（应用数学专业论文）一类无界子算子矩阵的谱.pdf

分类号 u dc 论文题目 | f i l 川i l | 川川| i | | 1 0 y 18 8 8 8 0 4 1 012 6 - 3 0 8 3 6 0 0 7 密级 编号 研究生：张存燕 指导教师： 董垡查塾撞 专 业：应用数学 s p e c t r ao fac l a s so fu n b o u n d e d o p e r a t o rma i t r i c e s z h a n gc u n y a n s u p e i s e db yp r o f e s s o rh u a n gj u n j i e ，p h d s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s i n n e rm o n 9 0 1 i au n i v e r s i t y ，h o h h o t ，010 0 2l m a y 2 0 l l 中文摘要 英文摘要 主要符号表 目录 l l l l l l 第一章绪论1 1 1 前言 1 1 2 本文的主要结果 4 第二章一类无界算子矩阵的谱、点谱和剩余谱 5 2 1 预备知识 5 2 2 主要结果 7 2 3 例子1 3 第三章无界算子矩阵的谱 1 5 3 1 主要结果1 5 总结与展望 参考文献 攻读学位期间的研究成果 致谢 1 8 1 9 2 1 2 2 一类无界算子矩阵的谱1 学生： 导师： 专业： 张存燕 黄俊杰( 教授) 应用数学 摘要 本文利用s c h u r 补的方法研究了一类2 2 阶算子矩阵的谱、点谱、剩余谱和 连续谱首先，通过对点谱和剩余谱的细分，给出了具有斜对角定义域且斜对 角元至少有一个可逆的算子矩阵的谱，l 、2 、3 、4 一类点谱及1 、2 一类剩余谱的完 全刻画其次，对于自然定义域情形，在斜对角元b 为闭算子的情况下，研究了 其谱、点谱、剩余谱及连续谱最后，举例验证了结果的合理性 关键词：算子矩阵，谱，点谱，剩余谱，连续谱 中图分类号：0 1 7 5 3 a m s ( 2 0 0 0 ) 主题分类号：4 7 b 1 国家自然科学基金项目( 1 1 0 6 1 0 1 9 ) ，教育部春晖计划项目( z 2 0 0 9 一l 0 1 0 1 0 ) ，内蒙古自然科学基 金项目( 2 0 0 9 b s 0 1 0 1 ) 资助 s p e c t r ao fac l a sso fu n bo u n d e d 0 p e r a t o rm 姐r i c e s1 z h a n gc u n y a n a d v i s o r ：p r o f e s s o rh u a n gj u n ji e ，p h d ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，i n n e rm o i l g o l i au n i v e r s i t y ) a b s t r a c t t h i st h e s i ss t u d i e st h es p e c t r u m 、p o i n ts p e c t r u m 、r e s i d u a ls p e c t r u ma n dc o n t i n u o u 8 s p e c t r u mo fac l a s so f2 2o p e r a t o rm a t r i c e se m p l o y i n gt h em e t h o do fs c h u rc o m p l 伊 t i o n f i r s to fa l l ，b a s e do nt h es u b d i v i s i o no ft h ep o i n ts p e c t r u ma n dr e s i d u a ls p e c t r u m ， 1 ) l r ec h a r a c t e r i z ef o u rt y p e so fp o i n ts p c c t r aa n dt w r ot ：i r p e so fr e s i d u a ls p e c t r ao ft h eo 垂 d i a g o n a