（应用数学专业论文）常plaplace系统周期解的存在性.pdf

常p - l a p l a c e 系统周期解的存在性+ 学科专业；应用数学 指导教师：唐春雷教授 研究方向：非线性分析 研究生t 徐博( s 2 0 0 4 0 8 0 5 ) 摘要 首先，考虑二阶h a m i l t o n 系统 ( 日研+ v f ( t u ( t ) ) _ o “8 挺【0 t 】 i “( o ) 一u ( t ) = n ( o ) 一6 ( t ) = 0 其中t 0 ，f ：( o ，t x r - + 兄满足条件； ( a ) f ( t ，z ) 对每个z j 关于t 是可测的，对a e t 【o ，卅关于z 是连续可微的， 且存在d c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，正r + ) 使得 j f ( t ，z ) j + i v f ( t ，z ) i n ( 1 z i ) 6 ( t ) 对任意z r 和a e t 【0 ，卅成立 本文利用临界点理论中的极小极大原理研究了以上二阶非自治哈密尔顿系统周期 解，扩展了解的存在条件主要结果如下( 见拙文【17 】) ： 定理1 设f 满足条件( a ) 假设 ( 凡) 对a et 【o ，刁，有l i r a s u p l 。i + 。宰萨 1 ，t 0 ，f ：【o ，卅x r _ + r 满足上述条件( a ) 本文利用相应空问的一致凸性，证明在次二次条件的假设下，紧性条件还成立。 从而可以获得周期解的存在性主要结论如下( 见拙文【1 8 】) ： 定理3 设f 满足条件( a ) 假设 ( 乃) 存在0 0 对a e t i o ，卅成立，即f ( t ，卢扛+ ) ) 7 ( f ( t ，。) + f ( t ，) ) 对所有z ，”r 成立 则常p - l a p l a c e 系统( o p s ) 在噼。中至少存在一个弱解 关键词：变分法；鞍点定理；二阶哈密尔顿系统；常p - l a p l a c e 系统；周期解 2 e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o r o r d i n a r laplacian,stordinarypl a p l a c l a ns y s t e m s 1 - m a j o r l a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t yl n o l i n e a ra n a l y s i s s u p e r v i s o rl p r o f c h u n - l e it a n g a u t h o rlb ox u ( s 2 0 0 4 0 8 0 5 ) a b s t r a c t c o n s i d e rt h en o n - a u t o n o m o n ss e c o n d - o r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s c 日研慨二卯。：嚣a e ：t 1 0 一 i u ( o ) 一 = 也( o ) 一也( t ) = w h e r et 0 ，a n df ：【o ，卅x r ”- + rs a t i s f i e st h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n ： ( a ) f ( t ，王) i 8m e a s u r a b l ei ntf o re a c hz r a n dc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ei nz f o r a e t 【0 ，卅，a n dt h e r ee x i s t8 c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，t ；冗+ ) s u c ht h a t l f ( t ，z ) i + i v f ( t ，z ) i a ( 1 x t ) b ( t ) f o ra $ r a n da ，e t 【0 ，t 】 i nt h i sp a p e r t h em i n i m a xm e t h o di nc r i t i c a lp o i n tt h e o r yi se m p l o y e dt or e s e a r c ht h e e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rs e c o n do r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s t h em a i nr e s u l t sa r e t h ef o l l o w i n gt w ot h e o r e m s ( j 1 7 ) t h a t t h e o r e m1s u p p o s et h a tfs a t i s f i e sa s s u m p t i o n s ( a ) a s s u m ef u r t h e rt h a t ( f 0l i r a g u p h + 。