（应用数学专业论文）关于无穷级数求和的研究.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 关于无穷级数求和的问题很多学者对一些特定题目给出了些有针对性的解决方法。 而b a r tb r a d e n 借鉴了交错级数的余式误差界及无穷级数求和的估算特点，给出了一个新 的方法。 本文是b a r tb r a d e n 提出的无穷级数求和方法的进一步发展，利用判别正项级数敛散 性的拉阿伯法、柯西法和库麦尔法推导出级数的误差界对，给出解决正项级数求和问题的 一般方法，并举例说明其应用。 关键词：无穷级数；求和；级数敛散判别法；余式误差界； 第1 i 页 武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t m o s tc a l c u l u st e x t b o o k sl e a v et h ei m p r e s s i o nt h a tt h ec o n v e r g e n c eo rd i v e r g e n c eo fm a n y i n f i n i t e s e r i e s 丞1 c a l lb ed e c i d e db ya p p e a l i n gt oa p p r o p r i a t et e s t s ，b u te x c e p ti ns p e c i a l c a s e si ti sd i f f i c u l tt oc a l c u l a t et h es u mw i t hp r e c i s i o n ，w h e nt h es e r i e sc o n v e r g e s l e i b n i z sa l t e r n a t i n gs e r i e st e s tp r o v i d e sat r u n c a t i o ne r r o rb o u n di s j 刀i 口，2 + 1 f o ra d e c r e a s i n ga l t e r n a t i n gs e r i e s s u c ha ne r r o rb o u n dy i e l d sa ne f f e c t i v em e t h o do fc a l c u l a t i n gt h e s u mo ft h es e r i e sw i t hag i v e n p r e c i s i o n o u rp u r p o s ei nt h i sn o t ei st os h o wt h ep r o o f su s e dt os h o wc o n v e r g e n c eo f p o s i t i v es e r i e s c a nb ee x t e n d e dt og i v et r u n c a t i o ne r r o rb o u n d sa n dw ec a nu s et h em e t h o d st oc a l c u l a t et h e s u m so faf e wi n f i n i t es e r i e s k e yw o r d s ：i n f i n i t es e r i e s ；c a l c u l a t es u m s ；c o n v e r g e n c eo fs e r i e s ；t r u n c a t i o ne r r o rb o u n d ； 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进 行研究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共 同完成的工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名： 猃穆日期：理车! ：垫 研究生学位论文版权使用授权书 