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四川大学硕士学位论文 基于区域分解的混合有限元分裂外推 9 9 主9 9 5 基于区域分解的混合有限元分裂外推 计算数学专业 研究生王丽指导教师吕涛教授 摘要 本文讨论的是在狄利克雷边界条件下二阶椭圆方程的混合有限元分 裂外推及后验误差估计文中首先介绍了中矩形公式及其多参数渐进展 开、g r e e n 函数及其相关性质；然后介绍二阶椭圆方程在最低阶 r t ( r a v i a r t t h o m a s ) 空间上的混合有限元逼近；接着利用中矩形公式误 差展开式和g r e e n 函数及其相关性质得到了向量域和标量域上的多参数 渐进展开式；最后分别讨论了在多参数展开式基础上向量域和标量域上 的分裂外推算法及后验误差估计 关键词：区域分解；多参数渐近展开；分裂外推；后验估计 t h es p u t r i n ge x t r a p o l a n o nm e t h o do f m i x e df i n i t ee l e m e n tb a s e do nd o m a i n d e c o m p o s i t i o n m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ( g r a d u a t e ：w a n gl i a d v i s o r ：l ut a o ) ( c o l l e g eo fm a t h e m a t i c s ，s i c h u a nu n i v e 璐“y ，c h e n g d u ，6 1 0 0 6 4 ) a b s t r a c t ： m u l t i - p a r a m e t e re r r o re x p a n s i o n sf o rt h er t ( r a v i a r t - t h o m a s ) m i x e df i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o na r ed e r i v e d a sar e s u l to ft h ee x p a n s i o n ， m u l t i p a r a m e t e rs p l i t t i n ge x t r a p o l a t i o nt e c h n i q u e sa r ea p p l i e df o rt h ev e c t o r f i e l da n ds c a l a rf i e l d k e y w o r d s ：d o m a i nd e c o m p o s i t i o n ；m u l t i p a r a m e t e ra s y m p t o t i c e x p a n s i o n ；s p l i t t i n ge x t r a p o l a t i o n ；p o s t e r i o re r r o re s t i m a t i o n 2 1 ， ， 四川大学硕七学位论文基于区域分解的混合有限元分裂外推 1 引言 分裂外推原理是建立在近似误差的多参数渐进展开的基础上，这些参数彼 此相互独立，例如一个s 维问题的数值解，离散网格各方向的步长相互独立， 近似解的误差通常有关于这些步长的多变量渐进展开执行分裂外推可以通过 若干单向加密以代替经典r i c h a r d s o n 外推的整体加密，以取得高阶近似当今 大规模工程计算有两个大难题：一是如何提高精度，另一个是解决高维数值困 扰问题并降低计算规模分裂外推就是一个能同时解决这两个难题的算法，因为 它有以下特点：a ) 为了取得同样阶的精度，分裂外推工作量仅随维数的多项式 增长，而r i c h a r d s o n 外推则随维数指数增长；b ) 分裂外推算法，是高度并行算 法。