（概率论与数理统计专业论文）带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性.pdf

f ，、j i - 苏州大学学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属 在年一月解密后适用本规定。 非涉密论文固 论文作者签名：至拯日 导师签名：邀! 出生 日期：加f 口t 乒 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性 中文摘要 中文摘要 随机和的尾概率的渐近性在网络通信、风险理论、地震保险、排队论、分支过程 等领域有着广泛并且重要的廊川，长期以米受到众多学者的关注，取得了丰富的成果 令 x ，x k ，k 1 ) 为支撑在r 上的随机变量列，共同的分布函数为f ( z ) ，7 - 为独立于 x ，兄，k 1 ) 的非负整值随机变量，分布函数为b ( z ) 在相当长的一段时问内，人 们的注意力主要集一i t 在x 的尾概率比7 的尾概率重的情形近期，f a y 等( 2 0 0 6 ) 以网 r 络通信为背景，在丁的尾概率比x 的尾概率重的情形下，通过随机和鼻= e 扎的 尾概率的个渐近等价式，得到了舅属于正则变化族的充分条件和必要条件不久， r o b e r t 等( 2 0 0 8 ) ，a l e 苦k e v 谶e n 6 等( 2 0 0 8 ) 及z h a n g 等( 2 0 0 9 ) 从一个方向做了推广：在 丁是一致变化的条件下，得到渐近等价式p ( 鼻 z ) 一p ( 7 - x e x ) ，r hj j ：l 得出肆也 是致变化的，此即给出肆属于一致变化族的一个充分条件受上述学者的启发，在 一定的条件下，对支撑在全空问上的n o d 随机变量列_ 【x ，x k ，k 1 ) ，我们得到了同 样的渐近等价式，进而得到耳属于一致变化族的充要条件此外，在7 - 具有长尾和控 制变化尾时，我们也得到了肆的渐进等价式 关键词：渐近性，随机和，重尾分布，n o d 列 作者：李娜 指导老师：成风吻 英文摘要带重尾项数的随机和的尾概率的渐近， 生 t h ea s y m p t o t i c sf o rt h et a i lp r o b a b i l i t yo fr a n d o m s u m st i t hh e a v yt a i l e dr a n d o mnumbersumsw i t hh e a v y - t a i l e dr a no mh u me r s a b s t r a c t i t i sw e l lk n o w nt h a tt h ea s y m p t o t i c sf o rt h et a i lp r o b a b i l i t yo fr a n d o ms u m s h a v ew i d ea n di m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nt e l e t r a f f i c ，r i s kt h e o r y , e a r t h q u a k ei n s u r a n c e ， q u e u i n gt h e o r y ，b r a n c h i n gp r o c e s st h e o r ya n ds oo n r e s e a r c h e r sh a v ep a i dm o r e a t t e n t i o nt ot h e ma n dm a n yr e s u l t si nt h i sf i e l dh a v e b e e no b t a i n e d l e t z ) 一p ( 7 x e x ) ，a n dt h e n s ti sc o n s i s t e n t l yv a r y i n g t h i sg i v e sas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rs fb e l o n g i n gt ot h e c l a s so fc o n s i s t e n tv a r i a t i o n i n s p i r e db yt h e m ，u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，f o rn o d r v s x ，k 1 ) s u p p o r t e do nr ，w eg e tt h es a m ea s y m p o t i c se q u i v a l