（概率论与数理统计专业论文）模糊集值平方可积鞅.pdf

摘要 摘要 1 9 6 5 年，美国的l a z a d e h 教授发表了“f u z z ys e t s ”一文，创造了研究 模糊不确定问题的数学方法，标志着模糊集合理论的产生4 0 多年来，这个 领域从理论到应用，都取得了丰硕的成果另一方面，鞅是概率论中一类非常 重要的随机过程，实值鞅和集值鞅都有很精彩的结果既然模糊集值鞅是实值 鞅和集值鞅的推广，那么对它的研究就是很重要的 本文首先介绍了模糊集值随机变量的研究背景，并且给出了集值随机变 量和模糊集值随机变量的相关概念和定理主要的方法是通过模糊集合的水 平截集建立了模糊集合和经典集合的联系，把经典集合和集值随机变量的某 些结果推广到模糊集合和模糊集值随机变量 第二部分，我们在此基础上主要总结了一类很重要的随机过程鞅的发 展，主要是按照实值鞅一集值鞅一模糊集值鞅的顺序，并把实值鞅和集值鞅 的一些理论推广到模糊集值鞅 最后，重点研究了鞅中的很重要的一类一模糊集值平方可积鞅，把集值 平方可积鞅的某些概念和定理做了推广定义了几乎所有轨道右连续的模糊 集值平方可积鞅空间砺上的距离万，并且我们证明了关于距离万空间丽 以及它的子空间砺( 几乎所有轨道连续的模糊集值平方可积鞅空间) 的完备 性 关键词：模糊集值随机变量模糊集值平方可积鞅万距离完备 a b s t r a c t a b s t r a c t i n1 9 6 5 ，t h ea m e r i c a np r o f e s s o rl a z a d e hp u b l i s h e dt h ep a p e ro f “f u z z y s e t s ”，c r e a t i n gt h em e t h o dt os o l v et h ef u z z ya n di n d e f i n i t ep r o b l e m s ，t h i ss y m b o l i z e dt h ep r o d u c t i o no ft h et h e o r yo ff u z z ys e t s f o r4 0y e a r s f r o mt h e o r yt o a p p l i c a t i o n ，t h i sa r e ah a v ey i e l d e df r u i t f u lr e s e a r c h e s o nt h eo t h e rh a n dt h et h e o r y o fm a r t i n g a l e si sav e r yi m p o r t a n tp a r to fs t o c h a s t i cp r o c e s s ，t h er e a l v a l u e dm a r t i n g a l e sa n dt h es e t v a l u e dm a r t i n g a l e sb o t hh a v eg o o dr e s u l t s s i n c et h et h e o r yo f f u z z ys e t - v a l u e dm a r t i n g a l e si st h ee x t e n s i o no ft h et h e o r yo fu s u a lr e a l v a l u e da n d s e t v a l u e dm a r t i n g a l e s ，s oi ti si m p o r t a n tt or e s e a r c h i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ef u z z ys e t v a l u e dr a n d o m v a r i a b l e s ，a n dw eg i v et h ec o n c e p t so fs e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e sa n df u z z ys e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e sa n dr e l a t e dt h e o r e m s o u rm a i nm e t h o di st oe s t a b l i s h c o n t a c tb e t w e e nt h ec l a s s i c a ls e t sa