（概率论与数理统计专业论文）一类多元风险模型的研究.pdf

摘要 风险理论中研究最多的模型是一元风险模型，是针对单个风险过 程进行的研究但是考虑到保险市场上市场主体多元化的实际情况本 文采用多元风险模型来描述这种情形；此外，市场上的每个保险公司 对一些重要业务的处理诸如收取保费、支付理赔额等通常是按某个时 间段来进行的，鉴于这两种情形，本文用离散时间的多元风险模型来 描述市场的实际经营状况 本文首先介绍了一种离散时间的一元风险模型，此模型描述了一 个这样的单个风险过程，风险过程的索赔到达过程是服从为参数 a “，0 ) 的p o i s s o n 分布的随机序列利用鞅理论得出了它的最终破 产概率，然后引入一个积分算子得到了有限时间破产赤字分布的表达 式，并对有限时间破产赤字分布求极限，利用有限破产概率与有限时 间破产赤字分布的关系，进而求得了有限破产概率 接着，我们给出了一种最简单的离散时间多元风险模型一竞争型 二元风险模型，定义了两类破产，利用前面已有结果及条件期望的一 些知识得到了这两类破产下的有限时间破产概率和最终破产概率以 及单个保险公司有限时间破产的概率和最终破产概率 最后，在竞争型二元风险模型的基础上，讨论了竞争型n 元风险 模型本文引入市场分配矩阵来描述各个公司所占领的市场比例，进 而建立了竞争型n 元风险模型同样地，定义了两类破产，求得了这两 类破产下的有限时间破产概率和最终破产概率以及单个保险公司有 限时间破产的概率和最终破产概率 关键词多元风险模型；p o i s s o n 序列；破产概率；条件期望； a b s t r a ( 了r i nt h er i s kt h e o r y ，t h em o s tm o d e lw h i c hi sd i s c u s s e di st h e o n e d i m e n s i o n a lr i s km o d e l ，t h er e s e a r c ho ft h eu n i v a r i a t er i s kp r o c e s s b u tb e c a u s eo ft h em u l t i p l i c a t i o no fm a i nb o d yi nt h ei n s u r a n c em a r k e t w eh a v et ou s em u l t i v a r i a t er i s km o d e lt od e s c r i b et h i sk i n do fs i t u a t i o n ； i na d d i t i o n ，i nt h em a r k e te a c hi n s u r a n c ec o m p a n yd e a l sw i t hs o m e i m p o r t a n ts e r v i c e s ，s u c ha sc h a r g i n gt h ei n s u r a n c ep r e m i u m ，p a y m e n to f e l a i m sa n ds oo u ，u s u a l l yi nt h ed i s c r e t et i m e i nv i e wo ft w oa b o v ek i n d s o fs i t u a t i o n ，t h i sa r t i c l ea p p l i e st h ed i s c r e t et i m em u l t i v a r i a t er i s k sm o d e l d e s c r i b i n gt h ea c t u a lm a r k e tm a n a g e m e n tc o n d i t i o n f i r s t l y , t h ea u t h o rd i s c u s s e sad i s c r e t et i m eo n e d i m e n s i o n a lm o d e l t h i sm o d e ld e s c r i b e ss u c has i n g l er i s kp r o c e s s w h o s ec l a i mp r o c e s si sa s e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e sw h i c hf o l l o wap o i s s o nd i s t r i b u t i o nw i t h p a r a m e t e r a u s i n gt h ek n o w l e d g eo fm a r t i n g a l e ，t h ea u t h o ro b t a i n