（应用数学专业论文）一类非线性色散波方程的边界控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了一类非线性色散波方程的边界控制问题和在 满足一定的边界条件下满足指数稳定估计。边界控制是分布参数 受控形式的一种，它一直受到控制理论界的重视而得到不断深入 地研究和发展。近几年来，有关b u r g e r s 方程、k d v 方程、 k d v b 方程以及k s 方程边界控制方面的研究已取得了很多成果。 本文研究了一类非线性色散波方程：粘性f o r n b e r g w h i t h a m 方程、粘性广义c a m a s s a h o l m 方程和修正的粘性b 族方程。 f o r n b e r g w h i t h a m 方程是不可积的，它的扭波解和反扭波解最近 被研究。c a m a s s a 和h o l m 利用哈密顿方法获得了一类新型色散波 方程，叫c a m a s s a h o l m 方程( 简称c h 方程) ，它具有双哈密顿结构 和无穷多守恒量，是完全可积的。b 族方程是一类方程，如当b = 2 时，它便是c a m a s s a h o l m 方程。 本文主要研究了上述三个方程的边界控制问题。首先，运用 伽辽金方法证明了这三个方程在一个很短的时间区域内弱解的存 在性和唯一性。其次，利用泛函分析、能量积分、偏微分方程理 论以及s o b o l e v 空间的相关理论和一些不等式估计证明了解在所 给的边界条件下r ，日1 ，日2 ，日3 全局指数稳定性。 关键词：粘性f o r n b c r g - w h i t h a m 方程，粘性广义c a m a s s a h o l m 方程，修正的粘性b 族方程，边界控制 i 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d ym a i n l yt h ep r o b l e mo ft h eb o u n d a r yc o n t r o lo ft h e n o n l i n e a rd i s s i p a t i v ew a v ee q u a t i o n s ，a n dt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t ye s t i m a t eu n d e rt h e g i v e nb o u n d a r yc o n d i t i o n b o u n d a r yc o n t r o li sa ni m p o r t a n tp a r to ft h em o d e r n c o n t r o lt h e o r y , w h i c hh a sb e e ne m p h a s i z e di nt h ec o n t r o lt h e o r yf i e l da n dh a sb e e n e x t e n s i v e l ys t u d i e da n dd e v e l o p e d r e c e n t l ym a n yr e s e a r c h e sh a v eb e e nd o n eo n b u r g e r se q u a t i o n ，k d ve q u a t i o n , k d v be q u a t i o na n dk - se q u a t i o n w e s t u d y ac l a s so fn o n l i n e a r d i s s i p a t i v e w a v e e q u a t i o n s ：t h e v i s c o u s f o m b e r g - w h i t h a me q u a t i o n ，t h ev i s c o u sg e n e r a l i z e dc a r n a s s a - h o l me q u a t i o na n d t h em o d i f i e dv i s c o u sb - f a m i l ye q u a t i o n f o m b e r g - w h i t h a me q u a t i o ni sn o ti n t e g r