ld o m a i no p e r a t o rm a t r i c e s 诵t ha tl e a s to n ci n v e r t i b l eo 昏d i a g o n a le l c m c n t n e 妣， t h ed e s c r i p t i o i l so ft h es p e c t r u m ，p o i n ts p e c t r u m ，r e s i d u a l ls p e c t r u ma n dc o n t i n u o u ss p e c t r u mo fo p e r a t o rm a t r i c e s 而t hn a t u r a ld o m a i na r es t u d i e d f i n a l l y s o m ee x a h l p l e sa u r e p r e s e n t e dt oi l l 璐t r a t eo u rr e s u l t s k e y w o r d s ： o p e r a t o rm a t r i x ，s p e c t r u m ，p o i n ts p e c t r u m ，r e s i d u a l s p e c t r u m ，c o n t i n u o u ss p e c t r u m c l a s s i f i c a t i o nn u m b e r ： ( c l ) 0 1 7 5 3 a m s ( 2 0 0 0 ) ：4 7 b 1 p r o j e c ts u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t l l r a ls c i e i 脱f o l l n d a t i o no fc h i n a ( 1 1 0 6 1 0 1 9 ) ，t h ec h l m h u i p r o g r a i i lo fm i n i s t r yo fe d u c a t i o no fc l l i n a ( z 2 0 0 9 - 1 - 0 1 0 1 0 ) ，a n dn a t u r a ls c i e n c ef b u n d a t i o no fi n n e r m o n g o l i a ( 2 0 0 9 b s 0 1 0 1 ) 1 0 r c t + 9 ( t ) 勿( t ) ( t ) r ( 入，t ) i p ( 丁) 仃( t ) 唧( t ) 吒( t ) 西( t ) ( t ) 主要符号表 单位算子 空集 实数域 复数域 线性算子t 的伴随算子 线性算子t 的定义域 线性算子t 的值域 线性算子t 的零空间，即集合 z 9 ( t ) ：t z = o ) 线性算子t 的预解式，即( 入，一丁) _ 1 元素z 的范数 线性算子t 的预解集 线性算子t 的谱集 线性算子t 的点谱 线性算子t 的连续谱 线性算子t 的剩余谱 线性算子t 的亏谱 内蒙古大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1前言 算子理论是泛函分析中的一个极其重要的研究领域自2 0 世纪初以来，算子理论得到 了迅速的发展并渗透到数学和其它学科的各个研究领域，形成了一批经久不衰的研究课 题，而算子矩阵理论则是近年来算子理论中最为活跃的研究方向之一 算子矩阵是以算子为元素的矩阵首先，算子矩阵是开展算子理论研究的重要工具 我们知道，如果r 是h i l b e r t 空间玩和上如的直和，即日= 研of 如，则算子丁可以表示 为形如 t = 纠 的2 2 阶算子矩阵，其一为从马到凰的有界线性算子，i ，歹= l ，2 进一步， 若皿是t 的不变子空间，则t 可以表示为如下的2 2 上三角算子矩阵 t = ( 三啪时_ 皿。