si t s r u i np r o b a b i l i t y a n dt h e ni n t r o d u c i n ga ni n t e g r a lo p e r a t o r ，t h ee x p r e s s i o n o ft h ef i n i t et i m er u i nd e f i c i td i s t r i b u t i o ni so b t a i n e d a n dt h e1 i m i to ft h e f i n i t et i m er a i nd e f i c i td i s t r i b u t i o ni sd e r i v e d u s i n gt h er e l a t i o n s h i po f t h em i np r o b a b i l i t ya n dt h ef i n i t et i m er u i nd e f i t i td i s t r i b u t i o n t h ef i n i t e t i m er u i np r o b a b i l i t yi so b t a i n e d s e c o n d l y ，t h ea r t i c l ep r o p o s e sas i m p l e s td i s c r e t et i m em u l t i v a r i a t e r i s km o d e l t h ec o m p e t i t i v et w o d i m e n s i o n a lm o d e l a n dd e f i n e st w o d i f f e r e n tt y p e so fr u i np r o b a b i l i t y i nt e r mo fs o m er e s u l t so fo t h e r s r e f e r e n c e sa n dt h ep r o p e r t i e so ft h ec o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n ，t h ea r t i c l e o b t a i n st h ef i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t ya n dr u i np r o b a b i l i t yf o rt h e i n s u r a n c em a r k e t a n dd e d u c e st h ef i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t ya n dt h er u i n p r o b a b i l i t yo ft h ei n d i v i d u a li n s u r a n c ec o m p a n y f i n a l l y ，b a s e do nt h ec o m p e t i t i v et w o d i m e n s i o n a lr i s km o d e l ，t h e a u t h o rd i s c u s s e st h ec o m p e t i t i v eu d i m e n s i o nm o d e l b yi n t r o d u c i n gt h e m a t r i xo fm a r k e ta s s i g n m e n td e s c r i b i n gt h em a r k e tp r o p o r t i o no fe a c h c o m p a n yi nt h ei n s u r a n c em a r k e t ，t h ea u t h o re s t a b l i s h e st h ec o m p e t i t i v e n - d i m e n s i o n a lm o d e l s i m i l a r l y ，t w od i f f e r e n tt y p e so fr u i na r ed e f i n e d ， a n dt h ee x p r e s s i o n so ft h e ma r eo b t a i n e da sw e l la st h er e s p o n d i n gr u i n p r o b a b i l i t yo f e a c hi n s u r a n c ec o m p a n ya r eo b t a i n e d n k e yw o r d s m u l t i d i m e n s i o n a lr i s k m o d e l ；p o i s s o n s t o c h a s t i c s e q u e n c e ；r u i np r o b a b i l i t y ；c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明 作者签名： 蠡i 整： 日期：丝垡年卫月丛日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用 作者签名： 叁童堑? 