中考数学备考专题复习等腰三角形含解析.doc

中考数学备考专题复习等腰三角形含解析一、单选题（共12题；共24分）1、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（ ） A、15或75B、15C、75D、150和302、如图，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD 沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于（ ）A、25B、30C、45D、603、如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B ， C ， D都是正方形。则A，B，C，D的面积的和等于 ( )A、B、C、D、4、如图，在ABC中，AB6，AC8，BC10，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为( )A、2B、2.4C、2.6D、35、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm ， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A、15 dmB、20dmC、25dmD、30dm6、如图，ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ）A、B、C、3D、47、直线l1l2l3 ， 且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为()A、B、C、D、8、如图，ABC中，C=90，ABC=60，BD平分ABC ， 若AD=6，则CD是（ ） A、1B、2C、3D、49、在矩形ABCD中，AB1，AD，AF平分DAB，过C点作CEBD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：AFFH；BOBF；CACH；BE3ED正确的是（）A、B、C、D、10、（20xx滨州）如图，ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，A=50，则CDE的度数为（） A、50B、51C、51.5D、52.511、（20xx深圳）如图，CB=CA，ACB=90，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGCA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：AC=FG；SFAB：S四边形CBFG=1：2；ABC=ABF；AD2=FQAC，其中正确的结论的个数是（ ）A、1B、2C、3D、412、（20xx黔东南州）20xx年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（ ） A、13B、19C、25D、169二、填空题（共5题；共6分）13、矩形的两条对角线的夹角为60，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是_，对角线的长是_ 14、如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上若BAD=120，则弧BC的长度等于_.15、（20xx菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角CDE，DE=CE，连接BE，则tanEBC=_16、（20xx贵港）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为_17、（20xx张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm则EBF的周长是_cm三、解答题（共2题；共10分）18、如图，在直角ABC中，C90，CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求B的度数19、如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，O为BC的中点，点E，D分别为边AB，AC上的点，且满足OEOD，求证：OE=OD 四、综合题（共5题；共65分）20、如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD及等边ABE已知BAC=30，EFAB，垂足为F，连接DF(1)试说明AC=EF； (2)求证：四边形ADFE是平行四边形. 21、（20xx丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且BFC=90(1)当E为BC中点时，求证：BCFDEC； (2)当BE=2EC时，求 的值； (3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C，连结FC，AF，若点C到AF的距离是 ，求n的值 22、（20xx贵港）如图1，在正方形ABCD内作EAF=45，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AHEF，垂足为H(1)如图2，将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG求证：AGEAFE；若BE=2，DF=3，求AH的长 (2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由 23、（20xx天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把ABO绕点B逆时针旋转，得ABO，点A，O旋转后的对应点为A，O，记旋转角为(1)如图，若=90，求AA的长； (2)如图，若=120，求点O的坐标； (3)在（）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为P，当OP+BP取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可） 24、（20xx义乌）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x3(1)分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标； (2)已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若APM是等腰直角三角形，求点M的坐标； (3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由） 答案解析部分一、单选题【答案】A 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形 【解析】【解答】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部。