（理论物理专业论文）微扰法解einstein场方程的研究.pdf

郑州大学硕十学位论文摘要 摘要 广义相对论的实质是一种时空几何化的引力理论，该理论以e i n s t e i n 场方 程为直接体现，集中反映了物质分布诱发时空弯曲的基本特征。然而，由于 e i n s t e i n 场方程是一组非线性方程而难于求解，因此，到目前人们也仅仅是得到 为数不多的几个精确解；并且，这种难以求解的状况也在一定程度上制约了广义 相对论的发展。虽然经过不断努力，人们获得精确解的数目还会增加，同时求解 的技巧也会得到很大发展，但场方程本身在数学上的复杂性则必然决定了其求解 的困难，因而，采用近似方法求解e i n s t e i n 场方程就成了人们处理有关广义相对 论问题的有效手段。 目前，常用的近似求解e i n s t e i n 场方程的方法主要有：n e w t o n 近似、后 n e w t o n 近似、线性近似、后m i n k o w s l d 近似以及后z e l d o v i c h 近似等。本文首 先将对物理学中e i n s t e i n 场方程求解方法的发展进行回顾，并进而对几种常用的 近似求解方法作出评述，其中包括微扰方法在量子力学以及统计力学中的应用。 其次，从已知具有对角型度规的e i n s t e i n 场方程的精确解出发，本文将近 似推导出含有微扰条件下的场方程形式，进而利用这一微扰形式具体计算了静态 球对称引力场的外部微扰解。结果表明，该微扰解不仅可以与其内部解衔接，和 在消除微扰的情况下自动恢复到s c h w a r z s c h i l d 解的形式，而且还可以用于讨论 球状星系外部的引力特征。最后是本文的总结与讨论部分， 关键词：e i n s t e i n 场方程；微扰法；广义相对论 郑州丈学硕上学位论文英文摘要 a b s t r a c t g e n e r a lr e l a t i v i t yi si n t r i n s i c a l l yag r a v i t a t i o n a lt h e o r yt h a tm a k e st h es p a c e - t i m e g e o m e t r i z e d i tt a k e s e i n s t e i n sf i e l de q u a t i o n sa st h ed i r e c te m b o d i m e n t ，w h i c h p r i n c i p a l l yr e f l e c t st h eb a s i cc h a r a c t e r i s t i c st h a tt h ed i s t r i b u t i o no f t h em a t e r i a lc a u s e s t h ef l e c t i o no ft h es p a c e - t i m e h o w e v e r , b e c a u s eo ft h en o n l i n e a r i t yo ft h ee i n s t e i n s e q u a t i o n s ，i ti sv e r yd i f f i c u l tf o ru st os o l v et h e m ，a n do n l yaf e wo fe x a c ts o l u t i o n s h a v eb e e no b t a i n e du pt on o w t h i ss i t u a t i o nc o n s t r a i n st h ed e v e l o p m e n to ft h e g e n e r a lr d a t i v i t yi nac e r t a i ne x t e n t d e s p i t ec o n t i n u o u se f f o r t s ，t h en u m b e ro ft h e e x a c ts o l u t i o n sw i l lb ei n c r e a s e d ，a n dt h es o l v i n gs k i l lw i l lb ed e v e l o p e dg r e a t l ya tt h e s a m et i m e , b u tt h ef i e l de q u a t i o n s c o m p l e x i t yi nm a t h e m a t i c si n e v i t a b l yd e t e r m i n e s t h ed i f f i c u l t yo fs o l v i n gt h e m t h e r e f o r es o l v i n gt h ee i n s t e i n sf i e l de q u a t i o n sb y a p p r o x i m a t em e t h o d sb e c o m e sa ne f f e c t i v em e a nw