（光学专业论文）量子信息中量子过程的理论研究.pdf

摘要 量子信息科学是量子力学和信息科学相结合的产物。由于受量子力学规律支 配，量子信息科学呈现出与经典信息科学截然不同的崭新面貌，在很多方面表现 出明显的优势。比如，量子叠加性使得量子态能够以并行的方式演化，从而使诸 如大数因式分解、复杂量子系统的模拟等难题的解决成为可能。再如，量子不可 克隆定理使得量子信息不能像经典信息那样可以被任意复制，这使得人们能够建 立起绝对安全的量子密码系统。又如，量子纠缠可以起到连接不同空间点的量子 信道的作用，从而实现量子隐形传态。总之，量子信息科学的诞生，为未来的信 息科学技术勾勒出一幅迷人的蓝图。 量子信息系统中存在着两类动力学过程：积极的、有利的量子信息处理过程 和消极的、不利的消相干过程。无论哪种过程，都是承载量子信息的量子系统 的状态发生演化的过程，而我们把凡是造成量子态改变的过程都称为量子过程。 之所以如此，是因为两种过程存在着统一的数学描述一一超算符描述。以往超算 符多用来描述消相干过程，但实际上，它几乎可以描述任何态演化过程。事实上， 近年来超算符正在得到比以往更为积极主动的应用。成为设计、优化量子信息处 理过程( 实际是设计和优化量子机器) 的一种有效手段。量子态的改变除了决定 论的演化方式之外，还有随机的突变方式，即测量引起的状态塌缩，这可以用 p o v m 来描述。可见，量子过程的含义相当深广，其相关理论在量子信息科学 中居于基础性、支配性的地位。本文研究量子过程的描述、实验表征、设计和优 化，主要的研究成果包括： 1 研究了量子信息中基于纠缠的两种典型量子过程一量子隐形传态和量 子远程克隆。首先，我们着重研究了d 维量子系统的概率隐形传态。我们证明了 概率隐形传态可以在标准隐形传态操作完毕之后，由接收者再附加个广义测量 来完成，并且给出了所需幺正变换的系统化构造方法以及实现这种幺正变换的光 路图。我们还证明即使在概率量子隐形传态失败时这种方案也能达到最大保真 度。第二，我们研究了与概率克隆机相应的1 一n 概率远程克隆过程。我们构造 了所需的多粒子纠缠态并给出了制备这种纠缠态的方法，提出了现有实验条件下 可实现的概率远程克隆方案。此外，我们还提出了一些具体的量子隐形传态方案， 研究了量子远程控制、远程态制备等相关课题。 2 我们研究了量子隐形传态过程的超算符描述问题。超算符是量子过程的 普遍描述，当然也应该可以用来描述量子隐形传态过程。从物理上讲，这是把量 子隐形传态等效于通过实际的量子信道来传输量子态。我们从n i e l s e n c a v e s 理论出发，导出了量子隐形传态信道的明显表达式，这给我们带来了对量子隐形 传态的新认识，即量子隐形传态可等效地看作被传输的量子态相继通过三个信道 的过程，它们分别相应于发送者的测量、纠缠资源和接收者的操作。我们由此建 立了纠缠态和量子信道的一一对应关系，即一个任意的纠缠态对应于这样一个量 子信道，如果把描述该量子信道的各k r a u s 算符用p a u l i 算符展开而将该量子信 道参数化，则相应的参数矩阵恰好就是该纠缠态在b e l l 基下的密度矩阵。这给 “纠缠态起量子信道作用”的说法提供了定量的表述。作为应用，我们导出了量 子隐形传态保真度的表达式。这些结果解析地揭示了量子隐形传态的输出态和保 真度对纠缠资源和隐形传态操作的依赖。 3 我们系统总结了散见于文献尚未形成体系的有关量子过程的实验表征和 量子过程的设计和优化的研究进展，特别是突出了后者作为量子过程设计和优化 的一种系统化方法的地位。量子过程的设计一直没有一种系统化的方法，一般是 针对具体的态转换要求，发挥个人的创造力“凑”出一个相应的幺正过程。而所 谓系统化的设计方法是指沿袭一定的步骤一步步做下去就能设计和优化所需量 子过程的方法，这当然是人们所需要的。利用这种理论，我们针对非理想的混合 纠缠资源设计出一种优化的量子隐形传态操作，这种优化的操作可以通过求解半 正定规划问题得到数值解。 a b s t r a c t t h ec o m b i n a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c sa n di n f o r m a t i o ns c i e n c ey i e l d san e w d i s c i p l i n e 一q u a n t u m i n f o r m a t i o ns c i e n c e g o v e r n e db yt h er u l e so fq u a n t u m m e c h a n i c s ，q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c et a k e so n an e wl o o kc o m p l e t e l yd i f f e r e n t f r o mc l a s s i c a li n f o r m a t i o ns c i e n c e ，a n dm a n i f e s t sd i s t i n c ta d v a n t a g e s i n m a n y r e s p e c t s f o re x a m p l e ，t h eq u a n t u ms u p e r p o s i t i o na l l o w sq u a n t u m s t a t e st oe v o l v ei na p a r a l