当该高线在三角形内部时，那么该三角形的顶角度数为30，其底角也就是为75。当高线在三角形外部时，其顶角度数为150，那么其底角为15.【分析】此题有一定的难度。考生容易忽视两种情况，只考虑到一种情况。此类型题经常出现在各种试卷上，希望考生能通过此题达到举一反三的效果。 【答案】B 【考点】等边三角形的判定，直角三角形斜边上的中线，翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】ABC沿CD折叠B与E重合，则BC=CE，E为AB中点，ABC是直角三角形，CE=BE=AE，BEC是等边三角形B=60，A=30，故选：B【分析】先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论【答案】A 【考点】勾股定理，等腰直角三角形 【解析】【解答】等腰直角三角形中斜边长为m，则腰长为， C，D的边长为， A的面积为， C，D的面积为， B的面积为m2 ， 故A、B、C、D的面积和为 故选 A【分析】根据等腰直角三角形斜边长为m，即可求得等腰直角三角形腰长，则正方形B、C、D的面积均可以求出来 【答案】B 【考点】垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】连结AP，在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，BAC=90，PEAB，PFAC，四边形AFPE是矩形，EF=APM是EF的中点，AM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即APBC时，AP最短，同样AM也最短，当APBC时，ABPCBA， ， AP最短时，AP=4.8当AM最短时，AM=2.4故选B【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长 【答案】C 【考点】平面展开-最短路径问题 【解析】【解答】依题意知作楼梯平面图。易知AB=.选C。【分析】本题难度较低，主要考查学生对直角三角形勾股定理知识点的掌握。 【答案】C 【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理 【解析】【解答】BQ平分ABC，BQAE，BAE是等腰三角形。同理CAD是等腰三角形。点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）。PQ是ADE的中位线。BE+CD=AB+AC=26BC=2610=16，DE=BE+CDBC=6。PQ=DE=3.故选C.【分析】首先判断BAE、CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ 【答案】A 【考点】平行线之间的距离，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形 【解析】【解答】如图，分别过点A、B、D作AFl3 ， BEl3 ， DGl3 ， ABC是等腰直角三角形，AC=BC.EBC+BCE=90，BCE+ACF=90，ACF+CAF=90，EBC=ACF，BCE=CAF.在BCE与ACF中，EBC=ACF，BC=AC，BCE=CAF，BCEACF（ASA）.CF=BE=3，CE=AF=4.在RtACF中，AF=4，CF=3，.AFl3 ， DGl3 ， CDGCAF. ， 即， 解得.在RtBCD中， BC=5，.故选A.【分析】分别过点A、B、D作AFl3 ， BEl3 ， DGl3 ， 先根据全等三角形的判定定理得出BCEACF，故可得出CF及CE的长，在RtACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出CDGCAF，故可得出CD的长，在RtBCD中根据勾股定理即可求出BD的长 【答案】C 【考点】角平分线的定义，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形 【解析】【解答】因为ABC中，C=90 ， ABC=60 ， 所以BAC=30;因为BD平分ABC ， 所以ABD=DBC=30 ， 所以AD=BD,因为AD=6,所以CD=3,故C项正确.【分析】结合根据角平分线的定义得ABD=DBC=30,由含30角的直角三角形可得CD是BD的一半即可得CD的长度， 【答案】D 【考点】角平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质 【解析】【解答】AB1，AD ，BDAC2，OBOAODOC1OAB，OCD为正三角形AF平分DAB，FAB45，即ABF是一个等腰直角三角形BFAB1，BFBO1AF平分DAB，FAB45，CAH453015ACE30（正三角形上的高的性质）AHC15，CACH由正三角形上的高的性质可知：DEOD2，ODOB，BE3ED所以正确的是.