e n c eo fs ， a n dt h e na c q u i r et h en e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o r 舅h a v i n gc o n s i s t e n t l y v a r y i n gt a i l w ea l s oo b t a i nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs tw h e n ，rh a sl o n g - t a i l e da n d d o m i n a t e dv a r y i n gt a i l k e y w o r d s ：a s y m p t o t i cb e h a v i o r ，r a n d o ms u n l s ，h e a v y t a i l e dd i s t r i b u t i o n ，n e g a t i v e l y o r th a n td e p e n d e n t i i w r i t t e nb yl in a s u p e r x i s e db yp r o f c h e n gf e n g y a n g 目录 第一章引言1 第二章若干概念及已有成果回顾4 2 1 常见负相依的概念4 5 2 2 常川的重尾分布族5 2 3 已有成果回顾及本文动机6 第三章随机和的尾概率的渐近性8 3 1 本文主要结论8 3 2 若干引理1 1 3 3 定理3 1 的证明1 3 3 4 定理3 2 的证明1 5 第四章总结1 8 参考文献1 9 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性 第一章引言 第一章引言弟一早丁i 函 令 x ：x 七，k 1 ) 为支撑在瓞上的随机变量列，有共同的分布函数f ( x ) = 1 一 f ( z ) ，且有正值期望r 为独立于 x ，x k ，k 1 ) 的0 仁负整值随机变量，分布函数为 r b ( z ) 我们称肆= 玩为由 x ，k 1 ) 和7 牛成的随机和，其分布函数为 七= 1 h ( x ) = p ( 肆z ) 随机和的尾概率在网络通信、风险理论、排队论等许多虑j i j 概率领域l i - 发挥了重 要作门 ，受到众多学者的关注长期以来，人们的注意力主要集i l i 在x 的尾概率比丁 的尾概率重的情形，c h o v e r 等( 1 9 7 3 ) ，r u d i n ( 1 9 7 3 ) ，e m b r e c h t s 等( 1 9 7 9 ) ，c l i n e ( 1 9 8 7 ) ， w a n g 等( 2 0 0 7 ) 以及w a t a n a b e ( 2 0 0 8 ) 等做了大量的t 作，取得了丰富的成果，最近 y u 等( 2 0 1 0 ) 在x 为长尾，7 - 为轻尾的条件下证明了下面三个命题等价： ( a ) f ( z ) 5 ； ( b ) 熙锱= e r ； ( c ) h ( x ) s 人们注意到，当x 的尾概率比丁的尾概率重时，舅的尾概率的渐近性是由x 的尾概 率决定的 近年来，在网络通信等应j 1 j 领域i 。卜的一些数据显示出诸多领域广泛存在着x 为轻 尾，肆为重尾的情形w i l l i n g e r 等( 1 9 9 5 ) 在研究局域网络通信单源时给出了开时和 关时的时长( o n a n do f f p e r i o d s ) 具有重尾性的结论；c r o v e l l a 和b e s t a v r o s ( 1 9 9 6 ) ， c r o v e l l a 等( 1 9 9 6 ) ，l e l a n d 等( 1 9 9 3 ) t ：l j 也分别给出了万维网r f i 传输文件的长度、传输 时间和闲时具有重尾特性的依据同时，在地震保险，排队理论等其它领域同样存在类 似的重尾特性 f a y 等( 2 0 0 6 ) 以网络通信为背景，在7 - 的尾概率比x 的尾概率重的情形下，从两 个方向详细讨论了随机和尾概率的渐近性得到在7 - 是正则变化时，渐近等价式 尸( s z ) 一尸( 7 x e x ) 成立，由此推出鼻也是正则变化的( 【1 9 】，命题4 3 ) ；反之，在已知s 是正则变化时 1 第一章引言带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性 也得到了渐近等价式( 1 1 ) ：进而得出7 是正则变化的( 【1 9 】：命题4 9 ) ，这两个命题实 际上给出了肆是正则变化的充分条件和必要条件r o b e r t 等( 2 0 0 8 ) 的定理3 1 和定 理3 2 以及a l e 岿k e v i 6 i e n 6 等( 2 0 0 s ) 的定理1 2 将f a 妒等的命题4 3 推广到一致变化 族( 严格包含正则变化族) ；柏对于先前要求随机变量列 x ：x k ，k21 ) 独立同分布 以及支撑为r + ，z h a n g 等( 2 0 0 9 ) 讨论了 x ，x k ，惫1 ) 为n a 随机变量列并且支撑 在酞上的情彤，证明了7 _ 是一致变化时，渐近等价式( 1 1 ) 仍然成立：进而得出鼻也 是一致变化的 受上述学者的扁发，本文的主要工作是将命题4 9 推广到。