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它 单位的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论 文的规定，同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研 究生学位论文收录工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本， 允许论文被查阅和借阅，同意学校将本论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索。 论文作者签名： 弛矛： 指导教师签名：墨幺蒸 日 期：鲤：丝 武汉科技大学硕士学位论文 第1 页 1 1 综述 第一章绪论 近代微积分的酝酿，主要是在1 7 世纪上半叶这半个世纪。这个时期标志着文艺复兴以 来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破阶段，这种综合与突 破所面临的数学困难，使微积分的基本问题空前的成为人们关注的焦点。在这个时间，几 乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是描述运动与变化的无限小算法，并在 相当短时期内，取得了迅速的发展。开普勒、卡瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等 人作出了具有代表性的工作。牛顿和莱布尼兹以足够的敏锐和能力认识到微分和积分的互 逆关系，在微积分的真正创立上作出了伟大贡献。 在1 8 世纪，微积分进一步深入发展并和广泛的应用紧密交织在一起。其中它的发展与 无穷级数的研究密不可分。牛顿在他的流数理论中自由运用无穷级数，他凭籍二项式定理 得到了许多函数的级数。泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法。在1 8 世纪， 各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中代表函数成为微积分的有力工具。其 中，雅各布伯努利撰写了一系列无穷级数的论文，使他成为当时这一领域的权威。这一 时期，一方面，微积分不断取得各种显著的成就，得到各种更强有力的应用；另一方面， 在某些领域，数学家们由于滥用微积分而得到很多荒谬的结论。这种荒谬性突出的表现在 无穷级数的使用上。以二项式的负指数幂的无穷展开为例。牛顿在研究积分问题时得到了 1 一般的二项式展开定理。根据这一定理，我们有去= ( 1 + x 2 ) = 1 一x 2 + x 4 一x 6 + p 。 l + z 用x 代替上式中的工2 即得一= ( 1 + x ) = 1 一x + x 2 一工3 + x 4 。在上式中，令x = 1 ，得 l + x 1 = l l + 1 一l + 卜。为简便起见，我们把这式子称为f 。如果我们对f 右边使用结合律， 2 1 显然会有( 1 一1 ) + ( 1 一1 ) + ( 1 一1 ) + = 0 。对比这连个式子我们将得到i 1 = 0 ，这显然是荒谬的。 z 但是问题并没有到此结束。我们对，右边换一种结合方式，比如 1 l 一( 1 1 ) 一( 1 1 ) 一( 1 一1 ) 一1 ，我们又得到二= 0 = l 。如此可以一直进行下去。事实上， 2 如果我们对f 右边是用所有类型的交换律和结合律，我们将得到所有的整数；也就是说， 1 二和所有的整数都相同! 上面的结果已经够让人惊讶了，但是还有更加令人不可思议的现 2 1 象存在，如果我们在二的表达式中令x = 一2 ，将有一1 = l + 2 + 4 + 8 + 1 6 + 。这就是说， l + x 无穷多个正数的和竟然是一个负数。这些悖论刺激了人们对无穷级数收敛性的思考。1 8 世 纪先后出现了一些级数收敛判别法则。莱布尼兹变号级数收敛定理；达朗贝尔级数绝对收 敛判别法，等等。