n dt h ef u z z ys e t sb yt h el e v e lc u t s e t so ff u z z y s e t s ，a n dw ee x t e n ds o m er e s u l t so fc l a s s i c a ls e t sa n ds e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e st o f u z z ys e t sa n df u z z ys e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s n e x t ，w es u m m a r yo n eo ft h em o s ti m p o r t a n ts t o c h a s t i cp r o c e s s m a r t i n g a l e s ： t h er e a l - v a l u e dm a r t i n g a l e s - - t h es e t - v a l u e dm a r t i n g a l e s - - t h ef u z z ys e t - - v a l u e dm a r t i n g a l e s m o s ti m p o r t a n t l yw eg e n e r a l i z es o m er e s u l t so ft h er e a l v a l u e dm a r t i n g a l e s a n dt h es e t v a l u e dm a r t i n g a l e st ot h ef u z z ys e t v a l u e dm a r t i n g a l e s f i n a l l y ，w es t u d yo d eo ft h ei m p o r t a n tm a r t i n g a l e s ：t h ef u z z ys e t v a l u e ds q u a r e i n t e g r a b l em a r t i n g a l e s ，w eg e n e r a l i z es o m er e s u l t so fs e t v a l u e ds q u a r ei n t e g r a b l e m a r t i n g a l e s w ed e f i n et h em e t r i cdo nm 2 ：t h es p a c eo ft h ef u z z ys e t v a l u e dm a r t i n g a ，l e sw h o s ea l m o s ta l lo r b i t sa r er i g h t c o n t i n o u s ，a n dw eh a v ep r o v e dt h ec o i n p l e t e n e s so fm 2a n di t ss u b s p a c em 2( t h es p a c eo ff u z z ys e t v a l u e dn l a l t i n g a l e s i i 北京工业大学理学硕士学位论文 w h o s ea l m o s ta l lo r b i t sa r e ，c o n t i n o u s ) k e y w o r d s ：f u z z ys e t v a l u e d1 a n d o mv a r i a b l e s f u z z ys e t v a l u e ds q u a r ei n t e g r a b l em a r t i n g a 1 e s ，d m e t r i c ，c o m p l e t e n e s s i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 御8 ，蜴 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 盔煎瞬 勾d 职度必 第1 章绪论 第1 章绪论 本章主要介绍模糊集合理论产生的背景，在此基础上给出模糊集合 距离空间的相关概念与结论，阐述现有的文献关于模糊集值随机变量和 随机过程的研究所取得的部分成果和存在的问题，给出关于模糊集值鞅 尤其是模糊集值平方可积鞅的相关准备最后叙述本论文所讨论的问题 及本论文的结构 本文主要有三部分的研究内容，首先总结实值和集值随机变量尤其 