（应用数学专业论文）非线性常微分方程边值问题的解及应用.pdf

益阜师范大学硕士学位论文 非线性常微分方程边值问题的解及应用 摘要 非线性分析是现代分析数学的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中 的各种各样的自然现象而受到了越来越多的数学工作者的关注其中，非线性 问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为活跃的领 域之一 本文利用锥理论，不动点理论等研究了几类非线性微分方程的正解的存在 性全文共分四章 第一章是本文的绪论部分，简要介绍了非线性泛函分析的起源与发展和本 文的主要工作 第二章研究了下列一阶脉冲周期边值问题； 。 ， lz ( t ) + 入z ( t ) = f ( t ，z ( t ) ) ，t 【0 ， r 】，t t k ，k = l ，2 ，m ， z ( t 毒) = z ( ) + x ( = c t k ) ) ， k = 1 ，2 ，m 1z ( o ) = x ( n ) 其中0 = t l t 2 0 ，j c ( r ，r ) ，：【0 ，n 】xr _ r 在( t ，z ) 【o ，n 】 t t ，) r 上是连续的，f ( t - i ，z ) 和，( 毒，z ) 均存在且 有f ( t - i ，z ) = f ( t k ，z ) 记z ( t 毒) ( g ( ) ) 为z ( t ) 在t = t k 点的右( 左) 极限，则 a x l t ：t i = z ( t 毒) 一z ( t i ) 我们通过一个算子 b ：y 一m a x y ，翔， ( 其中z o 是一个非负函数) 来定义映锥到锥的算子，从而利用不动点指数相关 理论。得到了一系列正解的存在性结果 第三章在第二章的基础上继续研究一阶脉冲周期边值问题，得到了多解的 存在性结果 第四章考虑如下四阶奇异半正边值问题： ， it ( 4 ) ( t ) = f ( t ，u ( t ) ，一t ( t ) ) + g ( t ) ，0 t l ， it ( o ) = u ( 1 ) = 矿( o ) = 扩( 1 ) = 0 曲阜师范大学硕士学位论文 其中，：( 0 ，1 ) 【0 ，+ 。o ) 0 ，+ o o ) - + f 0 ，+ ) 连续，并且在t = 0 ，1 处均具有奇 性，g ：( 0 ，1 ) _ ( 一o o ，+ 。o ) 是l e b e s g u e 可积的，并且可以在 0 ，1 】中具有有限 多个奇异点 本章利用锥理论，不动点指数理论和单调算子的有关结论，研究了一类四 阶奇异半正边值问题，我们得到了其c 2 【o ，1 】nc 4 ( o ，1 ) 正解存在性结果 关键词：微分方程；边值i ；- j 题；正解；脉冲；锥 a b s tr a c t n o n l i n e a ra n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o r d e r na n a l y s i sm a t h e - m a t i c s ，b e c a u s ei tc a ne x p l a i na l lk i n d so fn a t u r a lp h e n o m e n a ，m o r ea n dm o r e m a t h e m a t i c i a n sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t a m o n gt h e m ，t h en o n l i n e a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mc o m e sf r o ma l o to fb r a n c h e so fa p p l i e dm a t h e m a t i c s a n dp h y s i c s ，i ti sa tp r e s e n to n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d st h a ti ss t u d i e di n a n a l y s tm a t h e m a t i c s t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y , f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n