这些说明1 8 世纪的数学家已开始注意到无穷级数的收敛问题，尽管对 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 这一问题真正严格的处理要等到1 9 世纪。柯西对无穷级数进行了严格化的处理，明确定 义了级数的收敛性，并研究了级数收敛的判别条件。 1 2 研究现状 关于无穷级数求和的问题很多学者产生了浓厚的兴趣，给出了一些对具体题目有针对 性的解决方法，比如利用级数的和的定义法、逐项微分积分法、函数幂级数展开式以及傅 立叶级数展开式等方法。但是大部分方法是根据具体题目本身的各自特点的特殊解法，对 于一般收敛级数求和的普遍方法却很少有人提及，寻求一个在求和上更具规律性的方法 也一直是大家关注的焦点。而b a r tb r a d e n 借鉴了交错级数的余式误差界结合j 下项级数收 敛的判定准则和无穷级数求和的估算性特点，给出了解决此问题的新方法，并引导了众多 学者做进一步的探索。由此可见对于这个问题的研究空间还是很大的。 1 3 研究意义 无穷级数不仅是研究分析学的重要工具，同时在自然科学和工程技术中有许多问题也 可以由无穷级数来解决。这是因为，一方面有很多函数可以用无穷级数来表示；另一方面， 又能借助于无穷级数来研究函数逼近和近似计算等问题。所以无穷级数理论在理论或实际 应用中，都是研究函数的一种重要数学工具。要掌握这一工具无穷收敛级数求和的问题， 便成为一个基本又很重要的一个课题了。 1 4 本论文所作的工作 无穷级数求和和正项级数收敛一直以来都属于数学领域里重要的研究内容。本文将简 略介绍一些基本的无穷级数求和的方法，然后把判定正项级数收敛的定理及其交错级数余 式误差界的思路应用于正项无穷级数求和中去，着重推导正项收敛级数的求和的一般方法 和和的近似逼近求法，从而得出一些计算正项无穷级数求和的方法。 1 5 研究目标 探索正项无穷级数求和的新方法：将j 下项级数收敛的判定定理拉阿伯法、柯西法、库 麦尔法平行推广到正项无穷收敛级数求和上来。 1 6 本论文解决的关键问题 寻求正项无穷收敛级数的误差界对，用于估算该无穷级数的和。 1 7 本论文的创新之处 本文的创新之处在于利用正项级数收敛的判定定理和借鉴交错级数的余式误差界问 武汉科技大学硕士学位论文 第3 页 题，给出正项无穷级数的误差界对，从而给出解决正项无穷级数求和问题的一般方法。 1 8 本论文的研究方法 本文通过研究正项级数收敛的有关定理，参考交错级数余式的误差界的知识，给出正 项无穷级数的误差界对，从而将正项级数收敛的定理推广到计算正项无穷级数的和。 1 9 本论文的内容安排 根据本论文的主要内容，将论文分为四章： 第一章为绪论 第二章简要给出无穷级数求和预备知识和求和的一些常用方法 第三章主要研究正项无穷级数求和方法，并给出一些例子做进一步的说明 第四章综合以上分析，对所研究的问题做了一个简略的、不尽成熟的说明 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章无穷级数求和的常用方法 无穷级数求和作为一个微积分中的基本和重要的问题，从开始研究到现在已经积累了 很多丰富有效的方法以及许多重要的应用。一方面很多函数可以用无穷级数来表示；另一 方面，又能借助于无穷级数来研究函数逼近和近似计算等问题。在自然科学和工程技术中 有许多问题也可以由无穷级数来解决。 我在a m e r i c a nm a t h e m a t i c a lm o n t h l y 中看到b a r tb r a d e n 关于无穷级数求和的文章。 在此之前我也接触过无穷级数求和的一些方法，但是这篇文章给出了解决此类问题的新方 法：对大家熟悉的j 下项级数收敛的判定定理做出平行的推广来计算正项无穷级数的和，并 取得非常理想的成果。这样一个成功的推广方式激发了我浓厚的兴趣和做进一步探索的信 心。在这个问题的研究过程中我还参考了北京大学高等数学教研室翻译的菲赫会哥而茨编 写的微积分学教程等书籍文章，仔细揣摩余式误差界和相关的收敛定理以及无穷级数 求和本质上的估算性。 2 2 预备知识8 卜1 4 1 2 2 1 误差界对的定义 称递减序列对( 厶) ， ) ) 为级数的误差界对，其中：l i m l 。