是鞅的一些概念与结果，在此基础上给出模糊集值平方可积鞅的概念， 更主要的是定义几乎所有轨道右连续的模糊集值平方可积鞅空间砺上 的距离西，证明空间丽以及它的子空间万f ( 几乎所有轨道连续的模糊 集值平方可积鞅空间) 的完备性 1 1 模糊集合理论产生的背景 现实世界中的现象一般可以分为以下两类：一、确定性现象；二、不 确定性现象对于确定性的现象，人们自然是比较熟悉的如太阳东升 西落，其规律是确定性的，为一种确定性现象，与之相应的数学即为确 定性数学对于不确定性现象，在现实中，我们所研究的数据的不确定 性主要来自两方面，即随机性和模糊性对于随机现象，我们也是不陌 生的，实验中，我们用随机变量及其分布来描述随机性，可以用于预测 研究未来将发生的事情如投掷一枚硬币，出现的所有可能结果是确定 的集合，即只能是正面或者反面，但就每一次投掷之前结果是正面还是 反面事前却无法预料，这就是随机现象，它是一种“非此即彼”的不确定 现象，符合概率规律，与之相应的数学即为随机数学，也就是我们熟悉 的概率论与数理统计除了上述不确定现象外，现实世界中更多的存在 北京工业大学理学硕士学位论文 着一种“亦此亦彼”的不确定现象，它无法用通常的二元逻辑来表达， 这就是模糊现象而模糊性，是用来描述人们主观判断的更为有效的工 具在现实生活中，我们经常也会遇到模糊现象，比如说：李明很胖，他 是老年人，他的个子比较高“很胖”、“老年人”、“比较高”等等都是具 有模糊性的语言特别是，我们经常要处理一些随机试验，其试验结果 并不是数据，而是一些不确切的语言描述对于这类特殊的数据，它是 在人们共同经验的基础上，以一种非数学语言进行的思想和行为交流的 工具由于信息革命的需要，人们不可避免的要处理大量的模糊现象， 而传统的方法和已有的工具对模糊现象的描述又显得十分不足，精确性 和模糊性越发冲突；人脑所形成的概念几乎都是模糊的，如何使计算机 对模糊概念具有识别、判断能力，以便使其具有人脑的智能，迫切需要 对模糊现象建立数学语言，需要引入模糊集合来为这些概念建立模型 1 9 6 5 年，美国c a l i f o r n i a 大学的控制论专家l a z a d e h 教授在i n f o r m a t i o na n dc o n t r o l 上发表了“f u z z ys e t s ”一文，创造了研究模糊不确 定问题的数学方法，标志着模糊集合理论的产生在该文中他提出了隶 属度、隶属函数、模糊集合的运算等概念由于模糊集合理论在处理复 杂系统特别是有人干预的系统方面的简捷与有力，因此在某种程度上弥 补了经典数学与统计数学的不足，迅速受到广泛重视4 0 多年来，这个 领域从理论到应用，从软技术到硬技术都取得了丰硕的成果，对相关领 域和技术的发展特别是一些高新技术的发展产生了日益显著的影响在 数学理论( 如拓扑、逻辑学、测度论等) ，应用方法( 如工业控制、聚类 分析、模式识别、综合评估等) 和实际应用( 如中长期气象预报、良种选 择、故障诊断等) 诸多方面都取得了很多很有意义的成果这些基本理 论是经典集合论的拓广本文就是主要将实值和集值的随机变量的一些 概念和结果推广到以模糊集合为值的随机变量上 2 第1 章绪论 1 2 集值随机变量 模糊集可以看作经典集合的推广，经典集合可以看作是模糊集合的 特殊情况，模糊集合和经典集合之间关系密切因此模糊集值随机变量 和集值随机变量之间关系密切关于模糊集值随机变量的很多概念、定 理也是集值随机变量的推广那么为更好的了解模糊集值随机变量，我 们先介绍集值随机变量 集值随机变量不是通常的取值为数值，而是取值为n 维欧氏空间或 一般距离空间上的集合为值的随机变量，它既描述了客观事物所具有的 随机性，又描述了事物状态的多值性以集值随机变量为基础建立起来 的集值随机分析是现代应用概率的一个具有活力的新分支，有其深刻的 实际背景二十世纪中叶，以g d e b r e u 等为代表的一大批经济学家研究 了经济中的不确定性这不仅是经济问题数量化研究的一次重大突破， 也为现代概率的研究提出了新的课题这里的不确定性包括两个方面， 即市场经济中客观上影响经济因素变化的随机性和具有一定资产的投 资者投资方式的多样性这一现象反映到数学上为一般集值随机变量问 题由于d e b r e u 把这两种不确定性用量化形式描述出来，应用现代数学 手段，建立了经济模型的一般理论，使他在1 9 8 3 年获得了诺贝尔经济学 奖值得一提的是d e b r e u 所提出的相关数学概念与使用的方法( 如【2 9 】) 和后来的r j a u m a n n 引进的a u m a n n 积分( 参见【1 5 】) 