（概率论与数理统计专业论文）两类随机变量序列的精确渐近性质.pdf

摘要 本文是在攻读硕士期间完成的，全文分两章 第一章是关于滑动平均过程矩精确渐近性方面的内容假设k ；一0 0 i 。) 是一列独立同分布( i i d )的双侧无穷随机变量序列，满足e 1 = 0 ，e i o o a l ；一o o i o o ) 是一列绝对可和的实数序列，即兽o 。胁i o o 定义 。 x = a i + 胁，k 1 ( 1 1 1 ) 则 甄；k 1 称为滑动平均过程记部分和s 礼= k 1 x k ，n 1 l i ( 2 0 0 5 ) 研究了滑动平均过程关于矩完全收敛的精确渐近性质，在此基础上， 我们将矩条件减弱，在对随机变量序列 矗；- - o o i o 。) 不要求三阶矩存在的情况 下得到如下结论 定理1 2 1 假设 x k ；1 ) 定义如( 1 1 1 ) ，其中 a i ；一 i 。) 是一实数序列， 满足圭竺。k l ( 2 0 以及 矗；一o 。 i 0 0 ) 为满足匪1 = 0 ，e 岛 o 。的i i d 的随 机变量序列则对1 p 1 + p 2 ，若e e l i r 。，那么成立 。l i m 。e 2 ( f - p ) ( 2 - p ) - i 薹。n r l p - z - l l p e l s n i - - e n l p + = i ；! 二j ； i i i ：! ：；一= 酉e i z l 2 p p ) ( 2 一p ) ， 其中z 服从均值为0 ，方差为r 2 = 口2 ( 墨一。f ) 2 的正态分布 此外，对于定理1 2 1 中r = 2 ，p = 2 的情形，还得到了滑动平均过程关于矩完 全收敛的如下精确渐近性 定理1 2 2假设 甄；k 1 ) 定义如( 1 1 1 ) ，其中 啦；一。 i 。o ) 是一实数序列， 满足老竺。j 口i i o o 以及 e i ；一o o i o o ) 为满足e e l = 0 ，e e i o o 的i i d 的随 机变量序列若0 j 1 ，a 为一正实数，并且满足1 2 1 6 1 一i a ，那么 成立 肛1 一量_ ( 1 0 9 n 。) ( 6 ，- u e ) a e i s i s 瓜而) 十= 两而舞两e l z l 2 聊几 其中z 服从均值为0 ，方差为r 2 = o - 2 ( 墨一o o 。；) 2 的正态分布 第二章研究了样本协方差矩阵最大值的极限性质第二节讨论了样本协方差矩 阵最大值的完全收敛性第三节则得出了它的精确渐近性质 假设= ( z “) 是n p 阶矩阵，其中n 行中的每一行是来自一确定多元分布的 观察值，p 列中的每一列是来自一总体分布的n 个观察值假设诖，x i j ；l ，j = 1 ，2 ，) 是满足乓= 0 ，v a 嘈= 1 的独立同分布( i i d ) 的随机变量令肋是蜀第i 列和第 j 列的皮尔逊相关系数即， 一 2 ：l ( z k ，i 一黾) ( 2 ，j 一2 j ) p i j2 ；= = = = = = = = = = 产2 = = = = = 2 亍， v e ：1 ( z t 一磊) 2 - k 1 ( ，一奶) 2 其中函= ( 1 ) 毡1 z ， ：= ( p i j ) ，它是一p p 阶对称矩阵，称为由生成的样本相关矩阵 j i a n g ( 2 0 0 4 ) 比较直观地选择了l 。= m “1 j 0 成立e f f 肿+ 0 ，有 薹掣r ( 吣( z 刊厮) 0 成立e 3 0 托 如果n p 一7 ( 0 ，o 。) ，那么对任意 一1 2 q 0 成立e 蚓3 0 帖 ( 2 + s ) 何司= k 2 a b s t r a c t t h i st h e s i si sf i n i s h e dd u r i n gm ym a s t e ro fs c i e n c e ，i tc o n s i s t so ft w oc h a p t e r 8 i nc h a p t e ri ，t h e r ea r es o m er e s u l t sa b o u tt h em o v i n g - a v e r a g ep r o c e s s e s w ea s s u n l e t h a t 2 ；一o o i o o i sad o u b l yi n f i n i t es e q u e n c eo fi i dr a n d o mv a r i a b l e sw i t hm e a n z e r o sa n df i n i t ev a r i a b l e s l e t n t ；一o o i 。) i sa na b s o l u t e l ys u m m a b l es e q u e n c eo f r e 8 jn u m b e r sa n d o 。 