（课程与教学论专业论文）“四基”指导下的数学开放题的问题解决与教学评价的研究.pdf

论文题目： 学科专业： 学位申请人： 指导教师： “四基”指导下的数学开放题的问题解决与教学评价的研究 课程与教学论 陈亮 陆新生副教授 摘要 “数学开放题”是日本数学教育学者于2 0 世纪7 0 年代末提出的一种 数学习题新题型。学生在数学开放题的解决过程中往往可以形成积极探究 和创造的心理态势，并对数学的本质产生一种新的领悟。它迎合了时代发 展的需要，是推进素质教育以及培养学生创新精神的切入口。尽管国内、 外对于数学开放题的研究已经取得了不少成果，但其理论的探讨始终与数 学课堂教学有一定的距离，不太符合我国的教育大环境；而实践上的论述 也大多徘徊在经验积累的层次，缺乏理论层面的深入分析。 新近提出的“数学四基”是根植于我国数学课程标准的“数学双基” 在新时期的拓展。它在关注学生数学知识掌握的同时，也强调了思维的训 练以及经验的积累，兼顾了创新能力培育的全部三个基础。这是新课标 修订的一条主线，也为我国下一阶段的数学教育改革以及数学开放题的研 究指明了新的方向。要想形成既关注“演绎能力”，又注重“归纳能力 的 数学教学模式，就需要将“数学四基 与“数学开放题 相结合，只有这 样才可能产生理想的优质数学教育。 笔者立足于我国数学教育、教学的实际以及个人的思考，以“问题解 决中的系统论思想 以及“学习结果的质性评价理论 作为研究的理论基 础，以“数学四基 作为研究的指导方针，尝试性地提出了“四基”指导 下的数学开放题的问题解决策略以及“四基 指导下的数学开放题的教学 评价模式，并分别通过两个相关的案例对它们的应用进行了详细的说明。 最后，笔者结合研究总结提出若干思考与建议。 关键词：数学四基数学开放题问题解决教学评价 论文类型：理论研究 t i t i e m a j o r ： a p p l i c a n t ： s u p e r v i s o r ： t h er e s e a r c ho np r o b l e ms o l v i n ga n dt e a c h i n g a s s e s s m e mo fo p e n e n d e dm a t hp r o b l e mw i m t h ed i r e c t i o no f “f o u rb a s i c s c u r r i c u l u ma n dt e a c h i n gm e t h o d o l o g y c h e nl i a n g a p l ux i n s h e n g a b s t r a c t ”o p e n e n d e dm a t hp r o b l e m ”i san e wt y p eo fm a t h e m a t i c se x e r c i s ep u t f o r w a r db yj a p a nm a t h e m a t i c se d u c a t i o ns c h o l a r sa tt h ee n d o ft h e 19 7 0 s s t u d e n t sc a r lo f t e nf o r mm e n t a ls i t u a t i o no fa c t i v ei n q u i r ya n dc r e a t i o nd u r i n g t h ep r o c e s so fs o l v i n gi t , a n d p r o d u c ean e wi n s i g h ti n t ot h en a t u r eo f m a t h e m a t i c s i tm e e t st h en e e d so ft h ed e v e l o p m e n ta n di ti sa l s ot h ee n t r y p o i n t o fp r o m o t i n gb o t ht h eq u a l i t ye d u c a t i o na n dc u l t i v a t i n gs t u d e n t s i n n o v a t i o n s p i r i t a l t h o u g ht h e r eh a sb e e nal o to fa c h i e v e m e n t si no p e n e n d e dm a t h p r o b l e mr e s e a r c hi nd o m e s t i ca n df o r e i g nf i e l d ，b u tt h e r ee x i s t sac e r t a i n d i s t a n c eb e t w e e ni t st h e o r e t i c a ld i s c u s s i o na n dt h em a t h e m a t i c a lc l a s s r o o m t e a c h i n g ，w h i c h c a nn o tc o n f o r mt oc h i n a se d u c a t i o n s