（理论物理专业论文）偶极玻色爱因斯坦凝聚体中的亮孤子.pdf

摘要 对于不考虑原子间相互作用的理想b o s e 气体来讲，不论它是处于均匀无约束的状 态下，还是处于简谐势阱等约束状态下，利用热力学统计规律都可以对玻色一爱因斯坦 凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，缩写为b e c ) 现象作出较好的描述。但实际上( 例如磁 阱中) ，b o s e 原子间的相互作用效应是很明显的，一般来说，原子间的相互作用势是原 子间距离的复杂函数，对于处于低温低密度下的稀薄原子气体来说，三体碰撞的几率很 小，如果暂时不考虑原子间的三体相互作用，那么原子间的相互作用可以看作一个两体 散射情形，并将这个两体相互作用用等效的各向同性的短程接触势来描述。基于平均场 理论，b e c 凝聚体由一个非线性薛定谔方程( n o n l i n e a rs c h r f d i n g e re q u a t i o n ，简称为 n l s e ；又称为g r o s s p i t a e v s k i i 方程，简写为g p 方程) 来描述，利用变分原理，通过高 斯型试探函数假设，变分法能够给出凝聚体波函数演化的合理描述，并且变分法的结果 与托马斯费米近似法的结果比较接近。 自从在实验上实现了5 2 c r 原子的b e c 以来，简并量子气体中的偶极一偶极相互作用 ( d i p o l e d i p o l ei n t e r a c t i o n ，缩写为d d i ) 开始备受人们关注，偶极b e c 逐渐成为人们研 究的热点。与短程相互作用不同的是，偶极相互作用是长程和各向异性的，而且这两者 总是交织在一起，影响着b e c 凝聚体的性质。利用变分法，在给出简谐势阱的频率方 位比后，考察处于该势阱中的偶极b e c 凝聚体，我们发现偶极b e c 凝聚体的稳定性由 势阱的频率方位比、s 波散射长度、偶极相互作用强度和粒子数目等因素共同决定，当 合适的参量给定后，n l s e 总有亮孤子解存在，并可得到稳态与非稳态间的的临界线。 当偶极b e c 凝聚体处于稳定状态时，凝聚体的形状或者说凝聚体粒子的空间分布除了 受到外阱的频率方位比影响外，还与散射长度和凝聚体的粒子数目有关，同时还受接触 相互作用与偶极相互作用的强弱关系的影响。现在人们不仅可以利用f e s h b a c h 共振技术 调节短程接触相互作用，而且可以通过旋转定向场调节偶极相互作用，这使得偶极b e c 由于接触相互作用与偶极相互作用的共同参与，展示出更丰富的物理现象。 关键词：偶极，玻色一爱因斯坦凝聚，非线性，变分法，亮孤子 a b s t r a c t f o rt h ei d e a lb o s eg a st h a tw a si g n o r e dt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e na t o m s ，w h e t h e rt h eg a si si na u n i f o r ma n du n c o n s t r a i n e ds t a t e ，o ri nc o n s t r a i n ts t a t e s ( s u c ha sh a r m o n i ct r a p ) ，t h ep h e n o m e n o no f b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ( a b b r e v i a t e da sb e c ) c a nb em a d eag o o dd e s c r i p t i o nb yt h el a w so f t h e r m o d y n a m i c sa n ds t a t i s t i c a lm e c h a n i c s b u ti nf a c t ( s u c ha si nt h em a g n e t i ct r a p ) ，t h ei n t e r a c t i o no f t h eb o s ea t o m si so b v i o u s i ng e n e r a l ，t h ei n t e r a c t i o np o t e n t i a lb e t w e e na t o m sa r ea l w a y st h ec o m p l e x f u n c t i o n st h a to ft h ea t o m i e sd i s t a n c e s ，f o rt h et h i na t o m i cg a st h a ta tl o wt e m p e r a t u r ea n dl o w - d e n s i t y , t h ep r o b a b i l i t yo ft h et h r e e - b o d yc o l l i s i o n