瓢= a i + k 毛，k 1 ( 1 1 1 ) i = - - c _ o l i ( 2 0 0 5 ) d i s c u s s e dt h ep r e c i s ea s y m p t o t i e sr e s u l t i nt h i sk i n do fc o m p l e t em o m e n t c o n v e r g e n c ef o rm o v i n ga v e r a g ep r o c e s s s e t & = n - lx k ，n 1 w er e d u c et h em o m e n t c o n d i t i o no fr a n d o mv a r i a b l es e q u e n c eo f 旬；一。 i o 。 a n d g e t t h e o r e m1 2 1 s u p p o s et h a t j 矗； 1 ) i sd e f i n e da s “j j ，w h e r e 啦；一。 i 。) i sas e q u e n c eo fr e a ln u m b e r sw i t h 罂一o 。l a i l o 。a n d 日；一 i 。o ) i sas e q u e n c e o f t i dr a n d o mv a r i a b l e sw i t h 丘1 = 0 ，丘 o 。t h e nf o r1 p 1 + p 2 ，矿 e | 8 1 i o o ，w eh a v e 即l i me 2 ( r - p ) ( 2 - p ) - i 薹肿_ 2 - l p _ e n l p ) 十= f 舞邑等面吲2 c r 一酬阻“， w h e r ezh a s 。n o r m a ld i s t r i b u t i o nw i t hm e a n0a n dv a r i a n c et 2 = o - 2 ( 罂一o 。n i ) 2 m o r e o v e r ，f o rt h ec o n d i t i o no fr = 2 ，p = 2i nt h ea b o v et h e o r e m ，w eg e tt h ef o l l o w i n g r e s u l t t h e o r e m1 2 2 s u p p o s et h a t x k ；1 ) i sd 断n e da sn j j ，w h e r e o i ；一o 。 i 。) i sas e q u e n c eo r e a ln u m b e r sw i t h 罂一o o1 a i l 。a n d 龟；一。 i o 。) i sas e q u e n c e d ，i z dr a n d o mv a r i a b l e sw i t h 丘1 = 0 ，f _ e ； o o l e t0 5 1 ，o lb eap o s i t i v en u m b e t ； a n d l 2 1 。 5 0 w eh a v e 薹掣p ( ( z 厮) o 。 t h e o r e m2 3 1 s u p p o s et h a t 曰荨f 3 0 + 。 0 可n 彦_ 1 ( 0 ，。) ，t h e n ，0 ra n y l 2 口 ( 2 + s ) 阃= k 4 文中部分缩写及符号说明 随机变量 几乎必然 互相独立且同分布 随机变量x 的数学期望 随机变量x 的方差 随机变量序列 弱) 几乎必然收敛于随机变量x 随机变量序列 岛) 依概率收敛于随机变量x 随机变量序列 ) 依分布收敛于随机变量x u 与v 等价，即u 与v 有相同的有限维分布 集合a 的示性函数 集合a 中元素的个数 实数集 整数集 正整数集 l i r as u p a n b n o o 4 亲骢。