= 0 ，l i m u = 0 ，且 月- - 0 0一- - ) 0 0 当n 充分大时， s - & 虬。这样，s 属于 最+ 厶，鼠+ 虬 ，其区间长度一斗0 。 2 2 2 无穷级数收敛的定义 。无穷级数的前，z 项的和鼠，当n 趋向无穷大时，鼠的极限存在，就称级数是收敛的， 该极限称为级数的和。 2 3 正项级数收敛的几个重要判别法 2 3 1 积分判别法 对于级数n = 1 2 荟( 以) 的收敛或发散，决定于函数f ( z ) = 广厂( 工) 出，当x j 佃时， 是否有有穷的或无穷的极限( 其中函数厂( 石) 是当石= n 时，对工l 所确定的某一函数厂( z ) 的 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 值，假定此函数是连续的正的单调递减的函数) 。 2 3 2 比值判别法 对于级数巳，若：l i m a + - - - - ! - i = ， l ，则该级数收敛。 2 3 3 极限比较判别法 正项级数善和n = l 瓯，i 发。l i m 。a , , = ，( 。 三 1 时，该级数收敛。 ”+ 。 a n + l 若l i m = ，当， 1 时，该级数收敛。 n 对于级数主n = l 铂设为一正数数歹，l i m ( 巳等飞1 ) _ 跏测该级数燃 2 4 几种无穷级数求和的常用方法介绍 2 4 1 利用级数和的定义求和 根据无穷级数收敛定义，先求级数的部分和，然后再求出s 2 1 i m 。s n 。 例1 求y i - 一的和 鲁n ( n + 1 ) ( 以+ 2 ) 解乩= 而责而= 争志一志， 第6 页 武汉科技大学硕士学位论文 最= 三c c 击一击m 击一击卜+ c 志一赤刀 = - 【1 ( 两1 一赤) 】 l i m s = ! 姥圭c c 南一赢肛丢 解。百1 2 i 2 n - 1 2 n + l 2 n 一12 n + l 删一协一c t a n 尚 薹。a r c t a n 么三= 删a n 芒兰兰a n 嘉a n 熹 2 n 一12 n + 1 鼠= ( a r c t a n l a r c t a n ；) + ( a r c t a n 三一a r c t a n ；1 ) + + ( a r c t a n 五三一a r c t a n 丽1 ) = a 】一c t a n l 一一a r c t a i l l 一、= 一7 一锄c t a n 上 所以 s=妻arctan去=im鼠=一7n=l 2 n t l - - - ，o o 4 ：y三：l i ms 。：一 -2 月 2 4 2 将一般项写成某数列相邻项之差 对于常数项级数二。，若能将其一般项写成数列 k ) 的相邻两项之差： u 。= 圪+ l v o ( n ) 且极限l i m v 。= v , o 存在 ， 则 月 最= = ( v 2 一v 1 ) + ( v 3 一v 。) + + ( 心+ 一) = + 。一m 中间各项相互抵消掉了，于是有求和 k = l 和 。 的 一4 ，一铲 一气 知 一动 i 靠扣， 一斛 数 一以 级 。硝 求 以 2 rtq 所 例 武汉科技大学硕士学位论文 第7 页 公式s = l i m 最= 圪一k 。 n 例3 求级数v o ( i 互一2 x - n - 百+ i ) 之和 月= i 解由于其一般项 n = 厮一2 而+ 石= 瓜而一面】_ 历一石 令= 鬲一石，则 。屹+ i 一， v l = 瓜一圻= 压一打， 驴l i mv = l i m ( x n - 石一咖嬲忑素忑却，n _ n _ 月_ ，h 上l 上 ， 于是得 妻( 石石一2 , j 7 7 1 + 石) ：比一h = o 一( 压一1 ) = 1 一压。 n = l 用这一方法求无穷级数的和，需要解决：已知二。，如何求圪。当 = 瓦去其中数b g ( i = l , 2 - ) 形成公差为 d的等差数列时， 则 圪：一一1 _ _ j _ ( m 为待定因子) 。 m d 吃吃+ l 吃+ 。一l 。 