y s t e m ；a n dm o s t p r a c t i c a ld i s c u s s i o nw a n d e r si nt h el e v e lo fe x p e r i e n c ea c c u m u l a t i o na n dl a c k s i n - d e p t ht h e o r e t i c a la n a l y s i s m a t h e m a t i c sf o u rb a s i c s ”p r o p o s e d r e c e n t l y i st h ed e v e l o p m e n to f ”m a t h e m a t i c st w ob a s i c s ”r o o t e di nc h i n am a t h e m a t i c sc u r r i c u l u ms t a n d a r d si n t h en e we r a i te m p h a s i z e st h et r a i n i n go ft h i n k i n ga n dt h ea c c u m u l a t i o no f e x p e r i e n c ea tt h es a m et i m eo ff o c u s i n go ns t u d e n t s m a t h e m a t i c sk n o w l e d g e m a s t e r y , t a k i n ga c c o u n to fa l l t h et h r e eb a s i c so ft h ei n n o v a t i o na b i l i t y c u l t i v a t i o n t h i si sam a i nl i n eo ft h e n e wc u r r i c u l u ms t a n d a r d s r e v i s i o n a n d a l s oi n d i c a t e st h en e wd i r e c t i o nf o ro u rc o u n t r ym a t h e m a t i c se d u c a t i o nr e f o r m o ft h en e x tp h a s ea sw e l la st h es t u d yo fo p e n e n d e dm a t hp r o b l e m i no r d e rt o f o r mam a t h e m a t i c a lt e a c h i n gm o d ep a ya t t e n t i o nt ob o t h ”d e d u c t i v ec a p a b i l i t y a n d ”c o n c l u s i o na b i l i t y ”i tn e e d st oc o m b i n e ”m a t h e m a t i c sf o u rb a s i c s ”w i t h ”o p e n e n d e dm a t hp r o b l e m ”w h i c hi sp o s s i b l et op r o d u c ei d e a lh i g h - q u a l i t y m a t h e m a t i c a le d u c a t i o no n l yi nt h i sw a y t h ea u t h o rt e n t a t i v e l yp r o p o s e st h ep r o b l e ms o l v i n gs t r a t e g i e sa n dt h e t e a c h i n ga s s e s s m e n tm o d e lo fo p e n e n d e dm a t hp r o b l e mw i t ht h ed i r e c t i o no f “f o u rb a s i c s ”，b a s e d0 1 1t h ea c t u a lm a t h e m a t i c a le d u c a t i o n 、t e a c h i n go fo u r c o u n t r ya n dt h ei n d i v i d u a lt h i n k i n g w i t l l ”s y s t e mt h e o r yt h o u g h to fp r o b l e m s o l v i n g ”a n d ”q u a l i t a t i v ea s s e s s m e n tt h e o r yo fl e a r n i n go u t c o m e s ”a st h e r e s e a r c ht h e o r e t i c a lb a s i s ，w i t h ”m a t h e m a t i c sf o u rb a s i c s ”a st h er e s e