蓦! 。商= 赫耋m 7 ( 。- 。z ，) 其中俾3 2 纠和佃3 2 砂式等号成立当且仅当n 的重心口- b 外心0 重合俾32 式等号成立当且仅当n 正则 推论2 3 2 1 条件同定理