而且维数越高，并行度越商实际上分裂外推主要工作是解若干个互不相关 的粗网格问题，然后组织各粗网格上近似解得到整体细网格上的高精度近似解 所以分裂外推特别适合在多处理并行机上计算，几乎不需要机问通讯：c ) 分裂 外推有自适应功能，可以通过后验估计作出停机判断 分裂外推的思想是林群和吕涛1 9 8 3 年提出的 6 ，其后乔香珍，n e i t t a a n m 6 k i 和q l i n 给出了用有限差分法解偏微分方程的算例 7 ；石济民，林振宝给 出用双线性有限元解偏微分方程的算例：吕涛、石济民、林振宝 8 提出了分裂 外推的递推算法及两种分裂外推的加密方法，这些方法不仅能以递推形式实现 多次外推计算，而且计算代价几乎达到最优；r a d e 给出分裂外推数值试验 9 并提供了二维一型分裂外推的组合系数；石济民、林振宝、吕涛利用递推算法 给出一型、二型多维多次分裂的组合系数；实算表明分裂外推无论是计算多维 数值积分，还是解偏微分方程都很有效，而且维数越高，分裂外推的效果越显 著 有限元分裂外推是分裂外推的一个重要应用分支此方法根据问题的界面 和维数、区域的形状和大小等因数束作初始区域分解并设计独立网格步长，因 此它集中了区域分解算法和分裂外推的优点 区域分解算法是8 0 年代崛起的新方向，它的本质是把一个复杂的的大型区 域分解为若干形状尽可能规则的子域的和集，使原问题的计算被转化为在子域 上并行计算有关区域分解算法的基础可见作者专著 1 0 但是区域分解算法的 目标是并行解规模较小的子问题，并经过多次迭代和校正最终得到原问题的离 散方程近似解换句话说，区域分解方法本质上仍然是求解大型离散方程的并行 4 ，r ， 一 、 l 竖型查兰竺主兰竺鲨塞 茔王匡苎坌堑竺望鱼童堡垂坌墼丛生 算法，它的精度阶取决于离散方程的精度阶 把区域分解算法和分裂外推算法相结合得到既有区域分解算法缩小问题规 模及并行算法优点，又具有分裂外推的高精度的新算法基于区域分解的有限 元分裂外推方法算法构造如下：首先，通过区域分解和相应的网参数设置，把 大型多维问题转化为规模大略相同的若干个子问题，这些子问题不仅可以并行 求解而且接受同一指令，几乎无机问通讯便被解出，由于问题规模大略相同所 以同步开销甚少；其次，各子问题的计算结果送入主机，主机根据结点类型使 用不同的公式，最终组合各予问题的解得到全局细网格上的高精度近似 基于区域分解的有限元分裂外推法，它的独立步长不仅可以多余问题的维 数，而且可以根掘问题的规模、形状、系数的不连续界面、解的奇异性质，甚 至所使用计算机类型而设计初始剖分与独立网参数一般说独立网参数越多，并 行度越高，子问题的规模越小，最终可以达到与维数及问题规模无关的几乎最 优的计算复杂度对于标准有限元的分裂外推已有许多工作，这方面的文献可见 2 ， 3 ， 4 等；但对于混合有限元的分裂外推还没有相关的讨论，本文在( 1 和 5 基础上就二阶椭圆方程的狄利克雷边界问题进行了基于区域分解的混合 有限元的分裂外推讨论 本文在2 中介绍中矩形公式的多参数渐进展开和g r e e n 函数及它的相关 性质：在3 中介绍了二阶椭圆方程系统：在4 中得到有关算子n 。渐进展开 的几个引理：在5 中得到向量域和标量域上的多参数渐进展开；在6 中讨论 了在多参数展开式基础上的分裂外推算法及后验误差估计 2 预备知识 基于区域分解的混合有限元分裂外推是建立在多参数渐进展开的思想上 的，多参数渐进展开又需要用到g r e e n 函数和它的一些有关性质本节首先介绍 中矩形公式，然后介绍准g r e e n 函数的定义、性质及相关的定理 2 1 中矩形公式及其多参数渐进展开 定义2 1 一个k 次多项式b 。( x ) ，k 0 ，称为b e r n o u l l i 多项式，如果它按 5 这蕴岔b e r n o u l l i 多i 负式可以周删化歼拓剑整个买轴上例如 p ，( x ) 一x 一【x 卜三 它是b i ( x ) 以1 为周期的开拓，其中【x 】表示不超过x 的最大整数，函数p 。( x ) 的 f o u r i e r 展开式为 “x ) l 一薹鼍 眨呦 对( 2 1 a ) 逐次形式积分得 p 2 j ( x ) - ( _ 1 ) 薹鼍铲，：l 咖， ( 2 1 b ) l ( x ) _ ( 薹帮j 州，( 2 1 c ) 6 一维情况： 计算有限区间 a ，b 上积分 p ( x ) - i ( g ) - 定义中矩形公式为 m 。( f ) 薹h g ( a + ( i + j 1 ) h ) ， 其中 h 。生旦n 0 n 因为奇次b e r n o u l l i 多项式在x 三，有 2 b 2 j + i ( 争o ，j o 工， 而偶次b e r n o u l l i 多项式有性质 b 2 j ( 三) - 哪一嘉) b 2 j ， 所以有以下定理： 定理2 1 若g e c 2 k + l a ，b 】，则 一扣“和g ( b ) 叫( a ) 】+ 这里 c 2 j - b ：j ( 三) 一一( 1 2 1 - 2 ) b ：j ，j - 1 ，k 、 多维情况： 考虑s 维积分 1 。z ( x ) 奴，v - 【制， 以步长h 一( h 1 ，h 。) 把v 分割成边长为h l 一，h 。的r 1 个长方体之和 v u v j ， j - ! v j 密【m 旷警，m 一+ 告1 ， 这里m j ( m p ，m p ) 是v j 的中心，我们定义中矩形求积公式为 i ( h ) 。