导师签名： e tl t 日：磁卫月盟日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 风险理论综述 1 1 1 风险理论的介绍 第一章绪论 风险理论作为保险数学( 也称精算数学) 的一部分，是处理保险业务中的 随机模型风险模型描述通常如下： r ( f ) = 甜+ 保费收入一总理配额 其中，r 扛) 表示时刻，时保险公司的盈余额，为初始资产如果在时n t 盈余足( f ) 为负值，我q n 称破产发生 按照总理赔的方式划分，风险模型可以分为个体风险模型、短期聚合风险模 型和长期聚合风险模型三种个体风险模型总理赔是以每张保单为研究对象，而 聚合风险模型则以每次理赔为研究对象，理赔发生过程由一个点过程来刻画，保 险公司支付给客户的理赔额序列被看作是一列随机变量，目前讨论的主要是聚合 风险模型按照保费的收取方式划分，风险模型可以连续模型和离散模型一般 地，我们主要考虑后一种划分方式连续模型采用连续收费的原则，即以时间为 连续变化的连续地收费；离散模型采取离散收费的原则，即以一定时间长度为收 费的单位区间，在每个单位区间只收取一次固定的保费讨论的最多的连续模型 是复合p o i s s o n 风险模型，又称经典风险模型；讨论的最多的离散模型是复合二 项风险模型 关于风险理论的研究，可以根据风险模型的不同提法，针对保险公司运做中 遇到的种种问题，通过对概率或统计模型进行休整、附加各种条件等，使模型更 加接近保险公司的实际运作这使得风险理论的研究变得非常富有挑战性，所以 破产概率的研究在国际上一直是人们关注的焦点，但在国内，从事这方面研究的 人员还比较少，有关风险理论及其发展和研究现状综合性文献、专著有 4 册螂p n 【1 j ，g e r b e r 2 1 和g r a n d e l l l 5 关于风险理论的研究，主要是破产理论的研究破产理论主要应用在经营稳 定分析方面，是研究经营者的经营状况的理论和方法对于保险公司而言，掌握 硕士学位论文第一章绪论 破产理论可使公司在激烈的市场竞争中处于有利地位；对保险监管机构而言，利 用破产理论可以更好地对保险市场进行监督总之，对正在发展着的中国保险市 场而言，研究破产理论有着极其重要的意义 1 1 2 风险理论的产生与发展 风险理论的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论 文，至尽已有一百多年的历史，首次在这篇论文中提出一类重要的随机过程，即 p o i s s o n 过程不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，以h a r a l d c r a m e r 为首的瑞典学派将l u n d b e r g 的工作严格化，使之奠立在坚实的数学基础 之上，与之同时c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论现己公认l u n d b e r g 与 c r a m e r 的工作为经典风险理论的基本定理 这之后，风险理论中最令人瞩目的是方法论的改进w i l l i a mf e l l e r i ”j 用更新 方法证明l u n d b e r g c r a m e r 逼近，h a n su g e r b e r f l lj 用鞅方法证明了l u n d b e r g 不等式艮耽，和g e r b e r 引入的更新论证技巧和鞅证明技巧已成为经典风险理论 的主要数学工具，近期大量文献对经典风险模型作了不同程度朐推广，但所使用 的方法基本上不外乎这两种 由于方法上的改进，近几十年来，风险理论得以快速发展一方面，对经典风 险理论以多视角作了深入探讨，得到了一些经典风险理论的重要结果，如破产时 赤字、破产前瞬时盈余以及著名的b e e l e m a n 卷积公式等另一方面，对经典风险模 型进行更符合经营实际的推广，诸多推广见1 1 4 节 1 1 3 经典风险模型 经典风险模型是研究历史最长、理论最完善的风险模型，也是最简单的风险 模型它的严格表述如下： 令( q ，f ，p ) 是一个完备的概率空间，模型中的所有随机变量和随机过程均 定义在次概率空间上，令 “1 r ( t ) = u + e t - 五，t o ， 2 硕士学位论文 第一章绪论 其中r ( t ) 是保险公司在时刻f 的盈余，甜是初始资本，c 是公司每单位时间收取的 保费，也表示第k 次的理赔额，( f ) 表示至时刻，为止发生的理赔次数 上述模型有三个基本假定： 假定1 ( 独立性假定) 设溉，k = 1 ，2 ， 是取值于( o ，。