a b l e ， a n di t sk i n k - l i k ew a v es o l u t i o n sa n da n t i k i n k - l i k ew a v es o l u t i o n sh a v er e c e n t l yb e e n s t u d i e d c a m a s s aa n dh o l md e r i v e dan e wc o m p l e t e l yi n t e g r a b l ed i s p e r s i v ew a v e e q u a t i o nf o rw a t e rw a v e sb yh a m i l t o n l a nm e t h o d ，n a m e l yc a m a s s a - h o l me q u a t i o n ( i v ，e c he q u a t i o n ) i th a sb i h a m i l t o n i a ns t r u c t u r ea n di n f i n i t es e q u e n c eo fc o n s e r v e d e q u a t i t i e s ，a n di t i s c o m p l e t e l yi n t e g r a b l e t h eb f a m i l ye q u a t i o ni s ac l a s so f n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s f o re x a m p l e ，i ti sc a m a s s a h o l me q u a t i o na sb = 2 w e m a i n l ys t u d i e dt h eb o u n d a r yc o n t r o lo ft h ea b o v et h r e ee q u a t i o n si nt h i s p a p e r a tf i r s t ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fw e a ks o l u t i o ni nt h ei n t e r v a lt ot h e v i s c o u s f o r n b e r g - w h i t h a me q u a t i o n , t h e v i s c o u s g e n e r a l i z e dc a m a s s a - h o l m e q u a t i o n ，a n dt h em o d i f i e dv i s c o u sb - f a m i l ye q u a t i o na r ep r o v e db yu s i n gg a l e r k i n m e t h o d t h e n ，a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo ff u n c t i o n a la n a l y s i s ，e n e r g yi n t e g r a t i o n ， p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds o b o l e vs p a c ea n dan u m b e ro ft h e o r i e sr e l a t e dt o i n e q u a l i 哆e s t i m a t e ，i ti sp r o v e dt h a tt h es o l u t i o nh a st h eg i o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i 哆 i n r ，h i , h 2 , h 3u n d e rt h eg i v e nb o u n d a r yc o n d i t i o n k e yw o r d s ：v i s c o u s f o m b e r g - w h i t h a me q u a t i o n ，v i s c o u sg e n e r a l i z e d c a m a s s a - h o l me q u a t i o n ，m o d i f i e dv i s c o u sb - f a m i l ye q u a t i o n ， b o u n d a r yc o n t r o l i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密田。 