；眦a s ( v j ) f ( m j ) 定理2 2 是证明求积公式( 2 2 ) 是具有关于步长h 的多变量渐进展开式 定理2 2 若f e c 2 ”2 ( v ) ，则 i i ( h ) - c 。h 。+ o ( h ) 。 l f ：仨m 这里c 。- c 口i ，c 。是与h 无关的系数 8 2 2g r e e n 函数及其相关性质 定义2 2 某些方程定解问题的基本解称为g r e e n 函数 例如考虑拉普拉斯方程的狄利克雷问题 p 圳旧， ( 2 3 ) 1 u k - 仍 ”“ 其中口是r 4 中的有界丌区域问题的g r e e n 函数为 g ( x ，y ) - e ( x y ) 4 - g ( x ，y ) ， 其中4 的基本解 e ( x ) - 熹i x r ，2 ， ( 2 一n ) o j 。 去l i l | x i n - 2 对于任意给定的y e o ，g ( x ，y ) 作为x 的函数在口内调和且 g ( x ，y ) 一- e ( x y ) ，v x d 口 实际上g ( x ，y ) 作为x 的函数是以下问题 卜知- 6 ( x y ) ，x 口， 1 u k 一0 ， 的解在一定条件下( 2 3 ) 的解可表示为 9 四川大学硕+ 学位论文基于区域分解的混合有限元分裂外推 u ( y ) - 篇学删s i v ，口， 其中旦表示在上沿外法向求导 ( 2 3 ) 的g r e e n 函数g ( x ，y ) 从物理上可解释为：在y 点处放置单位负电荷并 从物理上看就是在保持a 口上的电位为0 的前提下，在y 点处的单位负电荷 在x 点产生的电位等于在x 点处的单位负电荷在y 点产生的电位。 定义2 3v h 是有限维的，且v h c ( 西) ，对z 。口，表达式 f ( v ) 1v ( z o ) ，v v ev - 确定了空间( v h ，i u | 。) 上一个连续线性型，由l a x m i l g r a m 定理，存在唯一的 g 乞v h 使 a ( g ：，v ) - v ( z o ) 这时，称g 为问题( 2 3 ) 的离散g r e e n 函数 r - 是区域口的矩形剖分， o ? ，) ，：) ，i - 0 ，1 ，i ，一0 1 ，m 表示刭分节点 集，三一乩，0 ) ，；。( y - ，y ：) ，对v r r 。有r - e ， 定义2 4 对v x r ，对( 宇，x ) 函数定义为： 讯孙卜罄 弦a ， 1 0 塑型查兰堡主兰垒笙苎苎王垦竺坌竺塑堡垒童壁垄坌型丛苎 显然对传，x ) 函数对x 是光滑的狄利克雷6 一函数 定义2 5 准的g r e e n 函数( g 。， ) 可以定义为下列线性系统的解： 腼l4 - v - 0 ， i n 口， d i v g l 一对 ，i n 口， t 0 ，o i la 口 ( 2 5 a ) ( 2 s b ) ( 2 s c ) ( g 1 k , 2 ，。) 是在r t 方法下( g ， ) 的混合有限元逼近、 定理2 3 ( g ， ) 和( g 。， 。) 分别是( 2 5 ) 的解和混合有限元逼近， p g * ) ，那么有： i g 。一g 乱c h l 。g 言， ( 2 6 ) | g 。一g 扎h s c ( c ( p ) + l 0 9 1 ) h 1 一，1 tp t * ， ( 2 7 ) c h 叶巩i o g h l _ 1 1 。p ，。， ( 2 8 ) 其中 p 。南，。- 1 定义2 6 列 v x e r ，墼堕型是在x 处满足下列条件的准狄利克雷6 一函数： a ) 壁c 1 ( 口) ，s u p p 竺c r ， b ) 熊o ，他口_ l ， c ) 8 d 剑。s c h 删，| l - 0 ，1 6 ；( 亭，x ) 的形式为( 醴，o ) 或者( o 6 ：) ，并且它对x 是光滑的狄利克雷6 一函数 1 1 四川大学硕士学位论文基于区域分解的混合有限元分裂外推 定义2 7 准的g r e e n 函数( g ：，如) 可以定义为下列线性系统的解： 舯2 + v 九6 ；，i n 口， d i v 0 2 0 ，i n 口， t 0 ，o na 口 ( g 2 ，a ：“) 是在l 玎方法下( g ：，如) 的混合有限元逼近。 定理2 4 对p 。q m ) ，那么有 1 i i g ：一g ，s c i l 。g h l j ， 忙：一g ：8 “sc ( c ( p ) + 1 0 9 h i 1 ) h 1 ， ! b 口扣p 蚋 呈 c h9 ，p 2 其中p + p - 1 根据准g r e e n 函数的定义， 5 中已证明下面的几个等式成立： ( u “一e 2 u ，6 7 ) - ( 户( 仃。