（理论物理专业论文）对yangian消除铷金属原子简并态的研究.pdf

摘要 量子杨一巴克斯特方程是比较系统的处理某些非线性量子可积模型的成功理论，特 别是v g d r i n f e l d 所建立的y a n g i a n 和量子群理论对物理中的量子完全可积模型的对 称性研究提供了强有力的数学工具。在量子力学中y a n g i a n 代数超出李代数的范围。它 可以描述一类非线性相互作用模型的所有新型对称性；另外它还可以组成在不同量子态 之间跃迁的升降算符。自从1 9 9 2 年以来，人们在y a n g i a n 各种物理实现和量子完全可积 模型的研究方面取得了重要的进展，并给出新的物理理解和理论结果。 本论文的研究是将y a n g i a n 算子应用于二角动量耦合的系统之中，通过引入砀增f ( 矾算 子的力谨爿硼移躔子态之间跃迁的问题。我们在得到哈密顿量为：风= 一g 石- 互+ 置的系统 的能量本征值及能量本征态之后，发现它的本征态是多重简并的。为了消除体系的简并， 我们构造由y a n g i a n 组成的算符，使它达到消除e 述体系简并态的目的。 通过这些研究，我们可以看出y a n g i a n 算子在处理量子跃迁问题中的作用。并且了掌握 y a n g i a n 代数在物理中的实现，即y a n g i a n 可以以一种特定的方式将不同权之间的态联系 起来，它正是量子力学中跃迁算子的推广。 关键词： 量子简并态；y a n g i a n 对称性；量子可积；量子跃迁；多重简并态 a b s t r a c t q u a n t u my a n g 。b a x t e re q u a t i o ni sas u c c e s s f u lt h e o r yt h a tc a nr e l a t i v e l ys y s t e m i c a l l y d i s p o s eo fs o m en o n l i n e a rq u a n t u mi n t e g r a b l em o d e l s e s p e c i a l l yt h et h e o r yo f y a n g i a n a n d q u a n t u ma l g e b r at h e o r yt h a tw e r ee s t a b l i s h e db yv g d r i n f e l do f f e r e dap o w e r f u lm a t h e m a t i c m e t h o df o rt h er e a c ha b o u tt h es y m m e t r yo ft h ei n t e r a b l eq u a n t u mm o b u d e l si n p h y s i c s y a n g i a na l g e b r ag o e sb e y o n dl i ea l g e b r ai nq t m n a a nm e d l 删c s i tc a nd e s c r i b et h en e w - s t y l e s y m m e 订yo f o n ek i n do f m o d e lo f n o n l i n e a ri n a e t k i n i na d d i t i o n , i tc a nm a k e u p t l es h i f t i n go p e r a t o ri n d i f f e r e n tq u a n t u m s l a t e s p e o p l eh a v em a d eg r e a tp r o g r e s sb o t hi nd i f f e r e n tk i n d so f r e a l i z a t i o n s o f y a n g i a n a n di nt h es t u d i e so nq u a n t u m i n t e g m b l em o d e l ss i n c e19 9 2 ，a n dh a v eg i v e nn e w p b y s i c su n d e r s t a n d i n ga n dt h e o r e t i c a lr e s u l t s i nt h i s p a p e r , w em a i n l ya p p l y t h e t h e o r y o f y a n g i a na l g e b r a t oat w o a n g u l a r m o m e n t u mc o u p l i n g s y s t e m ，s t u d y i n gt h eq u a n t u mt r a n s i t i o n o faq u a n t u ms y s t e mw i t h q u a n t u md e g e n e r a t es t a t e s ，t h r o u g ht h ew a yo fu s i n gy a n g i a no p e r a t o r s a f t e rg e t t i n gt h e e i g e n v a l u e s a n dt h e e i g e n v e c t o r s o f h a m i l t o n t ：h 0 = 一g 石亏+ 置。