si sv e r ys m a l l s ot h ei n t e r a c t i o nb e t w e e na t o m sc a nb es e e n a sat w o - p a r t i c l es c a t t e r i n gc a s ew h e nt h et h r e e - b o d yi n t e r a c t i o nw a si g n o r e d ，a n dt h et w o b o d y i n t e r a c t i o nc o u l db ed e s c r i b e da st h ee q u i v a l e n ts h o r t r a n g ec o n t a c tp o t e n t i a lt h a to fi s o t r o p i c b a s e d o nm e a nf i e l dt h e o r y , b e cc o n d e n s a t e sw e r ed e s c r i b e db yan o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ( a b b r e v i a t e da sn l s e ；a l s ok n o w na st h eg r o s s - p i t a e v s k i ie q u a t i o n ，a b b r e v i a t e da sg - pe q u a t i o n ) t h e r e a s o n a b l ed e s c r i p t i o nf o rt h ec o n d e n s a t e sf u n c t i o nc a nb eg i v e nb yv a r i a t i o n a lm e t h o d s ，t h r o u g ht h e a p p l i c a t i o n o fs i m p l eg a u s sf u n c t i o n a s s u m p t i o n s a n dt h e r e s u l t so fv a r i a t i o n a lm e t h o da n d t h o m a s f e r m ia p p r o x i m a t i o nm e t h o da r ec l o s et oe a c ho t h e r s i n c et h e e x p e r i m e n to f 5 2c r b e ch a sb e e nr e a l i z e d ，q u a n t u md e g e n e r a t eg a s e sw i t hi n d i p o l e d i p o l ei n t e r a c t i o n ( a b b r e v i a t e d 鸽d d i ) h a sb e e na t t r a c t e dp e o p l e sa t t e n t i o n ，d i p o l a rb e c g r a d u a l l yb e c o m et h er e s e a r c hh o t s p o t d i f f e r e n tt os h o r t - r a n g ei n t e r a c t i o n s ，d d ii sl o n g r a n g ea n d a n i s o t r o p i c ，a n dt h e s et w oa r ca l w a y si n t e r t w i n e da n da f f e c tt h en a t u r eo fc o n d e n s a t e w ec o n s i d e ra t r a p p e dd i p o l a rb e ci nac y l i n d r i c a l l ys y m m e t r i ch a r m o n i ct r a pw i t ha s p e c tr a t i o b a s e do nv a r i a t i o n a l m e t h o d s ，w ef i n dt h a tt h es t a b i l i t yo ft h ed i p o l eb e cw a sd e t e r m i n e dj o i n t l yb yt h ea s p e c tr a t i o ，t h e s w a v es c a t t e r i n gl e n g t ha n db yt h en u m b e ro fa t o m s w h e na p p r o p r i a t ep a r a m e t e r sa r eg i v e n ，t h e b r i g h ts o l i t o n