（应用数学专业论文）带plaplace算子的微分方程两点边值问题.pdf

中北大学学位论文 摘要 p l a p l a c e 算子边值问题在应用力学、天体物理和非线性偏微分方程中有着广泛的应 用背景和非常重要的研究价值本论义主要应用不动点定理、上下解和单调迭代等方法对带 p l a p l a c e 算子的微分方程两点边值问题进行了深入的研究首先，我们得到了非线性项 含未知函数一阶导数的带p l a p l a c e 算子的微分方程两点边值问题在一定边界条件下多 个正解的存在性以及正解存在的充分必要条件接着，用单调迭代技术获得了上述方程在一 定边界条件下近似正解的存在性 本论文共分为五章，主要讨论了三大部分的内容第一部分( 第二、三章) 研究了带p l a p l a c e 算子两点边值问题多个正解的存在性第二部分( 第四章) 研究了带p l a p l a c e 算 子两点边值问题正解存在的充分必要条件第三部分f 第五章) 研究了带p l a p l a c e 算子两 点边值问题正解存在性并应用单调迭代技术求得其近似正解具体框架如下： 第一章，绪论主要介绍带p l a p l a c e 算子的微分方程的边值问题的发展背景及研究 进展，并概述了本论文的主要工作 第二章，主要利用一个不动点定理研究方程( ( u 印) ) ) 7 + q ( t ) f ( t ，u ( t ) ，u 讹) ) = 0 ，( 0 t 1 ) 在u ( o ) 一g t ( 乱( o ) ) = 0 ，u ( 1 ) + 9 2 ( u 7 ( 1 ) ) = 0 边界条件下多个正解的存在性 第三章，主要利用锥拉伸和压缩不动点定理研究方程( ( ( t ) ) ) 7 + o ( t ) ，( t ，u ( ) ，钆似) ) = o ，( o t 1 ) ，在边界条件u ( o ) 一g l ( 札7 ( o ) ) = 0 ，“( 1 ) + 9 2 ( u 7 ( 1 ) ) = 0 下无穷多个正解的 存在性其中口( z ) 在( o ，妄) 上有无穷多个奇异点 第四章，通过上下解的方法研究了( 鳓( 牡心) ) ) + a ( t ) f ( t ，珏( ) ，u 心) ) = 0 ，( 0 t 1 ) ， 在边界条件让( 0 ) = 让( 1 ) = c 下正解存在的充分必要条件 第五章，用单调迭代技巧得到了方程( ( “他) ) ) 7 + a ( t ) f ( t ，u ( t ) ，仳他) ) = 0 ，( 0 t 1 ) ， 在u ( o ) 一卯( u i ( o ) ) = a ，钆( 1 ) + 9 2 ( u 7 ( 1 ) ) = b 边界条件下近似正解的存在性 关键词：p l a p l a c e 算子，两点边值问题，不动点定理，上下解，单调迭代 第1 页 中北大学学位论文 a b s t r a c t t h eb v p sw i t hp - l a p l a c ea r i s ei nav a r i e t yo fa p p l i e da r e a ss u c ha sa p p l i e dm e c h a n i c s ， a s t r o p h y s i c sa n dn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ep a p e rs t u d i e st h eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp - l a p l a c eo p e r a t o rb yu s i n gf i x e d p o i n tt h e o r e m sa n du p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sa n dm o n o t o n ei t e r a t i v e f i r s t l y , w eg e tt h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no fs e v a r a lp o s i t i v es o l u t i o n sa n dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o fp o s i t i v es o l u t i o nf o rt h eb v p sw i t hp l a p l a c eo fn o n