辟 其次，算子矩阵在诸如偏微分方程、插值理论、最优控制理论等数学研究领域，以及流体 力学、量子力学、磁流体力学等学科得到广泛应用近些年，关于算子矩阵谱问题的研究 较为活跃，其主要研究内容包括算子矩阵的谱、数值域、可逆性、谱扰动及补问题等( 见 【1 1 1 】及其参考文献) 鉴于自伴算子的谱分析已经形成了较为完善的理论【1 2 ，1 3 】，人们在算子矩阵的研究 中主要关注非自伴情形近二十年以来，关于有界算子矩阵的谱、数值域、可逆性、可逆 补等问题，研究结果不断涌现，例如，可参见 2 ，3 ，5 ，6 ，1 1 】及其所引文献而在无界非自伴算 子矩阵的研究中，文献 5 】根据定义域将其分为对角占优、次对角占优和上行占优有界情 形，并将有界情形的结果加以推广此外，对于一类具有深刻力学背景的无界算子矩阵， 无穷维h a 衄l t o n 算子，其有界性、谱理论、数值域、特征向量组的完备性和半群生成定理 等日益引起人们的注意 1 5 - 1 8 】本文主要研究无界算子矩阵的谱理论 s c h u r 补是研究算子矩阵的重要方法之一1 9 8 9 年，n a g e lr 首先在f 1 1 中采用该方法 】 一类无界算子矩阵的谱 研究了一类二阶算子矩阵 m = ( 三三) 的谱实际上，作者在文中要求算子矩阵m 满足条件：m 为闭线性算子，其对角元均具有 非空预解集，且斜对角元分别关于主对角元相对有界此时，m 显然具有对角定义域，即 勿( m ) = 勿( a ) 勿( d ) 后来，文睁1 0 】等考察了非对角定义域情形，特别地，文 9 ，1 0 】研究了一类无穷维h a m i l - t o n 算子的谱在前述工作的基础上，首先本文讨论了斜对角元至少有一个可逆的具有斜 对角定义域的算子矩阵的谱，1 、2 、3 、垂类点谱和l 、2 一类剩余谱这里，我们不要求其内 部的块算子的稠定性和闭性，例如谱和1 一类点谱的刻画仅要求算子矩阵本身是闭的，其 它谱的刻画仅须增加d 为可闭算子 其次，采用s c h u r 的方法对自然定义域情形，初步研究了2 2 阶无界算子矩阵的谱理 论，为进一步研究无界算子矩阵的谱分析奠定基础我们指出，实际上第二章中1 、2 、3 、4 - 类点谱和1 、2 一类剩余谱的有关结果也可拓展到自然定义域情形，文中从略 下面给出文中涉及到的基本概念 定义1 1 1 设x 是b a n a c h 空间，t ：叨( t ) x _ x 是闭线性算子，如果存在复数 入，使得 ( i ) 乃= 入，一t 的值域勿( a ，t ) = ( 入j 一丁) 9 ( t ) = x ， ( i i ) r ( 入，丁) = ( a j 一t ) - 1 存在( 当且仅当入j t 为单射) ， ( i i i ) r ( a ，t ) 是有界线性算子， 则称入为t 的正则值，t 的正则值的全体称为t 的预解集，记为j d ( t ) ，由闭图像定理可知 p ( t ) = 入c ：a ，一t 为单射且留( a j r t ) = x ) 定义1 1 2 设x 是b a n a c h 空间，t ：9 ( r ) sx x 是闭线性算子，称( 丁) = c j d ( t ) 为t 的谱，可分成以下三部分： 仃( t ) = ( t ) u 吼( 丁) u 西( t ) ， 2 内蒙古大学硕士学位论文 。 其中 唧( t ) = a c ：入，一t 不是单射 ， c r c ( t ) = a c ：入j t 是单射，历顶= 可= x 且纺( 入j t ) x ) ， c r r ( r ) = a c ：a ，一t 是单射且纺( a j t ) x ) 定义1 1 3 设x 是b a n a c h 空间，t ：叨( t ) x _ x 是闭线性算子，称集合： ( t ) = a c ：存在 z n ) c 勿( 丁) ，| l z n i i = 1 ，使得恕0 ( 丁一a ，) z 竹| i = o ) 为t 的近似点谱( 或左谱) ；称集合： ( t ) = a c ：t 一入，不是满射 为丁的亏谱( 或右谱) ；称集合： 盯。