妒一妒) ，g ：) 。一日。妒，6 ；) - ( 卢( r l 。妒一妒) ，g ! ) 由( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 可得： 0 u “一璐u 0 。陬打。妒一妒) ，g 蚓， 秒“一玎。妒l 。sl ( 卢( 口。妒一妒) ，g ：j f 。 竖坐查兰堡兰堡丝兰 兰王垦苎坌塑竺望垒蔓堡垦坌鍪竺堡 e d i ，( a ( x ) v u ( x ) ) - m 协q 伍 励+ v u l 0 ，i nq d i v q - ，i nq “- - g o n a q 其中卢一p ( x ) 口。1 定义h i l b e r t 空h ( d i v l h ( d i v ) 。p ：v e l _ 2 ( q ) ，d i w l 2 ( q ) 具有范数 i i v l l i , 硼v 峨+ i i 面vv 峨 其中量2 ( q ) - r ( q ) r ( q ) ，i i 0 。：表示向量或标量函数的r 范数 文中w “9 ) 表示一般的s o b o l e v 空间： w ”t r ( 口) i l i k ( 口) ：8 f 0 。( 。，t m j 具有范数： 1 3 ( 3 2 ) 四川大学硕士学位论文基于区域分解的混合有限元分裂外推 i l f l 。，。，： ( 薹l l d ：f l l 9 ) 石 i ”( 口 这样( 3 2 ) 的弱形式为：求( 鼋，u ) e h ( d i v ) l 2 ( q ) 使 ( f l q ，v ) 一( d l w ，”) - g ，d i v ) ， ( 3 3 ) l ( d i v q ，w ) 一( f ，w ) ，v w u ( t 2 ) 其中( ，) 表示量2 ( q ) 或者2 ( q ) 空间的内积，t ，表示量2 ( a t e ) 上的内积，n 表 示a q 上的单位法向量下文中解( 鼋，“) 中的q 和u 分别表示向量空间和标量空 间 设瓦是在初始正规剖分q - u q ，下的分片一致剖分， “，y ：) ，i - 0 3 , ，j v ；j - o 1 ，m 表示剖分节点集，c - ( x l ，i ) ，；- ( ) ，；1 ，y ：) x c v r e r 洧r - t ，? ，令2 l 。2 1 , r ：分别表示c ，；的区间长度由于瓦是q 的 一致剖分，瓦满足相容性条件，所以仅有( f t 加) 个网参数是独立的，设为 h i 2 ，岛，h o - m a x 研1 ，| i 1 2 ， ， ( 3 1 ) 的混合有限元方法是建立在( 3 3 ) 的基础上的，寻找一对口在多 边形剖分t h 下的有限元空间v “x m “h ( d i v ) l 2 ( 口) ，使之满足b r e z z i 和 b a b u g k a 1 2 ，1 3 的i n f s u p 稳定性条件在这篇文章中，我们将讨论口的矩 形剖分对矩形元的讨论已经有不少文章，其中r a v i a r t 和t h o m a s 1 4 ，b r e z z i ， d o u g l a s 孝f ff f a r i n i 1 5 ，b r e z z i ，o o u g l a s ，f o r t i n 和m a r i n i 1 6 分别对r t ，b i ) m , 和b d f , m 空问作了研究。我们将对最低阶的r t 空间进行讨论 最低阶的r t 空间 v - v ：v h ( d i v ) ，v i r 。；置( c ) x 只( ，；) ) m - w ：w l 。，, e p o ( 1 ：x 叻 ，眩- v n 日： 问题( 3 3 ) 的离散形式为：找国，“) 瞄x m 使得 解的混合有限元分裂外推 n ，v v 瑶 i f c i 7 “妒丑d s 。正妒n d s ，h ( d i v ) d i v j 7 - - 肆d i v ， 、 i j 7 h 妒- ( a i + a 2 ( x x i ) ，b i + b 2 ( y y j ) ) p o ( x ，。高舭x e k 2 ， 四川大学硕士学位论文摹于区域分解的混合有限元分裂外推 正似一盯“妒- ) d x - 一二2 4 , 蔓- t h ：j r z d j 2 v - d x + o ( h 4 ) 正劬：一。