n k 20 撬a n b , z 2 l 表示不大于a 的整数 仅表示一个正常数，其值在上下文中可以不同 l o g n = l o g ( n v e 1 l o g l o g n = l o g l o g ( n ve 8 1 5 一：雪时一靳驭由聃似r z nc岍抑 。一：雪时一一一嘲渤聃似r z n一一一c岍 第一章滑动平均过程关于矩的精确渐近性质 1 1引言及引理 假设b ；一o 。 i 。) 是一列独立同分布( i i d ) 的双侧无穷随机变量序 列，满足e s l = 0 ，e 0 0 啦；一o 。 i o 。) 是一列绝对可和的实数序列，即 去竺o 。h l 0 0 定义 o o x k = a i + k e i ，1 ( 1 1 1 ) 则 托；k 1 ) 称为滑动平均过程记部分和岛= 砧1 x k ，n 1 c h o w ( 1 9 8 8 ) 提出了矩完全收敛性问题，并讨论了i i d 随机变量序列的矩完全 收敛性，得到如下结论 定理1 a 假设 ；k 1 ) 是一列i i d 随机变量序列，满足e x i = 0 对于1 p p ，若e i x l l + j x l l l o g ( 1 + i x d ) ) 0 ，成立 争坤_ l p e 瞧* l _ s n l p x i k = 1) 4 - o 。 ”2 。1 加e l k l o 。 n = 1l l i ( 2 0 0 5 ) 在此基础上研究了滑动平均过程关于矩完全收敛的精确渐近性质，可 得如下结论 定理1 b 假设 x k ；1 ) 定义如( 1 1 1 ) ，其中 a i ；一o o i o 。) 是一实数序列， 满足i 十= 。- 。l a i l o 。以及 矗；一。o i o 。) 为满足e e l = 0 ，e e 0 0 的i i d 的随 机变量序列假设e 1 1 1 3 o 。，则对1 p l + p 1 2 ，若e l e d 7 。，那么成立 卜州( 2 _ 沪1 争舭_ 1 加t , s o l l 向) + = 再蓑矧两科卜州( 2 - p j ， 其中z 服从均值为0 ，方差为r 2 = 口2 ( 罂一。啦) 2 的正态分布 本章的主要目的就是将定理i b 中的矩条件减弱，即对随机变量序列 e i ；- - ( x 3 i o 。) ，在不要求e i 1 1 3 存在的情况下，上述矩精确渐近结论仍然成立 6 我们首先引入几个引理 引理1 1 1 ( 参见b u r t o n 和d e h l i n g ，1 9 9 0 )假设 0 ；一。 i o 。) 是一绝对收敛 的实数序列满足口= 墨一o 。啦及k 2 l ，那么成立 l i r a 元1 。= 量- o o 隆，l 下面这个引理是关于滑动平均过程的中心极限定理( c l t ) 引理1 1 2 假设豫；一o o i o o 为满足e o = 0 ，e e i = o - 2 的i i d 随机变 量序列 甄；k 1 ) 定义如( 1 1 1 ) ，其中 o 。；一o 。 i o 。) 是一实数序列满足 罂一。l a i l o o 那么滑动平均过程服从c l t ，即， 熹三州拱忙一( ；皇n t ) 证明由y a n g ( 1 9 9 6 ) 的定理3 1 ，马上可得此引理 接下来，利用下面这个引理来代替l i ( 2 0 0 5 ) 中的引理2 4 ，将矩条件减弱 引理1 13 ( 参见g u t 和s p a t a x u ，2 0 0 0 ) 假设 冠；t 1 ) 是一列i i d 随机变量，满 足e i x l 4 ”，+ 2 e z ，v ( 主：襄j ；器) 2 7 ” 。) p ) + 叫” 再皇蔗嚣面j t = 1 一 7 7 1 2滑动平均过程关于矩的精确渐近性的改进 1 2 1介绍及主要结果 记岛= 2 ：1 溉，n 1 ，其中 x k ；1 ) 定义如( 1 1 1 ) 以下为主要结果 定理1 2 1 假设 ；k 1 ) 定义如( 1 1 1 ) ，其中 a i ；一o 。 i o 。) 是一实数序列， 满足孥。