d s oo n ，t oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st ob o u n d a r yv a l u ep r o b - l e mo fs e v e r a lk i n d so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e d i n t of o u rs e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s c h a p t e r1i st h ei n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r ，w h i c hi n t r o d u c et h ed e v e l o p - m e n to fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa n dt h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ef i r s t - o r d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s w i t hi m p u l s e ： t 【0 ，】，t t k ，k = 1 ，2 m ， k = 1 ，2 ，m ， h e r e0 = t l t 2 0 ，i c ( n ，r ) ，：【0 ，n 】 r _ ri sc o n t i n u o u so n0 ，z ) 【0 ，n 1 芒l ，t m ) r ，( t i ，z ) ，( j ，z ) e x i s ta n d ，( t i ，z ) = f ( t k ，z ) a x t ：“= z ( t 吉) 一z ( 亡i ) w h e r ez ( 亡毒) ( r e s p e c t i v e l y z ( t i ) ) d e n o t et h er i g h tl i m i t ( r e s p e c t i v e l yl e f tl i m i t ) o fx ( t ) a tt = t k b yu s i n ga ne f f e c t i v eo p e r a t o r ：b ：翟_ m a x y ，z o ( h e r ez 0 i san o n n e g - a t i v ef u n c t i o n ) ，w ed e f i n ea no p e r a t o rf r o mc o n et oc o n ea n dt h e nt h ef i x e d p o i n ti n d e xt h e o r e mc a nb ea p p l i e d i nt h i sw a y , t h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v e s o l u t i o n st ot h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h ef i r s t o r d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m s w i t hi m p u l s ef a t h e r l ya n do b t a i nt h em u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o rt h ep r o b l e m i nc h a p t e r 4 ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gf o u r t h o r d e rs i n g u l a rs e m i p o s i t o n e l t k徘啦 八o i l h k 哪嵩训砖 ，l ( ( b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： f 一( l z ) ( t ) = f ( t ，z ( t ) ) ，t 【o ，1 】， i 口z ( o ) + b x ( o ) ) = 0 ，凹( 1 ) + d x ( 1 ) = 1 h e r e ，：( o ，1 ) 1 0 ，+ o o ) l o ，+ 。