（应用数学专业论文）退化时滞微分系统的hopf分支问题的若干研究.pdf

摘要 在经济工程生物等实际系统中，时滞现象和退化现象是非常普遍的现象 关于这两种现象，许多学者做出了很多的成果但是，据我们所知，有许多系统同 时具有退化和时滞的现象，称这类系统为退化时游微分系统也有许多系统具有 多个时滞，称这类系统为多时滞系统 实际模型中某些参数的变化的变化会引起解的稳定性的变化，从而产生周期解 或者( 极限环) ，即所谓的分支现象这种现象在退化系统和生物系统中都很明显 本文主要研究三维退化时滞微分方程和多时滞捕食与食饵系统的稳定性与h o p f 分 支我们以时滞r 做为分支参数研究了两类系统的h o p f 分支现象，通过分析系统的 特征超越方程，发现当时滞穿越某些值的时出现了分支结合利用珏叩f 分支定理 获得了系统的h o p f 分存在的条件；利用中心流型定理和正规形方法分析了h o p f 分支的性质，包括分支的方向和分支周期解的稳定性 第一章叙述了问题的产生背景与意义和本文所要做的工作 第二章讨论了三维退化时滞微分系统的h o p f 分支存在性 第三章讨论了多时滞中立型捕食与食饵系统的h o p f 分支存在性 第四章研究了多时滞捕食与食饵系统的h o p f 分支的性质 关键词退化时滞微分系统；中立型；捕食一食饵系统；i 王o p f 分支； h o p f 分支周期解；稳定性 a b s t r a c t i nm a n yp r a c t i c a lf i e l d s ，d e l a ya n dd e g e n e r a t ep h e n o m e n aa r ee x i s t i n ge x t e n - s i v e l y , s u c h 够e c o n o m y , e n g i n e e r i n g 。b i o l o g ya n d8 0o n a b o u tt h e s ep h e n o m e n a m a n yr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d b u t ，a sw ek n o w ，d e l a ya n dd e g e n e r a t ep h e n o m e n a a p p e a ri nm a n ys y s t e m st o g e t h e r ，t h e s es y s t e m sa r ec a l l e dd e g e n e r a t ed i f f e r e n t i a l s y s t e mw i t hd e l a y a n ds o m es y s t e m sh a v et w od e l a y , w ec a l lt h e s es y s t e m ss y s t e m w i t hm u l t i p l ed e l a y s o m ep a r a m e t e r s v a r i a t i o no fm o d e l sw i l lc a u s et h ev a r i a t i o no fs t a b i l i t yo f s o l u t i o n s ，w h i c hc a np r o d u c ep e r i o d i cs o l u t i o n s ( o rl i m i tc i r c i e ) b i f u r c a i o np h e - n o m e n o ni sk i n do fi t t h i sp h e n o m e n o ni 8c o m m o ni nt h ed e g e n e r a t ed i f f e r e n t i a l s y s t e ma n de c o l g i c a ls y s t e m 弛p a p e rd i s c u s s e st h ep r o b l e m so fh o p fb i f a r c a - t i o nf o rt h r e e - n e u r o nd e g e n e r a t ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a ya n dan e u t r a l p r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t ht w