w e f i n dt h e e i g e n v e c t o r so f t h i sm o d e l a l em u f f d e g e n e r a t es t a t e s i no r d e rt ob r e a ku pd e g e n e r a t es t a t e s ， w ec o n s t r u c tt h eo p e r a t o rt h a ti sc o m p o s e do f y a n g i a no p e r a t o r s ，b yw h i c hw e c a ne l i m i n a t e m u t i - d e g e n e r a t es t a t e si nt h i ss y s t e m t h r o u g h t h es t u d yo f t h eq u e s t i o na b o v e ，w ew i l lk n o wt h ef u n c t i o n y a n g i a no p e r a t o r si n t a c k l i n gq u a n t u m t r a n s i t i o n f u r t h e r m o r ew ec a nb e t t e rm a s t e rt h e r e a l i z a t i o no f y a n g i a na l g e b r ai np h y s i c s y a n g i a n c a nc o n n e c tt h es t a t e sw i t hd i f f e r e n tw e i g h tf a c t o r s ，i t i st h ee x t e n s i o no f t h e o p e r a t o r si nq u a n t u m m e c h a n i c s k e yw o r d s ：q u a n t u md e g e n e r a t es t a t e ；y a n g i a ns y m m e t r y ；q u a n t u mi n t e g r a b i l i t y q u a n t u mt r a n s i t i o n ；m u t i d e g e n e r a t es t a t e s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：宴签童题日期： 2 访土茑 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：壁量! 基指导教师签名 日期：鉴兰：垄日期 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话： 邮编： 第一章绪论 1 1 引言 物理中存在着许多经典可积模型，目前常遇到的有十几种。人们长时间研究它们的 孤子解【1 捌。但是，再复杂的具体经典解的发现也无助于力学系统的量子化。对于非线 性问题的求解，我们常可以在求解量子力学中的单体问题的基础上，使用微扰方法来求 出修正部分，然而，当相互作用比较强的时候，则要寻求问题的严格解。这不仅是求解 的技术问题，更重要的是严格解的性质和微扰论各阶叠加的结果常常有本质的不同，许 多经典孤子解就提供了这方面的例证。f d d e e v 学派在实现从经典到量子的研究方面做出 了重要的贡献。而以杨一巴克斯特方程【3 6 ( y a n g b a x t e re q u a t i o n ，简称y b e ) 为中心的 有关理论包含了极其丰富的物理内容，在本质上反映了一大类非线性模型的特点，是系 统的处理非线性模型的成功理论，是解决非线性问题理论发展的一个巨大飞跃，它的研 究对象是多体系统。回顾理论物理发展的历史，经典可积问题 7 - 1 1 1 的理论建立于1 9 6 5 年， 而对于量子可积问题理论的建立则开始于1 9 6 7 年杨一巴克斯特方程的建立。 杨一巴克斯特方程及其相关的理论起源于两个方面的物理研究：一是一维量子多体 问题，二是统计力学中的二维精确可解问题【1 3 】。最早引入有实在物理意义能j q y b e 的 是杨振宁，1 9 6 7 年他在处理具有6 一函数作用势的一维问题时，为保证多体散射的自洽 条件而引入t q y b e 的原始形式 1 4 , 1 5 。