l e lw a y , t h e r e f o r em a k i n g i t p o s s i b l e t or e s o l v es u c hd i f f m u l tp r o b l e m sa s f a c t o r i z a t i o no fl a r g en u m b e r s ，s i m u l a t i o no fc o m p l i c a t e dq u a n t u ms y s t e m s ，a n ds o f o r t h i na d d i t i o n ，p e r f e c tc l o n i n go fq u a n t u mi n f o r m a t i o n i sf o r b i d d e nb yt h e q u a n t u mn o c l o n i n gt h e o r e m ，w h i c he n a b l e s t h ee s t a b l i s h m e n to fa b s o l u t e l ys a f e q u a n t u mc r y p t o s y s t e m s w h a t sm o r e ，q u a n t u me n t a n g l e m e n tc a l la c ta saq u a n t u m c h a n n e lc o n n e c t i n gd i f f e r e n tl o c a t i o n s ，t h u se n a b l i n gq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n i naw o r d ， q u a n t u mi n f o r m a t i o n s c i e n c ei s o u t l i n i n g a f a s c i n a t i n gb l u e p r i n t f o ri n f o r m a t i o n s c i e n c ei nt h ef u r u r e i nq u a n t u mi n f o r m a t i o ns y s t e m st h e r e a r et w ok i n d so fd y n a m i c a lp r o c e s s e s 一p o s i t i v e ，f a v o r a b l eq u a n t u m i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n gp r o c e s s e s a n d n e g a t i v e ， u n f a v o r a b l ed e c o h e r e n c e ，b o t ho f w h i c h a r ep r o c e s s e sd u r i n gw h i c hs t a t ee v o l u t i o no f q u a n t u ms y s t e m so c c u r s ，a n dw e c a l la l lp r o c e s s e sd u r i n gw h i c hs t a t ec h a n g e so c c u r q u a n t u mp r o c e s s e s w ed o s ob e c a u s em a t h e m a t i c a l l yt h et w ok i n d so f p r o c e s s e sc a n b o t hb ed e s c r i b e db ys u p e r o p e r a t o r s s u p e r o p e r a t o r su s e dt ob ee m p l o y e d t od e s c r i b e d e c o h e r e n c e ，b u ta c t u a l l yt 量1 e yc a nd e s c r i b ea l m o s ta n ys t a t ee v o l u t i o np r o c e s s e s i n f a c t ，m o r ea c t i v eu s eh a sb e e nm a d eo fs u p e r o p e r a t o r si nr e c e n ty e a r s t od e v e l o pa n e f f i c i e n tw a yf o rd e s i g n i n ga n do p t i m i z i n gq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gp r o c e s s e s ( a c t u a l l yq u a n t u mm a c h i n e s ) i na d d i t i o nt o d e t e r m i n i s t i cs t a t ee v o l u t i o n ，t h e r ei s a n o t h e rw a yo fs t a t ec h a n g e s ，n a m e l ys t a t ec o l l a p s ei n d