h e nd e a l i n gw i t ht h es p e c i f i c i s s u e so f t h eg e n e r a lr e l a t i v i t y a tp r e s e n t , t h ea p p r o x i m a t em e t h o d sw ec o m m o n l yu s et os o l v et h ee i n s t e i n s e q u a t i o n sm a i n l yi n c l u d e ：t h en e w t o n i a na p p r o x i m a t i o n , t h ep o s t - n e w t o n i a n a p p r o x i m a t i o n , t h el i n e a ra p p r o x i m a t i o n , t h ep o s t - m i n k o w s k ia p p r o x i m a t i o n , t h e p o s t - z e l d o v i c ha p p r o x i m a t i o n , e t c i nt h i sa r t i c l e , t h ed e v e l o p m e n to ft h em e t h o d s s o l v i n gt h ee i n s t e i n sf i e l de q u a t i o n si nt h eh i s t o r yo fp h y s i c si sr e v i e w e df i r s t ，a n d t h e ns e v e r a la p p r o x i m a t em e t h o d sa r es t u d i e d w h i c hi n c l u d et h ea p p l i c a t i o no ft h e p e r t u r b a t i o nm e t h o di nq u a n t m n m e c h a n i c sa n ds t a t i s t i c a lm e c h a n i c s n e x t ，f r o mad i a g o n a lm e t r i ct e n s o rd e p e n d i n go nf o u rc o o r d i n a t e s ，t h i sw o r k d e d u c e st h ep e r t u r b a t i o nf o r m u l a t i o no fe i n s t e i n sf i e l de q u a t i o n s t h e nb a s e do nt h i s f o r m u l a t i o nt h ep e r t u r b a t i o ns o l u t i o n so f e i n s t e i n sf i e l de q u a t i o n si ng l o b a ls t a t i o n a r y a x i s y m m e t r i cf i e l d sa r ec a l c u l a t e d i ts h o w st h a t ，t h i sp e r t u r b a t i o ns o l u t i o n sn o to n l y l i n kw i t l it h ei n t e r n a ls o l u t i o n sa n di nt h ec a g eo fn op e r t u r b a t i o ne x i s t i n g , t h e s c h w a r z s c h i l d ss o l u t i o n sc a nb er e c o v e r e dn a t u r a l l y , b u ta l s ot h es o l u t i o n sc a nb e u s e dt od i s c u s st h ee x t e r n a lg r a v i t a t i o n a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h es p h e r i c a lg a l a x i e s t h e l a s ti st h eg e n e r a l i z a t i o na n dt h ea r g u m e n t a t i o no f t h i sw o r k k e y w o r d s ：e i n s t e i n sf i e l de q u a t i o n s ；p e r t u r b a t i o n ；g e n e r a lr e l a t i v i t y 郑州大学硕士学位论文第一章引言 第一章引言 从牛顿( n e w t o n ) 的自然哲学的数学原理问世到本世纪初，物理学一直以 看似牢固的为数不多的基本概念作为其自身发展的基础。