1 9 7 2 年，澳大利亚学者r j b a x t e r 在研究统计力学 中的二维精确模型时，为了对角化他所定义的转移矩阵，从另一角度独立的得到了称之 为t r i a n g l e - - s t a r 的关系。当时这两种形式并未很好的结合起来。直到以l d f a d d e e v 为首 的前苏联列宁格勒学派进一步发展了量子反散射方法i l ”，发现杨振宁与r j b a x t e r i j l 入 的这类关系可以写成一般形式： vvvvv v ，。、 r 1 2 ( “) r ( “+ v ) r 1 2 ( v ) = r 2 3 ( v ) r 。：( “+ v ) r ( “) l i - lj 这对一大类低维量子可积模型有巨大的用途，定名为y a n g b a x t e r ；? ) 程。随着各方面 研究成果的积累，人们发现q y b e 普遍存在于量子可积问题中，并且起着核心作用。近 三十年来，有关o y b e 的研究取得了长足进展 1 7 - 2 6 1 。作为处理一大类非线性量子可积模 型的普遍理论，它已成为理论物理研究中一个重要的分支。 对于1 + 1 维量子可积模型和统计力学中的二维精确可解模型的研究，目前主要有 两种方法：一是早期的b e t h e a n s a t z 方法及其推广，二是后期发展起来的由法捷耶夫学 派等创建的量子逆散射方法。法捷耶夫在统一杨振宁和巴克斯特理论时，建立二次量子 化逆散射方法理论并同时提出了r t t 关系。r 1 丁关系如下： 122l r 口一肋l l = l ( 卢吵n ( 尉五一肋 ( 1 2 ) 1 量子力学中有两个基本的东西，一是哈密顿量，二是基本算府间的对易关系。而 r t t 关系的重要性在于：1 ) 它给出了量子整体转移矩阵瓦( a ) 的矩阵元之间的交换关系； 2 ) 由( a ) 生成系统的守恒量。也就是说，r t t 关系是一个概括了许多已知对易关系的， 具有更广泛形式的对于关系，它有利于从更一般的角度讨论算子之间的对于关系。并且 r t t 关系原则上也提供了哈密顿量及其守恒量的形式，从而可以建立整个动力学系统。 总之，r t t 关系是杨一巴克斯特方程系统理论中的基本关系式，是研究完全可积模 型的出发点，这个关系不只限于建立对易关系，更重要的是它同时给出了量子系统的守 恒量，其中包括哈密顿量，即规定了系统的动力学性质。我们知道如果系统的所有运动 积分( 守恒量) 能够给出，则系统是完全可积的，而对于有了完全可积限制的系统而言， r t t 关系提供了一个最为理想的理论框架。从它出发可以同时提供哈密顿量和对易关 系，有了这些原则表达形式，就可以进一步用物理算符实现这些关系，从而可以将哈密 顿量具体化。r t t 关系描述相当宽的一大类量子可积系统，尤其对许多非线性系统更是 具有普遍性。 杨一巴克斯特方程有三种类型的解：1 ) 有理解，它是无周期的，对应于y a n g i a n ； 2 ) 三角解，它是单周期的，三角函数对应于实轴上的单周期函数，双曲函数则对应于 虚轴上的单周期酌数，三角解对应于量子代数；3 ) 椭圆解，它是双周期的。此三者脱 胎于经典理论。我们主要研究了有理解及其三角解的情况。q y b e 的解重要意义在于确 定了局域算符( 格点上) 之间的交换关系。对给定的一种类型的q y s e 的解，则相应的 确定了一种代数关系，对代数关系的不同物理实现，也就对应于不同的物理模型。 量子力学中，在处理相互作用系统时，从微扰论的观点，必须用原始对称性算符做 无穷展开，造成无穷项修正项，这是因为没有找到反映整个相互作用的严格对称性，因 而不能严格处理非线性问题。r t t 关系后经v g d r i n f e l d 在y a n g b a x t e r 方程的基础上，建 乇f y a n g i a n 代数理论和量子群理论【2 2 9 。y a n g i a n 代数是由生成元和 组成的集合， 其中f ，。1 组成单李代数，它们遵从如下代数关系： 【l ， = 。犁， ， ，f 】= 。舡，l h 以，【，l 卜 z ， ，山 】- 三n 却蝴， l ，如， 【， ，j 。】， ，】+ ，j ， ， l ，以】 厶 3 三( n 舢卿c + 口。竹c 舡，) j 。，) ( 1 3 ) y a n g i a n 代数的引入源于一维量子多体问题严格解研究，它在数学上属于h o p 计t 数 【3 0 】，从理论物理的角度，它描述了完全量子可积问题中一类非线性相互作用模型所特有 的对称性。d r i n f e l d 阐述了y a n g i a n 的重要性质：对于量子完全可积系统，当给定量子杨 一巴克斯特方程的一个解晨( “) 时，利用r 1 t 关系能够得到辅助空间中的矩阵元乙( “) 之 间的对易关系，即决定了量子算符乙( “) 之间的代数关系，如果取定r ( “) 为“的多项式 形式，则称为y b e 的有理解。对于有理解的情况，此时矩阵元砭帕 = + ，一，3 ) 所构成的 代数不同于李代数，因为它是不封闭的无穷维代数，这个无穷维代数是由有限个生成元 所决定的。