妒：) 出- 西1 互2 | i l 三正d f 2 妒：出+ o ( h 4 ) 证明：因为 7 h 妒一( a l + a 2 ( x x 1 ) b l + b 2 ( y y j ”1 ( 刀h 妒i ，刀h 妒2 ) 由引理4 i 知 f l h 妒- a i + a 2 ( x x 1 ) 1 p ：( 妒l + ( x x i ) a 。1 ；f | 1 ) + p o ( d 。妒i x x x j ) 。南p - + ( x x i ) a 肌) d x + 新啪l d x ( - ) 。抑t “韶( ( i ) a 鼽洳+ 南p 。吣( x 强) 妒l 在i 的t a y l o r 展开为。 妒l ( x ，y ) 一妒l ( x j ，y j ) + a 。1 ；f - 1 ( x i ，yj ) ( x x j ) + a y 缈l ( x l , y j ) ( y - y j ) + 面1 a 。：妒l ( x i ，y j ) ( x x j ) 2 + 壶a ，：“砩”( y - y j ) 2 + a 。姒x j ，y j ) ( x - x i ) ( y - y j ) 所以有 。 南p - a x 。南p t ( - 胁+ 南f “x x t 声砒( _ ) x + 韶“y - y j ) a ，妒- ( _ 肚+ 五1 丽1f ”x ) “( - ) ) d x + 壶韶“y - y j ) 2 a ，矾鳓x + 南f 柏( y y j h 瓶) + 1 6 韶“i ) a 郝x - x l 溅嘶) ) d x + 抑) 2 a t 鳓x + 南f x _ x ) ( y - y j 心椭) d x + 知“a 。肌( - 胁+ 南f ) ( y y j 巾，( - 胁 + 韶“x - 铂2 ( y - y j ) a i ：一( - ) + ；h ：。a 。妒。( x ，y ) + j - o ( h 2 ) 高 f a , v , , d x - 新啪- 泓+ 郝( x - 铂a - 两x + 高1 f ( ( y 一，妒。妒t ( - ) + 壶南f ( x x ) 2 a ，( - ) m + 壶热y 1 ) 2 a - ( - ) ) d ) 【+ 船( 胁- y j 域妒雨逊 四川大学硕士学位论文 基于区域分解的混台有限元分裂外推 正 - 一仃- 妒- ) d x - 正眇t 一妒。( _ ) + a 。l f ，。( 顽x x ；) + o ( h 2 ) 】d x - 上 - 一妒t ( - ) ) d x + 0 ( h 4 ) 利用中矩形公式有： 正卧驯“掣i1 咯p 硒 、+ 掣1 1 吨p 讪叩， 凼为 b o ( x ) 一1 ， b ，( x ) - x 2 - x + 丢， 所以 b 。( 三) 一1 ， b l ( 三) 西1 ， 正 。一仃。妒。) d x 一一2 4 皇2 。2j 。( 2 劬，d x + o ( h 4 ) j 7 。妒，的证明，同了。t f - 的证明类似，略 引理4 3 若妒【( q ) 】2 ，形4 9 ( q ) ，1 p + l p - 1 ，则对v r 瓦有 正卢 ，一日。妒。) d x - i 1 岳2n 2 。j 二印：2 坳，d x + r l 正卢 ：一n 。妒。皿- 一面1 苫2 主正印j 2 妒：出+ r 2 且存在常数c l ，c ：使得： 忆i i ：c , h 4 慨i i , , 1 1pl l - ， l ，2 i i 2 ， 其中 日- ( q l + 0 一) a ，q 1 ，q 2 + ( ) ，一y j ) a ，口2 ) 定理得证 定理5 4 在定理5 3 的条件下，存在于网参数无关的函数仍，f - 1 ，2 ，f 使得 有限元逼近q 6 与问题( 3 2 ) 的真解g 成立 口( _ ) 一日( - ) - 妻砰竹+ 瓦6 ) ， l o 其中 l i e 。6 ) 临c 碡( 1 l o g h o i l ，2 i l q l l ：，+ _ i l 。”l 0 9 0 h 。) l l q l l 4 , pp ，2 6 分裂外推算法与后验估计 由上面的讨论可把“6 简记为： n 6 - 口+ d l ? + + d | i l ? + o ( h ；i n ( 1 h o ) ) ，- 3 ，若p 2 ；r 2 + 2 p ，若l p 2 “们( x ) 一“( x ) t ( 1 9 ) d 。( 啊1 3 ) 2 + 三d 。