a r c h g u i d e l i n e s ，a n ds e p a r a t e l yg a v ead e t a i l e dd e s c r i p t i o no ft h e i ra p p l i c a t i o n t h r o u g h t w or e l a t e dc a s e f i n a l l y , t h ea u t h o rp u t sf o r w a r ds o m et h i n k i n ga n d s u g g e s t i o n sa c c o r d i n gt os t u d ys u m m a r i e s k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c sf o u rb a s i c s ，o p e n - e n d e dm a t hp r o b l e m ，p r o b l e m s o l v i n g ，t e a c h i n ga s s e s s m e n t t h e s i st y p e ：t h e o r e t i c a lr e s e a r c h 上海师范大学硕+ 学位论文第一章绪论 第一章绪论 本章首先介绍本文所研究的问题的背景，然后提出研究的具体问题， 即对于分别选取数学开放题及其教学作为研究对象以及选取“数学四基教 学观”作为研究视角进行简要的说明，最后阐明本研究的意义以及研究的 方法。 1 1 研究的背景 1 1 1 数学开放题及其教学的产生时代的呼唤 数学是研究客观世界中空间形式和数量关系的- - n 科学，它具有较强 的概括性、抽象性和逻辑性。长久以来，数学课程也总是展现出它那“演 绎的、逻辑的和相对封闭的 一面。由此，数学教育通常会被人们视为是 “逻辑教育 ，而这里的“逻辑 又常被简单化地认为是“形式逻辑 ( 或 称“演绎逻辑”) 。“形式逻辑 具有从一组公理出发进行演绎的特性，具有 强烈的封闭特征。从这个意义上来说，数学教学确实也是“封闭的 ，似乎 毫无开放性可言。然而，我们只要悉心分析便会发现，数学的教学其实同 其他学科的教学一样，是一个外开放的系统i 。 首先，数学科学体系建立的本身具有开放的特性。在建立严密的数学 理论的过程中，数学家选取哪些公理( 或事实) 作为一切推理的出发点， 其选择是开放的；有了这些公理后，研究哪些有意义的命题与定理，其选 择亦是开放的：确定了待研究的命题与定理后，如何开展推导工作，其思 维策略更是开放的。由德国数学教育家费歇( f i s c h e r ) 所提出的有关“开 放数学的观点认为：“如果某个领域具有数学结构，那么人们就相信它包 含着所有情形，能够回答任何相关问题，这样一个封闭理论就有用了，o o bo go 这种对逻辑上封闭的相容结构的驱动，是数学及其应用的一个特征；数学 1 1 1 戴再平等开放题一一数学教学的新模式【m 1 上海：上海教育出版杜，2 0 0 4 1 0 第一章绪论上海师范大学硕士学位论文 还有一个特征，就是它的引导性，它引导概念形成的过程。在开放数学中 发展起来的方法，首先是以高度的自我解说，逐渐获得概念，这样的 概念将有助于理解，并可能有助于人们的交流 【1 1 。在费歇看来，每一种 数学理论都能建立起客体之间的相互关系，只需用一系列符号与规则就能 表达出由这些关系所间接确定的数学概念。由此，数学得到发展，关系得 到证明。数学家头脑中那些用于导出某一新理论的思维领域是无法用符号 证明覆盖的，只有那些与数学公理相结合的关系才会被归入“封闭数学” 之中。与“封闭数学”相比，“开放数学”会引起各种可能，其设计就是为 了摆脱“一旦形成了一种封闭观点，有关关系的范围会经常容易丢失 的 困境l 引。 其次，数学教学的过程是开放的。日本学者能田伸彦认为，学生的思 维活动是开放的，数学思维的进程也是多样的；在数学教学中，学生思维 的开放性和数学思维的多样性是互相结合的1 3 j 。 由此可见，数学本质的“开放”与其外在表现的“封闭形成了一对 矛盾。虽然数学“封闭演绎的”特征在这场争斗中暂时占了上风，但人们 对数学科学体系和主体思维过程的开放性的认识，却从未停止过对传统封 闭思维方式的挑战。特别是以牛顿( n e w t o n ，s i ) 为代表的数学巨匠们不 顾欧几里得关于数学严密性的要求，大胆地创立了微积分，彻底冲破了由 几何原本所建立起的、长达近两千年的“数学= 逻辑演绎”的规则， 成为了近代数学开始的标志。微积分对于人类现代社会的巨大贡献似乎也 预示了数学及其教学也应朝着开放的方向发展。 近半个世纪以来，随着信息技术的飞速发展，人类已不可避免地迈入 了全球化的时代，这是继文字的出现和活字印刷术的发明之后，人类的第 三次伟大跃进。在这个飞速发展并且开放的社会中，知识己成为了经济发 u f i s c h e r , r o f f e n em a t h e m a t i ku n dv i s u a l i s i e r u n g j m a t h e m a t i c ad i d a c t i c a 1 9 8 4 ( 7 ) ： 1 4 0 - 1 4 1 羽徐斌艳数学教育展望【m 1 上海：华东师范大学出版社2 0 0 3 1 8 1 9 1 3 1 n o b u h i k on o h d a m a t h e m a t i c st e a c h i n gb y 。