i a i l 。o 以及 e i ；- - o o i 。 为满足巳1 = 0 ，e e i 。的i i d 的随 机变量序列则对1 p 14 - p 2 ，若e l e l l 。，那么成立 。l i m 。e 2 ( r - p ) ( 2 - p ) - i 薹渺一聊e - e n t l p + = f 嚣裔墨可啊卜p ) ( 2 _ ， 其中z 服从均值为0 ，方差为r 2 = a 2 ( 磐一o 。n ) 2 的正态分布 此外，对于定理1 2 1 中r = 2 ，p = 2 的情形，可以得到滑动平均过程关于矩完 全收敛的如下精确渐近性 定理1 2 2假设 凰；k 1 ) 定义如( 1 1 1 ) ，其中 d i ；- - o o i 。o ) 是一实数序列， 满足老竺o oh i o 。以及 “；一0 0 i o 。) 为满足匪1 = 0 ，e e ； o o 的i i d 的随 机变量序列若0 6 1 ，n 为一正实数，并且满足1 2 1 o 6 l l q ，那么 成立 舻肛1 一妻( 1 0 9n 一) ( 6 - 1 2 ) a - e i s i e 何再) + = 丽研惫i 习啊m q 其中z 服从均值为0 ，方差为r 2 = 一2 ( 墨一。n ) 。的正态分布 1 2 2定理的证明 不失一般性，下文中假设r = 1 n 表示标准正态随机变量 定理1 2 1 的证明我们可以由下列几个命题证之 命题1 2 1 若l p 14 - p 2 ，则有 熙s 2 ( r - 舭刊q 矿舭。1 斛1 2 e ( i n i 一甜肛1 7 2 ) + e o 各 h f 豢等面5 i 胛i ”) ( 2 _ p ) 8 证明参见l i ( 2 0 0 5 ) 命题3 1 的证明 命题1 2 2 对1 _ e n v p - 1 2 + x ) j 出 p ( i s j l 、元n 1 v - 1 1 2 + z ) 一p ( i n i e n l 7 9 1 7 2 + z ) l 。 9 所以 。1 肛：- - - + 0 ( n ，o o ) 以下估计a n 2 根据引理1 2 1 容易得出，当n 充分大时有兰o 。n 乞sc n ，所以 再结合m a r k o v 不等式，有 忡l 而e n l p - 1 2 - - z ) 一p ( i n i _ s n l v - 1 2 + x ) 蔷券等 从而得到 锄g 层蒜如蚓皤+ 1 ) 佤一帅刊 记：= a 。1 + 。2 注意到 所以有 1 p + 1 2 ： 0 ( m o o ) 熙计“2 1 卜1 ”2 。1 肠e i i 一甜扫) + 一n t 2 e n i i t l一甜肛v 2 ) + 。0 n 荪m j +j + = l 媳2 ( _ ) ( 2 一p ) 一1 n r p - 2 - l v + 1 2 ： 5 0 n 施m “ 。l i m 。5 2 一9 7 2 9 一1 。( e ) _ “4 】7 7 ”一2 1 7 陋( s ) m - - r p + 2 + l p 。! 。( f ) n , l p - 2 - l l p + i 1 2 a ： = 0 证毕 命题1 2 3 假设e l e l l 7 。对1 揣m ” o 十 。十l 证明 基于l i ( 2 0 0 5 ) 命题3 3 的证明中1 p n k l m 1 、 x 2 ld x l 以下先来估计1 1 ，在引理1 2 3 中取x = d y ，卢= 2 ( d 是取值待定的正实数) ，再结合 m a r k o v 不等式可得 p c i s 二i z ，g 叠。一a e i x m i + ( 耋z 一2 e l x i l 2 ) 8 ) ，a ， c 。， 利用( 1 2 1 ) 式代替l i ( 2 0 0 5 ) 中的引理2 4 ，有 n r p 2 n a ( e ) m 磊m j 甜加 为m j e 州” = 矿p - - 2 - - 1 p ( 1 3 + 且) n a ( e ) m h 艚铲川晰抡卅( z 加董2 眯；9 d x i = - c 。 i 。一9 e i n n t 缸i 。j l n 试岛i z ) + i 一2 n 州e 忙 | ) l b o 。 、，j (。塾卵川蚓纠小。8)dxoo i 。叫e l o 。 