( t ) = a c ：历( t a ，) 不闭) 为t 的本质谱 注 对于近似点谱和亏谱有：仃( t ) = ( t ) u 印( t ) ，( t ) = 印( t ) 3 4 内蒙古大学硕士学位论文 第二章一类无界算子矩阵的谱、点谱和剩余谱 本章主要给出了一类无界算子矩阵的l 、2 、3 、垂类点谱及l 、2 一类剩余谱的刻画，作 为推论可得到该算子矩阵的谱、点谱、剩余谱和连续谱的刻画，并举例验证了所有结果 的合理性 2 1 预备知识 绪论中给出了点谱、连续谱、剩余谱的定义，在此基础上，再对点谱和剩余谱加以细 分分别称 ，1 ( t ) = 入唧( t ) ：r ( t 一入) = x ) ， ，2 ( t ) = a 唧( t ) ：r ( t 一入) = x ，兄( t a ) 不闭) ， ，3 ( t ) = a 唧( t ) ：兄( t a ) x ，r ( t 一入) 闭的】， 唧，4 ( t ) = 入唧( t ) ：r ( t a ) x ，兄( t a ) 不闭) ， ，1 ( t ) = a 口，( t ) ：r ( t 一入) 闭的) ， ，2 ( t ) = a 听( t ) ：r ( t a ) 不闭) 为t 的1 、2 、3 、垂类点谱和1 、2 一类剩余谱此时， 唧( t ) = 西( t ) = ，1 ( t ) u ，2 ( t ) u 唧，3 ( t ) u 唧，4 ( r ) ， 1 ( t ) uc r r ，2 ( t ) 点谱和剩余谱的各部分之间具有如下关系 引理2 1 1 【17 】设t ：勿( t ) cx _ x 是h i l b e r t 空间x 中的稠定闭线性算子，则 有 ( i ) 入，l ( t ) 当且仅当页1 ( r ) ； ( i i ) 入唧，2 ( t ) 当且仅当天，2 ( t 4 ) ； ( i i i ) a ，3 ( t ) 当且仅当灭，3 ( p ) ； ( i v ) a ，4 ( t ) 当且仅当天唧，4 ( t 4 ) 注 对线性算子的点谱和剩余谱进行的细分，不仅能得到点谱和剩余谱之间的对应 关系，如( i ) 及( i i ) ，而且还能得到近似点谱口劫( t ) 和本质谱吼( t ) 等其它类型谱的精确描 异 一类无界算子矩阵的谱 述，即 。却( t ) = 盯i ( t ) u 仃。( t ) uc r r ，2 ( t ) ； c r e ( t ) = 唧，2 ( t ) u 唧，4 ( 丁) uc r c ( t ) u 盯r ，2 ( t ) 6 m = ( 三三) ：9 c c ，9 c b ，g x x _ x x 中的元素b 具有( 定义全空间上的) 有界逆，则有如下结论 ( i ) a m 为单射当且仅当l 为单射； ( i i ) 入一m 为满射当且仅当l 为满射； ( i i i ) 若d 为可闭算子，则历( 入一m ) = x x 当且仅当历( 1 ) = x ； ( i v ) 若d 为可闭算子，则纺( a m ) 在x x 中闭当且仅当露( 1 ) 在x 中闭 其中1 = c 一( 入一d ) b _ 1 ( a a ) 证明c t ，假设，是单射若有z = ( 兰) 勿c m ，使得c 入一m ，z = 。，即 ( a a ) z 1 一b z 2 = o ( 2 2 1 ) 一c z l + ( 入一d ) z 2 = o( 2 2 2 ) 因b 具有有界逆，由( 2 2 1 ) 式得z 2 = b 一1 ( a a ) z l ，将其代人( 2 2 2 ) 式，整理有 1 2 1 = ( c 一( a d ) b 一1 ( 入一a ) ) z 1 = o 注意到1 为单射，有z 1 = 0 ，进而z 2 = 0 ，这表明a m 是单射 反之，假设入一m 为单射若有1 2 1 = 0 ，取z 2 = b 一1 ( a a ) z 1 ，则 c 入一m ，( 三：) = 。 由于a m 为单射，有z = 0 ，进而z 1 = 0 ，因此1 是单射 c t t ，假设，为满射对任意( 兰) x x ，存在z 勿c a ，使得 l z l = 一勿一( a d ) b 一1 2 1 一类无界算子矩阵的谱 这表明入一m 是满射 反之，假设a m 为满射对任意z 2 x ，取z 1 = o ，便有z 1 9 ( a ) ，z 2 勿( b ) c a m ，( 三：) = ( 二。) 由b 具有有界逆可得1 2 1 = 勿，这表明l 是满射 ( i i i ) 假设历万面= x x 对任意勿x ，记名= ( o ，一勿) ，因勿( a m ) = x x ，则存在茁n = ( z ? ，z 墅) 勿( m ) 使得 即当扎一o 。时， ( a m ) z n z ( n _ ) ， ( a a ) z ? 一b z 墨o ， 一c t ? + ( a d ) z 墨一一勿 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 记u n = ( a a ) z ? 