推动了集值随机变 量理论的发展近4 0 多年来许多数学工作者进行了深入的研究，得到了 一批非常精彩的结果例如，法国学者b v a nc u s t e m 在1 9 6 9 年提出了紧凸 集值鞅的概念；a r t s t e i n 与v i t a l e 等学者( 【2 】、【4 】、【5 】、【8 】、【1 2 ) 证明了 集值随机变量序列的大数定理、中心极限定理日本的h i a i 与u m e g a k i 在 1 9 7 7 年给出了一般的集值随机变量的条件期望的概念；7 0 至9 0 年代法 一3 一 北京工业大学理学硕士学位论文 国的n e v e u 、h c s s ，越南的l u u 美国的p a p a g e o l g i o u ，l i 与o g u r a 分别在不 同的条件下讨论了集值鞅、上鞅与下鞅的收敛性( 【6 】、 9 】、 4 8 】、【4 9 】、 【1 0 】、【5 4 】) 西安交通大学的张文修教授、华东师大的汪荣明教授等分别 在一般集值随机过程的表示定理与集值平稳过程的研究中得到精彩的结 果( 【3 3 】、【6 9 】、 6 6 】) 下面给出集值随机变量的相关定义和定理： 在本文中我们始终假设( r 2 ，么，p ) 是完备的概率空间，( 芏，”| i ) 是实值 可分的b a n a c h 空间，r 是实数集( 王) 表示芏的所有非空子集的全 体，k ( 3 e ) 是戈的所有非空闭子集的全体，k k ( 3 z ) 是芏所有非空紧子集 的全体，并且假设k k 。( 王) 是王的所有非空紧凸子集的全体，k b ( x ) 是王 的所有非空有界闭子集的全体，k6 ( ：( 芏) 是王的所有非空有界闭凸子集 的全体 设a ，b 是芏的两个非空子集，分别定义加法和数乘为 a + b = o + b ：a a ，b b ) ， a a = a n ：a a 】， a r 定义1 2 1a 。b k 6 ( 王) 定义a 和b 的h a u s d o r f f 距离为： d h ( a b ) = 蚴 刚s u p 删i n fn n 一吼s 卿u p 。i n 抄- 6 i | ) 在【5 0 】中给出了h a u s d o r f f 距离的等价定义： d h ( a ，b ) = m a x i n f a ：bcu ( a ，入) ) ，i n f a ：ac 驴( b ，a ) ) ， 其中u ( a ，a ) = z ：d ( n ，a ) a ) 对a k b ( x ) ，令l i a i i k = d ( o ) ，a ) 距离空间( k b ( 3 q ，d h ) 是完备的， k b 。( 芏) ，k k ( 3 c ) 和k k 。( 戈) 都是( k ( 王) ，d h ) 的闭子集，且k k ( - 芏) 和k h ( 王) 都 一4 一 第1 章绪论 是可分的，但是k b ( x ) 和k k ( 王) 都不是可分的( 参见【5 0 】，定理1 1 。2 和定 理1 1 3 ) 更多的关于h a u s d o r f f 距离的性质，读者可参见【5 0 】【6 3 1 对每个a k b ( x ) ，定义它的支撑函数如下： s ( z + ，a ) = s u p ，z + 芏+ ， a 其中是芏的对偶空间 称集值映射f ：q _ k ( x ) 是集值随机变量( 或可测的) ，如果对每个开 集o 王，f 一1 ( 0 ) = u q ：f ( u ) n d 0 ) a 这里定义的可测性也称为是 弱可测如果对每个闭集b 芏，有：f 一1 ( b ) = u q ：f ( w ) nb d ) a ， 则我们称f 是强可测的 c a s t a i n g 和v a l a 【l i e r 在文章f 2 5 中应用开集给出了弱可测的定义， r o c k a f e l l a r 在文章【6 2 】中应用闭集给出了强可测性的定义除了强可测和 弱可测的定义，我们也还有一些其他的可测性的定义下面的定理给出 了各种可测性之间的关系 定理1 2 2 ( 参见【7 】，【5 0 】) 令( q ，a ) 是可测空间，芏是可分的距离空间， f ：q k ( 3 e ) 是集值映射，考虑下面的条件： ( i ) 对每个b o r e l 集bc 芏，f 一1 ( b ) a ； ( i i ) 对每个闭集cc 芏，f 一1 ( c ) 4 ； ( i i i ) 对每个开集oc 芏，f 一1 ( o ) 4 ； ( i v ) 对每个z 芏，u d ( x ，f ( u ) ) 是可测函数； ( v ) c ( r ) = 【，z ) q 王：z f ( u ) ) 是a b ( 王) 可测的，其中b ( 芏) 是 芏的b o r e l 域； 则我们有下面的结论： ( 1 ) ( i ) 兮( i i ) j ( i i i ) 铮( i v ) j ( u ) ； 一5 一 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 2 ) 如果王是完备的，a 关于某个仃有限测度是完备的，则上面的所 有条件均是相互等价的 对任意给定的集值随机变量f ，尸的期望表示为e 【卅，定义如下： 即】厶d t t ：f s f ) ， 其中矗f d t z 是l 1 ( q ，3 c 1 中通常意义下的b o c h n e r 积分，l 1 阮矧表示所有 可积的王一值随机变量的全体，且s r = 厂l 1 【q ；矧：，( u ) f ( u ) ，a e 这种积分也称为是a u m a n n 积分( 参见【1 5 】) 定理1 2 3 ( 参见 7 4 】) 设( q ，a ) 为可测空间，x 为可分的b a n a c h 空间， f ：q _ k ( x ) 为集值映射，则下列命题等价： ( 1 ) f 为集值随机变量； ( 2 ) 存在一列f 的强可测选择 厶：n 1 ) 使得 f ( u ) = c f 厶( u ) ：n 1 ) ，u q 如果如i i f ( u ) l l k d i z o ) ( 这里e l 表示集合的闭包) 容易验证，对任意的模糊集 ，它的水平截集具有下面的性质： ( 1 ) 1 3 0 = 芏； ( 2 ) o t oi i l k ，其中如表示在0 点取值为1 ，其它 点均为0 的模糊集，则( f k ( x ) ，d 胃) 是完备的距离空间( 参见 5 0 】，定理5 1 6 ) 但不是可分的( 【5 0 】，注5 1 7 ) 对于任意的q ( 0 ，1 】，有 。= n 口 qu 口记 u q + = d ( u 口 口即) 显然v 0 + 是u 的支撑集由于( f 凫( 正) ，d 胃) 是完备的， 因此每一个c a u c h y 列 v n ：礼n ) 都有极限虬且此极限在f k ( x ) 中，并 且有下面的结论： 一9 一 北京 ：业大学理学硕士学位论文 引理1 3 6 ( 1 5 a 1 ) 假设序列 移凡：扎n ) f k ( x ) 在矗胃距离意义下收敛 于u f 七( 3 c ) ，则对每个q 【0 ，1 ) ，序列( u 2 + ：n n ) 在d 距离意义f 收 敛于笤n + k k ( x ) 下面开始介绍模糊集值随机变量： 定义1 , 3 7 称y ：q f ( x ) 为模糊集值随机变量或模糊随机集，如果 对每个q ( 0 ，1 l ，x 。( 。) = 丁芏：x ) ( z ) q 】是集值随机变量 注1 3 8 ( 1 ) 上面的模糊集随机变量的概念是由p u r i 和r m e s c u 在f 6 0 】 中引进的我们可以把模糊集值随机变量看作是广义的集值随机变量。 ( 2 ) 我们注意空间( f k ( x ) ，曙) 因为( f k ( x ) ，d 胃) 是完备的距离空间，我 们就可以定义关于距离d 胃的b o r d 域s ( f k ( 芏) ) 如果函数x ：q f k ( x ) 是s ( f 尼( 芏) ) 一可测的，那么x 是模糊集值随机变量事实的确如此，因为 对于这样的x ，它的每一个截集x a 是b ( k 七( 芏) ) 一可测的，其中b ( k = ( 芏) ) 是k k ( x ) 关于h a u s d o r f f 距离妇的b o r c l 域因此，我们可以将b ( k 七( 王) ) 一 可测看作是模糊随机集x 强可测的定义 定义1 3 9 称模糊集值随机变量x 是可积的，如果s x ，是非空的从 【5 0 1 中的定理1 3 。1 可知，x 可积当且仅当d ( 0 ，x 1 ) ) l 1 【q ，( 0 ，o o ) 1 若实 值随机变量i i x o + 恢是可积的，则称模糊集值随机变量x 是可积有界的 称模糊集值随机变量列 x 礼：礼1 ) 是一致可积有界的当且仅当存 在一肛一可积函数厂：q r ，使得l | 天孙i i k j r ( u ) 对几乎处处所有的u q 以及礼n 都成立 记l 1 ，a ，p ；f ( 芰) 】表示所有可积有界的f k ( x ) 一值随机变量的全体， 简记为l 1 f q f 舟( 王) 】i 己1 【q ，4 ，肛；f k 。( 王) 】表示所有可积有界的f k ，( 王) 一值随 机变量的全体。