o ) 的独立同分布的随机 变量序列，记 ，( x ) = 尸( r x ) ，v x 0 ， - - e x j = f 1 一，( x ) k ； ( r ) ，t o 是服从参数为z ( z o ) 的p o i s s o n 过程； 以，k = 1 ，2 ，” 与 ( r ) ，t o ) 相互独立 假定2 ( 相对安全负荷假定) 设c = ( 1 + 目) 五，其中0 o ，称为相对安全负 荷 假定3 ( 调节系数存在唯一性假设)个体理配额的矩母函数 峨( ，) = = f e r x ) = 1 + ，f d - f ( x ) k 至少在包含原点的某个邻域内存在，其次，要求方程 m x ( r ) = l + 三r 具有正解 若假定1 - 3 成立，则有风险理论的三大经典结果： ( 1 ) 妒( o ) = 丽1 ； ( 2 ) l u n d b e r g 不等式：( “) s p 一“，v u 0 ( 3 ) l u n d b e r g c r a m e r 逼近：存在正常数c ，使得( ”) c e 一“，t 专， 熟裂乩 1 1 4 经典风险模型的推广 硕士学位论文 第一章绪论 经典风险模型是研究最为深入的模型，为风险理论的研究奠定了基础，但由 于经典风险模型的构造中有很多假设，不能很好她反映保险公司的经营状况，与 现实生活操作有着很大的差距，因此很多风险理论研究者将其进行推广，使之更 符合的经营实际这些推广主要有以下几个方面： ( 1 ) 离散风险模型； 考虑在实际中，保险公司对一些重要业务诸如收取保费、支付理赔额的处理 通常是按某个时间段来进行的例如，在人寿保险中，保险公司以年为单位向投 保人收取一定的保费和支付某笔理赔额对保险公司来讲，一年内仅可能发生两 种情况：或有一次理赔发生。或没有理赔发生类似这种情况我们可用复合二项 风险模型来描述： i n r ( n ) = u + c n - 以，以= 0 , 1 2 一 其中”是保险公司的初始盈余；c 是公司每单位时间收取的保费：x 。任= 1 , 2 ，) 是第k 次的赔付量，且 置，k = 1 , 2 ， 是一列独立同分布的随机变量序列；( 疗) 表示时间段( o ，一i 内保险公司的赔付次数， 0 x 以= o ，l ，2 ， 是- - y u 具有参数 p o ，1 ) 的二项随机序列 对于此模型，有许多学者进行了研究国外，s h i u1 9 1 和w i l l m o t t o 】研究了最 终破产概率以及有限时间内的生存概率；国内，c h e n g 和耽 1 i j 研究了生存到固 定时刻n ( n 0 ) 的概率，在时刻t i 恰好发生第k 次赔付，且在时刻摊的盈余为某数 x 仅o ) 的概率；龚日朝和杨向群研究了破产时刻前的瞬时盈余、破产时刻的赤 字以及到破产时刻为止赔付次数的概率分布；龚日朝和刘永清1 1 m 将保单到达过 程进行了推广，讨论了广义复合二项风险模型下的生存概率；孙立娟和顾岚i “】将 利率引入离散风险模型，得到了破产前盈余分布、破产持续时间的递推公式 ( 2 ) 多险种风险模型： 经典风险模型的一个局限就是只考虑一类同质风险，也就是说模型只经营一 种险种时的情形但随着保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及新险种 的不断开发，这些单个险种的风险模型对于研究整个公司的破产概率就无能为 力了因此，采用多险种风险模型来描述实际情况，对于保险公司的经营及监管 部门的监管更具有实际意义 另外，对于经营仃个险种的保险公司，整个公司的偿付能力与一个险种都有关 系，这珂个险种在经营中是相互“分散”风险的，整个公司的安全性自然与就介 于两个边际之间通常，保险公司在实际的经营中并不是每个险种都是赢利的，为 了长远的计划或稳住长期的客户，对于亏损或赢利低的险种保险公司不能立即 把它们排除市场，而是靠着其它赢利的险种求得暂时的生存，通过改变策略或险 4 硕士学位论文第一章绪论 种的更新再寻找赢利的机会 ( 3 ) 对索赔到达过程的推广： 随着点过程理论的系统和成熟，我们可以采用更一般的点过程来描述索赔到 达在实际经营中由于经济形势的变化，任意时刻的投保人数、退保人数都是随 机的，同时由于生活环境变化、气候的影响及其它的随机因素，因此索赔次数 的强度是随机变化的例如在机动车中，车辆事故受突发的恶劣天气因素的影响， 因而用强度不便的齐次p o i s s o n 过程描述赔付次数存在很大的局限性g ，口”出，l l j 中详细描述了非齐次p o i s s o n 风险模型、c o x 风险模型、更新风险模型、平稳风 险模型。