这些概念包括：时间、 空间、物质、运动以及因果性等。然而，上世纪末到本世纪初，物理学几乎同时 发生的两场意义深远的革命。这两场革命所带来的不仅是作为现代物理学两大支 柱的相对论和量子理论的诞生，更重要的是对人们的思想观念产生了重大影响， 从而为人类认识世界提供了新的方式。时至今日，相对论和量子理论的新观点仍 在为其它学科( 包括哲学) 的发展提供着丰富的营养。 其中，相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由爱因斯坦( e i n s t e i n ) 创立。他在1 9 0 5 年发表的文章论动体的电动力学拉开了物理学时空观变革 的序幕。鉴于电磁学理论与伽利略相对性原理的矛盾，爱因斯坦力图把电磁学纳 入到一个意义更加广泛的相对性原理之中，从而提出了狭义相对论体系的两个基 本公设：狭义相对性原理和光速不变原理。前者强调，物理定律相对于任何惯性 参照系应有相同的形式；后者指出，光速相对于任何惯性参照系都是常量c 。其 理论核心在于提出“同时的相对性”的观点，即发生在异地的两个事件同时与否 取决于观察者的运动状态。所谓运动中的“尺缩”和“钟慢”现象都是这个新观 念的必然结果。狭义相对论以极简洁的方式解释了当时困扰物理学界的麦克尔逊 莫雷试验。 狭义相对论获得了巨大的成功，但爱因斯坦很快意识到该理论的潜在问题， 那就是对其中所涉及到的一个基本概念惯性参照系的定义问题。由于牛顿的 绝对空间已不复存在，惯性系的定义也就失去了原有的基础。历经十年的艰苦努 力，爱因斯坦终于提出了广义相对论。该理论的出发点是广义相对性原理和等效 原理。前者认为，物理定律在一切参照系中都应有相同的形式；后者是说，观察 者无法区分自己是处在加速运动的参照系中，还是处于均匀的引力场中，因而两 者等效。 从现代的观点看，广义相对论的本质在于把引力场看作时空弯曲的效应， 而非一般的力场，而物质场的存在正是导致时空弯曲的原因。这个思想充分体现 在如下e i n s t e i n 场方程之中， 郑州大学硕士学位论文 第一章弓l 言 r u ，一r g ，= 一8 n g t 二 其中，g ，r a ，r 和z 0 分别是度规，r i c c i 张量，曲率标量和物质场的 能动张量。弯曲时空中的自由质点( 除引力外不受力) 将以测地线为它的世界线， 即它在四维时空中的全部历史。 广义相对论使人们对时间、空间、物质和引力的本质及相互关系的认识达 到了前所未有的深度。它强调了狭义相对论把时空看作一个四维整体的观念，将 引力的效应归因于时空的弯曲，从而拓宽了惯性运动的范围。像地球公转这样的 行星运动不再被当作是由于受到外力而作的非惯性运动，而是最自然的惯性运 动。地球在四维时空中的世界线就是测地线。广义相对论充分体现了古希腊哲学 中关于天体运动是最完美的运动的思想。 尽管广义相对论得到人们的广泛承认和赞赏，可是大约有半个世纪，它并没 有受到人们充分的重视。n - - 十世纪六十年代后期，由于技术的进步，广义相对 论的研究有了很大的飞跃。六十年代天文学方面的四大发现：类星体是非常明亮 的点状天体，其红移量z 特别大，是一个强引力源；脉冲星( h e w i s h 和b c l l1 9 6 7 年发现，1 9 7 4 年获诺贝尔物理奖) 后来被证实是旋转的中了星；3 k 微波背景辐射 ( p e n z i a s 和w i l s o n1 9 6 5 年发现，1 9 7 8 年获诺贝尔奖) 是宇宙大爆炸的遗迹；星际 问有机分子的存在。其中前三大发现均与广义相对论和宇宙学有密切联系。近三 十年来，广义相对论得到了蓬勃发展。比如，大尺度时空结构问题、场方程严格 解问题、量子引力问题等；当然，还包括人们从应用角度来探索的诸如相对论性 的恒星结构问题、转动天体的引力场问题、吸积盘问题，以及引力波问题等。尤 其在有关中子星的形成和结构、黑洞物理和黑洞探测、引力辐射理论和引力波探 测、大爆炸宇宙学、爆涨宇宙学以及宇宙中的暗物质、暗能量等方面，则更是成 为广义相对论广泛应用的领域【1 7 】，是人们认识和研究宇宙学问题的必备工具。 然而，广义相对论的发展在很大程度上取决于引力场方程的解和它们的物 理解释。因此，场方程的解是爱因斯坦引力理论的重要内容。e i n s t e i n 场方程是 一个以时空为自变量、以度规为因变量的非线性二阶偏微分方程。由于拥有数学 上的复杂性，因而要获得e i n s t e i n 场方程的严格解十分困难。所幸随着对场方程 研究的不断深入，人们最终找到了许多求解场方程的有效方法和技巧。 最初，人们为求解e i n s t e i n 场方程，一般先假定度规的坐标形式，然后再 2 郑州人学硕十学位论文第一章引言 求解e i n s t e i n 场方程。事实上直到2 0 世纪5 0 年代，这还是寻找场方程精确解的 主要方法。当时人们常常假定度规具有如下形式之一： 球对称形式， 柱对称形式， 静态固定并且具有轴对称的形式， 平面波形式。 至少，在2 0 世纪5 0 年代以前的工作【9 2 3 ，大部分都涉及到上述情况，尤其是对 球对称问题探讨得最多。 