( 7 k y ) 2 + d ( kl 】a ( 1 h o ) ) ，1 f l ( 6 2 ) 对( 6 2 ) 两端关于i 求和得 l - i “o o ) 一缸o ) - ( f l + l 9 ) 磊以( h k 3 ”) 2 + d o ；l n ( 1 i i l 。) ) - ( 1 - l + l 9 ) ( u o ( 力一“0 ) ) + d ( k l n o i o ) ) 令 “：( - ) - ( 9 8 ) 睦h 6 ) 一( f 一8 9 ) u ( 6 ) 】l u 两+ o ( h g l n o h 。) ) ( 6 3 ) 下面讨论加密解平均值的后验误差估计： 由( 6 3 ) 可知： i 塞“( _ ) 一“( _ ) k 0 8 ) “6 ) 一9 ( 1 8 9 ) u ( 0 6 ) l l l j i o i + ( 1 圳( 9 8 ) 【主h o ( _ ) 一( f 一8 9 ) u o 6 ) 】一封西i s ( 1 1 8 0 i 乏“( x ) - ( 9 l 一8 扣( z ) i + d ( ；l n o h o ) ) ( 6 4 ) 由( 6 3 ) ，( 6 4 ) 知算法如下： 算法： 步1 ：根掘问题规模，界面条件构造初始剖分及初始网参数 h ( o ) - 0 3 ”) o 。，岛) ，卢- 0 步2 ：取步长 ( f ) 一0 3 9 ) 以，吩1 ，0 3 ) i , , ，噍。，啊) ，f - 0 , 注：本文所有引理及定理的条件中真解h 的光滑性改为分片光滑同样成立 合有限元分裂外推 f o rm i x e df i n i t ee l e m e n t 5 6 ( 1 9 9 4 ) 4 7 7 - 5 8 3 o rs o l v i n gs e c o n do r d e r e l l i p t i cs y s t e m sw i t hc u r v e db o u n d a r y i n b yu s i n gd - q u a d r a t i c i s o p a r a m t r i c f i n i t ee l e m e n t ，a p p n u m e r m a t h ，4 0 ( 2 0 0 2 ) ，4 6 7 4 8 1 3 吕涛，石济民，林振宝，分裂外推与组合技巧，科学出版社，1 9 9 8 4 t a o ，j i n gl u ，s p l i t t i n ge x t r a p o l a t i o nf o rs o l v i n go r d e re l l i p t i c s y s t e m sw i t hc u r v e db o u n d a r yi nr - b y 、u s i n gd - q u a d r a t i ci s o p a r a m t r i c f i n i t ee l e m e n t ，a p p n u m e r m a t h ，4 0 ( 2 0 0 2 ) 5 j w a n g ，a s y m p t o t i ce x p a n s i o n sa n dl - e r r o re s t i m a t e sf o rm i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o d sf o rs e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m s ，s p r i n g e r v e r l a g ， 8 ( 1 9 8 9 ) 4 0 2 - 4 3 0 6 l i nq u n ，l 豇t a o ，t h es p l i t t i n ge x t r a p o l a t i o nm e t h o df o r m u l t i d i m e n s i o n a lp r o b l e m j 。j c o m p u t m a t h ( 1 ) ( 1 9 8 3 ) 4 5 5 1 7 n e i t t a a n m 6 k i ，p a n dl i n ，q ，a c c e l e r a t i o no ft h ec o n v e r g e n c ei n f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sb yp r e d i c t o rc o r r e c t o ra n ds p li t t i n g e x t r a p o l a t i o nm e t h o d s ，j c o m p m a t h ，5 ( 1 9 8 7 ) 1 8 1 1 9 0 8 l n ，t ，s h i h ，t m a n dl i e m ，c b ，a na n a l y s i so fs p l i t t i n