o ) 一f o ，+ o o ) i s c o n t i n u o u s ，a n d ，( z ) i sa l l o w e d t ob es i n g u l a ra tt = 0a n d = 1 q ：( 0 ，1 ) 一( 一。，+ 够) i sl e b e s g u e i n t e g r a b l e a n dh a sf i n i t es i n g u l a rp o i n t si n 【0 ，1 】 b yt h et h e o r yo ff i ) 【e dp o i n ta n d m o n o t o n eo p e r a t o r ，w es t u d y t h ef o u r t h - o r d e rs i n g u l a rs e m i - p o s i t o n eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n d o b t a i nt h ee x l s t e n c e o fc 2 0 ，1 n c 4 ( 0 ，1 ) p o s i t i v es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m u n d e rc e r t a mh y p o t h e s e s k e y w o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p 。s i t i v e s o l u - t i o n ；i m p u l s i v ee f f e c t s ；c o n e u 曲阜师范大学硕士学位论文 符号说明 本文所用符号，除文中特别说明外，均按如下规定： 1 r 表示实数集，r + 表示非负实数集，j = f 0 ，】，j = j t l ，t 2 ，k ) ； 2 ”i i 表示最大值范数，t ( ，) 表示不动点指数，p 表示抽象空间的零元； 3 a q 表示q 的边界，q 表示q 的闭包； 4 ccd 表示集合c 包含于d ； 5 s u p 表示取上确界，i n f 表示取下确界，l i ms u p 表示取上极限，l i mi n f 表 示取下极限，m a x 表示取最大值，m i n 表示取最小值； 6 v 表示对任意的，j 表示至少存在一个，表示属于，表示不等于； 7 一表示趋于，d 表示空集； 二 8 c 0 ，1 】表示闭区间【o ，l 】上全体连续函数的集合， c ( r ，r ) 表示定义域和 值域都是r 的连续函数的全体； 9 p c ( j ) = z ：z ( t i l ，t i ) ，在t i 处左连续，且z ( t ) 存在，i = 1 ，2 ，m ) 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文非线性常微分方程边值问题的解 及应用，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻渎硕士学位期间独立进行 研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研 究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的 方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者貅融牛魄厶蛾占、) 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 非线性常微分方程边值问题的解及应用系本人在曲阜师范大学攻读硕 士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师 范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲 阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交 论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可 以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：磊b 乞毕日期：仓。