u c e db yq u a n t u mm e a s u r e m e n t ， w h i c hc a r lb ed e s c r i b e db yp o s i t i v eo p e r a t o r - v a l u e dm e a s u r e c l e a r l y , q u a n t u m p r o c e s s e sh a v e ac o m p r e h e n s i v em e a n i n g ，a n dt h er e l a t e dt h e o r yp l a y saf u n d a m e n t a l a n dp r e d o m i n a n tr o l e i nq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e ：i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w e i n v e s t i g a t et h ed e s c r i p t i o n ，e x p e r i m e n t a lc h a r a c t e r i z a t i o n ，d e s i g na n do p t i m i z a t i o no f q u a n t u mp r o c e s s e s o u rm a i n r e s u l t si n c l u d e ： 1 w es t u d yq u a n t u mt e l e p o r t a t i o na n dq u a n t u mt e l e c l o n i n g ，t h et w ot y p i c a l q u a n t u mp r o c e s s e s b a s e do n e n t a n g l e m e n t f i r s t l y , w es t u d yp r o b a b i l i s t i c t e l e p o r t a t i o no f d - l e v e lq u a n t u ms y s t e m s w es h o wt h a tp r o b a b i l i s t i ct e l e p o r t a t i o nc a n b e i m p l e m e n t e db y s t a n d a r dt e l e p o r t a t i o nf o l l o w e db yt h er e c e i v e r sa d d i t i o n a l g e n e r a l i z e dm e a s u r e m e n t ，a n dp r o v i d e a s y s t e m a t i c m e t h o df o r c o n s t r u c t i n gt h e r e q u i r e du n i t a r yt r a n s f o r m a t i o na n do p t i c a lr e a l i z a t i o no f t h et r a n s f o r m a t i o n w ea l s o s h o wt h a tt h i ss c h e m ec a na c h i e v em a x i m a lf i d e l i t ye v e n i fp r o b a b i l i s t i ct e l e p o r t a t i o n f a i l s s e e o n d l 弘w es t u d y 1 一np r o b a b i l i s t i c t e l e c l o n i n gc o r r e s p o n d i n g t ot h e p r o b a b i l i s t i cc l o n i n gm a c h i n e w e c o n s t r u c tt h er e q u i r e dm u l t i p a r t i c l ee n t a n g l e ds t a t e a n dp r e s e n tas c h e m ef o rp r e p a r i n gi t ，a n dw ep r o p o s eas c h e m ef o rp r o b a b i l i s t i c t e l e c l o n i n gw i t h i nt h er e a c ho fc u r r e n tt e c h n o l o g y i na d d i t i o n ，w ep r o p o s es o m e s p e c i f i cs c h e m e s f o rq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ，q u a n t u mr e m o t ec o n t r o la n dr e m o t es t a t e p r e p a r a t i o n 2 、w e s t u d yt h es u p e r o p e r a t o rd e s c r i p t i o no fq u a n