值得指出的是，到了2 0 世纪5 0 年代，场方程求解方面出现了两个非常大的进 步，它们为后来甚至直到现在的许多新解的发现做了大量的铺垫工作。其中，第 一个是t a u b 在1 9 5 1 年发表的文章【2 4 】。这篇文章介绍了群理论和微分几何方法的 重要应用，发现了重要的t a u b - n u t 解的t a u b 部分，并且包含t e t r a d 方法的一些工 作，虽然这种方法直至l j 2 0 世纪6 0 年代才d q e l l i s 2 5 ，2 6 ，e s t a b r o o k 和w a h l q u i s t 2 7 ，n e w m a n 和p c n r o s e 2 8 等人充分发展。+ 第二个是p e t r o v 对w e y l 张量的分类1 2 9 。它与k u n d t 解族一起在引力辐射理论 发展方面扮演了一个重要角色，并且在解的不变量分类方面迈出了一大步。 这两个方面的进步再加上一种计算技巧_ n e 呻a n - p e r o s e 形式的发展，导 致了一大批场方程重要解的发现，如： t a u b - n u t 解( 更准确说是它的n u t 部分) 【3 0 ， 关于旋转黑洞的克尔( k e r r ) 解【3 1 】， r o b i n s o n - t r a u t m a n 解族【3 2 】， k e r r - s c h i l d 方法及其解族【3 3 】。 更多的内容可以参看e h l e r s 和k u n d t 的精彩综述【3 4 】。 而早在2 0 世纪5 0 年代和6 0 年代早期就出现了一种非常重要寻找新解的技 术( 虽然从它产生到发展成熟需要了很长时间) ，即解的生成技术。解的生成技 术，就是寻找一些交换，并通过己知解( 种子解) 去生成新解( 或解族) 的方法。 e l d e r s 曾经证明，由e i n s t e i n 引力场方程的任意一个静态外部解，都可以生 成一个稳态的外部解【3 5 】。在此基础上，1 9 6 1 年b o n n o r 证明了由一个e i n s t e i n 场方程的静态真空解可以生成个静态电磁真空解【3 6 】；1 9 6 6 年，他将克尔( k e r r ) 3 郑州大学硕士学位论文第一章引言 稳态真空解经过参量变换生成一个电真空解( 这一方法称为变量变换技术) 3 7 1 。 1 9 7 4 年w a n g 用这一技术由t o m i m a t s u s a t o 解生成了一个复杂的电磁真空解， 以及后来获得的更复杂的解 3 8 1 。1 9 6 8 年，e r n s t 通过引入复势，构成了著名的 e r n s t 方程，从而建立了一个系统的生成技术 3 9 ，4 0 。后来，1 9 7 1 年，g e r o e h 发 现e r n s t 生成技术中的相变换是场方程更大的协变群中的一个特例【4 1 】。接着， k i n n e r s l e y 又将g c r o c h 的工作推广到含电磁场的情况【4 2 】。他研究了存在一个类 时k i l l i n g 向量场时爱因斯坦麦克斯韦( m a x w e l l ) 场方程的对称性，证明了这 些方程具有一个和s u ( 2 ，1 ) 同构的对称群，其中某些变换只引起规范变换，而剩 余的变换则可用来产生场方程的新的解族，从而形成g - k 生成技术。e r n s t 、g e r o e h 和k i n n e r s l e y 的工作使严格解的研究大大向前迈进了一步 4 3 - 4 5 1 。1 9 7 8 年 c h a n d r a s e k h a r 用两个实函数代替e r n s t 的复函数，对稳态轴对称真空场方程进行 了重新描述，以一个普遍的形式选取线元，直接导出了克尔( k e r r ) 度规【4 6 】。 b o n n o r 给出了与c h a n d r a s e k h a r 完全等效的方法，并进而发展成c - b 生成技术。 o m e t e 和w a d a t i , h a r r i s o n 以及n e u g c b a u e r 等人利用b a c l d u n d 变换，仔细研究了 如何从e r n s t 方程的一个已知解获得新解得方法 4 7 - 4 9 。 到八十年代初，b e l i n s l 【y 和z a l d m r o v 等人把轴对称场方程的解作为反射问 题处理，建立了生成新解的孤立子方法 5 0 , 5 1 1 。这是一种相当简洁而优美的方法。 按照这一方法，由一个初始解代入一组与e i n s t e i n 场方程等效的简洁方程，便可 以求出孤立子( 极点) 解，从而得到引力场方程的新解。例如，把平直时空度规作 为初始解，用孤立子方法生成2 孤立子解即k e r r - n u t 解，生成一个简单的n 孤立子解描述场源为n 个s c h w a r z c h i l d 质量源和各阶质量多极矩的引力场。