称两个f 是( 王) 一值随机变量x ，y l 1 【q ，a ，p ：f ( 王) 】是相等 的，如果对任意的n ( 0 ，l 】，有x 口( u ) = k ( u ) a e ( p ) 一l o 第1 章绪论 称f k ( x ) 一值随机变量序列 x ”：，n ) 在d 胃意义下收敛于一个f k ( 王) 一 值随机变量x ，如果 d 胃( y n ( u ) ，x ( u ) ) 一0a e ( p )凡一o 。 f 七( 王) 一值随机变量x 的期望表示为e x l ，是f k ( x ) 中满足下面条件的随 机元：对每个q ( 0 ，1 ， ( e 【x 】) q = c l x q d p = d e ( f ) ：，取。) j n 其中闭包在戈中取，s x 。= ，l 1 【q ；王】：，( u ) ) ，a e ( p ) ) 由期望的 存在性定理( 4 7 1 ，【5 0 ) ，我们也有如下的等价定义： e x 】( z ) = s u p a ( 0 ，1 】：z e x o 】) 进而也有，对任意的o t ( 0 1 1 ，( e | _ x 】) q = e 同k 】 定理1 3 1 0 令x l 1 【q ，4 ，p ；f k 。( 芏) 】，a o 是4 的子盯一域那么存在一 个y l 1 【q ，山，肛；f k 。( 芏) 】，使得对任意的a 4 0 ，有 f ay d # = 卜恤 注意其中y 被称为模糊随机集x 的条件期望，记为e x i a o 1 4 本文研究的问题及论文结构 h i a i 与u m e g a k i 在文章【7 】中给出了集值鞅序列的定义，p u r i 与r a l e s c u 在文章 6 0 】中利用水平截集的方法给出了模糊集值鞅序列的定义，并在 l i p s c h i t z 条件下给出了模糊集值鞅序列收敛定理 l i 与o g u r a 在【5 1 】中 证明了模糊集值鞅收敛定理但是连续时间参数的模糊集值鞅的讨论还 北京工业大学理学硕士学位论文 不完善，尤其足连续时间参数下的模糊集值平方可积鞅的讨论到现在为 止，我们还没有见到相关文献，本文将讨论该问题 本篇文章主要由三章组成，其中第一章是绪论部分，属于准备工作， 介绍一下有关模糊集值随机变量背景方面的知识，第二章和第三章是本 文的主要结果部分第二章总结了从实值鞅到集值鞅再到模糊集值鞅的 发展，并把实值鞅和集值鞅的某些结果推广到模糊集值鞅；第三章主要 介绍了鞅中很重要的一类一平方可积鞅，并定义了几乎所有轨道右连续 的模糊集值平方可积鞅空间丽上的距离西，证明了空间砺以及它的子 空间万一c ( 几乎所有轨道连续的模糊集值平方可积鞅) 的完备性 一1 2 第2 章模糊集值鞅 第2 章模糊集值鞅 2 1 实值随机过程和实值鞅 随机过程已广泛应用于许多领域中，如物理、生物、社会科学( 管 理、经济) 以及工程科学技术中，并且在这些领域中显示出十分重要的作 用研究随机过程有两种常见的途径一条途径侧重于研究概率结构， 如对鞅过程的研究另一条途径则侧重于统计性质的研究，如研究随机 过程的相关函数、二阶矩、平稳过程等本文就是从前一种途径进行研 究的 众所周知，经典的鞅理论在概率论及其应用方面起了很重要的作用 鞅是最重要的随机过程之一，是一类特殊的随机过程它是关于金融资 产价格的最古老的模型用z ( t ) 表示某一赌徒在公平赌博中t 时刻所拥 有的本金，那么z = z ( t ) ：t o ) 为鞅； e ( z ( t + 1 ) l z ( ) ，z ( t 一1 ) ，) = z ( t ) 也即 e ( z ( t + 1 ) 一z ( t ) l z ( t ) ，z ( t 1 ) ，) = o 也就是说无论该赌徒在t 时刻以后的赌博中如何利用他在t 时刻之前所 取得的经验，他所能期望在将来t + l 时刻拥有的平均本金只能是z ( ) ，这 正是“公平性”的体现 法国数学家l d v y 早在1 9 3 5 年就发表了一些孕育着鞅论的论文，他最 早研究了鞅序列鞅这一概念是法国概率学家j v i l l e 于1 9 3 9 年首先引 入的，他在2 0 世纪3 0 年代已做了若干初步的工作但是将此发扬光大 的要归功于美国的概率论专家d o o b ，他于1 9 5 3 年在其名著( ( s t o c h a s t i c 一1 3 北京工业大学理学硕= ：学位论文 p r o c e s s 中首次系统总结了l 叠v y 和他自已有关鞅的理论及其成果，从 而奠定了经典鞅论的理论基础，使鞅论成了随机过程理论的一个独立 分支自此以后，关于鞅论的研究工作突飞猛进，其在理论和应用上的 