g e x t r a p o l a t i o nf o rm u l t i d i m e n s i o n a lp r o b l e m s ，s y s t e m ss c i m a t h ， 3 ( 1 9 9 0 ) 2 6 1 - 1 7 2 9 r n d e ，u ，e x t r a p o l a t i o na n dr e l a t e dt e c h n i q u e sf o rs o l v i n ge l l i p t i c e q u a t i o n s ，i nb e r i c h ti 一9 1 3 5 ，i n s t i t u tf 缸i n f o r m a t i k ，t um f i n c h e n ， j a n u a r y1 9 9 1 1 0 l d ，t ，s h i h ，t m a n dl i e m ，c b ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s - n e w n u m e r i c a lt e c h n i q u e sf o rs o l v i n gp d e ，s c i e n t i f i cp r e s s ，b e i j i n g ， 1 9 9 2 ( i nc h i n e s e ) 1 1 c b l i e m ，l ut a o ，t m 。s h i n ，t h es p l i t t i n ge x t r a p o l a t i o nm e t h o d ， 2 9 r - 、 州川i 夫学顾士学位论文基于区域分解的混合有限元分裂外推 w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，1 9 9 5 1 2 b a b u s k a , t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hl a g r a n g i a nm u l t i p l i e r s ， n u m e r m a t h 2 0 ( 1 9 7 3 ) 1 7 9 - 1 9 2 1 3 f b r e z z i ，o nt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，a n da p p r o x i m a t i o no fs a d d l e p o i n tp r o b l e m sa r i s i n gf r o ml a g r a n g i a nm u l t i p l i e r s ，r a i r oa n a l n u m e r ， 2 ( 1 9 7 4 ) ，1 2 9 - 1 5 1 1 4 r a v i a r t ，p a ，t h o m a s ，j m ，am i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o r 2 一n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m s ，m a t h e m a t i c a la s p e c t so ff i n i t ee l e m e n t m e t h o d s ，l e c t n o t e sm a t h 6 0 6 ( 1 9 7 7 ) 2 9 2 - 3 1 5 1 5 f b r e z z i ，j d o u g l a s ，j r ，a n dl d m a r i n i ，t w of a m i l i e so fm i x e d f i n i t ee l e m e n t sf o rs e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m s ，n u m e r m a t h ， 4 7 ( 1 9 8 5 ) ，2 1 7 2 3 5 1 6 f b r e z z i ，j d o u g l a s ，j r ，m f o r t i n ，a n dl d m a r i n i ，e f f i c i e n t r e c t a n g u l a rm i x e df i n i t ee l e m e n t si nt w oa n dt h r e es p a c ev a r i a b l e s ， r a i r oa n a l n u m e r ，2 1 ( 1 9 8 7 ) 。