od e l a y w et a k ed e l a yra 8ab i f u r c a t i o np a r a m e t e r t oi n v e s t i g a t et h eh o p fb i f u c a t i o np h e n o m e n ao ft h e st w os y s t e m s b ya n a l y z i n g t h ea s s o c i a t e dc h a r a c t e r i s t i ct r a n s c e n d e n t a le q u a t i a n so fs y s t e m s ，i ti sf o u n dt h a t h o p fb i f u r c a t i o no c c u r sw h e nd e l a yp a s st h r o u g hav a l u e ，a n du s i n gh o p fb i f u c a - t i o nt h e o r e m , w eo b t a i no n ec o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fh o p fb i f u c a t i o ni ns y e - t e m s f u r t h e r m o r e ，b a s e do nt h ec e n t e rm a n i f o l dt h e o r e ma n dt h em e t h o do fn o r m a l f o r m ，s o m er e s u l t sa b o u tp r o p e r t i e so fh o p fb i f u c a t i o na l eo b t a i n e di n c l u d i n gt h e d i r e c t i o no fh o p fb i f u c a t i o na n ds t a b l i t yo fh o p fb i f u e a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o n s i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n d sa n ds i g n i f i c a n c eo ft h ep r o b l e m sa r eg i v e n t h em a i nw o r kd o n ei nt h i sp a p e ri si n t r o d u c e d - i n c l m p t e rt w o ，d i u e s e f lt h ee d i s t e n c eo fh o p fb i f u r c a t i o ni nt h r e e - n e u r o nd e - g e n e r a t ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y u i nc h a p t e rt h r e e ，d i s c u s s e st h ee x i s t e n c eo fh o p fb i f u r c a t i o ni nan e u t r a lp r e d a t o r - p r d ym o d e lw i t ht w od e l a y i nc h a p t e rf o u r ，s t u d i e st h ec h a r a c t e r so fh o p fb i f u c a t i o n k e yw o r d s ：d e g e n e r a t ed i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hd e l a y ；n e u t r a l ；p r e d a t o r - p r e y ；h o p fb i f u r c a t i o n ；h o p fb i f u r c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o n ；s t