2 4 3 转换为代数方程再求解 即利用四则运算等将所给级数转化为s ( x ) 代数方程，再求解。 例4 级数础2 ”的和函数。 n = l 解 收敛半径尺：l 。，i mi 兰l l - 1 。口肿1 又x = 1 时，级数珊2 “发散，所以级数收敛域为( - 1 ，1 ) 第8 页 武汉科技大学硕士学位论文 设船拍= s ( 石) n = l s ( x ) = z 2 + 2 x 4 + 3 x 6 + n x 2 ”+ x 2 s ( x ) = x 4 + 2 x 6 + 3 x 8 + ( 以一1 ) x 2 ”+ ( 1 - x 2 ) = 石2 + z 4 + x 6 + 一再x 2 。似功= 南( 圳 2 4 4 利用逐项微分或逐项积分求解 即把欲求和的级数看作另一个容易求和级数的逐项微分或逐项积分。 例5 级数 ) 2 善1 丽豪面的和函数。n = 。、， 解 收敛区间为 一l ，1 】 s k ) = 抄n = l l = 击 s 。( z ) = f s 。( z ) d r = - 1 n ( 1 - x ) s ( x ) = r s ( x ) d x = ( 1 - 石) i n ( 1 - x ) + x ( x ) ：1 - x i n ( 1 一工) + 1 工卜1 ，o u o ，1 x 当x = 0 时，f ( x 1 = 0 。 例6 级数妻n = l 咖州的和函数，并求喜竽。 解 收敛区间为( 一1 ，1 ) 一d “ 一十 ，一。脚 ： 、气。 n 、， 1 一 。硝 呵 k = 功 以 令 所 武汉科技大学硕士学位论文第9 页 扣删儿工n = l 邶广1 叫p ) - - 石c 岳) 南 令x ：一1 ，则 2 州专=蔫嘶删去=争南，r1n=l 1 = 4 二 二n = l 二l 一 ，l 二 例7 求幂级数善( 一1 ) ”1x - ，z 2 在区f s j ( 一1 ，1 内的和函数。 解 容易求得幂级数( 一1 ) ”1 三的收敛区间为( - 1 ，1 】 一 篇 ，l 设s ( z ) = 喜( 卅”1 鲁= 工一手+ 手+ - + ( 一矿x 疗l + ( - 1 x 1 ) 由于s | ( x ) = i - x + x 2 + + ( 一1 ) ”1 x n _ 1 + = _ 二一 ( 一1 x 1 ) 1 l + 工 因此s ( 石) = s v ) 饥= f r l 一班= l n ( 1 + 工) ( 一1 工1 ) 由于幂级数在收敛区间上是连续的，所以上式对x = i 也成立，即 善( _ 1 广1 音一n ( 1 + 力 ( - 1q 引) 2 4 5 代入法 利用凼致网幂缴敌展升瓦以及傅豆叶缴皴展升式，把收敛区1 日j 内的数代八展升式甲， 从而可求出一些数项级数的和。 例8 求级数妻n = l 多的和。 解因为喜船”i = 石i x l = 1 钆= 三确融川2 专叫 1 于是，z ( 击) = 寺4 = 2 n = l 厶厶 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 例9 求级数产生g l 二的和。 = 聆 解 将厂( 功= z 2 在卜万，刀 上展开傅里叶级数有： 如手一4 喜学c o s 胝c 一， 令删，得芋= 4 善o d 学 从而喜竽= 吾 2 4 6 利用解微分方程求和 先找出要求和的级数所满足的微分方程( 或微分方程组) 以及初始条件，然后解这个 微分方程( 或微分方程组) 。 ，h 例l o 求无穷级数y 之的和 磊疗! 解 易知该幂级数的收敛r = + o o 故在( 嘲，佃) 内技术处处收敛，且可逐项求导，令 薹鲁= s ( x ) ( 硼，佃) 又善o o 南n 叫功 当x = 0 时，s ( x 1 = 1 ， 解一阶微分方程 霎离双功 得鼬愚。，即薹吾副( 砌，佃)月2 u 例1 1 求下列无穷级数的和 扣，”羔v - r ；1疗= 0 ：扣广1 高 n = 0，一1 ，： 解易知级数( 1 ) ，( 2 ) 的收敛半径均为佃，当 z 悯时，令 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 少= ( 0 0 n = o _ 1 ) ”赢厶，： 2 丢卜1 ) ”南n - i z j 止萎( 矿1 面x 3 n 面- 2 = y 3 l y i ，o = 1z l ，：o = 0 解微分方程组f 三! 