5 8 1 6 0 4 1 7 m a r c h u k ，g a n ds h a d u r o v ，v ，d i f f e r e n c e m e t h o da n dt h e i r e x t r a p o l a t i o n ，s p r i n g e r ， n e wy o r k ，1 9 8 3 1 8 p e r e y r a ，v ，h i g h l ya c c u r a t en u m e r i c a ls o l u t i o no fq u a s i l i n e a r e l li p t i c b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s i nn d i m e n s i o n s ，m a t h c o m p ， 2 4 ( 1 9 7 0 ) 7 7 1 7 8 3 1 9 b o m e r ，k ，a s y m p t o t i ce x p a n s i o nf o rt h ed i s c r e t i z a t i o ne r r o ri n 1i n e a re l li p ti cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ng e n e r a lr e g i o n s ，m a t h z ， 1 7 7 ( 1 9 8 1 ) 2 3 5 - 2 5 5 【2 0 】l i n ，q ，l ut a n ds h e n ，s m ，m a x i m u mn o r me s ti m a t e ，e x t r a p o l a t i o n a n do p t i m a lp o i n to fs t r e s s e sf o rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d so ns t r o n g l y r e g u l a rt r i a n g u l a t i o n ，j c o m p m a t h ，1 ( 1 9 8 3 ) 3 7 6 3 8 3 【2 1 b a b u s k a ，a m i l l e r ，af e e d b a c kf i n i t ee l e m e n tm e t h o d w i t ha p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t i o n ，t e c h n i c a ln o t eb n1 0 3 1 ，u n i v e r s i t yo f m a r y l a n d ，c o l l e d g ep a r k ，m d ，1 9 8 4 2 2 c h e n gc h u a n m i a o ，h u a n gy u n g q i n g ，h i g ha c c u r a c yt h e o r yo ff i n i t e e l e m e n tm e t h o d s 。h u n a ns c i e n c ep r e s s ，1 9 9 5 ( i nc h i n e s e ) 3 0 l p q 川人学碗卜学位论文苹十区域分解的混合肯限元分裂外托 2 3 q l i n ，q d z h u ，u n d i r e c t i o n a le x t r a p o l a t i o n so ff i n i t ed i f f e r e n c e a n df i n i t ee l e m e n t s ，j e n g r g m a t h 1 ( 2 ) ( 1 9 8 4 ) 1 - 1 2 【 2 4 lot a o ，f o n g y o n g ，s p l i t t i n ge x t r a p o l a t i o nb a s e do nd o m a i n 【d e c o m p o s i t i o n f o r f i n i t ee l e m e n t a p p r o x i m a t i o n s ，s c i e n c e i n c h i n a ( s e r i e se ) 4 0 ( 3 ) ( 1 9 9 7 ) 1 4 4 - 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