在前 人的基础上，z h o n g 于1 9 8 5 年创立了“二重复函数方法”并首先将轴对称真空 场方程二重化，建立二重复e r n s t 方程，从而得出稳态轴对称真空引力场方程的 一种新解生成技巧以及一大批新解( 对偶解) 【5 2 】；运用这一方法不仅z h o n g 将 b e l i n s k y - z a k h a r o v 方程与逆散射法推广为二重形式，从而生成二重引力孤了解网 络 5 3 1 。而且w u 、g a o 和w e i 等还将这方法加以扩展分别应用于自对偶引力理 论、非对易引力模型、量子化辫子理论、热场动力学以及暗能量模型等不同的研 究领域，并己取得了很多成果 5 4 6 0 。 随着人们的不断尝试，以及解的“生成技术”的蓬勃发展，引力场方程的精 4 郑州大学硕i + 学位论文第一章引言 确解的个数已经大大增加，然而精确解都是一些特殊的情况，一旦遇到较为具体 的现实问题或者要研究一些有意义的问题的时候，人们还要使用近似方法。 比如说，加上与时间无关和空间各向同性的对称性要求以后，人们可以求得 一个有用的严格解，即席瓦西尔( s c h w a r z s c h i l d ) 度规，但实际上人们并不能利 用这个解的全部内容，因为太阳系事实上并不是静态和各向同性的。因而，人们 所需要的不是去求得更多的严格解，而是要发展某些系统的近似方法，这些方祛 将不依赖系统的任何假设的对称性质；并且只有这样，人们才可以用以研究某些 具体而现实的问题。 近似解法一直是研究具体的广义相对论问题的有力工具，常用的近似方法有 后n e w t o n 近似 6 1 1 、线性近似 6 2 1 、后m i n k o w s k i 近似 6 3 1 、z d d o v i c h 近似 6 4 1 、 后z e i d o v i c h 近似 6 5 6 8 】，以及微扰近似等。 近期的主要工作有：b o n n o r 在研究两个拥有自旋的不带电的粒子或黑洞时 得到了一个场方程近似解【6 9 】，a t a r t a g l i a 得到了一个轻质量旋转体情况下的近 似解【7 0 】，g u i l l a u m ef a y e 、p i o t rj a r a n o w s k i 和g e r h a r ds c h ；i f e r 得到了多黑洞系统 的近似解 7 1 1 ，v s m a n k o 和e r u i z 计算了黑洞情况下的近似d o u b l e - k e r r 解，并 具体将相同条件下的精确解和近似解进行了比较【7 2 】，这些工作又使场方程的近 似解有了进一步发展。 本文则研究使用微扰的方法求e i n s t e i n 场方程近似解。微扰法最初用于处理 天体运行的天体物理中，后来在量子力学、统计力学、数学物理、宇宙学等众多 学科中都有广泛的应用和发展。而所谓微扰法，其实质就是从已知严格解出发， 去寻求新的近似解的方法；具体地说，首先找一个参考系统，要求一是与所研究 系统很相似或很接近，二是能够严格求解。此时，所研究系统的性质与参考系统 性质的差异被看作是一种微扰，它可以根据参考系统的特征近似计算【7 3 】。用微 扰方法研究引力场问题的目的，在于寻求当引力系统存在微扰时其e i n s t e i n 场方 程的变化特性，本文即研究了具有对角型度规的e i n s t e i n 场方程的一般微扰形式， 并且具体计算了球对称e i n s t e i n 场方程的微扰解。 本文内容安排如下：第二部分首先评述了爱因斯坦的引力理论，并进而介绍 了两种常见的近似方法一后n e w t o n 近似和弱场近似；第三部分简单介绍了微 扰理论及其在量子力学和统计力学中的应用，然后推导出具有对角型度规的 郑州大学硕学位论文第一章弓l 言 e i n s t e i n 场方程的一般微扰形式；第四部分先介绍了球对称真空场的解席瓦 西尔解，然后利用由第三部分得到的微扰方程，具体计算了球对称真空场的微扰 解，并对该解的性质进行了讨论；最后部分是有关前面工作的总结和讨论。 6 郑州大学硕 学位论文第二章e i n s t e i n 场方程及其近似解法介绍 第二章e i n s t e i n 场方程及其近似解法介绍 广义相对论的本质是一种全新的引力理论，是狭义相对论在引力条件下的有 效推广。本章我们将主要介绍爱因斯坦的引力理论，其中包括e i n s t e i n 场方程的 建立，以及两种常用的近似方法后n e w t o n 近似和线性近似。 2 1e i n s t e i n 场方程的建立 在广义相对论中，等效原理推广了引力的概念，并暗示了有引力场的时空是 弯曲的黎曼空间，引力场的物理效果可通过黎曼( r i e m a n n ) 空间的度规张量体 现。为了完成这新的引力理论，需要找到度规场的分布规律，即度规场( 或叫推 广的引力势) 所满足的方程。 我们知道在四维黎曼流形中，黎曼曲率张量彤，有2 0 个独立分量。现在可 以考虑直接根据群，来建立引力理论。但是，当我们试图把永久引力场的存在同 物质源联系在一起时( 正如把电磁场同电荷源联想在一起那样) ，必须把略与 描述物质的同秩张量联系起来，可是我们没有描述物质的具有2 0 个分量的张量， 况且我们只有十个场量g 。，所以我们也期望实际上只需要l o 个方程。