l i n e a rt e r mw i t ht h ef i r s to r d e r d e r i v a t i v e o fu n k n o w nf u n c t i o n i na d d i t i o n ，i ti sai n n o v a t i o nt h a tw es e tu pt h ew a yo f m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u ef o ri t sa p p r o x i m a t es o l u t i o n s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h r e er e s p e c t s i nt h ef i r s tp a r t ，w es t u d yt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n o fp o s i t i v es o l u t i o nt ot h eb v p sw i t hp l a p l a c e i nt h es e c o n dp a r t ，w eo b t a i nt h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fp o s i t i v es o l u t i o nt ot h eb v p sw i t hp l a p l a c e i nt h e t h i r dp a r t ：w eg e ti t sa p p r o x i m a t ep o s i t i v es o l u t i o n sb yu s i n gm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e t h ep a p e rc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，w em a l i l l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h ep r o g r e s so ft h et w op o i n t b v p sw i t hp l a p l a c e i na d d i t i o n ，w ea l s op r e s e n tt h eo r g a n i z e do ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w eg e tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n so f ( 唧( u 犯) ) ) 7 + q ( t ) f ( t ，u ( ) ，乱他) ) = 0 ，( 0 t 1 ) w i t hu ( 0 ) 一g a ( u ，( 0 ) ) = 0 ，u ( 1 ) + 9 2 ( u ，( 1 ) ) = 07b yu s i n gt h ef i x e dp o i n t t h e o r e m i nc h a p t e r3 ，w eg e ti n f i n i t ep o s i t i v es o l u t i o n so f ( 唧( ( t ) ) ) 7 + q ( t ) f ( t ，u ( t ) ，( ) ) = 0 ，( 0 t 1 ) w i t hu ( 0 ) 一仇( 让7 ( o ) ) = 0 ，u ( 1 ) + 9 2 ( ( 1 ) ) = 0 ，b yu s i n gt h et e n s i l ea n d c o m p r e s s i o nc o n ef i x e dp o i n tt h e o r e m a ( t ) h a si n f i n i t es i n g u l a rp o i n t si n ( 0 ，去) i nc h a p t e r4 ，w eg e tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fp o s i t i v es o l u t i o nt ot h e b v p sw i t h p l a p l a c e ( ( ( t ) ) ) 7 + q ( t ) f ( t ，让( t ) ，( ) ) = 0 ，( 0 t 1 ) w i t h 牡( o ) = 仳( 1 ) = c ，b yu s i n gt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s i nc h a p t e r5 ，w eg e tt h ee x i s t e n c ec o n d i t i o no fp o s i t i v es o l u t i o nt ot h eb v p sw i t h p l a p l a c e( 伟( 越7 ( ) ) ) 7 + q ( t ) f ( t ，牡( ) ，“7 ( o ) ) = 0 ，( 0 t 1 ) w i t h 牡( o ) 一夕1 ( 让7 ( d ) ) = iiii ii mi i _ _ - 第1 i 页 中北大学学位论文 0 ，钍( 1 ) + 9 2 ( u ”) ) ：0 ，a n dw es e tu pt h ew a yo fm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u ef o ri t s a p p r o m i m a t ep o s i t i v es o l u t i o n s k e yw o r d s ：p l a p l a c eo p e r a t o r ，t w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，f i x e d p o i n tt h e o r e m ，u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e 第1 i i 页 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行 研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或 集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：7 銮二卜 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：学校 有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、 缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借 阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学 位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签 名： 出 w 导师签名： 日期一一卑尘一一 日期：型叫乙上j 岬一 中北大学学位论文 第一章绪论 1 1研究问题的背景 微分方程来源于各种实际问题和现代科学，如：经济学，物理学，化学，天文学，生物学 和医学等，这些学科的发展中的许多问题用数学描述后都会出现微分方程常微分方程作为 微分方程的一个重要组成部分，已有悠久的历史牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其 中需要求解的运动方程便是一种常微分方程在长期的微分方程求解过程中人们发现绝大 多数的微分方程的解析解都是求不出的，另一方面在研究流体力学中的边界层结构、核物 理学、电磁理论、材料力学、波动力学、空间技术时提出的微分方程问题，大都是要求满足 某种附加条件的特解因此，由于实际问题的需要边值问题成为常微分方程研究中的重要课 题，它主要研究常微分方程在给定边界条件下解的存在性和解的性质等问题常微分方程边 值问题已成为一个富有生命力的数学分支 在常微分方程边值问题中，对于含p l a p l a c e 算子微分方程的边值问题是近十年来得 到重视的研究方向由椭圆型偏微分方程径向解的研究，得出了含p l a p l a c e 算子的边值 问题1 9 8 2 年西班牙的m a h e r r e r o 和j l v a z q u e z 在研究非牛顿流体力学理论中得出方 程 ( ( 珏，) ) 7 = q ( t ) f ( t ，让，u r ) ，0 t 1 ， 及相应边界条件u ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = b ，或( o ) = 0 ，让( 1 ) = b 