i cs o l u t i o n sw i l la l w a y so c c u r t h ec r i t i c a lc u r v e st h a ts e p a r a t es t a b l ea r e a sf r o mu n s t a b l e a r eg i v e n b a s e do nt h i s ，w ec a nf u r t h e rd i s c u s st h ei n f l u e n c et oc o n d e n s a t es t a b i l i t ya n dc o n d e n s a t e s h a p ef r o mt h es c a t t e r i n gl e n g t h ，s h o r t - r a n g ec o n t a c t ，t h et r a pa s p e c tr a t i o ，t h en u m b e ro fp a r t i c l e s ，t h e s t r e n g t ho ft h ec o n t a c ti n t e r a c t i o na n dt h ed i p o l ei n t e r a c t i o n n o wp e o p l ec a nn o to n l yr e g u l a t et h e c o n t a c ti n t e r a c t i o nb yu s eo ff a s t b a c kr e s o n a n c e ，b u ta l s oa d j u s tt h ed i p o l ei n t e r a c t i o nb ym e a n so f i i i r o t a t i n go r i e n t i n gf i e l d s ，w h i c hm a k eb e cs h o w nag r e a t e rv a r i e t yo fp h y s i c a lp h e n o m e n a k e y w o r d s ：d i p o l e ，b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，n o n l i n e a r , v a r i a t i o n a lm e t h o d ，b r i g h ts o l i t o n i v 独创性声明和关于论文使用授权的说明 独创性声明和关于论文使用授权的说明 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 签名：日期： 呈乞：受：! 竺 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河南师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名： 导师签名： 日期： 第一章绪论 第一章绪论 根据量子理论，实物微观粒子的运动也会象光波、水波一样，具有传播、干涉和衍 射的行为，并形成物质波( 或称德布罗意波) 。宏观物体是由大量服从量子力学规律的微 观粒子组成的，人们寻求并研究宏观量子效应，不仅可以加深对客观世界的认识，而且 也可能导致技术创新。在通常情况下，原子波动的特征并不明显，对稀薄玻色型原子气 体来说，随着温度降低，其物质波波长将变长，当在极冷的特定状态时，人们便可很好 地观察到原子的波动行为，在此基础上，人们甚至可以考虑物质波的相干输出放大等等 问题。玻色一爱因斯坦凝聚的实现，为科学研究拓展了新的领域，为新技术的应用打开 了新的大门。 1 1b e c 研究的历史与发展 1 9 2 4 年玻色( b o s e ) 将光子作为其数量并不守恒的全同粒子来处理，成功地导出了普 朗克( p l a n c k ) 黑体辐射定律，提出了黑体辐射是光子理想气体的观点。爱因斯坦( e i n s t e i n ) 随即将玻色对光子的统计方法推广到全同粒子理想气体，这是玻色一爱因斯坦统计的开 始。随后，爱因斯坦导出了出现凝聚现象的临界温度，并预言了当低于该临界温度时服 从玻色一爱因斯坦统计的理想中性原子气体会出现凝聚现象，这就是所谓的玻色一爱因斯 坦凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d c n s a t i o n ，缩写为b e c ) ，其最显著的特征是，此时所有粒子 聚集到动量空间最低能态，并具有相同的物理特性，这样以来，粒子的量子特性就通过 宏观的方式表现出来。 爱因斯坦的预测引起了物理学家的广泛兴趣。实际上，玻色一爱因斯坦凝聚是一种 非常普遍的物理现象，凝聚体系可以是气体、液体、固体，也可以是原子核和基本粒子。 然而实现b e c 的条件极为苛刻：既要达到极低的温度，又要要求原子体系处于气态。 由于实验技术的限制，早期实验研究进展十分缓慢，人们不知道到哪里去寻求这类凝聚 现象。