学位论文作者签名：壶卫香 签字日期：游j2 月日 计瓣 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容以外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 义 ， 起 似 名 肛 者 。f 作 存 文 砂 一 滩 位 汛 靴 醐 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 本章将对非线性科学的发展背景和边界控制的发展背景以及目前的进展作 一些简单介绍。 1 1 研究背景 非线性科学是继量子力学、相对论之后2 0 世纪自然科学的重大发展，它包 括混沌、分形、孤立子三个基本分支。而孤立子作为非线性科学的一个重要分支， 自2 0 世纪6 0 年代以来获得了重大进展，它不仅开拓了数学物理新的研究领域， 而且在许多高科技领域有着重要的应用。孤立子是最早在自然界观察到并且可以 在实验室产生的非线性现象之一。1 8 3 4 年英国科学家罗素在一篇报告中提到他 观察到一种奇特的自然现象瓢立波。孤立波的发现引起了人们的争论，一是 一个完整的孤立波全部在水面之上，二是传播时振幅并不衰减，三是波速只与波 在水面上的高度和水深有关。 1 8 9 5 年k d v 方程的推导及求解，在经过六十年后，从数学上描述了罗素所 发现的孤立波。此时孤立波为学术界所普遍接受。孤立波具有三个性质：一是传 播过程保持波形和波速不变，二是孤波碰撞时互相穿透且维持原来的波形和波 速，三是振幅越高传播速度越快。色散即波的传播速度依赖于波的频率和波长， 它导致波包散开，而非线性却导致波阵面卷缩，两者共同作用的结果便形成稳定 的波包，即孤立波。起初人们认为虽然单个孤立波在行进中非常稳定，但在孤立 波相互碰撞时，就可被撞得四分五裂，稳定波包将不复存在。但通过计算机对孤 立波进行研究的结果表明，两个孤立波相互碰撞后，仍然保持原来的形状不变， 并与物质粒子的弹性碰撞一样，遵守动量守恒和能量守恒。孤立波还具有质量特 征，甚至在外力作用下其运动还服从牛顿第二定律。因此，完全可以把孤立波当 作原子或分子那样的粒子看待，人们将这种具有粒子特性的孤立波称为孤立子， 有时又简称为孤子。 孤立子的高度稳定性和粒子性引起人们对孤立子的极大兴趣。1 9 6 2 年， p e r r i n g 和s k y n n e 在研究粒子模型时对s i n e g o r d o n 方程进行数值模拟实验，结 l 江苏大学硕士学位论文 果表明孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变。1 9 6 5 年，z a b u s k y 和k r u s a l 详 细考察了等离子体中孤立波的相互碰撞过程，进一步证实了孤立波在碰撞前后波 形和速度保持不变的论断，并且把它命名为孤立子( s o l i t o n ) ，它是指一大类非 线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及具有的相应的物理现象，它的性 质具体为：( 1 ) 能量比较集中( 2 ) 孤立子相互碰撞时具有弹性散射现象，从此 孤立子理论的研究工作得到了迅速发展。而由于物理学、力学和工程技术等方面 的许多问题都归结为孤子方程的定解问题，因此在孤立子理论中，孤子方程的求 解已经成为一个重要的研究课题。但是大量的孤子方程的解无法用初等函数表 达，甚至不能用积分式表达。 1 9 6 7 年g a r d n e r ，g r e e n ，k r u s k a l 和m l u r a 提出的反散射方法，解决了一大 类孤子演化方程的求解问题。反散射方法的提出是应用数学的一次重大突破，它 不仅为应用数学开拓了一个新领域，而且也为孤子物理学的研究提供了数学工 具。反散射方法解决了k d v 方程的求解问题。随后1 9 6 8 年e d l a x 通过引入l a x 对，将孤立子演化方程的求解问题和求l a x 对的问题联系起来，从而使反散射方 法的数学形式的表述更为简单。