配哪哧目i z ) + ( 札。爿) 8i 、t ；一 令= i c ；0 + 1 ) 一1 加 口忙1 m 一。，东m 加一珈庶z ；塞印艚铲川蚓列如 c 。，磊m 加_ 2 - 1 加后，z 1 薹。萎，p 向昨，阻化i z ，如 茎c 。 f a ( e ) m p _ 2 - 协j ，e n 。l l p 。一q j 尹= l j - q l p ( 4 均) 。三，眯，m 女s h i p k + 1 ) 如 g 啡e ) m n - 2 - i , - ，e ! 。( 呦e e 刮叫蚓刮p k + l e 。，e 。( 。) ，n r l p - 2 - u p f c 。x - q 。：f ，。，n ( 刍+ z l i p e f s - f ， 自! ；f s ，f p k + l ，如 sg l 扫一2 1 庙】，。一2 1ek l p e l e l i h ksi 1 i p + 1 ) d z d g a ( e ) m 1 2j 酬9 ：川 1 ”1 一。”3 曼瞄州鼠。向后，。寸1 。塾一雌h i p k + l 脚( 争t = e y l i p ) 鲫”+ 1 忘m 珈矿。2j ( 。寸1 。l k l l p e m 驯p k + l 脚t c s - r + l z = ：，。一，。一，。，( f l p $ _ p ( 2 _ p ) m 1 pt r - 2 d t ) z 。一l 妻1 p e i 郇is k + i d x 七= f 一】 傀”“厶。m 刊删，矿4 9 。1 肭制町胚 川 g e 一十1 o o k v p e l e l l 4 s k 蚓9 3 时，取q = 2 ，有 2 一q d x ( 1 2 3 ) a s - - r + l e l 5 1 j r s 1 6 1j 2 - 1 p e p ( 2 一p ) m 1 扫) ( 1 2 4 ) 加m p 2 枷 叫 ”盼 叫 r厶 u 、， +詹 p 目 一 七 r 【 ， 缸 e 肠 一 路 枷 扛 柳黯 v = b +一 5g n 当2 r 3 时，取q = 1 ，有 o 。 n 7 9 2 1 9 如 sc e 一州 ( “) p e l e l 2 j i e l1 p o ( e ) m = 【l 2 e _ p 2 ( 2 _ p ) m 】 c e 一+ 1 e i e l l 7 i e l i 2 - 1 p e p ( 2 一v ) m 1 p ( 1 2 5 ) 综合( 1 2 4 ) 和( 1 2 5 ) 式，由e e l l ” 。，则对1 a(v)m ，( n 。一2 ) 4 如 n a ( ) m c，。r加41p+4v)-2dq-idyj a ( e ) m 2 。 。 c e 一2 d + 1k ( e ) m 2 】( r - 2 d ) p 十4 1 ：g s 一2 ( r - v ) ( 2 一p ) + l m ( r 一2 a ) p + d 一1 那么只要选取d 使得同时满足一2 d - 4 - 1 一一p ) ( 2 一p ) 时， m l i 叫r a o 。l i m m s u pe 2 一呻肛_ 1n 7 v - 2 - 1 v 1 4 e 攫m p - 2 却p + d _ 1 矾( l 2 - 7 ) 1 ”on 赫 村1 ” 因此综合( 1 2 6 ) 和( 1 2 7 ) 式，对1 1 命题1 2 4假设0 6s1 ，o 为一正实数，并且满足1 2 一l o 6 1 2 1 n ，因此 l i r a s 2 c i + 2 c * - - 1 。( 1 0 9n 了) ( a - 1 2 ) ae 一s 厕而) ； 2 彤m 肛1 z ”学z o 、厮o p ( f 小t ) 砒( 协。v 嘶( 1 0 9 e 0 2z 止、厮 i 2 j “l 彳9 25 ”尸j 2 l i r a _ 。2 儿 蒜y 2 6 + 2 a - - 2 o 。p ( i n i 列蛐 = 。l i r a 兰佰丽p ( 险亡) z ：厮y 2 6 + 2 a - 2 咖出 = j 去z 。t 2 d + 2 n l p ( i n i t ) d t = ( 6 。+ i ) ( 2 。5 e + 2 - e ) e i n l 2 6 + 2 7 。 