这些都是在索赔到达上进行的推广 近年来，很多学者在索赔到达过程上进行了研究l i j u a ns u n 和h a h i a n g 坛愕【l6 j 讨论了在索赔到达过程为e r l a n g ( 2 1 过程的更新风险模型的条件下，破产 前瞬时盈余和破产赤字的联合分布；在1 1 6 j 的基础上，c c h i l i a n gt s a i 和 l i j u a ns u n 17 l 讨论了贴现因子的因素，得到了破产前瞬时盈余和破产赤字的联合 分布极其边缘分布，并且比较了e r l a n g ( 2 ) 和e r l a n g ( 1 ) 过程( 即p o i s s o n 过程) 条件下的这些分布函数；s h u a n m i n gl i 和j g a r r i d o i ”j 讨论了在索赔到达过程为 e r l a n g ( n 1 过程的更新风险模型，得到了贴现罚函数满足的更新方程，以及破产 时刻、破产前瞬时盈余和破产赤字的联合分布：刘再明教授1 1 9 1 等应用m a r k o v 骨 架过程方法，深入地研究了索赔为一般到达的保险风险模型，得到了破产时间分 布以及破产时间与破产时刻前后资产盈余的联合分布。由此可以计算一些人们 关心的重要风险指标 ( 4 ) 对保费收入过程的推广： 在经典风险模型中，假定保险公司在单位时间内收取的保费为一常数c ，这 种假设过于理想化了为此。很多学者在这方面作了推广孙立娟和顾岚i 卅认为 不同单位时间所收取的保单数常常不一样，是一个随机变量，可能服从某一离散 分布，将经典复合p o i s s o n 模型的保单到达推广到和索赔发生独立的p o i s s o n 过程， 在索赔服从指数分布的情况下得出了最终破产概率满足的不等式；龚日朝和李 风军i ”j 将此模型定义为双p o i s s o n 风险模型，利用随机过程和鞅方法得出了此模 型破产概率满足的l u n d b e r g 不等式和一般公式，以及当个体索赔服从指数分布 时破产概率的具体表达式；龚日朝1 2 2 j 在索赔服从指数分布的情况下，得到了有限 时间内生存概率所满足的l a p l a c e 变换公式；向阳和刘再明1 2 考虑了一类具有马 氏过程调制费率的模型，得到了破产概率满足的积分方程，并且推出了在具有平 稳初始分布时，破产概率的递归不等式和零初始资产时破产概率的一个简洁估 计式 ( 5 ) 对索赔额序列的推广： 硕士学位论文第一章绪论 经典风险模型研究的是关于“小索赔”情形的风险理论，一个很强的约束是 要求调节系数存在如果调节系数不存在，则更新理论和鞅方法都无法奏效但 在实际中，如火灾、冰雹、洪水等灾难性保险都是“大索赔额”的情形从数学 的角度来说，对于重尾分布的破产论，就必须启用新的数学工具，如亚指数分布 这样的研究更适用于火灾、冰雹、洪水等灾难性保险y k a l a s h n i k o v 和 d k o n s t a n t i n i d e s 2 4 j 考虑了在常利率且索赔额满足亚指数分布的条件下，复合 p o i s s o n 风险模型的破产概率的渐近公式：唐启鹤1 2 5 j 考虑了在复合p o i s s o n 风险 过程在重尾索赔额的条件下，得到了破产概率的一个等价式，并且建立了亚指数 平衡分布的两个重要定 ( 6 ) 考虑随机干扰： 设赢余过程由下面的式子给出： r ( t ) = u + c t - - s ( f ) + c r w ( t ) ，v t 0 其中“为保险公司初始盈余，c 为保费率，s ( ，) 为至时刻，为止的总索赔额，盯 o ， 扰动项形( r ) 则是一西d w 开运动假定 缈( ，) ，o 和 s ( r ) ，t o ) 是相互独立的 此时破产概率( ) 可分解为： ( “) = 。( “) + ，( 掰) 其中( z f ) 表示因随机扰动而引起的破产，虮( “) 表示因索赔引起的破产这个 模型最早是由g e r b e r 于1 9 7 0 年提出的，之后陆续有学者在这方面作出了一些工 作d u f i e s n e 和g e r b e r 【2 6 】提出了上述破产概率的分解式；g e r b e r 和l a n d r y 【2 7 】在 此基础上考虑了贴现罚函数，得到了贴现罚函数满足的更新方程； c c h i l i a n gt s a i 【2 7 l 讨论了r ( r 一) 、r ( 丁) 和t 的联合分布以及各边缘分布更 多探讨参见【2 9 lf 叫 3 t 】p 2 l p ” ( 7 ) 考虑利率、分红因素的影响： 在保险公司日常的经营活动中，除了保费收入和索赔支出对经营状况有很大 影响外，还有一些不可忽略的因素，如利率、分红设利率j 为常数，则常利率 风险模型可表为 r z ( t ) = u e 8 + 一一f e 即卅如( 砷 ( 关于量的含义参阅 3 4 1 ) b s u d t 和j 正t e u g e l sp 4 j 在常利率的复合p o i s s o n 风险 模型的条件下，得到了破产概率满足的方程，并且给出了其上、下界，对于u = 0 和索赔额指数分布的情形，给出了破产概率的具体表达式吴荣和杜勇宏刚在常 利率的更新风险模型下。