此后几年反散射方法被推广应用于许多孤子方程 的求解。1 9 7 2 年找到了非线性s c h r o d i n g e r 方程的l a x 对，首次求出了方程的孤 子解。同年，m w a d a t i 求得m k d v 方程的精确解。1 9 7 3 年将反散射方法用于 s i n e g o r d o n 方程，求得其精确解。在这期间，这些纯粹数学上的孤立子，很快 在流体物理、固体物理、等离子体物理和光学等其他学科被发现。更令人振奋的 是，这些似乎是纯数学的发现，不仅为实验所证实，而且还找到了实际应用。例 如光纤通讯中传输信息的低强度光脉冲由于色散变形，不仅信息传输量低、质量 差，而且需在线路上每隔一定距离加设波形重复器，花费很大，7 0 年代从理论 上首先发现“光学孤子”可以克服这些缺点，并可大大提高信息传输量，目前这一 成果已进入实用阶段。而反散射方法的提出和推广，为求解这些孤子方程提供了 数学工具，极大地推动了孤立子理论的研究。 在我国，孤立子理论的研究开始于2 0 世纪7 0 年代，当时，杨振宁、李政道、 陈省身教授等回国讲学时，向国内同行介绍孤立子理论的研究进展，并指出它的 重要性。随后在中国科学院和国内部分高等学校相继开展了这方面的研究工作。 现在孤立子的研究工作开始由一维发展到多维，由单一的孤子演化方程发展到耦 2 江苏大学硕士学位论文 合演化方程，由经典的问题发展到孤立子的量子理论，由单学科的研究逐渐形成 多学科的研究，当今孤立子的发展已由前期的理论研究进展到实际应用。 近十年来，关于孤立波的研究工作在理论及应用方面均取得突破性成果。讨 论浅水波方程解的相关性质( 特别是水波方程的局部适定性理论、稳定性理论、 散射理论、反散射理论、解的整体存在性及b l o w u p 理论( 爆破现象) ) 并揭示 波的传播规律，在很多方面均具有极大的应用价值。 而控制问题是指考虑一个用o d e ( 常微分方程) 或p d e ( 偏微分方程) 来描述的 演化系统，通过选取适当的控制装置作用于系统，对给定的时间区间、初始值和 终点值，我们可以找到一种控制使得系统的解既满足初始值也满足终点值。这是 控制理论中的一个古典问题，在这方面已有大量的研究成果，例如l e e 和m a r c u s 的书中可以初步了解到通过o d e 描述的有限维系统( 见文献1 1 ) ，r u s s e l 的调 查报告及在l i o n s 的著作中可以了解到由p d e 描述的无限维系统( 见文献 【2 】，【3 】) 。 在进行控制系统的研究时，通常将其划分为线性和非线性两大类。用常微分 方程来描述的线性系统，又称为集中参数系统，具有有穷多个自由度；用偏微分方 程来描述的非线性系统，又称为分布参数系统，具有无穷多个自由度。古典控制论 主要研究集中参数控制，但现实世界中所发生的各种现象，从数学角度来讲，大部 分是非线性分布的，如物体温度变化，地下水渗流，汽油形成，生物种群演化等都是 通过分布参数系统来描述的。现代控制论的研究方法从建立在传递函数基础上的 频域法，发展为建立在状态空间上的时域法，其研究对象从线性系统发展到非线性 系统，从确定性系统发展到随机系统，从集中参数系统控制，反馈控制发展到分布 参数控制系统。对被控系统根据工程实际要求提出实现准则，寻求系统在满足一 定条件下，使实现准则达到所要求的理想状态。这里我们主要研究由非线性p d e 来描述的无限维动力系统的边界控制问题。 对所有的控制系统来说，稳定性是最基本的要求。稳定性概念的出现，有悠 久的历史了。早在1 7 世纪就出现过托里斯利( t o r r i c e l l i ) 原理，即物体仅受重 力作用，当重心位置最低时其平衡是稳定的，反之是不稳定的。但在动力学方面， 对应于稳定运动的严格的解的选择原理却未建立。 3 江苏大学硕士学位论文 稳定性概念也早被拉普拉斯( l a p l a c e ) 、拉格朗日( l a g r a n g e ) 、马克斯威尔 ( m a x w e l l ) 、汤姆逊和德特( t h o m s o na n dt a i t ) 、庞加莱( p o i n c a r e ) 等采用过， 但都无精确的数学定义。达朗倍尔( d a l a m b e r t ) 、拉格朗日、马克斯威尔、魏 施涅格特斯基、茹可夫斯基及斯图多( c t o d o l a ) 等采用过一次近似方法，研究 稳定性但未从数学上严格证明其合理性。