致变化族，进而得到了 研属于一致变化族的充要条件另外，在 _ 具有长尾和控制变化尾时，我们也得到了 研的渐进等价式 为此，我们在第二章首先介绍了若干常见负相依以及重尾分布族的概念，然后回 顾了该领域的已有成果，并由此给出本文的动机；笫三章给出了本文的丰要结果及其 证明；最后第四章列出些作者认为有待进一步研究的问题 若无特别声明，本文i i ：- 的极限均指x _ o 。为了介绍相关概念，我们先给出些 记号记& = ex k ，礼1 令p n = p ( t = 扎) ，礼= 0 ，l ，2 ，随机和品的分布 k - - - - 1 o o 函数为日( z ) = p ( s z ) = e f 栅( z ) 对任意实数y ，刚【y 】表示弓y 相等或 比y 小的最大整数设，( z ) ，g ( x ) 为定义在肽上的函数：若l i r af ( x ) g ( x ) = 1 ，则记 f ( x ) 一夕( z ) ；若l i r a s u pf ( x ) g ( x ) 南 xp 。随 k zxp 第二章若干概念及已有成果回顾带重尾项教的随机和的尾概率的渐近性 定义2 3称随机变量x 和y 是n q d 的，若对仃意的z ：1 r 有 尸( x z ，y y ) 尸( x 0 使得e e 。x 0 有 1 i m 刿：1 ： 。一o o ，。( z ) 是一致变化尾的( 记为f ( x ) c ) ，若有 黔l i mi n 噼 i n 帮“，或等慨+ 黜l i m m s u p 错“； 是控制变化尾的( 记为f ( z ) d ) ，若对一切0 y 0 有 1 i m 墅型：犷口 z _ o c f ( x 】 称支撑在肽+ 上的随机变量x 或d f y ( x ) 是次指数的( 记为f ( z ) s ) ，若 1 i m 塑：2 t _ 。o ( z ) 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性第二章若干概念及已有成果回顾 其i | ip 2 ( z ) 为f ( x ) 与自身的卷秋称支撑在r 上的分布函数f ( z ) s ，若f + ( z ) = f ( x ) i ( x 0 ) s 众所周知以上重尾分布子族有如下关系： 7 已ccc n 口cscc 其中，冗= u 佗一q 另外，我们引入下面的记号：对d f f ( x ) 以及常数y 0 ，令 q f ：l i m - l o - g f 一, ( y ) ， y - - - + c o 1 0 sy 其i l l 弛) = l i m i n f 铬 z _ o o1 个l 在b i n g h a m 等( 1 9 8 7 ) 的术语1 1 1 称o f f 为函数1 f 的上马氏指数，t a n g 等( 2 0 0 3 ) 中也将其称为d f f ( x ) 的上马氏指数，并在其引理3 5 ，1 t 证明了：若d f f ( x ) d ， 则对任意q o l f ，有下述结果： z 咄= o ( f ( z ) ) 2 3已有成果回顾及本文动机 ( 2 3 ) 如前所述，随机和尾概率的渐近性在网络通信，风险理论以及分支过程等方面占 有极其重要的地位，随着人们的不断研究，已经取得了许多丰富的成果e m b r e c h t s 等( 1 9 7 9 ) 的定理3 首先给出了x 的支撑为r + ，丁服从泊松分布时的结果： 定理2 a 令 x ，x k ，k 1 ) 为独立同分布的非负随机变量列，共同的分布函数为 f ( z ) ，丁服从泊松分布，且与 x ，x k ，k 1 ) 独立：令h ( x ) = 尸( 鼻z ) ：则以下三者 等价： ( a ) f ( x ) s ； ( b ) 熙锱= e 丁； ( c ) h ( x ) s c l i n e ( 1 9 8 7 ) i ：- 定理2 1 3 将上述定理推广到7 为轻尾的情形，p a k e s ( 2 0 0 4 ) 进 5 第二章若干概念及已有成果回顾带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性 