t u mt e l e p o r t a t i o np r o c e s s e s n o wt h a t s u p e r o p e r a t o r s a r ea g e n e r a ld e s c r i p t i o n o fq u a n t u mp r o c e s s e s ，t h e y c e r t a i n l y s h o u l db ea b l et od e s c r i b et e l e p o r t a t i o n p h y s i c a l l y , t h i s i st o r e g a r d t e l e p o r t a t i o ne q u i v a l e n t l y a s t r a n s f e r r i n gq u a n t u m s t a t e s t h r o u g h ar e a l q u a n t u m c h a n n e l s t a r t i n gf r o m n i e l s e n c a v e sf o r m a l i s m ，w ed e r i v ea ne x p l i c i te x p r e s s i o nf o r t h eq u a n t u mt e l e p o r t a t i o uc h a n n e l ，w h i c hb r i n g sn e wi n s i g h t si n t ot e l e p o r t a t i o n ，i e ， t e l e p o r t a t i o n c a ne q u i v a l e n t l yb ev i e w e da sap r o c e s sd u r i n gw h i c hq u a n t u ms t a t e sa r e t r a n s f e r r e d t h r o u g h t h r e ec o n s e c u t i v ec h a n n e l s c o r r e s p o n d i n g t ot h es e n d e r s m e a s u r e m e n t ，t h ee n t a n g l e dr e s o u r c ea n dt h er e c e i v e r so p e r a t i o n ，r e s p e c t i v e l y b a s e d o nt h i s ，w ee s t a b l i s hao n et oo n ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e ne n t a n g l e ds t a t e sa n d q u a n t u mc h a n n e l s ，i e ，a na r b i t r a r ye n t a n g l e ds t a t ec o r r e s p o n d st o s u c haq u a n t u m c h a n n e lt h a ti fw ee x p a n dt h ek r a u so p e r a t o r sd e s c r i b i n gt h eq u a n t u mc h a n n e lw i t h p a u l io p e r a t o r ss oa st op a r a m e t e r i z et h eq u a n t u mc h a n n e l ，t h e nt h ec o r r e s p o n d i n g p a r a m e t e rm a t r i xi se x a c t l yt h ed e n s i t ym a t r i xo f t h ee n t a n g l e ds t a t ew i t hr e s p e c tt o t h eb e l lb a s i s t h i sp r o v i d e sa q u a n t i t a t i v ef o r m u l a t i o nf o rt h es a y i n g “a ne n t a n g l e d s t a t ea c t sa saq u a n t u mc h a n n e l ”a sa r t _ a p p l i c a t i o n ，w ed e r i v ea l le x p r e s s i o nf o rt h e f i d e l i t yo f t e l e p o r t a t i o n t h e s er e s u l t sa n a l y t i c a l l yr e v e a lt h ed e p e n d e n c eo f t h eo u t p u t s t a t e sa n d f i d e l i t yo n t h ee n t a n g l e dr e s o u r c ea n d t e l e p o r t a t i o no p e r a t i o n s 3 。