o p e n - a p p r o a c hm e t h o d 。i nj a p a n e s e c l a s s r o o ma c t i v i t i e s a p r o c e e d i n g so fi c mi e a r c o m e1 【c l2 0 0 0 ：1 8 5 1 9 1 2 上海师范大学硕士学位论文第一章绪论 展的直接资源，信息也成为了极其重要的竞争要素，公民的数学素养更是 社会发展的重要尺度。为了使人们能适应社会发展的需要，客观上就要求 能够通过数学教育培养出具有更高数学素质、更强创造能力的人才。江泽 民同志曾在1 9 9 9 年6 月召开的第三次全国教育工作会议上深刻地揭示了创 新教育的历史意义与现实意义，他指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是 国家兴旺发达的不竭动力a ”然而教育的相对滞后性，尤其是“以课堂、教 师和课本为中心”的教育理念在国际教育界仍占主导地位的事实，严重制 约了学生创新意识和实践能力的形成。新中国成立以来，我国的数学教育 由于深受凯洛夫教育主张的影响，这点尤其突出。 波兰尼的“默会知识论 ( t a c i tk n o w l e d g et h e o r y ) 使得人们对“学习 这一概念有了新的认识，而“新数 运动的急剧衰落又促使人们在对历史 的反思中逐步认识到，数学教学模式应在综合化的过程中达到优化【l 】。显，一 然，题设与结论都十分明确的数学封闭性问题是难以承担此重任的。由此， 也引起了国际数学教育界的思考与探索。： 气7 2 0 世纪7 0 年代，日本的数学教育家开始探索各种可能促进学生数学 问题解决能力的教学模式。1 9 7 1 年，以日本国立研究所的岛田茂为首，包。一一： 括泽田利夫和桥本吉彦等2 7 位专家在内的一个日本数学教育学者群体，开 展了“开发算术以及数学学科的更高的评价方法 的专项研究。在此研究 中，该小组提出了数学开放题的雏形一一数学“开放式结尾问题 ( o p e n e n d e dp r o b l e m ) 的概念。他们发现，主体在数学开放题的解决过 程中往往可以形成积极探究和创造的心理态势，对数学的本质产生一种新 的领悟1 2 1 。1 9 7 7 年该小组的研究报告文集算术、数学课的开放式问题一 一改善教学的新方案( 算数数学科。才一歹7 工7f7 歹口一于) 的 出版，使得世界数学教育界开始正式关注“数学开放题及其教学”这一崭 新的领域；1 9 8 6 年国际数学教育委员会( i c m i ) 充分肯定了有关数学开放 题的研究工作，并指出：“如果在数学课堂上进行更多的没有固定答案 n 1 戴再平时代的呼唤数学开放题研究进展综述【j 】中学数学教学参考，1 9 9 9 ( 4 ) ： 1 8 1 2 1 戴再平j 一组数学开放型题的试验与分析【j 1 数学教禽学报1 9 9 3 2 ( 4 ) ：1 5 3 第一章绪论 上海师范大学硕士学位论文 的研讨，这种趋势也许会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予数学学科 的美感【1 】；1 9 8 8 年，在匈牙利首都布达佩斯召开的第六届国际数学教育 大会( i c m e 6 ) 上，参与“问题解决的模式与应用”专题组研讨的代表们 一致认为，数学“开放题 与“探究题”是培养学生创新精神和创造能力 的最有价值的问题。由此，“开放题”在数学教育领域中的地位得到了进一 步的确立。 目前，数学开放题俨然已成为了培养数学问题解决能力的重要工具。 这类问题的引入使数学教育更加接近于现实数学，使学生能充分体验到数 学问题的解决与现实世界的密切相关性。数学教育工作者们普遍认为，面 对问题情境时，数学开放题能在最大程度上鼓励学生以各种不同的思路和 策略进行思考并着手解决，这是锻炼学生独立识别问题、分析问题与解决 问题能力的有效途径，并且这些能力恰恰是我们适应这个飞速发展的时代 所必须具备的【2 1 。 可见，数学开放题及其教学的产生是时代呼唤的结果。 1 1 2 “数学四基教学观一的提出课改的需求 1 9 9 9 年6 月，中共中央、国务院颁布的关于深化教育改革，全面推 进素质教育的决定明确指出，“要调整和改革课程体系、结构、内容，建 立新的基础教育课程体系”；2 0 0 1 年6 月，国务院颁布的关于基础教育 改革与发展的决定进一步明确了“加快构建符合素质教育要求的基础教 育课程体系 的目标任务；2 0 0 1 年7 月，全日制义务教育数学课程标准 ( 实验稿) ( 以下简称新课标) 由教育部正式颁布并实施；从2 0 0 1 年 9 月起，数学新课改实验开始在全国3 8 个实验区同步实行并逐步向全国推 广实施，这标志着我国新一轮的基础教育数学课程改革正式开启了帷幕。 