步推广到x 的支撑为全空间的情形 定理2 b ( p a k e s ，2 0 0 4 ，定理5 1 ) 设f ( z ) 为支撑在r 上的分布函数，且f ( x ) c ， 若对某个g - 0 有 p n ( 1 托) n z ) 一耳( 击) 一( e x ) a 耳( z ) 定理2 d 令 x ，溉，k 1 ) 为独立同分布的非负随机变量列，共同的分布函数 为f ( z ) ，丁为与 x ，x k ，k21 ) 独立的非负整值随机变量，分布函数为只( z ) 设 s 冗一a ，e x z ) ) 若q = 1 且e s = ，则要求 z f ( z ) = 0 ( 尸( 鼻 t ) ) ，贝ub ( t ) 冗一a 且 p ( s z ) 一( e x ) 口b ( 3 ) 2 0 0 8 年，a l e 苦k e v i 邑i e n 6 等( 2 0 0 8 ) 将定理2 c 的结果推广到e 族情形( 详见 3 】? 定 理1 2 ) 与此同时，r o b e r t 等( 2 0 0 8 ) 也得到了类似的结论，此外还讨论了7 的期望不 6 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性第二章若干概念及已有成果回顾 存在时，渐近式( 1 1 ) 成立的条件 定理2 e ( r o b e r t ，2 0 0 8 ，定理3 2 ) 令 x ，x k ，k 1 ) 为独立同分布的非负随机变 量列，共同的分布函数为f ( z ) ，7 为与 x ，x k ，k 1 ) 独立的整值随机变量，其分布 函数b ( z ) c ，若对某个r 1 有e x o o ，且有以下条件之。成立 条件l ：e t z ) ) ，因此脚等( 2 0 0 6 ) 分成两个命题来叙述，由此启发我们思考：在c 族 是否存在类似的充分条件和必要条件，进，一步能否在统一的条件下得到肆c 的充 要条件? 本文给出了肯定的回答，并得到了鼻的渐近等价式另外，本文在7 c n 口 时也得到了舅的尾概率的渐近性 7 第三章随机和的尾概率的渐近性 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近 生 第三章随机和的尾概率的渐近性 3 1 本文主要结论 受f a y 等( 2 0 0 6 ) l l - 命题4 3 和命题4 9 的扁发，当7 的尾概率比x 的重时，我们 在更大的分布族( c ) - j ，讨论定理2 d 成立的条件，进步得到如下的等价形式 定理3 1 令 x ，x k ，七1 ) 为同分布n o d 的随机变量列，满足e x 0 ，共同的分 布函数为f ( z ) 7 - 为独立于 x ，x 七，k 1 ) 的非负整值随机变量，分布函数为b ( z ) 若以下两个条件之一成市： ( i ) e 7 x ) = o ( p ( r z ) ) ； ( 3 1 ) ( i i ) e 7 = ，且对某个r 1 ，2 1 ，e i x i x ) 一尸( r x e x ) ( 3 3 ) 注3 1 定理3 1 只得到( a ) 一与( b ) 等价，对比定理2 a ，我们发现，在x 的尾概率重 于下的尾概率时，人们得到了三个命题的等价性；而在x 的尾概率轻于7 - 的尾概率 时，我们只能得到( a ) 与( b ) 二者等价下面我们举一个例子 ，ae 刃t ，在下的尾概率重的 情形下，( 3 3 ) 不能推出( a ) 或者( b ) 例3 1 令随机变量x 服从在正数p 点的退化分布，即p ( x = p ) = 1 ，则e x = p o ； 丁为任意有无界支撑的非负整值随机变量显然，这样给出的两个变量使得渐近式( 3 3 ) 成立： 尸( s r a ) = p n 尸( s 1 z ) = p ，1 p ( 7 1 p z ) = m = p ( 丁 去) 8 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性第三章随机和的尾概率的渐近性 但由( 3 3 ) 不能得到( a ) 或者( b ) 由定理3 1 我们立即得到下面个推论 推论3 1令 x ：x k ，k 1 ) 为同分布n o d 的随机变量列，满足0 e x ，共 同的分布函数为f ( z ) 7 为非负整值随机变量，分布函数为b ( z ) x ，x k ，k 1 ) 与 丁独立且满足( 3 1 ) 式若( a ) 或( 1 ) ) 之一成立，则对仃意的p 1 ，下面两者等价： ( 1 ) e 妒 o o ； ( 2 ) e 肆，( 肆o ) 】p 0 ，且对某个1 r 2 ，e i x l 7 x e x ) 注3 2由c h e r t 和z h a n g ( 2 0 0 7 ) 的引理2 2 知，若b ( z ) c 则对所有的g ( x ) = o ( x ) 有 兰二丝尘2 2 - - 4 1 f ，( z ) 故c 族包含于定理3 2 巾满足条件( a ) 的n 刃族 3 2 若干引理 本节给出定理证明l | j | j 到的几个引理第。