a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他入已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得凄琴孵其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：等矽冬签字日期：，矽7 年夥月二口日 n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解癌手揿式喾有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权奄臻知嬉可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签字日期：加7 年哗月2 d 日 签字日期： 学位论文作者毕业去向：泣釉救】农l 大。錾 工作单位：瘟欲槛久喾 电话： 通讯地址：长i l 治踟弓 邮编： 口l 一蕊玛1 吣 龉口d 5 占 日 第一章绪论 第一章引言 在现实世界中，许多实际问题都可以建立数学模型，通过对数学模型的研究 对这些实际问题进行预测和解释这些模型常常引发了数学理论中微分方程的研 究，由于不能得到其解的表达式，人们常常着眼于从方程本身的特性去研究其解 的特性，如存在性，稳定性，周期解的存在性和稳定性等在研究中我们发现解的 某些局部和大范围的性态往往要随着方程中的参数的变化而变化，从而产生的周 期解( 极限多岛，郢出现所谓的分支现象，如文献【l l - 2 0 1 ，汹，3 9 】等 h h r o s e n b r o c k 在讨论复杂的电网系统时，提出了退化系统此后，人们在许 多实际领域的研究中都发现了退化系统退化系统引起了许多学者的关注，并得 出了很多结果但大多是有关常微分方程的研究，但时滞在客观世界中经常发生 的，时滞被引入到退化系统的研究中，如文献 3 - 9 等这些文章主要研究了方程 的解的形式，存在性和稳定性，周期绥的存在性和稳定性等等但对于退化时滞方 程的分支问题研究还没有得到更多的关注，那么在退化时滞系统中，对于参数的 变化会对解的性态的影响程度的研究就有重要的意义 此外，众所周知，时滞会对微分方程的拓扑结构有很大的影响，如文献 1 1 2 0 j ，f 3 4 _ 3 9 】等但大多系统中都只有一个时滞，对于多时滞现象的研究还不多见 因此对于方程有两个及以上的时滞，解的结构的研究有重要的意义。 1 皋玲，退化时满徽分方程的h o p f 分支问题的若干研究 文【1 9 】中，研究了个有时滞的范德波尔方程 ， i 士( t ) = 可( t 下) 一，( z ( t r ) ) i 口( t ) x ( tr ) 的h 叩f 分支的存在条件，通过分析其特征方程，发现当时滞穿越一系列值时出现 了分支并给出了一个寻找h o p f 分支点的计算方法受文【1 9 】的启发，我们把这 种方法引入了退化时滞微分方程和多时滞微分方程中 本文首先研究了个三维退化时滞方程的h o p f 分支 退化时滞微分系统的一般形式可以写作； e ( t ) = n z ( t ) + b z ( t r ) 这里z ( t ) 舻为状态向量；e ，a ，b 伊。3 ；e 为退化矩阵；r 风为参数 文【3 4 】研究了如下具有多时滞捕食一食饵系统的全局h o p f 分支 j ( t ) = z ( t ) 【r l a l l z ( t ) 一口1 2 0 一n ) ， 、 【( ) = 口o ) 【r 2 一a 2 1 x ( t 一7 ) 一a 2 2 ( t ) 文f l l j 中给出了给出了适合常微分方程的正规形计算方法，而文献【1 9 1 1 2 0 l 直 接给出了适合泛函微分方程的正规形及其计算方法 受文【l l 】【1 9 j 【蚓启发，本文研究了如下形式的多时滞中立型捕食一食饵系 统- i 圣( t ) = z ( t ) h a l l x ( t ) 一a n y ( t n ) ， 、 i 口( t ) = 口( 0 l r 2 一a 2 口( t r 2 ) 一o ( t ) 的h o p f 分支的存在性，并利用中心流形定理和正规形方法分析了系统的h o p f 分 支的性质，获得了h o p f 的分支方向和分支周期解稳定性的一个结论 第二章三维退化时将微分方程的h a p f 分支 第二章三维退化时滞微分方程 的h o p f 分支 2 1引言 本章将讨论三维时滞微分方程的分支问题 退化时滞微分系统的般形式可以写作t e ( t ) = 4 x ( t ) + b x ( t r ) ， 这里z ( t ) 冗3 为状态向量；e ，a ，b 舻。3 ；e 为退化矩阵；r j “为参数 当r a n k ( g ) = 1 对，可通过变换将系统化为； f 。