1 9 3 8 年，伦敦( f l o n d o n ) 首先把超流态液氦与金属超导体看作玻色一爱因斯坦凝 聚的体系，但是在液氦中，由于粒子间存在强的相互作用，从而导致了玻色一爱因斯坦 凝聚相变纯量子统计特性的复杂化。1 9 5 9 年芝加哥大学的h e c h t 提出用自旋极化的的氢 原子气体作为玻色一爱因斯坦凝聚的体系【l 】，但实验上一直进展不大。后来，人们将目 偶极玻色一爱因斯坦凝聚体中的亮孤子 光转向半导体中的激子，1 9 8 0 年，巴黎大学的h u l i n 提出用氧化亚铜中的激子进行玻色 一爱因斯坦凝聚实验【2 1 ，美国伊利诺斯州立大学的研究小组于1 9 9 3 年报道了有关的实验 结果【3 】，这种体系中的相互作用力很弱但是较为复杂，难以从实验数据中提取激子的有 关信息，因而也不能看作是真正的玻色爱因斯坦凝聚。2 0 世纪八十年后期，人们开始 在稀薄的、弱相互作用的玻色气体中探索b e c 的迹象。碱金属原子气体的激光冷却( 1 a s e r c o o l i n g ) 和囚禁中性原子的技术【4 】获得了极大的发展，使人们能够以高密度和大数目产生 超冷原子气体。 1 9 9 5 年7 月美国j 玎认的试验小组于利用激光冷却加上蒸发冷却的方法，首先在实 验上观察到了盯i 妯原子的玻色一爱因斯坦凝聚现象【5 】；同年8 月，美国r i c e 大学的试 验小组报道了7 l i 原子的玻色一爱因斯坦凝聚的观察结果吼1 1 月，麻省理工学院( m i t ) 的d a v i s 等人又报道了2 3 n a 原子的玻色一爱因斯坦凝聚的实验结果【7 1 。迄今为止，还实 现了1h 原子【8 1 、8 5 r b 原子【9 1 、4 h e 原子【1 0 1 、4 1k 原子【1 l 】、1 3 3 c s 原子【12 1 、5 2 c r 原子【1 3 1 、1 7 4 y b 原子 1 4 】等的b e c 。由于气态原子b e c 属于弱相互作用玻色气体，相互作用在理论上较 容易处理，可以和实验结果进行对比，因此这个领域经历了爆发性的发展，b e c 成为了 一种特殊的低温实验室，为研究原子物理、量子论和多体系统开辟了新视窗。 1 2b e c 的研究动态 自从在稀薄原子气体中实现玻色一爱因斯坦凝聚以来，两组分或多组分超冷玻色气 体之间的宏观量子特性( 例如有关囚禁的双组分玻色一爱因斯坦凝聚体在零温和有限温 度下的性质等) 开始倍受人们关注。所谓多组分超冷玻色气体，是指两种或两种以上状 态的玻色一爱因斯坦凝聚体共存于磁阱或光阱中。人们采用了诸如托马斯费米近似、蒙 特一卡罗模拟等方法研究了双组分凝聚体系统波函数的数值计算和凝聚体的空间结构。 当原子气体囚禁在光阱而不是磁阱中时，原子的自旋自由度被解放，成为一个新的自由 度，处于同一个超精细简并态的原子可以形成稳定的b e c ，原子的自旋不再受到磁场的 限制，这样的多组分凝聚称为旋量玻色一爱因斯坦凝聚( 旋量b e c ) 。1 9 9 7 年m r r 的 k e r e r l e 小组又在光偶极阱中得到了钠原子的玻色一爱因斯坦凝聚体【1 5 】。1 9 9 8 年h o i ：1 6 及o h m i 和m a c h i d a e l 。7 】完成了旋量( s p i n o r ) 玻色一爱因斯坦凝聚体的理论研究，德国的研 究小组还首次在实验上观察到玻色一爱因斯坦凝聚体在光晶格中从超流态到m o r - 绝缘 态转变的量子相变现象【l 引。1 9 9 9 年，j 姒的一个小组在钾费米原子气体中观察到量子 2 第一章绪论 简并现象，2 0 0 3 年底，i n n s b r u c k 的g r i m 小组，j i l a 的j i n 小组，m i t 的k e t t e r l e 小组 先后在两组分的费米原子气体中制各出了分子凝聚体，稍后j i n 小组利用f e s h b a c h 共振 技术实现了费米凝聚1 9 】。2 0 0 5 年，k e t t e r l e 小组和h u l e t 小组又分别实现了自旋极化的 费米超流体【2 0 1 。 2 0 0 5 年实验上实现了5 2c r 原子b e c t 2 ，这是一个重大突破，因为铬原子具有很大 的磁距，约6 z 口( a 口为玻尔磁矩) ，该凝聚体中的磁偶极一偶极相互作用( d i p o l e d i p o l e i n t e r a c t i o n ，缩写为d d i ) 达到了碱金属原子凝聚体的3 6 倍，因此在讨论铬原子系统的 性质时，偶极相互作用的效果不能忽略，偶极相互作用对凝聚气体的影响使凝聚体的物 理性质变得更加丰富。例如，实验上观察到了铬原子b e c 在膨胀时出现了形变【2 2 1 ，这 是由于磁偶极一偶极相互作用在简并量子气体中的长程性和磁各向异性导致的。基于很 多的实验事实，旋量凝聚体中偶极一偶极相互作用已经成为一种重要的的相互作用，应 当加以考虑。同时，最近一些新的试验表明超冷偶极粒子理论在强关联原子气体 2 3 - 2 4 】、 量子计算的物理实现【2 5 1 、超冷化学【2 6 1 、大磁矩原子 2 7 1 、冷分子【2 8 】与r y d b e r g 原子【2 9 】 等方面也有着广泛的应用。 