一个引理米自t a n g ( 2 0 0 6 ) 的引理2 3 引理3 1 令 _ ) ( ，x ，k 1 ) 为同分布n o d 的随机变量列，满足e i x i 1 ， 共同的分布函数为f ( z ) ，则对每个固定的，y 0 及p 0 ，都存在与：e ，7 z 无关的正数 9 第三章随机和的尾概率的渐近性带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性 u 和c ( u ，7 ) ，使对所有的z 7 n 及佗= l ，2 ，都有 尸( & 一礼p z ) 礼p ( x p u z ) + c x p 下面的引理来自t a n g ( 2 0 0 6 ) 的推论3 1 引理3 2令 x ，x 南，k 1 ) 为同分布n o d 的随机变量列，均值为0 ，共同的分布 函数f ( x ) d 则对每个固定的7 0 ，存在c = c ( 7 ) ( 与x ，扎无关) ，对所有的 z y n 都有 p ( & z ) c n f ( x ) 下面的引理是a s a d i a n 等( 2 0 0 6 ) 关于r o s e n t h a l 不等式的推论2 2 引理3 3设 虬，k 1 ) 为n o d 的随机变量列，令l t 2 ，p t 若e x k = 0 ， 忌= 1 ，2 ，礼，则存在仅依赖于t ，p 的正常数c ( t ，p ) ，使得下式成立： e i & i p c ( t ，p ) ( ，n + 磁) ， 其卟t 以，竹= e l 虬一 七= 1 注3 3令引理3 3r f l 的t = p ，则立即可得：对1 p 2 ，存在仪依赖于p 的正常数 c ( p ) ，使下式成立： e i s i p c 仞) e i x 七l p ， 知= l 下面给出关于n o d 随机变量列的个性质，是定义2 1 的直接推论，由b l o c k 等( 1 9 8 2 ) 给出 引理3 4设随机变量列 x k ，k 1 ) 是n o d 的，若实函数列 a ( ) ，k 1 - 同为 甲调增或单调减函数，则 ( x 七) ，k 1 ) 仍然是n o d 的 3 3 定理3 1 的证明 显然：( a ) + ( 3 3 ) 弓( b ) ；( 1 ) ) + ( 3 3 ) 暑( a ) ，所以我们只需证明( a ) 弓( 3 3 ) 及( b ) 奢( 3 3 ) 首先证明( b ) 爿( 3 3 ) ，为此，我们只需证 1 i m i n f 耥扎 ( 3 4 ) 1 0 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性 第三章 随机和的尾概率的渐近性 及 n m 8 u p 貉q 魈i e ( 3 4 ) 对仃意给定的6 ( 0 ，1 ) 和z 0 ，我们有： p ( 肆 z ) = p ( & z ) p ( 丁= 佗) p ( & z ) p ( 丁= n ) n = l n ( 1 + 6 ) x e x ( 3 5 ) 对任意给定的e 0 ，由m a t u l a ( 1 9 9 2 ) 的定理1 知，存在z 1 0 ，使得对所有的a t , x l 及n 紫一 睁s n 一而6 e x e x u l y a ) 1 吒 (360 ) p ( 一一 一= _ 1 ) 一，( ) nj 十 因此，当x z 1 时 p ( 跏z ) p ( s 佗n 而e x ) p ( 丁= 礼) n ( 1 + 6 ) x e x = p ( 鲁一e x 一篇麒丁刊 n o + 6 ) z e x ( i - - z 以丁 警) 由 0 的任意性得到 ，i m i n r 嚣罨狙， z _ o 。p ( 丁 号筹竺) ( 3 7 ) 由鼻c ，我们有： - i z m + i 。n f 黼= + l 。i 上m 。i 。m 斗i 。n r 可夏三 ! 等；己糟1 ( 3 4 ) 得证下证( 3 5 ) ，我们有： 尸( 鼻 。) p ( 晶 x ) p ( r = 礼) + p ( t ( 1 6 ) x e x ) ( 3 8 ) n x ) p o = n ) = 。( p ( 舅 圳， ( 3 9 ) n 【( 1 - 6 ) x e x 】 则由( 3 8 ) ，( 3 9 ) 立即可以得到 ，i m i n r 生榉扎 1 1 第三章随机和的尾概率的渐近性 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性 结合条件( b ) ，我们就可以得到( 3 5 ) i z n 呻8 1 1 pz 鼢= l 。