而且， 在物质源外面，我们试图断言时空流形是弯曲的，显然，若方程取以下形式 胄乞虻m 知 ( 2 1 ) 式中m 乙描写物质源。于是，可以得出结论：在物质源外面，空间是平坦的。 因此，最短线是直线，不再可能在几何学上的解释与永久引力场相联系的现象与 建立在等效原理上的上述物理论证相矛盾。所以我们摒弃在( 2 1 ) 基础上建立场 方程的任何企图。 于是最明显的可能性只剩下吒，r 了。建立在 r t( 2 2 ) 上的理论( 式中t = 巧= 能量动量张量的迹) 基于它不能绘我们足够的方程来确 定g a y 故亦被摒弃。应该指出：由于可能作出四度坐标变换，通常能使g 。，的四 7 郑州大学硕l 学位论文第一二章e i n s t e i n 场方程及j ( 近似解法介绍 个量为常量，于是只剩下六个函数待定了。从( 2 2 ) 可以消去一个，但整个系统仍 无法确定。这样建立在( 2 2 ) 上的理论虽更符合我们的期望的理论，但仍不令人满 意。 所以通过上述论证，我们不得不试图建立以r p ，及l ，为基础的理论，毛，是 对称能量动量张量。本来的出发点也就是爱因斯坦的出发点，是假定 r ，l ， ( 2 3 ) 然而，这假定引起了以下困难：由狭义相对论可知，l ，满足某些守恒定律，写 成协变记号是咒= o ；另一方面，容易证明除非且= 0 ，r 乙0 。爱因斯坦当 时这样想：( 2 。3 ) 式仍然正确，因( 2 3 ) 意味着r * t ，对于物质r 必须等于零， 正如r 对于电磁场必须为零那样。然而这就导致严重困难；此外，倘若可以根据 场方程中的恒等式而得到王0 = 0 ，使与麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程相似，这就令 人满意了。用这方法人们也能避免作出有关l ，的特别假设。 既然我们需要一个微分恒等式，这就说明要研究毕安基( b i a n c h i ) 恒等式。 所以将毕安基恒等式 r 知，+ r 勐i ，+ j 喵口；j = 0 对指标口、万收缩。得 r 所0 一r 卢心，+ r 岛；。= 0 提升指标，得 r 易一坞+ 嗽= o 再对p 与v 收缩，上式成为 2 略一易= o ( 2 4 ) 利用彩曼，= 胄；，( 2 4 ) 可写成 1 ( 彤一i 吩p 月) ；，= o 这张量的定义为 郑州大学顾上学位论文第二章e i n s t e i n 场方程及其近似解法介绍 g ：= 一a ：r 它具有我们要寻找的张量的性质。降低指标，可改写成 g f ，= 月p ，一i 1g p ，r 张量g ，称为爱因斯坦张量。张量g ，不是唯一的；我们可以迭加一个散度为零 的张量，例如，宇宙项a g ，因为g ，。z = 0 现在我们试把前述的广义相对论概念概括成一系列公设( p o s t u l a t e ) ，这些公 设给我们指出了建立场方程更合法的途径。 公设1 自然界定律能用普遍协变方式表述之，与三个空间坐标一起，把时间 当作坐标处理。 公设2 空间与时间构成四维流形，其距离元( 与黎曼几何相似) 凼2 = g 。，出”出” ( ，y = o ，l ，2 ，3 ) 我们总能选择使得 凼2 = d t 2 一d x 2 一d y 2 一d z 2 局部地成立，即狭义相对论在时空流形的充分小区域内局部成立，正如黎曼几何 中具有正定值的g 。，则欧几里德几何局部地成立。 公设3 按照变分原理 jd s - - 0 距离元也决定质点的动力学( 从狭义相对论推广) ，对于光线，d s = 0 。因为r r 在 这个变分原理中不起作用，在此，我们得到等效原理的部分表述。( 研究证明由 场方程可推出质点运动方程，此公设非必要。) 公设4 等效原理：正如在加速系中( 例如转动坐标系) ，由于g 。，不同于狭 义相对论中的r 。，因而存在“惯性力”；那么亦可认为由于永久引力场的存在， 使g ，不同于，7 ， 公设5 马赫( m a c h ) 原理：由于运动的相对性，物体的惯性行为应由宇宙 中所存在的其他物体所决定。因为物体的动力学服从公设3 ，故时空流形的度规 9 郑州大学硕l ：学位论文 第一二章e i n s t e i n 场方程及其近似解法介绍 应取决于宇宙中能量与动量的分布。 公设6 相对论的对应原理：在非相对论极限下，牛顿力学和引力理论皆成立。 利用这些公设建立场方程的步骤如下：由公设1 知场方程将包含若干不同秩 的张量，其形式如下： a 器? 、= b 磊。j 我们亦知道：我们是从场方程确定g 。，( 公设4 ) 的，所以场方程至少应包括相 应于十个g ，的十个量。然而，由于通过坐标变换一般常可消去4 个g 。，( 最方 便，可取g m = l ，g m = 0 ) ，这些方程应满足4 个恒等式，所以它们不足以确定口， 可以有4 任意坐标变换的自由度。利用公设5 ，我们可期望发现物质的能量动量 张量起到场源的作用。最后，由公设6 ，我们可期望在非相对论性的极限下，场 方程化为泊松( p o i s s o n ) 方程 是物质密度。 具有这种性质的方程组为 g p ，；r ，一言g ，r = 一七五， ( 2 5 ) 叫做e i n s t e i n 引力场方程。