将一个系统限制到低维往往会增强系统的量子特性，从而出现新的物理现象。根据 热动力学，一个有效一维系统不可能出现b e c 。但在实际冷原子实验中，由于粒子数目 和体积均有限，该定理的限制并不明显。例如，人们借助强光学晶格 3 们或磁线圈】产 生了一维或二维超冷原子气体，并从低维超冷原子气体中发现了丰富的物理现象，如二 维气体中的b k t 跃迁【3 2 1 、量子相位波动【3 3 1 以及一维玻色子系统的t g 机制【3 4 1 的实现。 1 3 关于本文的研究课题 由于外场的存在而产生的偶极一偶极相互作用是长程和各向异性的，既可以是吸引 势，也可以是排斥势，这不仅取决于原子磁矩的取向与相对位置，而且还受到系统所在 空间的几何结构的制约。同时其自身的性质及其对多体系统的影响，也与碱金属原子间 的短程各向同性接触势大不相同，接触相互作用与偶极相互作用总是交织在一起影响着 b e c 凝聚体的性质。 本篇论文主要讨论偶极b e c 的非线性薛定谔方程的亮孤子解以及凝聚体的稳定性 和形状问题。论文组织如下：第一章是对研究背景的介绍，包括b e c 研究的历史发展、 研究动态，以及本文课题研究介绍。第二章以热力学统计规律对理想b o s e 气体b e c 的 偶极玻色一爱因斯坦凝聚体中的亮孤子 描述作为引入，介绍了平均场理论和变分法对简谐势阱中非理想b o s e 气体的b e c 的处 理。第三章从两偶极子之间的偶极相互作用入手，推导包含偶极相互作用的 g r o s s p i t a e v s k i i 方程，将n l s e 和能量泛函进行无量纲化，并描述n l s e 的亮孤子解。 第四章讨论势阱的频率方位比、s 波散射长度、偶极相互作用强度和粒子数目等因素对 凝聚体的稳定性的影响，外阱频率方位比、粒子数、接触相互作用与偶极相互作用的强 弱关系等对凝聚体形状的影响，以及偶极相互作用强度的可调性对凝聚体稳定性和形状 的影响。最后给出结论和展望。 4 第二章理想与非理想b o s e 气体的b e c 第二章理想与非理想b o s e 气体的b e c 2 1 理想b o s e 气体的b e c 2 1 1 均匀无约束理想b o s e 气体的b e c e hn 个质量为m 的玻色子组成的理想气体处于热平衡状态时服从玻色一爱因斯坦统 计分布规律【3 5 】 m 沪万赢巧( 2 - 1 ) 其中：( ) 代表热平衡状态时处于t 能级某一量子态上的平均粒子占据数，k 丑为玻尔 兹曼常数，t 为温度，为化学势( 表示保持熵和体积不变的情况下，系统增加一个粒 子时所需要的能量) 。对于理想气体，为保证各能态上的粒子数为正，化学势要比系 统的最低能量还要小。若选取系统的基态能量为零( = 0 ) ，则为负值。系统的粒子 数以及能量分别为 。军删2 荟南 q 屯 肚雕f ) = 委南 q - 3 ) 若单粒子能级间隔远小于k s t ，则( 2 2 ) 式中的求和可用积分代替；注意到当j0 时， = 0 的布居数会趋向无穷大。为避免积分中的无穷大，分离出基态的粒子数，则 = “+ m ( 丁) = “+ d ( ) 厂( ) 拈 却广旦4 n - z 鲥h z ) 2 畿 q q 其中：n 。表示处于最低能级( 基态。= 0 ) 的粒子数，玑( d 表示在所有激发态上的粒子 数，它是温度的函数。在( 2 - 4 ) 中还利用了自由粒子的态密度函数 蚺嘉( 玎2 5 ， 温度足够高时，( 2 4 ) 式中0 与总粒子数n 相l - t 是一极小量，其贡献可以忽略，但 偶极玻色一爱因斯坦凝聚体中的亮孤子 在足够低的温度下，n 。是宏观有限的而不能忽略。温度降到某特定的临界温度疋时， 化学势j0 ，则( 2 4 ) 式为 = n o + 札= “+ 2 6 1 2 v 2 ： ( 2 6 ) 其中九= ( 2 砌2 聊r ) 2 是粒子的德布罗意热波长，式中的m 为玻色子的质量，元为普 朗克常数。即激发态上的粒子数有一个上限 n 。2 6 1 2 v 乃= 一 ( 2 7 ) 在临界状态t = 疋时，n = 札= 一( 即n o = 0 ) ；当体系的温度低于临界温，即丁 壳魄。以及势阱中的原子数目很多时求和可用积分代替 一0 = r 面丽i d 瓦n x d n 雨y d n z 丽 2 - 2 4 ) 该积分式通过变量代换可以容易求得 。- ( 筹， 浯2 5 ， 式中f ( 3 ) 是黎曼z e t a 函数，从上式可得到b e c 的临界温度，在临界点使o = 0 ，甚p - i 得到 = 等( 射3 浯2 6 ， 在简谐势情况下，由于空间不均匀，原有的热力学极限定义( v o o ，_ 一，v 为 常数) 不能适用，将上面的表达式( 2 2 6 ) 代a ( 2 2 5 ) 式，可以得到当r 0 对应原子间的排斥作用，a 0 的情况可以形成稳定的b e c ， 而a i 时有n ；n i ) ，则 偶极玻色一爱因斯坦凝聚体中的亮孤子 印 = ，办l 羔阿1 2 + 俐蚓2 + 互1u 。