w em a k eas y s t e m a t i cs u m m a r yo ft h ea d v a n c e sc o n c e r n i n ge x p e r i m e n t a l c h a r a c t e r i z a t i o na n dd e s i g na n do p t i m i z a t i o no fq u a n t u mp r o c e s s e s w i t hs p e c i a l e m p h a s i so nt h el a t t e ra sas y s t e m a t i cm e t h o d o l o g y t h e r e h a v eb e e nn os y s t e m a t i c m e t h o d sf o rd e s i g n i n gq u a n t u mp r o c e s s e s i ti st h ep r a c t i c et om a k eu pau n i t a r y p r o c e s sb yp e r s o n a lc r e a t i v e n e s sa c c o r d i n g t os p e c i f i cr e q u i r e m e n t so fs t a t ec h a n g e s t h es o c a l l e ds y s t e m a t i cm e t h o dm e a n sam e t h o df o rd e s i g n i n ga n do p t i m i z i n ga r e q u i r e dq u a n t u mp r o c e s ss t e pb ys t e pb yf o l l o w i n gd e f i n i t ep r o c e d u r e s f o l l o w i n g t h et h e o r y , w ef i n da no p t i m a lq u a n t u mt e l e p o r t a t i o no p e r a t i o nw h e ni m p e r f e c tm i x e d e n t a n g l e dr e s o u r c ei s u s e d i tt u r n so u tt h a tt h i so p t i m a lo p e r a t i o nc a nb eo b t a i n e d n u m e r i c a l l y v i as e m i d e f i n i t ep r o g r a m m i n g 。 2 0 0 4 正 中国科学技术大学博士学位论文 第一章量子信息中量子过程的一般性理论 1 1 引言 量子过程是量子系统的状态发生变化的过程。 量子系统状态的变化有两种情形：决定论的、满足因果律的时间演化和由量 子测量引起的随机的状态突变或塌缩。 量子信息系统中存在着两类动力学过程：积极的、有利的量子信息处理过程 和消极的、不利的消相干过程。量子信息处理的过程是量子过程，这种量子过程 是人们期望发生并主动促成的，是可控的。为完成预期的量子信息处理任务，人 们需要精心设计出相应的量子过程，制造出相应的量子机器，从而通过对量子系 统状态的主动操控实现期望的状态改变，达到量子信息处理的目的。典型的例子 如量子克隆 1 - 1 1 、量子隐形传态【1 2 - 1 9 】、量子计算【2 0 ，2 1 等等。量子系统 与环境相互作用带来的消相干过程 2 2 2 7 也是量子过程，这种量子过程是人们 不期望发生的，是量子信息处理系统中产生量子噪声的根源，是不可控的。人们 只能设法减少引起这种消极的量子过程的因素，降低消相干作用的强度，或者采 取一定的措施并付出某些代价来部分乃至接近全部地消除其不利影响。可见，量 子过程的含义相当深广，其相关理论在量子信息科学中居于基础性、支配性的地 位。 量子力学告诉我们，量子系统的状态由h i l b e r t 空间中的一个矢量来描述， 称为态矢量；封闭的量子系统的时间演化是幺正演化；对封闭量子系统的测量是 正交投影测量。而对于开放的量子系统a ，它和除它之外的量子系统b 的相互 作用将会导致a 和b 之间的量子纠缠。这样，在对系统a 进行研究时，要么由 于b 的自由度太多而无法将b 仔细考虑进来，要么是人们对b 根本没有兴趣而 不想将它仔细考虑进来，于是就以统计平均的方式考虑b 对a 的影响，并在这 种平均近似的背景下单独研究a 。这种局限性观测和统计性研究导致量子理论在 以下三个方面出现重大改变或者说发展e 2 0 ，2 1 ，2 8 ：其一，产生了和纯态概念 2 0 0 4 中国科学技术大学博士学位论文 完全不同的混态概念，相应地，系统的状态不再用态矢量描述，而改用密度算符； 其二，混态的演化一般不再是幺正和可逆的；其三，测量一般不再是正交投影， 而成为所谓广义测量。由于在量子态描述、状态演化、测量塌缩这三个重要问题 上有这些变化和发展，量子理论表现出了崭新的面貌，进入一种更多人为干预的、 更加实际、更加主动的新阶段。 这里应该指出以下两点。第一，混态是人为虚构的、便于进行统计平均计算 的物理概念。混态是将一类量子系统所构成的量子系综中诸量子系统的状态平均 地折算到个量子系统上，因而总是体现量子系综而不是属于单个量子系统的概 念。在自然界中，任何单个量子系统总是处在各种纯态，而不会处在任何混态上。 但由于观察的局限性、也由于大量重复的观测，作为描述量子系综所处的状态， 混态概念是会普遍遇见的。