而“_ 1 与沪阶的算符间的对易关系是最基本的，只要满足这两阶所有的关系， 那么所有高阶关系将由它们所决定。可以说正是完全可积性这个特点才导致了这种很强 的限制结果，所以y b e 是我们研究可积系统的一个强有力的手段。 如果体系的h a m i l t o n l 与y a n g i a n 的生成元对易，我们就说该体系具有y a n g i a n 对称 性。值得指出的是，杨巴克斯特系统保证了量子可积性质，但并不保证其h a m i l t o n 量与 y a n g i a n 对易，相反，如果h a m i l t o n 量与y a n g i a n 对易，也不一定是量子可积的。这些性 质依赖于具体的实现。以一维h u b b a r d 【9 1 模型为例，y a n g i a n 正是无穷长链h u b b a r d 模型 的对称性，并由此带来了新型简并度，正是，的作用引起不同格点间白旋的耦合， y a n g i a n 的引入大大简化了这种新型对称性的描述。 除了描述物理体系的对称性之外，y a n g i a n 的另一个重要作用是它可以组成超出李 代数范围之外，在不同量子态之间的升降算符( s h i f to p e r a t o r s ) 。李代数算子只能在同一 个权内变动，而y a n g i a n 却可以以一种特定的方式将不同权之间的态联系起来，它正是 量子力学中跃迁算子的推广。以h 原子【7 ，8 1 为例，对于每个能量本征值，均有y a n g i a n 对 称性，对应着角动量的简并，由y a n g i a n 算子组成的角动量移动算子，将第n 个能级的角 动量从z 跃迁到，+ 1 。最初由y a n g i a n 得到的不同量子态之间的平移算子均是由不含时间 因子的算子所给出的，近年来，对于含时隋况下，y a n g i a n 的实现和随时间演化的平移 算子的性质方面的研究也有很大进展，同时，也拓展了y a n g i a n 在物理中的进一步应用。 另外，我们知道掌握了系统的全部对称性意味着可以得到能谱的重要信息，因此 y a n g i a n 对称性还可以应用于能谱结构的研究，y a n g i a n 包含了极为丰富的物理内容，它 对研究系统能谱具有重要的意义。 1 - - 2 论文的选题背景及意义 y a n g i a n 属于数学上的霍普夫( h o p f ) 代数。从物理角度看，它描述了完全量子可 积问题中的一类非线形相互作用模型的所特有的新型的严格对称性。同时，它的引入使 这种新型对称性的描述得到大大的简化。而知道了系统的全部对称性意味着可以得到能 谱的重要信息。用y a n g i a n 对称性重新研究能谱结构，是个刚刚发展的课题。值得提到 的是，x x x 模型谱的实验研究已经获得相当的成功。除此之外，它还有另一种直观的 物理含义：它可以描述不同量子态之间的跃迁，即其生成元可以构造出量子力学中能谱 的升降算符。因而，y a n g i a n 算符在跃迁行为中的作用也是非常值得研究的。 铷金属原予1 3 1 , 3 2 在沿z 轴恒定外磁场b 中的基本相互作用为协，其中s ，为电子自旋 f 引的第三分量。但由于原子核壳层不饱和，尚有核自旋角动量聪现出来，许多理论 厶 指出此时j 与s 的耦合为主要贡献，因此在忽略核白旋自己与外强磁场作用时，哈密顿量 为： h = i s 1 s + x k s 其中k = i + l ，i 为核自旋量子数j 2 = ，( + 1 ) ，x 表示可调外磁场。通过解其本征值和 z 本征函数发现， i x o i = 1 时会出现简并现象。x 0 在复平面上，但无实数解，即只有磁场 为复数值时才会出现新的简并。这种简并是很新奇的，因为虽然有外加磁场，但是不会 发生z e e m a n 效应。其原因是来自， s 部分的贡献抵消了原来的线性作用b i n 部分引 起的分裂。这种现象来自多个角动量的互作用，是不能用李代数解释的。 在约2 2 0 c 、外加磁场约为1 5 0 0 高斯的”鼢蒸汽实验中分析出一种奇怪的简并行 为：在特定磁场值时，z e e m a n 效应造成的谱分裂消失。由以前多人的工作分析，在较 强磁场下，这时两个肋原子象结合成分子一样，形成电子自旋为s = 1 的键形式，而其 未饱和的核自旋的总合置与s 耦合和曰口s 则为主要贡献部分。于是在忽略电子间四极 矩互作用下，这种同核自旋置的单纯各向同性超精细作用用以下哈密顿描述： 1 h = h ( x ) = k 3 y ；+ x ( k - i - ) s ： 二 w h a p p e r 对上式的本征值问题已有详细的计算。简单的说，只有在x = - + 1 时， 才可出现简并( 与s = 妻时不同，现在x 为实数时出现简并) ，它是( 2 k + 1 ) 重简并的。 1 3 论文的主要研究内容 本论文主要研究如何用y a n g i a n 算子组成的算符消除量子体系简并的问题。我们知 道y a n g i a n 以其具有超出李代数范围的一种无穷维代数的结构特点，它可以组成在不同 态之间跃迁的升降算符，实现不同权重的量子态之间的跃迁。 