是最早提出的模型之后 t r e s t e b a r n 和j l v a z q u e z 于1 9 8 6 年研究多孔介质中湍流问题时提出了同样的问题智 利数学家m d c l p i n o ，m e l g u e t a 及r m a n a s e v i c h 等最先研究这类问题比如： 1 9 8 9 年，智利数学家m a n u e ld e lp i n o 和m a n u e le l g d e t a 在文 1 】1 中利用拓扑度理论 对d i r i c h l e t 边值问题 ， i ( 仰( “，) ) + f ( t ，u ) = 0 ，0 t l ， lu ( o ) = 乱( t ) = 0 ， 一 讨论了其解的存在性及特征值问题同时，人们通过对弹性理论，血浆问题，宇宙物理等大量 的应用领域及对非线性偏微分方程的径向解的研究发现对这些问题的研究可归结为所谓 的带有p l a p l a c e 算子的微分方程 ( ( z ，) ) 7 + a ( t ) f ( x ) = 0 ，0 t 1 而高阶带p l a p l a c e 微分方程边值问题，又可用于梁方 程的微小变形问题的研究其后，许多著名数学家如j m a w h i n ：f z a n o l i 卫及r a v i p a g a r w a l 等也投入此类问题的研究，做出了一系列重要工作，拓展了研究领域，提出了拟特征值、拟线 性算子、共振问题等新的概念。这些问题不仅是对微分方程理论研究的挑战，而且也是对泛 函分析方法进一步发展的有力推动其次，从形式上讲，p l a p l a c e 算子作为二阶微分算子 的推广，不仅有将边值问题的解如何转变为抽象算子方程求解的问题，也有对算子方程深入 讨论以便取得突破的问题例如，在研究二阶微分方程边值问题是由度理论得出的m a w h i n 的 延拓性定理( c o n t i n u a t i o nt h e o r e m ) 和研究正解存在性依据的k r a s n o s e l s k i i 锥拉伸锥压 缩定理，都需要改造、改进、推广和突破这方面的工作，对拓扑泛涵方法和微分方程理论 的结合，对微分差分方程、泛函微分方程相应边值问题的研究都有重要的理论意义和实用价 值 研究边值问题的方法有很多，文献 2 - 1 8 1 用到打靶法，拓扑度理论，s c h a u d e r 不动点定理， 上下解的方法研究带p l a p l a c e 算子的微分方程边值问题解的存在性问题但当时得到的 大多是一个解或两个解的结果，而关于p l a p l a c e 边值问题三个解的结果相刘还很少 1 2 研究问题的进展 最近几年，不少数学工作者探讨了p l a p l a c e 算子边值问题多个正解的存在性 对于带p l a p l a c e 算子两点非奇异边值问题多个正解的存在性国内外的许多专家进 行了研究 2 0 0 3 年，在文 1 9 】中，作者研究了边值问题 ， l ( 怖( u ，) ) 7 + f ( t ，仳) = 0 ，0 t 1 ， la p ( 牡( o ) ) 一卢妒( ( o ) ) = 0 ，y 妒( 乜( 1 ) ) + 6 妒( 牡7 ( 1 ) ) = 0 ， 应用k r a s n o s e l s k i i 锥上不动点定理，建立了此问题存在多个正解的充分条件 2 0 0 4 年，丁卫平、刘玉记在文 2 0 e p 利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理研究了边值问题 ， j ( ( u ，) ) 7 + 口( ) ，( u = 0 ，0 1 ，t 0 ，1 ， z ( o ) = x ( 1 ) = 0 ， 或z ( o ) = z ”) = 0 ， 获得了至少存在三个正解的充分条件这里问题的关键是非线性项依赖于未知函数一阶导 数 2 0 0 7 年，x u ec h u n y a n ，g ew e i g a o 得到了一个新的不动点定理( 见文f 2 3 ) ，扩展了 k r a s n o s e l s k i i 的锥拉伸一压缩不动点定理，进一步得到了下列边值问题正解的存在性 其中，q o p ( u ) = l u i p 一2 仳，p 1 ，q 1 0 ，q 2 0 ，胁 0 ，尾 0 ，( f o ，1 ( 0 ，+ 。) ，r ) 是有界的 2 0 0 8 年，m e i q i a n gf e n g ，x u e m e iz h a n g ，w e i g a og e 在文1 2 4 】中研究了下列边值问题确 切的解的个数 = a 夕( 札( z ) + 九( 乱( z ) ) ) ， z l ，( ( u ，) ) 7 是一维p l 印1 a c i a n 算子，g ，h 0 ，o 。) nc 2 ( o ，o 。) ， 并且入 0 是一个参数 。 ， 另一方面，带p l a p l a c e 算子的奇异边值问题引起了很多学者的研究兴趣，尤其是关 于多解性的研究得到了很多很好的结果( 参见【2 5 2 8 】) 第3 页 0 = = 曲q ， ， 瓦 ，和和v 嘞嘞 一= 风尾 删 喜咄 y i i 勘州州 ，-i_-_，、_-i一一 中北大学学位论文 2 0 0 6 年，翁世有：高海音，张晓颖，蒋达清在文【2 9 】利用s c h a u d e r 不动点定理和非线性 l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理建立了一维p l a p l a c e 奇异边值问题 ， j ( 仰( ) ) 7 + f ( t ，u ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， l 让( o ) = a ，u ( 1 ) = b 解的一些存在性原则并证明了在一定的条件下，一维p l a p l a c e 奇异边值问题解的有界 性其中f ( t ，钆( ) ) 可以在t = 0 和t = 1 处具有奇性 2 0 0 6 年，张晓燕，孙经先在文 3 0 】中利用l e g g e t t w i l l i a m s 定理，建立了一维奇异p l a p l a c e 边值问题 j ( 吻( 让，) ) 7 + o ( t ) 厂( 札( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， l 让，( 0 ) = u ( 1 ) = 0 三解的存在性定理其中a ( t ) 具有奇性 2 0 0 6 年，唐秋云，刘衍胜在文 3 l 】中利用锥拉伸和压缩不动点定理讨论了有关p - l a p l a c e 算子的二阶微分方程奇异边值问题 i ( i o p ( u ，) ) 7 + 九( ) ，( u ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， ia u ( o ) 一b u ，( 0 ) = 0 ，c ( 乱( 1 ) ) + d u ”) = 0 多个正解的存在性，其中考虑了非线性项f ( u ) 关于钆一0 有奇异性 2 0 0 6 年，姜燕君：张才仙，胡凤珠在文【3 2 】中使用不动点指数定理讨论了一类p - l a p l a c e 型算子的奇异边值问题 ， l ( 1 ，o p ( x ，) ) 7 + o ( ) ，( z ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， l 。( o ) 一p z 7 ( o ) = 0 ，x ( 1 ) + j z ( 1 ) = 0 可数多个正解的存在的充分条件考虑了a ( t ) 有无数多个奇异点的情况 2 0 0 6 年，徐夫义，苏华，王建在文【3 3 】利用锥拉伸与压缩不动点定理研究了带p l a p l a c e 算子的非线性边值问题 ， j ( 1 ，o p ( u ，) ) 7 + a ( t ) f ( u ) = 0 ，0 t 1 ， la 鄢( 札( o ) ) 一p 妒pu 7 ( o ) ) = 0 ，y 仰( 札( 1 ) ) + 6 ( “7 ( 1 ) ) = 0 1 无穷多个正解的存在性其中考虑了口( t ) 在( 0 ，去) 有无穷多个奇异点 第4 页 中北大学学位论文 2 0 0 7 年，胡利利，田凯，刘立山在文 3 4 】利用l e g g e t t w i l l i a m s 定理研究了一类奇异非 线性p l a p l a c e 边值问题 i ( 唧( z ，) ) + h ( t ) f ( t ，叩7 ) = o ，0 1 1 ， z ，( 0 ) = z ( 1 ) = 0 ， l 或。