1 似，、1 1 0 0 0 | | 碗( t ) l io oo 八挪) j 我们不妨设 ( 2 , 1 ，1 ) ( 2 , 1 ，2 ) 、，j订订订 卜卜卜 以娩州剐剐 、7、 吣蚴呱吣嗡毗锄纰也畅毗 叭吾 衄吣h h ，l， = 十 、lli-， 吣 蚴 咄 毗 吻 啦 m ，f。一 = 3 a 、liiil-， 0 o 0 o 0 0 l 0 o ，j = e 朱玲，退化，时滞微分方程的h o p f 分支问题的若干研究 b = b l l b 1 2 b 1 3 ) ，倒， 当r a n k ( e ) = 2 时，可通过变换将系统变化为， 我们不妨设 + a i ra 1 2 a 2 1a 2 2 a 3 1g 3 2 ( 2 1 3 ) 则( 2 1 3 ) 仍可写作( 2 1 1 ) 下一节，通过分析其特征方程，发现当时滞穿越某个值时出现分支，并将给出 寻找h o p f 分支的计算方法 4 、，-、订力 一一一 0 o o i q沈州以烈 、 吣纰哪吣址境咄吣溉h 、iliil ； 1机如 ，jjjil、l 0 o 0 0 l o 1 0 o ，jltilil、 、，、-、 吣蚴嘶 毗吻咖隹 i = d 口o ， =、 4 吣垴 、 o o o 邮够够 0 1 l o o h k b ， = = e b 第二章三维遇化时滞镦分方程的h o p f 分支 2 2主要结论 我们将按上一节中所述，分两种情况来讨论三维退化时滞微分方程的h o p f 分 支情况 情况1 ：首先讨论系统( 2 , 1 2 ) 的h o p f 分支 对于三维退化时滞微分系统( 2 1 2 ) ，我们有特征方程 九( ，下) = i a f a b e 一7 i = a 1 a l a i + ( a 2 a 一岛) e m i b f e 一3 r ，( 2 2 1 ) 其中 a - = ja 2 2 蚴a 3 3i ，如= i 衄o , , 2 2 岫a 2 3l + f 芝蚴w 2 3 ，a 。= l 芝：| ， b 1 = 岛= b l l 1 2 6 2 l 船 6 3 la 3 2 b n6 1 2 6 2 16 船 b 3 1b 3 2 + + f f l l6 1 2 a 1 3 0 2 1b 2 2a z 3 a 3 tb 3 2a 3 3 b na - 1 26 1 3 6 2 1d 2 26 b 3 1o , 3 26 3 3 + + a l la 1 26 1 3 0 2 10 , 2 2b 2 3 a 3 1f 1 3 26 3 3 o , l l6 1 2h 3 口2 16 2 26 0 3 1 3 26 3 3 ( 甄)1 8 l = 0 方程( 2 2 1 ) 两边同乘e n ，有 ，l q ，r ) = ( a l a 一陋i ) e n + a 2 a b 1 + ( a 3 a b 2 ) e n = 0 ( 2 2 2 ) 则 一 ，l ( 讪，丁) = ( a 1 “一( c 0 8 ( u r ) + 油r ) ) + 如一b 1 3 ) + ( a 3 w j 勉) ( c o f s t n ( w r ) = 0 吣 嗡 嗡 蛳 蚴 呱 柬琦，退化、时滞微分方程的h o p f 分支问题的若干研究 分离实部和虚部，得到 ( - a 1 + a z ) w s i n ( 【| , r ) 一( f a l + b 2 ) c ( c ，r ) ；b l ( 一i 且f + 且2 ) 8 i n ( u 下) + ( a 1 + a 3 ) u 删( ，r ) = 一以2 叫 如( 川= 誊篑， 一r ) = 面c s w i 珥+ 写c e ， ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 其中 c l = a ，也= i p 一磁，c 3 一一( a 1 8 1 + a s b l ) ，q ；i a a 2 + a 2 8 2 岛= a 2 a s a 1 也， 岛= i a i b * + b 1 8 2 因为s l n z ( v , r ) + o 2 r ) = l ，所以 d 3 一+ d 2 ，2 + d l ，+ 面= 0 ( 2 2 7 ) 其中d 3 = c ，如= 2 c i c 2 一磅一露，d 1 ：一2 c 3 c 4 2 c 5 c e ，南= 弓一固一露 令f ( u ) = d 3 u 4 + 也u 2 + d x w + d o 若e ，a ，b 给定，( 2 2 7 ) 的根就可以求得，因为z ( ，) 。