（光学专业论文）基于小波和脊波的图像边缘特征检测.pdf

中文摘要 中文摘要 图像特征包括很多方面，本文将主要工作放在了图像的边缘特征提取方面。 并且分别提出了利用小波变换和脊波变换的边缘特征检测算法。论文首先介绍 了小波的基本概念，基于小波对“点奇异”特征的良好描述，我们可以利用小 波描述图像的“过边缘”特性，利用小波变换的模沿模梯度矢量方向的最大值 来确定边界点的位置。由于小波有良好的去噪能力，所以这种检测方法在含噪 图像的边缘检测中有较好的效果。当把图像利用r a d o n 变换按一定角度投影为 一维信号时，原来的线性奇异就转为了点奇异，小波的长处就又可以得到发挥， 这也是引入了的脊波的主要思想。脊波可以有效检测一维信号“点奇异”特征， 并可以有效表示图像的“沿边缘”特性。因此论文中提出了用于边界检测的脊 波算法，并给出了它们边界探测方面的部分应用实例。可以看出相对于传统方 法，脊波方法可以更加有效的检测含噪图像的直线特征。在论文最后我们提出 了脊波变换在今后的发展研究方向。 关键词：点奇异线奇异小波变换脊波变换r a d o n 变换边缘检测 a b s l 卧c t a b s t r a c t t h ef b a t u r eo fa ni m a g ei n c l u d e sm a n ya s p e c t s i nt h i sp 印e r ，w ej u s tf o c u so u r w o r ko nt h ee d g ef e a t u r ed e t e c t i o no fa ni m a g e a n d 、ep r o p o s e dt h ec o r r e s p o n d i n g m e t l l o d sf o re d g ed e t e c t i o nb a s e do nw a v e l e tt r a l l s f o 加a n dr i d g e l e t 仃；m s f o r f n t h i s d i s s e r t a t i o nf i r s ti n t r o d u c e st l l ec o n c e p to fw a v e l e tt m l l s f o m ，w t l i c hi sg o o da t c a p t 嘶n gp o i ms i n g u l a r i t i e s d 印e n d i n go nt l i ew a v e l e t sg o o dq u a l i t i e so fc a p n g p o i ms i n g u l 州t i e s ，t 1 1 ee d g e so fa 1 1i m a g ec a i lb ed e t e c t e db yt 1 1 em a ) ( i m u mv a l u eo f w a v e l e tt m s f 0 珊m o d u l ea l o n gag r a d ev e c t o r ，t h ed i r e c t i o no fw h i c hi sj u s tm e d i r e c t i o no fd e n e c t i o nd e r i v a t i v et h a tc h a n g e sm o s tq u i c k ly s i n c e 、v a v e l e t sa r eg o o d a tp o i n ts i n g u l a r i t i e s ，w ec a i lo b t a i l l1 i n es i n g u l 撕t i e sb ym a p p i n gal i n ei n t oap o i n t a l o n g ac e n a i na n 9 1 ew i t hr a d o n 仃a n s f o m s u c hi sa l s om em a i ni d e ao f t h cc o n c e p t o f 谢g e l e t m d g e l e tc a i lr e p r e s e n tt l ei m a g ef e a n i r ew i md i s c o n t i 肌i t i e sa l o n ge d g e s n i i sd i s s e r t a t i o ns p e c m e s 出er i d g e l e ti m p l e m e n 诅t i o na l g o r i t l l