一b z ，有z 呈= b 一1 ( a a ) z ? 一b 一1 u 。，将其代入( 2 2 4 ) 式，整理得 1 z ? + ( 入一d ) b 一1 u n _ 勿 ( 2 2 5 ) 因勿( b ) 9 ( d ) 及d 为可闭算子，算子( 入一d ) b 一1 为定义于全空间上的有界算子这样， 由u n _ 0 一o 。) 便有( 入一d ) b 一1 让n _ o _ ) 于是，( 2 2 5 ) 式化简为 1 z ? _ 勿( 佗_ o o ) 这表明勿( 1 ) = x 贱假设碉靠对任意( 兰) x 蚶，由碉“咻轧? 勿 8 、li-， 施 沈 = 、l 1 2 z z 、l ， m 有 一 ， 入 现 0 b z 、l ， a 一入 ，、 一 b 1 1 2 z 取 取z 呈= b 一1 ( a 故纺( a m ) = x x ( i v ) 假设贸( a m ) 在x x 中闭若l z ? _ z 2 ( 佗_ ) ，取z 呈= b 一1 ( a 一以) z ? ， 及z 1 = 0 ，则 c a m ，( 三：) _ ( 兰) c 佗_ ， 因历c a m ，闭，存在z = ( 兰) 勿c m ，使得 c a m ，( 兰) = ( 兰) 进而l z l = z 2 ，故历( 1 ) 在x 中闭 反之，假设刀( 1 ) 在x 中闭设( 入一m ) z 。_ 名( n o 。) ，其中z 。= ( z ? ，z ) ， z = ( z 1 ，z 2 ) 记u n = ( 入一a ) z ? 一j e 7 z ；，有z 2 = b - 1 ( a a ) z 一b - 1 珏n ，从而 一c z ? + ( 入一d ) b 一1 ( 入一a ) z ? 一( a d ) b 一1 _ 名2 ( 礼一o 。) 注意到算子( a d ) b 一1 的有界性，由_ 名l ( 扎_ o o ) 得 1 。 _ 一勿一( a d ) b - 1 2 1 ( n 。) 由纺( 1 ) 闭可知，存在z 1 9 ( 1 ) 使得1 z l = 一勿一( 入一d ) b 一1 名1 取z 2 = b 一1 ( a a ) z 1 一b 一1 z l ，便有 c a m ，( 兰) = ( 兰) 于是，纺( a m ) 在x x 中闭 记，6 ( t ) = 唧( t ) u ( t ) ，有下面定理 9 一 一类无界算子矩阵的谱 定理2 2 2 在定理2 2 1 的条件下，若m 为闭算子，仍记1 = c 一( a d ) b 一1 ( a a ) ， 有 ( i ) a 仃( 订) 专o a r p ，6 ( 1 ) ； ( i i ) a 唧，1 ( m ) 兮0 唧，l ( 1 ) ； ( i i i ) 若d 为可闭算子，则a 唧，2 ( m ) 营o 唧，2 ( 1 ) ； ( i v ) 若d 为可闭算子，则a ，3 ( m ) 兮0 ，3 ( 1 ) ； ( v ) 若d 为可闭算子，则入唧，4 ( m ) 营o ，4 ( 1 ) ； ( v i ) 若d 为可闭算子，则a 仃，1 ( m ) 营0 c r r ，l ( 1 ) ； ( 、r i i ) 若d 为可闭算子，则入仃，2 ( m ) 铮0 2 ( 1 ) 证明 注意到m 为闭算子，结论( i ) 和( i i ) 由定理2 2 1 中的结论( i ) 和( i i ) 立得； 结论( i i i ) 一( v i i ) 是定理2 2 1 中的结论( i ) ，( i i i ) 和( i v ) 的直接结果 _ 注 我们指出：由于定理中除要求m 闭外，对a ，c 无任何要求，所以算子1 未必为 闭算子从而，结论( i ) 中唧，6 ( 1 ) 未必等于口( 1 ) 同时，本文的结果也不能通过 5 】中的方 法得到在定理2 2 1 ，2 2 2 中，将算子b 的可逆性改为算子c 的可逆性，可得类似结论 由定理2 2 2 ，自然可以得到下面的推论 推论2 2 1 - 设x 为h i l b e r t 空间，闭算子矩阵 m = ( 三三) ：9 c c ，勿c b ，x x x x 中的元素b 具有( 定义全空间上的) 有界逆，则如下结论成立 ( i ) 入p ( 订) 专o p ( 1 ) ； ( i i ) a ( m ) 铮o 唧( 1 ) ； ( i i i ) 若d 为可闭算子，则入( 日) o c r r ( 1 ) ； ( i v ) 若d 为可闭算子，则入( m ) 营o ( 1 ) 证明结论( i ) 、( i i ) 由定理2 2 1 中的结论( i ) 和( i i ) 立得；结论( i i i ) 是定理2 2 2 中结 论( 访) 和( v i i ) 的直接结果结论( i v ) 是定理2 2 2 中结论( i ) 和本结论( i i ) 、( i i i ) 的推论 - 注在推论2 2 1 ，中，将算子b 的可逆性改为算子c 的可逆性，可得类似结论 类似地，当b ，c 均具有有界逆时，有下面定理 1 0 内蒙古大学硕士学位论文 定理2 2 3 设x 为h i l b e r t 空间，且算子矩阵 m = ( 三三) ：9 c c ，勿c b ，x x x x 中的元素b 、c 均具有( 定义全空间上的) 有界逆记2 = c 一1 ( 入一d ) b 一1 ( a a ) ，3 = b - 1 ( a a ) c 一1 ( a d ) ，则有如下结论： ( i ) 入一m 为单射，一2 为单射，一3 为单射； ( i i ) a m 为满射，一2 为满射j 一3 为满射； ( i i i ) 若d 为可闭算子，则勿( 入一m ) = x x 兮勿( ，一2 ) = x 兮叨( ，一3 ) = x ： ( i v ) 若d 为可闭算子，则劈( a m ) 在x x 中闭砑( j 一2 ) 在x 中闭铮勿( ，一 3 ) 在x 中闭 证明定理2 2 3 的证明类似于定理2 2 1 ，只要注意到b 、c 均具有有界逆即可 定理2 2 4 在定理2 2 3 的条件下，若m 为闭算子，仍记2 = c - 1 ( a d ) b - 1 ( a a ) ，3 = b _ 1 ( a a ) c 一1 ( 入一d ) ，有 ( i ) 入盯( m ) 铮l 唧，6 ( 2 ) l 唧，6 ( 3 ) ； ( i i ) 入唧，1 ( m ) 1 唧，1 ( 2 ) 兮1 唧，1 ( 3 ) ； ( i i i ) 若d 为可闭算子，则入，2 ( m ) 营1 唧，2 ( 2 ) 营1 ，2 ( 3 ) ； ( i v ) 若d 为可闭算子，则入，3 ( m ) 兮1 唧，3 ( 2 ) 1 唧，3 ( 3 ) ； ( v ) 若d 为可闭算子，则入，4 ( m ) 营l 唧，4 ( 2 ) 兮1 ，4 ( 3 ) ； ( 、，i ) 若d 为可闭算子，则入l ( m ) l 听，1 ( 2 ) 营l 1 ( 3 ) ； ( 访i ) 若d 为可闭算子，则入2 ( m ) l 听，2 ( 2 ) 营1 2 ( 3 ) 证明注意到m 为闭算子，结论( i ) ( i i ) 由定理2 2 3 中的结论( i ) 和( i i ) 立得；结论( i i i ) 一 ( 诚) 是定理2 2 1 中的结论( i ) ，( i i i ) 和( i v ) 的直接结果 - 由定理2 2 4 ，自然可以得到下面的推论 推论2 2 2 设x 为h i l b e r t 空间，闭算子矩阵 m = ( 三三) ：勿c c ，9 c b ，x x x x 一类无界算子矩阵的谱 中的元素b 、c 均具有( 定义全空间上的) 有界逆，则如下结论成立： ( i ) a p ( 日) 亨1 p ( 2 ) 车争1 j d ( 3 ) ； ( i i ) a 唧( h ) 兮1 唧( 2 ) l 唧( 3 ) ； ( i i i ) 若d 为可闭算子，则a ( 日) 铮1 昕( 2 ) 兮1 o r r ( 3 ) ； ( i v ) 若d 为可闭算子，则a c r c ( 日) l ( 2 ) l ( 3 ) ； 这里，2 = c _ 1 ( a d ) b - 1 ( a a ) ，3 = b - 1 ( a a ) c q ( a d ) 证明结论( i ) 、( i i ) 由定理2 2 3 韵( i ) 、( i i ) 立得；结论( i i i ) 是定理2 2 4 结论( v i ) 、( v i i ) 的直接结果结论( i v ) 是定理2 2 3 中结论( i ) 和本结论( i i ) 、( i i i ) 的推论 - 1 2 给 容 由 并 显然有 从而与定理2 