因此，可以说，在这之前，稳定性的一 般理论，迟迟没有形成。 在稳定性理论发展过程中最伟大的事件乃是俄国数学力学家a m l y a p u n o v 在1 8 9 2 年完成的博士论文“运动稳定性的一般问题”，他将由p e a n o 、b e n d i x s o n 和d a r b o u x 等人建立的微分方程解对初值和参数的连续依赖性这一概念，由自由 变量( 时间) 在有限区间上拓宽到无穷区间上，科学地给出了系统中运动是稳定和 渐近稳定的概念，他从类似系统总能量的物理观念得到其实，提出了后来被人们 称为l y a p u n o v 函数的概念，将一般n 阶微分方程组中扰动解渐近性质的讨论归 结为讨论一个标量函数( l y a p u n o v 函数) 及其对系统的全导数的一些特性的研究， 成功地避开了讨论n 阶微分方程组的解的困难，从而建立了稳定性理论研究的框 架。近一百年来的历史已经表明，由他创立的这一理论与方法，已经渗透到应用 数学、力学、控制与系统理论的众多领域，取得了巨大的发展，形成了从理论到 应用的丰富的体系。 稳定性理论研究时间趋于无穷时微分方程解的性态，稳定性理论的研究方向 就在于建立一些准则，借以判断所考察的运动是稳定的还是不稳定的。这样就能 对所考虑的系统的长期发展状态做出预测，因而具有极其深刻的理论意义和非常 重大的实际意义。它在自然科学、工程技术、环境生态、社会经济等方面有着广 泛的应用。非线性耗散动力系统中形态不断发生变化，这是局部不稳定。而整体 上形态又被限制在空间中即整体上是稳定的。对一般非线性系统的稳定性的讨 论，由于数学上处理非线性问题的困难，至今依然进展不多。 随着人们对实际问题研究的不断深入和完善，很多控制系统都需要建模成分 布参数控制系统。一般来讲，由偏微分方程或积分方程描述的系统称之为分布参 数系统，简称为d p s ( d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ) ，也称之为无限维系统，即 n s ( i n f l n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s ) 。而严格地讲，所有物理系统都具有分布特性。 工程实际和社会、经济系统中的许多过程都具有分布特性，属于分布参数系统。 4 江苏大学硕士学位论文 随着控制理论和计算机技术的迅速发展，对实际分布参数过程的控制要求不断提 高，对分布参数过程的建模和控制也就提出了更高的要求。因而研究分布参数系 统及控制，具有重大的理论意义和实际应用价值。 而分布参数过程的控制方式一般有以下几种形式： ( 1 ) 分布式控制。该方式的控制作用是分布式的，即为空间变量x 和时间变 量，的函数。分布式控制就是给定一个性能指标j ，在允许控制域u 内寻找一个 最优分布控制作用“+ ( z ，t ) ，当系统在满足初始条件和边界条件的约束下，使性 能指标- 厂达到极小。 ( 2 ) 边界控制。对于许多实际过程，尤其是工业过程，其过程特性属于分 布参数系统，但其控制作用往往不是分布式的，而是在系统的边界上实施，如橡 胶工业中的轮胎硫化过程中，热量均通过轮胎的边界向深部传送，这种控制就属 于边界控制。因而研究分布参数系统的最优边界控制，既具有一定的理论意义， 又具有实际应用的价值，引起了广泛的关注。对于实际过程的边界控制，一般采 用逼近方法处理。 ( 3 ) 点控制。许多实际过程的控制中，有时难以实施分布式控制，而且一 般从实际角度来讲，适当选取几个点对系统实施控制，比实施分布式控制更具有 经济意义。这种控制采用的工具有动态规划方法，参数优化方法和函数逼近方法 世 i 宁o ( 4 ) 反馈控制。反馈控制即最优控制策略是系统状态或是系统输出的函数。 对于线性系统，考虑二次型性能指标时，可得出线性最优反馈控制律，而且类似 于l p s ，也可以导出r i c a t t i 方程。 ( 5 ) 精确控制。某系统在时间区间【o ，r 】上具有精确能控性是指对于t = 0 时 任意给定的初值x 。以及f = z 时任意给定的终值x r ，一定能找n o ，明上的控制 函数使得系统的解精确地满足终端条件，也就是说，系统借助于控制，能将一个 在t = 0 时任意给定的初始状态在t = z 时变为一个任意给定的终端状态( 通常为 一个理想状态) 。利用边界控制就能实现的精确控制称为精确边界控制。 