本文的具体研究内容是运用所学的y a n g i a n 理论，通过计算和经验总结，猜测并设 计由y a n g i a n 算子组成的新算符，来消除上述模型的简并态。我们求解在特殊角动量下 上述模型的能量本征值、本征态，然后构造出由y a n g i a n 算子组成的1 4 , = 正或 已= 上上算符实现对其简并态的消除。并得到简并消除后的能级劈裂情况，进一步阐 明了y a n g i a n 算子的作用，使我们能更深入了解和掌握y a n g i a n 代数的性质和作用。 第二章铷金属原子的简并模型 2 - - 1 h o = 噌亏亏+ 置模型 由前面我们介绍的铷金属原子在沿z 轴恒定外磁场b 中的哈密顿量形式 在本文中我们将哈密顿量写成更为一般的形式： 风= 一g 云乏+ a 置 云为轨道角动量，云为自旋角动量。 此种模型中，在较强磁场作用下，两个铷金属原子象结合成一个分子一样，形成自旋角 动量为l 的键形式，即自旋j ：= 1 首先注意到：陋。，r 】i 口。，l ，】= o 其中l z = 乜。) 2 + 弛：) 2 ，厶= 薯+ 叠 所以r 为守恒量，l ，= 葺+ e 为守恒量子数。 2 - - 2 哦= 一g l i 亏+ e 模型的能量本征值及本征态 因为此模型的自旋角动量，：= 1 ，于是我们可以定义本征态为： i 中( ，m ) ) = 石l + 1 ，删) + 五i ，m ) + a i a 一1 ，m ) 将l 中( j 。，m ) ) 代入到定态薛定谔方程中： l 蚤( ，m ) ) = e i 西( j 。，m ) ) 利用： 一。, 一l 2 = 三( r 一日一墨) 稿三，i ) = 埘i ，州) “r l j ，m ) = j ( j + 1 ) i j ，m ) 通过求解能量的本征方程，可知： 当彳= ( + 吉) 时，e = 圭。与几埘无关，出现了量子简并态。 其中名：兰，e ：鱼。 gg 并且可以得到e j ；时的简并本征态： 当彳= j ；+ 1 n 寸，波函数为： i o ( j l ，m ) ) = ( 2 j l ( ，。+ 1 ) ( 2 - 2 r e + 1 ) ) 畸 ( ( ，1 一m ) ( j a + 聊+ 1 ) ) ；i ，+ l ，m ) + ( ( 2 + 1 ) u l - m ) ( a 一所+ 1 ) ) i ，月7 ) 一( ( + 1 ) ( 一州+ 1 ) ( _ ，。+ 埘) ) l j 。一1 ，m ) ) = ( ( 2 j + 1 ) ( 2 ，。一2 州+ 1 ) ) ( ( 一聊) ( 工+ ) ) 5 l 工，卅一1 ) l l ，1 ) + 互( ( 一聊) ( 一m + 1 ) ) 5i ，m l l ，0 ) 一( ( - - m + 1 ) ( j l + m + 1 ) ) l ，m + l l l ，一1 ) 其中，m 的取值范围为：j ，+ 1 ，j 。一1 ，一，。其简并度为：2 + 1 。 当爿= 一( ，。+ 昙) 时，波函数为： i 甲( ，m ) ) = ( 2 j l ( ，l + 1 ) ( 2 j l + 2 m + 1 ) ) ( ( - m + 1 ) ( j l + 埘) ) i j l + l ，m ) 一( ( 2 ，；+ 1 ) ( ，。+ 埘) ( ，。+ m + 1 ) ) l ，。，) 一( ( ，。+ 1 ) ( ，。一埘) ( j 。+ m + 1 ) ) ；i ，。一1 ，埘) = ( ( 2 ，l + 1 ) ( 2 ，i + 2 小+ 1 ) ) 畸 一( ( ，。一研+ 1 ) ( ，+ + 1 ) ) ；l ，。，m 一1 ) l l ，1 ) + j ( ( ，。+ 埘) ( j 。+ m + 1 ) ) i j 。，脚) 1 1 ，0 ) + ( ( ，一埘) ( + 所) ) j i ，研+ 1 ) 1 1 ，一1 ) 其中，m 的取值范围为： ，l 一1 ，一( ，一1 ) ，一( ，+ 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其简并度也是：2 ，l + 1 为了便于描述本征态，下面我们就名= ，。+ ；和爿= 一( + ；) 两种情况下，y u 举j , = l ，2 时 能量本征态形式。 a 当彳= ，+ 土2 时： 1 ) 当- ，。= 1 时，由( 2 1 ) 得： i 中( 1 ，2 ) ) = 1 2 , 2 ) 阳，o ) ) = 下i ( 1 2 ，o ) + 打| 1 ，o ) 一压l o ，o ) ) 、，o 击( 1 ，一1 ) ) = 而1 ( 陪1 ) + 3 i l ，一1 ) ) 纠宣j t2 2 明，i m 喵l j 待： l 中( 2 ，3 ) ) = | 3 , 3 ) 懈1 ) ) = 甭1 ( 2 1 3 ，1 ) + 仰1 ) 一3 i l ，l ” o ) ) ：而1 ( 悱。) + 啡。) 