我们知道它满足 嘭”= 一后z ? = 0 并且由狭义相对论中的能量动量守恒定律 翌：o 西， 亦可得出矽= 0 。 如果将方程( 2 5 ) 的指标上升再缩并，得到 r = k t 把它代入( 2 5 ) 式再移项，e i n s t e i n 场方程获得另一等价描述 l o 郑州人学硕l 学位论文第二二章e i n s t e i n 场方程及其近似解法介绍 以，= 一七( t ，一j 1g ，r ) ( 2 6 ) 在弱场的条件下与牛顿引力场方程比较，可确定k 值，即有 k = 8 7 r g 代入c 5 ) 、( 2 6 ) 式得 r ，_ 1 2 9 l a v r = _ 8 而 ( 2 7 ) k ，= 一8 厕( 乃，一互1g ，乃 ( 2 8 ) 这样，为求解e i n s t e i n 场方程，我们可以先假定度规形式，计算爱因斯坦 张量，然后再将其代入场方程，并最终求得满足场方程的度规场的解 6 1 ，6 2 ， 7 4 1 。 2 2 几种常用的近似方法介绍 由上面的介绍可以看到，e i n s t e i n 场方程是非线性的，因而一般不能严格解 出，在不同的情况下我们需要选择不同的近似方法进行求解。有两种这样的方法 是特别有用的：它f f l n q 做后n e w t o n 近似和线性近似。第一种方法适合于像太阳 系这样由引力束缚在一起的缓慢运动质点系统。由引力束缚在一起的质点系统中 的粒子作低速运动时，其状态与牛顿的情况偏离不大，所以可以将牛顿的解作为 广义相对论的零级近似，所以该方法称为后牛顿近似。这一理论可以用来比较广 义相对论和牛顿理论的不同，同时也可用来检验天体力学中的各种引力效应。第 二种方法讨论低阶近似下的场，但并不假设物质作非相对论性的运动，因而它适 于处理引力辐射的课题。下面我们分别进行介绍。 2 2 1 后n e w t o n 近似 后n e w t o n 近似在历史上是作为研究运动问题的副产品而得来的。所谓运动 闯题就是，单从引力场方程能不能推出有质量粒子运动方程的问题。考虑一个像 太阳和行星那样由相互间的引力束缚在一起的质点系统。令牙、芦、矿代表这些 质点的质量、距离和速度的典型值。n e w t o n 力学的一个熟知结果是，典型动能 三廊2 大约具有和典型势能里笋相同的数量级，因而 郑州大学硕士学位论文第一二章e i n s t e i n 场方程及j 近似解法介绍 尹g m r 例如，对于在围绕中心质量m 的半径为，的圆轨道上运动的试验质点，其速度y 在n e w t o n 力学中可由严格的公式v z ：坐得到。后n e w t o n 近似可以描述为一 ， 种求解系统运动的方法，其准确度要比n e w t o n 力学提供的准确度高，高出一个 小参量旦兰即可：的一个幂次。此时，如果采用自然单位制，即光速等于l ，那么 ， 上述近似问题则完全可以看作对矿z 或者等效地说是对兰坚的展开，。 ， 考虑到质点的运动方程是 芳+ 聪笙d r 壁d r = 。如2 “ 。 由此可以算出加速度是 簪= ( 当d r 。1 瓦d 【( d td - 磊- = c 争2 箬一c 耖箬等 = 一屹等等+ 呓等等等 上式可以更详细地写为 筝= 吨一2 等一f 盖d x sd x ，k + 峨+ 2 略等+ 略等等，等 c z 9 ) 在n e w t o n 近似中，我们把所有的速度项都看成小到可以忽略，而且只保留g 。， 和m i n k o w s k i 张量，7 。，之差的一阶项，于是得 d r 。r i 1 趣 五f 。一1 0 05 2 百 1 2 郑州大学硕 学位论文第一二章e i n s t e i n 场方程发其近似解法介绍 j ，l 0 _ 9 0 0 - - 1 的量级是譬，所以由n 咖n 近似得出的万d 2i 准确到量级譬，臣p 准确到量级呈。因而我们在使用后n e w t o n 近似时的目标将是计算准确到量级 ， 。考察( 2 ，9 ) 表明，我们将需要准确到下列量级的仿射联络诸分量： ， 磁准确到量级- 4 步， ，准确到量级矿3 步， 矗准确到量级矿2 步， r 品准确到量级矿3 步， 瞄准确到量级哥2 卢， 略准确到量级_ f ， 我们从一些求解的经验预期，应当可能找到一个坐标系，其中度规张量几 乎等于m i n k o w s k i 张量即。，修正项可以展开为g 厨矿2 的幂，特别是，我们 坝期 24 g = 一l + g + 9 0 0 + ( 2 1 0 ) 2 g f = 磊+ g 矿+ g # + ( 2 1 1 ) 3， g f o = g o + g m + ( 2 1 2 ) 符号g ，表示g ，中量级为_ 的项。g l o 中出现矿的奇次幂是因为在时间反演变换 t 寸- t 下g 。必须改变符号。后面我们将看到由它们可以得到e i n s t e i n 场方程的 自洽解，那时就能看出这些展开式是真实合理的。 