三三，z 。，：。 z = 丢o o ( 矿1 面x 3 n 面- i一= o厶，1 ，； ( 1 ) ( 2 ) 为此，对( 1 ) 式关于石再求导，得y ”= 一z _ 一y 又当x = 0 时，y = 1 ，y i _ 一z = 0 这样，微分方程组( 1 ) ( 2 ) 就转换为二阶常系数齐次微分方程 i y ”+ j ，= 0 【y ( o ) = l ，y f ( o ) = 0 解zy = c o s x ，从而z = - y = s i n x ，即当一c o x + 时， 有c o n = o ( 州”赢= c o s x ，二，：z = 善o o ( 矿1 面x 3 n 面- i “n x 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 第三章正项无穷级数求和的方法研究 很多书对无穷级数是否收敛给出了一些判定方法，但是，除了在一些特殊情形下，很 难精确计算出无穷级数的和。而余式误差界is 一瓯i 则在给定精确度的情况下提供了一 个估算无穷级数和的有效方法：仅仅计算鼠，当1 1 充分大时，能保证is 一鼠i 在给定误 差限度内给出s 的估算值。本章主要内容就是把过去常用作判定正项级数收敛的那些定理 推广，从而给出无穷级数和的估算值。 3 1 已有结论n 1 3 1 1 积分法 若级数妻n = 1 可由积分判别法证明收敛，l = f ( x ) 出则：( l + - ) ，以) ) 为级数艺n = 1 明误差界对。 证令a 。= f ( n ) ，f ( x ) 为正连续递减函数，得 lf l x ) d x ff b ) d x s n 令b n = s n ff b ) d x ，c n = s n l 八x ) d x ，得 0 吃 巳 因为可证 巳) 为递减的，所以 c n + 1 - - 巳= 口。+ 。一r ”厂( x ) d x o 。 又因为 ) 与 r 厂( x ) 出) 其中有一个收敛，则另一个也收敛，且以= s i ( 其中 j = f 几) 出) 。 同理，也) 递增，又因为 o 厶。 再令厶收敛，! i + r e 。s = 0 。则得 s s n = s i + i if b ) d x + f f ( x ) d x s n 2 y f + l 。一c n = 厶一( q 一以) o 。命题得证。 3 1 2 极限比较法 设! 魄专2 ，( o 三 ) ，( ) 、 u ) ) 为级数善屯的误差界对。则： 1 ) 若 ) 递减至极限，则( 地) 、 每“) ) 为级数喜的误差界对。 2 ) 若 专) 递增，则( 毒厶) 、 l u ) ) 为其误差界对。 证1 ) 由已知： 对v ，z ，令色2 瓦a n u ，有 且递减至l ，所以 厶 锄反 ni , tk q 鼎。 七 ” o i，：、，一7 ，： 同理：s - s 三弛。 量 ” 2 ) 同理可证。 第1 4 页 武汉科技大学硕士学位论文 3 1 3 比值法 若l i ma + l = r ，z 时递增，则( 4 ) ， 最) ) 为级数艺的误差界对。 ” ”篙。“ 证 1 ) 当n 充分大时，则对v 尼 刀，纽：p l 且盟 p ，得 a na k 进一步得 a n + l2p a n ，a 肿2 ，得 嚷 迸一步得 2 ) 同理可证。 3 2 主要结论 3 2 1 拉阿伯法 以n + l ， 口n + 2 厂2 口月，口n + 3 ，3 口n ， s 一氐 a n ，哦。 ! g ：。l i m ，。以( 。g n 1 ) = 厂，( ， l ，为常数) ，当n 充分大时，翘( a n 1 ) l 。则： ”+ 。口肘l a 月+ l 一 1 ) 若 露( l 1 ) 递减至极限， a k + 1 当东 刀时，级数( i n 的误差界对为： 月= l ( 邋 ， n a n ) ，( 取l + 盯 以时，级数艺的误差界对 为：( 一n 以。) ，n a n ) ，( 取l + 仃 ，。