m sa l l dt h ep r i m a r y e x p e r i m e n t a lr c s u l t ss h o wi t sg o o dp e r f b m l a n c ei nt h ee d g ed e t e c t i o n f i n a l l y ，w e p r o p o s es o m es u g g e s t i o n so nt h ef 缸h e rd e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c hd i r e c t i o n sa b o u t r i d 卫e l e t k e yw o r d s ：p o i n ts i n g u l a r i 咄l i n es i n g u l 撕咄w a v e l e tt r a l l s f o r n l ，r i d g e l e tt r a n s f o m ， r a d o nn a n s f b n n ，e d g ed e t e c t i o n il_r1111j 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：和呤 2 驴口俾f 月2 亨日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 1 秘密1 0 年( 最长l o 年，可少于l o 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 。 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：和- j 务 如o 年r 月29 日 第一章引言 第一章引言 自从1 8 0 7 年法国科学家傅里叶( j f o 嘶e r ) 提出傅里叶级数展开的方法，并 用该方法研究热传导以来，f o 嘶e r 变换理论在科学技术的许多领域中得到了广泛 的应用，成为纯粹数学与应用数学领域、信息科学领域的主要工具之一。但是 随着f o 嘶e r 应用的深入，f o 嘶e r 分析在某些方面已经不能满足人们的需求了。一 方面，实际中所遇到的信号大多为非稳定的，而此时f o u r i e r 的分析能力非常有限。 另一方面，利用f o u r i e r 分析方法表示信息时能够清晰地揭示出信号的频率特征， 但缺陷是不能反映时间域上的局部信息，而局部性质的描述无论是在理论上还 是在实际应用中都是十分重要的。 为了克服f o 嘶e r 分析的局限性，小波分析便应运而生了。小波分析萌芽于2 0 世纪3 0 年代左右，但是真正的小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工 程师j m o r l e t 在1 9 7 4 年首先提出的。通过物理的直观经验和信号处理的实际需要 所建立的反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1 8 0 7 年法国的热学工程 师j b j f o u r i e r 提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得 到著名数学家j l l a 伊a i l g e ，p s l a p l a c e 以及a m l e g e n d r e 的认可一样。幸运的是， 早在七十年代，a c a l d e m n 表示定理的发现、h a r d y 空间的原子分解和无条件基 的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且j o s t r o m b e r g 还构造了历 史上非常类似于现在的小波基：1 9 8 6 年著名数学家y m e y e r 偶然构造出一个真正 的小波基，并与s m a l l a t 合作建立了构造小波基的同样方法及其多尺度分析。从 此之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家i d a u b e c h i e s 撰写 的小波十讲( t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ) 【1 l 对小波的普及起了重要的推动作用。 