一4 9 l l ，。” i m ( 2 ，一1 ) ) = 万1 ( 阳) + 捆2 ，一1 ) 一1 1 ，一1 ) ) i 巾( 2 ，- 2 ) ) = 去( 压1 3 ，- 2 ) + j 1 2 ，_ 2 ” b 当彳一( ”圭) 时： 1 ) 当，= 1 时，由( 2 2 ) 得： i v ( 1 ，1 ) ) = 而1 ( | 2 ，1 ) 一3 i l ，1 ) ) 。) ) = 去( 1 2 ，。) 一绋。) 一脚。” l 甲( 1 ，一2 ) ) = 1 2 ，- 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 2 ) 当j ，= 2 时，由( 2 2 ) 得： ，2 ) ) = 甭1 ( 铜3 ，2 ) 一5 1 2 1 2 ” l y ( 2 ，1 ) ) ：专( | 3 ，1 ) 一v r 5 2 , 1 ) 一| l ，1 ) ) 甲( 2 ，。) ) = 了1 而( 压舯) 一矗眇) 一铜l ，。” 屺一1 ) ) = 丽1 ( 2 阳) 一啡一1 ) 砷一1 ) ) y ( 2 ，- 3 ) ) = 1 3 , - 3 ) ( 2 6 ) 本章小结： 本章主要研究了铷金属原子模型的哈密顿量为风= 苫i 亏+ a 骂时，体系的能量 本征值及本征态，并且讨论了该物理体系在工，m 取不同的值时所对应的量子态。指出了 在一种特定的情况下，对于每一个能量本征值存在着2 ，。+ 1 重简并态，为了更清晰准确 的对此体系进行能谱分析，就需要我们运用某种手段将上述多重简并的量子态分开，即 使其能级发生劈裂。由我们所学的y a n g i a n 理论可知，若 入y a n g i a n 算符这个途径可 以达到这样目的，这正是本论文下一章所要研究的内容。 第- - ty a n g i a n 在甄：一g 亏亏+ a 置体系中的应用 3 一l y a n g i a n 理论简介 l ， = 7 ， 厶，以 = 7 ，以 以，【以，以】 = 等( l 厶一厶) t 也，【 ，上】 = 等( 止一t ，+ 1 _ ) 1 3 1 ：( 3 ) 原子中，就存在着这种砌馏如”对称性。除了可以描述物理体系的对称性之外，y a n g i a n 的另一个重要作用是它可以组成超出李代数范围之外，在不同量子态之间的升降算符。 y a n g i a n 算符及其组合实际上就是李代数空间的跃迁算符。李代数算子只能在同一个权 内变动，而y a n g i a n 却可以以一种特定的方式将不同权之间的态联系起来，它正是量子 力学中跃迁算子的推广。以h 原子为例，对于每个能量本征值，均有y a n g i a n 对称性， 对应着角动量的简并，由y a n g i a n 算子组成的角动量移动算子，将第n 个能级的角动量 实现从，到- 1 的跃迁。 y a n g i a n 包含了极为丰富的物理内容，不同的由y a n g i a n 算子组成的算符对应着不同 的物理实现，也就对应着不同的物理模型，所以y a n g i a n 代数在量子力学中的作用是不 容忽视的。 3 2 构造新算符 上一章我们学习了铷金属原子系统的哈密顿量为风= 一g i 乏+ 舡；，计算得到它 的能量本征态是2 ，+ 1 重简并的。为了更便于在讨论具体问题时进行能谱分析，我们需 要找到某种有效的途径使其能级发生分裂，消除简并对能谱的影响。再由上一节介绍的 砌馏缸 代数的有关性质，我们知道物，增加 代数恰恰为能谱结构的研究提供了强有力的 方法，它可以组成超出李代数范围以外，在不同量子态之间的升降算符。由上述这个性 质我们可以引入由y a n g i a n 生成元组成的算符 h i = j 0 th 2 = j j 。 其中厶为y a n g i a n 代数算子 且有以；h 片+ 鸬置：( 茸置一鹾萱) ( 3 2 ) 我们知道= j + ，r = 上 因此就保证q ，皿是厄米算符，即研1 日，田= 以 此时整个体系的哈密顿量变为h = 夙+ 日，h = h o + 马 为了计算方便，利用 h l 上= 【m 片+ “：e + 尝( e e e 葺) “。茸+ 扰：互一鲁( 与骂一与葺) 】 = l i c ( 甜? 一h 4 2 。- 3 。- 3 ，, 1 + e 巧( 甜：2 一i h 2q 3 - 3 ) + c c 乱。“：+ 互h ( 茸+ 甜：置一“：) + h h 4 2 。1 3 ：一1 3 ：一1 ) 】 + e 百 甜。屹一i h ( 葺+ 屹骂一) + 等置( 茸一1 ) 】 ( 3 3 ) 也= 上以= “。茸+ “：与一皇( 百骂一五日) 】 “。片+ “：e + 宝( 日e e 茸) = c c ( u ；一等置跏与e ( 一等鞫 + 与e “。一i h ( 茸+ “：骂+ 毪) + 等葺( 置+ 1 ) + c c 甜：+ i h ( “。