利用转移概率得到了风险问题中的几个重要的量和分 布，如破产概率、破产时盈余分布以及破产前瞬时盈余分布的级数展开式和积分 6 硕士学位论文 第一章绪论 方程；d u nc a i 和d c m d i c k s o n 3 6 1 在常利率的更新风险模型下，分别利用鞅方法 和递推法给出了破产概率的上界估计，并且对由这两种方法得到的上界进行了 比较；d u nc a i 和d c m d i c k s o n 3 7 l 利用p 6 】中的方法，讨论了一类离散风险模型 的破产概率问题，其中假设利率变化满足一个马氏链关于这方面更多的文献可 参考p s l 3 9 l i 柏】【4 l 】 对于分红的情形，也有很多学者进行了研究研究的最多的是两类分红：线 性分红和常数分红t h o r n a ss i e g l 和r o b e r tf i i c h y 考虑了复合p o i s s o n 风险 模型在线性分红、索赔额满足g a m m a 分布的条件下，模型的生存概率、分红期 望以及破产前达到分红值的概率；s h u a n m i n gl i 和j o s eg a r r i d o 4 3 1 对于广义 e r l a n g ( n 1 风险过程在常数分红的假设条件下，得到了g e r b e r s h i u 贴现罚函数 满足的积分方程，并且证明了方程的解与不带分红情形下的贴现罚函数之间的 关系 1 2 本文的主要结构 风险理论中研究最多的模型是一元风险模型，是针对单个风险过程进行的研 究但是，考虑到保险市场上市场主体多元化的实际情况，我们先前讨论的单元风 险模型对于研究整个保险市场的经营状况就无能为力；同时，考虑到在实际中，保 险公司对一些重要业务诸如收取保费、支付理赔额的处理通常是按某个时间段来 进行的因此，我们采用离散时间的多元风险模型来描述上述的实际情况，对于保 险公司的经营及监管部门的监管更具有实际意义本文的大致结构如下： ( 一) 离散复合p o i s s o n 风险模型 第三章介绍了一种离散时间的一元风险模型，描述了一个索赔到达过程是参 数五以 0 ) 的p o i s s o n 分布随机序列的单个风险过程利用鞅理论得出了它的最 终破产概率：然后引入一个积分算子，得到了有限时问破产赤字分布的表达式。并 对有限时间破产赤字分布求极限，通过有限破产概率与有限时间破产赤字分布的 关系，进而得到了有限破产概率 ( 二) 竞争型二元风险模型 在实际的保险市场上，往往有多个保险公司在同时经营保险业务，它们之间 存在着激烈的竞争当有一家公司破产时，整个保险市场的格局就会发生巨大变 化 第四章我们将保险市场简单化，只考虑市场主体为两个的情形，即竞争型二 7 硕士学位论文第一章绪论 元风险模型在第二章的基础上，我们研究了竞争型二元风险模型，定义了两类破 产时间及状态过程，利用前面已有结果及条件期望的一些知识得到了这两类破产 时间下的有限时间破产概率和最终破产概率以及单个保险公司有限时间破产的 概率和最终破产概率 ( 三) 竞争型多元风险模型 第四章我们所研究的竞争型二元风险模型将市场主体过于理想化了，实际上 保险市场上往往不只存在着两家保险公司，这样，竞争型二元风险模型就不能描 述整个保险市场的实际经营状况了第五章我们将竞争型二元风险模型推广到竞 争型靠元风险模型，首先我们引入市场分配矩阵，来描述市场上各个公司所占领 的市场比例，在此基础上建立了竞争型片元风险模型与第四章同样地，定义了两类 破产时间，利用引入的一个( 以一，1 元辅助模型，研究了这两类破产下的有限时问破 产概率和最终破产概率以及单个保险公司有限时间破产的概率和最终破产概率， 并给出了各自的表达式， 8 硕士学位论文第二章预备知识 2 1 随机和 第二章预备知识 设是五，置，x 。独立同分布的随机变量，记墨的分布函数为只g ) ( j = l ，2 ，珂) ，令x = 五+ x ：+ + 以，设_ ：| 的分布函数为e g ) ，则有 瓦0 ) = e o ) e g ) e g ) 特别地，若五，x ：，以有相同的分布函数f ( ) ， 则以g ) = f ”( ) 设是一个仅取非负整数值的随机变量，其概率分布为n = p i n = 七l 七= 0 ，1 , 2 ，；五，五，“是独立同分布的随机变量序列，令s = 五+ 石2 + + j 。