由于物理和技术的原因，一些系统只能在区域的边界上设置控制装置来进行 5 江苏大学硕士学位论文 研究。近二三十年来，边界控制问题一直受到控制理论界的重视而得到不断深入 地研究。近几年来，人们越来越多关注的是b u r g e r s 方程、k o r t e w e g - d ev r i e s ( k d v ) 方程、k o r t e w e g - d ev r i e s - b u r g e r s ( k d v b ) 方程、k u r a m o t o s i v a s h i n s k y ( k - s ) 方 程以及热传导方程的边界控制问题，并且在这一领域取得了丰硕成果。 1 2 国内外研究现状和进展 边界控制方法( 见文献f 4 1 、f 5 1 ) 是近十几年提出的，并且成功地应用到波 动方程、热方程等。它将数学物理问题的反问题与泛函分析、渐近控制方法以及 系统理论联系起来，相比与以前的识别方法有很多的优点。 近几年来，人们越来越多地关注k d v 、k d v b 、m k d v b 、k - s 、c h 和热传 导方程的边界控制问题。在研究k d v 方程时，大部分学者通过直接解方程或者 应用反散射( i n v e r s es c a t t e r i n g ) 方法( 即非线性傅立叶变换) 来找到方程的解。 其中，b i n g - y uz h a n g 研究了k d v 方程的精确边界控制( 见文献【6 】) 。j a b u m s 、 c i b y r n e s 、h c h o i 等学者对b u r g e r s 方程进行了研究( 见文献【7 】- 【9 】) ，b y m e s 等 研究了b u 唱e m 方程的局部指数稳定性( 若初始条件在三2 空间下非常小) ，v a nl y 等将这一结果进一步完善( 把它延伸到r 空间) 但仍是局部的。m i r o s l a vk r s t i c 对b u r g e r s 方程的全局稳定性进行了研究( 见文献f 1 0 1 ) 。k d v b 方程是同时表现 了扩散和色散特点的最简单的非线性数学模型之一。b i l e r 、r a s s e l 和z h a n g b i n g y u 对周期边界条件下的k d v b 方程进行了研究( 见文f t l 炙 1 1 - 1 3 1 ) ，b i l e r 、 b o n a 和s m i t h 对空间区域是整个实数轴的k d v b 方程进行了研究( 见文献 【1 4 ，【1 5 】) ，r o s i e r 对系统在一个闭域上的可控性进行了研究( 见文献【1 6 】) ，z h a n g 对系统在一个闭域上的稳定性进行了研究( 见文献 1 7 1 ) 。u 和k r s t i c 研究了 k d v b 方程在一有限区域中的边界反馈稳定性问题( 见文献【1 8 】) , a n & a sb a l o g h 和k r s t i c 研究了k d v b 方程的稳定性和数学模型，曹海霞对充分非线性的k d v b 方程解的稳定性作了研究( 见文献 1 9 1 ) 。对k - s 方程的研究也已取得丰硕成果， f o i a s 和n i c o l a e n k o 等对k - s 方程全局吸引子和惯性流形进行了研究( 见文献 2 0 1 ) 。在此基础上，k - s 方程的控制问题研究也得到很大的发展，h ee ta l 研究 了k - s 方程稳定性的数字模拟及它的最优控制，c h r i s t o f i d e s 基于一个g a l e v k i n 舍位构造了线性控制项研究k - s 方程的局部稳定性( 见文献 2 1 1 ) ，王景峰也对 6 江苏大学硕士学位论文 k - s 方程的稳定性作了研究( 参考文献 2 2 】) 。曹海霞( 见文献【2 3 】) 主要研究了在 外部激发条件下的k - s 方程的边界控制问题，其主要应用b a n a c h 不动点原理和 半群理论证明解的存在性和唯一性。朱敏赵志峰等( 见文献 2 4 1 ) 主要应用伽辽 金法( g a l e r k i nm e t h o d ) 和适当的性能指标j ( v ，t ) 给出了n e u m a n n 边界条件 下b u r g e r s 的最优控制，证明了解的存在性。