= + 。，若d o 0 ，那么 ( 2 2 7 ) 至少有一个正实根 ( 现)( 2 2 7 ) 至少有一个正实根 不失一般性，设( 2 ，2 7 ) 有四个正实根由( 2 2 - 6 ) c o s ( w k r ) = 器暑卷，因此定义 = 壶 “c c m ( 器嚣格) + 2 j ”) 其中k = l ，4 ，j = o ，1 ，那么士饥是( 2 2 1 ) 关于强的对纯虚根定义7 b = = r a i n 。1 ， t ， w 0 = a , k o 当r = 0 时，( 2 2 1 ) 为 ( a l + 2 + a 3 ) a 一 a i 一历一丑2 = 0 6 第二章三维退化时滞微分方程的h o p f 分支 若( 川+ b l + b 2 ) ( 血+ a 2 + a s ) 0 ， 柳陋e ( 等) l ，。】= s i g n r e ( 磊d a ) i m 】 为了得到本文的主要结果，做出如下假设， ( 玩)( + 历+ 岛) ( 1 + a 2 + a s ) 0 则方程( 2 2 8 ) 只有负实都的根，系 统( 2 1 2 ) 在平衡点稳定 ( z h ) 冗e ( 警) l ，。0 情况2 ：再讨论系统( 2 1 3 ) 的h o p f 分支 对于三维退化时滞微分系统( 2 1 3 ) 我们有特征方程 ( a ，f ) = 1 h e a b e 一7 a l = ( 一舻蛔+ a s a b 1 ) e 一1 一a 2 a 3 3 + a t a i a l ( 2 2 1 1 ) + ( 如a z k ) e 一2 n l b l e 一3 n ， 其中 小旧蛔b s s 卜ig i i a 3 1 斟 i 口嚣l6 豁i 朱玲退化时滞微分方程的h o p f 分支问题的若干研究 b i = b 2 = b l la 1 2 b 2 id 2 2 b 3 z 口 b l l6 1 2 b 2 1 吻 b 3 i6 3 2 + + f i l lb 1 2 f i l 3 a 2 i6 船a 2 3 f i 3 16 3 2f i 3 3 b i if i l 2b 1 3 b 2 1d 船6 6 3 lf i 3 26 3 3 + + f i l lf i l 2b l s 8 2 l 口船b 2 3 f i 3 1a 3 26 3 3 a l l6 1 2b 1 3 a 2 16 2 2b 2 3 f i 3 1b 3 2 ( 凰)吲= 0 方程( 2 2 i i ) 两边同乘，则有 ( a ，r ) = ( 一a 2 口3 3 + a 1 a i a i ) e 一a 2 6 + a 2 a b 1 + ( a 3 a b j ) e n = 0 ( 2 2 1 2 ) 则 ( 妇，r ) = 2 岫十a i i w 一( c 0 8 ( r ) + 咖( u r ) ) + u 2 6 3 3 + a 2 妇一b 1 + ( a 3 n j 一日j ) ( c ( ，f ) 一 s i n ( ，r ) ) = 0 ( 2 2 1 3 ) 分离实部和虚部，得到 ( 一a l + 也灿咖( ”) 一( 峨，2 一i a i 一岛) “0 7 ) 2b 1 一。2 6 3 3 ， f 2 2 1 4 1 ( 3 u 2 一i a l + 昆) 血( ，r ) + ( a l + a s ) w c o s ( 0 r ) z 一幻， 咖= 面w 耳( e 4 w 面2 + 耳e 5 ) i ， ( 2 2 1 5 ) c o i l r ) = e ，6 w 4 + e t w 2 + e 8 e 1 - 一十e 2 w 2 + e 3 8 ( 2 2 i 6 ) q 衄 h b + ； 咿咿 舻咿 舌：吼 咄 + + 蚴哪 眩 咿咿 够彬 + = 吻 咄 = 如 蛳 嘲 吣 蚴 哪 第二章三维退化时带微分方程的h o p f 分支 其中 e l = 蟊，e 2 = 一2 a 3 3 1 a i + a i 一椰，e 3 = i a l 2 一磁，e 4 = 一a 2 a 3 3 + 且1 6 3 3 + a 3 6 3 3 e 5 = 一a i b i a 3 8 1 + a 2 i i + a 2 阮1e b = 一a 3 3 b 3 3 ， e 7 = 也也+ b l 嗡一岛6 3 3 一a 1 2 十川6 3 3 ，e 8 = 马岛一b 1 m i ， 因为s i n 2 r ) + c 0 8 2 r ) = 1 ，所以 ，4 u 8 + ，3 6 + 厂2 ，4 + ，1 ，+ f o = 0 ， ( 2 2 1 7 ) 其中，4 = 磅一碍，3 = 西+ 2 e 屯e 7 2 e l e t ，如= 2 e 4 e 5 + e ；+ 2 e o e 8 一鼋一2 e l e 2 ，l ； 罐+ 2 e t e s 一2 e 2 e 3 ，如= 罐一露 令：；护，( 2 2 1 7 ) 变为 矗+ 南+ 丘2 2 + 6 z + ，o = 0 ( 2 2 ，i s ) 令：( u ) = d 3 u 4 + 而户+ d , w + d o 若e ，a ，b 给定，( 2 2 1 8 ) 的根就可以求得，固为：u ) 。