茸+ 甜：置+ 甜。) + 等置( 日+ 1 ) ( 3 4 ) 3 - - 3q = ，+ 上时，简并态的消除 为了消除风= - - g i 亏+ 置系统的简并态，我们将构造的新算符啊= 以正作用在 f ，0 体系的简并的能量本征态上，并假设巩的本征态仍然是e = 上的本征态，为了满 足这样的限制条件，得到了对嘶，r 2 的限制，从而实现对风体系简并的消除。 若l ( ，m ) ) 为h o 的本征态，要求i 中( ，卅) ) 仍为h i = 正的本征态。 于是，可以令r ( ，) 为q 的本征值 即得到：止i 西( ，) ) = r ( j l ，m ) l 西( j l ，m ) ) ( 3 5 ) 第一种情况：当丑= + ：i 时，i 中( ，m ) i r ( 2 1 ) 式 利用：9 1 j , 研) _ ”j 细) 三t i ，m ) = 口+ ( ，m ) l j ，m 1 ) 其中，口。( ，m ) = ( ( 千珊) ( 埘+ 1 ) ) 则将h 作用本征态j 巾u ，m ) ) 并要求满足( 3 5 ) ，可得如下本征方程： ( 并一m 2 + + 3 m - 2 ) u ? + 2 u ；+ 2 ( 一聊+ 1 ) 砧1 甜2 + h ( m 2 一 脚+ ，l 一2 聊十1 ) u 1 - - 了h 2 ( m 2 + 并一m + ) = 尺 ( ，? 一m 2 + ，。+ m ) ”；+ 2 “2 2 - - u l “2 + h 2 m j l + 2 m 2 一j 1 ) 甜， 一i h ( + m - 1 ) ：+ 了h 2m ( j z + 1 - m ) = r ( 笄一m 2 + 正- r e ) u ? + 2 ( m - j o u l 甜2 + h m ( m j 1 ) u _ l + 矗( j l - m ) z f ：+ 等( 2 嘲+ m - m 2 - j ( 一 ) ：胄 为了计算方便，用( 3 ，6 ) 一( 3 8 ) 得： 2 ( 2 m 一1 u ? + 2 u ；+ 2 ( 2 j 1 2 m + 1 ) u 1 u2 + ( ，l 一2 川+ 1 ) “i + 向( ，”一1 ) “2 一h _ 2m ，1 ：0 用( 3 6 ) 一( 3 7 ) 得： 2 m 甜? + 2 “；+ ( 2 j 。一2 m 一1 ) “。“：+ 姿，。( 4 m 一1 ) “。 ( j ，一m + 1 ) = 0 2 ( u 1 一u 2 ) 2 + _ h - 2 ( + 1 ) ：( 2 工+ 1 ) 矗陋2 一( 2 m - 1 ) “1 】 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 由于计算( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 方程组求解“，u 2 的一般解的形式相当复杂，本论文在这里运用 计算机辅助工具m a t h e m a t i c 软件来帮助求解，将m ， 的具体数值代入( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 中 得到，1 , 1 2 ，r 的解，下面为了说明方便只列举出j ，= 1 时能级分裂的情况进行说明，其他 ，。= 2 ，。= 3 的情况见附录： tj 生4 络 + 酌 摊 0 1 _ 一 砷 文 3 ( 一 卜 m 矗一2 “ + 田 当j = l 时： h ( 争鸬( 争 月( 嬖)“一鸬( 昙) m = 20111 埘= 02032 m = - 111o2 m = 0 巩作用 能级劈裂示意图 13 h 2 “ 22 i 1h 2 22 h 作用 第二种情况；当= 一( + 昙) 时，l 甲( ，m ) ) 取( 2 2 ) 式 则将h l 作用本征态i 甲( 五，m ) ) 并要求满足( 3 5 ) ，可得如下本征方程 ( 彳一m 2 + + 3 m 一2 ) u 2 + 2 u i 一2 ( j a + m ) u l u 2 + 向( 埘2 + ，砚+ 埘一 ) “。一等( 朋2 + 彳+ 一m ) = r ( 笄一聊2 + 五+ m ) u 2 + 2 甜；一“，“：+ 尝( 一m ) u 2 + h ( 2 m 2 - 2 ，嘲- 2 m + + 1 ) 地一i h 2 川( + 朋) = 月 ( j ? 一m 2 + j l m ) 乱；+ 2 ( j 1 + m + 1 ) u a u 2 + 矗m ( + m + 1 ) m 1 叫 + m + 1 ) “：一等( 片+ m 2 + 2 嘲+ + 聊) = r 用( 31 2 1 一( 3 1 4 ) 得： ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 2 ( 2 m 1 ) u i + 2 u ；一2 ( 2 j , + 2 m + 1 ) u a u 2 一h ( 2 m + 工) + 矗( 工+ m + 1 ) u 2 + 嬖m ( + 1 ) ：o 用( 3 1 2 ) 一( 3 1 3 ) 得： 2 优z 彳+ 2 u ；一( 2 工+ 2 m + 3 ) u l “2 一h ( 4 m j l 一五+ 4 m 一1 ) + 尝( 3 工+ 小+ 2 ) + 等研+ 嘲+ + 研) = 。 