与f o u r i e r 变换、窗口f o 嘶e r 变换相比，小波变换是一个时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息，并通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号 进行多尺度细化分析( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，从而解决了f o u r i e r 变换不能解决的 许多困难问题。正因为如此，小波变换被誉为函数的“数学显微镜”。 小波分 析的巨大成功尤其表现在信号处理、图像压缩等应用领域。1 9 9 9 年，新的静止 图像压缩标准j p e g 一2 0 0 0 的确立更是小波分析发展史上的一座里程碑。 随着小波分析在各个研究领域中的广泛应用，对小波分析的要求也越来越 高，但是小波分析却慢慢变得“不尽人意”。即使是平常效果比较好的小波的多 第一章弓i 言 分辨分析也无法满足人们在某些方面的需求。我们平常所作的处理中，对于是 二维信号所作的二维小波处理，是通过一维小波的张量积构造的。这本身就带 有一定的局限性，因为从一开始就假设我们所用的二维小波是可分离的，这也 正是小波无法满足二维信号处理的症结所在。小波仍然是只对“点”进行探测， 但是这次我们对点的探测方向多了，不止是沿着一维方向，而是变成了三个方 向：水平、竖直和对角方向。但是要想描述二维信号的奇异性特征，三个方向 是远远不够的。根据生理学家对人类视觉系统的研究结果和自然图像统计模型， 一种“最优”的图像表示方法应该具有如下特征： 1 多分辨特征：能够对图像从粗分辨率到细分辨率进行连续逼近，即“带 通”性； 2 局域性：在空域和频域，这种表示方法的“基”应该是“局部”的： 3 方向性：其“基”应该具有多“方向”性。 由一维小波张成的二维可分离小波基只具有有限方向，即水平、垂直和对 角，多方向的缺乏是其不能“最优”表示具有线或者面奇异的高维函数的重要 原因。就是说，小波主要是用于表示具有各向同性( i s o t m p y ) 的奇异性的对象， 而对于各向异性( a 1 1 i s o 仃o p y ) 特征，小波不是很好的工具，这也是我们用二维 小波在图像处理中，总是对图像的细节特征不可避免的引入一定模糊的原因。 但是这在某些处理中却是致命的弱点，所以寻求比小波更加适合二维处理的工 具势在必行。 在小波理论的基础上，斯坦福大学e j c a i l d e s 和d l d o n o h o 在1 9 9 8 年提出了 一种特别适合表征各向异性的多尺度方法一脊波变换( 瑚g e l e t ) 。脊波变换是 一种非自适应的高维函数表示方法，对含直线奇异的多变量函数能达到“最优” 的逼近阶。脊波变换理论的产生结合了现代调和分析、群表示理论和小波分析 的一些重要成果。脊波的本质跟小波变换基本是相同的，它只是对小波引入了 一个表征方向的参数得到的。但是它对小波性能的改进确实是巨大的，它可以 非常有效的表示信号中的线性奇异特征。另外为了进一步表示多维信号中更为 普遍的曲线奇异性，近年来又发展出了局部脊波变换、c u r v e l e t 变换等等的多尺 度方法。 众所周知，图像的边缘等是一幅图像的重要特征，人眼在分辨一幅图像区 别另一幅图像时，主要是靠什么来确定的至今仍然没有一个确定的论断。图像 特征是图像点特征、线特征、纹理特征等等众多特征的集合，因此在用神经网 第一章引言 络来判别时，众多特征也导致了输入维数的剧增，这给神经网络的实现与推广 性提出了挑战。另外，人的大脑在处理一个对象特征时的机制包含了大量的先 验知识，因此还无法用神经网络或任何现有的技术来全面模拟。但我们可以对 某一类或者某几类特征来做初步的研究。 本文的主要内容安排如下： 第二章主要介绍从f o 埘e r 变换到小波变换的引入及其基础知识，小波变换的 是在f o u r i e r 变换不能满足人们的分析要求的情况下诞生的，而小波的引入也为信 号处理领域注入了一股新鲜血液，信号处理领域开始从f o u r i e r 时代发生转变了。 第三章主要介绍了脊波的基础理论，脊波的出现如同当年小波的出现一样， 它满足了人们对于信息处理领域的另一需求，脊波理论也在随着研究的深入在 不断完善。另外脊波已经不是在小波基础之上建立起的唯一种理论了。 第四章主要是利用小波变换和脊波变换进行图像边缘特征的提取。并对人 眼图像的注视特征作了初步探讨。 第五章我们对脊波理论的发展做了一下分析和展望。 