度规张量的逆张量由下列式子定义 g 枷g 岫= g o g + 9 8 9 扣= 0 ( 2 1 3 ) g o p g = g o o g + g 毗g j o - - 1 ( 2 1 4 ) 9 4 9 i 日= g “g i o + g “g i k = 6 ： q 1 5 ) 1 1 郑州大学硕l 学位论文 第二章e i n s t e i n 场方程及其近似解法介绍 我们预期 g = 一1 + g + g + ( 2 1 6 ) g”=占驴+99+99+(217) g 。o = g i o + g ”+ ( 2 1 8 ) 把这些展开式代人定义式( 2 1 3 ) - ( 2 1 5 ) ，得 9 2 m ：一；矗，：一；，：一；。等等 ( 2 1 9 ) 仿射联络现在可由熟知的公式 磁7 1 ”降+ 等一刳 亿z 得到。在计算聪时必须考虑如下事实，即我们系统中的距离和时间尺度分别是 由f 和刀哥决定的，所以空间导数和时间导数应看成是具有下述量级的量： ala矿 “_ _ 苏faf 利用估计( 2 1 0 ) 一( 2 1 2 ) 和( 2 1 6 ) 一( 2 1 9 ) ，我们发现分量，r 盖和i - ；o 有展开 式 而分量，r 品和f ，o 有展开式 ( 对于吒，略，璐) 3 5 磁= 呓+ 呓+ ( 对于，r 品，b ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 符号电表示喵中量级为步的项。( 2 1 9 ) 要求的这些分量直接写出就是： 毛= z 10 咖g o o - ( 2 2 3 ) 乇= 一吾争+ 等+ 三未可c 8 9 0 0 蠢，= 争等+ 鲁一争 s ， 1 4 郑州人学硕士学位论文第二章e i n s t e i n 场方程及其近似解法介绍 i ；k 。1a 。g a 一+ 等一争 乇= 一i 1 百0 9 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 日= 0 ( 2 2 9 ) 显然，我们必须知道分量岛准确到量级矿2 ，g 。准确到量级尹，g 。准确到 量级_ 4 。应当把这一点同n e w t o n 近似对照一下，在那里我们需要g 。准确到量 级矿2 ，i l i i g ，o 和岛只要准确到零级。 为了计算r i c c i 张量，我们要用凡，定义式： r ，= 彤。= 屹，一瞄，+ 磁0 一t 屹 ( 2 3 0 ) 从( 2 2 0 ) 和展开式( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) ，我们发现r 。，的分量有下列展开式： r o o2 r + r + r f o = r i o + r ，o + 。一 r 口= r u + r f + 式中心，表示也，中量级为可“步2 的项。从仿射联络的“己知”项可以算出的各 项是 磊= 一等 赢= 孕一等+ 乇乇一乇寺 2 3 蠢。= 孚一等 22 2 忘：堡+ 箜一篓 v i0 x j8 盆引 l 一2 一 = 2 呻m r 兰鲨坠兰塑生兰兰型翌生一一 笙三至墅竺苎生堑查堡墨些堑坚壁堕坌堡 利用( 2 2 3 ) ( 2 2 9 ) ，得 志= 三v 2 矗 磊：三簪一蒜+ 圭v ：未一三磊箍 f 2 3 0 ) j 2 等等o x + 三4 等等+ 三4 等等 缸 苏缸教苏 p 一 蠢。：圭鲁一丢嘉 磊+ 三以 亿， 卮：专磊咭藉一丢藉 一三貉+ 三v 2 乏 在这里通过选择适当的坐标系可以获得极大的简化。我们总可以这样定义 ，使之满足谐和坐标条件 9 9 r ：，= o 利用( 2 1 6 ) - ( 2 1 9 ) ； 1 1 ( 2 2 3 ) 一( 2 2 9 ) ，我们发现由g r r 。0 中的3 阶项为零得 o ：三虹一旦盟+ 三亟 2a ta 一2c o t 而由g ”咒，中的2 阶项为零得 从而得 o ；一1 0 9 0 0 + 墼一三亟 2 融i瓠j 2 敏i 三孥一冬+ 三冬：o 2 西2 a a f 。2a f 2 ” 磐枭一一c o a g ”：o & o x 苏。觑苏7 西。 貉+ 貉一貉+ 蓦：。缸玉。舐缸苏知。缸缸一” 1 6 郑州大学硕l 学位论文第一二章e i n s t e i n 场方程及其近似解法介绍 现在由( 2 - 3 0 ) 一( 2 3 4 ) 得出r i c e i 张量的简化公式： 2 l 2 r = v 2 9 ( 2 3 5 ) 盛= 三v 2 未一三笋一丢未要参+ 三c v 五，2 q 娜， 赢= 委v ：g j 0 3 ( 2 3 7 ) 毫：要v ：岛2 ( 2 3 8 ) 我们现在利用e i n s t e i n 场方程，见式( 2 8 ) 。由于r ”、丁”和分别解释为能 量密度、动量密度和动量流，我们预期它们将有下列展开式： t=t00+r+(239) t m = t 加+ r m + ( 2 4 0 ) t 9 = t 9 + r 9 + ( 2 4 1 ) 式中r 一7 表示r 一7 中量级为( 厨步3 矽”的项。( 特别，”是静止质量密度，而r ” 是能量密度的非相对论部分。) 我们需要的是 s 。，：r 。，- l 、g 。歹 但衙步的量级是铲，故由( 2 1 0 ) ( 2 1 2 ) 和( 2 3 9 ) ( 2 4 1 ) 得 s o o = s o o + s + ( 2 4 2 ) sjo=slo+sm+(24