， 我们约定n = 0 时，s = 0 ，且假定诸z 与相互独立，则以下称s 为随机和， 为求和次数那么我们有： ( 1 ) e 眵】= e n 】e x 】( 2 - 1 ) ( 2 ) f 锄p 】= v a t i n ( e 【d 2 + e 】p ，口r 防】 证明( i ) 设随机变量的矩母函数为辫o ) ，则肌( r ) = e p 。： 五，五，x ，独立同分布，故它们有相同的矩母函数，记为m ( r ) ， 肘p ) = 矿 = p 4 以： 设随机和s 的矩母函数为m 。( ，) ， m 。( ，) = e k 8 】= e 怫8 i i = e k ( r 删= m ( 1 0 9 m ( r ) ) ( 2 栩 对上式两边求导，得 m ；o = 肌( i o g m ( r ) ) 笔搿 9 硕士学位论文第二章预备知识 令r = 0 ，则m ；( o ) = ( o ) 肘( o ) ，即e s - - e n 】e 阻】 ( i i ) 对( 2 2 ) 式再次求导。得 砌m 舭蛳置器邯嘶) ) 必鬈措盟 令r = 0 ，m s ( o ) = m ( o ) 【吖( 0 抒+ 加( o ) 渺( o ) 一阻( 0 ) 】2 ，即 墨2 】= e 【2 】( e x d 2 + e 【】v a r x 】 ( 2 - 3 ) ：y l v a r s = p 2 】一( e s d 2 ，由( 2 3 ) 及( 2 一1 ) ，得 w 4 s = 附【】仁【d 2 + e n 】哳防】证毕 此外，随机和s 的分布函数计算如下： b g ) = p 陋s 】= e p 6 ss l ) 】：妻p b s j = t 】仇：f t g ) 既 特别地，当求和次数n 服从参数为五的p o i s s o n 分布时，有 ( 1 ) 层陋】= 加嗍，哳网= 舾k 2j ； ( 2 ) b b ) = ，”o ) 告矿。 ( 2 4 ) t 。o ； ( 2 - 4 ) 式便是著名的复合p o i s s o n 分布 2 2 条件期望 概率空间记为 ，f ，p ) ，g 是f 的某一予盯一代数，f 如) 是满足e 蚓 0 0 的随 机变量， 定义2 1 具有下列性质的随机变量e 陆 g 】称为f 白) 关于g 的条件数学期 望，简称条件期望如果 ( i ) e 陟l g 】是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意的4 g ，有e 酱l g 】p ( 丸) = 尹( 丸) 定义2 2 设c f 为任一事件，则它的示性函数，c ( ) 为一随机变量，示性 1 0 硕士学位论文 第二章预备知识 函数乇( ) 关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为尸( c i g ) c 关于g 的条件概率尸( c i g ) 是满足下列条件的随机变量： ( 1 ) e ( c l g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意的4 g ，有l 水l g ) p 眈) = p 0 c ) 注：在本文中，如无特殊说明，毛( ) 均表示事件c 的示性函数，即 丘o ) = 佬篡三 条件期望的性质： 毒，善，r 都是随机变量，且悖l o 。，e 蚓 m ， ( 1 ) 若孝叩，觚，则砸f i g 珂l g ，甜 ( 2 ) 若孝为g 一可测，则e 西i g = 善，口j ( 3 ) i 亭| g i 圳g ， ( 4 ) e e 眵i g = 霹，她 ( 5 ) 若孝与g 独立，则e 陟l g = 彤，黜 ( 6 ) e l # r z l o ，k i 0 ，e 悖i o 。，而且对任意的s t ， e 毒i c = 参( 丘，参) 定义2 5 ( 停时) 设( q ，f ，p ) 上有一个非降的盯一族 e ；f t ，一个取于 t u + o 。 的“随机变量”f ) 称为一个相对于亿 的停时，如果对任意f t ， c a ：r ( c a ) o ) 的p o i s s o n 随机序列； f h l 令r ( 刀) - - - - u + c i - - 五 ( 3 1 ) n i n i 其中x 0 ) = 以，s 0 ) = 明一x o ) ，且留。，_ i = 1 , 2 ， 与 0 ) 力= o ，1 ，2 ，) 相互独 立，则俅o ) ，栉= 0 , 1 ，2 ， 为我们所讨论的离散时间一元风险模型，即离散复合 p o i s s o n 风险模型 模型的实际背景： ( i ) 甜表示保险公司的初始资产，c 表示每单位时问收取的保费，是公司的唯 一收入，j 丘表示第k 次的赔付量； ( i i ) 0 ) 表示时间段( o ，行】内保险公司的赔付次数，服从参数为n 2q 0 ) 的p o i s s o n 分布。