气旨 1 ，t 0a n d f ： 0 ，卅r _ rs a t i s f i e s t h ep r e v i o u sa s s u m p t i o n ( a ) u s i n gt h eu n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c ep r o p e r t y , w ep r o v et h a tt h ec o m p a c tc o n d i t i o n a l s oi np o s i t i o nu n d e rt h ea s s u m p t i o n so fs u b q u a d r a t i cp o t e n t i a lc o n d i t i o n t h em a i nr e s u l t s a r et h ef o l l o w i n gt w ot h e o r e m s ( j 1 8 ) t h e o r e m3 s u p p o s et h a tf s a t i s f i e sa s s u m p t i o n s ( a ) a s s u m et h a t ( f 3 ) t h e r ee x i s tc o n s t a n t s0 0 ，s u c h t h a t f ( t ，。) _ + + a b + o o f o ra e t e t h e nt h es y s t e m ( o p s ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o ni n 阱9 t h e o r e m4s u p p o s et h a tfs a t i s f i e sa s s u m p t i o n s ( a ) ，( f 3 ) a n d ( f s ) a u m et h a t ( 昂) f ( f ，) i s ( f l ，1 ) 一s u b c o n v e xw i t h7 0f o ra e o ，卅，t h a ti s ，f ( t ，卢扛+ ) ) ( f ( 亡，z ) + f ( t ，们) 。fa l l 互，管 t h e nt h es y s t e m ( o p s ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o ni n 咿 k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：v a r i a t i o n a lm e t h o d ；s a d d l ep o i n tt h e o r e m ；s e c o n d o r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s ；o r d i n a r yp - l a p l a c i a ns y s t e m s ；p e r i o d i cs o l u t i o n s 4 独创性声明 学位论文题目：鲎乜= l 业! 墼曼丕统星期鲤鲍在在世 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者： 徐蔼签字日期：灭加7 年午月u 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名： 徐博 签字日期：b 1 年午月扒日 摊名：御 签字帆叩年严月哕日 一，引言与文献综述 1 1 引言 研究微分方程解的存在性，以前人们直接求解，但是在证明一般存在性结果时遇 到很大困难，后来改变为，先寻求弱解存在性，再证明其光滑性，最终得到古典解的 存在研究非线性微分方程的近代方法有多种，可分为两类，变分法和非变分法变 分法把方程解的问题转化为相应空间上泛函临界点问题古典变分法寻求相应泛函的 极值点，近代变分法更侧重于寻求“鞍点型”临界点，后者又常称为极小极大方法 本文利用变分法中的极小极大原理研究了二阶h a m i l t o n 系统和常p - l a p l