（计算数学专业论文）the+stability+analysis+of+block胃s+for+delay+differential+equations.pdf

- km a s t e rd i s s e r t a t i o n 摘要 众所周知，物理、工程、生物和经济等领域中的许多问题都可以归纳为常微分方 程模型。而事实上，对于一些实际问题，知道若干时间之前的状态是必要的，从而我们 得到了延迟微分方程模型，也叫做泛函微分方程或差分微分方程。它在许多应用科学 领域中起着非常重要的作用，例如在控制理论、人口动力学、电力工程、环境科学、 生物学、生物生态学、生命科学等领域都有广泛的应用。另外中立型方程也应用于 多种应用科学领域。例如，电力损耗的模型就是中立型延迟微分方程。 求解各类延迟微分方程，有很多种有效的数值方法。块良方法有较好的稳定性，又 不使用高阶导数。是一个很有潜力的方法 本文研究了用块乒方法求解具有多个延迟量的延迟微分方程和延迟微分系统以 及中立型系统数值解的稳定性，在一定的l a g r a n g e 插值条件下，基于三类不同模型，给 出并证明了求解多延迟微分方程以及多延迟微分系统的块0 一方法g p 仃。一稳定的充要条 件是方法是a 一稳定的，块0 一方法g p l 。一稳定的充要条件是口= 1 ；给出并证明块0 方法 解中立型多延迟微分方程n g f m 一稳定的充要条件是它是a 一稳定的，证明了块0 一方法 是n g p l 。一稳定当且仅当0 = 1 。 关键词：延时微分方程，块口一方法，数值稳定性。 第i 页 a b s t r a c t a sw ea l lk n o wt h a tm a n yp r o b l e m si np h y s i c s ，e n g i n e e r i n g ，b i o l o g ya n de c o n o m i c s c a nb em o d e l l e db ys y s t e m so fo r d i n a r ye q u a t i o n s ( o d e s ) a c t u a l l y , i nm a n yr e a l i s t i c m o d e l s ，i ti su s e f u lt ok n o ws o m ep a s ts t a t e so ft h e s es y s t e m s ，s oi ti sc o n v e a c di n t od e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e s ) ，w h i c ha r ea l s ok n o w na sf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o rd i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n s d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp l a ya ni m p o r t a n tr o l e i nt h er e s e a r c ho fv a r i o u sa p p l i e ds c i e n c e s ，s u c ha sc o n t r o lt h e o r y , p o p u l a t i o nd y n a m i c s ， e l e c t r i c a ln e t w o r k s ，e n v i r o n m e n ts c i e n c e ，b i o l o g y , b i o e c o l o g y , a n dl i f es c i e n c e a n dn e u t r a l d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( n d d e s ) a r c a r i s e df r o mv a r i o u sf i e l d so fa p p l i e ds c i e n c e s + f o r e x a m p l e ，t h ee n e r g yl o s si np o w e r n e t w o r k sc a nb em o d e l l e db yas y s t e mo fn e u t r a ld d a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r ea r cm a n ye f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h eb l o c ko - m e t h o d sh a v eg o o ds t a b i l i t yp r o p e r t i e sw i t h o u tr e q u i r i n gh i g ho r d e rd e r i v a t i v e s t h e yh a v eg r e a tp o t e n t i a l t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os t u d yt h es t a b i l i t yb e h a v i o ro fn u m e r i c a ls o l u t i o no f b l o c ko - m e t h o df o rd d e sa n dn d d e s b a s e do nl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ，f o rt h r e ed i f f e r e n t m o d e l s w ew i l ls h o wt h a tt h eb l o c k0 - m e t h o df o rd d e sw i t hm u l t i p l ed e l a y si sg p m s t 0 6 f ei fa n do n l yi fi ti sa s t a b l ef o ro d e sa n di ti sg p l 。一s t a b l ei fa n do n l yi f0 = 1 m o r e o v e r , w ew i l lg i v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so fa s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f b l o c k0 - m e t h o d sf o rn d d e sw i t hm a n yd e l a y sa n dw i l la l s os h o wt h a tt h eb l o c k0 - m e t h o d s f o rn d d e si sn g p m - s t a b l ei fa n do n l yi f i ti sa s t a b l ef o ro d e sa n di ti s g 尸l m s t b f e i f a n do n l y i f p = 1 k e yw o r d s ：d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；b l o c ko - m e t h o d ；n u m e r i c a ls t a b i l i t y 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了 特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成 果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了 谢意。 