占? k1 f 导师签名：日期： 第一章绪论帚一早三萏睨 1 1非线性泛函分析的起源与发展 近代物理学和应用数学地发展，要求分析和控制客观现象的数学能力向着 富有全局性的高，精水平发展，从而使非线性分析成果不断积累，逐步形成了 现代分析数学的一个重要的分支学科一非线性泛函分析因它能很好的解释 自然界中的各种各样的自然现象而受到了越来越多的数学工作者的关注到上 个世纪五十年代，非线性泛函分析已初步形成了理论体系由于无穷维空间框 架中，处理分析学的非线性问题的方式有着无穷的潜力，近年来，非线性泛函 分析已经成为研究数学，物理，航空航天技术，生物技术中非线性问题的一个 重要的工具它的基本方法有拓扑度方法，变分方法，解析方法，半序方法， 单调迭代方法等，这些方法在文献【1 7 】中介绍并应用过 二十世纪以来，非线性泛函分析的发展取得了重大得突破首先b a n a c h 压缩映象原理，l e r a y s c h a u d e r 拓扑度理论，抽象锥的不动点理论，临界点 理论的提出，促进了非线性常微分方程，偏微分方程各种问题得到研究另一 方面，脉冲微分方程问题由于在物理学，应用数学，航天，生物等领域有着广 泛而重要的应用，也引起了众多数学家的重视世界上的许多著名的数学家用 非线性泛函分析中的拓扑度理论，临界点理论，半序方法，上下解方法，不动 点理论，迭合度理论，单调迭代方法等理论和方法，对上述方程进行了深入的 研究，得到了许多新结果虽然对脉冲微分方程及其脉冲积分一微分的研究已 经有了很大的发展，但是仍存在很多实际问题有待于进一步解决也正因为如 此，有关脉冲模型的问题是非线性分析研究的一个较为前沿的方向 八十年代末期，非线性脉冲方程的理论成为微分方程理论的一个重要的新 分支由于这种方程呈现的结构具有深刻的物理背景和现实的数学模型( 见文 献f 5 】) ，与自然现象及其吻合，所以研究脉冲方程也具有其内在的价值由于 脉冲方程具有脉冲现象，其解的连续性受到脉冲性质的影响，在某瞬间出现一 定的跳跃度，从而给这种问题的研究带来一定的难度因此利用非线性泛函分 析的方法来研究缺乏连续性的非线性脉冲微分方程，也是一个有价值和有实际 意义的研究课题 对于常微分方程的边值问题多重正解的问题的研究，要比一个正解的研究 困难的多，因此关于一些微分方程边值问题多解的研究进展比较缓慢所以， l 第一章绪论 对一些方程边值问题的多重解，也是一个可获取有意义新结果的研究课题同 时，由于实际问题中不断涌现出大量的非线性问题，需要人们深入的研究因 此，运用几十年来非线性分析发展起来的多种先进的分析工具来研究经典的非 线性( 含奇异，不紧，不连续) 边值问题多重解，是一个具有浓厚兴趣同时又有 很高的实用价值的研究课题 2 第二章一阶脉；中周期边值问题正解的存在性 本章研究一阶脉冲周期边值问题，通过引入一个新的锥，利用不动点指数 的相关理论，讨论了其正解的存在性 对于0 = t t t 2 0 ，亡j 3 t c邢啦 八 = h k 聊 z z ，v 入 _ 万 + = = 葶篁一 、，j：、，砖1，l，l 第二章一阶脉冲周期边值问题正解的存在性 设x = p c ( j ) ，k = z p c ( j ) ：z ( t ) e ( - a - l | ) l lz f ，vt j ) 贝0 x 在最大值范数”i i 和锥k 下成序b a n a c h 空间令 p = z p c ( j ) ：z ( ) o ，v t j ) ，k r = z k ：l lzl l 0 ，妒st l ，t 2 【t i ，t i + l 】( i = 0 ，1 ，m ) ，存在 6 0 ，当i t l 一芒2 6 时，有 i ( j e i l 妒) ( t 1 ) 一( b l 妒) ( t 2 ) l s ，i z o ( h ) 一z 0 ( t 2 ) l 0 ， 使当一妒o i i 6 时，恒有i | b l 妒一b l 妒o l i g ，既然 ( bob l 妒) ( t ) 一( bob l 妒o ) ( ) l = im a x ( b l 妒) ( t ) ，z o ( t ) ) 一m a x ( b tc p o ) ( t ) ，幻( t ) ) l ( b 1 妒) ( t ) 一( b l 妒o ) ( t ) l ， 从而b 0b 1 ) 妒一( ( bob 1 ) i ，o o l i e 故b0b 1 连续 由a s c o l i a r z e l a 定理得b0b 1 全连续 2 3 一个正解的存在性 ( 1 ) 掣+ 妻业掣o 且不恒等矾 ( 2 ) o 黜掣+ 麟妻业掣 r 则边值问题( 2 1 ) 至少有一个正解孟( t ) 且0 牙( t ) ，忙l l 7 o z r”) ) o厍；= 证明记 ，c 亡，z ，= ； ：三；： 二三三： ，c z ，= ；：三；： 二三： 并定义 ( t 洲= n g s 眺小) ) d s + 喜郎a 汲邢枷心 5 第二章一阶脉冲周期边值问题正解的存在性 则z ：p c ( j ) 一p c ( j ) 是全连续算子定义b ：p c ( j ) _ p 为 ( b x ) ( t ) = m a x x ( t ) ，o ) 根据引理2 2 3 ，知b0t 是全连续算子 首先，我们证明bot 有不动点 v x a 坼，根据条件( 2 ) ，恒有 ( b 。