取 1 + 盯 厂，仃为正数，可证明 所以 进一步得 百a n + l a ( 者n - i - ) l + 4 ， n i - ( 斋) i + 飞+ 2 ( 兰- i - ) i + 、+ l ( 毫) i + 飞，甩+ l以zn+z s 一鼠5 酗 ( 斋) l + 、+ ( 亳) l + 、+ ( 者旷一 钏“而斋+ 而斋+ 而斋+ ) 记而斋+ 而斋+ 而嘉+ ) 为( 钒记而+ 而+ 而+ “。) 为木) 得： 代入( 木) 式得 其为主n = l 七n 的和的余式部分。由积分法可 s 一 ( ，l + 1 ) ( 旦丛一1 ) ， 第1 6 页武汉科技大学硕士学位论文 黑=圭兰()z，anan+2 a n + i a n a n + 3 ( 圭) ， 而2 鬲而鬲鬲k 。 所以 弘最2 酗 寿鸲( 寿) 2 + 姒鬲n ) 3 + 由( 1 ) 和( 2 ) 命题得证。 2 ) 同理可证明。 3 2 2 柯西法 鸹喜( 寿卜等= 瓦a n a n + l 若熄加黼“m 鼽坼西f n + l m 毒删： 1 ) 当 厄 递减时，级数主的误差界对为：( 以) ， 色) ) ： 订= i 2 ) 当 佤) 递增时，级数a o 吒的误差界对为：( 色) ， 以) ) 。 证 1 ) 一方面，当n 充分大时，由 佤) 递减至r ，可得 那么 a 月+ l 厂”+ l ， 弘鼠2 酗”、，+ 2 + 一= ，”f2 苦n + l p 另一方面，设i = p ，则 得 口n2 p ”，a n + i o ，令4 = ! ( 乞吒一口) ，色= 竿 4 4 。 a n + lp 庀 ( 其中p = c l 墨一乞，口= l i m c a ) a n ”- ” 则： 1 ) 若 q l 一巳+ ) 递减至极限七，级数o o 吒的误差界对为( 以) ， e ) ： a 肿i石 2 ) 若k a n巳+ ) 递增至极限七，级数艺的误差界对为( 鼠 ， 4 ) ) 。 a 斛l石 证 1 ) 若以a n c n + 。) 递减至j i ，当n 充分大时，有q 旦一巳+ 。 | i ，即 a 月+ 1a n + 1 将上面各式相加得： c a n q + l a n + i k a 斛l 0 ， c n + l a 斛l c n + 2 a 肿2 k 。a 肿2 0 ， 巳+ 2 a 月+ 2 一c n + 3 a 肿3 尼a 肿3 0 ， q 吒- c 。a m 七( m - 争o o ) 又因为c a 。- c + 。吒+ 。 0 ，所以 c a 。) 为正的单调递减，有一有穷极限。不妨设 l i mc 。口。= 口，得 m - q o o 。萎耶扣。邓小竿 另一方面，设巳一。a n - 1 一巳= p ，得 a ” 将上面各式相加得 c n a 月一巳+ i a 肘i p a 斛l 巳+ f a n + 1 一巳+ 2 a h + 2 n 口口 ! p ( 巳口。一口。) = p ( c n a n - - a ) ( 6 ) 由( 5 ) 和( 6 ) 命题得证。 2 ) 同理可证。 我们知道在判断正项级数收敛的方法里，库麦尔判别法为一些具体判别法的普遍公 式。同样，在计算级数和的时候，它也有同样的意义。例如：取q = o 时，l i m 。( c 旦一巳+ 。) = 坚婴( 旦一1 ) = k o ，其等价于比值法：取巳= n ”+ 。 a l”。a l ” 时，l i m ( c ! l c n + 。) ：l i m ，z ( l 1 ) 一1 】：k o 其等价于拉阿伯法。 ”。 a 肿i ”+ 。 a i 3 3 举例说明相关定理的应用 例1求级数y 的和使其误差小于1 0 - 4 。 n = 一2 n i n 3n 解 由积分判别法：l = j c o j 出= 毛，要使盐2 = 而i 一而1 而 1 。4 即 n 1 5 6 。故 s 属于 s 5 6 + 厶5 6 ，s 5 6 + u 1 5 6 】 ，区间中点 22 m 1 5 6 = 薹丽4 + 擎：8 2 6 3 5 4 6 4 9 1 8 与s 的误差j 、于1 0 一。 