重要性也日益突出自从2 0 世纪8 0 年代初人们将注意力集中于b a n a c h 空间值鞅的研究上从历史上看，虽然早在1 9 5 3 年k o l m o g o r o v 就引进了 b a n a c h 空间值随机变量的特征泛函，1 9 5 1 年f r c h e t 研究了b a n a c h 空间 上的g a u s s 分布，1 9 5 3 年m o v i e r 和f o l t e t 研究了b a n a c h 空间值的大数定 律，但这一领域的研究受到了广泛重视并迅猛发展则是近2 0 多年来的 事 我们先给出鞅的定义： 设( q ，4 ，厶) 为一概率空间，a = a ：t r + ) 为一单调非降的4 的子 盯一域流令a o o = o ( u a ) 如果对于任意的t 0 有a t + = n 。 。a 。= a t ， 则称a 右连续么的子盯一域流a = a t ：t r + ) 称为完备的，如果概率 空间( q ，4 ，p ) 本身是完备的，并且4 0 包含一切肛一零测集若盯一域流a 既完备又右连续，则称a 满足通常条件 称随机过程f = r ：t r + ) 是连续( 右连续、左连续) 的，如果它 的全部轨道是连续( 右连续、左连续) 的 过程f 称为a 适应的，如果对于任意的t r + r 关于4 c 可测一个 适应过程f = r ：t r + ) 称作a 一鞅( 上鞅，下鞅) ，如果满足下面的条 件： ( 1 ) 任意的t 0 ，f t 可积； ( 2 ) 对任意的0 s t ，e 【r i r 】= f s ( ，) a 8 随着停时技术的发展 3 2 】，对鞅理论的推广也成了可能，“集值鞅”、 “模糊集值鞅”是鞅论和集合论、模糊集合论的结合，是对通常的实值 一1 4 第2 章模糊集值鞅 或者b a n a c h 值鞅、上鞅、下l 鞅理论的推广，因此有着广泛的研究意义 2 2 集值鞅 近年来，集值随机变量和集值随机过程得到了广大学者的关注，并 且在积分几何、数理经济、随机优化理论等学科中找到了有趣而深刻的 应用集值测度( 1 1 ) 、随机集强大数定律( 【2 1 ) 和集值鞅序列是集值随机 过程理论中较为成熟的三个分支集值随机过程是近二三十年来兴起的 随机过程新分支它既描述了客观事物发展的随机性，又描述了事物发 展过程中的不确定性最早研究集值随机过程过程的是一批法国学者， 从二十世纪7 0 年代初陆续发表文章对集值鞅进行讨论我国学者张文 修、汪振鹏教授等对集值随机过程都已经做了大量的工作，并取得了可 喜的成果 h i a i 和u m e g a k i 在文章【7 】中给出了集值条件期望以及集值鞅的定 义，并证明了集值鞅在距离和妇距离意义下的收敛定理；l u u 在其文 章 5 4 中应用鞅选择方法证明了集值鞅的表现定理；有关集值鞅、集值下 鞅、集值上鞅的收敛定理，h e s s 在【3 8 】中，k o r v i n 和k l e y l e 在文章【4 6 】中， l i 和o g u r a 在文章【4 8 】、【4 9 】中，p a p a g e o r g i o u 在文章 5 8 】、【5 9 】中，w a n g 和x u e 在文章【6 4 】中，在不同的假设下得到了不同的收敛结果，例如： l i 和o g u r a 在文章【4 8 】中证明了闭凸集值下鞅、上鞅在k u r a t o w s k i m o s c o 距离意义下的收敛定理；l i 和o g u r a 在文章【5 1 】中应用嵌入的方法证明 了模糊集值鞅在拓广的h a u s d o r f f 距离d 胃意义下的收敛定理 下面我们给出集值鞅的概念和相关定理( 我们讨论的主要是连续时 间参数的鞅) 在本文中均假定( n ，么，p ) 为完备的概率空间，t 为实数集r 中的子 集，x 为可分的b a n a c h 空间，x + 为其对偶空间，为自然数集假定 北京工业大学理学硕亡学位论文 a t ：t 【0 ，啪为么的子盯域流，且对f t 这里通常t = 【a ，b 】或t = r + = f 0 o o ) 定义2 2 1 设 r ，a t ：t t ) 是适应的可积随机过程，如果对任意的 s ，t t ，8 t ，均有 e f t l a 。】