2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案.doc

2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2016年3月13日 9001100 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1在平面直角坐标系中，已知点，点在轴正半轴上且。将沿直线折叠得，则点的坐标为（ ）A B C D2若实数，满足，且，则（ ）A18 B12 C9 D63若关于的方程只有一个实数根，则符合条件的所有实数的值的总和为（ ）A B C D4如图，在中，为的内心，连接并延长交于点。记的面积为， 的面积为，则（ ）A B C D5已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则（ ） A B C D二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6在平面直角坐标系内有两点，若一次函数的图像与线段有公共点，则的取值范围为 。7如图，在中，为边上一点，为线段上一点，延长交于点。若，则 。8设，是个互不相同的正整数，且，则的最大值是 。9如图，是的直径，是的切线，交于点，若，则 。10若正整数，满足方程组，则的最大值为 。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11若关于的方程有两个不相等的整数根，求的值。12如图，为的垂心，圆为的外接圆。点、为以为圆心、长为半径的圆与圆的交点，为线段的垂直平分线与圆的交点。求证：（1）垂直平分线段；（2）。13对于整数，用表示所有小于的素数的乘积。求满足条件的所有正整数。14在一个（行，列，）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：（1）每一列所填的数都是1，2，3，的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，这个数出现且仅出现1次）（2）每一行个的数和都是34。当上述的填数方式存在时，求的所有可能取值。2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2016年3月13日 9001100 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1在平面直角坐标系中，已知点，点在轴正半轴上且。将沿直线折叠得，则点的坐标为（ ）A B C D【答案】 B 【解答】如图，设轴于点。依题意，。所以，。因此，点的坐标为。2若实数，满足，且，则（ ）A18 B12 C9 D6【答案】 A 【解答】依题意，为方程的两个不同实根。因此，由韦达定理得，。或解：。3若关于的方程只有一个实数根，则符合条件的所有实数的值的总和为（ ）A B C D【答案】 D 【解答】方程化为 若方程有两个相等实根，则，。时，方程的根，符合要求。若是方程的根，则，此时，方程的另一个根为，符合要求。若是方程的根，则，此时，方程的另一个根为，符合要求。所以，符合条件的有，其总和为。4如图，在中，为的内心，连接并延长交于点。记的面积为， 的面积为，则（ ）A B C D【答案】 C （第4题）【解答】依题意，。由为的内心知，。所以，由等比定理知，。5已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则（ ） A B C D【答案】 C 【解答】由，得，。 ，当且仅当，即，或，时等号成立。 的最小值为，的最小值为，即。 ，当且仅当，即，或，时等号成立。 的最大值为，的最大值为，即。 。 或解：由，得，。设，若，则；时，将代入，得，即， 由，解得。将代入方程，解得，；代入方程，解得，。 的最大值为，最小值为。因此，。二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6在平面直角坐标系内有两点，若一次函数的图像与线段有公共点，则的取值范围为 。【答案】 (个人觉得还要补充，因为是一次函数)【解答】易得直线对应的一次函数的解析式为。由，得 依题意，方程有的解。 ，且，解得。故的取值范围为。或通过作图求解。7如图，在中，为边上一点，为线段上一点，延长交于点。若，则 。【答案】 （第7题）【解答】如图，过点作交的延长线于点，则。又由，知。 。 。 。8设，是个互不相同的正整数，且，则的最大值是 。【答案】 63【解答】依题意，。 。于是，。又当，时，。 所求的最大值为63。9如图，是的直径，是的切线，交于点，若，则 。【答案】 【解答】由为的直径知，。设，则，。（第9题）由条件易得， ，即。结合，得。（或由射影定理得，即） ，解得或（舍去）。 ，。10若正整数，满足方程组，则的最大值为 。【答案】 84【解答】由，得。结合，为正整数得，于是。 ，。 当，或，时，有最大值84。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11若关于的方程有两个不相等的整数根，求的值。【解答】设，是方程两个不相等的整数根，则，。 ，均为整数。因此，为整数。 5分 为完全平方数。设（为整数，且）。则。于是，。 10分由于，奇偶性相同，且。 或。 解得或。 15分经检验，符合要求。 或。 20分另解：设，（）是方程两个不相等的整数根。则。两式相减，得。由，得，。 5分将代入，得。 。 10分由于，为整数，且，因此，或。 或。 15分当时，；时，。 或。 20分12如图，为的垂心，圆为的外接圆。点、为以为圆心、长为半径的圆与圆的交点，为线段的垂直平分线与圆的交点。求证：（1）垂直平分线段；（2）。【解答】（1）解法一：如图，连结，。由为的垂心知，。（第12题）由、四点共圆，得。 。 5分又， ，。 垂直平分线段。 10分解法二：作点关于直线的对称点。连结，。则，点在以为圆心、长为半径的圆上。 5分又，为的垂心， ，、四点共圆。因此，点也在圆上。 、两点重合。因此，、关于直线对称，即垂直平分线段。 10分（2） 连结，。依题意有。结合为线段的垂直平分线与圆的交点，知为圆的直径。 。又由（1），以及为的垂心知，。因此，、三点共线。 。 15分 。 。 。 20分或：通过，证明。或通过证明四边形等腰梯形，证明。13对于整数，用表示所有小于的素数的乘积。求满足条件的所有正整数。【解答】解法一：若，则整除，但不能整除。因此，不符合要求。故，。 10分若，则，由，得。 15分若，则，由，得正整数不存在。若，则，由，得正整数不存在。若，则，由，得正整数不存在。 满足条件的正整数只有1个，。 20分解法二：由，得。由于是偶数，但不是4的倍数，因此，是奇数。 5分若，则含有奇数的素数因子，即为奇素数，且整除。由知，整除。由此整除1024，矛盾。故，即，且为奇数。 10分 时， 。又，。 。即，5，7，9，11。 15分将，5，7，9，11分别代入验证，时，不符合要求。时，不符合要求。时，不符合要求。时，不符合要求。时，符合要求。 满足条件的正整数只有1个，。 20分14在一个（行，列，）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：（1）每一列所填的数都是1，2，3，的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，这个数出现且仅出现1次）（2）每一行个的数和都是34。当上述的填数方式存在时，求的所有可能取值。【解答】依题意，每列个数的和为，共列。又每行个数的和为34。所以，。 5分又。所以，。 当时，每一行1个数的和互不相同，与（2）矛盾，即符合条件的填数方式不存在。舍去。记为第行，第列所填写的数。当时，令，。即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，33；第2列自上而下各行所填的数依次为33，32，31，1时，符合要求。 10分当时，令，。即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，