2 1 中结论( i i i ) 相吻合 例2 3 2 取x = 三2 ( o ，1 ) ，定义x 中的算子b 和d 分别为 9 ( b ) = 札x ：仳7 绝对连续，u ( o ) = u ( 1 ) = o ，u x ) ， 9 ( d ) = 牡x ：u 绝对连续，u ( o ) = o ，“7 x ) 显然，d 可闭，贸( d ) = x ，且容易证明b 可逆令 m = ) ， 取入= 0 时，则勿( m ) 和勿( 1 ) 均为闭集 事实上，对任意名= ( z 1 ，钇) x x ，由历( d ) = x 知，存在z 2 勿( d ) 使得d z 2 = 物取 z 12 名1 一b z 2 ， 垦铲谤 i l i f b d 一类无界算子矩阵的谱 并记z = ( z 1 ，z 2 ) ，便有m z = z ，这表明勿( m ) = x x ，显然露( m ) 闭而此时， 1 = c 一( 入一d ) b 一1 ( a a ) = 一d b ， 由勿( b ) 珍( d ) 及勿( d ) = x 知，劈( 1 ) = x 从而历( 1 ) 闭这与定理2 2 1 中的结 论( i i ) 和( i v ) 相符合 1 4 内蒙古大学硕士学位论文 第三章无界算子矩阵的谱 无界算子矩阵研究起来具有一定难度，人们常常对其定义域和其内部项“无界的程 度”加以分类，如所谓的对角占优、次对角占有、上行占优等本章对自然定义域下无界 算子矩阵的谱、点谱、剩余谱和连续谱做初步探讨 3 1主要结果 引理3 1 1 设x 是h i l b e r t 空间，t ：勿( t ) x _ x 是闭线性算子，对集合s 9 ( t ) ，当且仅当如下的性质( p ) 成立时丑为闭算子： ( p ) 跏勿( t ) s ：对任意 z n ) pc j i mz n = 。o ， 7 k n p 为c a u c h y 列) = ， n o o 其中乃= t b 注该结果的证明是显然的显然，在t 为闭算子的条件下，若t i s 为有界算子，则t i s 为闭算子当且仅当s 必为闭集 定理3 1 - 1 设x 为h i l b e r t 空间，闭算子矩阵 m = ( 三三) ：c 勿c a ，n 勿c c ，c 勿c b ，n 勿c 。，x x _ x x 中的元素b 是闭算子若b 满足性质( p ) ，勿( b 1 ) = x ，且b 1 为单射，则有如下结论： ( i ) a 盯( m ) o 唧，6 ( 1 ) ； ( i i ) a 唧( m ) o ( 1 ) ； ( i i i ) 若d 为可闭算子，则a ( m ) 铮o c r r ( 1 ) ； ( i v ) 若d 为可闭算子，则入( m ) 兮0 ( 1 ) 这里，b 1 = b 1 9 ( b ) n 9 ( d ) ，l = c 一( 入一d ) b f l ( a a ) 证明由引理3 1 1 可得b l 为闭算子又由留( b 1 ) = x ，b 1 为单射立得b l 具有有界逆 ( i ) 只需证明a m 为单射当且仅当1 为单射且a m 为满射当且仅当1 为满射 充分性假设。p c ，若有( 耋) 勿c m ，使得 c a m ，( 三：) = 。 即 一类无界算子矩阵的谱 ( a a ) z 1 一b 1 2 2 = 0 ，( 3 1 1 ) 一c z l + ( 入一d ) z 2 = 0 ( 3 1 2 ) 因b l 具有有界逆，由( 3 1 1 ) 式得z 2 = j e 7 f 1 ( a a ) z l ，将其代人( 3 1 2 ) 式，整理有 l z l = ( c 一( a d ) b f l ( a a ) ) z l = o 注意到o j d ( 1 ) ，有z l = 0 ，进而z 2 = 0 ，即x = 0 这表明入一m 是一一的，下证a m 还 是在匕的 事实上，对任 d ) b i - 1 2 1 取z 2 = x x ，存在z 1 9 ( a ) n 勿( c ) ，使得l z l = 一勿一( 入一 4 ) z l b f l 名l 有 c a m ，( 三：) = ( 兰) 这表明a m 是在上的综上知a p ( m ) 必要性：假设a j 口( m ) 若有1 2 1 = 0 取z 2 = b f l ( a 一4 ) z 1 ，则 c 入一m ，( 三：) = 。 