证毕 命题1 2 5 假设0 s6 1 ，n 为一正实数，艮 o 。，则 姆吲“量氅学协h 伍而) + 一而e 。厨蚺。 证明 类似命题1 2 2 的证明，有 篓掣竽协h 厮 + 饷s 厨 一 。b ( e 。) ( 1 0 9 n ) o _ v 2 ) af o -。驯而s 何再刊_ p ( m 。何再刊恤 ：釜盟半竺( ：。+ 蕊 n = 2 其中， ：- = 上去卜( 1 s i v 信s 俩再刊_ p ( 川s 厮+ 。) j d x 如2 层岫i 而s 瓜再刊叫e 瓜丽删卜 容易得出 ：l 以写，0 ，+ o 。) 如g 层而蒜南如蚓暖+ 1 ) 佤叫( n o 。) 记：= ：l 十：2 因为 所以有 - - ( a - 1 2 ) a - - 1 ( 1 0 9m ) 暑学：一。 竖芝二二：一o n = 2 l i m 2 6 + 2 a f 0 l i r a 2 6 + 2 a 6 0 6 ( e ) n = 2 6 ( e ) n = 2 l o gn ) ( 6 1 2 皿 n 3 1 2 l o gn ) ( 6 1 2 ) 。 讣e 何再) + 一佩一s 厄再 十 ： 却 i l ns 2 6 + 2 a - 1 1 0 酬酬( 6 - 1 2 ) n + 1 1 0 酬训- ( 6 - i 2 ) a - i 墨型# 竺昏。 证毕 命题1 2 6 假设0 d 1 ，n 为一正实数，并且满足i 2 1 n 6 1 1 加，e e ” 则对充分小的0 e 1 ，一致成立 悬u m 舢s u 矿m 肛- 、学i ei s i e 瓜而) + m 一o 。e 0 1 n ；荔) n 叫2 、一j + 一佩一s 厕再) + 证明只需证明对充分小的0 1 和0 5 e ，6 ( ) 一1 俑所以马上得到 s 料2 肛1 。聂，学t ”s 厨) + s 肛1 e 一1 嶝yz 蒜刚小啪叻j 6 ( e ) 一j e 、历而f ”9 “m 肛1 j 磊螳yz 蒜咿协胁( 扯。v 厮、6 ( ) 凡、厅五五f ” h 4 9、o “一。 、5fj = 罢何t 2 5 + 2 a - 2z 。州小z ) d x d t 。i 乞何p ( i n i 矧厶衙舭疵出 2 南廊x 2 5 + 2 口- 1 p ( i n i 列如一。( 叫，。) 这样( 1 2 8 ) 式得到证明 往证( 1 2 9 ) 式注意到j 1 1 q ，并且e b ( e 、( 1 。s n ) ( d 一1 2 ) n n i 2 ( s v ：硐一1) = c - 1 ( 1 0 9 n ) ( 扛啦n 一1 g 一1 1 0 9 b ( e ) ( 6 1 ) 。+ 1 】 ：c f 一2 d 一2 a + l ，( d 一1 ) + u a 1 i r al i r a s u p e 2 5 + 2 a 1 j = l i mm 巾一1 ) + ：0 m _ o 。e o m 。_ o o 。 第二章样本协方差矩阵最大值的极限性质 2 1引言 假设= ( x i j ) 是”xp 阶矩阵，其中n 行中的每一行是来自一确定多元分布的 观察值，p 列中的每一列是来自一总体分布的n 个观察值假设代，x i j ；i ，j = 1 ，2 ，) 是满足眨= 0 ，v a 睡= 1 的独立同分布( i i d ) 的随机变量令砌是弱第i 列和第 j 列的皮尔逊相关系数即， 一至銎! 虹l 二型坠d 二型 一 、磐1 0 一磊) 2 一、黠l ( z 蜘一勘) 2 其中勘= ( 1 n ) e 冬1 x k ，i 心：= ( 肋) ，它是一p p 阶对称矩阵，称为由生成的样本相关矩阵 假设总体是一均值向量为p ，协方差矩阵为，相关系数矩阵为r 的多元正态 分布当样本大小n 和维数p 都比较大并且可比较时，文献【6 】6 研究了假设检验 日o ：当肛= 0 时，= i ，其中i 是单位矩阵 这个原假设等价于总体分布是p 个一元标准正态分布的乘积，根据主成分分析 法，检验统计量选择为样本协方差矩阵x t x 的最大特征值，已经证明出它服从 t r a c y - w i d o m 分布律但是，当n 和p 都很大时，便考虑到更加自然和实际的假设 检验 h o ：r = i 运时原假设等价于总体分布是多个一元正态分布n ( 。