甚至可以说，任何量子系统的态空间中混态都是稠密 的。第二，世界上并没有什么封闭系统量子力学和开放系统量子力学之分，上面 叙述的由于对开放量子系统的研究而带来的量子理论的发展也不包含物理实质 上的新内容。事实上，只要把我们所研究的量子系统足够放大，就可以近似把它 当作封闭系统来对待。但是，开放系统量子理论带来了全新的概念、理论和方法， 丰富了我们的研究手段，给我们带来了很多的便利。在量子信息研究中，有时我 们不得不采用这种理论，如在研究量子比特的消相干作用时，由于环境的自由度 太多而无法仔细加以考虑，因而必须采用：有时我们只对相互作用着的两个量子 系统之一感兴趣，因而需要采用开放系统量子理论；甚至，有时我们为了利用这 种理论带来的某些便利而有意采用之，在本文中将会看到这方面的实例。 如何描述一个量子过程呢? 如前所述，开放量子系统状态的演化己不再是幺 正演化，不能用一个幺正算符来描述。结果是，个密度算符向另一个密度算符 的演化可用一个超算符( s u p e r o p e r a t o r ) 来描述，而且可以写成被称为算符和表 示( o p e r a t o r - s u mr e p r e s e n t a t i o n ) 或称k r a u s 表示的优美形式。超算符或者说其 相应的k r a u s 算符，反映了造成系统状态改变的“操作者”的性能和作用，如量 子机器的性能，量子信道的消相干作用等。超算符的另一个叫法是量子操作 ( q u a n t u m o d e r a t i o n s ) ( 注意与泛泛而称的量子操作相区分) ，而整个这一套描述 状态转变的理论则称为量子操作形式理论体系( q u a n t t m ao p e r a t i o n sf o r m a l i s m ) 2 0 ，2 1 ，2 8 3 4 1 ，我们将称之为量子操作论。本文将根据上下文的具体情况在同等 2 0 0 4 芷 中国科学技术大学博士学位论文 的意义下选择使用超算符或者量子操作的叫法。 量子操作论的建立仅仅以线性、保迹和完全非负这三个为满足结果的物理合 理性所必需的最基本条件作为基础，因而是状态演化的普遍描述。不管是主动、 可控的量子信息处理过程，还是消极、不可控的消相干过程，都能用它来描述， 幺正演化过程也成为它的一个特例。另种量子过程一一引起状态塌缩的广义测 量，也可纳入它的理论框架，看作超算符或量子操作的一种特例。该理论的另一 个特点是，它描述的是离散的状态改变，即初态和末态或称输入态和输出态之间 的变换，这与描述开放系统的其它理论( 如主方程理论) 不同，后者是对状态随 时间连续改变的描述。量子操作论比主方程理论更普遍，比如，它可以描述非马 尔可夫过程。量子操作论还具有高度的抽象性，反映了量子过程的各种具体物理 实现的共性，使人们能够集中精力研究量子信息的根本性、基础性问题和各种物 理实现的共同性、一般性问题。这些特点使量子操作论特别适合于量子信息基本 理论的研究。 量子操作论作为描述和分析量子噪声的手段，已在量子编码理论和量子信息 论中发挥了巨大威力2 0 。它还为从实验上表征( c h a r a c t e r i z e ) 一个量子过程( 实 际上是对造成状态改变的量子操作实施者，如量子机器、量子信道等进行表征) 奠定了理论基础，现已发展出一种被称为量子过程层析术( q u a n t u mp r o c e s s t o m o g r a p h y ) 3 5 4 6 的专门技术，成为评估量子机器、量子信道性能的一个必 不可少的手段。人们还试图更加能动地利用量子操作论，正在发展一种使用量子 操作论来设计和优化量子过程、量子机器的系统化方法 4 7 5 1 。 以上是促成我写作这篇论文的原因。本文第一章综述和总结量子过程的描 述、实验表征、设计和优化等量子过程的一般性理论：第二章研究量子信息中基 于量子纠缠的两种典型的量子过程，即量子隐形传态和量子远程克隆；第三章研 究量子隐形传态的超算符描述问题，探讨量子隐形传态与量子信道的关系；第四 章研究量子过程的设计和优化，着重强调一种系统化的设计方法，并具体研究量 子隐形传态操作的优化问题。本文每一章最后都有小结，对本章的研究结果进行 归纳和总结。 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文4 1 2 量子态演化的超算符描述 超算符是描述量子系统状态演化的一般工具。超算符定义为输入密度算符 p 向输出密度算符的映射：p = ( p ) 。为得到物理上合理的结果，该映射应 满足以下三个公理性性质： ( 1 ) 保迹性：t r p = t r p 三1 ； ( 2 ) 完全正性：设正算符a 是量子系统q 的任一密度算符，则( 4 ) 必须保 持正算符。而且，如果日j x 任意维的另一量子系统r ，则对于复合系统r q 的任 一正算符a ，f ，o e x a ) 也必须保持为正算符( 说明：在量子信息的文献中，算 符是“正的”( p o s i t i v e ) 是指“非负”或“半正定”) 。 ( 3 ) 线性：l 军n j 2 军a c ) 口 可证有以下k r a u s 表示定理： 定理1 2 1 ：映射满足上述( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 这三条性质，当且仅当它有以下算 符和表示( k r a u s 表示) ： ( p ) = e 膨i ，e t e , = ， ( 1 2 - 1 ) 且称该映射为超算符，或量子操作。 