( o ) = x s ( 1 ) = 0 ， 得出了三个正解的存在性定理其中h ( t ) 在t = 0 和t = 1 处可奇异 1 3本文主要的工作 目前，对于非线性项含未知函数的一阶导数的带p l a p l a c e 算子的微分方程两点边值 问题的研究很少见只在文f 2 2 1 中出现过另一方面，人们得到的结论都是关于带p l a p l a c e 算子两点边值问题正解存在的充分条件，而关于正解存在的充分必要条件的结论几乎没有 本论文主要考虑方程( ( ( t ) ) ) 7 + q ( t ) f ( t ，“( 亡) ，u 心) ) = 0 ，( 0 t 1 ) 的两点边值问 题全文共分为五章，主要讨论了三大部分的内容第一部分( 第二、三章) 主要研究了带p l a p l a c e 算子两点边值问题多个正解的存在性第二部分( 第四章) 主要研究了带p l a p l a c e 算子两点边值问题正解存在的充分必要条件第三部分( 第五章) 研究了带p l a p l a c e 算子 两点边值问题正解存在性的同时，为求得其近似解建立了单调迭代的方法具体框架如下： 第一章，绪论介绍带p l a p l a c e 算子的微分方程的边值问题的背景及进展，并概述了 本文的主要工作 第二章，利用一个不动点定理研究方程( ( u 讹) ) ) 7 + g ( t ) ，( 亡，u ( 亡) ，乱”) ) = 0 ，( 0 t 1 ) 在u ( o ) 一g i ( u 7 ( o ) ) = 0 ，u ( 1 ) + 9 2 ( u ，( 1 ) ) = 0 边界条件下多个正解的存在性 第三章，主要利用锥拉伸和压缩不动点定理研究方程( 伟( 珏他) ) ) 7 + a ( z ) ，( ，锃( ) ，u 讹) ) = 0 ，( 0 t 1 ) ，在边界条件u ( o ) 一g l ( 札7 ( o ) ) = 0 ，u ( 1 ) + 晚( ( 1 ) ) = 0 下无穷多个正解的 存在性其中口( t ) 在( 0 ，妄) 上有无穷多个奇异点 第四章，通过上下解的方法研究了方程( 仰( u 船) ) ) 7 + a ( t ) f ( t ，u ( ) ，u 邻) ) = 0 ，( 0 t 1 ) ，在边界条件u ( o ) = u ( 1 ) = c 下正解存在的充分必要条件 第五章，用单调迭代技巧来求解方程( 绑( u 他) ) ) 7 + a ( t ) f ( t ，k t ) ，( t ) ) = 0 ，( 0 t 1 ) ， 在u ( o ) 一g l ( ( o ) ) = a ，u ( 1 ) + 9 2 ( u 7 ( 1 ) ) = b 条件下解得存在性，并为求其近似解建立了 单调迭代的方法是本节的创新处 第5 页 中北大学学位论文 第二章的主要结果发表在数学实践与认识上 第四章的主要结果发表在徐州师范大学学报上 第五章的主要结果被数学实践与认识接受 第6 页 中北大学学位论文 第二章 带p l a p l a c e 算子两点边值问题多个正解的存在性 j ，( 幼( z ，) ) ，+ q ( t ) ，( z ) ：o ， o 1 ， 1z ，( 0 ) = z ( 1 ) = o ( 或z ( o ) ：z ”) = o ) ，( ( z ，) ) ，+ n ( t ) ，( t ，z ，z ，) ：0 ， o t 1 ， iz ，( 0 ) = z ( 1 ) = o ( 或z ( o ) = z ，( 1 ) = o ) i ( 唧( 钍，) ) 7 + q ( t ) f ( t ，钍( 亡) ，钍似) ) = 0 ，0 1 ) 本章总假设 ( 1 ) ，c ( 【o ，1 】 0 ，。o ) xr ，【0 ，) ) ； ( 仍) g ( t ) 是( 0 ，1 ) 上的非负连续函数，在( 0 ，1 ) 的任意子区间g ( z ) 不恒等于0 ，且 ，1 0 q ( t ) d t 0 定义2 1设e 是冗上的b a n a c h 空间，非空凸闭集pce 被称为锥，只要 ( & ) o , u p ，对所有的让p 以及a 0 ； ( 易) 牡，- - u 尸，贝趾= 0 第7 页 中北大学学位论文 定义2 2映射妒被称为是p 上的非负连续凹泛函只要妒：p _ 【0 ，o o ) 连续且 砂( t z + ( 1 一七) 可) 亡妒( z ) + ( 1 一) 矽( y ) 对所有的z ，y p 以及0 t 1 成立类似的，称映射o t 是p 上的非负连续凸泛函只要 0 l ：尸_ 【0 ，0 0 ) 连续且 a ( t x + ( 1 一t ) y ) t a ( x ) + ( 1 一t ) a ( y ) 对所有的z ，矽户以及0 t 1 成立 定义2 3给定常数r a 0 ，l 0 设皿是锥p 上的非负连续凹泛函，q ，p 是锥p 上 的非负连续凸泛函定义凸集 尸( 0 ：，7 ；p ，l ) = 可plq ( ) 7 ，p ( y ) l ) ， 一p ( o ，r ；p ，l ) = 可plo ( 可) sr 声( 可) l ， p ( d ，7 ；p ，l ；矽，a ) = y plq ( y ) 0 ，g ( t ) 0 ( t o ) ，且9 是奇的可唯一确定 ，1 c 2 = 乞( 0 ，a ( r ) f ( r ，z ( r ) ，z v ) ) 打) ， ， t ，0 所以珏( ) ：夕( ( ) ) + 妒g ( 岛一a ( r ) f ( r ，z ( r ) ，z 7 ( r ) ) d r ) d s 。 ，0 j 0 定义算子( t x ) ( t ) = 9 ( ( 白) ) + p q ( c z 一o ( r ) ，( r ，z ( r ) ，z ( r ) ) d r ) d s p p s 引理2 1t ：p p 是全连续算子 证明：( 首先证明丁是连续的) 由岛的定义及，的连续性可知，c x 关于z 连续，又因 为9 是连续的则显然t 是连续的 下面证明t 在p 上的相对紧性设vqcp 为有界集 i i t x l l = m a x 畎m 。a 。x li t x l ，o m k a x li t 7 x 1 ) ， 。m s 。a s x i t z l2 夕( ( ) ) + z ( c z 一上凸( r ) ，( r ，z ( r ) ，。7 ( r ) ) 咖) d 5 ， p 、p 3 粤a , xi t x l = ( 白) 0 l ，1 因为岛( 0 ，o ( r ) ，( r ，z ( r ) ，z ，( r ) ) ) ，且f ，9 连续有界所以j m ，m 2 ，慨，使得 t ，o 1 ( 一j f o sa ( r ) j f ( r ，z ( r ) ，z 协) ) d r ) d s 舰， 9 ( 妒o ( c z ) ) m 2 ， m a ，xl i ”z l2 妒口【) m 3 ， o t 1 。 所以i i t x i = m a x 。m 三斟a x t x i ，。m 。a x 1f r z 泞 t l ， 池) _ ( n m l ) i = l r 2 纵一小町币n ，( r 黼s | r 2 c 卜z 0 0 sa m 一咖v 娜如 2 删) 出 r l 0 ，l 2 l 1 0 给 定假设叱p 是尸上的非负连续凸泛函且满足 ( b 1 ) 存在m 0 ，使得l izi i m m a x q ( z ) ，p ( z ) ) ，对任意的z p ； ( b 2 ) p ( a ，r ；，l ) 9 ，对任意的r 0 ，l 0 。 矽是p 上的非负连续凹泛函且矽) 口( z ) ，对所有的z ( 口，您；，l 2 ) 成立令 t ：p ( 乜，r 2 ；p ，l 2 ) _ p ( 口，r 2 ；p ，l 2 ) 是全连续算子假设 ( g ) z p ( 乜，d ；p ，l 2 ；妒，b ) i 妒( z ) d ) 谚，矽( 扎) b ，vz ( q ，d ；p ，三2 ；妒，6 ) ； ( c 2 ) a ( t z ) d ， s u t 在( 口，r 2 ；p ，l 2 ) 中至少有3 个不动点z 1 ，z 2 与z 3 ，且有 以及 z 1 p ( q ，r l ；p ，l 1 ) ，x 2 _ 【( ，r 2 ；卢，l 2 ；妒，b ) l 砂( 。) 6 ) ， z 3 一p ( a ，r 2 ；p ，l 2 ) ( ( 理，r 2 ；口，l 2 ；妒，6 ) u p ( a ，r 1 ；p ，l 1 ) ) 2 2 主要结论及其证明 定理 设存在常数r 2 肋 6 7 1 o ，l 2 l 1 o ，使得瓮m i n 丽t 2 ，西l 2 ) 且如下 假设成立： ( a 1 ) i ( t 池t ，) 唧( 等) ，v “【丢字啪6 】【也，球1 ( 月3 ) f ( t ，牡，秒) m i n 纬( 鲁) ，( 筹) ，v ( ，珏， ) 0 ，l 】 o ，r 2 】 一l 2 ，l 2 ， w 1u 1 且 范数 u 1 p ( 口，r l ；，l 1 ) ，让2 芦( a ，r 2 ；，l 2 ；矽，b )i 矽( z ) 6 ， u 3 ( q ，r 2 ；卢，l 2 ) ( ( a ，r 2 ；，l 2 ；妒，b ) u 芦( q ，7 1 ；p ，l 1 ) ) 证明：令x = c 1 f o ，i 是半序b a n a c h 空间，“u ，如果vt f 0 ，1 j 有u ( ) 移( 艺) 定义 i 乱i l = m a , x 州m a 。, x iu ( t ) i ，。