提到我国的数学课程改革，自然不能忽略根源于数学教学大纲、具有 ( 1 1 i c m i 国际展望：九十年代的数学教育【m 】张奠宙，丁尔升，李秉彝等编译上海：上海 教育出版社1 9 9 0 7 9 2 1 徐斌艳数学课程与教学论i m 】杭州：浙江教育出版社2 0 0 3 2 4 4 上海师范大学硕士学位论文第一章绪论 中国特色的“数学双基 ( 数学“基础知识”与“基本技能的统称) 。早 在1 9 5 2 颁行的中学暂行规程( 草案) 中，“数学双基就确定了它的历 史地位：“使学生得到现代科学的基础知识和技能，养成科学的世界 观”：在1 9 6 3 年颁行的全日制中学数学教学大纲( 草案) 中，“数学双 基”的地位更是得到了进一步的明确：“中学数学的教育目的应当包括传授 数学基础知识、培养基本技能，发展智力和进行思想政治教育三个方面， 这三个方面是一个统一整体，不可分割”，“传授数学基础知识、培养基本 技能是中学数学教学的首要目的 1 1 1 。从此，“数学双基教学观”便成为了 我国数学课堂教学的首要指导思想，即使在新课标推广实施1 0 年后的 今天，重视“数学双基”依旧是我国大多数数学教师孜孜以求的教学目标。 重视“数学双基 是我国数学教育的优良传统，在实际操作中也确实 让我们尝到了不少“甜头。在历届国际数学奥林匹克竞赛( i m o ) 中，俄 国选手常常能取得多枚满分金牌和团体总分第一的骄人战绩；在1 9 8 9 年由 美国教育测试中心( e t s ) 组织的国际教育成就评价( i a e p ) 中，我国大 陆地区的学生在唯一参加的1 3 岁组数学测试中，总平均分名列第一【2 l ；在 经济合作与发展组织( o e c d ) 主持的2 0 0 9 年国际学生评价项目 ( p i s a 2 0 0 9 ) 中，首次参与该项目的中国上海的中学生遥遥领先于其他6 4 个国家与地区的同龄学生，在数学、科学和阅读全部三项素养中均名列第 一，一举打破了该项目以往的所有记录【3 】。尽管我国学生取得的这些优异 成绩是多方面努力的共同结果，但“数学双基 绝对是他们取得佳绩的一 个重要因素。 值得注意的是，这些数学方面的好成绩是以巨大的付出为代价的。首 先，“数学双基 的重视使得学生们的课业负担过重，在对“数学基础知识 的掌握和“数学基本技能 的操练上花费了大量的时间，这就是不少学者 1 1 1 田中，徐龙炳，张莫宙数学基础知识、基本技能教学研究探索【m 1 上海：华东师范大 学出版社，2 0 0 3 1 - 2 ( 2 1 张莫宙，李士镝，李俊数学教育学导论【m 】：i l k ：高等教育出版社，2 0 0 2 1 - 3 1 s l 陆璁，朱小虎如何看待上海2 0 0 9 年p i s a 测评结果中国上海中学生首次参加国际 测评结果反响述评【j 】上海教育科研，2 0 1 1 ( 1 ) ：1 7 5 第一章绪论上海师范大学硕七学位论文 所提出的“数学双基 教学效率的问题；此外，这些反复操练还常常牺牲 了对学生体育、艺术等方面的培养，导致学生难以获得健全的身心与人格； 再者，通过“数学双基 教学中大量的“刺激反应”训练所建立起的 对数学习题的“敏感性”也导致了学生对数学的厌恶i l 】。 人们普遍认为，个人创新能力的发展主要依赖于三个同等重要的方面， 它们分别是：知识的掌握；思维的训练；经验的积累。 毫无疑问，“数学双基”为我国学生数学知识的掌握提供了有力的保障。 重视“数学双基”的传统需要继承与发扬，但其中因循守旧的一面显然已 经无法适应信息技术时代对于人们创新能力所提出的要求。 对于思维的训练，新课标在其总目标中提出了明确的要求：“通过 义务教育阶段的数学学习，使学生能够初步学会运用数学的思维方式去观 察、分析现实社会，去解决日常生活中和其它学科学习中的问题，增强应 用数学的意识”。这样的目标表述促使人们对于事物的认识由感性阶段发展 到理性阶段，并使理性认识进一步深化1 2 j 。思维的训练主要靠两个能力， 一个是演绎能力，另一个是归纳能力。爱因斯坦曾指出：“西方科学的发展 是以希腊哲学家发明的形式逻辑体系以及在文艺复兴时代( 特别是 在工业革命之后) 通过系统的实验所发现的有可能找出的因果关系这两 个伟大的成就为基础的 。实际上，这一论断中的前一成就指的是演绎的能 力，而后者则是归纳的能力。在实际教学中，这两个能力应该成为数学教 学的主线，我们应该鼓励学生通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证 结果，这也正是科学工作的主要步骤。可见，演绎思想和归纳思想是能让 学生受益终生的、最上位的思想，是当之无愧的“基本思想”。过去的“数 学双基 注重了演绎能力，但在归纳能力方面做得还很不够。回顾历史， 许多科学上的重大发现也都是从归纳工作开始的。所以说，缺少归纳能力 对于学生今后成长为创新型的人才是极其不利的。 对于学生经验的积累，我国的数学教育做得也很不够。新课标把数 1 章建跃时代发展与数学课程改革i j l 中小学数学，2 0 1 0 ( z 2 ) ：封底 嘲数学课程标准研制组数学课程标准解读i m l 北京：北京师范大学出版社，2 0 0 2 5 - 6 6 上海师范大学硕士学位论文第一章绪论 学学习的目标分为知识性目标和过程性目标。在过程性目标中，要求学生 有“经历、感受和探索等数学过程性的体验，主动参与数学活动，通过 观察、推理等活动发现问题和解决问题，从而从中培养自身的良好的情感、 态度和价值观。