a c e 系统 周期解存在性，推广和丰富了以前的结果 1 2 文献综述 考虑二阶h a m i l t o n 系统 c 删滁裟：三a e r t e 捌 其中t 0 ，f ：【0 ，司兄”_ 冗满足条件： ( a ) f ( t ，$ ) 对每个$ r ”关于t 是可测的，对a e t 【0 ，明关于z 是连续可微的， 且存在d c ( r + ，月+ ) ，b l 1 ( o ，e j 矿) 使得 f f ( t ，司i + i v f ( t ，$ ) i a ( i x l ) b ( t ) 对所有z r 和a et 【o ，卅成立 文献【1 】1 总结了1 9 8 9 年以前的研究结果，给出了许多可解性条件如有界性条件， 周期性条件，凸位势条件，超线性条件等许多学者对这些条件进行了推广和补充， 其中唐先生的工作最为详尽，得到的结果十分丰富，见【2 卜【1 6 】在文献【2 】中，他把 有界性条件推广为次线性条件，是个相当有意义的工作，不少文献在此基础上又进行 了推广和补充，例如【1 0 1 4 1 6 1 9 2 0 】；在文献【9 】1 16 】中，周期性条件推广为了部分 周期；在文献【8 1 1 1 中，凸位势条件推广为了次凸条件利用广义山路引理，许多学 者推广和丰富了超二次条件，如f 2 1 】- 【3 2 】相比而言，次二次条件的研究结果不多， 如【1 1 3 3 】一 3 6 】在1 9 8 0 年的文献【3 3 】中。r a b i n o w i t z 提出如下次二次条件；存在 0 肛 0 使得 0 ( v f ( t ，z ) ，z ) p f ( t ，z ) 对所有h m 和a - e t 【o ，卅都成立这个条件有所推广，如文献【1 1 】中推广为： 存在0 1 ，t 0 ，f ：【0 ，卅冗”- + r 满足条件， ( a ) f ( t ，z ) 对每个z r ”关于t 是可测的，对a _ e t 【0 卅关于z 是连续可微的， 且存在a g ( r + ，j 矿) ，b l 1 ( o ，t r + ) 使得 i f ( t ，z ) l + i v f ( t ，z ) i a ( i z l ) b ( t ) 对所有z 冗”和a _ e t | 0 ，t i 成立 显然，当p = 2 时，成为二阶h a m i l t o n 系统由于相应空间噼。不再是h i l b e r t 空间，研究难度增大，其解的存在性结果比h a m i l t o n 系统少得多近来，不少学者用 不同方法研究了常p - l a p l a c e 系统文献【4 3 】用变分法中的对偶极小作用原理得到了 一个存在性条件；【4 4 】利用广义山路引理得到一个存在条件，推广了文献【1 2 】中的结 果；在非线性边界条件下，刹用极小作用原理和山路引理，文献m 得到了两个存在 性结论；文献【4 5 】用s c l m u d e r 不动点理论进行了研究；还有些学者利用非光滑分析对 相应结果进行推广，见 4 8 1 1 4 6 1 文献【4 l 】研究了相应微分算子的性质，而文献【4 2 】研 究了算子的谱，为我们深入研究( o p s ) 系统提供了方便 本文推广了r a b i n o w i t z 提出的次二次条件，利用鞍点定理，得到新的存在性定理 二、预备知识 为了后文证明的需要，我们简单的给出相关的定理 定义1 ( 【5 0 】) 泛函l p c 1 ( x ，r ) 满足( c ) 条件是指；对任意序列 “。) cx ，由 l p ( ) 有界以及当n _ + 时i i ( “。) l l ( 1 + l l u 。) - 0 ，可以得到( t ，i ) 有一个收敛子列 2 鞍点定理( 【5 1 】) 设x = y + z 是实b a n a c h 空间，其中y 0 并且有限维对 p 0 ，定义 m ：= “y ：0 t s p ) ，m o ：= u y ：0 t 0 = p ) 假设妒g 1 ( x ，冗) 满足( p s ) 和如下条件 6 ：2 1 乒妒 o ：2 鬻妒 那么l p 有临界值c b 进一步c 可表示为 。何i n f ：搿妒( ，y ( “) ) ， 其中 r = ，y c ( m ，x ) ：7 i 胁= i d 文献【4 9 】证明了在( c ) 条件下，形变引理也成立，从而鞍点定理中的l f 缶界点同样存在 用变分法研究二阶h a m i l t o n 系统就是将求方程( h s ) 的解的问题转化为求一个在 h i l b e r t 空间坼中连续可微的泛函 m ) = 玎m 圳2 出一7 , f “) 出 在衅上的临界点的问题( 【1 】) 其中 研= t ：f o ，7 1 _ + r ”i t 绝对连续，“( o ) = u ( t ) 且矗l 2 ( o ，正r ”) ) 具有范数 o “i l = ( z 7 l u ( ”1 2 d t + 0 7 i d ( t ) 1 2 d t ) 若i p 在点哮上有临界点，则( h s ) 有解 此外，对任意t ，口且 有 ( ( t ) ， ) = ( 吐( t ) ，d ( t ) ) d t 一( v f ( t ，( t ) ) ，v ( t ) ) d t j 0j 0 对常p - l a p l a c e 系统则是将方程( o p s ) 解的问题转化为求一个在b a n a c h 空间w 妒 中的连续可微的泛函 出) = 甜以圳眦f 脚) 出 在噼一上的临界点的问题其中 3 噼p = ( u ：【0 ，t 】_ + r “i u 绝对连续，u ( o ) = t ( r ) 且“( o ，t ；r ) 具有范数 川i ：( 0 7 m 圳，出+ m ) ； 若妒( u ) 在矸母上有临界点，则( o p s ) 有解 此外，对任意u ，”噼9 有 月 ( 矿( t ) ， ) = ( ( t ) l _ 2 “( t ) ，t ，( t ) ) 一( v f ( t ，u ( t ) ) ，口( t ) ) 】疵 ，0 从文献【1 1 中知道w p 自反空间和一致凸b a n a c h 空间从文献 3 9 1 中知道局部 一致凸b a n a c h 空间具有k a d e c k l e e 性质，那就是对任意序列 “。) 只要一u 弱 收敛，并且ij u 。- + i ，就能推出_ + u 强收敛 三，主要结果 3 1 二阶h a m i l t o n 系统周期解的存在性 定理3 1 设f 满足条件( a ) 假设 ( f 1 ) 对a et 【o ，明，有l i m s u p i 。i + 。笔萨 0 ，使得 $ v f ( ，z ) 一2 f ( t ，$ ) s m 对所有8 m 和a e t 【0 ，司成立令8 1 ，把下式在区间【1 ，鄙c 【1 ，酬上积分 d f ( t ，s z ) 1 一s v f ( t ，8 z ) 一2 f ( t ，8 z ) ，一m 石i 万一l2 7 一s 7 ， 得到 学叫扯) s ；m 陪 令s _ ，利用条件( f o ) ，得到 f ( t ，z ) 2 i m 对所有h 8 m 和“e t 【o ，q 成立由m 的任意性，容易得到( 玛) 另外，存在 f 满足定理2 而不满足文献f 3 4 j 中相应条件例如， f ( t ，加知艮m 筹+ ( 1 仆n ( 1 + i z 叫圳。) 这里z r nt 【0 ，t 1 并且e l 。( o ，t ；r ) 3 2 常p - l a p l a c e 系统周期解的存在性 定理3 3 设f 满足条件( a ) 假设 ( f 3 ) 存在0 0 对i e t 【o ，t 】成立，即f ( t ，卢扛4 - ) ) 7 ( f ( t ，z ) 4 - f ( t ，) ) 对所有z ，r ”成立 5 则常p - l a p l a c e 系统( o p s ) 在w 尹中至少存在一个弱解 注3 3 定理3 3 和定理3 4 推广了文献【1 1 】中的定理3 和定理4 事实上，当 p = 2 时，即是那里的结论另外，这里的结论与其他文献中得到的结论不同 四、主要结果的证明 4 1 定理3 1 和3 2 的证明 引理4 1 在定理1 的条件下，泛函妒满足紧性条件( c ) 证明设 t ，i ) 是空间珥中的序列，满足妒( ) - + c 和i i p ，( u 。) 0 ( 1 + i 8 ) 叶 0 ，当n - + 那么 岳黯【( ( u n ) ，u n ) 一2 妒( ”n ) 】2 2 c 容易得到 撬n v f ( t ， n ) u n 一2 f ( t ，u n ) 】d t = 2 c ( 1 ) 现在证明序列f ) 必然有界否则，不失一般性。假设 0 t t 1 0 - - 当n _ + 令钿= 铷，则1 1 钿1 1 = 1 一由于紧嵌入磁cg ( 【o ，卅；j ) ，存在子列，不妨仍记为 卸) ，满足 钿一z 弱收敛月 ， _ + z 一致收敛c ( 【o ，司；r ”) 注意到如下的次二次条件， 鬯i m s u p 掣 0 ，和如 0 ，使得 耶，曲s 譬2 对所有2 如和a e t 【o ，卅成立令c 3 = m “，l o ，吲o ( 5 ) ，又条件( a ) 可得 f ( t ，z ) c 3 b ( t ) 对所有蚓如和a e t 1 0 ，司成立因此 f ( t ，z ) - - 2 - 2 一- - 9 i z l 2 + c 3 6 ( t ) 对所有。r n 和a e t i o ，q 成立这样对任意t 辫，有 咖，打印出一字小2 d t - c 3 卜，出 1 1 1 - 生w 2 1 j 厂0 7 2 疵一c 3 z t 吣皿 8 由于( 吲2 + 口i d ( 圳2 出) 是空间砩中的等价范数，不难得到，当u 廓，1 1 “1 1 一o 。 