故选D【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60的角利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质 【答案】D 【考点】对顶角、邻补角，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：AC=CD=BD=BE，A=50，A=CDA=50，B=DCB，BDE=BED，B+DCB=CDA=50，B=25，B+EDB+DEB=180，BDE=BED= （18025）=77.5，CDE=180CDAEDB=1805077.5=52.5，故选D【分析】根据等腰三角形的性质推出A=CDA=50，B=DCB，BDE=BED，根据三角形的外角性质求出B=25，由三角形的内角和定理求出BDE，根据平角的定义即可求出选项本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键 【答案】D 【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形 【解析】【解答】解：四边形ADEF为正方形，FAD=90，AD=AF=EF，CAD+FAG=90，FGCA，C=90=ACB，CAD=AFG，在FGA和ACD中， ，FGAACD（AAS），AC=FG，正确；BC=AC，FG=BC，ACB=90，FGCA，FGBC，四边形CBFG是矩形，CBF=90，SFAB= FBFG= S四边形CBFG ， 正确；CA=CB，C=CBF=90，ABC=ABF=45，正确；FQE=DQB=ADC，E=C=90，ACDFEQ，AC：AD=FE：FQ，ADFE=AD2=FQAC，正确；故选：D【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键由正方形的性质得出FAD=90，AD=AF=EF，证出CAD=AFG，由AAS证明FGAACD，得出AC=FG，正确；证明四边形CBFG是矩形，得出SFAB= FBFG= S四边形CEFG ， 正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出ABC=ABF=45，正确；证出ACDFEQ，得出对应边成比例，得出DFE=AD2=FQAC，正确 【答案】C 【考点】勾股定理的证明 【解析】【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4 ab=131=12，即2ab=12， 则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，故选C【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值 二、填空题【答案】5；10 【考点】等边三角形的判定与性质，矩形的性质 【解析】【解答】如下图所示，AOB60，ABAC15；在矩形ABCD中，AOB60，AOB是正三角形，ABOA ， AC2AB ， 又ABAC15，AB5，AC10即短边的长是5，对角线的长是10【分析】矩形的性质与两条对角线的夹角为60相结合得到所需的正三角形 【答案】【考点】等边三角形的判定与性质，菱形的性质，弧长的计算 【解析】【解答】 菱形ABCD中，AB=BC，又AC=AB，AB=BC=AC，即ABC是等边三角形BAC=60，弧BC的长是： =故答案是： 【分析】本题考查了弧长公式，理解B，C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上，即B、C在同一个圆上，得到ABC是等边三角形是关键 【答案】【考点】正方形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形 【解析】【解答】解：作EFBC于F，如图，设DE=CE=a，CDE为等腰直角三角形，CD= CE= a，DCE=45，四边形ABCD为正方形，CB=CD= a，BCD=90，ECF=45，CEF为等腰直角三角形，CF=EF= CE= a，在RtBEF中，tanEBF= = = ，即EBC= 故答案为 【分析】作EFBC于F，如图，设DE=CE=a，根据等腰直角三角形的性质得CD= CE= a，DCE=45，再利用正方形的性质得CB=CD= a，BCD=90，接着判断CEF为等腰直角三角形得到CF=EF= CE= a，然后在RtBEF中根据正切的定义求解本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质也考查了等腰直角三角形的性质 【答案】【考点】勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图，连接BD，AB为O的直径，AB=6，AD=5，ADB=90，BD= = ，弦AD平分BAC， ，DBE=DAB，在ABD和BED中，ABDBED， ，即BD2=EDAD，（ ）2=ED5，解得DE= 故答案为： 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及圆周角定理，解答此题的关键是作辅助线，构造出ABDBED连接BD，由勾股定理先求出BD的长，再判定ABDBED，根据对应边成比例列出比例式，可求得DE的长 【答案】8 【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：设AH=a，则DH=ADAH=8a，在RtAEH中，EAH=90，AE=4，AH=a，EH=DH=8a，EH2=AE2+AH2 ， 即（8a）2=42+a2 ， 解得：a=3BFE+BEF=90，BEF+AEH=90，BFE=AEH又EAH=FBE=90，EBFHAE， = = = CHAE=AE+EH+AH=AE+AD=12，CEBF= CHAE=8故答案为：8【分析】设AH=a，则DH=ADAH=8a，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角互补可得出BFE=AEH，从而得出EBFHAE，根据相似三角形的周长比等于对应比即可求出结论本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出EBFHAE本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过勾股定理求出三角形的边长，再根据相似三角形的性质找出周长间的比例是关键 三、解答题【答案】解：DE垂直平分AB，DAEB，在直角ABC中，C90，CAB的平分线AD交BC于D，DAE（90B）B，3B90，B30 【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质 【解析】【分析】根据DE垂直平分AB，求证DAEB，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得B的度数 