豫) ( 舌) = m a x ( 正g ( t ，s ) 玳牙( s ) ) 如+ g ( 舌，t k ) i ( e ( t k ) ) ，o ) 蹦 警掣) + 麟妻学 一。曼。 a6 萎厶a o s 童r o s 王圣rk = l 。 踏 掣) + 躺妻盟掣 一o s t 。 a6 蚤堇w 厶， a 0 2 ，o s z s rk = l 则显然b o t x 。，v z o k , 因此，根据引理2 2 2 ，知i ( b o l 坼，k ) = l ， 即b 0t 在坼中有不动点牙 其次证牙为t 的不动点事实上，只需要证明( t 2 ) ( t ) 0 ，v t j 若 否，恒有( b 0t 牙) ( t ) = 孟( t ) = 0 则( t 2 ) ( t ) 0 ，即 g ( t ，s ) 穴s ，孟( s ) ) 如+ 9 ( 亡，“) 砸( “) ) j0：= =g(t，s)f(s，o)ds+9(亡，tk)i(o)j0 z = = 幻( t ，3 ) ( 伯，o ) + 地砍 耶) ) d s j 0 z = 0 ，即牙( ) 为问题( 2 1 ) 的一个正解且 0 e ( t ) ，1 1 ：2 1 i 1 使得 1 + + 喜i 塑 煎 业 m脚m腻 溉一 瞄毋 ： 蠹 陵 6 d 一 对一 了弋 八一 八一 1 ( r h 一 幻、l k l jz 舞 蹬 rol 曲阜师范大学硕士学位论文 则边值问题( 2 1 ) 至少有一个正解孟( t ) 且l 1 ， 矛盾故( t 2 ) ( t ) = 宝( t ) 1 所以2 ( t ) 是问题( 2 1 ) 的解且1 0 使得 ( 1 ) 掣o ，犁ov 亡以仃7 zsr ；， ( 2 ) 掣+ 妻业掣。且不恒等孔 ( 3 ) n = 恶强掣+ m a 川xt g ( t , t k ) i ( x ) 7 ； o t a o a ( 4 ) 唆r a i 曼n 掣埋m 删i n 妻盟掣狃 则周期建霍蒿惫( 2 1 ) 有两a r 个 z 正r 解k = l z 。( 亡) ，z 2 ( t ) 且o i l x l l l r i i x 2 1 1 r 证明记 c t ，z ，= ； ：；? 二三0 。， c z ，= 二 言；：二三0 。! l ，( t ，o ) ， z ， l ，( o ) ， z 7 第二章一阶脉冲周期边值问题正解的存在性 掣+ 0 盟掣= 掣+ 妻业掣。a一aa 厶 a 一 且不恒等于零及 e - - ! 艘掣+毽t萋nr0 z 喜警攀 o s t ao ss 一 0 z r 七= 1 ：m 觚掣+ m a x 于煎掣盟= 口 r o t s a 0 5 t 曼一 a 故根据( 2 ) ，( 3 ) 和定理2 3 1 ，周期边值问题 1z ) 十a z ) = f t ( t ，z ( t ) ) ，t j ，t t k ，庇= 1 ，2 ，m ， z ( 砖) = 。( 巧) + ( 如) ) ，k = 1 ，2 ，m ， ( 2 2 ) iz ( o ) = z ( ) 有一个解z l ( t ) 且0 z l ( ) ，忙l i i 0 俐= m a x x ( t ) ，o ) 则有 ( b o t x ) ( t ) r a i n 掣+ ，r a i n 下o ( t , t k ) i ( z ) 一蔗芝r a 麓器 a ，r 蔓，r s 2 sr r = | | z l | 8 m脯卜 十 z 盟 刮 ，i、一 型入 夕 蔓， 一 m 一 胁 ，ik” 砖 亡 7 她 坝 a厂，小吖 根据引理2 2 2 ，bor 有一个正的不动点z 2 且7 忙2 | l 仃7 ，所以，由条件( 1 ) ，x 2 ( t ) 为问题( 2 2 ) 的解这样问题( 2 2 ) 就有 两个正解z l ( 亡) 和x 2 ( t ) 且 1 z l ( ) ，峪l l i r l 0 及r 7 1 使得 ( 1 ) 掣m i n o 粕) ，掣 0 ，v z 盯r z 咒； ( 小。