时， 另外，由( 兄) 容易得到，当“r ”，i _ + m 时， 现在，利用鞍点定理，至少有一个临界点存在 定理4 2 的证明证明方法类似定理1 ，这里省略 4 1 定理3 3 和3 4 的证明 引理4 2 在s o b l e v 空间噼p 中，任取t w p 则i _ + 等价于 ( 蚓，+ 0 7 i ，) ；一m 证明t 一方面，利用h s l d e r b 不等式有 蚓= i ；小叫g 卸训肌 另外，显然有 0 “0 l ，0 t 0 和i i u l l n 0 训i ， 就能得到 陋p + l t ，( t ) i d t ( t 一1 + 1 ) 1 u l p 另一方面，通过下面的计算 t l 胪d t = 小俐阳 f t 2 p ，( i 训+ 怄( t ) i ) d r 2 p t f i 9 + 2 p c p l l u q 2 ，) 2 p ( t + c ) ( 1 a 1 9 + i l t ，i 慢，) 不难得到 陋旷( 2 p t + 2 p 伊+ t ) ( 吲，+ z 7 ( 圳，出) 9 ( 3 ) 因此，引理的结论成立 口 引理4 3 在定理3 的条件下，相应泛函l p 具有紧性条件( c ) ，即对任意序列 u 。) ，只要l p ( ) 有界，并且当n - 时。0 ( t l 。) 0 ( 1 十l l u 。0 ) _ + 0 ，则 u 。) 有个 收敛子列 证明；令 “。) 是空间略9 中的有界序列，并且0 ( u 。) 1 1 ( 1 + l l u 。i i ) - 0 当n _ 那么存在常数研使得 i 妒( t t i ) i c 1 ，1 1 4 ( ) l lc x + i i t l f l i i ) 仍 对所有t l n 成立令 ( t ) = 佃+ f ) 6 ( t ) m a f xn ( 陋1 ) 0 ， 则由条件( a ) 和( 凡) ，可得 - h ( t ) + ( v f ( t ，z ) ，功p f ( t ，) 对所有$ r ”和a e t f 0 卅成立作下列估计 ( 4 ) ( 5 ) ( p + 1 ) 6 1 0 ( u 。) 1 1 ( 1 + | i t 。0 ) 一p 妒( t ，i ) 2 ( ( t ，1 ) ，t 。) 一p 妒( t ，) ，t = p f c t ，。) 一( v f ( t ，t t 1 ) ，) 扭 ( p m z 7 f ( t ，t h ) 疵一f o t h ( 出 对所有7 7 , n 成立化简后得 f c t ，u n ) d t s q( 6 ) 对所有n n 和某个正数岛成立由( 4 ) 和( 6 ) ，可得 a 妒( ) ；z t i “驴d t 一岛 对所有n n 成立因此有 小护疵伤 对所有n n 和某个正数岛成立由s o b o l e v ，s 不等式，有 i i d 。i i 0 0 q 对所有t l n 和某正数q 成立 1 0 ( 8 ) 下面证明序列 面。) 必然有界否则存在子列，不妨仍记为 ，满足i 百。i _ o o ，当n _ + o o 令= 渤= 翻+ 函= + ，则 在孵p 中有界，由于有 紧嵌入噼9cg ( 【o ，卅；r ) ，存在子列，仍记为 ) ，使得 一 弱收敛w 妒， _ 口强收敛c ( 【0 ，明；r ) 由( 8 ) ， 豇n 在空间c ( 【o ，t 1 ；r ”) 中有界，必然有v r 且”0 因此，对所有 t 【0 ，t i ，当n - o 。时，l u n ( 圳+ 利用l e b e s g u e - f a t o u 引理， l i 。r a + i 。n f ，f 。t f ( t u 。) d t l i 。r a i 。n f ， ：f ( t ，) 疵一f i g ( t ) j 疵= + * ，。- + 。j of ( t “n ) d t 。_ 。，e f ( 。，t ，i ) 疵一上 ) j 疵2 + 。， 这与( 6 ) 产生矛盾 由引理4 1 t f l 在空间w p 中有界，由紧嵌入噼pce ( 【0 ，t l ；n ”) ，有子列 “。 ，仍记为 ) ，满足 u 。一u 弱收敛噼9 ，( 9 ) - + 强收敛g ( 【0 卅；) ( 1 0 ) 注意到 ( 一( 。) ，u t ，1 ) ：，7i 。：i ，一2 ( 。，t ，一u ：) d t 一，r ( v f ( t ，。，i ) ，t 一。) 疵( 一( u 。) ，u t ，1 ) = i u ：1 9 2 ( t ，t ，一一，t ，i ) ，t 一t 。) 疵 j oj o 和 ( ( t ，1 ) ，t 一“。) 