作者签名 肄嘲珥粤 - k m a s t e rd i s s e r t a t i o n 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名 日 期 第i v 页 导师签名：垒兰2 ：耋- 一 日期：丝舀! z ； 1 m a s t e rd i s s e r t a t i o n c h a p t e ri i n 打o d u c f i o n a sw ea l lk n o w , m a n yp r o b l e m si np h y s i c s ，c n g i n e c r b i o l o g ya n de c o n o m i c sc a nb em o d e l e d b yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( o d e s ) 勰f o l l o w i n g ： f 燥2 箩删舵o ( 1 1 ) i ( o ) = 珈 ”“7 i nm a n ya p p l i c a t i o n s ，t h ed e r i v a t i v e ，t h er a t eo f c h a n g e 。a tt i m etd e p e n d so nn o t o n l yta n dy ( o b u ta l s ot h es o l u t i o na ta ne a r l i e rt i m ey ( t - r ) w h e r er 0 t h u sad c l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a st h e f o r m ： ，。( t ) = f ( t ，( t ) ，o r ) ) ，t 0 iv ( t ) = 妒( t ) ，t 0 w h c 烈t ) i sag i v e nc o n 血u sf u n c t i o n , r 0i sac o n s t a n td e l a y f o rm o ，i fas y s t e mh a sm u l t i p l ed e l a y s 。t h e ni tc a nb em o d e l e db y ： ( 1 2 ) 册黧0 1 l “卜嘲 硝o j t 翌0 、( 1 3 )i ”( t ) = 妒( t ) ， 、 一7 w h e a - e 毋( t ) i sag i v e nc o n 甑u o u sf l i n c t i ，口 0d = 1 ，2 ，i ，m ) a ”c o n s t a n td e l a y s ， m 1 i sa p o s i t i v e i n t e g e r a n d v ( t ) i s u n k n o w n w h e n t 0 b e s i d e s ，t h e r e i s a n o t h e r t y p e o f q u e s t i o n i n m a n y a r e a s o f a p p l i e d s c i e n c e w h i c h c a n b e m o d e l e d b y ： ：蕊“磅舟。1 l ”，( 卜神l 鐾 ( 1 4 ) iy ( t ) = 妒( t ) ， t o 1 7 h e r e 毋( t ) i sas i v e nc o n t i l l u o 惦f u n c t i o n , r 0i sac o n s t a n td c l a y w ec a l li tn e u t r a ld c l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( n d d e s ) t h en e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a lw i t hm u l t i p l ed e l a y sa c c o r d i n gt ot h ea b o v ee q u a t i o ni s ：翟嚣“。硝。1 l 舟。l ，( 卜州，艚，( 卜落0 0 ( 1 5 )l 掣0 ) = 妒0 ) ， f s 、一7 w h e r e 西( t ) i sag i v c nc o n t i n u o u sf u n c t i o n , 勺 00 = 1 2 ，m ) a ”c o n s t a n td e l a y s ， m 1 i sap o s i t i v ei n t e g e ra n d v ( t 1i su n k n o w nw h e nt 0 第l 页 m a s t e rd i s s e r c a f i o n a sw ek n o w , t h es u b j e c to fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o i l si sa so l d 私t h es u b j e c to fc a l c u l n s a l t h o u g h t h es u b j e c t o f d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i sr e l a t i v e l y y o u n g 。i t s t h e o r e t i c a ls t u d y h a s b e e n m a t u r e dt o d a y h o w e c e r , t h ef i e l do ft h en u m e r i c a lm e m o d sf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si ss t i l l n e w i tw a sn o ts y s t e m a t i c a l l ys t u d i e du n t i l1 9 7 5 1 1 l cl a s o nm a yb e 出a ti nt h ee a r l yy e 鹕i tw a s b e l i e v e dt h a t l v i n gd d e s o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si ng e n e r a l w a sn o td i f f e r e n tf r o m s o l v i n go d e sa n di tw a su n n e c e s s a r yt op a ys p e c i a la t t e n t i o nt ot h es t u d yo fd d e s o nt h ec o n t r a r y , f o re x a m p l e ，u s i n gt h el i n e a rm u l 血t e pm e t h o d so rt h er u n g e - k u t t am e t h o d s ，t h es t a b i l i t ya n a l y s i s o f n u m e r i c a l m e t h o d s f o r d d e s i s m u c h m o r e c o m p l i c a t e d t h a n t h a t f o r 0 d e s f o ran u m e r i c a lm e t h o d i t ss t a b i l i t yi sa n o t h e ri s s u et h a nc o n v e r g e n c e ( i n c l u d i n ga c c u r a c y ) u n s t a b l em e t h o d so rm e t h o d sw i t hv e r ys n a i ls t a b i l i t yl e g l o n sr e q u i r ee x l r e m ec a u t i o n b e 2 a u s c r o u n d i n g 口蕾。