窭掣+ 。要甄姜掣+ 。 鬯掣+ 惑姜掣r ； m l n 0 t n ，矗 z r 十a r 则周期边值问题( 2 1 ) 有两个正解牙l ( t ) ，牙2 ( t ) ，且0 情1 8 7 l i 牙2 i f r 证明记 并定义 则有 ( t ，z ) ： | ：5 岛皇 。1 ， ( z ) = ，( z ? ， i ，( t ，1 ) ， z 1 ， l ，( 1 ) ， o 1 ， z 1 ( 亡，z ) = ( 亡，z a ) + a a ，厶0 ) = ( 舌，z a ) 。当掣 0 t a = 。婴要n 盟霉a 出 0 m l n 0 n ( t ，1 ) a 9 g ( t ，t 矗) i i ( 1 一o ) 萋卜 m 麒觋砸罂巡 + 华 掣 m 脚 目型毒 + m 脚 u 一 1 t 一 o + 华 m 随 第二章一阶脉冲周期边值问题正解的存在性 及 m a x 垦g 型+ m 觚手g c t , t 七：) x 2 c z ) o 。 t s n a 1 o s n _a l s z r9 s z s r 七= 1 m 敞业车型+ m 积声韭型坚型+ 口 ：至髫 a 莲鬈各1 a i s z s r l s z s r 七2 m 觚掣+ m 觚f m 掣+ 。 ! 与o s _ = f v ! 三o s n ，一a l 冬$ s rl s ；s r 七= 1 r 故根据( 2 ) 和定理2 3 2 ，周期边值问题 。 ， lj c ( 舌) + 蛔( t ) = 厶( t ，z ( t ) ) ，t j 7 ， 。( 砖) = z ( ) + 1 2 ( x ( t k ) ) ， 后= 1 ，2 ，m ， ( 2 3 ) iz ( o ) = x ( n ) 有一个解z l ( t ) 且满足l z l ( t ) ，l i x l l l r ，v t j 若定义 ) ( t ) = 9 ( 亡，s ) 止( 舭( s ) ) 如+ g ( t ，t 七) 1 2 ( z c t 七) ) ，t j j 0 l 一。1 则b0t ：k p ( b 的定义同定理2 3 3 ) 是全连续算子因此根据定理 2 3 3 的证明，问题( 2 2 ) 存在一个正解z 2 ( t ) 且满足r f f z 2 “ r 若x ( t ) 为问题( 2 2 ) 的解，则v ( t ) = x ( t ) 一口为 lz 他) + 妇( t ) = ( t ，z ( t ) ) ，t 了， z ( 结) = z ( ) + 扫( “) ) ， 七= 1 ，2 ，m ， ( 2 4 ) lz ( o ) = x ( n ) 的解所以，瓤( t ) 一a ( i = l ，2 ) 为问题( 2 4 ) 的两个正解根据定理2 3 2 的证 明，知x l ( t ) 一口和z 2 ( t ) 一8 为问题( 2 1 ) 的两个正解，且1 甄( ) 一口，l i x , i i 兄，i = l ，2 令牙l ( t ) = z 1 ( 舌) 一a ，2 2 ( t ) = z 2 ( t ) 一口，贝0 牙l ( t ) ，2 2 ( t ) 为( 2 1 ) 的 两个解定理得证 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 2 5主要结果的应用 例1 考虑一解阶脉冲周期边值问题 t 【o ，5 j ，t 2 ，4 ， z ( 4 + ) 一z ( 4 一) = 丢， ( 2 5 ) 易知，( t ，。) = 一z 一石6 x 习- - = 3 ，( 2 ) = 丢，( 4 ) = 丢，入= 1 ，= 5 当r = 1 2 时，容易验证定理1 中( 1 ) ，( 2 ) 同时成立因此，根据定理我们知道问题( 2 5 ) 至少有一个正解牙( t ) 且0 忙l | 1 2 例2 考虑一解阶脉冲周期边值问题 p ( t ) + 专z ( 亡) = ，( t ，z ) ，t 【0 ，1 ) ， a z ( 1 ) = 丢， ( 2 6 ) lz ( o ) = x ( 1 ) 则堆( 1 ) ) = 云1 ，a = 三，= 1 当 m ，) = i t ， ， 坯2 n li t 】+ z 2 4 7 r 2 ，t 2 r 时，取7 = 2 7 r ，r = 1 0 0 ，容易验证0 口 2 7 r 一1 1 竺时，定理4 中 ( 1 ) 一( 3 ) 成立因此，根据定理2 3 4 ，我们知道问题( 2 6 ) 至少有两个解。