证明：假定) = ，e , p e + ，则它显然是线性的。为证明完全正性，设作 用在量子系统o 上，r 是另一任意量子系统，a 是复合系统r q 的任意正算符， ) 是r q 的任意态。定义i 识) ；( ，。o f 】少) ，则有 ( l ( ，。e ，m ( ，。e ? 】) = ( 纯1 4 i 纪) o ( 1 2 2 ) 所以 ( 矿l ( ，。o x 4 ) i 矿) = ( 伊，1 a i q , ，) 0 ( 1 2 3 ) 即对任意正算符4 ，( ，o 彳) 也是正算符。保迹性则由，e ；e ，= j 保证，该式 也称作完备性关系。 再假定映射满足( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 三条性质。引入与量子系统q 维数相同的另 型翌墅至! 堡竖堕燮奎堂堡主兰堡堡苎，。 ! 一量子系统r ，设f 仉、f i ) o 分别是r 和o 的正交归一基，定义复合系统r q 上 的( 非归一) 最大纠缠态 f 口) - - - e l i ) 。 ( 1 2 4 ) 再定义算符 仃；( ，一。) 0 口) ( 甜f ) = i f ) 。( 。0 f ) 。( ，f j( 1 2 5 ) 由于完全正性，该算符可以看作是映射作用在最大纠缠态i 口) 的其中一个子系 统q 上所产生的( 未归一) 输出态的密度算符。可以看出，算符盯包含了对系 统q 的一组完备的算符基i j ) 。( ，i 的作用，因而包含了的全部信息。或者说，它 完全确定了超算符。 设j ) = ，蚧j ) 。是系统q 的任意态，定义系统r 的一个对应态 i 矿) t 矿m 。( 1 2 6 ) 则有 ( 矿h 扩) ：( 侄( ，i 。慨( 棚f 扩) = 峨y 捌f ) d ( 州 = 0 矿) ( 矿f )( 1 2 7 ) 将盯作纯态系综分解盯= ：g 小以s 小这里吼 0 ，g ，= l ，而b ) 未归一化。 定义一个映射 巨i 妒) ；厄( 盹) 易证e 。是一个作用在系统o 上的线性算符，而且我们有 互f 妒) ( 矿i 耳= g ( 旷k ) ( f 矿) l ， = ( 扩i 仃l ) = 0 ) ( 1 ) ( 1 2 - 8 ) ( 1 2 - 9 ) 所以，对于系统q 的任一纯态i 妒) ，都有0 y ) 缈i ) = i y ) 渺1 日。再由线性性 i 质，可知对任意密度算符有如) = e , , o e 7a 最后，由保迹性可得，f e ，= ，。 2 0 0 4 年 中国科学技术大学博士学位论文 6 证毕。 如果量子系统q 所在态空间的维数为d ，则k r a u s 算符e 的个数至多为d 2 个。因为e 与算符盯纯态分解中的态h ) 相关联，而盯的秩最大为d 2 ，所以超 算符的算符和表示至多有d 2 个k r a u s 算符。 我们看到，幺正演化可以看作超算符演化的一个特例，即幺正演化是只有一 个幺正的k r a u s 算符的超算符演化。 超算符的算符和表示是唯一的吗? 答案是否定的。关于该问题有以下定理。 定理1 2 - 2 ：假定 e l ，瓦) 和嘏，e 分别是超算符和多的k r a u s 算符集， 通过给较短的k r a u s 算符序列添加零算符可保证m = 门。则两套k r a u s 算符对应 同样的超算符，即= 乎，当且仅当存在着m m 的幺正矩阵m 。 ，使得 e i = j uu f j 。 定理的证明略去。该定理的寓意是深刻的，它告诉我们不同的物理过程会导 致相同的系统动力学，以及这些物理过程之间的相互关系。 以上讨论是抽象的，下面我们通过实际的物理过程给出超算符演化的一种具 体的物理图象。设我们感兴趣的主量子系统q 的初态为p ，另一量子系统r 的 初态为( 3 - ，初始时刻复合系统处于两者的直积态p o 尺= p 盯。假定两量子系统 发生相互作用而进行幺正演化，则演化结束时系统q 的态为 d ) = t r r u c o o o ) u + 】( 1 2 1 0 ) 那么，如何将系统q 的上述态演化过程表为算符和表示的形式呢? 有两种 处理方法可以采用。第一，可以采用纯化 2 0 ，2 1 】的技巧将系统r 的初态纯化 为纯态盯= i ) 轨l 。设l “) 是系缔r 的一组基，则有 0 ) ( “i u c d 。1 ) ( l 妙+ 1 ) = e 。p s ； ( 1 2 1 1 ) 女 这里e 。；机m ) 是作用在系统q 上的算符。这样我们就得到了算符和表示。 第二种方法是将盯作纯态系综展开盯= o l j o ，_ = 1 。则有 0 ) = s 。( t i 。e ，l j 。( t | e ? = t r c d 7 j 烈七肛j 以j f = ( 七p 7j ，) e ，j 以七j f = 鲰e ，i j ( k l e 2 = e ，p e ；= ( p ) ( 1 2 2 0 ) 由式( 1 2 1 9 ) 还可得 r 0 盯= z i j ( k i e e ；e ，】 t l 托m i ， = i ) ( j i = ， ( 1 2 2 1 ) 到目前为止，我们讨论的都是输入、输出态空间相同的情形，这特别适合于 消相干过程的讨论。然而，我们需要把讨论推广到输入、输出态空间不同的情形， 而这特别适合量子机器中量子过程的讨论。例如，考虑初始处于量子态p 的两态 系统( 也称量子比特q u b i t ) ，我们标记为a ，另有一个初始处于标准态i o ) 的三 态量