对于热传导方程，受到模型中出现 的热电学拟静态理论的启发( 系统的熵满足热方程) ，d a y ( 见文献2 5 1 ) 分析了 在整个区域内以状态变量的加权积分形式给出的边界条件下一维热方程解的情 况，边界条件虽然没有被作者明确给出，但实际上以状态反馈的形式给出了，尽 管最后的结果更多地适用于一般的抛物型方程，而非仅仅是热方程一种。近年来 许多关于系统反馈控制的成果都是由抛物型偏微分方程中得到，尤其热方程，包 括b u r e s 和r u b i o 的研究( 见文 r 2 6 1 ) ，应用b u r n s ，r u b i o 和k i n g ( 见文献【2 7 】) 的结论，他们分析了以代数r i c a t t i 方程( 有无穷维l q i v l q g 控制问题中得出 的) 解得形式得出的反馈算子。基于2 维热方程下的数值结果，b u m s 和r u b i o 总结了函数值，也就是说，在反馈算子的积分表示中出现的核函数存在并且在已 控制的边界附近存在紧支柱，这一结论将为离散的探测设备的最优放置提供信息 导向。w e i j i u l i u 和g r a h a m h w d i a m s 研究了半线性热传导方程的精确初值问题 ( 见文献f 2 8 1 ) 。a s h i d f a r 和k a r a m a l i 对反热传导问题的数值解做了一系列的探 讨( 见文献 2 9 1 ) 。a d o u b o v a ，e f e r n a n d e z c a r a 和m g o n z a l e z - b u r g o s 对非线性 边界f o u r i e r 条件下的热方程的边界控制做了一系列的研究( 见文献 3 0 1 ) 。 l i a n g y u l i 和x uz h a n g 研究了半线性波动方程的精确控制问题( 见文献【3 1 】) 。 b i n g y u z h a n g 研究了k d v 方程的精确边界的问题( 见文献【3 2 】) 。n e i i bs m a o m 和 r a s h a h a 1 j a m a l 研究了广义k d v 方程的边界控制( 文献 3 3 1 ) 。 1 3 研究内容和研究意义 在上述研究的基础上，本文主要研究粘性f o m b e r g w h i t h a m 方程、粘性修正 的b 族方程、粘性广义c a m a s s a h o l m 方程的边界控制问题，主要用伽辽金方法 证明了这几类粘性尖峰孤立波方程弱解的存在性，证明了系统在所给的边界控制 的条件下在一些空间上的稳定性。 本文的结构安排如下： 7 江苏大学硕士学位论文 第一章：绪论。主要介绍了本课题的研究背景、研究进展和研究意义。 第二章：基本概念。介绍了一些常用的基本概念。 第三章：粘性f o m b e r g w h i t h a m 方程的边界控制。目前有关粘性 f o m b e r g w h i t h a m 方程的研究比较少，我们首先用伽辽金方法证明了方程的弱解 的存在性，其中用了一系列的数学估计和分部积分理论。然后，证明了解在所给 的边界控制条件下r ，日1 ，h 2 ，日3 全局指数稳定。 第四章：粘性广义c a m a s s a - h o l m 方程的边界控制。粘性广义c a m a s s a - h o l m 方程和粘性f o m b e r g w h i t h a m 方程形式上稍有类似，但本质不同，有关 c a m a s s a - h o l m 方程的研究很多，但是还没有人用伽辽金方法来研究它的边界控 制，本章就这个问题进行了讨论。 第五章：粘性修正b 族方程的边界控制。粘性修正b 族方程是一类方程，如果 能得到它的弱解唯一存在和全局指数稳定是一个非常有用的结论，我们用与第三 章和第四章类似的方法得到了我们想要的结果。 本文的研究意义： 边界控制问题在水利、电磁学、热学、国防等方面都有很重要的作用，特别 是水利方面。因此，边界控制理论不但在理论上而且在应用方面都有极大的价值， 所以对此类方程的边界控制问题进行研究意义重大。由于庞大的计算量以及模型 可能产生的困难( 例如，非线性性) ，解决非线性偏微分方程的边界控制问题意 味着要面临巨大的数值挑战。这几类粘性尖峰孤立波方程都是重要的数学物理方 程，他们具有很多实际意义。但是由于这几类方程非线性项比较复杂，他们的最 优控制和边界控制问题研究的比较少。本文我们使用一些数学估计研究了这几类 粘性尖峰孤立波方程的边界控制问题。 