是保险公司唯一的支出： 硕士学位论文第三章离散复合p o i s s o n 风险模型 ( i i i ) r 0 ) 表示保险公司在时刻甩的盈余资本 为保证公司的稳定经营，假定单位时间内平均保费收入大于平均理赔额，即 f 础由此定义安全负荷系数0 = 一1 0 本文采用s h i u 所给出破产时刻的 ， 定义，即令 破产时刻t = i i l f 西1 陋0 ) o 时是下凸的，所以r 只 1 4 硕士学位论文 第三章离散复合p o i s s o n 风险模型 要取足够大的值，就有g ( r ) o 因此一，+ 脚以( ，) = a 即g ( ，) = z 在( 0 ，0 0 ) 内有唯 一解，即g ( r ) = o 存在唯一正解，记为r 定义3 3 对于随机过程 ? o ) ，l = l ，2 ， ，定义事件域f 。= 妊；打o ，其中 砰= 盯忸g ) ；s s 一 定义3 4 随机变量r 是一个停时，如果 p 疗 e ，对任意疗o ，其中 c = n 只 引理3 5 若f 为一个有界停时，巴t n 0 o ：g p ) o ，为调节系数且最终破产概率0 ) 满足l u n d b e r g 不 等式妒0 ) e 一 证明 ( i ) 因为t 是f 。一停时，取栉o o o ，则甩oa t 是有界f 。一停时由 引理3 5 和引理3 6 得e 一= 膨。( o ) = e 阻。瓴 r ) 】 e 瞳。瓴 r l r s n o p ( r sn o ) = e m 仃l 丁- n o p ( t n 。) ( 3 2 ) 又当留 以。) 令，臼 为集合一的示性函数，则 o e k 一8 q + 。( 嘞) i r ，l 。j p 仃 甩。) = e k 一“+ 。( m ) ) _ i t n 。 j s e k 一。+ 。“ ，每+ 工o 。) - o 1 又o n oj 帕 ) = o ， 从而州= 驴篙网 3 3 有限时间破产概率 对于风险模型俅0 l ，l = 0 , 1 ，2 ， 有限时间破产概率与最终破产概率，我们有 著名的c ，口m p r - l u n d b e r g 不等式，即1 | f ，( “，n ) sj = f ，( “) s g ，r 0 为调节系数 定义3 7 ( 甜，行；y ) = p ( 1 r ，l ，- y r ( ”，r ) ) ， ( 虬，l ；y ) 是保险公司在初始资本为甜的条件下，在时间段( o ， 】内破产时刻的赤 字小于或等于y 的概率，即有限时间的破产赤字分布显然，对任意的以y - 0 ，有 妒( ，塌y ) 妒( 甜，行) p 一铲， 1 6 硕士学位论文第三章离散复合p o i s s o n 风险模型 且有限时侧盯瑕严乔子分币与有限时l 剐破严儆翠硐如p 夭糸： ! 氅( 甜，塌j ，) 。( 甜，n ) 下面的定理给出了有限时间的破产赤字分布 f ，( 甜，n ；y ) 的表达式，从而有限时 间破产概率也是可求的 定义3 8 令孵= k ：r ：一【o ，l b ，积分算子三：飒一吼定义如下： 叫w ) = r r c + u - x , y ，卜啡篓p 雕飙y 狐 显然积分算子上是单调的，即给定y 2 0 ，对任意的甜2 0 ，r ( ，_ y ) q ( 甜，y ) 时，则 l r ( u ，y ) s l q ( u ，) ，) ，对任意的“o 定理3 9 对任意的“，y o ，有妒( 巩甩；y ) = r 4 l l f ，( 甜，l ；y ) ， 其中y ( 硝；y ) 2 萎 ( + y ) + o - 盼“) + o 惰2 证明当珂= 1 时，结论显然成立 假定刀k 时，结论显然成立，即y ( 甜，胛；y ) = f 。y ( 甜，1 ；_ ) ，) ；下面我们证n + l 时结论也成立 妒c “，n + l ；y ，= p ( c + + y 芝i - i 砭 c + ” f ，( “， ) = ic + + y 五 c + ”i 、， + r p p 辄叫r ( r ，c + “一x ) h ，) = p 卜y 篓玲f ( c + z l - - x , n , y = ( 工。r 。) ( 甜，1 ；y ) = f ( “，l ；y ) 所以，对任意的疗k ，有妒( 甜，竹；y ) = 矿1 y ( 甜，l ；y ) ； 此岁- ，yc 甜，t ；y ，= p ( c + + y 篓z c + “ 此外，y ( 甜，l ；j ，) = j 抖+ y z c + “i 、 j o l ， = p ( 等置c + “+ ) ， 一p ( 等五c + 甜 1 7 堡主堂堡堡苎 苎三兰塑墼墨鱼墅! 竺竺垦堕堡型 = 薹p ( c + “+ y ) + 。 “) + 。 鲁e j 综上所述，结论成立 1 8 硕士学位论文