新课标中“获得适应未来社会生活和进一步发展所需的 重要的数学知识( 包括数学事实和数学活动经验) 的表述也对数学活 动经验提出了明确的要求。实际上，数学体系的建立是数学活动过程与实 践相统一的结果，理想的数学课程的学习应该是数学活动经验的获得。学 生数学活动的本质，就是运用数学工具，完成某种以数学任务为目标的行 为活动、思维活动以及情感活动的整合体，并具有数学性、整体性、社会 性和建构性等特征。学生的数学活动经验属于数学经验的范畴，是学生个 体在经历了具体的数学活动的基础上所获得的经验【2 1 。要培养一个人的创 新能力，必须注重过程性经验的积累。单纯追求数学事实知识、忽视数学 活动经验的数学教育是一种异化的数学教育，这样的数学教育根本无法承 担起在新时代培养具有创新能力公民的重任。而且，思维训练中归纳能力 的培养更多地依赖于过程以及经验的积累【3 】。因此j 帮助学生进行数学活 动经验的积累也应该是数学教学的重要目标之一，理应受到数学教师的重 视。英国哲学家洛克( j o h nl o c k e ) 从活动过程的角度出发，认为经验不 单单是对外的感觉活动，也同样是对内的反省活动1 4 】；美国教育家杜威 ( j o h nd e w e y ) 也认为“单纯的活动不能构成经验，经验既包括其过程也 包括其结果 。因此，情感、认识和意志等因素都属于经验的范畴【5 】；被誉 为“现代课程理论之父”的美国教育家泰勒( r a l p hw t y l e r ) 从学习行为 的角度出发，认为“学习经验 是学习者与其对所作出反应的外部条件之 间的相互作用，具有生成性和情境性的特点。“学习经验 的获得取决于学 u j 中华人民共和国教育部全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 【m 1 北京：北京师 范大学出版杜2 0 0 1 6 b 1 仲秀英学生数学活动经验的内涵探究【j 】课程教材教法，2 0 1 0 ，3 0 ( 1 0 ) ：5 4 博史宁中数学课程标准的若干思考【j 】数学通报，2 0 0 7 ，4 6 ( 5 ) ：3 h 张j 畚伟西方哲学十五讲【m 1 北京：北京大学出版杜，2 0 0 6 2 4 0 2 4 1 睁1 杜威民主主义与教育【m 】王承绪译北京：人民教育出版社，2 0 0 5 1 5 3 7 第一章绪论上海师范人学硕士学位论文 习者自己的学习行为。由此可见，学生的数学活动经验的积累还涉及情 感和态度等因素。教育部颁发的基础教育课程改革纲要( 试行) 指出， 当前基础教育课程改革的具体目标之一，就是要“改变课程过于注重知识 传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能 的过程也同时成为学生学会学习和形成正确价值观的过程 1 2 。一方面， 通过数学的学习，应该使学生对数学产生正确的态度，即全面的数学观； 另一方面，注重学生情感与态度的养成，又能够极大地促进学生对数学内 容本身的学习，促使学生主动地进行学习与探索。以往的数学课程过分重 视数学学科自身体系的完整性以及学生对数学“基础知识”和“基本技能” 的掌握与训练，在很大程度上忽视了学生情感与态度的培养，这绝不是成 功的、令人民满意的数学教育。因此，对数学健康情感以及正确态度的养 成与数学知识的获得是相辅相成的，数学活动经验的积累也是数学课程的 目标之一。 通过以上的分析可知，在培养创新型人才的工作方面，我国现行的数 学教育仅完成了一半的工作。“数学双基教学观”在新形势下已经开始显得 有些无所适从了，急需进行内容扩充或赋予新的定义与内涵。为此，不少 数学教育工作者迎难而上，对于构建与时俱进的新“数学双基 进行了有 益的探索。 人民教育出版社中学数学室的章建跃主任提出了由数学“基础知识、 基本技能、基本能力和基本态度”构成的“数学四基”【3 l ；国家数学课程 标准修订组组长史宁中教授在2 0 0 6 2 0 0 7 年数学教育高级研讨班澳门、 宁波会上的发言中，提到要在新修订的新课标中把“数学双基 发展 为“数学四基”，即除了原有的数学“基础知识 和“基本技能”外，再加 上数学“基本思想 和“基本活动经验 1 4 】；也有学者提出过将“数学双 n 1 泰勒课程与教学的基本原理【m 】施良方译北京：人民教育出版社，1 9 9 4 4 9 萄中华人民共和国教育部基础教育课程改革纲要( 试行) ( 教基1 2 0 0 1 1 1 7 号) 【n i 中国 教育报2 0 0 1 7 2 7 ( 第2 版) 口1 张莫宙中国数学双基教学i m 】上海：上海教育出版社，2 0 0 6 1 3 刚宋乃庆，李士锖，巩子坤，何文忠，张奠宙2 0 0 6 - - 2 0 0 7 数学教育高级研讨班纪要i j 】 数学教育学报，2 0 0 7 ，1 6 ( 3 ) ：9 9 、。 8 上海师范大学硕士学位论文第一章绪论 基”拓展成“数学六基 的想法【i 】。这些观点都极大地丰富了“数学双基” 的内涵，均是对“数学双基 进行反思后的成果。上述观点中，史宁中教 授的“数学四基 ( 即数学“基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经 验”的统称) 的提法得到了以张奠宙教授为代表的国内主流数学教育专家 的认同，是当下得到最广大认可的观点，也正是本研究所采用的视角。