8 江苏大学硕士学位论文 第二章预备知识 本章将介绍在本文中常用的一些概念、不等式及定理。 2 1 稳定性 2 1 1 平衡状态 对于线性定常系统，由于只存在一个孤立的平衡点，所以只有线性定常系统 才能笼统的将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。对于其他系统，平衡点不 止一个，所以我们只能讨论某一平衡状态的稳定性。 设系统的状态方程为 孟= f ( x ，f ) ( 2 1 ) 若对所有的f ，状态x 满足戈= 0 ，则称该状态为平衡状态，记为x 。，故有， f ( x 。，t ) = 0 由平衡状态在空间所确定的点，称为平衡点。 2 1 2 稳定性 ( 2 2 ) 对( 2 1 ) 状态方程，工r ”是维状态向量，且显含时间f ，：r ”x r 呻尺”是线 性或非线性、定常或实变的维函数。初始状态x o 。) = x o ，相应的解x ( t ；x o ，t 。) 。 稳定性就是描述系统在初态出发t 哼0 0 时的解x ( t ；x o ，t 。) 的几种情况： 1 稳定 对任意给定实数s 0 ，都存在艿( s ，t 。) o ，使当i k t | j t 。) ，则称系统平衡状态艺是稳定的。其中万( s ，t 。) 若与b 无关，则墨是一致稳定的。 2 渐近稳定 对系统( 2 1 ) 的平衡状态艺，如果它满足( 1 ) 稳定，( 劲存在任意小量 0 总有 9 江苏大学硕士学位论文 ；i刊(i x t ；x o ，t 。) 一x 。l - t 。) ，则称t 是渐近稳定的。 3 不稳定 对于某个实数占 o 和任意实数艿 o ，当i x o x 。l i 占，则称艺是不稳定的。 2 2 函数空间 2 2 1 有界线性算子 我们取( 矿，i i 1 | 矿) 是一个普通的线性空间。集合b o ；，) = c o v ：一国忆 x - - p ? x 硝甄奄钓iex o 定义2 2 ：当珂_ 0 0 时，我们称序列。) 。弱收敛于一个实线性空间y 中 的一个元素1 ，其中l ；n v ，n n ，如果它满足： 彻( 厂，屹) 旷，矿= ( 厂，v ) 旷，r 对所有的厂y 。 注：由定理2 1 可知在实的h i l b e r t 空间中存在一个序列扛。) 。弱收敛于三， 如果满足 l i m ( x , x ) x = ( ；，x ) x 对所有的x x 。 2 2 3 对偶算子 我们定义在h i l b e r t 空间上的有界线性算子的对偶算子。 定义2 3 ：x ，y 是两个实的i - f i l b e r t 空间，x ，y 分别是它们的对偶空间。 那么对于每个彳伍，】，+ ) 有对偶算子么：】，一x ，定义如下： a a , x ) r z = ( 触，旯) r r 对所有的工x ，允y 。 引理2 1 ：如果x ，y 是两个实的i i i l b e r t 空间，x ，y 分别是它们的对偶， 给出么三伍，y ) ，则对偶算子彳有如下一些性质： 1 ) 彳三p ，x 。) ，而且忙+ 忆( y ，) = 删i 扛，) 2 ) k e r 彳：k e r “翻) ，r a n ( ( r a ) = k e r 4 + 广，r a n a = r a n ( a l a 0 证明见文献 6 6 。 1 l 江苏大学硕士学位论文 引理2 2 ：如果x ，】，是两个实的i - f i l b e r t 空间，x ，】，分别是它们的对偶， 如果彳三伍，j ，) 是满射，那么彳是单射。 证明：由于a 是个满射，所以有r a n a = y + ，由引理2 1 ，可以得到 k e r 彳) = 0 ) ，则得到k e r a = o ) 。 注：如果a 是单射，由引理2 1 可得r a n ( f r a ) = y ，从这个可以导出 r a n a = y ，因此，r a m t 在】，中是稠密的。另外，如果r a n a 是闭的，则a 是满 射。 引理2 3 ：如果x ，l ，是两个实的h i l b e r t 空间，x ，】，分别是它们的对偶， 而且彳伍，】，) 是满射，则线性算子e ：a 炙彳+ 是有界的可逆的，并且有 e 。三p ，】，) 。 2 2 4 典型的函数空间 下面介绍一下函数空间，这在以后需要用到： 设q 表示一个在瞅空间中的一个开的而且有界的集合。科中的点表示为 x = g 。，x ：，) 。女l ：t m s ：a = 0 ”，) 是一个刀维的而且口，为非负整数，x a