例2 解 估算级数苹砉的和，使其误差小于l 。 由积分判别法，l = f 当出= i i 要使量二k ：l l o 。 2 2 n ( n + 1 ) l1 即刀7 t ，m ，。= 善三 + 三7 互1 二乒7 1 + 1 = 6 4 4 9 3 5 。 武汉科技大学硕士学位论文第1 9 页 ，我们知道此级数的和精确值为：孝( 2 ) = 譬 可验证我们的结果：孝( 2 ) = 1 6 4 4 9 3 4 善( 2 ) 属于【岛。+ 厶；，s ，+ ，】。 例3 求主n = l2 ”s i n 上3 n 的误差界对，使级数和的误差小于l 。 1 解设吼= 2 n ；，玩= c 詈n 那么瓣毒= 熙s i n - - = ，且 递减至极限 3 ” 纠。由积删撇硼砉吃憾且厶：f 。争出：鱼l n 3 - 1 n 2 ，所以级数喜饥的误差界 魄c t 墨川墨m 龇一得c 邕篆岫畸对为：( 忐) ，志) 。由比值法易得盎) 、1 鬲二斋) ) 为级数善 的误差界对。要使丁g - l ：三。纛一墨h n 阢物。可得 蚝：p 2 1i n 舶慧1 + 禽h 嘶7 4 6 7 与s 的蒯一s 。 例4 求级数。：4 j n 2n 的误差界对。 n = 一j 解 铲差，6 n = 专2 万j 钆2 万 溉蚤2 溉i n 2 n - 3 2 1 ( 毒) 为递减至= 1 )忡。玩胂m 2 ” 由积分判别法可知艺n = l 吃收敛，得l = f l ，7 3 出= 忑2 级数艺n = l 瓯的误差界对为丽2) ， 寿) 。 4 = 眦雠“暗) 、 毒咖沩溅扣对。 例5 估算艺n = l ，z ( 三) ”l ，使误差小于l 。巧。 解 ( 川) ( 争 l n + 1 1 一 2 n 。l i m a n + - - - - - l = 。l i mn 2 拧+ _ _ 旦1 = 三 l ， 等) 递减至极限严= 圭 l 。由极限比较法得 2 裁，或= 畦广1 。要使丁a , , - b 2 2 。所以 甩哇广1 + 三1 ，( 糌+ 2 2 ( 争2 1 ) 2 3 。9 9 9 9 9 9 9 5 4 5 9 与s 的误差小于l 。巧。 例6 估算级数童芒的和，使误差 l o 巧。 鲁n ! 。 解 ! 盟：兰县，其递减至极限，：0 堕二! 坚! 二型。 ( 6 门一1 ) ( 2 n 一2 ) ! ! 勉硝 = 盟 m 武汉科技大学硕士学位论文 第2 1 页 解 因为卿万- o l ，且( 鼯) 黼由柯西法胁p 。 另 一 方面， s 一最 孑毒 。要 使 丁- - a n 1 。_ 5 ，即 丹6 。 饩= 善6c + 志一啪6 8 6 3 9 。 第2 2 页 武汉科技大学硕士学位论文 第四章结论与展望 通过本文第一章到第三章的研究，我们对无穷级数求和的问题有了一定的了解。其主 要研究了以下几个问题。 ( 1 ) 微积分进一步深入发展并和广泛的应用紧密交织在一起。其中它的发展与无穷 级数收敛与否的研究密不可分。很多学者给出了些对具体题目有针对性的解决方法。本 文在g a r tb r a d e n 方法的基础上作了进一步关于正项级数求和的研究。 ( 2 ) 本文对于能用拉阿伯法，库麦尔法和柯西法判定的f 项级数，推导出相应的误差 界对，进行级数求和的有效估算，并举例说明其应用。 虽然本文对上述问题做了一些探讨，但还只是一个很小的部分，真正的研究还很丰富， 有很多问题还需要我们花大量的精力去研究。 武汉科技大学硕士学位论文第2 3 页 参考文献 1 b a r tb r a d e n c a l c u l a t i n gs u m so fi n f i n i t es e r i e s j a m e r m a t h m o n t h l y , 19 9 2 ， 9 9 ( 7 ) ：6 4 9 6 5 5 2 r p b o a s p a r t i a ls u m so fi n f i n i t es e r i e s ，a n dh o wt h e yg r o w j a m e r m a t h m o