1 ( 亡) 和z 2 ( 亡) 且l 0 使得对于e f ( t ，z ) 丁 其中叼，m 0 且 曰+ a ， + k 丙m 1 f o o e - x - 1 w 1 ，+ k 而e ( 制 ( - x i x l ) 7 z r 及t j ，有 冲，掣帆 e - i x l n 1 一e - a 1 2 m 碾 1 。 七= 1 訾掣 甜 哪协 一一 一一 虿 粤 孤 m 脚 曲阜师范大学硕士学位论文 ( h 4 ) ，o 0 ，i o 0 ，0 ，。0 且 ( ，。+ j 。弦小) 1 ，( ，。+ ，。0 小 1 3 2 预备知识和引理 空间p c i j , r 】，锥p ，k ，坼，算子a 以及函数g ( t ，8 ) 的定义见第二章 引理3 2 1 【1 】令a ：一k 是全连续算子如果 ( i ) 蒜 a x l l o ； ( i i ) a x t x ，v z o k , ，t ( o ，l 】 则i ( a ，坼，k ) = 0 引理2 【1 】令a ：k k 是全连续算子且4 z x ，v x o k , 则 ( i ) 如果i l a x l i i x l l ，v z a 所，则i ( a ，坼，k ) = 1 ( i i ) 如果i a x l l 忙l i ，v z o k , ，则i ( a ，坼，k ) = 0 引理3 【1 l 令a ：kok 是全连续算子且# a x z ，v x a 群，0 p 1 则i ( a ，巧，k ) = 1 引理4 假设( h 1 ) 成立，则i ( a ，坼，p ) = 1 证明y x 豇，由( h 1 ) ，易知 ( 删= 小如) ，( s s ) ) d s + 勘k = l 枷 = 卜s ，掣a s + 酗“七，掣 0 所以a ( 群) c 尸vx o k , ，我们有 ( 础) - - 小s ) 掣a s + 聊r t l “蠡) 掣 响+ a 拦壹 r ：i i x l l r ( 7 7 + a 芒；丽讯) r = ， 因此l i a z i l l i z l i ，v x a 坼易知a x x ，v x p 群所以，由引理3 2 2 ， i ( a ，墨，p ) = 0 3 3 主要结果 定理3 3 1 假设( h 1 ) 和( 日2 ) 成立则( 2 1 ) 至少有两个正解x l ( t ) 及 z 2 ( ) ，且0 l | x ll i 7 i i2 ；2l i 、 证明假设( h 2 ) 成立，则存在0 1 ( 3 2 ) 由 ，i o 的定义及( h 2 ) ，我们知道存在0 r o r 使得 掣( 1 ，s ) f o z ，犁( 1 一e ) 矗z ，v t zo 0 下面我们证明# a x z ，v x a 雎。及肛0 事实上， 2 a r t 假设存在x o a k 。和p o 1 使得# o a x o = x o 则3 ；0 ( 亡) 满足 从0 到对( 3 3 ) 进行积分，我们有 则 t j k = 1 ，2 ，m ， ( 3 3 ) j ( z ：( 芒) d t + # o a 0 nx o ( t ) d 芒= 伽z ，( 亡，z 。( 亡) ) d t f o n ( 亡) 出=z 掣砉掣 ( 1 叫如小灿+ ( 1 一啪妻k = l 引埘 所以( 1 一) 1 另外，我们有 ( 1 - e ) f o + ( 1 叫s - r u m 。 ( - a - i r 使得 掣 ( 1 刊如t i c x ) ( 1 叫v t zz 耽 1 5 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 知m 0 z 1 i j二， 力， “石 z ，叭1 ， 执 肌 1 1 烈 斗) l | 、，1_詹 雠矗如双 则存在一个常数c 使得 掣 ( 1 叫厶z 以掣 ( 1 叫k 。以v t z z 0 令r = m a x e ( a + r l ，r 2 ，r 3 下面我们证明t t a x z ，v z 弘1 事实上，假设存在z o o k r 和p l 使得l 上o a x o = x 0 则 ( 3 3 ) 且 f nr n x o ( t ) d t ( 1 一s ) 厶。