= 只( 分别地，c ，) ) ，a e ， 则称【尻，a ：t t ) 是集值鞅( 分别地，上鞅，下鞅) 引理2 2 2 对于任意的只g l 1 【q ，么，肛；k ( 芏) 】，a o 是a 的子盯域，则有 d 月( e f i a o ( w ) ，e c 1 4 0 】( u ) ) e d h ( f g ) 1 4 0 】( u ) a 8 ( 肛) 定理2 2 3 ( 7 4 】，定理4 1 2 ) 设 r ，礼1 ) 是集值适应列， ( 1 ) 若 r ，a ：几1 ) 是集值上鞅，则对任意的z 芏，【d ( z ，r ) ，a 佗：n 1 】是实值下鞅； ( 2 ) 若对任意的z 芏， d h ( x ，e ，) ，a ：n 1 ) 是实值可积上鞅，则 r ，么n ：n 1 ) 是集值下鞅； 2 3 模糊集值鞅 模糊集值随机鞅是广义的集值鞅，对于集值鞅的研究已经有了很多 精彩的结果，由于模糊集合的发展，人们开始进一步研究模糊集值鞅 定义2 3 1 一列f k 。( 笺) 一值随机变量( r ，a ：t 【0 ，叫 是模糊集值鞅， 如果它满足下面两个条件： ( 1 ) 对于所有的t f 0 ，6 】，r l 1 【2 ，4 ，p ；f k 。( 芏) 】； 一1 6 第2 章模糊集值鞅 ( 2 ) 对于任意的0 ssf b ，只= e f i a ，】 注2 3 2 容易看出f k 。( 王) 一值随机变量f = f ( t ，山) ，a ：t 【0 1 6 】) 是模 糊集值鞅的充分必要条件是对于任意的r t 【0 ，1 】，f = r ( t ，u ) ，么t ：t 【0 ，b 】 是紧凸集值鞅 定义2 3 3 对于任意的模糊集值随机过程f g 定义 瓦( eg ) =、e 【d 胃( f ( t ，u ) ，c ( t ，u ) ) 】2 ，0st b ， j d ( 只g ) = d 6 ( f g ) 定理2 3 4 若f = f ( ，u ) ，a ：t 【0 ，6 】) ，c = c ( t ，u ) ，么：t 【0 ，6 】) 是模糊集 值鞅，则 瓦( f ，g ) ：t 【0 6 】 关于t 是单调递增的 证明由于f = f ( t ，u ) ，a t ：t 0 ，h i ，g = g ( ，u ) ，a ：t 【0 ，h i 是模糊 集值鞅， v q ( 0 ，l 】，f q = 瓦( t ，u ) ：t 【0 ，6 】) ，g q = g a ( t ，u ) ：t 【0 ，6 i ) 是紧 凸集值鞅由引理2 2 2 和鞅的性质性可知，对t s ，有 e d h ( r ( ，u ) ，g q ( t ，u ) ) l 么。】d h ( e f a ( ，u ) i 一4 。】，e a a ( t ，u ) 1 4 。】) a 8 d h ( e 。( s ，u ) ，g q ( s j u ) ) a 8 所以可得 e s u pd h ( f q ( t ，u ) ，g n ( ，) ) i a 。】 s u pe d h ( f a ( t ，u ) ，g q ( ，u ) ) 1 4 。】 q ( o ，1 】d ( o ，1 l s u pd h ( r ( s ，) ，g o ( s ，u ) ) q ( o ，1 】 即e d 胃( f ( ，u ) ，c ( t ，u ) ) i 么。】( z 胃( f ( s ，u ) ，a ( s ，u ) ) 再由j e n s e n 不等式可知： e 【( z 胃( f ( t ，u ) ，c ( t ，u ) ) j 2 1 4 。】 【e 【( 胃( f ( ，u ) ，c ( t ，u ) ) i 么。】 2 【( f 胃( f ( s ，u ) ，a ( s ，u ) ) 】2 n s 1 7 北京工业大学理学硕士学位论史 于是对t s ，有 因此 即 e ( d 胃( f ( ，u ) ，a ( t ，u ) ) 】2 e 【( f 胃( ，( 一，一) ，g ( 一，一) ) j 2 印乖承珂瓦丽币砑铲翠飘可面讯琢万酽 d ( f g ) d 。( f g ) 口 推论2 3 5 由定理2 3 4 的证明过程可以知道若f = v ( t ，u ) ，a ：t 【0 ，h i ，g = a ( t ，- 0 ，么c ：t 【o 6 l 】是模糊集值鞅，可以得出 矗胃( f ( ，u ) ，c ( t ，“，) ) ，么c ： t 0 ，b 】) 是实值下鞅 2 4 本章小结 在本章中，主要总结了关于鞅的发展，介绍了实值鞅和集值鞅的概 念和相关定理更重要的是给出了模糊集值鞅的概念，并且对于给定的 两个模糊集值随机过程f ，g ，我们定义函数两( f g ) ，我们得到的初步 结果是：瓦( f g ) 是t 的增函数 1 8 笫3 酋糊集值平方可积鞅 第3 章模糊集值平方可积鞅 3 1 集值平方可积鞅 在鞅分析中，平方可积鞅是一类特别重要的鞅关于这类鞅建立起