旧1 4 ( 2 - 4 ) 这是能量的泛函形式，此中三项分别为：凝聚体动能、谐振子势能e 护相互作用 能。势阱中原子的动能有以下关系 k 一i a l a b ( 2 4 2 ) 其中a h o 参见( 2 1 7 ) ，利用访三：罢( 右侧表示对的共轭求变分) 立即可得g p 方程 d td 沙 ( 2 3 2 ) ；而利用韶一甜= 0 ( 其中化学势是拉格朗日乘子) ，可得相应的定态方程 ( 2 - 3 7 ) 。 非线性方程( 2 3 7 ) 一般不能解析求解，现在讨论凝集体基态的数值解，当粒子间具 有弱排斥作用时，与处于同样外势阱y ( 尹) 中的理想b o s e 气体相比，凝聚体的波函数变 宽，它的形状明显地偏离高斯分布【3 6 】。对于吸引相互作用，试验中曾用7 l i 原子气体作 为研究对象( 7l i 原子存在吸引作用) ，在均匀空间中，如果粒子间存在吸引作用( a 壳q ，于是忽略动能项( 正 比于l # ) ，求解( 2 4 7 ) ，得到以下两个方程 班( 扩丝- a 时k c o , ) 陋4 8 ， 包= ( 玑才啦壳万 4 9 ， 将( 2 4 9 ) 式6 f 的表达式代入到( 2 4 6 ) 式，可以求出能量，进一步得到单个粒子的贡献为 垡n4 ( 吼玎栖 阻 一= 一l i i i 甩缈z a uj l 刀j万 这个结果与后面的t h o m a s f e r m i 近似是基本一致的。在轨= b 2 = b 3 = b 时，由( 3 1 9 ) 可作出图2 - 2 ，它反映了各向同性的简谐势阱中单个粒子的能量e n ( 以壳石为单位) 随 变分参量6 的变化曲线，图中给出了不同n a 万( 无量纲数值) 值的对应情况，虚线代表临 界值n a d = - 0 6 7 ，此时凝聚体开始变得不稳定。其中对于排斥相互作用( a 0 ) ，曲 线总有极值存在：而对于吸引相互作用( a n c 时曲线将不存在极值，原子云崩塌。可将驯对b 求导，一阶导数和二阶导 数都为零的曲线( 图2 2 中虚线) 即为临界状态，此时n a - f f = - - 0 6 7 ，即对于 一0 6 7 v ( v ) ；而在原子云 区域外有：沙= 0 ，甩= 0 ；在边界处有 y 扩) = i ( 2 5 4 ) 托马斯一费米近似的含义是指：加在单个粒子上的能量相同。这个能量是：外阱势矿( 尹) 加 1 4 第二章理想与非理想b o s e 气体的b e c 上相互作用能刀c 厂。( n u 。即平均场能，动能已经忽略了) 。由于这个近似像原子理论中的 托马斯一费米近似，所以此处沿用了这个名字。利用= j 办杪( 尹) 1 2 和( 2 5 3 ) 式以及 v ( x ，y ，z ) = 聊( 砰x 2 + 妨j ，2 + 牙z 2 ) 1 2 ，进行积分，得到 = 詈( 剖3 伦箦u 1 5 肘面2 。 代入= 4 z 壳2 a m ，并整理后有 ：坐f ，驾2 巧 l 历( 2 - 5 6 ) 胪丁l i j 栖 利用= a e a n 和( 2 5 6 ) 反映的o cn 2 乃，可得f = 5 z n 7 ，即 旦：一5 “ ( 2 5 7 ) 一= 一f z 厶一 ( 2 - 5 6 ) 代入( 2 - 5 7 ) 可得 专= 5 等( 甜5 壳丽 5 8 ，= ) l i力政)z 一0 b ， 1 4k 万j 这个结果与变分计算结果( 2 - 5 0 ) 式基本一致，托马斯一费米近似结果比变分计算结果稍 小一磐，见图2 3 e | n n al 石 图2 - 3 单个粒子的能量纠以( 壳万为单位) g 违n a f f 的变化曲线 实线和虚线分别代表变分法和托马斯一费米近似法的结果捌 图2 3 对比了变分法与托马斯费米近似两种方法的结果，图中表达了各向同性的简谐 势阱中单个粒子的能量纠( 以壳药为单位) 随盹万( 无量纲数值) 值的变化曲线。实线 偶极玻色一爱因斯坦凝聚体中的亮孤子 代表变分法的结果，虚线代表托马斯费米近似法的结果，两结果比较接近。为了考察 总能量是如何由外阱势和相互作用能来分布的。将托马斯一费米近似结果( 2 - 5 3 ) 式代入 到能量的泛函形式( 2 4 1 ) 中去，分别计算其中的相互作用能和势能，可得到二 者的比值 等2 3 5 9 ) 、 于是相互作用能：e 缸= 2 e t o 协l 5 = 2 f i n 7 ，或e i i l l = 2 比7 ，这反映了弱相互作用的稀 薄气体中原子间的相互作用的影响不一定是小的。 1 6 第三章考虑偶极相互作用的非理想b o s e 气体的b e c 第三章考虑偶极相互作用的非理想b o s e 气体的b e c 较早的理论研究就已经表明偶极相互作用能极大地改变b e c 凝聚体的激发谱1 4 6 1 ，会 影响其稳定性【钏，并能使其产生新的量子相【4 8 】。自从在实验上实现了5 2 c r 原子的玻色一 爱因斯坦凝聚【4 9 】以来，简并量子气体中的偶极相互作用开始备受人们关注【5 0 1 ，与短程相 互不同的是，偶极相互作用是长程和各向异性的。对于大多数实现了b e c 的碱金属元 素来说，原子磁矩约为l 。