m a xm 圳) ， - - - - - _ _ - - _ - - _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ 一 i $ 一 i i i i - - _ _ - - - _ - l _ l _ _ _ - 一 第l l 页 中北大学学位论文 由( 唧( ( ) ) ) 7 = - q ( t ) f ( t ，“( t ) ，( t ) ) o 知钍在 o ：1 _ l i e i 定义锥pcx 为p = z t x u ( ) 0 ，牡在【o ，1 】上凹) 定义泛函 q ( u ) 2 。m 心a xu ( 圳，p ( 让) 2 m a 0 ，( t x ) 静) 随着t 的增大而减小当t = 时( t x ) 协) = 0 ，即( t x ) ( t ) 在t = o x 时取到最大值根据引理( 1 1 ) 的预备知识知u ( t ) = ( 亿) ( 亡) ，所以 t x 尸；( 妒( 死) 7 ( t ) ) 7 + q ( t ) f ( t ，t x ( t ) ，( t x ) 7 ( t ) ) = 0 ，0 t 1 这表n 羽t ( p ) cp 且丁的每一个不动点都是方程( 2 1 ) 的解根据引理2 1 知丁op 一尸是全 琏绥舁于等 c 1 = 妒q ( f 0 1 口( r ) 咖) ， 尬= 叫办( ! ，sq ( r ) d r ) d s + g ( 胁例， 厶( 么5q ( r ) d r ) d s + a ( 妒q ( 胁1 , i u 缈 1 2 _ ：i n z 1 - g ( 幺4g ( r ) 打) d s + g ? g ( z 1 g ( r ) d r ) ) ， j ( 。妒叮( 5g ( r ) d r ) d s + g ( t p 叮( ( 5 口( r ) d r ) ) ) 第1 2 页 中北大学学位论文 ( 1 ) 如果z 乒( a ，r 2 ；，l 2 ) ，则q ( z ) r 2 ，曩z ) l 2 , lf ( t ，牡，u ) m i n 卿( 最) ，纬( 鲁m v ( t ，u ， ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，r 2 ) ( - l 2 ，己2 ) ，贝u a ( 死) 2 旧m a x 1l ( 丁z ) ( 亡) i r e zp o tr o z = ( 妒q ( q ( r ) f ( r ，z ( r ) ，x ( r ) d r ) ) d s + 夕( 妒口( q ( r ) f ( r ，z ( r ) ，z 7 ( r ) ) 打) ) ，0 j 5j d p 1p sr l = ( ( g ( r ) ，( _ z ( r ) ，z 7 ( r ) ) 办) ) 如+ 夕( ( g ( r ) ，( 一z ( r ) ，z 7 ( r ) ) 办) ) j o x t 如， j 盯2 ， m a x 厂壶( ( 厂5g ( r ) ，( lz ( r ) ，z ，( r ) ) 办) ) d s + 夕( ( 厂壹g ( r ) ，( 7 ，z ( r ) ，z ，( r ) ) 出) ) ， ， j 0j 8 ， j 0 - ：1 ( 妒。( 上8q ( r ) ，( r ，z ( r ) ，z 7 ( r ) ) d r ) ) d s + 夕( 妒g ( 1q (r)f-2-2-2 ( r ，z ( r ) ，z 7 ( r ) ) d r ) ) 最叫胁c 肛m s 砒c 肛燃如c 5 如删s ，亏 + 9 ( 妒g ( g ( r ) d r ) ) 】r 2 ，0 t x p ，所以。m 矧a xl ( 乳) ) j _ m a x ( t x ) ，( 0 ) ，( 丁z ) ，( 1 ) ) ， f l ( t x ) 2 吣m a 6 ，即 a ( z ( ) ) ：乜( 譬) d _ 严移义 一矽( n ) = 6 ) ， 且 乱3 一p ( a ，r 2 ；矽，l 2 ) ( 一p ( e ，r 2 ；声，l 2 ；矽，b ) u p ( a ，r l ；p ，l 1 ) ) 根据定理类似于( a 1 ) 一( a 3 ) 的条件适当的改变便可得到原方程任意多个正解的存在 性 推论假设存在常数0 7 1 b 1 k b l r 2 6 2 七6 2 ，0 且如下假设成立： a 1 ) f ( t ，u ，u ) f ( t ，u ， ) a 2 ) f ( t ，札，u ) ，v ( t ，u ，v ) 0 ，1 】x 0 ，r l 】x 【- l 1 ，l 1 】( 孔= 1 ) ； )