第二章小波变换的基础理论 第二章小波变换的基础理论 1 8 0 7 年傅里叶( j f o 嘶e r ) 提出的周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和而非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示的论点为f o 埘e r 变换 的兴起拉开的帷幕，迄今为止，f o 试e 变换仍然在发挥着它的巨大作用。但她在 某些方面已经不能满足信号处理的要求了，在她诞生一个多世纪之后，另一个 跟f o 谢e r 变换同样具有划时代意义的概念出现了小波变换( w a v e i e t ) 。 第一节f o u r i e r 变换及窗口f o u r i e r 变换 f o 嘶e r 变换对于我们来说已经是一个非常普遍的变换算法，它的理论也已经 非常成熟。我们知道对于一个定义在r 上的任意函数，( f ) ，其f o 嘶e r 变换的数 学表达式为 f ) = i - 厂( r ) p 1 “西 ( 2 1 1 ) f o u r i e r 变换被用于将复杂的时域信号转换到频域中，人们既可以对时域信号 作分析，也可以在频域中更加细致地做出特殊的分析。但是无论在时域还是在 频域，f o 血e r 变换都是定义在r 上的，它不能分析局部时域信号的局部频谱特 征，就是说它没有时频局部分析特性。为了克服f o u r i e r 变换在时一频局部化方面 的不足，满足人们对于某时段或者某频段的局部化特征分析要求，d e i l l l i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入短时傅里叶变换( s h o r t t i m ef o 嘶e rt m s f o m ) 。短时傅里叶变 换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每个时 间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。g a b o r 变换是海森伯不确定准则下 的最优的短时傅里叶变换。高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时问分辨率 与频率分辨率时的最优窗函数。具有高斯窗函数的短时傅里叶变换就是g a b o r 变 换。与短时傅里叶变换一样，g a b o r 变换也是单一分辨率的。g a b o r 变换的形式 如下： ( 够) ( 国，6 ) = i 。厂( r ) w ( f 一6 ) p 1 “西 ( 2 1 2 ) g a b o r 在时一频局部分析中的这一思想是相当重要的。在时域中，通过引入窗 第二章小波变换的基础理论 函数w ( f ) ，使时域信号在f = 6 处被局域化为。( f ) w ( f 一6 ) 。在频域中我们司以推 出 ( c 旷) ( ，6 ) = f 【厂( f ) w ( f 一6 ) 】 = ：一夕( 甜) + ( 谛( 珊) p 1 “) 三虿 = 去腓) 石睁咖盯训锗 q 1 。3 = p 一“乍一1 【夕( 善) 否( 善一甜) ( 6 ) z 丌 由( 2 1 3 ) 式可以清楚地看出频域信息在国= 孝处也是被局域化的。 但是g a b o r 变换中还有一个不足之处。可以推证，在w f t 中时窗与频窗在移 动过程中，其时窗半径，与频窗半径。是不变的，也就是它的时频窗面积恒为 4 ，。 w i n d o w p 队v 丘b 、 l ， 、 图2 一l ：w f t 时一频窗示意图 但是时频局部分析中往往还要求对高、低频信号有自适应的时频局部化能 力。也就是说，人们希望对高低频域信号，窗口形状能自适应的变化，以给出 不同频带中的更加精细的表现，但是这是w f t 无法完成的。 第二节小波及连续小波变换 形象地说，小波就是一种像波一样的快速衰减函数，形如很小的波，这也 第二章小波变换的基础理论 是它被称为小波的原因。 定义2 1 吲设函数妒( f ) _ ( r ) n r ( r ) ，并且驴( o ) = o ，即e ( f ) 西= o ， 则称l f ，( f ) 为一个基本小波或母小波。对母小波y ( ，) 做伸缩和平移得 哪，2 南少c 争啪r ，删 ( 2 2 1 ) 称忆。( ，) 为小波函数，其中d 为尺度因子，6 为平移因子。变量口反映函数的伸 缩尺度，变量6 反映小波函数的平移位置。小波函数就是由母小波经平移与缩放 而得到的一系列函数。 定义2 2 v ( ，) er ( r ) ，( f ) 的连续小波变换( 有时也称为积分小波变换) 定义为： 叼( 咖) 晰e 巾) ( 等弘，删 或用内积形式： 蹄弓( 口，6 ) = ( 厂，l ；f ，础) 式中 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 坩；l ；f ，( 等) ( 2 川) 要使逆变换存在，妒( f ) 要满足允许性条件： 勺= e 学m 旺z 蜘 式中矿( 甜) 是y ( f ) 的傅里叶变换。