i 。m 。n i z n _ s 。u pz 可夏三端兰等暑毛；署1 所以我们只需要证明( 3 9 ) 首先：我们考虑情形( i ) ：e t x ) = p ( x z )p ( 7 x ) 尸( 7 _ z )p ( 毋 x e x ) d ( 尸( 肆 z ) ) 1 p ( s 讯r _ x _ e r x ) p ( 鼻 z ) p ( 爵 x ) 、7 下面我们构造个具有。致变化尾的n o d 随机变量列 x 7 ，冠，后1 ) ，且满足 p ( x x ) p ( x 7 z ) = d ( p ( s i z ) ) ( 3 1 0 ) 不失一般性，我们假设f ( x ) 是连续的，否则f ( x ) 可由f 木c ( x ) 替换，其叶，g ( x ) 服从指数分布：g ( z ) = ( 1 一e - x ) i ( x o ) ，于是f 木c ( x ) 是连续的，且f ：l cg ( z ) = d ( p ( s z ) ) 因尸( x z ) = d ( 尸( 鼻 z ) ) ，由f a 妒等( 2 0 0 6 ) 引理4 4 ，存在非降的慢 变函数l ( x ) 满足 m ) _ ，嚣蓦m m 于是存在z 7 0 ，使对所有的z 茁7 有 令 以及 郴 奶茅1 - ，( z ) 1：0 z，l(x 、 。 二“， f 卜1 ( y ) = i n f t r ：f 7 ( f ) 可) ，o y 1 其一j if 他) = 1 一- p , ( f ) 冉令 x ：= f 卜1 ( f 7 ( x ) ) ，k = 1 ，2 ， 易知p ( x 7 x ) = f ( z ) ，且f k l ( f 7 ( 妊) ) 非降由引理3 4 知：义；，墨，仍为同分 布的n o d 列，并且x k x ：，七1 记& = x i + + x ：，则对所有的x o 以 12 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性第三章 随机和的尾概率的渐近性 及n l ，有p ( 5 i n x ) 尸( 。 z ) 显然，我们有： p ( x ) l f l - 6 ) x e x 】f ( 1 - 6 ) x e x 】 p ( 最 x ) p ( t = n ) + p ( 5 i n z ) p ( 丁= 咒) n = 1 t l = 【( 1 6 ) z i e x 1 + 1 全p 1 + p 2 ( 3 1 1 ) 由引理3 2 知：存在与z ，仡无关的正数c ，使得对所有他势( 即z 器几) 有 p ( 叉 z ) 尸( & 一n e x 7 6 z ) c n - ，( 6 z ) ， 成立，然后结合( 3 1 0 ) 及肆c 可得 【( i - 6 ) z e x 7 】 p 1 c n p ( t = 扎) _ ，( 妇) 7 t = 1 c e 7 _ - ，( 如) = d ( p ( 鼻 z ) ) ； 另外，由m a t , u l a ( 1 9 9 2 ) l - i j 的定理l ，对所有礼 百( z - 5 ) z 有 于是 n l _ i r a 。is几nex两6ex)im p ( me = 0 ， 一 = _ - ) ：， n _ o 。几 上一o 。 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 邸k 1 。篓p ( 鲁- - 两6 e x e x ) p ( 丁刊p 2 p ( 詈砺) 尸( 7 - = 礼) n = l ( 1 - 5 ) x e x 】+ 1 。 。 d ( 1 ) 瓦( 警) ， ( 3 1 4 ) 冉由( 3 4 ) 及s cc 矽：我们有 由此即得 hn18llp鬻(1-6)x、 z ) p ( r = n ) n 【6 土e x 】n = 【如e x 】+ 1 全科+ 厦 由舅cc 勿，m a r k o v 不等式以及注3 3 ：存在仪依赖于7 的正数c ，使得下式成立 p ： p ( & 一n e x ( 1 6 ) x ) p ( t = 礼) n 【如e x 】 篱叫r 刊 c e i x e x l 7 e 【7 - j ( 7 - 轰) 】 一可f 酉矿一 = 等1南勰篆高器哿叫跏z ，( 一6 ) ( e x ) r ( 轰) 7 p ( 7 - 轰) 尸( 舅 6 z )尸( s ； z ) 。、“77 叫 = d ( p ( s z ) ) ； ( 3 1 5 ) 另万回，利川( 3 1 3 ) 我们得到 旌= p ( & z ) p ( 丁= 死) 【1 。