= + o o ，若d 0 ( o ，那 么( 2 2 1 8 ) 至少有一个正实根 ( 凰)( 2 2 1 8 ) 至少有一个正实根 不失一般性，设( 2 2 1 8 ) 有四个正实根由( 2 2 1 6 ) c o s ( w k r ) = 篆l ；：赛，因 此定义= 击 盯c c o s ( 嚣滁) + 刃 r 其中七= 1 ，4 ，j = 0 ，1 ，那么士钒 是( 2 2 1 1 ) 关于靠的一对纯虚根定义 t o = = m i n k ：1 ， 4 理 ，咖= 峨o 当r = 0 时，( 2 2 1 1 ) 为 一0 3 3 + 6 3 3 ) r + ( a l + a 2 + a a ) a l a i b l b 2 = 0 ( 2 2 1 9 ) 9 朱玲；退化时滞微分方程的h o p f 分支问题的若干研究 若满足；当a 3 3 十6 3 3 = 0 时( 川十b l 十b 2 ) ( a 1 + a 2 + a 3 ) 0 s 枷l r e ( 筹) l ，：。】- 坳z 陋( 等) 一1 i ，。】 为了得到本文的主要结果，做出如下假设， ( 嚣7 )当哟+ 嘧= 0 时( + 暑1 + b 2 ) ( a l + a 2 - i - a s ) o ，您 0 分别表示食 饵和捕食者的内禀增长率；n “ o g ；1 ，2 ) 分别表示两种群密度作用的种内作用 系数；o v ( i j ) 是反映两种群相互作用的种间作用系数；1 1 0 ，1 2 0 表示追捕 时间和捕食者的成熟期对于系统( 3 1 1 ) 已经有人研究过其的稳定性，周期正 解等性态众所周知，时滞对微分方程解的拓扑结构会产生较大影响本文从以时 滞为参数从分支角度对系统( 3 1 1 ) 进行研究通过分析其特征议程，发现当时滞 穿越某些值时出现了分支并给出了寻找h o p f 分支点的计算方法。 第三章 多时游中立垄捕食一食饵系统正平街点的稳定性与h o p f 分支 3 2主要结论 系统( 3 1 1 ) 显然有唯一的正平衡点e + = ，矿) ，其中 矿：旦，矿：旦 n 1 1 o - 2 2 令o l = 一矿，x 2 = 移一矿，则系统( 3 1 1 ) 可化为 2 l o ) = 一。1 l 。1 ( t ) 一。1 2 。士2 ( t - n ) 一。1 1 。i ( ) 一。1 2 。1 ( ) 士2 ( t n ) ( 3 2 1 ) ie 2 ( t ) = - - 0 , 2 2 z z 2 ( t ) 一a 2 1 y 圣l o 一1 j ) 一口谚o ) 一0 - 2 1 x 2 ( t ) 圣1 ( t 一心) 系统( 3 2 ，1 ) 在平衡点( 0 , 0 ) 处的线性部分为 1 ( 。) 一0 1 1 咖1 ( ) - 口1 2 矿而( 卜n ) ，( 3 【士2 ( ) 2 一a 2 2 y * z 2 ( t ) 一a 2 i y 圣1 ( t 一忍) 系统( 3 , 2 ，2 ) 的特征方程为 其中 则 ( a ，r ) = a 2 + c 1 a + c 2 a 2 e 一打+ c 3 = 0 ， c 1 = 。1 1 矿+ 吻矿 o ， 也= 口1 2 2 1 矿旷 0 ， ( 3 删 c 3 2a i l a 2 2 x * y + 0 ，t = r i + 忍 ( 讪，r ) = 一，2 + c l w + 忽u 2 ( c 0 6 ( w i ) 一铀i n ( r ) ) + 臼= 0 分离实部和虚部可得 一，2 一它u 2 嘲p r ) + c 3 = 0 ， 印护s i n r ) + c 1 l d 8 i n r ) = c l u j ， 1 3 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 来玲，退化、时滞徽分方程的h o p f 分支问题的若干研究 c 0 8 ( 【，r ) ；垒二芸 c 2 w 因为s i n 2 ( u r ) + c 0 矿r ) = 1 所以有 u 4 + 西u 2 + d o = 0 ， 其中d - = 譬警，南= 禹令。