x o ( t ) d t + ( 1 一) k j o ，o 如果厶1 ，由( h 2 ) ，我们有 r n 七= l o k r 及 z o ( t ) 满足 x 0 ( 亡七) 一c ( m - t - ) 1 1 j ：o l l l ，则存在g l 0 使得( 1 一) 厶 1 ，有 i x o l t f 意鲫3 所以p a x z ，v z o k r 及p 1 下面证明如果z o k 而i a n f r i i a x l l o ， v t z 既然z ( 芒) e ( 一a 一忙l | = e ( 一入一r r ，由( 3 5 ) ，我们知道 掣e ( - x - l x l ) n ( 1 一) a o r ，掣e ( - ( 1 一) o o n ， v t z 同样可以得到z i a n k f ri i a z i i o 及a ( k r ) cp 因此，由引理3 2 1 得到 。 t ，k r ，p ) = 0 根据式( 3 4 ) ，( 3 6 ) 和引理3 2 3 ，我们有 i ( a ，豇，尸) = 一l ， i ( a ，坼厩。，p ) = 1 ( 3 6 ) 所以a 有不动点z 1 坼豇：和z 2 k r 豇，即z l ( ) 和z 2 ( t ) 是( 2 1 ) 的 正解且0 l i x l l l ， i i x 2 1 1 定理3 3 2 假设( 日3 ) 和( h 4 ) 成立则( 2 1 ) 至少有两个正解z 1 ( t ) 和 。2 ( t ) 且0 l l2 7 1l l 7 | lz 2i i 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 证明根据引理3 2 4 ，我们有 i ( a ，群，p ) = 0 若( h 3 ) 成立，则存在0 s m i n e ( a + i a i ) 一，o ，e ( a + 一广。) 使得 存在0 r o r 使得 一小i ) 一f o _ e 簪m ， 一m 。叩一e 等m 掣鲥k 掣外v 川：o z r o ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 令r l ( 0 ，t o ) 下面证明p a x - - - z ，v x 群。和0 p 1 假设存在 脚o k r 。和0 肋1 使得# o a x o = x o 则x o ( t ) 满足式( 3 3 ) 所以有 一班t = z 半薹掣 仁+ ，。) z n z 。( ) d t + 忙+ ，。) 既然x o ( t ) k r l ，o + r 使得 掣鲥州z ，掣外+ k ) z ，v 亡z z 日 ( 3 1 0 ) 所以存在c 使得 掣鲥刊卅c ，i ( a x a ) 0 ( 3 1 1 ) 1 7 第三章一阶脉冲周期边值问题多个正解的存在性 下面证明如果r 充分大，则# a z z ，v z a 及0 弘s1 事实上，如 果存在x o o k r 和0 地1 使得# o a x o = x o ，则x o ( t ) 满足( 3 3 ) 这样我 们就有 。 f n l x 0 ( t ) d t j o p n ( + ，o o ) z o ( t ) ) d t + p + i ) j 0 既然z k r ，由( 3 1 1 ) 得 l i z o l i c ( n + m ) m z o ( “) + c n + c m 七= 1 ( 1 一，。一) e ( 一a 一) 一( ，。o + e ) m 令r = m a x r ，r 1 所以v z o k r 和0 卢1 ，有# a x z 这样引理 3 2 1 中( i i ) 也成立所有 ( a ，k r ，p ) = 1 由式( 3 7 ) ，( 3 1 0 ) 和( 3 1 2 ) ，我们得到 i ( a ，k r 麻，p ) = 1 ，i ( a ，坼艮。，p ) = 一1 所以，a 至少有两个不动点x l 硌坼和x 2 是问题( 2 1 ) 的正解且0 忙l i i 1 ， + m a 0 且 i o 1 ，o + m a 1 8 e l x l n 1 一e a 如 1 品e - d 矗熹i x l ) n 1 一 a j | v 7 e ( 一入一 3 4应用 考虑下面的脉冲周期边值问题： h t ) = 1 0 - 3 x 3 + l s i nx - x + 卜吼z 0 7 巩t “2 ，3 ，4 ， z ( j ) = z ( ) + 3 0 e 。1 0 ， ( 3 1 3 ) iz ( o ) = z ( 5 ) 其中，( 亡，z ) = 1 0 - a x a + 而is i n 二+ 【5 一司( 阁表示取t 的整数部分) ，( z ( 如) ) = 3 0 e - 1 0 ，a = 1 ，n = 5 令r = 3 ，7 = 击，讯= 2 1 0 ，易知( 日1 ) 和( 日2 ) 满 足所以由定理3 3 1 ，我们知道( 3 t 3 ) 至少有两个正解。1 ( t ) ，z 2 ( 芒) 且0 l