fp c 篙) p ( 丁刮 竺) p ( 7 - ：n ) 一- 、 1 一石7 、 7 n = 6 x e x + 1 。1” ：h 卜f n 一 两6 e x ) p ( p ( b o e x o e x a ) ： f一 ) 尸f 7 ：钆1 一 1 一，、 7 n = 6 x e x + 1 1。 。( 1 ) p ( 7 - 丽o f f ；) ， ( 3 1 6 ) 于是由( 3 4 ) 及s ccd 容易得到 p ：= o ( p ( 鼻 z ) ) 结合( 3 1 5 ) 得到( 3 9 ) 下证( a ) 爿( 3 3 ) ，其证明方法类似于( b ) 号( 3 3 ) ，我们只叙述概要如下： 由( 3 7 ) 及b ( ：r ) c ，g , pn - j i y 得( 3 4 ) ： - l 臻l l _ l l 塑l l f 耥= 船删 尸( 鼻 l ，) p ( 7 警) p ( 7 i 警) p ( r x e x ) 1 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性第三章随机和的尾概率的渐近性 为了证明( 3 5 ) ，只需证 p ( z ) 全 p ( 咒 z ) p ( 7 - = n ) = d ( p ( 7 - z e x ) ) ，( 3 1 7 ) n s 【( 1 一占) z e x 】 那么从( 3 8 ) 以及条件( a ) 立即可以得到( 3 5 ) ： n m z 一，s u p7 黼l 。i 工m 。l i m z _ s 。u p ! 堑；专圭筹1 首先讨论情形( i ) ：e 丁 z ) 尸( x 7 z ) = o ( p ( r 。) ) ， 则构造的函数形式变为 f1 ：o z z，lclx ) 。 “二。 于是类似地可以得到 【( 1 - 5 ) x e x 7 】 p 1 c n p ( r = 枷y ( 如) 几= 1 c e t - f ( s x ) = o ( p ( 7 - x e x ) ) ：f i - 由( 3 1 4 ) ，一( z ) ccd 得至0 p 2 = d ( 尸( 丁 z e x ) ) ( 3 1 8 ) 结合( 3 1 1 ) ，( 3 1 8 ) ，即可得到( 3 1 7 ) 对于情形( i i ) = e t = o 。，由 硝p ( s n n e x ( 1 一a ) x ) p ( - r = n ) ) u 叫 7 = o ( p ( 丁 z e x ) ) ， 1 5 第三章随机和的尾概率的渐近性带重尾项数的随机和的尾概率的渐近i 生 止匕夕 ，由( 3 1 6 ) 及b ( z ) ccd 得 虎= d ( p ( 丁 x e x ) ) 结合以上的关系式( 3 1 7 ) ，定理3 1 得证 口 推论3 1 的证明： 对任意的p l ，若纠s ，( 肆o ) 】p 0 0 ，由( 3 7 ) 可得e t p o 。； 反之，若e - r p z ) p ( 丁= n ) n = 1 p ( s n x ) p ( r = 礼) n 【( z + ( 卫) ) e x 】 【( 1 + 5 ) x e x 】 ( + ) p ( 鼠 z ) p ( 7 - = 扎) ( 3 2 1 ) 采川类似( 3 6 ) 的证明，对任意给定的0 。1 ， 7 2 噼有 尸( 晶 z ) p ( 鲁一e x 一而s e x ) 1 一e ； ( 3 2 2 ) 由m a r k o v 不等式，注3 3 知，存在仪依赖于7 的正数g ，使得对所有的 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性 第三章 随机和的尾概率的渐近性 型e x 盟 z ) = p ( - 一n e x z n e x ) l p ( i s k n e x i n e x 一。) 1 一p ( 1 & 一n e x i 危( z ) ) 、1 e i & 一n e x 7 一 ( ( z ) ) r 】一c n e x - e x t 一 ( 九( z ) ) 7 1 一型磊h 器芈 e 炎li z ) ) 7 于是由条件( 3 1 9 ) 知，存在x 2 0 ，使得当z x 2 ，且掣 z ) 1 一； 由条件( 3 2 0 ) 知，存在x 3 0 ，使得对所有z z 3 有 ( 3 2 3 ) ( 1 一) 尸( 下 x e x ) ( z 士h ( x ) ) e x ) x e x ) ( 3 2 4 ) 联合( 3 2 1 ) 一( 3 2 4 ) ，对所有z m a x 1 ，z 2 ，x 3 ) 有 p ( 鼻 z ) ( 1 一e ) p ( r ( z - i - h ( x ) ) e x ) ( 1 一e ) 2 p ( 7 - x e x ) ， 于是( 3 4 ) 得证 下面证明( 3 5 ) 为此，首先讨论情形( i ) ：e 7 - 0 ，我们有以下分解式： p ( 鼻 z ) = ( + i ( x - h ( x ) ) e x 】 + ) p ( & x ) p ( r = 礼) 竹【( 1 5 ) z e x 】n = 【( 1 6 ) 。