史 教授提出的“数学四基 是对于“数学双基 的完善与补充，有其需要性； 也是国家数学课程标准修订组的集体智慧，有其合理性；更是对于数 学新课标内容的创新，有其变革性；而他本人将“数学四基教学观 通过数学教育高级研讨班的平台正式提出，更像是一种抛砖引玉的做法， 意在引起广大数学教育工作者对此的深入探讨。 可见，“数学四基教学观”的提出是对课改需求的呼应。 1 2 研究的问题 1 2 1 选取数学开放题及其教学作为研究对象的说明 本文之所以选取数学开放题及其教学作为研究的对象，主要是基于以 下几方面的思考。 ( 1 ) 数学开放题的巨大价值。一般认为，数学开放题迎合了时代发展 的需要，是推进素质教育以及培养学生创新精神的切入口。开放题在考查 学生潜质方面有其独特的作用，特别是与一些记忆性的基础知识和操作性 的基本技能相比，开放题能更好地考察高层次的思维能力。美国加利福尼 亚州教育局曾在一份报告中指出：“数学开放题为学生提供了进行独立思 考，并用他们自己的数学观来表达的机会，这与学生的数学发展是一致的； 数学开放题要求构建主体自己的反应，而不是选择一个简单的答案；数学 开放题允许学生表达他们对问题的深层次理解，这是选择题无法做到的； 数学开放题鼓励学生用不同的方法来解决问题，反过来要求数学教师用不 1 梁丽华对“双基理论”的再认识【j 1 广东教育学院学报，2 0 0 2 ，2 2 ( 3 ) ：6 5 9 第一章绪论上海师范大学硕士学位论文 同的方法去解释数学概念；数学开放题是数学课堂教学的基本成份”【。 此外，数学开放题在发展学生元认知、树立学生学习自信、凸显学生主体 意识、增强学习内驱力、形成独立人格、创造平等机会、包容与尊重多元 解答、实现教学民主、构建新型师生关系等方面也都具有不可比拟的价值。 ( 2 ) 教育行政部门的大力支持。早在1 9 9 7 年2 月，全国教育科学规 划办公室就正式批准了“开放题数学教学的新模式 立项成为全国教 育科学“九五”规划重点课题；2 0 0 0 年3 月，教育部在关于2 0 0 0 年初 中毕业、升学考试改革的指导意见中明确指出：“数学考试应设计一定的 结合现实情景的问题和开放性问题”【2 】；2 0 0 1 年7 月，在教育部制订并颁 布的全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 中，就包含众多的开放性 案例，这些案例基本都属于开放题。新课标还明确指出：“设计方式可 以是就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题 ，“在编写教材时， 应增加一些开放性的综合应用的内容”，“考查学生能力时，要控制客观题 型的比例，设置一些探索题与开放题”，“教材可提供一些开放性( 在问题 的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放度) 的问题”【3 】； 2 0 0 3 年4 月，在教育部制订并颁布的普通高中数学课程标准( 实验) 中，也运用了许多开放性的案例，并明确要求“高中阶段至少应为学生安 排1 次数学探究活动，课题应具有一定的开放性【4 】。值得注意的是， 我国仅用了7 年的时间就使数学开放题进入了国家数学课程标准，这种速 度是罕见的，而日本却用了整整的3 0 年【5 】。如上的这些事实都表明，教育 i l lc a l i f o r n i as t a t ed e p a r t m e n to fe d u c a t i o n aq u e s t i o no ft h i n k i n g ：a f i s r tl o o ka ts t u d e n t s p e r f o r m a n c eo no p e n - e n d e dq u e s t i o n si nm a t h e m a t i c s r s a c r a m e n t o ：c a l i f o r n i as t a t e d e p a r t m e n to fe d u c a t i o n ，1 9 9 8 1 - 5 1 2 1 中华人民共和国教育部关于2 0 0 0 年初中毕业、升学考试改革的指导意见( 教基 f 2 0 0 0 1 0 号) 【n 1 中国教育报2 0 0 0 - 3 1 4 ( 第2 版) 1 3 1 中华人民共和国教育部全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 【m 】北京：北京师 范大学出版社，2 0 0 1 2 8 - 9 3 1 4 1 中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准( 实验) 【m 】北京：北京师范大学出 版社2 0 0 3 3 8 - 9 9 5 1 泽田利夫从“未完结问题”提出的算术、数学课的教学的方案i j l 外国教育1 9 8 0 ( 4 ) ： ： 8 1 2 1 0 上海师范大学硕士学位论文第一章绪论 主管部门已充分认可了数学开放题( 包括由数学开放题引出的数学开放式 教学模式) 在我国数学教育改革中的作用及地位。 ( 3 ) 社会的普遍关注。在我国，考试早已不仅仅是教育内部的事，同 时也是与整个社会密不可分的一部分。绵延数千年的中国考试文化，决定 了我国范围内的任何一种教育改革都需要制定与之相协调的考试制度，否 则这项教育改革就不可能成功。以1 9 8 2 年山西省太原市中考数学试卷出现 数学开放题( 平面几何简答题) ，以及1 9 8 8 年全国高考数学试卷出现数学 开放题( 立体几何填空题) 为标志，数学开放题一举打破了封闭性数学问 题“一统天下 的局面，数学开放题进入升学考试也从萌芽逐渐走向了成 熟，对于数学开放题的考察也逐渐从一种偶然现象转变成了命题者的自觉 行为( 尽管还存在着数学开放题的概念泛化以及命题和评分上的“开而不 放”的现象) 。如果说数学开放题进入国家数学课程标准和教材，标志着其 教育价值得到了我国教育行政部门以及数学教育界的肯定的话，那么，数 学开放题进入升学考试，则标志着其得到了社会的普遍关注【l 】。 ( 4 ) 丰富相关研究的需要。在1 9 8 0 年第4 期外国教育杂志上刊 登的日本学者泽田利夫的从“未完结问题 提出的算术、数学课的教学 的方案一文，使得我国的数学教育工作者首次接触到了国际上的数学开 放题研究成果；在这之后长达1 2 年的时间里，仅有屈指可数的几个学者发 文论述数了学开放题；1 9 9 3 年，胡启迪的日本的一堂开放性的问题解决 课一文，介绍了同年7 月在日本参加第1 7 届国际数学教学心理大会 ( p m e 1 7 ) 期间所观摩的一堂数学开放题公开课：“花圃设计问题【2 1 ； 之后赵雄辉和杨立公两位老师分别于1 9 9 4 年和1 9 9 6 年模拟了这一堂观摩 课，并著文谈了进行开放题教学的必要性【3 】【4 l ；1 9 9 8 年，华东师范大学的 张奠宙和孔凡海两位学者在出席完第一届东亚国际数学教育大会 ( i c m i e a r c o m e1 ) 后，分别撰文阐述了“开放性是当前世界数学 1 1 1 戴再平等开放题一一数学教学的新模式 m i 上海：上海教育出版社，2 0 0 4 2 5 1 2 5 3 【2 1 胡启迪日本的一堂开放性的问题解决课【j 1 数学教学，1 9 9 4 ( 1 ) ：3 0 t s l 赵雄辉一道开放型应用题的教学试验【j 1 数学教学，1 9 9 9 ( 4 ) ：2 8 2 9 4 1 杨立公记一堂开放式的教学实验课【j 1 中学教研( 数学) 。1 9 9 6 ( 7 ) ：1 2 1 4 第一章绪论上海师范大学硕士学位论文 教育的共同特点的观点，并认为“数学开放题和“数学开放式教学方 法”是“迄今为止亚洲人提出的惟一让国际数学教育界普遍接受并关注的 一个观点和思想 n l l 2 l ：往后，随着数学开放题在升学考试中的出现，也 陆续有学者撰文对此进行探讨。而直到1 9 9 7 年2 月，全国教育科学规划办 公室正式批准了“开放题数学教学的新模式”立项成为全国教育科学 “九五”规划重点课题，这才标志着我国的数学开放题及其教学的研究开 始步入正轨；2 0 0 0 年3 月以后，作为课题研究成果的一套五本中小学数 学开放题丛书的陆续出版，才意味着相关研究在我国开始成型。自此之 后，数学教育界对于数学开放题及其教学的研究才逐渐丰富。但总的来说， 数学开放题依旧是个方兴未艾的课题，相应的教学措施还不完备，理论上 的思考也欠深入，这就决定了需要大力丰富相关的研究，使之在理论上更 加完善，在实践上更加可行。 因此，本文选取了数学开放题及其教学作为研究的对象。 1 2 2 选取“数学四基教学观 作为研究视角的说明 研制新课标的主要目的是帮助教师更好地理解我国基础教育阶段 数学课程的内容、目标和教学理念。新课标明确了义务教育阶段的数学 课程应该突出体现“基础性、普及性和发展性”，使数学教育面向全体学生， 真正实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在 数学上得到不同的发展”。数学新课改的重要任务之一，是要建立起一个促 进学生全面发展的新课程体系，使数学教育得以从以“获取知识为首要目 标”转变为“首先要关注人的发展”，强调从学生己有的生活经验出发，让 学生亲历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程，进而使学 生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面都 i x 张奠宙数学教育的全球化、开放化、信息化第一届东亚数学教育会议在韩国举 行【j 】数学教学，1 9 9 8 ( s ) ：1 - 3 1 2 1 孔凡海当前世界数学教育的三个特点第一届东亚国际数学教育大会有感【j 】中 学数学教学参考，1 9 9 8 ( 1 2 ) ：2 - 3 1 2 上海师范大学硕士学位论文第一章绪论 能得到进步和发展i l j 。 新中国成立六十多年以来，我国的数学教育一直注重“数学双基”的 教学。“数学双基教学观”关注的是演绎能力，从这个意义上来说，数学只 是“发现”的。事实上，在一个严密的公理体系下，得出任何合理的结果 都是必然的。虽然有新课标的指导，但我国的数