= ，2 ，( 3 2 9 ) 变为 夕+ d , z + d o = 0 ( 3 2 ，1 0 ) 令t ( z ) = + d l z + 而 如果( 1 ，= 1 ，2 ) 给定( 3 2 1 0 ) 的根很容易就可l 工求出 ( 罚为f 和) 。_ 。； + 1 若d o 口1 1 0 毖那么( 3 2 1 0 ) 至少有一个正实根 ( 日1 ) a 1 2 a 2 1 r l r 2 a l l a 2 2 若d o20 ，则方程( 3 2 3 ) 没有纯虚根 ( 日2 ) a 1 2 a 2 1 r l r 2 a l i a 2 2 不失一般性设( 3 2 1 0 ) 有两个正实根，定义为以，砘，那么( 3 2 9 ) 有两个正实 根；0 1 z 石，u l = 互由( 3 2 8 ) 我们有， 一= 寄 ( 3 2 1 1 ) 故定义 = 去 a 一音+ 刎 其中k = 1 ，2 ，j = o ，1 ，那么士饥是( 3 ，2 3 ) 关于的一对纯虚根定义t o = = m i n k ；1 ，4 瑶) ，w o = 1 4 第三章 多时祷中立型捕食食饵系统正平衡点的稳定性与h o p f 分支 当r = 0 时，( 3 2 3 ) 为 ( 1 + 吃) r + c l a + c 3 = 0 ( 3 2 1 2 ) 由于1 + c 2 0 ，c 1 0 ，c 3 0 ，故( 3 2 1 2 ) 只有负实部的根 其中 对( 3 2 3 ) 式两边对 关于r 求导，并通过简单的计算求得， 幽 c 2 a 3 石2 - c 2 a 2 + 2 e t a + ( a + 2 c 1 ) e x 。月e ( 等) = u 8 【( 2 遵一鼋) u 2 2 c ；u + 谚c 3 】 q = ( 谚u 4 一c l i 0 2 + 2 c l c 3 ) 2 + 【( 2 鼋一1 ) ，3 2 砖u 2 + 龟卅2 为了得到本文的主要结果，做出如下假设， ( 日j ) r e ( 箬) i ，：。0 由引理2 1 可以得到下面的定理 定理3 1 若条件( 凰) 成立，对于任意r 0 ，系统( 3 2 1 ) 是渐近稳定的 若条件( 日2 ) ( 岛) 成立，那么 ( i ) 当r 1 0 ，动时，系统( 3 ，2 1 ) 的零锯渐近稳定； ( ) 当r 1 0 ) 时，系统( 3 2 1 ) 的零解不稳定； ( n 1 ) 系统( 2 1 ) 在r = 吁u = 1 ，2 ，) 处出现h o p f 分支 朱琦- 退化、遇滞微分方程的h o p f 分支问题的若干研究 第四章多时滞捕食食饵系统正平衡点 的h o p f 分支性质 4 1一个已有的结论 文献【3 4 】中考虑了多时涛捕食食饵系统 士( 。) 2 。( ) h 咄1 。( ) 咄2 v c t - 1 ) 】，( 4 l 1 ) i9 ( t ) = g ( t ) 卜r 2 + o , 2 i z ( t 一心) 一0 2 2 9 ( t ) 】 的正平衡点的h o p f 分支和全局h o p f 分支 文中说明了如果条件 ( 马)1 a 2 1 一r 2 a 1 1 0 成立则系统( 3 1 1 ) 有唯一的正平衡点p = ( 矿，旷) ，其中 矿：土丝垒堕，矿；土丝二垒坠 a i i e 2 2 十a 1 2 a 2 1a l l d 2 2 十a 1 2 0 , 2 1 令1 = z 一矿，x 2 = 一旷，则系统( 4 1 1 ) 可化为 ，( f ) ；- a l l z * z l ( t ) 一n 控z 却。一n ) 一。- ，妍( t ) - a 1 2 z i ( t ) 。o n ) 【士2 ( ) = 一a 2 2 y x 2 ( t ) + d 2 1 茁l o 一乜) 一口船通( t ) + d 2 1 现( t ) z l o 一，j ) ( 4 1 2 ) 在平衡点( 0 , 0 ) 的线性部分为 一 l 圣1 ( t ) = 一n l l z + z 1 ( ) 一口1 2 z z 2 0 一n ) ， 1 圣2 ( t ) ：一吻扩z 2 ( t ) + a 2 1 v * x l ( t 一心) 1 6 ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 第四章多时浠捕食食饵系统正平街点的h o p f 分支性质 系统( 4 1 ，3 ) 的特征方程为 a 2 + p a + r + q e 一 7 = 0 ( 4 i 4 ) 其中 p = 吐1 1 矿+ 口2 2 圹 o ，7 = 。