惦m a yo v e r w h e l mn u m e r i c a ls o l u t i o n s 州c nh a l tc o m p u t e rp r o g r a m s w h e r e a s m e t h o d sw i t hg o o ds t a b i l i t ym a i n t a i nt h ea s y m p t o t i co ri n s t a n t a n e o u sb e h a v i o ro ft h e o r e t i c a l ( a n a l y t i c ) s o l u t i o n s t h i si sad e s i r a b l ep r o p c r t yf o re n g i n e e r s b 嘲u 辩o fn u m e r o u sk i n 出o f 蜘 d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h e r ea 把a n u m b e r o f c o n c 印据o f s t a b i l i 哼 i n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r t h e n u m e r i c a ls t a b i l i t y o f t h e b l o c k 0 - m e t h o d s f o r d d e s a n d n d d e s t h eb l o c ko - m a t h o d sh a v eg o o ds t a b i l i t yp r o p e r t i e sw i t h o u tr e q u i r i n gh i g ho r d e rd e r i v a t i v e n 掣 h a v eg r e a tp o t e n t i a l y n + l = + o h f ( t 。+ 1 ，y n + 1 ) + ( 1 一口) ( k ，) ( 1 6 ) w h 0s0 1 f o rt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m so fo d e a j t h o u g hi tl o o k ss i m p l e ，t h eo - m e t h o di s v e r ye f f e c t i v ef o rt h ep r o b l e m sw h i c hd en o tr e q u i r eh i g ho r d e rd e r i v a t i v e w h e n0 = 1 2 ，i t i st h e t r a p e z o i d a lm e t h o d , w h i c hi st h eb e s ta - s t a b l el i n e a rm u l f i s t e pm e t h o d w eg e r a l i z e ( 1 6 ) t ot h eb l o c km e t h o da sf o l l o w s w h e r e 磊+ 1 = 互+ o h b f ( 磊+ 1 ) + ( 1 一o ) h b f ( 磊) b = i b ) l k 。b 鼽8 ( k ) ， = ，) ， 五= 协k ，v 。+ l ，。+ k 1 1 r ， 互+ 1 = 乩膏+ 七，舶丘+ + 1 ，“知+ 2 七一1 1 r ， f ( 磊) = l f 七，厶 + l ，厶k + 七一l 】t ， f ( z o + 1 ) = 【厶+ k ，厶膏+ 七+ 1 ，七+ 2 一1 】t 第2 页 ( 1 7 ) m a s t e rd i s s e r t a t i o n t h eo r d e ro fab l o c ko - m e t h o di spi fa n do n l yi f w h c 把 南= d x = = 而= 0a n d 南十1 0 ， 面= 耐一瑶= 0 ， d z = i o b k o 一( 1 一o ) s k o 一碚 ； d j = 扣一南b 碍一揣b 一扣，乩z ，p l e m m a l 1 1 t z s t h eh i g h e s ta t t a i n a b l e o r d e r o f k - d i m e n s i o n b l o c k 0 - m e t h o d i s 矿= 基熊。 ( 1 8 ) l e m m a l 1 2 i l li f t h eo r d e r o f a k - d i m e n s i o n b l o c k0 - m e t h o d i sa l s o k t h e n t h es p e c t r u m o f t h ec o e f f i c i e n tm a t r i xbo ft h em e t h o d , d e n o t e db y 口【明，i se x a c t l y k ) l e m m a1 1 3 【1 1i ft h eo r d e ro fab l o c ko - m e t h o dw i t hb l o c ks i z eko fo r d e rp21 ，t h e n 口阻j t h e o r e m1 1 4b l o c ko - m e t h o di sa - s t a b l e i f a n do n l yi f 【f 一初b 】i si n v e r t i b l ea n d p ( ，一无口b ) 一1 ( ，+ - ( 1 一口) b ) 1 ， w h e n r e ( ) 0 u c o ) = l i b ， w h e r em ( a ) 0 ，t h e n h a v et h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n , ( j 一镢b ) z o + 1 = ( f + ( 1 一o ) - 无b ) z o ， t f 1 一勋b 】i si n v e r f i b l e , t h e n z j + 1 = ( ，一丽口) 一1 ( ，+ ( 1 一o ) 无b ) z o = 【( ，一口无b ) 一1 ( ，+ ( 1 一o ) k b ) i 。+ 1 z o 第3 页 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) m a s t e rd i s s e r t a t i o n i tm e a n st h a t p ( ，一o h b ) 一1 ( ，+ ( 1 一口) 无b ) 1 w h c r cp ( m 1d e n o t e st h es l - 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