用2 ( 3 1 3 ) 一( 3 1 2 ) 一( 3 1 4 ) 得： 2 ( i 1 1 - u 2 ) 2 + 嬖工( + 1 ) ：一( 2 _ + 1 ) 阻：一( 2 m 1 ) 毡】 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 同理通过计算( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 方程组求解u 1 ，“：，在这里我们只列举出，= 1 时，“：，r 值的情况进行说明，其他 = 2 ，。= 3 的情况见附录 当j = l 时： “( 争鸬( 争 r 芒)“一鸬( 昙) m = 12032 m = 0152 04 m = 一202o2 m = 0 巩作用 能级劈裂示意图 1 5 三+ 1 0 2 13 j _ 22 l q 作用 3 4 4 = 止时，简并态的消除 为了消除峨= 一g l , 亏+ 五置系统的简并态，我们还可以构造另一新算符4 = 以以 作用在风体系的简并的能量本征态上，由上一节对啊= 以上的讨论，同理，当红= 上山 时，我们仍假设凰的本征态也是h 2 = t - 1 + 的本征态，从而得到对, 。，“：的限制，再次实 现对风体系简并的消除。 若1 中( ，m ) ) 为h 。的本征态，要求1 巾( ，砌) 仍为h 2 = 上以的本征态。 于是，可以令r ( ，m ) 为皿的本征值 即得到：上1 中【九m ) ) = 斟( 矗m ) l 巾( ，。，确) 第一种情况：当a 。= + ：时，中( ，m ) ) 取( 2 1 ) 式 则将h 2 作用本征态i 中( ，砌) 并要求满足( 3 1 8 ) ，可得如下本征方程 ( 3 1 8 ) 一m 2 + + m ) u ；+ 2 ( 一m + 1 ) u l 材2 一h ( j l m + 1 ) u 2 ，( j l - m + l h 一譬( 小并一2 嘲一m “ 。1 9 一m 2 + j l m ) u ? + 2 u ； + h ( 2 m + 2 疗t ，。+ 2 历+ ， 一“l 甜 + 1 ) u 1 ( 彳一m 2 + 工一3 m 一2 ) u i + 2 + 2 ( m - j 1 ) u l u 2 + ( 脚2 一嘲一z + m ) 嘶一等( 聊2 + 彳+ + 掰) = r 用( 3 1 9 ) 一( 3 2 1 ) 得： 2 ( 2 m + 1 ) u 一2 u ；+ 2 ( 2 - 2 m + 1 ) u l “2 + 矗( - 2 m ) u 1 州聊一工- 1 心+ 手脚( j l + 1 ) = 。 用( 3 1 9 ) 一( 3 2 0 ) 得 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 皿 m 聊 一 + u m 砖拦4 2 m “卜2 甜：2 + ( 2 j 。一2 m + 3 ) “。“：+ i h ( 埘一3 j 一2 ) “： 一拿( 4 删 + 4 川+ ，1 + 1 ) “一_ h _ 2l ，2 一川，+ 一蜥) = 。 用2 ( 3 2 0 ) 一( 3 1 9 ) 一( 3 2 1 ) 得： 2 ( 一毪) 2 + i h 2 ( + 1 ) = 一( 2 + 1 ) 城村：+ ( 2 m + 1 ) 甜。 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 同理通过计算( 3 2 z ) 和( 3 2 3 ) 方程组求解“，在这里我们只列举出，l = 1 时，“：，r 值的情况进行说明，其他，。= 2 ，。= 3 的情况见附录 当j = 1 时： m ( 争肫( 争 尺r ( 嬖) “一鸬( ! ) 辫= 2o，2o2 m = 0152 04 m = - 12032 = 0 巩作用 能级劈裂示意图 第二种情况：当= 一( + i 1 ) 时，l 、王，( 办m ) ) 取( 2 ，2 ) 式 ! + l o 2 13 h 2 _ l 一 22 l 以作用 则将h 2 作用本征态1 、壬，( ，m ) ) 并要求满足( 3 1 8 ) ，可得如下本征方程 ( 斤一m 2 + 工+ m ) 甜i 一2 ( j l + 埘) 甜l 村2 + h m ( m + j 1 ) u l + 矗( + 埘) 甜：一等( m 2 + 井+ 2 ，峨+ + m ) = r ( 彳一聊2 + j l m ) 材；+ 2 遽- - u l u 2 + h ( 2 m 2 2 m i x j 1 ) q h ( j i - m + 1 ) 甜：一等珊( 五+ 聊+ 1 ) = r ( 彳一聊2 + - 3 m - 2 ) u ；+ 2 u ；+ 2 ( + m + 1 ) “1 “2 + 五( m 2 + 璎，l + 2 m + + 1 ) 一等( 斤+ m 2 + + m ) = r 7 用( 3 2 5 ) 一( 3