【答案】证明： 如图，连接AO，BAC=90，AB=AC，O为BC的中点，AO=BO，OAD=B=45，AOBO，OEOD，AOE+BOE=AOE+AOD=90，在AOD和BOE中AODBOE，OE=OD【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形 【解析】【分析】连接AO，证明BEOADO即可 四、综合题【答案】（1）【解答】证明：RtABC中，BAC=30，AB=2BC，又ABE是等边三角形，EFAB，AB=2AFAF=BC，在RtAFE和RtBCA中AFEBCA（HL），AC=EF；（2）【解答】ACD是等边三角形，DAC=60，AC=AD，DAB=DAC+BAC=90又EFAB，EFAD，AC=EF，AC=AD，EF=AD，四边形ADFE是平行四边形 【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定 【解析】【分析】（1）首先RtABC中，由BAC=30可以得到AB=2BC，又因为ABE是等边三角形，EFAB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明AFEBCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且ADAB，而EFAB，由此得到EFAD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形 【答案】（1）证明；在矩形ABCD中，DCE=90，F是斜边DE的中点，CF= DE=EF，FEC=FCE，BFC=90，E为BC中点，EF=EC，CF=CE，在BCF和DEC中， ，BCFDEC（ASA）（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，CF是RtDCE斜边上的中线，CF= DE，FEC=FCE，BFC=DCE=90，BCFDEC， ，即： = ，解得：ED2=6a2 ， 由勾股定理得：DC= = = a， = = （3）解：过C作CHAF于点H，连接CC交EF于M，如图所示：CF是RtDCE斜边上的中线，FC=FE=FD，FEC=FCE，四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，ADF=CEF，ADF=BCF，在ADF和BCF中， ，ADFBCF（SAS），AFD=BFC=90，CHAF，CCEF，HFE=CHF=CMF=90，四边形CMFH是矩形，FM=CH= ，设EM=x，则FC=FE=x+ ，在RtEMC和RtFMC中，由勾股定理得：CE2EM2=CF2FM2 ， 12x2=（x+ ）2（ ）2 ， 解得：x= ，或x= （舍去），EM= ，FC=FE= + ；由（2）得： ，把CE=1，BE=n代入计算得：CF= ， = + 解得：n=4 【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键 【答案】（1）解：由旋转的性质可知：AF=AG，DAF=BAG四边形ABCD为正方形，BAD=90又EAF=45，BAE+DAF=45BAG+BAE=45GAE=FAE在GAE和FAE中 ，GAEFAEGAEFAE，ABGE，AHEF，AB=AH，GE=EF=5设正方形的边长为x，则EC=x2，FC=x3在RtEFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2 ， 即（x2）2+（x3）2=25解得：x=6AB=6AH=6（2）解：如图所示：将ABM逆时针旋转90得ADM四边形ABCD为正方形，ABD=ADB=45由旋转的性质可知：ABM=ADM=45，BE=DMNDM=90NM2=ND2+DM2 EAM=90，EAF=45，EAF=FAM=45在AMN和ANM中， ，AMNANMMN=NM又BM=DM，MN2=ND2+BM2 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，旋转的性质 【解析】【分析】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键（1）由旋转的性质可知：AF=AG，DAF=BAG，接下来在证明GAE=FAE，然后依据SAS证明GAEFAE即可；由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5设正方形的边长为x，接下来，在RtEFC中，依据勾股定理列方程求解即可；（2）将ABM逆时针旋转90得ADM在NMD中依据勾股定理可证明NM2=ND2+DM2 ， 接下来证明AMNANM，于的得到MN=NM，最后再由BM=DM证明即可 【答案】（1）解：如图，点A（4，0），点B（0，3），OA=4，OB=3，AB= =5，ABO绕点B逆时针旋转90，得ABO，BA=BA，ABA=90，ABA为等腰直角三角形，AA= BA=5 （2）解：作OHy轴于H，如图，ABO绕点B逆时针旋转120，得ABO，BO=BO=3，OBO=120，HBO=60，在RtBHO中，BOH=90HBO=30，BH= BO= ，OH= BH= ，OH=OB+BH=3+ = ，O点的坐标为（ ， ）（3）解：ABO绕点B逆时针旋转120，得ABO，点P的对应点为P，BP=BP，OP+BP=OP+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结OC交x轴于P点，如图，则OP+BP=OP+PC=OC，此时OP+BP的值最小，点C与点B关于x轴对称，C（0，3），设直线OC的解析式为y=kx+b，把O（ ， ），C（0，3）代入得 ，解得 ，直线OC的解析式为y= x3，当y=0时， x3=0，解得x= ，则P（ ，0），OP= ，OP=OP= ，作PDOH于D，BOA=BOA=90，BOH=30，DPO=30，OD= OP= ，PD= OD= ，DH=OHOD= = ，P点的坐标为（ ， ） 【考点】线段的性质：两点之间线段最短，含30度角的直角三角形，旋转的性质，坐标与图形变化-旋转 【解析】【分析】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短