斗0 当n + o o 从条件( 1 0 ) 可得 t ，i 在e ( 【o ，t i ；r ) 中有界由条件( a ) ，有 协v 耶川舻蝴j sz r m 训“刊出 g b ( t ) l u 一“。胁 j o g i i b ( t ) l l ui i u u 。0 。 对某个正数g 成立再利用( 1 0 ) 可得 t ( v f ( t ，) ，一“。) 出。o 当n - + ， 上( v f ( ，) ，“一“n ) 出。o 当“- + ”， 从而 o t w l ，一2 ( 嵋，一u ：) 疵_ 。当n - + o o 另一方面，从( 1 0 ) 容易得到 l u n i - 2 ( ，u t ，1 ) d t - + 0 当n o o 令 嘶一训，= ；( 小，出+ m ) 则有 和 似( ) ，u t i t l ) = 厂i “。r 2 ( ，“一t ，1 ) d t + z 7 k r 2 ( ，t ，一) 疵， ( 妒7 ( ) ，“一t ，i ) - + 0 当n _ + ( 1 1 ) 利用h 6 1 d e r 8 不等式， 0 ( 0 u 。i | ，一1 一i m i l p 一1 ) ( i i “。0 一l i f | ) ( t ，1 ) 一妒( “) ，t l t i t ) 再加上( 1 1 ) ，可得u “。l i _ + 1 由于空间矸，；，9 的一致凸性，就推出t 。_ + u 在矸p 中强收敛 口 定理4 3 的证明令e = 噼9 和砑”= u w 尹l 豆= o ) 那么e = 砑9 + 冗”， 其中r ”是有限维空间。这里的证明也利用鞍点定理，只需要再证 ( 吼) 妒( u ) - + + m 当o “o 寸m 在孑中， ( 1 p 2 ) 妒( u ) - + 一当怕0 _ + 。在r 中 对任意m 和o e t 【o ，卅，令 ”( s ) = f ( t ，s z ) ，q ( s ) ：l ，( s ) 一争( s ) 0 2 ) 由条件( 玛) 可得 q ( s ) = ；【( v f ( t ，s 。) ，s z ) 一p f ( 厶s 功】o 0 3 ) 对所有s2m 成立从( 1 2 ) 知道( s ) = f ( t ，s z ) 是如下一阶线性常微分方程的解 矿( s ) = ：可( s ) + q ( s ) 这表明 f ( t ，s z ) = s 一( 5r 一“q ( r ) d r + f ( t ，。) ) 对任意s m 成立更进步，由条件( a ) 和( 1 3 ) ， a o b ( t ) f ( t ，m x l l x l ) ( m i $ i ) ”f ( t ，z ) 对所有i x l m ，d lt 【o ，t i 和常数a o = m a x i 。i s m a ( 1 x 1 ) 成立这表明 f ( t ，z ) a o b ( o ( ( i x l l m ) ”+ 1 ) 对所有凡和m t 【0 ，卅成立由s o b o l e v s 不等式和w i r t i n g e r 8 不等式， 咖) z t ) l p d t i i u l l 盘( a o l m 一) f b d t - a ol t6 ( t ) d t 面1 r a i n l ，g p u 酽一口0 ( c 似) p t 6 ( t ) 疵u i i p n 。f b ( t ) d t 对所有u i 译p 成立。这样就推出( 妒1 ) 成立 由条件( 局) 和( f 5 ) ，有 ， “动= 一j 0f ( t z ) 出一e f ( 屯动d t j 名，7 1 忙鲥”出 ， i o ，、e ，r t s 一f ( t ，x ) d t + i g ( t ) l d t 斗一。 即( 1 p 2 ) 也成立由鞍点定理就完成了定理4 3 的证明。 口 定理4 4 的证明首先可以证明泛函 计满足紧性条件( c ) 设 “。) 是空间噼9 中序列，满足l p ( ) 有界和0 ( 。) 0x ( 1 + 0 t 。1 1 ) - 0 当n - + 用类似于引理4 3 中 ( 6 ) 和( 7 ) 的方法可得 7 f ( t ，t ，1 ) d r 岛 j 0 厂卅巩瓯 j 0 8 仍 对所硐n n 和栗些常数q ，瓯布仍贩立那么 侥f 聃巾眦 ；z 7 f o ，卢豇。) 疵一t f ( 屯一( d ) d t ；z 7f ( t ，卢) 出一m ! a 西x 川z i ) ：t 6 ( t ) d t 1 3 ( 1 4 ) 对所有1 , n 成立这推出 有界再注意到( 1 4 ) 就有 “。) 有界 用类似于引理4 3 中的方法可以证明 u 。 有收敛子列，所以妒满足紧性条件( c ) 接下来也就只需证明 ( 蜘) 妒( “) - + + 当0 t 0 - + o 。在瞬9 中， ( 蜘) 妒( t i ) _ + 一o o 当i l _ + 。