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可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，mEE1=0，且使得性质P在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。2、可测函数：设ER是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。假如对于任意实数CEfC=xE:fxC都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。3、几乎处处有限的可测函数：设ER是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1，mEE1=0，f在E1上有限，假如对于任意实数CEfC=xE:fxC都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设DR，f是定义于D的函数，xD，假如limyx,yDfy=fx则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。5、预备定理、引理定理2.2 设 f 是一个紧集， fnn1 是一列沿 F 连续的函数。若 fn 在 F 上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。定理2.3（Egoroff） 设 f 和 fn(n1) 都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。若 fn 在 D 上几乎处处收敛于 f，则对任何 0，有 D 的闭子集 F，使 m D- F 0，有沿 D 连续的函数 f*使 m ff* a，则由连续性假设，存在x的某邻域Ux，使UxEEfa。因此，令G=xE(fa)U(x)，则：GE=xE(fa)U(x)E=xE(fa)U(x)(fa)反之，显然有EfaG，因此：EfaGEfaGE从而：Efa= GEfa但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交GE仍为可测集，即Efa为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。但可测函数不一定连续例 例：可测函数Dirichlit函数在0,1上处处间断2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数f*，并且：supxRf*(x)=supxRf(x)证明：此时Fc=(an,bn)是开集，其中开区间族(an,bn)两两不相交。今定义f*x=fx, 若xF 线性, 若xan,bn,且an,bn有界fan, 若xan,bn,其中bn= fbn, 若xan,bn,其中an=- 则显然f*x是R上的连续函数，它是f的开拓。引理得证。引理2：设 f 是可测集 D 上的简单函数。则对任何0，有没 D 的连续的函数f* 使mEff* 证明：不妨设fD=ak1kn,其中ak都是实数且两两不同。令Ek=Ef=ak,则Ek1kn两两不相交且D=k=1nEk.现对每一k，令Fk是Ek的闭子集且mEk-Fkn,k=1,2,n. 此时易知 f 沿闭集F=k=1nEk连续。由引理1， f 作为 F 上的函数可以开拓成沿 D 连续的函数 f* ，此时mEff*mD-F=mk=1nEk-k=1nFk mk=1nEk-Fkk=1nmEk-Fk0，有沿D连续的函数f*使mff*，并且maxxDf*xsupxDfx。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）证明：不失一般性设 f 在 D 上处处有限。 先设 D是有限可测集。由定理2.3，有 D 上的简单函数列 fn,使 fn(x)f(x)(xD)。现对每一 n1,由引理2.2，存在沿 D连续的函数 fn* ，使m ff* 2n+1，n=1,2,令E=n=1fnfn*,则 m(E)2 并且在 D-E 上 fn*(x)f(x)。由于 D 有界,所以存在 D-E 的有界闭子集 F ,使得 fn* 在 F 上一致收敛于 f 并且 mD-E-F2 。再由定理2.2，f 沿 F 连续.这样由引理2.1， f 作为 F上的函数可以开拓成沿 D 连续的函数 f*。此时 m ff* m(D-F)。这样我们在 D 有界的条件下证明了定理。对一般的 D R，此时对每一整数 n，令Dn=Dn,n+1， n=0,1,2, 则 Dn都是有界的。从而由上段证明，对每一 n，存在 Dn 的闭子集 Fn,使 f 沿 Fn 连续，并且m Dn- Fn 2n+1， n=0,1,2,此时 F=n=-Fn 是闭集，并且 f 沿 F 连续。由引理2.1，f 作为 F上的函数可以开拓成 D 上的连续的函数 f*，并且m ff* mD-F=m(Dn-Fn)m(Dn- Fn)n=-m(Dn- Fn)n=-2n+10，有a,b上连续函数f*，使mff*0，存在闭集FE，使f在F上连续，且mEF0，存在闭集FE，及R上的连续函数x，使(1) 在F上 x=fx。(2) mEF。如果在E上fxM，还可要求xM.证明：由定理1，有闭集FE，使mEF，而fx是F上的连续函数，因此问题在于扩张F上的fx，使其在整个空间上连续。 F是有界闭集，因此是从一闭区间c,da,b中去掉有限个或可数多个互不相交的开区间而成，设这些开区间是ci,di，现在我们定义一个函数gx，使gx= 0, 当xa或xb时 fx, 当xF时此外，当xci,di时，令gx的图形是联ci,fci，di,fdi的直线，当xa,c及d,b时，分别联a,0, c,fc及b,0, d,fd的直线，于是gx是整个直线上的连续函数，且满足定理的各项要求。三、小结 一方面，可测集上的连续函数是可测的，另一方面，Lusin定理表明，Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近。可测集E上的连续函数一定为可测函数，但可测函数不一定连续。如Diric