由于入p ( m ) ，知z l = 0 ，这表明1 是一一的，下证1 还是在上的 ( 入一m )= ( 二 由b 1 具有有界逆可得1 z l = 勿，这表明1 是在上的综上知0 p ( 1 ) 在证明( i ) 的过程中，我们已经证明了( i i ) 由( i ) 得证明，还可得到纺( a m ) = x x 的充要条件是历( 1 ) = x 为证明( i i i ) 成立，结合剩余谱的定义，我们只需要证明 历苁面= x x 的充要条件是历硒万= x 假设历顶面= x x 对任意勿x ，取2 1 = o ，因历万面= x x ，则存在 印( 舢得 c a m ，( 三；) _ ( ：) ， 1 6 、l，一 幻勿一1 意 旧 使得 1 z 一一勿一( a d ) b f l z l ( 礼_ ) 取z 呈= b f l ( a a ) z 2 一b f l z l ，便有 故留( 入一m ) = x x c a m ，( 三；) _ ( 三) c n _ ， 结论( i v ) 是结论( i ) 、( i i ) 、( i i i ) 的推论 1 7 总结与展望 总结与展望 本文主要研究了一类算子矩阵的谱首先，具有斜对角定义域的算子矩阵在其斜对角 元至少有一个可逆的情况下，通过对点谱和剩余谱的细分，刻画了其谱、各类点谱及各类 剩余谱并给出具体例子来说明结果的有效性其次，对于自然定义域的情形，在斜对角 元b 为闭算子的情况下，研究了其谱、点谱、剩余谱及连续谱 由于作者学识有限，上述工作仅仅是个开端，还有许多问题有待研究，例如： ( i ) 对于本文的算子矩阵，是否可以刻画其它谱，如本质谱、近似点谱及亏谱；以及它 们之间的相互关系 ( i i ) 一般算子矩阵的1 、2 、3 、垂类点谱，1 、2 一类剩余谱如何刻画? 以上是作者对本文工作的一个简要的总结和对后续工作的一点展望由于时间原因， 文中难免存在疏忽和不妥之处，敬请翻阅本文的各位专家和学者批评指正 1 8 【3 】 h a njk ，l e ehy ，l e ewy i n v e r t i b l ec o m p l e t i o n so f2 2u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o r m a t r i c e s p r o c a m e r m a t h s o c ，2 0 0 0 ，1 2 9 ：1 1 9 1 2 3 【4 】h u a n gis ，l e ew y t h eb o u n d e d n e s sb e l o wo f2 2u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i c e s i n t e g r e q u o p e r t h e o r y ，2 0 0 1 ，3 9 ：2 6 7 _ 2 7 6 【5 】 n e t t e rc s p e c t r a lt h e o r yo fb l o c ko p e r a t o rm a t r i c e sa n da p p l i c a t i o 璐l o n d o n ：i m p e r i a l c o l l e g ep r e s 8 ，2 0 0 8 【6 】海国君算子矩阵的补问题和谱呼和浩特：内蒙古大学数学科学学院，2 0 1 0 【7 】吴德玉，阿拉坦仓无穷维h a m i l t o n 算子的二次数值域数学的实践与认识，2 0 0 9 ， 3 9 ( 2 1 ) ：1 8 6 _ 1 9 1 【8 】 黄俊杰，阿拉坦仓一类二阶算子矩阵的谱内蒙古大学学报，2 0 0 3 ，3 4 ( 3 ) ：2 4 9 _ 2 5 1 【9 l 阿拉坦仓，黄俊杰一类无穷维h 砌l t o n 算子的谱分布大连理工大学学 报，2 0 0 4 ，4 4 ( 3 ) ：3 2 6 _ 3 2 9 【1 0 】侯国林，阿拉坦仓一类无穷维h a i i l i l t o n 算子的谱内蒙古大学学报，2 0 0 7 ，3 8 ( 3 ) ：2 4 7 - 2 5 1 【1 1 】李愿2 2 上三角算子矩阵的w 谢定理，山东大学出版社( 理学版) ，2 0 0 7 【1 2 】砌b e r td g