e x j + ln ( z h ( x ) ) e x 会k 1 + i z ) 的上马氏指数，由引理3 1 ，对所有佗唑e x及q a r ， 第三章随机和的尾概率的渐近性 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性 存在u 0 以及与z ，礼无关的c l 0 使得 硒。，( 尸( 品咄e x 列z ) + 矿去而) 竹钏) n l ( 1 - - a ) t e x 】 ”7 ，( n p ( x e x u 6 z ) + 百赫) p ( 7 - = 礼) n a v z ) 叭岳， 注意到b ( z ) 口，由( 2 3 ) 和条件( i ) ，我们有 l i i z n 一8 t l p 币鲫 ( 3 2 5 ) 由m a r k o v 不等式，注3 3 以及条件( 3 1 9 ) ，存在仅依赖于r 的正数c ，使得 p ( & 一n e x 九( z ) ) p ( 7 = n ) p ( 1 一n e x i ( z ) ) p ( 7 = 佗) k 加型删可e l & - 矿n e x i 砷刊 n = ( 1 - 5 ) x e x + l 、。、“77 n 三篆：，1 c n e i x 矿- e x i 竹刊 n = 【( 1 6 ) z e x 】+ 1 、r 。77 型锹砷(1卅zex 删一 f 尼f z ) 1 r v 7p 。，。， 结合b ( z ) d ，得到 h 嬲p 巧齑 z ) = ( + + ) p ( z ) 尸( 丁= 礼) n g x e x + ln ( z h ( z ) ) e x 全j 1 + 如+ 类似于( 3 1 5 ) 和( 3 2 6 ) 的证明，易得 n m z s u p 币毒丽鲰 0 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 口 高 p 云至旧m 俨 n 的 至 得 93 7 3川应 第四章 结论 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性 第四章结论 受近期些文献的巾发，在 x ，x 七；惫1 ) 为同分布的n o d 随机变量列的假设 前提下，当7 - 的尾概率比x 的尾概率重时我们得到了肆c 的允分必要条件，并得 到了舅的渐进等价式另外，在7 - 属于更广泛的分布族( c n d ) 时，我们也得到了肆 的渐近形式 但是，本文仍然存在需要改进的地方，作者也在努力，希望可以进一步完善我们的 结果，下面给出作者正在考虑的一些问题： ( 1 ) 定理3 1 在c 族i i i 给出的等价关系在更广泛的重尾分布族_ i 是否成立? ( 2 ) 定理3 2 在co 口族巾给出渐近式( 3 3 ) 成立的条件，但是为了证明的需要 我们加了条件( a ) ，该条件是否可以弱化或者去掉? ( 3 ) 虽然我们在注3 2t ：l l 说明了满足条件( a ) 的n 口族是包含c 族的，但还 不清楚前者是否真包含后者，即是否可以找到个分布函数f ( x ) 使得：f ( x ) c nd 且满足条件( a ) ，同时又有f ) 隹c ? 2 0 带重尾项数的随机和的尾概率的渐近性 参考文献 参考文献 【l】1a d l e r ，r ；f e l d m a n ，r ；t a q q u ，m ，1 9 9 8 ap r a c t i c a lg u i d et oh e a v yt a i l s ：s t a t i s - t i c a lt e c h n i q u e sa n da p p l i c a t i o n s b o s t o n ：c h a p m a n h a l l 【2 】a l a m ，k ；s a x e n a ，k m l ：1 9 8 1 p o s i t i v ed e p e n d e n c ei nm u l t i v a r i a t ed i s t r i l ) u t i o n s c o m m u n s t a t a t h e o r y m e t h o d s1 0 ，n o 1 2 ，11 8 3 11 9 6 【3 a 1 e 苦k e v i 芒i e n 6 ，a ；l e i p u s ，r ；誊i a u l y s ，j ，2 0 0 8