在r ”中 事实上，( ) 可以用定理4 3 中的方法证得而( 恍) 可以直接从( f 1 ) 中得到。定 理4 4 证毕 口 1 4 五、分析和思考 还有一些值得我们思考和进一步讨论的问题： ( 1 ) 能否把本文第一部分关于h a m i l t o n 系统的结果推广为常p - l a p l a c e 系统中 ( 2 ) 常p - l a p l a c e 系统特征值问题对研究解的存在性起重要作用，其特征值分布 是否像偏微分方程中的p - l a p l a c e 特征值，是否第二特征值也有变分刻画 1 5 参考文献 f 1 】1j m a w h i n ，m w i l l e m ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n dh a m i l t o n i a ns y s t e m s a p p l i e dm a t h e m a t - i c a ls c i e n c e s t7 4 s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 8 9 2 1c h u n l e it a n g ，p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rn o n a u t o n o m o n ss e c o n ds y s t e m sw i t hs u b l i n e a rn o r - l i n e a x i t y p r o c a m e t m a t h s o c 1 2 6 ( 1 9 9 8 13 2 6 3 - 3 2 7 0 【3 】c h u n l e it a n g ，p e r i o d i cs o l u t i o n so f n o n a u t o n o m o n ss e c o n do r d e rs y s t e m s ，j m a t h a n a l a p p l ，2 0 2 ( 1 9 9 6 ) ，4 6 5 - 4 6 9 【4 】c h u n l e i t a n g ，e 0 d s t e n c e a n d m u l t i p l i c i t y o f p e r i o d i c s o l u t i o n s f o r n o n a n t o n o m o u ss e c o n d o r d e rs y s t e m s ，n o n l i n e a ra n a l 3 2 ( 1 9 9 8 ) ，2 9 9 - 3 0 4 【5 j c h u n - l e it a n g ，m u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rs e c o n do r d e rs y s t e m sw i t has m a l l f o r c i n gt e r m ，n o n l i n e a ra n a l ，3 8 ( 1 9 9 9 ) ，4 7 1 4 7 9 【6 】c h u n - l e it a n g ，s o l v a b i l i t yf o rt w o - p o i n tb o u n d v x yv a l u ep r o b l e m s j m a t h a n a l a p p l 2 1 6 ( 1 9 9 7 ) ，n o 1 ，3 6 8 - 3 7 4 阴c h u n - l e it a n g ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fn o n - a u t o n o m o u ss e c o n do r d e rs y s t e m sw i t hq - q u a s i s u b a d d i t i v ep o t e n t i a l j m a t h a n a l a p p l 1 8 9 ( 1 9 9 5 ) ，n o 3 ，6 7 1 - 6 7 5 嗣x i n g - p i n gw u ，c h u n - l e it a n g ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fad s e so fn o n - a u t o n o m o n ss e c o n d - o r d e rs y s t e m s j m a t h a n a l a p p l 2 3 6 ( 1 9 9 9 ) ，n o 2 ，2 2 7 2 3 5 【9 】w u ，x i n g