( 服为玻尔磁子) ，其偶极相互作用与短程接触相互作用相比 几乎可以忽略。而铬原子磁矩约为6 。，其偶极互作用是碱金属原子的3 6 倍，偶极相互 作用不可再忽略。现在人们不仅可以利用f e s h b a c h 共振技术调节短程接触相互作用 【5 1 】，而且可以通过旋转场调节偶极相互作用5 2 1 。 b e c 理论表明粒子间的作用是非线性，对于原子间存在弱相互作用的b e c 凝聚 体，它将服从非线性波动方程( a 0 g p 方程) ，这个方程是一个非线性的薛定谔方程 ( n l s e ) 。在b e c 凝聚体中，当原子问的非线性相互作用和动能( 相当于色散) 互相补 偿时可以形成原子物质波孤子 5 3 1 。在忽略偶极作用的情况下，当原子之间的相互作用为 排斥势时，一维n l s e 有暗孤子解，原子之间的相互作用为吸引势时，一维n l s e 有 亮孤子解；而对于高维情况，n l s e 没有稳定的孤子。然而，各向异性的偶极相互作用 导致了更丰富的物理现象，例如对于短程相互作用b e c ( 即不含偶极相互作用) ，二维 稳定的孤子波是不存在的，但是对于含偶极相互作用的凝聚体，在适当的条件下偶极相 互作用却能够稳定二维孤波 5 4 - 5 5 1 。此处主要借助变分法讨论偶极凝聚体中的孤子。 3 1 两偶极子之间的偶极相互作用 以电偶极相互作用为例，设真空中两个偶极矩分别为卢。、 于亏和乏处，a 于乏处激发的电势和相应的电场分别为 少= 去等 - - - - - v 杪：上堕啦 4 昭n 厂5 其中尹= 亏一艺，则偶极相互作用能为 卢：的电偶极子，分别位 ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) 偶极玻色一爱因斯坦凝聚体中的亮孤子 一弦豆= 去耻鼍掣艘 ( 3 3 ) 其中声= 衫h ，若多。= 卢：，则 2 去p 2 寄 伊4 ， 其中臼是卢。( 或卢：) 与尹之间的夹角。类似地，对于磁偶极子有 圪：一t o 巫墅型拿型羔 ( 3 5 ) 。4 n ， 如上声= 衫h ，若历。= 历：，则 圪= 钞寄 6 ， 对比( 3 - 4 ) 和( 3 - 6 ) 两式，可以发现两式形式相仿。所以下面将以电偶极相互作用为 例来讨论含d d i 的b e c 凝聚体，当然方法同样适用于磁偶极子间的相互作用。为了后 面推导方便，将( 3 - 4 ) 式改写为 耻去寄 伊7 ， 相应地，两原子间的相互作用由前面的( 2 - 2 8 ) 式变为 u ( v - v 7 ) = u o j ( 尹一尹7 ) + = 警珩，+ 丢胃 。8 ，挖珥7 z e 。 i 芦一尹| - 3 2 包含偶极相互作用的g r o s s p i t a e v s k i i 方程 考虑偶极相互作用后，将前面束缚在外势阱矿( 尹) 中的n 个相互作用玻色子的多体 哈密顿量的二次量子化形式改写为 叫一除k +争9 ， 圭f 撕矿( 嘴v 缈( 尹) 婀谚( 尹) 利用变分运算访未矿( 尹= 面乎万或访未沙( 尹f ) = 眵+ ( 尹，疗】( 海森堡方程) 可以得到 第三章考虑偶极相互作用的非理想b o s e 气体的b e c 旃扣力= k 2 m 矿删k 卅伊埘 【f 痧够+ ( 矿f ) u ( 尹一尹7 ) 痧( 一f ) ( 尹，f ) 将( 3 - 8 ) 式代入上式，得出 访扣力= 隹v 2 悯+ 竽盹晰力b r ， 巾怯胃州t 。彬力卜， 厂 ( 3 一1 1 ) 将( 3 1 1 ) 中的场算符改为经典场量，得到 搋未咿) = 卜乌2 m2 川啪警帕f ) 1 2 ik r ) 巾怯胃阢t 卟即， 1 2 厂1 ( 3 一) 这便是考虑偶极相互作用后b e c 系统的g p 方程，它也是一个非线性的薛定谔方程。如 前面所说，采用( 2 - 3 4 ) 形式的归一化条件后g p 方程的形式为 访妄咖) = - 丢v 2 + v ( 咖拟i 即n 砒附州2k r ) ( 3 - 1 3 ) 其中g = 4 砌2 a n m 是接触相互作用( 短程相互作用) 的耦合常数，a 是s 一波散射长度； p 一尹7 ) = g d ( 1 3 c o s 2e ) l 尹一尹1 3 是偶极相互作用( 长程相互作用) 的耦合常数，其中 g 。= 坳2 4 腮。，岛是真空介电常数，秒是反映粒子间距的位置矢量与电偶极矩矢量间 的夹角，j 1 y ) 1 2 赤= 1 。 3 3 二维谐振子势阱中的偶极b e c 亮孤子 对于n 个原子的偶极b e c 系统，为了方便，假设原子磁偶极矩大小皆为p ，而且 受强外场取向后原子电偶极矩方向皆指向z 轴正方向。设柱对称简谐外阱势为 矿= 昙m k 石2 + 嘭j ，2 ) ( 3 - 1 4 ) 1 9 偶极玻色一爱因斯坦凝聚体中的亮孤子 访未咖) = - 芴 1 2v 2 + 历雄) 2 + 删i 础) 1 2 k r ) ( 3 _ 1 5 ) + 赤7 圪仁一j _ y ( j 7 ，t 3 1 2 y ，f ) 现在引入谐振子单位，= 厮将( 3 1 5 ) 式无量纲化( 为了形式简便，并用f 代替0 3 t ，j 代替影z ，y 仁，f ) 代替，3 坨y ( 元，t ) ：关于无量纲化我们将在后面的3 4 节中详细描述，因为 3 4 节所讨论的三维谐振子势阱中的偶极b e c 的亮孤子是更一般的情况) ，可得到无量 纲化后的n l s e r 未y ( 夏，r ) = i 一三v 2 + 三g 2 + y 2 ) + 9 1 y ( i ，) 1 2i y ( j ，r ) l 懒胃阢t f ) l 南 。