i ，吒2 ) 的乘积，其中m ， 以均未知从而此假设检验与文献【6 中曲区别在于这些地及o - i 的取值不一定相 同此外，我们还假设这些m 和吼是未知的再次根据主成分分析法，检验统计 量可选择为样本相关系数矩阵r 。的最大特征值 。但是对a 。的分布的研究 至今还没有得出确定的结论 因此，j i a n g ( 2 0 0 4 ) 比较直观地选择了l 。= m a x l i 2 有 ，t m i n f 。和t 叼p 忙塾 ) x)。1，m。o。)1一垂f z l 1 、7 下面这个引理是关于正态分布尾概率估计的不等式参见f e l l e r ( 1 9 6 8 ) 引理2 2 2令中和妒分别表示标准正态分布的分布函数和密度函数那么对任意 的z 0 ，有 ( ：一刍) 刈水扣卜 定理2 2 1 的证明注意到e x k i x k j = o ，v a r x k i x k j = 1 定义 = x k t x k # ，。，正n 1 1 9 则孵是n 个i i d 随机变量的和根据引理2 2 2 和引理2 2 1 ，当对某个d 2 - - ( 2 十e ) 2 ，有e 蚓4 ( 。刊厮) s 薹譬学p ( 鼍竽 c z 俪)各n狮“峭”， 0 0 s g 荟扎o o g n ) 4 1 一西( ( 2 + s ) 闾 n = 3 。、 7o e 鼢酬。等 = e 薹警 。， 2 3样本协方差矩阵最大值的精确渐近性 2 3 1介绍及主要结果 g u t 和s p a t a t u ( 2 0 0 0 ) 证明了当x ，x k ；k 1 为i i d 随机变量时重对数律的精 确渐近性，结论如下记岛= 名l x k ，n 1 定理2 c假设e x = 0 及e x 2 = 口2 0 成立e 3 0 + 8 o 。如果n p 一7 ( 0 ，o o ) ，那么对任意 一1 2 0 成立e 3 0 托 ( 2 + s ) 厮) = 2 3 2引理和定理证明 下面这个引理来自j i a n g ( 2 0 0 4 ) 引理2 3 1令 鼠讯，q ：，k = 1 ，2 ，n ) 是一列均值为零，方差为1 的i i d 的随机 变量序列， e 。；n 1 ) 是一列正实数满足n 。西嘶一8 ( o ，o o ) 。如果对某个 q ( 口2 + 1 ) ( n 2 + 2 ) 成立e i f l 卜 0 有 p 忙毓l 狐 l k = 1 1 - 0 驴 p 0 = 、 一 组 ，巩 靠 。脯 下面这个引理中关于p o s s i o n 逼近的结果实质上是一般的c h e n s t e i n p o i s s o n 逼 近方法的一个特例我们用它来代替常用的b e r r y e s s e n 不等式来研究随机变量的 最大值 引理2 3 2 令i 是一指标集， b 。，a n 是i 的子集构成的集合，即，对每个 “j 有b nci 设 ，o 日是随机变量序列并且对一给定的t r ，令 a = 。，p ( t ) 那么有 i p ( 帮t ) 一e 一1 i t ) p ( t # t ) ， a jf l e b “ b 2 = p ( q 。 t ，卯 t ) ， a jd 膳b 。 b 3 = e l p 啦( 邪，p 隹b a ) ) 一p a e l 并且a ( 珊，卢g 风) 是由 船，j 臼簪玩) 生成的。一代数特别地，如果对每个。， 与 卯，卢g b 。) 相互独立，那么b a = 0 接下来，我们引入经典的强逼近方法 引理2 3 3 对任意均值为零，方差有限的独立随机变量序列 矗； 1 ) ，都存在一 列独立的正态随机变量 仉；n 1 ) ，满足e = 0 和e 壤= e 赣，使得，对所有的 0 2 和y 0 ，当e i s i q 0 0 时，i = 1 ，2 ，n 成立， kk、n p ( 磷j 蚤岛一蚤吼j ”j 纠a 铆q y - q 蚤引引。， 其中，a 是一普适常数 证明参见s a k h a n e k o ( 1 9 8 0 ，1 9 8 4 ，1 9 8 5 ) 定理2 3 ，1 的证明 定理2 3 1 可以由以下几个命题得证令皿( ) = 1 一e - k e - y 2v y r 命题2 3 1对任意的一1 2 q 0 ，有 船( 半) 叶5 薹掣皿2 + 4 e ) l o g n + l o g l o g 川 证明注意到 z ”( 1 0 9 。x ) q