l l 锄村 o ， ( 4 问 q zn 1 2 n 2 l 矿掣 0 ，t = n + 弛0 引理4 1 假设条件 ( 玩) ( 1 1 1 g 2 2 一a l z a 2 1 0 成立，则方程( 4 1 4 ) 没有纯虚根 如果条件 ( 1 t 2 )g 1 1 g 2 2 一g 1 2 口2 1 0 口r 。 并由此得到下述定理 定理4 3 如果条件( p 1 ) ，( 日1 ) 成立，对v r 0 ，则系统( 4 1 2 ) 是渐近稳定的 如果条件( p 1 ) ，( 皿) 成立，对系统( 4 1 2 ) ，有 ( i ) 当r f 0 1 r o ) 时，系统( 4 1 2 ) 的零解渐近稳定； ( ) 当r r o ) 时，系统( 4 1 2 ) 的零解不稳定； 朱玲，退化、遇滞微分方程的h o p f 分支问题的若干研究 ( ) 系统( 4 1 2 ) 在r = 勺0 = 1 ，2 ，) 处出现h o p f 分支 我们在下一节将讨论系统( 4 1 2 ) 的分支性质 第四章 多时滞捕食一食饵系统正平衡点的h o p f 分支性质 4 2h o p f 分支的性质 为了碍到文章的本要结论，我们作出如下假设； 令u l ( t ) = z 1 0 一您) ，地( t ) = z 2 ( t ) ，( 4 1 2 ) 可被改写为： 吐1 ( t ) 一口1 l 九1 ( 。) 咱2 咖2 ( t - - t ) 咱l 嵋o ) q 批( ) “2 ( t - - i ) ，( 4 肌) l 奶( ) = - a , x z y u 2 ( t ) + a 2 1 y l ( t ) 一8 遁( 茚+ 啦! 地t ) “1 ( 砖 。 假设t = s r ，z i ( t ) = 啦( r t ) ，f = t o + p ，“r ，则系统( 4 2 1 ) 可写为一 j 1 ( t ) = ( t o + 肛) 卜n 1 1 茁4 。1 ( t ) 一a 1 2 f f z 2 ( t 一1 ) 一0 1 l t 日( t ) 一a 1 2 x l ( t ) x 2 ( t 1 ) 】， i 耋2 ( t ) = ( t o + p ) 卜眈2 旷( t ) + a 2 1 v * x l ( t ) 一口z ；( t ) + a 2 1 2 2 ( t ) x l ( t ) ( 4 2 2 ) 则其线性部分为一 宕l ( 。) 5 + 弘) 卜8 1 l x * z l ( t ) 一8 1 2 x x 2 ( t - i ) ，( 4 删 ij ：2 ( t ) = ( 7 - 0 + u ) - a 2 2 u + z 2 ( t ) + a 2 1 y + z l ( 纠 ( 4 2 2 ) 的非线性部分为； m ，毗，= c 旬刊- a z 2 z ( t ) + a 2 1 x 2 ( t ) z l ( t ) 1 ) 1 c t 删 ，( p ，t t ) = 怖+ p )1 1 ( 4 - 2 4 ) 由定理4 1 知，如果条件( p 1 ) ，( 日2 ) 同时成立，我们知道1 o 是系统( 4 2 2 ) 的分支 点，线性系统( 4 2 3 ) 在r = t o 处的所有特征值，除了单纯虚根4 - o o 之外，都有 负实部；兄e 器i 。 0 其中 t o ，蛳在由上一节中的算法给出下面我们将讨论 “2 2 ) 在第个h o p f 分支值r = 1 o 处的h o p f 的分支方向和h o p f 分支周期解的稳 定性 定义c k - 1 ，o j = 纠妒：【一1 ，0 1 一舻，其中任意妒都有k 阶连续微分) 为了简 单起见，月c i - 1 ，0 】代表伊【- 1 ，0 1 鹪映射连续地将原始数据映射到昱2 中对任意 朱玲，退化，退游微分方程的h o p f 分支问胚的若干研究 的咖( 日) = ( 1 ( p ) ，庐2 ( p ) ) 了c - 1 ，0 】，定义一个算子 缸妒= + m ( ：；啦：+ ) ( ：高) + ( ：一g 。1 2 x * ) ( ：( - ：；) ，c t 2 s ， 其中“妒是c 【一1 ，0 】一舻上的个单参数的有有界线性算子由里斯表示定理知 道，存在一个矩阵值函数目( 日，p ) ：【一1 ，0 】一铲，它的每个元素都是 - 1 ，o | 上的有 界变差函数，使得 “庐。l 咖( 9 ，毋( 9 ) 事实上，我们取 - c 一，p ，= c 勺+