1 6 其中g = g h r d 3 = 4 感州，g ：= g d 壳纠3 = n p 2 m 4 尼e 0 7 1 2 l 。取试探波函数为高斯型 一 口；e 舛一2 + y 2 ) 7一纠 ( 3 - 1 7 ) y 2 万4 口2 4e 叫一吉盯b 一吉芦2i ( 3 一 其中口和y 是变分参量，将试探波函数代入下面的能量泛函 而e = h 圭阿纠2 + 三g 2 】y 1 2 + 和4 + 品扣寄叭硼高z q 。1 8 积分后得到( 为了形式简便，用e 代替驯壳缈) e = 丢( 口+ 考) + 瓦1 + 口压( 丢+ 譬厂( 嘲 c 3 一，9 ， 舯川= 百2 k 2 + 1 一百3 k 2 h ( k ) 删_ = 羁貉m k l 小历卅后) 的渐进行为是：( o ) = 一i 、厂( 1 ) = o 、似j + o o ) = 2 ，参看图3 1 0 7 l 托j f ( k ) 曲线。 值得一提的是，当体系的偶极相互作用极小时，认为g ：= 0 ，于是( 3 1 9 ) 式变为 e = 三( 口+ 差) + 瓦1 + 口压丢 c 3 删， 从上式可以看到，对于固定量值的口，随着y 的变化，能量( 3 - 2 0 ) 式的变化将是单调的， 2 0 第三章考虑偶极相互作用的非理想b o s e 气体的b e c 用) ，准一维n l s e 是不可能有亮孤子解的。但是当体系含有偶极相互作用时，下面会看 到，准一维n l s e 在合适的条件下是有亮孤子解的。 为了求体系能量e 的极小值，将( 3 - 1 9 ) 式其分别对口和y 求偏导，即令o e a a = 0 和 o f a y = 0 ，可以得到下面的方程组 其中，= g a 9 7 是反映偶极相互作用与短程接触相互作用相对强弱关系的无量纲的比 例系数，另外 j f ( 尼) = 哆2 一l 广i _ 4 七4 7 七2 + 2 + 9 尼4 h 僻) 】1 ( 3 - 2 2 ) i g ( 七) = 伍2 一1 ) - 2 - 2 k 4 + 1 0 k 2 + l 一9 k 2 h ( 后) 】 f ( k ) 、g ( 七) 的渐进行为分别为：f ( o ) = 2 、f ( k 一+ 一) = _ 4 和g ( o ) = i 、g ( k 一十一) = - 2 ， 参看图3 - 1 中的f 似) 、g ( k ) 曲线。 图3 - i 厂 ) 、f 忙) 、g 忙) 的渐进行为( 对数曲线) 当给定合适的g 和g ：后( 即前文所说的合适的条件) ，方程组( 3 2 1 ) 会存在解，将解代 回到( 3 一1 7 ) 中去，便得到了n l s e 的孤子解。下面将讨论9 7 和g ：( 或者说p ) 满足什么 样的条件，能量才会存在稳定值，n l s e 才会存在孤子解。为了方便，假定原子间的接 触相互作用是对于排斥短程相互作用，即s 一波散射长度大于零，取9 7 = 2 5 0 ，现在令 口= l ( 则尼= 办) ，于是( 3 1 9 ) 式化为 2 l ，j牡 1 _ 1 j 豫 剧 膨 勿一3韧一3 劳爵 一，i、 一，、 上扩办 偶极玻色一爱园斯坦凝聚体中的亮孤子 对于卢 0 图3 2 所示 心+ 兰4 + 筹2 2 ( 上4 2 + 生3 川) ( 3 _ z 。) 、一 作声值不同的一簇( 七) 曲线可以发现，并不是所有的曲线都有极小值，如 图中的虚线对应着口的临界值。 e r n ：， 图3 2g = 2 5 0 口= i 时的e ( k ) ，各曲线对应不同的芦值 可以求出卢的临界值为卢= 3 4 2 ( 约为0 2 3 8 7 ) ，这可由e 7 任= o ) = 0 来求解( 注意 ，( o ) = - 1 ，伽) = 0 ) 肚!+堡it+生，卜而25024 2 u 3生3 矿1 女) ( 3 _ 2 4 ) j 2 f 。 所咀当卢 3 4 t r i | 寸，能量有稳定值( f l ij 立简单的运算可以发现即使g 2 5 0 或n 1 ，该 结果仍然成立) 。但是需要注意：过太的偶极相互作用也能够破坏孤波的稳定，也就是 说声 3 4 z 并不能够总是保证( 3 1 9 ) 式占( 以力有局域极小值。 圈3 - 3 9 7 = 2 5 0 时系统能量( 3 1 9 ) 式随变分参量a 和y 的变化 图 中卢= o2 0 ，图b 中卢= 0 3 0 ，图c 中卢= o4 0 实际上如图3 3 所示，当偶极凝聚体的能量对两个变分参量的变化同时存在局域极小值 第三章考虑偶极相互作用的非理想b o s e 气体的b e c 时，才能说能量有稳定值，非线性薛定谔方程有壳孤子觯。 对于准一维偶极