这时，逆变换为 巾) = e 卧以) 喝b 岫爵 眨2 - 6 ) 气这个常数限制了能作为“基小波( 或母小波) ”的属于r ( r ) 的函数y 的类。 著环兽求小潴y 县一个窗甬新还必须满足关于窗中，心和窗半径的度量耍求， 第二章小波变换的基础理论 即它的时( 频) 窗半径是有限的，那么还必须属于( r ) ，即 眦枷 m ( 2 2 7 ) 因为驴p ) 是r 中的一个连续函数，则由式( 2 2 3 ) 可得痧在原点必定为零，即 痧( o ) = ( f 如= o ( 2 2 _ 8 ) 从式( 2 2 7 ) 可以发现小波函数必然具有振荡性。 第三节离散小波变换 连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续小波变换恢复原 信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数儿。( f ) 存在许多可能的选择。尽 管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变 换的结果的困难。另外，在实际应用中，连续小波变换的实现也是很困难的， 因此，我们需要对小波进行离散化，如同f o l l r i e r 变换的离散化一样。在实际中， 常取 6 ：砉，口：丢 ，i z ， ( 2 3 - 1 ) j， ” 这时 ( ，) = ，。( f ) = 2 肌妒( 2 f 一) ( 2 3 2 ) 按照习惯将离散化后的小波记为，。( f ) 变换形式为： 吁= ( 2 3 3 ) 因此，离散小波l ；f ，似( ，) 是由小波函数妒( f ) 经2 j 整数倍缩放和经整数k 倍平 移所生成的函数族 肿。：。为了能重构信号，( f ) ，要求 。：是r ( 尺) 的 r i e s z 基： 定义2 3 一组函数 蚧，* l 。：构成r ( r ) 上的一个个r i e s z 基，如果它满足 第二章小波变换的基础理论 ”，。( ，t z ) 的线性张成在r ( r ) 中是稠密的，并且存在正常数a 与b ， o 爿b ，使 讹垭惶喜肌降陬i b 旺，4 ， 对所有 0 。 ，2 成立，其中 f 2 _ 似。 i 川 0 ， 日，6 ， ，工2 r ， 口，0 ，石_ ， 定义3 2 ：定义变换： r 仃j 似6 ，刚= j 玩 。厂r x j 出 ( 3 2 - 4 ) 为x j 函数在r 2 上的连续脊波变换。对于x j r r r 2 j ，在r 2 上的连续r a d o n 变换为： 髟( 口，) = 扩( x ) 占( 五c o s 口+ x 2s i n 口- f ) 出 ( 3 2 5 ) 若记，r x j 在r 2 上的连续小波变换为： w f n b ) 。wo b ( x ) x ) 庙c 俨 其中妒。( x ) ：口一切( 三尘) ，妒似j 是一维小波函数。因此脊波变换可以表示为： 怂t f ( n 内e ) = 如，b ( x ) r “o t ) d t 。 妈2 们 酽 由以上定义也可以看出脊波与小波可以用r a d o n 变换联系起来，简言之就是脊 波变换就是在r a d o n 变换域中的小波变换。可以看出，脊波与小波在本质上是 一样的，但是脊波引入了表示方向的参数日。因此，原来小波可表示一个点的特 征，此时对于脊波变成了一条沿方向口的直线。在脊波函数的横截面上是一条小 波曲线。在r 2 中，脊波沿脊线葺c o s 口+ x ，s i n 口= ，是常数，垂直脊线方向是小 第三章脊波变换的基础理论 波。 综上，脊波变换的主要思想就是用r a d o n 变换将不同方向的线奇异映射为 点奇异，然后用一维小被变换来刻画点的奇异性，从而能有效地表示二维信号 中的线或曲线奇异性特征。 定义3 3 设函数满足，0 ( r 2 ) ，若满足容许条件，则有： f ( x l 、l r d 七蜘。9 ( x 塑竽 。瑚、 为脊波变换的重构公式，其中气= ( 2 万) 。2 列。 第三节离散脊波变换 针对二维离散数据 厂( ，也) ，2 ( ，i ：= 0 ，l ，2 h1 ) ，分别对三个参数 口，6 ，口离散化： 则： q 。，= 2 万2 一f ，q = 2 ，吩，= 2 万t 2 - ， ( 3 3 - 1 ) ，( 毛，七2 ) 2 七1 2 c o s q ，+ 女2 2